MODELOS DE SERIES TEMPORALES EN FINANZAS (II): MODELOS ARCH-GARCH Modelización Económica II

MODELOS DE SERIES TEMPORALES EN FINANZAS

(II): MODELOS ARCH-GARCH

Modelización Económica II

Referencias:

Gouriéroux (1997) "ARCH Models and Financial Applications",

Springer.

1 Modelización de la varianza: inspección visual de los

datos

Consideremos la serie del índice S&P500 (datos diarios). La serie no es

estacionaria en varianza (logaritmos) y tampoco en media (primeras diferencias). La no estacionariedad queda patente en el lento decaimiento hacia cero de la FAS (la FAP se corresponde con la de un AR(1) próximo a la no estacionariedad).

200 400 600 800 1, 000 1, 200 1, 400 1, 600 92 94 96 98 00 02 04 SP500 (daily data) 26/4/1991 - 26/4/2006. 0bs 3913

1 Modelización de la varianza: transformaciones en los

datos

La serie resultante es la de retornos (tasas de variación) del S&P500:

rt=log(pt) log(pt( 1)).La serie es estacionaria según la FAS y la FAP.

-. 08 -. 06 -. 04 -. 02 . 00 . 02 . 04 . 06 92 94 96 98 00 02 04

2 Características de los datos …nancieros

Estadísticos descriptivos e histograma empírico de los retornos o rendimientos del S&P500. 0 200 400 600 800 1, 000 1, 200 -0. 075 -0. 050 -0. 025 0. 000 0. 025 0. 050 Series: RT Sample 4/26/1991 4/26/2006 Observations 3913 Me a n 0 .0 0 0 3 1 6 Me d i a n 0 .0 0 0 1 8 2 Ma xi m u m 0 .0 5 7 5 4 9 Mi n i m u m -0 .0 7 7 6 2 1 S td . D e v. 0 .0 1 0 3 4 4 S ke w n e s s -0 .1 3 2 2 1 4 K u rto s i s 7 .8 7 7 6 4 0 J a rq u e -B e ra 3 8 9 0 .3 8 5 P ro b a b i l i ty 0 .0 0 0 0 0 0

2 Características de los datos …nancieros

1 La media condicional de los rendimientos de las variables …nancieras

presenta un "escaso componente predecible" que normalmente puede modelizarse mediante un proceso AR(1) o MA(1).

2 Clusters de volatilidad: periodos de alta (baja) volatilidad tienden a venir

seguidos por otros periodos de alta (baja) (Mandelbrot (1963)).

3 Respuesta asimétrica en la volatilidad a shocks positivos y negativos. La

volatilidad tiende a incrementarse menos en respuesta a "buenas noticias"

(rendimientos más altos de lo esperado,ut >0) que a "malas noticias"

(rendimientos menores de lo esperado,ut <0).

4 La distribución de los rendimientos no es Normal: presenta colas más anchas

que las de una distribución Normal y un mayor pico en la media (distribution leptokúrtica).

5 Memoria larga: alta correlación entre la volatilidad para periodos muy

3 Modelos ARCH

Engle (1982) introdujo los modelos deheteroscedasticidad condicional

autorregresiva(ARCH) para capturar los clusters de volatilidad observada

en las series económico-…nancieras: infación, rendimientos de índices de bolsa,...

Un modelo ARCH de ordenq o ARCH(q), se de…ne como sigue:

Media condicional: rt =f(Φ,Ωt 1) +ut, ut N(0,σ2t)

Varianza conditional: σ2t =α0+α1u2t 1+α2ut2 2+...+αput q2

donde rt es la variable de interés,f es una function de Φ(vector de parámetros)

yΩt 1 el conjunto de información disponible ent 1.

Para retornos …nancieros, la media condicional es normalmente un proceso AR(1) o MA(1).

Para que el modelo esté bien de…nido la varianza debe ser positiva y, en

consecuencia, todos los coe…cientes de la ecuación de la varianza,αi

i=1, ...,q, deben ser positivos.

4 Contraste de "efectos ARCH"

El test de "efectos ARCH" (Engle, 1982) consiste en contratar:

1

H0 : α1 =α2 =...=αq =0 (No hay efectos ARCH)

H1 : H0 falsa (al menos unαi es distinto de 0)

2 Para ello se regresa

b

u2_t =α0+α1but2 1+α2but2 2+. . .+αqbut q2

donde los cuadrados de los residuos del modelo de la media condicional,_bu_t2,

se toman como una "proxie" de la varianza (σb2_t 'bu2_t).

3 El estadístico del contraste es

LM =TR2 χ2_q

dondeq es el número de parámetros (sin constante),T es el número de

observaciones yR2 es el coe…ciente de determinación de la regresión. Se

5 Modelos GARCH

Bollerslev (1986) introdujo el modeloARCH generalizado(GARCH), cuya

forma más sencilla, la de unGARCH(1,1), es equivalente a un proceso

ARCH de un orden in…nito, ARCH(∞), pero más fácil de estimar dado que

depende sólo de tres parámetros. El modelo GARCH(1,1) se de…ne como,

Media conditional: rt =f(Φ,Ωt 1) +ut, ut N(0,σ2_t)

Varianza conditional: σ2_t =ω+αu_t2 ₁+βσ2_{t 1}

Para que el modelo esté bien de…nido se debe garantizar que los parámetros

ω,αy βsean positivos y queα+β<1 (condición de estacionariedad).

Además, aunque la distribución condicional deut sea normal la distribución

incondicional tiene varianza incondicionalσ2= ₁ ω_{α β} y posee colas más

anchas que la normal.

Un procesoGARCH(p,q)tiene una estructura ARMA de la forma

σ2_t =ω+ p

∑

∑

6 Extensiones del modelo GARCH

El modeloTGARCH(1,1)se de…ne como

σ2_t =ω+αu_t2 ₁+γu2_{t 1}dt 1+βσ2_{t 1}

dondedt 1 es una variale dummy que toma el valor 1 siut 1<0 (malas

noticias) y 0 siut 1 >0 (buenas noticias). Las buenas y malas noticias

tienen un impacto en la volatilidad de magnitud αyα+γ, respectivamente.

Siγ>0 (signi…cativo) existe un impacto asimétrico de las buenas y malas

noticias en la volatilidad. Si_bγno es signi…cativo el impacto de las buenas y

malas noticias no es asimétrico y es preferible el modelo GARCH.

Otras extensiones: IGARCH(Integrated GARCH),EGARCH(Exponential

GARCH),GARCH-M(GARCH in mean),QGARCH(Quadratic GARCH),

GJR-GARCH (Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH),APARCH

7 Estimación de modelos GARCH con EViews

Las ecuaciones de media y varianza pueden estimarse por máxima

verosimilitud (ML). El procedimiento requiere asumir una distribución para

el término de error,ut. Bajo normalidad los estimadores MLson

consistentes y asintóticamente normales incluso cuando el verdadero proceso generador de los datos no sea normal, en tal caso los estimadores se

denominanquasi-máximo verosímiles(QML).

EViews computa la estimación ML para los modelos GARCH. Para ello se procede de la siguiente forma:

Estimate equation: Especi…ca la ecuación de la media (modelo

ARIMA). Enmethodseleccionar ARCHy presionarOK.Introducir el

orden del proceso ARCH/GARCH y presionarOK. La salida se

corresponde con la estimaciónQMLdel modelo GARCH.

8 Estimación de un MA(1)-TGARCH(1,1) con EViews

10 Predicción de la volatilidad

La varianza conditional predicha en el periodoT+1, designada por_bσ2_t+1,

se obtiene de la ecuación de la varianza condicional. Por ejemplo, bajo un modelo GARCH(1,1) la predicción será

b

σ2T+1=ωb +bαu2_T +bβσ2_T

dondeu_T2 yσ2_T son conocidas en el periodoT.

Unintervalo de con…anzapara la variable analizada enT+1,rT+1,se

calculará teniendo en usando el valor predicho para dicha variable (_br_T+1) y

para su varianza condicional (_bσ2_T+1). Asumiendo normalidad, el intervalo

será

brT+1 zα

2 bσT+1

dondezα

2 =1.96 (paraα=0.05) ybrt+1 se obtiene de la ecuación de la

media condicional de un (MA(1)) como:

11 Evaluación de las predicciones de la volatilidad

Para evaluar la capacidad predictiva del modelo se procede de la siguiente forma:

1 Dividir la muestra en dos submuestras: (i) periodo muestral (tamañoT) y

(ii) periodo extramuestral (tamañoN) (que usaremos para comparar

nuestras predicciones con los datos reales).

2 Repetir la predicciónN veces usando una "ventana rodante" de tamañoT.

3 Medir el error de predicción en el periodo extramuestral usando alguna

medida de bondad de las predicciones como el error cuadrático medio (ECM)

ECM= ∑ N i=1ei2

N

dondeei =bσ2_T+i bu_T2_+i es el error de predicción para el periodoT+i,

i=1, ...,N. Dado que la volatilidad es inobservable comparamos la

predicción con una proxie como es el cuadrado del residuo enT+i, es decir,

b

u2_t+1,_bu_t2₊₂, ...,_bu2_t+n se utilizan como los valores reales de la volatilidad.

4 Repetimos las etapas anteriores para cada uno de los modelos que queramos

comparar. El modelo con mejor capacidad predictiva será aquel que presente

un menorECM.

12 Valor-al-Riesgo (VaR)

El VaR de una cartera se de…ne como la máxima pérdida esperada de la

cartera para una probabilidad dadaαy para un horizonte de predicción. La

gran popularidad que ha adquirido este instrumento entre reguladores y gestores de riesgo se debe a su simplicidad: el VaR reduce el riesgo de mercado asociado a cualquier cartera a un solo valor.

El Comité de Supervisión Bancaria de Basilea requiere a bancos e instituciones …nancieras que informen periodicamente del VaR de sus carteras y que mantengan las correspondientes provisiones de capital regulatorio como cobertura del riesgo de mercado en que están incurriendo. Por ejemplo, el VaR predicho para un periodo extramuestral hacia adelante y

al nivel de signi…cación del 5%, designado porVaR_T0.05₊₁, se de…ne como el

cuantil del 5% de la distribution de los rendimientos de la cartera. Bajo normalidad dicha medida se calcula como

VaR_t0.05₊₁ =_brt+1 z0.025 bσt+1