Jairo A. Charrís Castañeda Bernarda Aldana Gómez Primitivo Acosta-Humánez
ALGEBRA
Fundamentos, Grupos, Anillos,
Cuerpos y teoría de Galois
ACADEMIA COLOMBIANA DE CIENCIAS EXACTAS. FÍSICAS Y NATURALES COLECCIÓN JULIO CARR120SA VAI.ENZUELA No. 16
Algebra
Fundamentos, Grupos, Anillos,
Cuerpos y Teoría de Galois
Jairo A. Charris Castañeda
Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Bernarda Aldana Gómez
Escuela Colombiana de Ingeniería
Primitivo Acosta-Humánez
Universidad del Norte
Bogotá, D.C.
Catalogación en la publicación Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Charris Castañeda, Jairo/ Aldana Gómez, Bernarda/Umanez, Primitivo
B. Algebra. Fundamentos, Grupos, Anillos, Cuerpos y Teoría de Gaiois
/ Jairo Charris Castañeda / Bernarda Aldana Gómez / Primitivo B.
Umanez - Bogotá: Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y
Naturales, 2013
X, 495 p il. (Colección Julio Carrizosa Valenzuela , No. 16)
ISBN: 978-958-9205-28-0 Obra completa
ISBN: 978-958-9205-83-9 Volumen
1. Algebra 2. Teoría de los grupos 3.Teoríade anillos 4. Teoría de Gaiois
© Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas yNaturales
Carrera 28A No. 39A-63, Apartado 44763, Bogotá, D. C., Colombia
República de Colombia
MINISTERIO DE EDUCACION NACIONAL
Esta Publicación se ha ñnanciado mediante la transferencia de recursos del Gobierno Nacional a la Academia Colombiana de Ciencias
Exactas, Físicas y Naturales
El Ministerio de Educación Nacional no es responsable de las
opiniones aquí expresadas
Impresión:
Editorial Gente Nueva
Tel; 3202188
Bogotá, D.C.
En memoria del maestro
Jairo Charris Castañeda
Sus discípulos Bernarda Aldana
Introducción
El texto que sigue es una elaboración y ampliación por los dos últimos autores de las notas de clase presentadas por el primero a estudiantes de los cursos de Algebra Abstracta (I y II) del Programa de Pregrado en Matemáticas de la Universidad Sergio Arboleda de Bogotá durante el período 2001/2002. Los Capítulos 1 a 12 del presente volumen corresponden al material publica do por los autores en [9], corregido y actualizado, está básicamente dedicado
a la teoría elemental de los grupos.
De hecho, sólo la segunda parte, Capítulos 2 a 8, fué presentada detallada
mente en las clases del curso Algebra Abstracta I. La primera pai-te, Capítulo
1, fué redactada para los propósitos de referencia, y contiene las nociones bási
cas indispensables para el resto del trabajo sobre la teoría de los conjuntos y
los sistemas numéricos clásicos (números naturales, enteros, racionales, reales
y complejos), incluyendo nociones elementales de aritmética. Esta primera
parte suministra, además de instrumentos, ejemplos concretos del material
más abstracto de las segunda y tercera partes, y puede constituir de por si
la base para un curso de un semestre sobre los temas citados arriba y sobre
la generación de estructuras abstractas. Es razonable suponer, sin embargo,
que su contenido es suficientemente bién conocido por los estudiantes del pri
mer curso de Algebra. La tercera parte, Capítulos 9 a 12, dedicada a grupos
y resultados especiales, es de un nivel más elevado que el de las otras dos y
fué incluida para beneficio de los estudiantes más sobresalientes del curso,
que pueden encontrar en ella técnicas y resultados relativamente avanzados
que, sin embargo, constituyen aún material indispensable para una
IV capItvi.o a. iNTiiooiJi.'rióN
sión aceptable de los métodos de la teoría moderna de los {grupos, y (jue. de ser cubierto totalmente en un curso, haría de éste un jirimer curso ai ni\'el de posgrado.
La segunda parte pretende familiarizar al estudiante con bus no<-iones y desa rrollos básicos de la teoría de los grupos (grupos, suLgrujios. subgru])os nor males, grupos producto y gi-upos cociente, honiomorfía e isoniorfía). con al gunas consideraciones sobre el problema do la existencia y las i)roi)iedades estructurales de los grupos abclianos finitos, y con un examen más o menos detallado de los grupos finitos de permutaciones, que no sólo suministran ejemplos significativos de grupos no aVielianos, sino que son indisi)ensal)lc>s en cualquier estudio serio tanto de estos últimos objetos como de inuclias
otras partes del álgebra moderna. También incur.sionamos en esta parte en
la teoría de Sylow en el caso conmutativo, más accesible de lo que lo os en
el caso general. La exposición de esta segunda parte es, dado.s sus objeti
vos, pausada, detallada y rigurosa: todos los resultados que se mencionan,
y sobre todo aquellos que son indispensables en desarrollo.s po.steriores. se
demuestran cuidadosamente. Hemos procurado que cada capítulo conten
ga al menos un resultado significativo y no del todo trivial, pues un primer
curso de álgebra, y especialmente uno dedicado a la teoría de los grupos, es
un marco excelente para ir familiaiúzando a los estudiantes con el poder y
omnipresencia del método deductivo en matemáticas y con algunas de sus
características más relevantes. Asimilar las nociones y resultados básicos
de esta parte es, como lo hemos mencionado, indispensable para cualquier
estudio posterior de la teoría de los grupos y, de hecho, para el de muchas
otras partes del álgebra. En particular, es indispensable para una buena
comprensión de la tercera parte.
Debemos advertir aJ lector que hemos dejado por fuera de nuestras
deraciones al menos dos capítulos notables de la teoría de los grupos. El
concerniente a las llamadas Series de Composición y los importantes resulta
dos de Schreier, Zassenhaus y Jordan-Holder sobre las mismas (aunque algo
mencionamos de ellas en el Capítulo 12), y el relacionado con los
denomi-narios Grupos Libres (sobre los cuales algo decimos en el Capítulo 11). La
razón para excluir estos temas tiene que ver con el grado de exigencia de. los
mismos. Del primero, no tanto en su desarrollo (al fin y al cabo, aplicaciones
c o n s i
-i
V
ingeniosas de los teoremas de isomorfía) como en su significado y objetivos (describir en forma precisa cualquier gnii^o en términos de lo.s llamados gru pos simples, algo que los principiantes pueden no estar listos para apreciai" en toda su tliniensión), y del segundo, no tanto en su significado y objetivos (construir, o lo que es equivalente, establecer la existencia de grupos sobre medidas), como en su desarrollo (notablemente abstracto: alfabetos, pala
bras, generadores y relaciones, etc.). De usarse el presente documento como base para un curso de posgrado, algo habría que hacer con respecto a estas
omisiones.
La cuarta parte contiene una presentación clásica de la teoría de cuerpos,
por lo que se hace en el contexto de los cuerpos numéricos y se omite, en lo
posible, el uso del Álgebra Lineal. En la quinta parte se estudian las estructu
ras abstractas básicas, anillos y cuerpos generale.s. así como sus propiedades
aritméticas, generalizando y unificando temas ya explorados para las estruc
turas numéricas. Se introducen los espacios vectoriales y se muestra cómo su
uso permite simplificar notablemente la demostración de muchos de los re
sultados precedentes. So termina con la teoría de Galois de los cuerpos finitos. Como iniciativa del segundo y tercer autores, siguiendo los lincamientos del
texto, se incluye un apéndice sobre la teoría de Galois diferencial desde un
punto de vista básico, el cual puede ser entendido por los lectores sin recurrir
a otro texto.
Cada capítulo contiene un número apreciable de ejercicios, la mayor parte
de los cuales se resuelve por aplicación directa de los desarrollos del capítulo
que los incluye y de los resultados más básicos de los capítulos previos. Al
gunos contienen ejemplos y contraejeraplos que es conveniente conocer. Es
razonable esperar que el lector intente resolver algunos de ellos, con el fin de
poner a prueba su comprensión del material tratado. Los más difíciles (en el
criterio de los autores, lo cual no deja de ser subjetivo) están marcados conun asterisco (*) y, a veces, con dos (**). En opinión de los autores, estos
ejercicios pueden omitirse en un curso de pregrado, pero sería aconsejable
que se los considerara siempre en uno de posgrado. (En general, un asterisco
previo a un lema, teorema, corolario, etc., indica que este presenta alguna
VI CArlruLo o. inthoovcción
un primer contacto con tal material.)
La presentación que hacemos (y que esporarno.s que ocupe un justo uiedio entre un texto divulgativo y un tratado sobre ln.s ostructur!i.s algehraiea-s abstractas, compartiendo las virtudes pero no los defectos de tal tipo de do cumentos) ha sido altamente influida por la de los excelentes libros de I. N.
Herstein [18] y[19]. De hecho, puede decirse que la nuestra es en esencia una
elaboración del material de estas obras, presentándolo en forma algo más de
tallada, con el fin de adaptarlo a las necesidades de nuestros est lidiantes y al
estilo de los cursos en nuestras universidades. Esperamos así haber
coninnica-do suficientes conocimientos técnicos sobre el toma para permitir autonomía
de pensamiento en el mismo sin pretender crear un erudito. Otros t.ext.o,s
han tenido también influencia, como es fácilmente detcctable, amuitie de una
manera mas local. Esto es evidente de los magníficos libros de T. W.
Him-gerford [20], S. Lang [24], J. Retinan [27] y[28], E. Artin [4], i. Kaplaiisky
[22] y B. L. Van der Waerden [32], aunque todos ellos son de mi nivel más
avanzado que el nuestro. También se han consultado, con grán beneficio, el
texto de J. F. Caycedo [8] ylas notas del curso que sobre la teoría de los gru
pos imparte el Profesor V. S. Albis en la Universidad Nacional en Bogotá [3],
q en agradecemos habernos puesto a nuestra disposición el contenido total
de las mismas, incluyendo material aún no publicado.
Hemos pr^urado que tanto la notación como la terminología sean las más
usur es. En cuanto a la primera, tal vez sólo las expresiones A - B o
, que indican que Ase define en términos de B, son algo exóticas,
ncuanto ala segunda, hemos preferido el lenguaje clásico, tal vez un poco
anticuado de los años 30 y40 del Siglo XX, antes de la Teoría de las Cate
gorías yel Algebra Homológica hicieran su impacto (a comienzos de los años
50).
Los dos últimos autores terminaron de escribir este libro como homenaje a
su maestro Jairo Charris Castañeda, después de su muerte, y agradecen a
los profesores Víctor Albis y Xavier Caicedo por la lectura del material y sus
valiosos aportes, correcciones y sugerencias.
I
í
Introducción
I Fundamentos
1. Conjuntos, funciones y sistemas numéricos 1.1. Conjuntos y funciones
1.2. Los números reales 1.3. Los números naturales
1.4. Números enteros y aritmética elemental
1.5. Los números racionales 1.6. Dos notaciones lítiles
1.7. Los números irracionales .
1.8. Los números complejos 1.9. Conjuntos finitos e infinitos
II
Teoría elemental de los grupos
2. Grupos 3. Subgrupos
vil
✓
Indice general
III
3 3 13 19 23 32 34 35 38 48
69
71
VIII iNiiiat: r:i:NKHAl.
4. Subgrupos Normales
5. Homomorfía e isomorfía 6. Los teoremas de isomorfía
7. Productos finitos de grupos 8. El grupo simétrico
III
Grupos y resultados especiales
9. Grupos de operadores
10.La teoría de Sylow
11.Grupos del tipo {p,q) y grupos diedros
12.Nilpotencia y resolubilidad
IV Teoría elemental de cuerpos
Extensiones algebraicas de los cuerpos numéricos
Constructibilidad: Extensiones y objetos construibles
15.E1 grupo de Galois de una extensión numérica
le.Extensiones Normales
17. El Teorema de Galois
IS.Extensiones Ciclotómicas y Relacionadas
19.Extensiones Radicales. Teorema de Abel
V
Anillos, cuerpos y tópicos especiales
20. Anillos y Cuerpos
n u m é r i c o s
103 111 121 137 149
173
175 189 201 217
241
243 297 311 321 329 333 339
349
351
21.Ideales
22.Propiedades aritméticas.
Anillos Factoriales, Principales y euclídeos 23.Dos ejemplos notables de anillos y cuerpos 24.Espacios Vectoriales y Módulos
25.Cuerpos Conmutativos 26. Cuerpos finitos
A. Teoría de Galois Diferencial
iNniCK CENKHM. IX
369
Parte I
CAPÍTULO 1
Conjuntos, funciones y sistemas numéricos
En este capítulo fijaremos el lenguaje fundamental, el de los conjuntos, y
revisaremos las propiedades básicas de los sistemas numéricos clásicos. Tra
taremos de ser breves, pues suponemos que las nociones aquí introducidas
son en alguna medida conocidas por los lectores, pero no sacrificaremos la
precisión necesaria.
La presentación que daremos se inspira en diversas fuentes, que no excluyen
el Libro I del tratado de Bourbaki [7] (véase también [14]), pero es mucho
más informal y muy cercana a la dada en [10], aunque más elaborada en
ciertos puntos.
1.1.
Conjuntos y funciones
La noción matemática básica es la de conjunto. Los conjuntos son agru
paciones o colecciones de objetos que deseamos considerar a su vez como
objetos autónomos. Los representaremos usualraente con letras mayúsculas
A, B, C, D, B, F, G, X, y, Z, etc. Es también frecuente referirse a ellos
como clases. Si X es un conjunto, a G X significará que a es un objeto, un
elemento, o un miembro de X, y se dice que a pertenece a X
Si a no es
CAPÍTULO 1. CONJUNTOS. FUNCIONES Y SISTEMAS NUMÉllIfOS
lee X está contenido en Y, significará que iodo objeto de A' rs Inwhirii un objeto de Y. Se dice entonces que X es un suhconjuntu de V. es usual escribir también Y X, y expresarlo diciendo que Y contiene a X. La notación
X ^ y, o lo que es lo mismo, la V ^ X, indicará que X no <'s un subcoiijunto
de y, y será equivalente a afirmar que existe a 6 X tal qxie n ^
Aunque a veces se les da un significado diferente (véase, al resjjet fo. [23],
Apéndice), y aunque preferiremos el término conjunto, nosíjtnjs considera
remos que los términos clase y conjunto son sinónimo.s. Sólf) nsarcinos es
porádicamente el término clase y usualmente en el contextcj fie conjunto de
conjuntos (parece más elegante hablar de una clase de conjuntos).
Dos conjuntos X, Y son iguales^ X = y , si tienen los misino.s clenicntos. es
decir, si X C y y y c X. Si X y y no son iguales, es decir, si X ^ Yo
y ^ X, se dice que Xyy son diferentes, yse escribe Xft=Y.
Si a es un objeto, {a} denotará el conjunto cuyo único elemento es a. Así,
si A—{q} , X^ a si ysólo si x = a. Debe distinguirse entre el objeto a
yel conjunto {a}. Si a,b son objetos, denotaremos con {a,b} el conjunto
cuyos únicos elementos son a y 6, así que B = {a, b} significará que xe B
sx ysolo szx = aox = b. Si a = bysólo en este caso será {a, b} = {a} .
e a misma manera, si ai.aa,
son objeto.s, A = {ni, «a,
deno
ta^ el conjunto^cuyos elementos son ai, aa,..., a,,. Entonces xG Asi ysólo si
3:
^ po^ra algún i = 1,2, ...,n. Si P (a;) es una condición sobre una variable
Xyexiste un conjunto Atal que a GAsi ysólo si P(a) es una afirma
ción verdadera, usaremos las notaciones A= {x :P(x)} oA= {x : P(x)}
para representar tal conjunto. Se dice que Aes el conjunto de los objetos
que verifican P{x) yque P{x) es una relación colectivizante, es decir, que
forma conjunto. Véase, ai respecto, la nota relación colectivizante 1.5. Así,
{a} = {x : X= a}, {a,b} = {x :X= a ox= b}, de tal manera que "a: = o"
y "x = aox = b" son colectivizantes. Si P {x) es una condición en a; y X
es un conjunto, admitiremos que el conjunto A de los objetos que verifican
la condición x GX y P {x)" siempre existe y es un subconjunto de X; es
decir, admitiremos que x GX y P (a:)" es siempre colectivizante. En lugar
de A= {i : a: € X y P(ar)} es corriente escribir A= {a; € X : P (.r}}.
J.;. CONJUNTOS Y FUNCIONES
Douiotaremos con 0 el cory'imío vacío, el cual es un conjunto sin elementos. La razón de introducir un conjunto vacío es en muchos aspectos análoga a
la de introducir el número O en la aritmética elemental. Permite además in
terpretar O, en forma semejante a 1. 2, 3. etc., como el número de elementos (cardinal) de un conjunto: Oes el número de elementos de 0. Evidentemente 0 es un snbconjunto de cualquier conjunto A (pues de no ser así, existiría
a G 0 tal que a ^ A, lo cual es absurdo). Esto asegura que existe un único
conjunto víicío (pues si hay dos, 0 y 0', con el mismo argumento anterior se
verifica que 0 C 0' y 0' C 0). Decir que A = 0 es equivalente a decir que no
existe, ningún objeto a tal que a G A. A su vez, A 0 garantiza la existencia de un a G A. Claramente A = 0 si y sólo si A C 0. Si no existe un objeto
a tal que P (a) sea verdadera, admitiremos que P (a;) es colectivizante y que
{a:: P(.x)} = 0-
ejemplo, {a- : x yí x} = 0. Si A y B son conjuntos,
AUB (la unión de A y B) será el conjunto de los objetos que están al menos
en uno de A o B, esto esAUB = {x:a;GAoa;€B},ya:€AuBsiy sólo
si X € A ó x G B. A su vez, AflB {la intersección de Ay B) será el conjunto de los elementos comunes a A y B, esto es A n B = {x : x € A y x 6 B}, y
X G A n B si y sólo si x G A y x 6 B. Si A n B = 0, se dice que Ay B son
conjunios disyuntos. Claramente ACAuByBCAuB, AnSCAy
AHB C B.
Otras propiedades son:
1. AUA = A, AnA = A, AUB = BUA, AnB = BnA, AU0 = A, An0 = 0, 2. A U B = A si y sólo si B C A,
A n B = B si y sólo si B C A,
3. AU(BUC) = (AuB) UC, An(Bnc) = (AnB)nc,
4. A U (B n C) = (A u B) n (A U C),
A n (B u c) = (A n B) u (A n c).
Si A y B son conjuntos, A \ B, la diferencia de A y B, el conjunto A menos
B, o el complemento de B en A, será el conjunto de los elementos de A que
no están en B, esto esA\B = {xGA:x^B},yxGA\Bsiy sólo si
XG A y X ^ B. Claramente A-nA = 0, A\.0 = A, A\B==A\(AnB),
6 CAPITULO I. CONJUNTOS. FVNCIONf-S Y SISTBhIAS NUMHUICO."
si y sólo si A Q X \ B. Además,
1. X -V (A u 5) = (X \ A) n (X \ D).
2. X \ (A n S) = (X S. A) U íx X B). (1.2)
Verificaremos la segunda de tales igualdades: si x ^ X ^ (AnB) enton
ces re e X y X ^ (A n B), así que x e X y r ^ A o ./• ? B: esto es
x€X\Aox€X\B, y entonces x € (X \ A) U (A' \ B): re<
íproeamen-te, si X € (X x A) U (X \ B), se tendrá que x € X \ A o ./ € A' \ B. de lo
cual xsXyx^Aox^B; esto implica que x ^ X y .r ^ (A n B]. cío lo
cual X € X (A n B).
Definición 1.1. Si a y 6 son objetos,
(«.í-):» {{«},{«,;;}}
(1.3)
será la pareja ordenada de primera coordenada a y segunda mordcnada b.
Teorema 1.1. (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b= d.
Demostración. La condición es obviamente suficiente. Para ver cjue es nece
saria, supongamos primero a = 6, así que (a, ¿)-{{a}}. Conio{r,d} e (o, i),
será {c, d} = {a}, así que c = d = a. Esto implica a = c y b = d. Supon
gamos ahora a ^ b. Claramente {a) = {c}, así que a = c. Por otra parte
{a, 6} _ {c, d}, así que d = a o d = b. Pero, si fuera d = a se tendría que
d—c, de lo cual, por el argumento anterior, sería a = b= c = d. Entonces
d
a, y deberá ser d = b. •
Se deduce que, en general, (a, b) ^ (6, a). De hecho, (a, h) = (i, a) si ysólo
SI a = 6.
Definición 1.2. Si X y Kson conjuntos, el conjunto
X xY := {(x, y) :xeX, y € ¥}
se denomina el producto cartesiano de X y K.
Evidentemente 0 xY = X x 25 = 0. En general X xY ^Y x X.
(1.4)
i
j.i. CONJUNTOS Y PUNCIONES
Si rti.a2i •••r Oti íson objetos, n > 2. se define •'inductivamente"
(rti.fl2 «n) = ((Ol- Ct2 «n-l) : Qn) • (1.5) El conjunto (oi, ^2, o„) se denomina la n —pía ordenada de coordenadas
01.02 «n- En particular, {aj),c) — {{a,b).c) será la tripla ordenada de coordenadas a, b, c. Como es natural, diremos que la pareja (a, b) será la du
pla, ordenada de coordenadas a. b. Se tiene que (oi, oo,....Qn) = (6], 62,.... 5n)
si y sólo si ot = ^1' "2 = ^2
Si Xi, X2,Xn, n > 2, son
conjuntos. Xi x Xt x ... x X„ será el conjunto de las n—pías ordenadas
(xi,X2,...,.r„) donde x,- e Xj, i = l,2,...,n. Si n > 2, podemos considerar
que Xi X X2 X ... x Xn = (Xi x X2 x ... x X„_j) x Xn.
Definición 1.3. Un subconjunto G de X x V se denomina una gráfica. Si
G C X XK es una gráfica y x GX, el corte de G con x, G (x), es
G (x) := {y e V ; (x, y) € G}.
(1.6)Definición 1.4. Si G C X x V es una gráfica, se dice que la tripla
R = (X, G, V) es una relación entre elementos de X y de Y. Se dice en
tonces que G es la gráfica de R. El conjunto X se denomina el conjunto
de definición o de paHida de R y Y, el de llegada. Si (x, y) e G, es usual
escribir xRy y decir que x y y están relacionados por R.
Los conjuntos
Dom (B)
{x e X : G(x) ^ 0}, Cod (ñ) := |J
ISA'
(así que Dom(B) = (x e X ; existe y GV con (x, y) GG } y Cod(B) = {y G
Y : existe x G X con (x, y) G G}), se denominan respectivamente el dominio
y el codominio de R. Si para todo x G X, G (x) es vacío o se reduce a un
punto, se dice que G es una gráfica funcional y que R es una relación fun
cional. Esto equivale a decir que no existen en G dos parejas distintas con la
misma primeracoordenada, o, lo que es lo mismo, que si xRy y xRy' entonces
8 CAPITUIO J. conjuntos, funciones y sistemas NÜMÉmroS
Definición 1.5. Si / = {X, G, Y) es una relación funcional y I )oni (/) = .Y. se dice que / es una aplicación o una Junción de A' «-n V.
Si / = (X,G,y) es una función de X en Y, es usual e.sei ibir sinipleniente
/ : X —> Y, sin mencionar a G. La razón para esto radica en (|ue G' puede
describirse fácilmente en términos de /. En efecto, para lodo
€ A'. 6'(.r)
tiene un único elemento, el cual se denomina la imagen di .r jior f y se deno
ta con f{x), así que G {x) = {/(z)}, y entonces G = {(.í-./(.r)J ; .r e A'}.
Intuitivamente, una función f : X —y Y es una ley que n nidn ./• € A asigna
un único elemento f (z) £ Y (una máquina que transforma a .r en / (./")). La
noción de función que hemos dado, aunque menos "dinámica" (lue csia in
terpretación intuitiva, contiene, sin embargo, toda la informacii'ui pertinente
acerca de ésta: conjunto de definición, conjunto de Ihígada. gj-áfica. dominio,
codominio, etc. De hecho, cuando a una persona se le iiide ípic lial)lc de una
función, su primer impulso es generalmente el de fijar su dominio \- dibujar
su gráfica.
SiAcjí", BC.Y yf :X~^Y es una función,
/(^) •={f{x)eY:xeA},
/-I (B) := {:v 6 X :/ (.<:) € B}
se denominan respectivamente la imagen directa de Ay la, imagen ivcíproca
eBpor /, Obviamente ye / (yl) si ysólo si existe x e Atal que y = f (.f)
(lo cual no excluye que exista x'^ Atal que y=/ (x') .así que J (s) € f (A)
no garantiza que x£A),yxe f
(B) si ysólo si / (.t) e S.
Es elaro que Dom (/) = /-l (y) yCod (/) = / (X). Es costumbre ei. este
uno caso denominar también a / (X) la imagen o el recoiTÍdo de / y
denotarlos con Im (/). Si Im(/) = y, se dice que / es sobreyectiva. Decir
que / es sobreyectiva equivale entonces a decir que todo elemento de Y es la
imagen de algún elemento de X, es decir, que para todo y eY existe x € X
tal que y = J (x).
SiB = {b}, es frecuente escribir simplemente f-^ (6) en lugar de
(B) (o
sea, de /
({íí})). Esto puede ser causa de confn,sión y lo evitaremos, pero
es una práctica usual.
/.J. CONJUNTOS Y f u n c i o n e s 9
Si a GDom(/), se dice que / está definida en a; si A C Dom(/), que / está definida en A o sobre A.
Si / : X —t Y y g : Y —> Z, g o f : X —> Z es la función dada por
gof{x):=gif{x)), x£X. (1.8)
Si / = (X, G,Y) y g = (V, G', Z), la gráfica de y o / se denota con G' o G.
Nótese que
G'oG = {(-r.5(/(z)))::rGX}
y g o f = (X, G' oG,Z). Se dice que y o / es la función compuesta de p y
f y que G' o G es la gráfica compuesta de sus respectivas gráficas.
Si G C X X y es una gráfica,
G-^:={(2/,.r):(x,y)€G}cyxX
(1.9)es también una gráfica, denominada la gráfica inversa de G. Si ñ = (X, G, Y),
/j-i ;= (Y^ G~^,X) se denomina la relación inversa de R. Si / = (X, G, Y)
es una función y G"^ es una gi-áfica funcional, o sea, si {y,x), {y,x') G G~^
implican x = x', o, lo que es lo mismo, si f {x) = f (z') implica z = z', se
dice que / es una aplicación o una/unción inyectiva de X en Y. Aún si / es
inyectiva, puede ser que /"' = {Y,G~^,X) no sea una función, pues puede
suceder que Dom (f'^) —/ (X) ^ Y.
Si tanto / como /"^ son funciones, lo cual ocurre si y sólo si f es tanto
sobreyectiva como inyectiva, en cuyo caso se dice que / es biyectiva, f~^ se
denomina la función inversa de /. Nótese que entonces y = f {x) es equiva
lente a f~^ (y) = x. Además, f~^o / (z) = z y /o
(y) = y, cualesquiera
que sean x € X, y &Y.
Si Z es un conjunto, Az = {{z^z) : z e Z} se denomina la diagonal de Z (o,
más precisamente, de Z x Z). Evidentemente Az es un gráfica funcional,
e
= {Z,Az,Z) es una función, que se denomina la función idéntica de
Z. Nótese que iz{x) = x para todo x G Z. Como es claro,
= Az e
IQ CAPITULO 1. CONJUNTOS. FUNCIONES YSISTEMAS NUMEHICO.I
/
^ es también biyectiva y (/ ') ' = /.
Nota 1.1. Al definirlos, hemos admitido unph'ritfnnr jiir i¡iii (¡urniifiziida la existencia de los conjuntos X,Y y de los objetos a.b. padmios yaniulizar la existencia de los conjuntos X UY, X nV, X \ V. {o}, {(i.lij.
X X Y, etc. También hemos admitido, monos evidontcincnt»'. (¡ne si X y Y son conjuntos no vacíos y existe alguna regla que a rada rletnenio .r € A' asocia un único elemento t{x) de Y, existe entonces f : A' —> >' tal que / (x) = t{x). En efecto, podemos formar, según lo diclio en el cuar to parágrafo de esta sección, el conjunto G = {f-r,/y) : [.r.g) € A" x Y y
y = t(x)} = {{x,y) 6 A' X r : 1/ = t{x)} y la tripla (A', G'. Y).
Nota 1.2.
La notación /"^ para la función inversa de / puetle ser cau
sa de alguna confusión. Por ejemplo, de acuerdo con la j)ráetica usual, si
b € Y,
(6) denota a la vez el conjunto /"' {h) y a su único elemento.
Espe-ramos que el contexto evite siempre esta posible confusión. .Análoga
mente, es quizá má.s natural llamar corte de una gráfica G Q X x Y con
un punto a: € A' al conjunto {x} x G{x) que al G{x) (hága.se un dibujo),
pero las convenciones de lenguaje son difíciles de cambiar. Además, G (x)
es más útil que {x} x G(x}. Si A" es un conjunto, / = (0,0. A) es una
aplicación inyectiva de 0 en A (pues no existen x, x' e 0, x / x' tales que
/(^) = / S i A = 0, / =
= Í0 es la única aplicación de 0 sobre
sí mismo, y es biyectiva.Nota 1.3. Sii2=(A',G,y) es una relación y = (y,
A) es su
i-ela-ción inversa, es claro que Dom{R-^) -Cod(ñ) y que Cod(ñ^') =Dom(i?).
Para una relación R = (A,G',y) puede suceder que G (x) = 0 para algún
Xe A (en cuyo caso x 0 Dom(./?) y Dom(i?) 7^ A) o que G (x) contenga
más de un punto. En general Cod (R)
Y, aún si R es una función. Si R
es una relación funcional, (Dom (R), G, Y) es una función.
Nota 1.4. Sean A, Y conjuntos, A 7^ 0 ^ y. Entonces podemos garantizar,
según lo dicho en la nota 1.1, que existen aG X y beY, délo cual, también
(a,b) € A X y, así que A x y 7^ 0. Recíprocamente, si A x y 7^ 0, existe
(a, 6) 6 A Xy, de lo cual a G X, b G Y, y entonces A 7^ 0 7^ y. Induc
tivamente se verifica también que sí n > 2, Ai x ••• x A„ = 0
y sólo si
i
l.l. CONJUNTOS V FUNCIONES 11
Xi = 0 para algún i = 1,2 n.
Nota 1.5. La noción intuitiva de conjunto, tal como la hemos presentado hasta el momento (véase [17] para un tratamiento similar) puede conducir a inconsistencias (contradicciones) desagradables . Por ejemplo, el suponer descuidadamente que cualquier relación es colectivizante implica en particu
lar que la relación .r ^ x lo es. lo cual nos lleva a hablar del "conjunto"
A = {x •. X^ .x}, el cual conduce a la contradicción A G A sí y sólo si A ^ A.
Naturalmente, podemos salir del impase diciendo simplemente que x ^ x no
es colectivizante, así que no exi.ste un conjunto A tal que a € A si y sólo si
a ^ a. Pero entonces ¿es colectivizante la relación x = x? Es decir, ¿existe
un conjunto A tal que A = {x : x = .t}? El admitirlo, de hecho, nos lleva
también a contradicciones. Para evitar esta incertidumbre, lo más convenien
te es imponer ciertas limitaciones a la noción intuitiva de conjunto, lo cual se
hace exigiendo que éstos satisfagan ciertas restricciones, llamadas axiomas
o postulados de los conjuntos.
Uno de estos axiomas es el siguiente, que no
sólo evita ciertas contradicciones, sino que tiene otras consecuencias útiles
(véase el Ejercicio 1.11):
Axioma de los conjuntos (A.C.). Si X es un conjunto, X ^ 05, existe
A G X tal que A Pl A = 0.
Por ejemplo, del axioma (A.C.) se deduce que si A es un conjunto entonces
A ^ A. En efecto, si A e A y A = {A}, no podría existir B € A tal que
B n X = 05, pues necesariamente serían B = AyBnA = {A} # 0- Tal
axioma implica de piiso que dado un conjunto A siempre existe un objeto a
tal que a ^ A (tómese a = A), lo cual puede ser importante. Del Axioma
(A.C.) se deduce que la relación x ^ x no es colectivizante. En efecto, si
A = {x : X^ x} fuera un conjunto, dado que A ^ A, se tendría que A € A,
lo cual es absurdo. De la misma manera se verifica (Ejercicio 1.11) que x = x
no es colectivizante. Nosotros no proseguiremos esta discusión, la cual es el
objeto de las teorías axiomáticas de los conjuntos (véanse [7], [12], [23], [30].
Definición 1.6. Si A es un conjunto, el conjunto de los subconjuntos de X
es12 CAPÍTULO I. CONJUNTOS. PUNCIONkS YSISTKMAS NrMp.lll'-< >>
Claramente 0, X 6 p{X), con p{0) = {0}. l-H conjuniti ^- í .V) se conoce,
también como el conjunto de las parles de X.
Definición 1.7. familia de conjuntos ron índjris m i! ronjunto Ies
un aplicación f •. I
C, donde C es mi conjunto (chusr) de conjuntos. Si
Ai = f (z), es usual escribir / =
(/l,),c/-Si (Ai)ie/
familia de conjuntos, (Jj?/''i-
mnón d< los .1,) será el
conjunto de los elementos que están al nuíiios en uno de los .1, (cc»n U.e/ ~
0 sil = 0). Decir entonces que x € (Jig; Ai es cquivalciilc a decir (ine existe
¿ e / tal que a; € A^. A su vez, si / 7^ 0,
,-1, (In inlrrstrrión de los
Ai) será el conjunto de aquellos objetos que están en I<kI<js k)s .1,, y decir
que X €
Ai es equivalente a afirmar que x 6 /l, jiara i<k[o i & I- Las
relaciones
1. x^[jiei^i =
a^í(^^^')-2. Xr\i^, Ai = \Jia {XA,).
válidas si / ^ 0^ y conocidas como leyes de De Moif^an, serán útiles en
el futuro. Verificaremos la primera de ellas. El argumento es típico de
los usados para este tipo de comprobación: sea x £ AT x U/e/
entonces
^ ^ X y X^ Uie/ Ai, así que x GX y, para todo i e I, x ^ An entonces
^ ^
Ai para todo i e /, y será x E nie/ iX \ A¿); recíprocamente, si
^ ^ Hte/ (A \ Ai), será x € X \ Ai pai-a todo i € I, y, por lo tanto, x &X
y. para todo í £ /, x ^ Aí; se concluye que x £ X y .x i U¿e/
"í"®
Nota 1.6. Tal como en la Nota 1.1, admitimos que al definir un conjunto a
partir de ciertos objetos o de otros conjuntos, este conjunto existe (aunque
puede ser vacío). Así, si X es un conjunto, g3(X) existe y es un conjunto, y
SI / y los Ai, i El, son conjuntos, también y
Ai y flís/ Ai son conjuntos,
éste último si J
0. Si / = 0, fj^^^Ai no está definido; sin embarga,
frecuentemente se conviene en darle cierto significado: por ejemplo, si todos
los Ai son subconjuntos de un mismo conjunto X, es usual (y en cierta forma
natural) tomar Ai
—X (pues si X£ X, no existe i E I tal que x ^ Xi).
i
I.S. LOS NUMEfiOS REALES 13
1.2. Los números reales
Supondremos que el lector está familiarizado en alguna medida con las pro piedades ijásicas del sistejyia (K •, R+) de los números reales. Este sistema se define pidiendo en primer lugar que la adición (-I-) y la multiplicación (•) sean leyes de composición interna en R, el llamado conjunto de los números
reales (es decir, que sean aplicaciones de R x R en R). Así que x -i- y y x • y
(es también costumbre escribir xy en lugar de x • y) son números reales si
X y y lo son. Se pide además que existan en R dos elementos privilegiados
distintos O y 1 tales que
X -I- O = X, X • 1 = X, X £
que para todo .r £ R exista (—.t) £ R tal que
X -f (—x) — O
y también, cuando x
O, exista x~^ tal que
X • x"^ = 1.
Se pide finalmente que tales leyes satisfagan las relaciones
1. X+ {y + z) = {x+ y) + z,
2. X -l- y = y -f X,
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
3. X • (y z) = (x • y) • z,
4. x-y = yx,
5. X • (y 4-2) = X • y-j-X • 2. (1A7)
Se dice entonces que O es el elemento neutro aditivo y que (—x) es el inver so aditivo de x. La ecuación a -f x = 6 tendrá entonces la única solución
X ~ b + {—a.) (la cual se denota también con b —a), pues a -I- (6 -h (—a)) =
((j q- (—a)) + b = 0 + b = b, de \o cual c = 6 —a es solución. La unicidad
resulta de observar que si también a + c = a d- c', entonces c = c', ya que
_ (_a) + (a 4- c) = ((—a) 4- a) + c' = O4- c' = (4, lo cual se conoce como
14 CAPÍTULO I. CONJUNTOS, FUNCIONES Y SISTEMAS NUMEHICuS
Dea-(0 + 0)=a-0 + a- 0 = a- 0se deduce que a •ü = O cualíiuiera <|U(í sea a G M (pues ambos, a •O y O resuelven la ecuación «•() + .;• = n •[)). Millonees (—a) b = —ab, ya que ambos (—a) b y —ah son soliu-ioncs rlr> ah + .r = 0. De
la misma manera a (—b) = —ab, y también (—n) {—b) = nh. \-a tiiu' ambos re suelven (—a) b+x = 0. Por otra parte, x-y Osi x 7^ Oy y 7^ íl. }>u<'S .r-y = O
implica, si y
O, que (x-y)
= Q• y"' = O = x • (y • y~') = .r • 1 = x.
Esto garantiza que (•) es una ley de composición interna en R' = {0} (es decir, una aplicación de K* x K" en R*). Si rz € R*. lo. rmución nx = b
tendrá entonces la solución única x = ba~^ = a'^b (físcrita también e =
-^ a
o c = b/a). En efecto, a(a~^6) = {aa~^)b = \h = b, y si también <¡c = (ic^
entonces c = a ^(ac') = (a ^á)d = d (propiedad mncclativa di' la iim
cación). Nótese que si a 7^ Oentonces a/a = 1 y l/« = o"'. Adeimís. si
a 7^ Oentonces a~^ 7^ O(pues a •a~' = 1 7^ 0) y (a"')"' = u, pues ambos re
suelven a-'^x = 1; y si también b^O, entonces (a6)"' = /í-'o"'. pues
y (¿26)"^ son ambos solución de (ah}x = 1. Se dice cine 1 es el vlnucnto
neutro multiplicativo y, s\ a ^ O, que a~' es el inverso multiplirativo de n.
Las relaciones (1.12) a (1.17) se conocen como los axiomas alycbraico.s de
R. La estructura de orden de Mestá determinada por el conjunto R+ do los
números reales positivos. Si para A, B C E definimos
A + B
AB - A
= {x y. X e A,y e B) , = {xy : X € A,y e B} ,
—{—X : X ^ A) ,
se pide que el conjunto R+ tenga las propiedades fundamentales siguientes:
1. 2. 3. 4.
í+n (-iR^) = (o},
^= R+U(-R+),
-bR+ C'IR+, 1+R+ C M+.
(1.18)
Estas relaciones se conocen como los axiomas algebraicos del orden de R
(posteriormente daremos otro axioma de orden, de naturaleza más compleja).
Si a, 6 € R, la notación a < b (léase a es menor o igual que b) significará que
6- a 6 R+, y la a > 6 (léase a es mayor o igual que 6), que b < a. Como es
claro, a > Oequivale a que a 6 R+. Decir que a € (-R+) es equivalente a
l.S. LOS NÜMBnOS REALES 15
decir que a = —6. h G R+, o, lo que es lo mismo, a que —a € R+: esto último eqiiivalo. dado qvie —o = O—a. a que a < O, y se dice en tal caso que a es un número real negativo. R_ := (—R+) se denomina el conjunto de los números reales negativo.^. Es útil recordar que st a G R entonces a G R+ o a € R_, y que a G R_ si y sólo si {—a) G R+. a G R+ si y sólo si (—0) € R— Las dos primeras propiedades en (1-18) se traducen en
1. Sia<0ya>0, entonces a = 0.
2. Si a G R, entonces a < O ó a > 0. (1.19)
Las dos últimas se sintetizan en
Si a > O y 6 > O, entonces a -t- 6 > O, ab >0. (1-20) Las afirmaciones en (1.19) son aún respectivamente equivalentes a las
Si a < 6 y 6 < a, entonces a —b, (1-21)
Dados a, 6 G II
lo cual se verifica inmediatamente.
a < b ó b < a, (1.22)
Teorema 1.2. La relación < tiene además las siguientes propiedades: (1.23)
y o ^ c, enionces a ^ c,
cualesquiera que sean a, b, c en R.
1. a < a,
2. Si a <h y b <c, entonces a <c,
Demostración. (1) es clara, pues a —a = O G R+. Ahora, las hipótesis de
(2) garantizan que b-ay c-6 están en R+, y como c-a = (c - 6)-|-(6 —a),
(1.20) asegura que c—a GR+. •
Nota 1.7. Las afirmaciones (1.21) y (1.23) expresan que < es una relación
de orden. Si se añade (1.22), esta relación es lo que se conoce como una rela ción de orden total o un orden lineal (dos elementos cualesquiera de R están
16 CAPITULO I. CONJUNTOS. FUNCIONES Y SISTEMAS NUMF.HK'DS
Nota 1.8. Para un número real a se tiene que a € R, o (—f/) e R +. Esto implica que = a • a € 1R+, pues = a • a = {—a) {—o). En j)aiti<-ular, 1 = 1 • 1 € R+. Nótese que si a € (—R+) y 6 6 R+ entonc-es a < h (pues a < O y O < 6).
Nota 1.9. Si a, € R, a < 6 (léase a es estrictamente, menor que h) sifíuifica
que a < b y a ^ b. Como es claro, a <b si y sólo si a < b o o = b. lin lugar
de a < 6 es también corriente escribir b > a (Iéa.se b es estrictaiiu'iife mayor
que a). Si a > O, se dice que a es estrictamente positivo. Si o < U. (lue a es
estrictamente negativo.
Si A es un subconjunto de R, un elemento a de R tal cjue a > .r juira todo
X & A denomina una cota superior de /I (si a < x para foílo ./' 6 -4. o es una cota inferior de A). Si a € .4 y es cota superior de 4, .se dice (pie a es
un máximo de A (un mínimo si a 6 4 y es cota infericu- de .A). Si a. b son
ambos máximos o mínimos de 4, a < 6 y 6 < a, así que a = h. Es decir, un conjunto A tiene, si lo tiene, un único máximo: máx4 [y, también un único
mínimo: mm4). Si a, 6 e R, es claro que máx{a, 6} = a o máx{n,^} = b.
De igual manera, mín{a, b} = a o mín{a, 6} = b.
Si 4 C M, 4"*" denotará el conjunto de las cotas superiores de 4 y 4" el de
sus cotas inferiores. Decir que a 6 4"'" (respectivamente, a. G 4~) e.s equi
valente a decir que no existe 6 e 4 tal que a < b (respectivamente.
< o).
Por ejemplo, R"^ = Rj = 0 (si a e R, no puede ser a > x para todo .r G R+,
pues serían a G R+, a-i-l6R+ya-f-l<a, lo cual es absurdo). También
R~ = 01 y 0"^ = 0~ = R (pues dado a G R, no existe b € 0 tal que o < /; o
6 < a). Por otra parte, (-R+)+ =
R- =
y Oes máximo de (-R+)
y mínimo de R+.Definición 1.8. Si 4 C M y >1+ ^ 0^
se dice que 4 es acotadosuperi.or-mente (respectivasuperi.or-mente, inferiorsuperi.or-mente, si A'
0). Si 4+ ^ 0 ^ 4~, se
dice que 4 es acotado.
Teorema 1.3. Un subconjunto 4 de R es acotado si y sólo si existe a >Q
tal que —a < x ^ a para todo a; G 4
i
7 8- LOS NÚMEROS REALES 17
Demostración. Supóngase que 4 es acotado. Si 4 = 0, sea a = 1 (como no existe x G 4 tal que a: > 1 o que x < —1, entonces —1 < a: < 1 para todo X G 4). Si existe .r G 4. sean c G 4^, d G A~. Como d < x y c> x entonces d < c. Sea entonces a el máximo de {—d,c} : a = máx{—d,c}. Como c < a, es claro que .r < a para todo a* G 4. A su vez, —x < —d < a para todo x G 4, así que x > -a para tales .t. Lo recíproco es trivial. •
Definición 1.9. Si ci G R, el valor absoluto de a es |al := máx{a, —a}. Nótese que si a € R, n < máx {a, 6} , 6 < máx {a, 6} . Como la| —máx {a, —a} ,
es claro entonces que a < |a| y —a < |a|. Por lo tanto,
1. —|a| < a < |a|.
De 1, se deduce que ¡ai > - |a|, de modo que 2. lal > 0.
Evidentemente |0| = máx {0,0} = 0. Por otra parte, de 1, se tiene que si
lal = O entonces O < a < O, de modo que que a = 0. En resumen, 3. |a| = Osi y sólo si a = 0.
Como máx{— (-a), —a} = máx {a, -a} , se tiene que
4. |—a| — |a|.
Si ¡al < b entonces máx{—a, a} < b, así que —a < 6 y a < 6, o sea —b <
a < b. Por otra parte, si —6 < a < 6 entonces —a < 6 y a < fe, de lo cual
¡a| —máx {—a, a} < fe. Luego
5. |a| < fe si y sólo si —fe < a < fe.
Como evidentemente, de (1), —(|a| -f- |fe|) < a i- 6 < |a| + [fe], se obtiene que 6. |a i- fe| < |a| + |b|,
y de 6, se deduce ¡a| = Ka —fe) + fe} < |a —fe| -f- |fe|, así que |a| —|fe| < |a —fe|.
Igualmente |6| —|a| < |6 —a| = ja —fe|, de lo cual se obtiene que |a —fe| <
18 CAPÍTVI.O i. conjuntos, funcionas y SJSTFMAS NL'.KIFIII'NJS
7. Ilal-|í.|l<k--6|.
Como es obvio, a > Osi a = la|. Por otra parte-, hí <i > O i-iit dik.i-s —o < O,
así que —a < a y la| = máx {—a,a} = a. Es doc.ir, 8. |a| = a si y sólo si a > 0.
De 8, se deduce, en particular, que |¡a|| = n. Como |—e/| = |ei| . se tiene
también que '• t
9. jal = —a si y sólo si a < 0.
Teniendo en cuenta entonces que (—a) (—6) = ah, so ooiicliiyo cpio si nh > O
entonces \ab\ = ab = (-a) (-6) = |a| |6|. Y si
< ü, do {-n)b > Ose
obtiene también que \ab\ = \(—a) b\ = \~a\ |6| = |a| |6|. En ooiisoouonoia.
10. Ia6| = ja| |¿[ _
Nótese finalmente que \a\^ = |a¡ |a| = a •a =
y que |ri + h\ = |«| + |6| si y
sólo si |a + bf = (|a| +
^
gj y
g¡
_ |,^| |ft|,
decir, si
y sólo si ab > 0. También se comprueba fácilmente cpie, |a —b| = ||u| —|t||
si y sólo si ab > 0.
Es claro que ACMes acotado si y sólo si existe 66 R tal que |a| < bpai'a
todo a E A
Las propiedades (axiomas) tanto algebraicas como de orden (jue hemos su
puesto hasta ahora para R son intuitivas y muy razonables para describir un
sistema del cual se espera que sea tan rico como los números reales de nues
tra experiencia cotidiana. Hay, sin embargo, muchos sistemas numéricos que
satisfacen todas las propiedades anteriores y que pueden ser muy distintos
de R. El sistema (R, +, R^) tiene, sin embargo, una última propiedad que
lo caracteriza (véase, al respecto, el Ejercicio 1.32), y cuya naturaleza es algo
más sutil que la de las otras.
Axioma de caracterización de los reales (A.C.R.). Si A es un subcon-,
junto no vacío de R y
^ 0, d+ tiene un mínimo.
;..v I.OS NÜ.\tKltOS NArVHAl.eS 19
El axioma (A.C.R.) se conoce también como el axioma de completez del OTÚen de los reales. No es un axioma algebraico, pues no es una afirmación sobre una operación lunaria, ni sobre el resultado de efectuar una tal operación soljre los elementos de R. Sus implicaciones, incluyendo las algebraicas, son, sin embargo, múltiples.
Si A"^ tiene un mínimo y a = inínA''", se dice que a es el extremo superior de A •. a = supA := inínA"*". Claramente a > x para todo x G A, es decir, a es cota superior de A; y si b < a, debe existir x G A tal que b < x. Estas
dos propiedades caracterizan completamente a sup A. Análogamente si A~
tiene un máximo a, se dice que tal máximo es el extremo inferior de A :
a — ínf A := máx A~.
Nota 1.10.
Si A
0 y A~
0, de A' = -(-A)"^ se deduce que
(—A)"*" 7^ 0. También (—A) # 0, y como -míii(—A)"^ = máx(A~), se de
duce que si A y A~ son no vacíos, A~ tiene un máximo. Es decir, A tiene un
extremo inferior. Se tiene además que ínf (A) = máx (A~) = —mín (—A)"*" =
—sup (-A).
Nota 1.11. En el axioma de caracterización de los reales es necesario hacer dos hipótesis sobre A, A 0, A"*" 7^ 0, para poder asegurar la existencia de sup A Por ejemplo, 0+ = R y R no tiene un mínimo, así que sup0 no
existe. Tampoco existen supR y supR+, pues R+ = R+ = 0. A su vez, para asegurar la existencia de ínf A hay que suponer que A 0 y A~ ^ 0.
Para garantizar la existencia .simultánea de ínf A y sup A se debe entonces suponer que A es acotado y no vacío.
1.3. Los números naturales
Definición 1.10. Un subconjunto A de R es {finitamente) inductivo si
(1.24) 1. O G A, y
2. Si a G A, entonces a + 1 £ A.
Los conjuntos R y R+ son inductivos. Si (A¿)¿g; es una familia de
20 CAPÍTULO /. CONJUNTOS. FUNCIONUS Y StSTKSIAS .V('Af/írt/f "I •>'
1
Definición 1.11. El conjunto intcrsrcción de todos los siiln luijimios induc tivos de M se denomina oí conjunto de los tivíiutos riaturah > v s<' di'iiota con
N.
Evidentemente NCR+. De hecho N CA si A es inducti\-o. y si . \ es induc
tivo y /i C N, necesariamente A = N. Como N eoiitiejie. por ejemplo, el conjunto N' formado por O y por los números fie la forma n -l- 1 con // e N, y este conjunto es inductivo (O € N', y si n € N y rn = n + l € N' entonces
m -f 1 = (n-f 1) -I- 1 6 N', pues n -l- 1 e N). se flefluee fine N = N'. Es
decir, N = {0} U {n -f 1 : n € N}, y como /< -l- 1 = í). n e N. implica que 1 6 (—N) C R_, de lo cual 1 € lR+nlR_. y así 1=0. cpie es al)surdo. se deduce
que la unión es disyunta. Esta observación .se flebe a G. Peaiu). y se e.xpresa
usualmente diciendo que todo número natural rii ^ Oes el sucesor de algún
otro (m = n + 1), pero Ono es el sucesor do ningún otro nat ural. .Mguiios ele
mentos de N son entonces O, 1 = 0-1-1, 2 := 1+ 1. 3 := 2+1. -1 := 3+1 etc. Se obtiene entonces el siguiente teorema.Teorema 1.4. Si m e.s un número nabiral entonces ni > O .(/ m > O,
necesariamente m > 1. Es decir, no existen números niUurnlcs ni toles que
O < m < 1.
Demostración. La primera afirmación es clara, pues N C
. Si ni > O
entonces m ^ O, así que m = n + 1, n e N, de lo cual m —1 € R+ y ni > 1.
•Teorema 1.5. Si m y n son números naturales, ni+n es un número natural.
Demostración.
Sea N" el conjunto de los niimeros naturales rn tales que
m + n € N para todo n G N. Evidentemente O G N", y si m G N", también
m + 1 G N", pues (m + 1) + n = (m + n) + 1 G N para todo n G N. Entonces
N" C N y N" es inductivo, así que N = N". •
Teorema 1.6. Si m > n son naturales, m — n es un natural.
Demostración. Sea N'" el conjunto de los naturales n tales que si m G N y n < m, existe p G N con n + p = m. Evidentemente O G N'" y si n G N'" y
i
; 3. LOS NUMEROS N-MUrtALES 21
n + 1 < m. m G N. dado que ni = p + 1. p G N (pues m ^ 0). se tiene que n < p. Existirá cntonco.s g G N tal que n + q = p, de lo cual (/? + 1) + (? = m. Entonces N'" = N. pues N'" es inductivo. •
Corolario 1.1. Si m < n son naturales entonces m +1 < n. Lo mismo, si ni < n + 1, entonces m < n.
Demostración. Si fuera n < m + 1. .sería O < 7? — m < 1, lo cual es absurdo, pues n - m G N. •
Teorema 1.7. {Principio de buena ordenación de N). ¿"í C N es no
vacío, A tiene un mínimo. De hecho. ínf^ = mín^.
Demostración. Como Q ^ A~. A~ ^ 0. Sean a = ínf.4 y rn G A tal que 7,, < a + 1. Entonces rn - 1 < a, de lo cual 7n - 1 < ?7 para todo 77 G A, osea
m < n para todo n G .4, así que 77z = mín .4. Además rn = a, pues a < m ya.
que m £ A, y rn < a, pues m £ A ya —máxA . •
Teorema 1.8. (Arquímedcs). El conjunto N no es acotado superiormente.
Si a, b son reales y a > O, eiiste 77 G N tal que na > b.
Demostración. Si fuera N+ ^ 0, existiría a = supN. Esto es absurdo, pues
existiría n G N tal que a - 1 < n, de lo cual a < n + 1 GN. Ahora, si fuera
na < b para todo n GN, se tendría que b/a GN"^. •
Nota 1.12. Del Teorema 1.8 se deduce que si a G R y a > O, existe G N,
n > O, tal que 1/n < a. 57 A C N es superiormente acotado y no vacio, y
si a = supA, necesariamente a GA; es decir, a - máxA. En efecto, exis
tirá t?, GA,n > a-1, así que n>m para todo m GA. Entoirces, n = máx A,
y como n GA, 77 < a. Por otra parte, como n GA+ y a = mín A+, también
a < n.
Un método frecuente de demostración está basado en el siguiente teorema.
Teorema 1.9. {Principio de inducción). Si P {x) es una afirmación sobre
22 CAPITUI.O /. CONJUNTOS. FIJNCIONrS V SI.STN.MAS NI MpflK 'i IS
1. P (0) es verdadera, y
2. P {n + 1) se deduce de F (n) para lodo ii € N.
entonces P (n) es verdadera pcrni todo n cu M.
Demostración. Sea N = {n S N: Pin)} . C'laram«'ntc Oí TI. y si n e Ñi
de modo que P (n) es verdadera, también Pin + 1). al íIcíIik irse de P(n),
lo será. Entonces n 4-1 € N, y será N = N. •Ejemplo 1.1. Como aplicación del teorema anterior detiiosirareinos que
si m G N entonces mn G N para todo n G N. Sea tu G N arbitrario pe
ro fijo, y sea P ix) la condición "mx G N". Entonces P ii)) ns verdadera
(pues mO ~ O G N), y si suponemos que PÍ7i) es verdadera también lo
será P (n + 1), puesto que m. (n + 1) = mn + 7n. G N s<' dednc-e del Teorema
1.5.
La siguiente forma del Teorema 1.9 será también usada en lo <iue sigue.
Corolario 1.2. Sean P (x) una afirmación sobre una variable .r. m GN.
Supóngase que
1. P(m) es verdadera.
2. De la validez de Pik) para todo los k e N, m < k < n, sr deduce la
validez de P (n).
Entonces, P (n) es válida para todo n G N, n > m.
Demostración. Sea X el conjunto de los k e N, k > ni, tales que P {k) es
falsa (es decir, que "no Pik)" es verdadera). Demostraremos que X =
0-En efecto, si fuera X ^ 0, existiría n = mínX (pues X C N). Como n G X,
P (n) es falsa. Además m < n, pues P (m) es verdadera. De hecho, P (A:) es
verdadera para todo m < k < n. Pero esto implica que P in) es verdadera,
lo cual es absurdo. Entonces X —0,y P ik) es verdadera para todo A; G N,
k > m. n
Usaremos el Teorema 1.9 y el Colorarlo 1.1 sin mencionarlos explícitamente.
L
l i. NÚ.\fEnOS NNTKROS y ARITMÉTICA ELEMENTAL 23
1.4. Números enteros y aritmética elemental
Definición 1.12. El conjunto Z = NU (—N) .se denomina el conjunto de los niímcros cuteros. Si a G Z. se dice que a es un número entero.
Como e.s claro, decir que ni G Z es equivalente a decir que rn G N o —m G N. Por lo tanto, m G Z si y .sólo si ni G E y \in\ G N.
Una de la.s propiedades más notable.s e importantes del conjunto Z de los
enteros se establece en el siguiente teorema, conocido como el Algoritmo de
la división que se atribuye a Euclides, quien lo estableció en el caso de los enteros positivos.
Teorema 1.10. iEuclides). Si m. n G Z, n # O, existen q,r eZ. O< r <
|nj, únicos, tales que in = nq + r.Dem.ostración. Nótese que r es siempre un número natural. Podemos su
poner también que n es un natural, pues si m = nq + r, también m =
(_,i)
Supongamos primero que m es un natural y razonemos por
inducción. Si m = O, la afirmación es evidente con g = r = 0. Supongamos
entonces que m = nq -I- 7*, O< ?" < w, así que O< r + 1 < tí. Si r -I-1 < n,
la afirmación eii ítí -H 1 es clara, pues tti -I- 1 = nq + (t* -I-1). Si r -I-1 = n,
entonces ?n -I- 1 = ?i (g -h 1) + O, es también de la forma deseada. Esto de
muestra la afirmación para todo m GN. Ahora, si ttí < Oy (—m) = nq + r,
O< r < n, será m = n (—9) si ?• = Oy m = n (—9 —1) + (n —r) si r > 0.
Esto completa la demostración de existeucia, pues O< n —r < tí. La unici
dad resulta de observar que si m, ti > 0 son enteros entonces nm > n, de lo
cual 7Í9 + r = nq' + r', que equivale a 71 (9 —9') —^ —r < n, es imposible
con 9 > 9'. •.
Se concluye que todo número entero m es de una y solo una de las formas
m = 2k o m = 2k + l, donde k G Z. En el primer caso se dice que m es par;
en el segundo, que es impar.
Si m, n G Z y 9,r G Z son tales que m^qn + r con O< r < m, se dice que 9
24 CAPITULO I. CONJUNTOS, PIJNCIONKS YSISTKMAS NI MPlII'•<'.<
escribir q = q(m,n) y r = r{7n,n]. Nótese cpie si in. n € Ib taiiibiéii q € N. Si a, í) S Z entonces a + 6 G Z. Esto es olarf) si a.h G N: >• si n.h ^ ( —N) en tonces —(a -I- 6) = (—a) + i—b) € N. fie lo cual a + /> G ( —! í) . l'or lilliino. si a, 6 G N entonces a-I- (—6) = a - b e N s\ a > h y a + {- h) -Ib ' ( -ff)) =
—(6 —a) G (—N) si a < 6. También nh G Z si n. h G Z. coitm resulía de las
relaciones ab = {—a) (—6) y ~ah = (—a) h = a {—¡>). C'í)iiuj «•> ciarfi. (l. 1 GZ.
Definición 1.13. Sean a,b
So flico fine <i divide b. (jiie n es un drvisor
de b, o que a es un factor de b, y se escribe a \ b. si
1. a 0.
2. Existe c 6 Z tal c^ue b = ac.
Se dice también que bos un múltiplo fie a.
Como se verifica iiimefJiatamente, a\b es eciuivalente a cualfiuiera tic Uus afir
maciones siguientes: a | |6|, |a|||6|, |a||5, a|C-6}, (-f/)|/', (-f/}|(-5).
Si a —Oosi a no es un divisor de 6, escribircincjs a \b {a no divide h). Es cla
ro que si a
Oentonces a \ O(pues a-ü = 0) y c¡uo a \ bsi y sólo si r (/>. a) = 0.
Es evidente que si a, 6, cGZ, entonces
1. a 1a (,s¿ a 7^ 0).
2. Si a I ü y 6 7^ Oentonces |a| < |5| .
3. Si a I6 y b \ a entonces |a| = |/^| ,
4. Si a I6 y b \ c entonces a \ c.
Definición 1.14. Sean a,b e Z tales que a^ +
> 0. Se flice tjue d es el
máximo común divisor de a y 6, si
1. d > O,
2. d I a y d\b,
3. c I a y c\b implica c \ d.
La propiedad 2. expresa que d es un divisor común de a y b. La propiedad
3. implica que cualquier divisor de a y b debe ser menor o igual que d, de lo
1.4. Nt/Munos kntiíhos f AitiTArPTir.i r-:i.KMK,\T.\i. 25
cual el nombre dado a d.
Si 0,1) ^ Z, no es evidente que exista un d G Z, máximo común divisor d de a y b. Sin embargo, de lo dicho anteriormente so deduce que. si existe, es único. En efecto, si d' es otro, entonces d \ d' y d' \ d. de lo cual d = d'.
Teorema 1.11. {Bezout). Si a.b Q.'L y d' -f- > 0. e:áste d G Z. el cual es
máximo común divisor de a y b. Más aún
d = mn + nb. (1.25)
donde m..n ^ X.
Demostración. Sea A = {ra -I- i/fa > O : r, y G Z}. Es clai'o que A C N,
y tomando x = a, y = b se deduce que A
0 (pues a'^ + b'^ > 0). Sea
d = mín A (Teorema 1.7). Como d G.4. es claro que d > 0. y existen además
VI, n G Z tales que d = ma -1- nh, relación que asegura que si c | a y c | 6
entonces c | d. Veamos que rí | o y d | ¿>. lo cual completará la demostración.
Si suponemos, por ejemplo, d { a, se tiene que a = qd + r con O < r < d,
así que r = (1 - qm) a + {-qn) b, lo cual es absurdo, pues implica que r G A.
De la misma manera se razona si d { í>- Esto demuestra el teorema. •
En vista de su existencia y unicidad, denotaremos con mcd(a, b) el máximo
común divisor de a y 6 (cuando a^ -f 6^ >0). La relación
mcd(a, b) = ma -I- nb
dada en el Teorema 1.11 se denomina una relación de Bezout para mcd(a, b).
En general m y n no son únicos (véase el Ejercicio 1.28).
Nótese que si a,6, g, r GZ, a = 6^ + r, 6 7^ Oy r 7^ Oentonces mcd(a, 6) =
mcd(6,r). En efecto, consideremos c = mcd(a,6), como a —bq = r tene
mos que c I r. Si c/ I 6 y c' I r entonces c' | a y por lo tanto c' | c,
así c = mcd(6,r). Tomemos aliora a,6 G Z, 6 7^ O, por el Teorema 1.10
existen q,r eZ tales que a = 6<? 4- r, O< r < j6|. Pongamos a = ro, j6| = rj
y r = r2, de esta forma se tiene que ro = q\ri 4- ra, O < r2 < tq y por26 aAi'irtii.o /. aoN.niNToH. fvncionkü y üisticmas N'-Mfrmfos
misino proceso tenemos c|ue rt_¡ = (¡kr^ + /•<.- +1. O < / /i -1 i\ y si ri.^\ O, mcd(rfc_i,rfc) = medía-,u.+i). Como O < 7-^-4, < '' • • • - r. - ri se tiene que 7"fc+i = Opara algún k, tenionrlo así cpie m( d{/> ..1. Vk) ~ a y por lo tiuito mcd(a,6) = a-. El procedimiento anteriorirK'nte flescrifo se cDiHKf ((Jino el
Algoritmo de Euclidefi y es un método efectivo para calctilar el nH'd fie dos
números enteros.Corolario 1.3. Si a, 6 € Z,
+ l? > O y d > 0. d = nicfl
ni y sólo si
d es un divisor carmín de a y h y exi.sl.cTi rn. n G Z tnlrs i/m d - nui + nb.
Demostración. Del Teorema 1.11 sallemos cpie si d ^unAin.b) entonces
d > O, d es un divisor común de a y h y existen 111.11 G Z fiue verifican
(1.25). Sólo resta por demostrar que si d > Oe.s un <Iivisor coiinin de « y b,
y d = ma + nb, m,n € Z, entonces d = mcd (a, b). Pero esto «'s <il)vio, pues
si c Ia y c I6, de d = ma + nb se deduíre que r | d. •
Nota 1.13. Si £1,6 GZ, el solo hecho de guc d = riui + nb > 0. in. n € Z,
no asegura que d = mcd (a, 6). Se necesita cjue d [ n y d \ b.
Por ejem
plo, 2 = 3-5-1- (-1) . 13, pero 2 7^nicd(5,13) = 1. Ma.s geiieralnieiite, si
mcd(a, 6) = 1, en cuyo caso 1 = ma+ nb, m, n GZ, ]3ara l.odo d > Ose tiene
que d = (rnd) 0-1-(nd) 6, y ningún real d > 1 puedo ser nicd(«. 6). Ohservese,
sin embargo, que si 1 = ma
nb, m,n € Z, entonces 1 = mcd (a, b), pues
1 I y 1 I 6.
Nota 1.14. Si
-I- 6^ > Oy d > Oes un divi.sor común do <i y b. entonces
d > c para todo divisor común c áa a y b si y sólo si d = nicd(í'/. 6) (pues si
d > c para todo divisor c, entonces mcd(a, 6) < d, y como d [ mcd {a, b), por
ser un divisor, también d < mcd (a, 6). Por otra paide, ya hemos visto que
si d = mcd (a, ó) entonces d > c para todo divisor c de a y 6).
Evidentemente, 5 = mcd (10,15) y 5 = (-1)10 -h 15; 2 = mcd (14, 22) y
2 = 2 • 22 + (-3) • 14; 1 = mcd (3, 5) y 1 = 2 • 3 -P (-1) • 5.
Sin em
bargo, 7 = 14 • 3 -P (—7) • 5, pero 7 ^ mcd (3, 5).
Nótese también que
mcd (a, 6) = mcd(a, |6)) = mcd((a|,6) — mcd(|a|,(6|) = mcd(—a, 6) =
mcd (a, —b) = raed (—a, —6) .
I
i
l.f. NCMBltOS KNTEItaS YAftJTSIÉTlCA ELEMENTAL 27
Teorema 1.12. Si d = mcd(a,6) t/ c > O, entonces mcd(ca,c6) = cd. Si además c 1« y c | 6, entonces d/c = mcd(n/c,6/c).
Demostración. En efecto, d = ma -P nb. m.n G Z, y cd = m(cn) -P 7í(c6). Como obviamente cd | ca y cd \ cb, entonces cd = mcd(ca,c6). También
d/c = m{a/c) -P 7í(6/c). y como d/c G Z. d/c \ a/c y d/c ¡ 6/c. entonces
d/c = mcd(n/c, 6/c). •
Corolario 1.4. Si d^+b'^ > O y d = mcd(n, 6), entonces mcd(a/d, 6/d) = 1. Definición 1.15. Si mcd(a,6) = 1, se dice que n y 6 son números primos
relativos.
Nota 1.15. Como es claro, a y 6 son primos relativos si y sólo si existen m,
71 G Z tales que 1 = ma -P nb. En tal caso se deduce que si c \ a, también
incd(c,6) = 1 (pues 1 = (77í7)c-P nb para algún q G Z).
Por ejemplo, 3 y 5 son primos relativos, y lo mismo es cierto de 8 y 21,
pues 2 • 3 + (-1) • 5 = 1 y 8 • 8 -P (-3) - 21 = 1. También 4 y 21 son
primos relativas, pues 16 • 4 -P (-3) • 21 = 1-
Nótese que 7 | 21 y que
1 = 16-4+ (-9) •7 = 2-4+ (-1) • 7.
Nota 1.16. Es claro que si d 7^ Oentonces d 1a si y sólo si mcd(d, a) = |d|.
En particular, mcd(l,o) = 1.
Los siguientes resultados son de gran importancia en la teoría elemental de
los números, y a lo largo de todo este curso.
Teorema 1.13.
a | 6c y mcd(a,6) = 1, entonces a \ c.
Demostración, Evidentemente existen m,n,q G Z tales que 1 — ma +
nb y be = qa, de lo cual c = {me) a + n (6c) = (77ic + nq) a. •
Corolario 1.5. Si mcd(a,6) = mcd(a,c) = 1, entonces mcd(a,6c) = 1. En
28 CAPÍTULO I. CONJUNTOS. FUNCIONKS Y .•>rSTt:MA.< N> MFilU i'-^
Demostración. Si d = mcA{(i.hr) cnídurcs r/ i fu. v cohhi tanibitíj
d I a, entonces mcd{d,h) = 1 (Nota l.jr)). Se (•«au liive <|in- <1 \ r. jusí que
d =mcd(í'i, c) = 1 (pues í/I n y iiicdírt. rj = 1). • El corolario anterior se puede generalizar.
Corolario 1.6. Si mcd(a,rtj) = 1, / =
ftifujin.s inf il(í/i. re,.
,0»)'
= 1. Si |a| > 1, entonces a \ «¡«2 •• •«»•
Demostración. La afirnmción es ovidenle si n = J. 2.
si // • 2. lesulta de
un argumento inductivo, observaiifio cpuí a¡ • • • (i„ = ("i • • • "n i'
Nota 1.17. Se deduce que .si n | {aj •••n„)
t \- S mí(l(fí.íq) = 1.
i = 1,2,entonces a | a„+i (pue.s mcd(íí,«in2 •••<hi) ~
^ basta 1
aplicar el Teorema 1.13).
Teorema 1.14. Si a\c,b\c y tncd{a,h) = 1. cntonrcH oh (
Demostración. Sean a\U tales que r: = aa',(: = hh' y m.u 6 Z (ales que
1 = ma + nb. Entonce.s c = m.ac + nhr = (vih' + "«') (<•'/>).
•
Definición 1.16. Sea p 6 2 tal que
1. p > 1.
2. Si g\p entonces lg| = p o \q\ = 1.
Se dice entonces que p es un número primo. Es decir, p es un primo si y sólo
p > 1 y •sus únicos divisores son ±1 y ±p.
Teorema 1.15. Si p >
entonces p es un primo si y .sólo st para todo
entero a, p \ a ó mcd(p, a) = 1, p las dos posibilidades son mutuamente
ex-cíuyentes. Por otra parte, si p > i no es pri,m.o, existen m > i y n > 1 en
% tales que p = mn.
Demostración. Si p > 1 es primo y a € Z entonces p ( a ó p f «. Si p f o
entonces d = mcd (p,a) # p, y como d | p, nece.sariamente d = 1. Supóngase
I J. NÚStKPOS NNTKIIOS Y ÁftlTMÉTICA ELEMENTAL 29
rcx-íprocamontc cpie p no es primo. Entonces existe a € Z, 1 < n < p. tal que n I ]). Como es claro, p f n, y sin embargo, nicd(n.p) = a 1. La última
afirmación «'s trivial. •
Nota 1.18. Evidentemente 2 y 3 .son primos, y no es difícil verificar que también 5 y 7 lo son.
Corolario 1.7. Sean p un primo y a.b enteros. Si p \ ab, entonces p \ a
o p 1b. Más (jencralmente, si oi,
son enteros y p \ a\ ••• On, entonces
p I fí¿ paiv. algún i, 1 < í < n.
Demostración. Si p I «¿ para i = 1,2,..., n, entonces incd(p, o») = 1, así que
(Corolario 1.5) mcd(p, ai •• •«„) = 1- Entonces, p | Oj • • • a„. •
Nota 1.19. Es claro que si p y q son primos, p ¡ g si y sólo si p = q.
Lema 1.1. Sea a G Z, a > 1. Entonces, existen números primos pj < ... < Pth n > 1, tales que
P\ - • -Pn- (1-26)
En particular, existe al menos un primo p tal que p \ a.
Demostración. Sea X el conjunto de los a > 1 en Z para los cuales no
existen primos pi < ... < Pn^ n > 1, tales que a = pi
• p„. Si A ^ 0,
existe a = míiiA. Claramente a > 1 y no es primo, así que existen b > l,
c> 1 tales que a = be. Como 6, c < a, entonces b, c^ X,y existirán primos
que dividen b y primos que dividen c.
Sea 7)1 el mínimo de tales primos
(tal mínimo existe, pues el conjunto de los primos es un subconjunto de N).
Claramente pi | a y a/pi ^ X, pues a/px < a. Existirán entonces primos
P2 < ... < Pn, n > 2, tales que a/pi = P2 • ••Pm, Vcomo p2 i a, p-2 dividirá b
o c, así que pi < p2. Entonces a = pi • • • p„ y o 6 X, lo cual es absurdo. Entonces A = 0, y el lema queda demostrado. •
Teorema 1.16. Si a € Z y a > 1, existen primos pi < .. enteros cvi,..., 0,1, Q; > O para todo i, tales que
a = p'í' • • •
< Pn, n > 1, y
