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Coordenadas Polares

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Academic year: 2020

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(1)

Coordenadas Polares

MAT022

(2)
(3)

Definiciones

 POLO: Origen (0,0)

 EJE POLAR: Eje X

 EJE NORMAL: Eje Y

 r: distancia dirigida de 0 a P

 : ángulo dirigido en sentido antihorario

Eje Polar

(4)

Pasar de

Coordenadas Cartesianas a Polares

x= r cos

y= r sen

x

(5)

Ejemplos:

 Escribir en coordenadas polares:

 P ( 5 , - 5 ) , Q ( 0 , 2 ) , R( -1 , 3 ) , S ( 3 , 4 ).

 Escribir en coordenadas cartesianas:

 P ( 2 ,  ) , Q ( 3 , /6 ) , R ( 3 , -/6 ).

(6)

Ya cuando uno se familiariza con las

coordenadas polares….

 …no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares: se hace directamente.

 Es muy sencillo si en el plano usamos como referencia

(7)

Importante!!!!

 En coordenadas rectangulares la

representación de un punto es única.

 Esto no sucede en coordenadas polares:

(8)

Esto es,

 ( r ,  ) = ( r ,  + 2 k ),

 ( r ,  ) = ( - r ,  + ),

 ( r ,  ) = ( - r ,  - (2 k+1) ),

(9)

Ejemplos

 Hallar las coordenadas rectangulares de:

o P(-2 , 4/3)

o Q (-3 , 11/6)

o R (-4 , 3/4)

o S(-2 , 5/3)

 Considerar todos los puntos que cumplen: r

(10)
(11)

Graficas Polares

 r = f() se llama ECUACIÓN POLAR.

 G={ ( x , y ) : x = r cos , y = r sen ,  Dom(f) }

 = {( f() cos  , f() sen  ) :



Dom(f)

}

Ejemplos:

 r = 2

  = /3

(12)

Definiciones Importantes:

 Función Acotada:

 r = f() es ACOTADA si M>0, t.q. |r| M,

Dom(f)  Simetría:

 Polar (X) : r() = r(-)

(13)

Simetría:

 Polar (X) : r() = r(-)

 O bien al intercambiar simultáneamente:

r  -r     -  la ec. no varia

 Normal (Y) : r() = r(-)

 O bien al intercambiar simultáneamente: r  -r    - la ec. no varia

- 

r

r

- 

r

(14)

 Polo (O) : la ecuación no varia al intercambiar:

(15)

OBSERVACIÓN:

 Cuando decimos que la ecuación no varia

estamos diciendo que se obtiene una de sus múltiples representaciones:

(16)

Estrategias para Graficar:

 Estudiar si la función es:

 Acotada

 Simétrica

 Periódica

 Cambiar a coordenadas cartesianas (no siempre resulta)

 Construir tabla

(17)
(18)

RECTAS

RECTAS QUE CONTIENEN EL POLO

=

(19)

RECTAS QUE NO PASAN POR EL POLO,

A UNA DISTANDO “d” DEL POLO

(20)

RECTAS HORIZONTALES / VERTICALES

r= d sec  r= d cosec 

Probar!!!!

(21)

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a”

CON CENTRO EN (a,

)

r=2a cos(

-

)

Ejemplo:

Graficar:

(22)

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a”

(23)

Ejemplos: graficar:

(24)

Estudiar las circunferencias que se

obtienen para ….

= 0

=

(25)

PARABOLAS / ELIPSES / HIPERBOLAS

 Se obtienen de la ecuación:

 e=1 : parábola  0<e<1 : elipse

(26)
(27)

CARACOLES O LIMONARES

Son de la forma:

r = a

b cos

r = a

b sen

Se diferencian, según:

|a| = |b| : Cardioide

(28)

CARDIOIDE

(29)

LIMACONES O CARACOLES

(30)
(31)

ROSAS

 Son del tipo:

 r = cos (n)

 r = cos (n)

 Donde n es un numero entero.

 Si n es par, entonces la grafica tiene 2n pétalos

(32)

ROSAS

r=2cos(3)

r=2sin(3)

(33)

Otro tipo de rosa…

Una rosa dentro de otra

(34)

LEMNISCATA

 Son de la forma:

r

2

= a sen (2

)

(35)

LEMNISCATA

r2=4sen(2)

(36)

Ejemplos: graficar:

r2=- 4 sen(2)

(37)

ESPIRAL

r= r=e

(38)

Ejercicios Propuestos:

 Graficar las siguientes ecuaciones polares:

a) r = 5

b) r = -3 cos 

c) r = 2 / (2 – sen )

d) r = 2 – 4sen 

e) r - 2 +5 sen  = 0

f) r2 = 3sen (2)

g) r = sen  + cos 

(39)

Intersección de Graficas Polares.

 Debido a que un punto en

coordenadas polares se puede representar de diferentes

maneras, debe tener cuidado al

determinar los puntos de

intersección de dos gráficas.

 Ejemplo:

 r=1-2cos()

(40)

Ejercicios Propuestos:

Graficar y encontrar los puntos de intersección:

 A) r = - 6 cos()

r = 2 – 2 cos()

 B) r = 2cos(2)

r=1

 C) r= cos(2)  r= cos()

 D) r = 3 cos()

r = 1+ cos()

 E) r = 3 sen()

r = 1+ cos()

 F) r2= -8 cos(2)

r = 2

 G) r = 3 /(2+ sen )

(41)

ÁREA EN COORDENADAS POLARES

=

=

r=f(

)

A

A

Si f es una

función

(42)

La pregunta es …

(43)

Teorema

Si f(

)= 0 y f’(

)

0 entonces, la

(44)

Ejemplos: Encontrar el área…

(45)

Ejercicios Propuestos:

 Encontrar el área…

 r= 2 cos (3)

(46)

IMPORTANTE!!!!

 La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no positiva.

Sin embargo, la fórmula no es necesariamente

(47)

Área de la región encerrada por las gráficas de dos ecuaciones polares r = f (

) y r = g (

)

=

=

r=f(

)

r=g(

)

A

(48)

IMPORTANTE!!!

 Encontrar los puntos de intersección de la curva

(49)

Ejercicio

 Hallar el área comprendida

en el primer cuadrante que es exterior a g() = 2 cos() e interior a f() = 2 sen()

Solución:

a) Intersección: Resolver la ec:

2 cos() = 2 sen() = / 4

b) Área:

f(

)=

2 sen(

)

(50)

Ejercicios Propuestos:

 Hallar el área fuera de la cardioide r = 2(1+cos() ) y

dentro de la circunferencia r = 6cos () .

Hallar el área común a las dos circunferencias r =

2sen () y r = 2cos () .

 Dadas las curvas (1) r = 2cos(3) y (2) r = 1.

 1. Hallar el área que encuentra en el interior de (1) y

exterior a (2)

2. Hallar el área que encuentra en el exterior de (1)

e interior a (2)

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