Coordenadas Polares
MAT022
Definiciones
POLO: Origen (0,0)
EJE POLAR: Eje X
EJE NORMAL: Eje Y
r: distancia dirigida de 0 a P
: ángulo dirigido en sentido antihorario
Eje Polar
Pasar de
Coordenadas Cartesianas a Polares
x= r cos
y= r sen
x
Ejemplos:
Escribir en coordenadas polares:
P ( 5 , - 5 ) , Q ( 0 , 2 ) , R( -1 , 3 ) , S ( 3 , 4 ).
Escribir en coordenadas cartesianas:
P ( 2 , ) , Q ( 3 , /6 ) , R ( 3 , -/6 ).
Ya cuando uno se familiariza con las
coordenadas polares….
…no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares: se hace directamente.
Es muy sencillo si en el plano usamos como referencia
Importante!!!!
En coordenadas rectangulares la
representación de un punto es única.
Esto no sucede en coordenadas polares:
Esto es,
( r , ) = ( r , + 2 k ),
( r , ) = ( - r , + ),
( r , ) = ( - r , - (2 k+1) ),
Ejemplos
Hallar las coordenadas rectangulares de:
o P(-2 , 4/3)
o Q (-3 , 11/6)
o R (-4 , 3/4)
o S(-2 , 5/3)
Considerar todos los puntos que cumplen: r
Graficas Polares
r = f() se llama ECUACIÓN POLAR.
G={ ( x , y ) : x = r cos , y = r sen , Dom(f) }
= {( f() cos , f() sen ) :
Dom(f)
} Ejemplos:
r = 2
= /3
Definiciones Importantes:
Función Acotada:
r = f() es ACOTADA si M>0, t.q. |r| M,
Dom(f) Simetría:
Polar (X) : r() = r(-)
Simetría:
Polar (X) : r() = r(-)
O bien al intercambiar simultáneamente:
r -r - la ec. no varia
Normal (Y) : r() = r(-)
O bien al intercambiar simultáneamente: r -r - la ec. no varia
-
r
r
-
r
Polo (O) : la ecuación no varia al intercambiar:
OBSERVACIÓN:
Cuando decimos que la ecuación no varia
estamos diciendo que se obtiene una de sus múltiples representaciones:
Estrategias para Graficar:
Estudiar si la función es:
Acotada
Simétrica
Periódica
Cambiar a coordenadas cartesianas (no siempre resulta)
Construir tabla
RECTAS
RECTAS QUE CONTIENEN EL POLO
=
RECTAS QUE NO PASAN POR EL POLO,
A UNA DISTANDO “d” DEL POLO
RECTAS HORIZONTALES / VERTICALES
r= d sec r= d cosec
Probar!!!!
CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a”
CON CENTRO EN (a,
)
r=2a cos(
-
)
Ejemplo:
Graficar:
CIRCUNFERENCIAS DE RADIO “a”
Ejemplos: graficar:
Estudiar las circunferencias que se
obtienen para ….
= 0
=
PARABOLAS / ELIPSES / HIPERBOLAS
Se obtienen de la ecuación:
e=1 : parábola 0<e<1 : elipse
CARACOLES O LIMONARES
Son de la forma:
r = a
b cos
r = a
b sen
Se diferencian, según:
|a| = |b| : Cardioide
CARDIOIDE
LIMACONES O CARACOLES
ROSAS
Son del tipo:
r = cos (n)
r = cos (n)
Donde n es un numero entero.
Si n es par, entonces la grafica tiene 2n pétalos
ROSAS
r=2cos(3)
r=2sin(3)
Otro tipo de rosa…
Una rosa dentro de otra
LEMNISCATA
Son de la forma:
r
2= a sen (2
)
LEMNISCATA
r2=4sen(2)
Ejemplos: graficar:
r2=- 4 sen(2)
ESPIRAL
r= r=e
Ejercicios Propuestos:
Graficar las siguientes ecuaciones polares:
a) r = 5
b) r = -3 cos
c) r = 2 / (2 – sen )
d) r = 2 – 4sen
e) r - 2 +5 sen = 0
f) r2 = 3sen (2)
g) r = sen + cos
Intersección de Graficas Polares.
Debido a que un punto en
coordenadas polares se puede representar de diferentes
maneras, debe tener cuidado al
determinar los puntos de
intersección de dos gráficas.
Ejemplo:
r=1-2cos()
Ejercicios Propuestos:
Graficar y encontrar los puntos de intersección:
A) r = - 6 cos()
r = 2 – 2 cos()
B) r = 2cos(2)
r=1
C) r= cos(2) r= cos()
D) r = 3 cos()
r = 1+ cos()
E) r = 3 sen()
r = 1+ cos()
F) r2= -8 cos(2)
r = 2
G) r = 3 /(2+ sen )
ÁREA EN COORDENADAS POLARES
=
=
r=f(
)
A
A
Si f es una
función
La pregunta es …
Teorema
Si f(
)= 0 y f’(
)
0 entonces, la
Ejemplos: Encontrar el área…
Ejercicios Propuestos:
Encontrar el área…
r= 2 cos (3)
IMPORTANTE!!!!
La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no positiva.
Sin embargo, la fórmula no es necesariamente
Área de la región encerrada por las gráficas de dos ecuaciones polares r = f (
) y r = g (
)
=
=
r=f(
)
r=g(
)
A
IMPORTANTE!!!
Encontrar los puntos de intersección de la curva
Ejercicio
Hallar el área comprendida
en el primer cuadrante que es exterior a g() = 2 cos() e interior a f() = 2 sen()
Solución:
a) Intersección: Resolver la ec:
2 cos() = 2 sen() ⇔ = / 4
b) Área:
f(
)=
2 sen(
)
Ejercicios Propuestos:
Hallar el área fuera de la cardioide r = 2(1+cos() ) y
dentro de la circunferencia r = 6cos () .
Hallar el área común a las dos circunferencias r =
2sen () y r = 2cos () .
Dadas las curvas (1) r = 2cos(3) y (2) r = 1.
1. Hallar el área que encuentra en el interior de (1) y
exterior a (2)
2. Hallar el área que encuentra en el exterior de (1)
e interior a (2)