Universidad de Los Andes
Departamento de Ingeniería Electrónica
David Leonardo Gómez Arenas Código: 200915671
Asesor: Juan Carlos Bohórquez
Proyecto de grado para optar al título de ingeniero electrónico
Titulo:
Diseño de un sensor de antena (SIW) para la medición de presión a través de una capacitancia variable.
1
Contenido
1. Introducción ... 2
2. Marco Teórico ... 3
2.1. Glaucoma ... 3
2.2. Cavidad resonante ... 3
2.3. Detección de grietas ... 4
2.4. SIW ... 5
2.5. Capacitancia variable ... 5
2.6. Antecedentes Externos... 5
2.7. Antecedentes Locales ... 5
3. Objetivos ... 6
3.1. Objetivo General: ... 6
3.2. Objetivos Específicos: ... 6
4. Metodología ... 6
4.1. Elección del material ... 6
4.2. Diseño de la Cavidad ... 8
4.2.1. Selección del modo de resonancia ... 8
4.2.2. Cálculo de las dimensiones ... 10
4.2.3. Diseño de Puertos ... 12
4.2.4. Simulación de la cavidad ... 12
4.3. Disminución de dimensiones ... 14
4.4. Circuito Equivalente ... 17
4.4.1. Línea λ/4 cortocircuitada ... 18
4.4.2. Modelo de Marcuvitz ... 22
5. Conclusiones ... 25
2
1. Introducción
La búsqueda de los últimos años en el campo de las telecomunicaciones y la radio frecuencia, es la reducción del tamaño de los dispositivos, a la vez que se reduce el consumo de potencia, y sin embargo, sin afectar la eficiencia del dispositivo. Estos parámetros constituyen la medición de la viabilidad y la utilidad de un dispositivo. Especialmente, en el campo de la medicina y la ingeniería biomédica, los dispositivos desarrollados para detección de enfermedades y/o afecciones, no sólo deben cumplir con ciertos requerimientos para no poner en riesgo la salud del paciente sino que deben además ajustarse a las dimensiones de la parte del cuerpo que se vaya a analizar que son, en general, muy reducidas.
Actualmente, gracias al trabajo desarrollado por Ke Wu, es posible implementar circuitos integrados en substrato (Subtrate Integrated Circuits – SIC), y especialmente, guías de onda integradas en substrato (Subtrate Integrated Waveguides – SIW), con el fin de disminuir las dimensiones de los circuitos a implementar.
Adicionalmente, como una estrategia para medir presión, el presente proyecto propone una capacitancia variable en conjunto con una cavidad resonante SIW, de modo que sea un dispositivo pasivo implantable capaz de recibir una onda electromagnética y responder con otra señal RF que contenga la información sobre la presión en el sistema de estudio. En el presente proyecto se propone el uso de este dispositivo para obtener lecturas de la presión intraocular (PIO) con el fin de aportar a la prevención y diagnóstico oportunos de enfermedades asociadas al incremento inusual de la PIO tales como el glaucoma, la producción excesiva de humor acuoso o drenaje acuoso inadecuado que pueden llevar a mayores complicaciones como ceguera permanente.
Este proyecto de grado presenta una cavidad resonante SIW que pretende medir presión intraocular a través de una capacitancia variable, así como un diseño detallado de la cavidad, la inclusión de la cavidad, los resultados obtenidos y el proceso del proyecto para obtenerlos. Dados algunos problemas de ajenos al desarrollo del proyecto tales como el vencimiento de la licencia de la herramienta de implementación, no se puedo completar satisfactoriamente el diseño, sin embargo se presenta alternativamente una solución basada en el circuito equivalente de la cavidad en conjunto con la capacitancia y el funcionamiento del mismo.
3
2. Marco Teórico
2.1. Glaucoma
El glaucoma es una enfermedad ocular que se caracteriza por el aumento inusual de la presión ocular. En la mayoría de los casos, las personas no presentan síntomas en las primeras etapas de la enfermedad. Posteriormente, se evidencia deterioro de la capa de fibras nerviosas de la retina y pérdida progresiva de la visión. [1]
La detección de esta enfermedad se hace complejo en la medida en que no presenta síntomas hasta que está en un punto muy avanzado de evolución y no presenta dolor ocular, a excepción de algunos casos crónicos conocidos como glaucoma agudo, el cual puede producir síntomas incluso desde el inicio de la enfermedad. [1]
Con 8 millones de casos de ceguera reportados, es la tercera causa de ceguera irreversible en el mundo, atrás de las cataratas y la oncocercosis los cual hace de vital importancia un diagnóstico precoz de la enfermedad. [2]
2.2. Cavidad resonante
La fabricación de resonadores se puede lograr a través de distintos métodos, tales como a partir de elementos pasivos, o líneas de transmisión. Otro de ellos, muy usado, es el de cavidades resonantes.
Estas Cavidades son secciones cerradas de guías de onda, bien sean rectangulares o cualquiera que sea su geometría, cortocircuitadas en los extremos de modo tal que sus dimensiones son proporcionales a la longitud de las ondas que se desean almacenar dentro de la cavidad. [3]
Se puede observar que existen varios modos de resonancia de la cavidad según las dimensiones escogidas y la frecuencia de las ondas que pasan a través de ella. De hecho, a través del análisis de las ecuaciones del campo eléctrico se puede concluir que la longitud de la cavidad en la dirección de propagación debe ser un múltiplo entero de media longitud de onda a la frecuencia de resonancia. [3] La figura a continuación ilustra una cavidad rectangular, como la que será usada para desarrollar el proyecto.
4
Figura 1. Cavidad resonante con dimensiones a, b y d. La onda se propaga en dirección del eje z [3].
2.3. Detección de grietas
En desarrollo de un proyecto para la Air Force Office of Scientific Research se encontró un método para detectar grietas del orden de mm en aeronaves antiguas a través de una antena rectangular de microcinta, la cual, según su polarización, cambia su frecuencia de resonancia en presencia de grietas a lo largo de cualquiera de sus dimensiones.
Figura 2. (a) Montaje de antena propuesto por Huang (b) Principio de funcionamiento para la detección de grietas. [4]
Este método de detección permite no sólo identificar pequeñas grietas que incluso inspecciones visuales podrían pasar por alto sino que también permite identificar múltiples grietas que eventualmente podrían transformarse en una gran grieta y causar un accidente.
5
El sistema planteado es el de múltiples sensores antenas a lo largo de la aeronave de modo que otra antena interrogadora evalúa la respuesta en frecuencia de cada sensor y retorna si hay o no grietas. [4]
2.4. SIW
A partir de un nuevo concepto de diseño de circuitos integrados al substrato (SIC design) es posible obtener, entre otras posibilidades, SIWs (Substrate Integrated Waveguides) que permiten implementar, para este caso, una cavidad resonante de manera más fácil, pues no es necesario metalizar los costados del substrato , que es tecnológicamente complicado; por el contrario, se implementará una secuencia de huecos metalizados que emula el funcionamiento del circuito original sin pérdidas considerables. [5]
2.5. Capacitancia variable
En el desarrollo de antenas con cavidad se ha implementado una capacitancia acoplada al campo eléctrico para disminuir la frecuencia de operación de modo que se puede obtener una antena de baja frecuencia con dimensiones de una antena de más alta frecuencia. [6]
A partir de este principio, se pretende implementar una antena que incluya una cavidad resonante que permita la medición de presión intraocular de modo que combine los dos métodos anteriormente mencionados. En primer lugar, la antena es diseñada a través de una SIW, e incluirá una capacitancia variable de modo que se obtendrán, para la frecuencia deseada, dimensiones mucho menores de las que tendría el substrato si se implementase directamente la cavidad. Así entonces, el sistema puede ser implementado a la escala necesaria, es decir, entre 16mm2 y 36mm2.
2.6. Antecedentes Externos
Estados Unidos: Fue desarrollada una antena en la University of Texas Arlington se desarrolló una antena para la detección de grietas en aeronaves antiguas. [4]
2.7. Antecedentes Locales
En Julio de 2011 fue presentado al IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters un artículo donde se desarrolla un nuevo concepto de antena en el que los costos de producción e implementación son menores sin comprometer el rendimiento del dispositivo [6].
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Dicha antena fue implementada en substrato de Guía de Onda integrado (SIW) y se obtuvo una reducción de su tamaño de hasta 50% reduciendo la frecuencia de operación en 1.3 GHz, y es a partir de este diseño que se planea desarrollar el presente proyecto para dar continuación al modelo de antena planteado.
Adicionalmente, se ha desarrollado una tesis de maestría que implementa la tecnología SIW para desarrollar un filtro-antena basado en cavidades resonantes. [7]
3. Objetivos
3.1. Objetivo General:
Realizar el diseño de una antena rectangular de cavidad resonante, a través del diseño de SIW, en conjunto con una capacitancia variable capaz de medir la presión en un determinado sistema a través de radio frecuencia. Dicha antena y capacitancia estarán en un mismo substrato.
3.2. Objetivos Específicos:
1. Diseñar una cavidad resonante a la frecuencia y dimensiones requeridas para la implementación en conjunto con una capacitancia variable capaz de medir presión del sistema en estudio.
2. Diseñar y simular una capacitancia capaz de variar proporcionalmente a la onda electromagnética recibida por la antena, que a su vez es proporcional a la presión del sistema en estudio.
3. Simular y verificar la funcionalidad del sistema antena-sensor para detección de presión de un sistema determinado a través de ondas de RF.
4. Metodología
4.1. Elección del material
Antes de diseñar el dispositivo es importante conocer de antemano el material dieléctrico que deberá ser usado para la cavidad pues debe tenerse en cuenta las condiciones ambientales a las que será sometida y además debe cumplir con los requerimientos técnicos del diseño. Para la elección del material se tuvieron en cuenta varios materiales que se muestran en la tabla a continuación junto a sus principales características.
7
FR4 Duroid
5880
Duroid 6002
Duroid 6006
Duroid 6010
εr 4.5 2.2 2.94 6.15 10.2
h (Espesor) (mm) 0.125 –
127
0.127– 3.175
0.127– 3.048
0.127 –
2.54
0.127 –
2.54
Tan D 0.015 0.0009 0.0012 0.0027 0.0023
Absorción humedad (%)
0.1 0.02 0.02 0.05 0.01
Tabla 1. Propiedades de diferentes materiales para construcción de circuitos.
En primer lugar, el material FR4 como substrato es económico y bastante utilizado, sin embargo, el desempeño a frecuencias altas, tales como a las que trabajará el dispositivo, se ve seriamente afectado.
Por otro lado, es deseable que la constante dieléctrica del substrato sea alta, pues esta constante está estrechamente relacionada a la generación de campo eléctrico, por lo tanto, FR4 tampoco es una buena opción por esta razón, así como tampoco lo son los Rogers RT Duroid 6002 y Duroid 5880.
Adicionalmente, dada la aplicación específica del proyecto, la implementación en el ojo humano para la medición de presión intraocular, es de vital importancia tener en cuenta la influencia de la humedad en el dispositivo, por lo tanto se ha incluido dentro de las variables de interés para la elección del substrato el porcentaje de absorción de humedad. Para este caso, nuevamente el Rogers RT Duroid 6010 es el material con mejor desempeño.
Al final, aunque no tiene una tangente de pérdidas tan baja, de hecho es el segundo valor más alto después del Rogers RT Duroid 6006, el Rogers RT Duroid 6010 es el material que presenta el porcentaje de absorción de humedad más bajo y a su vez presenta la permitividad relativa más alta, por lo tanto es el más indicado para desarrollar la cavidad resonante del proyecto. Para este fin se ha decidido usar una lámina de substrato de 0.635 mm de grosor.
8
4.2. Diseño de la Cavidad
El proceso de diseño de la cavidad se dividió en tres etapas que son, a saber: Selección del modo de resonancia, cálculo de las dimensiones y diseño de puertos.
4.2.1. Selección del modo de resonancia
En primer lugar, es importante tener en cuenta que dado que se realizará la implementación de la cavidad a través de la tecnología SIW, únicamente los modos TEn0 pueden ser excitados (para modos TEmn, con n≠0 existe radiación inherente, que para este caso no es deseada). [8]
Para la definición el modo en que las ondas se propagarán a través de la cavidad resonante a diseñar existen dos aspectos importantes: el tamaño y el consumo. En esta medida, se desea encontrar el modo de resonancia para el cual la cavidad tenga las mínimas dimensiones posibles (en el caso de a y d, puesto que la altura es constante b=0.635 mm) y la potencia perdida en el sistema sea la menor posible.
Establecidos los modos de excitación posibles, la primera evaluación es la de las dimensiones de la cavidad. Dada la fórmula de la frecuencia de corte, y sabiendo que el modo de excitación debe ser uno de los TEn0 se puede observar que dicha frecuencia depende únicamente del ancho a de la cavidad, por lo tanto el diseño consiste en observar, para diferentes frecuencias de corte fc, el ancho requerido de la cavidad para
excitar cada modo con dicha frecuencia de corte.
𝑓𝑐 = 𝑐 2𝜋√𝜀𝑟
√(𝑚𝜋
𝑎 ) 2
+ (𝑛𝜋 𝑏 )
2
(1)
La figura 3 muestra como para cualquiera que sea la frecuencia de corte el modo TE10 siempre conserva el valor más pequeño del ancho a, por lo tanto el modo escogido es el modo TE10. El valor de a se despeja de la frecuencia de corte y se halla el valor para cada uno de los modos. Dado que esta ecuación depende únicamente del modo, se puede observar que la relación es lineal, cualquiera que se la frecuencia.
En segundo lugar, el aspecto a estudiar es las pérdidas producidas en la cavidad por la potencia disipada por los bordes conductores de ésta. La fórmula para la potencia pérdida en la cavidad es:
9
𝑃𝑐 =𝑅𝑠 2𝐸
02𝜆2 8𝜂2 (
𝐿2𝑎𝑏 𝑑2 +
𝑏𝑑 𝑎2 +
𝐿2𝑎
2𝑑 +
𝑑
2𝑎) (2)
Donde; Rs es la resistencia de los conductores bordeando la cavidad dada por 𝑅𝑠 = √𝜔𝜇0/2𝜎 siendo ω es la velocidad angular, μ0 es la permeabilidad del vacío y σ es la conductividad del material; E0 es un campo eléctrico unitario (1 V/m); λ es la longitud de onda en el medio, en este caso el substrato Rogers RT Duroid 6010 seleccionado en la sección anterior; η es la impedancia intrínseca del medio y; L es el índice del modo de resonancia TE10L.
Figura 3. Ancho a vs. Modo TE para varias frecuencias de corte
Para este estudio, se fija una frecuencia de corte (en este caso fc=1 GHz) y se halla el ancho que corresponde a esta frecuencia para el modo TE10, y a su vez, con el valor de a se halla, para varios modos TE10L, el largo d de la cavidad en función de la frecuencia de resonancia, y por último se halla la resistencia superficial del conductor en función de la frecuencia de resonancia y se calcula la potencia pérdida en la cavidad. La fórmula que relaciona las dimensiones de la cavidad y la frecuencia de resonancia es la siguiente:
𝑓0 = 𝑐 2𝜋√𝜀𝑟
√(𝑚𝜋
𝑎 )
2
+ (𝑛𝜋 𝑏 )
2 + (𝑙𝜋
𝑑) 2
(3)
10 15 20 25 30 35 40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 Modo TEm0 a [ m m ]
fc = 5 GHz fc = 10 GHz fc = 15 GHz
10 Así entonces, los resultados obtenidos del análisis mencionado para los modos 101, 102, 103 y 104 son los ilustrados en la figura 4. Sin importar cual se la frecuencia de resonancia de la cavidad, la potencia perdida es mínima cuando la cavidad es configurada en el modo resonante TE101. Por lo tanto, dados los requerimientos de miniaturización y de eficiencia de consumo del dispositivo, el modo elegido para el diseño es el TE101.
Figura 4. Potencia perdida en la cavidad Vs. Frecuencia de resonancia, para varios modos de resonancia.
4.2.2. Cálculo de las dimensiones
A partir de las ecuaciones de diseño de guías de onda rectangulares y cavidades, con una frecuencia deseada de operación de 3,93 GHz, y con el objetivo de minimizar las dimensiones del dispositivo (requerimiento para la correcta implementación), se diseñó la cavidad resonante de la manera a continuación.
Una vez escogido el modo de resonancia, el siguiente paso en el diseño de la cavidad es la escogencia de la frecuencia de corte y, en consecuencia, las dimensiones de la cavidad resonante. Para esto, es conveniente utilizar las fórmulas (1), (2) y (3).
Finalmente, con las ecuaciones para las frecuencias de corte y de resonancia es posible obtener un ancho a para una cierto rango de frecuencias de corte (de 1,93 GHz a 3,93 GHz) y obtener un largo d a partir de dicho a y la frecuencia de operación deseada (3,93 GHZ en este caso). De este modo, se tiene un vector de anchos a y un vector de largos d con los que, a su vez, se puede calcular fc y f0 para diferentes modos de resonancia que estén cercanos al modo escogido para el diseño.
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x 10
-3
fc Frecuencia de operación [GHz]
P
c
[
W
]
TE101
TE102 TE103
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Ahora bien, el criterio para escoger las dimensiones de la cavidad es, diseñar una cavidad de modo que se maximice la diferencia entre las frecuencias de operación del modo TE101 con los otros modos TEm0L. Los modos más cercanos al modo TE101 son los modos TE102 y TE201, por lo tanto, es en éstos que fijaremos principalmente nuestra atención. A través de un simple algoritmo de barrido se obtuvo la curva de las frecuencias de corte y de operación para cada pareja de ancho y largo de la cavidad utilizando un substrato Rogers RT Duroid6010, con permitividad εr=10,2 y espesor b=0,635 mm. La gráfica a continuación corresponde a la frecuencia de operación en función de la diferencia entre la frecuencia de operación y la frecuencia de corte.
Figura 5. Frecuencia de resonancia Vs. f0 deseada – frecuencia de corte, para varios modos TEm0L de resonancia
Se puede observar en este gráfico, que es también deseable que la frecuencia de corte fc se encuentre lo más alejada posible de la frecuencia de operación f0, pues así existe un menor riesgo de entrar en estado de no resonancia y además, podría cambiar el modo TEM que se desea. Finalmente, el punto para el cual el modo TEM101 se encuentra más alejado de los otros modos de excitación es donde la diferencia entre f0 y fc es de 1,15 GHz, es decir, dado que la frecuencia de operación es de f0=3,93 GHz, se obtiene que la frecuencia de corte es fc=2,78 GHz; las dimensiones que hacen posible esta frecuencia de corte son a=16,90123 mm y d=16,90086 mm. La cavidad es prácticamente cuadrada, sólo en la escala de los micrómetros es apreciable la diferencia.
0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
2 3 4 5 6 7 8 9 10
f0 - fc [GHz]
Fr e c u e n c ia d e r e s o n a n c ia f 0 [ G H z ] TEM101 TEM102 TEM103 TEM201 TEM301
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El problema que suscita de este análisis es que las dimensiones de la cavidad, para los propósitos para los que se está diseñando, son muy grandes. Por lo anterior, se establece el requerimiento de, sabiendo que la cavidad es cuadrada, a=d=5mm de longitud, lo cual hace necesario el desarrollo de la siguiente etapa de diseño.
4.2.3. Diseño de Puertos
El siguiente paso en la etapa de diseño de la cavidad es la inclusión de puertos para hacer posible ingresar y extraer energía de la cavidad. Para esto es indispensable garantizar que los campos eléctrico y magnético están acoplados en la transición del espacio libre a al medio de la cavidad y esto se consigue a través de una transición CPW-Slotline.
En primer lugar, para alimentar la cavidad resonante se usa una Coplanar Waveguide (CPW). Sin embargo, la distribución de los campos en una CPW no se acopla con la distribución de los campos de la cavidad en el modo de resonancia escogido. Por lo tanto, es necesario incluir una Slotline de modo que se hace una transición entre la CPW y la cavidad. Básicamente, la función de la Slotline es la de acoplamiento magnético. [9] [10]
Así entonces, la CPW es diseñada de modo que presenta una impedancia característica de 50 Ω de modo que haya acoplamiento de impedancias también. Y adicionalmente, se diseña una Slotline de un ancho tal que se acople a la CPW a partir de las fórmulas propuestas en [11].
4.2.4. Simulación de la cavidad
Una vez definidos todos los parámetros necesarios para el diseño de la cavidad, se implementó en el software HFSS dicha cavidad, junto con sus puertos, y se desarrolló un barrido en frecuencia con el fin de obtener la respuesta de los parámetros S. La figura a continuación muestra el diseño en el software.
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Figura 6. Diseño de la cavidad resonante en HFSS.
Como ya se había mencionado anteriormente, las medidas utilizadas fueron a y d calculados mediante la optimización de las distancias entre modos, b=0.635 mm que corresponde al grosor del substrato que se encuentra en el mercado (Rogers RT Duroid6010), y los lumped ports están ubicados a λg/8 de los bordes de manera que se acopla la impedancia de la cavidad con la de los puertos. También es importante mencionar que se asumió que el medio en el que irradia la cavidad es aire (μ=μ0 y ε=ε0) y el grosor del conductor es despreciable (t=0). A partir de esta estructura, se obtuvo los parámetros S de la cavidad resonante, y el resultado es el presentado a continuación:
Figura 7. S (1,1) y S (2,1) de la cavidad resonante diseñada.
La figura 7 corresponde a los parámetros S (Rojo: S (1,1); Azul: S (2,1)) de la cavidad. Se puede observar que la reflexión de la cavidad es mínima cerca de los 3,75 GHz, que corresponde
3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.70
Freq [GHz] -23.62
-20.00 -15.00 -10.00 -5.00 0.00
Y1
HFSSDesign1
XY Plot 3
m2
m1
Curve Info
dB(S(1,1)) Setup1 : Sw eep
dB(S(2,1)) Setup1 : Sw eep
Name X Y
m1 3.7400 -21.7917
14 aproximadamente con el diseño planteado inicialmente. De igual manera, la transmisión es máxima en el mismo punto, es decir, f0=3,75 GHz. Se puede comprobar entonces que efectivamente la cavidad está resonando de acuerdo con el diseño planteado en las secciones anteriores. Existe una pequeña pérdida, pues se observa que el pico de S (2,1) no está en 0 dB, que corresponde con el diseño planteado inicialmente donde se contempló la resistencia intrínseca η y la resistencia superficial en el conductor Rs.
4.3. Disminución de dimensiones
A pesar del correcto funcionamiento del a cavidad resonante a la frecuencia deseada, las dimensiones de la cavidad (a=d=16.9 mm) son demasiado grandes para ser implementada como un dispositivo de medición de PIO, pues el ojo como tal tiene un diámetro de aproximadamente 2.5 cm. Debido a estas condiciones se hace imposible la instalación/implantación del dispositivo en un paciente para hacer la medición y es por esto que se hace necesario reducir las dimensiones de la cavidad.
A partir de la teoría de cavidades resonantes, se sabe que es posible cambiar la frecuencia de resonancia de una cavidad mediante alteraciones en su forma.
𝜔 − 𝜔0
𝜔0 =
Δ𝑊𝑚− Δ𝑊𝑒
𝑊𝑚+ 𝑊𝑒 (4)
Donde, Wm y We son la energía magnética y la energía eléctrica almacenadas y, ΔWm y ΔWe son la energía magnética y la energía eléctrica almacenadas en la cavidad luego de la perturbación, respectivamente. Específicamente, para un poste de radio r0 y altura h instalado en el centro de una cavidad resonante cuadrada, se tiene que [3]:
Δ𝑊𝑚− Δ𝑊𝑒 = −𝜖0𝐴2Δ𝑉 (5)
𝑊𝑚+ 𝑊𝑒 =
𝑉0𝜖0𝐴2
2 (6)
Donde, ΔV es el volumen de la perturbación, en este caso el poste, y V es el volumen original de la cavidad. De estas fórmulas se puede observar que incluir el poste solamente puede disminuir la frecuencia de resonancia.
Ahora bien, el nuevo problema planteado es ¿cómo variar el volumen de la cavidad de tal manera que obtenga las dimensionas requeridas para una frecuencia de resonancia
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determinada? pues bien, el procedimiento de diseño propuesto diseñar una cavidad resonante con las dimensiones requerida, sin importar cuál sea su frecuencia de resonancia, y posteriormente aplicar las fórmulas propuestas por Pozar para determinar el volumen del poste que le permite a la cavidad resonar a la frecuencia de operación deseada.
En primer lugar, debe diseñarse la cavidad resonante de tal manera que tenga las dimensiones requeridas para la implementación en el uso preferido. Sabiendo que la cavidad es prácticamente cuadrada, se ha definido a=d=5 mm. A partir de (3) se establece:
𝑓0 = 𝑐
2𝜋√𝜀𝑟
√(𝑚𝜋
𝑎 )
2
+ (𝑛𝜋 𝑏 )
2 + (𝑙𝜋
𝑑) 2 = 3𝑥10 8 2𝜋√10.2√( 𝜋 0.005) 2
+ ( 𝜋
0.005) 2
= 13.28 𝐺𝐻𝑧
𝑓𝑐 = 𝑐 2𝜋√𝜀𝑟
√(𝑚𝜋
𝑎 )
2
+ (𝑛𝜋 𝑏 ) 2 = 3𝑥10 8 2√10.2 1
0.005= 9.39 𝐺𝐻𝑧
Sabiendo la frecuencia de operación y las dimensiones de la cavidad, se simuló nuevamente para comprobar la nueva frecuencia de resonancia.
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Efectivamente, la frecuencia para la cual S (1,1) es mínima es f0=13,2 GHz, por lo tanto el siguiente paso es diseñar el poste. Dadas las fórmulas de Pozar se puede calcular el volumen del poste para obtener una disminución de la frecuencia de operación hasta la frecuencia deseada:
𝜔 − 𝜔0 𝜔0
= −𝜖0𝐴 2Δ𝑉
𝑉0𝜖0𝐴2 2
=−2Δ𝑉
𝑉0
(7)
Δ𝑉 = (𝜔0− 𝜔 𝜔0
)𝑉0
2 ⇒ 𝜋𝑟
2ℎ = (𝜔0− 𝜔 𝜔0
)𝑎𝑏𝑑
2 (8)
Donde, ω es la frecuencia deseada y ω0 es la frecuencia actual de la cavidad. El volumen
de la cavidad es V0=1.5875e-8 m3, y se sabe que ω0=2π (13.28 GHz) y ω=2π (3.93 GHz).
Con los datos dados el valor del volumen del poste es ΔV=6.6518e-09 m3, por lo tanto se puede fijar una de las dos dimensiones (r o h) del volumen del cilindro y hallar la otra.
Para no fijar arbitrariamente un valor se desarrollaron varias pruebas del poste con el fin de determinar cuál de las dimensiones son más favorables. Las figuras 9 y 10 muestran dos ejemplos de dimensiones diferentes para el mismo radio.
Figura 9. Parámetro S (1,1) de la cavidad con un poste de altura h=0.52 mm.
Como lo muestran las diferentes simulaciones, a pesar de tener mismo volumen, diferentes dimensiones para el poste influyen en la disminución de la frecuencia de
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operación. Sabiendo esto, se procedió a escoger las dimensiones para las que la frecuencia de resonancia fuese la más cercana a la frecuencia deseada posible.
Figura 10. Parámetro S (1,1) de la cavidad con un poste de altura h=0.54 mm.
Finalmente, la figura 10 muestra los resultados para la frecuencia mínima obtenida, con frecuencia de resonancia f=6,4 GHz. Para obtener esta frecuencia se utilizó un poste de altura h=0.54 mm y radio r=1.98 mm. De este modo se modificó la frecuencia de resonancia de resonancia de una cavidad de 5mmX5mm.
4.4. Circuito Equivalente
Una vez completado el proceso de implementación de la cavidad con dimensiones cortas y a la frecuencia deseada, el siguiente paso en el diseño del dispositivo sería incluir la capacitancia capaz de variar proporcionalmente con la presión del sistema en el que será implementado. Sin embargo, debido a algunos inconvenientes ajenos al desarrollo del proyecto no fue posible continuar usando el software HFSS para simular y comprobar el correcto funcionamiento del diseño.
Dada esta situación se decidió continuar el trabajo en bases más teóricas y simular bajo el modelo del circuito equivalente de la cavidad y la posterior inclusión de la solución propuesta para la capacitancia de medición. Para esta etapa final del proyecto se utilizó la herramienta Designer 8.0, teniendo en cuenta que es un software especializado en la ingeniería de microondas y telecomunicaciones.
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Para modelar el sistema planteado se implementaron dos metodologías diferentes: un resonador a través de una línea de trasmisión, y un modelo de parámetros concentrados planteado por Marcuvitz.
4.4.1. Línea λ/4 cortocircuitada
El primer modelo está basado en las ecuaciones de líneas de transmisión, donde al cortocircuitar uno de los terminales de una línea de distancia λ/4 a la frecuencia de resonancia produce el mismo efecto que una cavidad o un circuito RLC paralelo [3]. El circuito implementado para modelar la cavidad resonante es el de la figura 11.
Figura 11. Modelo de la cavidad usando una línea de transmisión
De este modo, los transformadores representan la transferencia de energía del aire a la cavidad, energía que posteriormente se propaga a través de una línea de transmisión que simula la propagación en un medio y finalmente llega a la línea en corto para resonar, al igual que pasa por una resistencia que, como ya se había mencionado en la etapa de diseño de la primera cavidad, representa la resistencia superficial del conductor. Bajo este modelo, se simuló para obtener la respuesta en frecuencia del circuito y los parámetros S, que se observan en la figura 12.
Tal como se esperaba, la resonancia es bastante parecida a la de una cavidad resonante de 5 mm X 5 mm puesto que el parámetro S (1,1) llega a su valor mínimo (-55.1838 dB) en la frecuencia f=13.3 GHz, y asimismo, el valor del parámetro S (2,1) es máximo (-0.0026 dB) cuando la frecuencia es f=13.3 GHz, y ambos valores de frecuencia están alrededor de los 13.28 GHz para los que fue diseñado el modelo.
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Figura 12. Parámetros S del modelo de cavidad con línea de transmisión.
El siguiente paso es incluir el efecto del poste en la cavidad, para esto se incluye un capacitor que modele dicha perturbación. La figura 13 muestra el nuevo circuito implementado.
Figura 13. Modelo de la cavidad con poste
El capacitor fue diseñado teniendo en cuenta que el poste y la cara superior de la cavidad forman un campo eléctrico de modo que representan dos placas paralelas que acumulan carga. Para el dieléctrico usado, el área superficial del poste y la distancia entre las dos placas, fue calculado el valor de C. Sabiendo que εr=10.2, d=0,54 mm y r=1,98 mm se tiene que
𝐶 =𝜖𝐴
𝑑 = 2 𝑓𝐹
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Figura 14. Parámetros S para el modelo de cavidad con poste.
Efectivamente, hubo una disminución de la frecuencia de resonancia de la cavidad, hasta llegar a f=3.5 GHz. Al igual que para los parámetros anteriores, S (1,1) es mínimo y S (2,1) es máximo de modo que se comprueba que habrá resonancia a esta frecuencia.
Del mismo modo, si una de las placas cambia de posición, y a su vez la distancia entre placas, la frecuencia de resonancia cambiará proporcionalmente. La siguiente gráfica se obtuvo cambiando la distancia inicial d0=0.54 mm por d=0.635 mm. Cuanto más alejadas
están las placas se evidencia mayor frecuencia de resonancia, en este caso f=3.8 GHz y es la máxima frecuencia que se puede obtener pues equivale a tener el poste de altura 0.
Del mismo modo, se definió como la mínima distancia entre placas aquella que obtenga una frecuencia de resonancia de 2.78 GHz, ya que fue esta la que se definió como la frecuencia de corte del dispositivo. La figura 16 ilustra los resultados obtenidos para esta distancia, que por medio de experimentación se determinó d=0.33 mm.
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Figura 15. Cambio en la distancia entre placas, que conlleva a un cambio en la frecuencia de resonancia.
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4.4.2. Modelo de Marcuvitz
El modelo planteado por Marcuvitz consiste en usar parámetros dependientes de la frecuencia para modelar discontinuidades en guías de onda de diversas geometrías, incluidas las cavidades rectangulares. Se pretende usar uno de sus modelos para simular el poste centrado en la cavidad de acuerdo a la sección 5.11 de su libro Waveguide Handbook [12].
Para implementar el modelo deben cumplirse ciertas restricciones:
2𝑎 > 𝜆 >2𝑎
3 (9)
𝑑
𝑎 < 0.2 (10)
Donde, d es el diámetro del poste. Para la segunda restricción se define d=1 mm de tal manera que r/a=0.2 exactamente. Para la otra restricción se tiene que λ=2a para la frecuencia de resonancia, por lo tanto se cumple con las dos restricciones del modelo. El modelo del poste en el centro de la cavidad es el siguiente:
Figura 17. Modelo de Marcuvitz para un poste centrado en una guía de onda rectangular. [12]
Las fórmulas (11) a (14) permiten obtener los valores los parámetros Xa y Xb.
𝑋𝑎
𝑍0
− 𝑋𝑏 2𝑍0
= 𝑎
2𝜆𝑔
[𝑆0− (
𝜋𝑑 2𝜆)
2
−5
8( 𝜋𝑑 2𝜆)
4
− 2 (𝜋𝑑 2𝜆)
4
(𝑆2− 2𝑆0
𝜆2 𝜆𝑔2
)
2
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𝑋𝑏
𝑍0
= 𝑎
𝜆𝑔
(𝜋𝑑𝑎 )
2
1 +1124 (𝜋𝑑𝑎 )
2 (12)
Donde, Z0=50 Ω y,
𝑆0= ln (
4𝑎
𝜋𝑑) − 2 + 2 ∑
[
1
√𝑛2− (2𝑎
𝜆) 2 − 1 𝑛 ] ∞ 𝑛=3,5,
(13)Type equation here.
𝑆2= ln (
4𝑎 𝜋𝑑) −
5 2+ 11 3 ( 𝜆 2𝑎) 2
− (𝜆 𝑎)
2
∑ [√𝑛2− (2𝑎
𝜆)
2
− 𝑛 +2 𝑛( 𝑎 𝜆) 2 ] ∞ 𝑛=3,5, (14)
Con ayuda del software MATLAB se desarrollaron los cálculos pertinentes para hallar los parámetros del modelo y los resultados se presentan a continuación.
𝑋𝑎 = 0.0158, 𝑋𝑏 = 0.0614
Es decir, para implementarlo es necesario dos capacitores con C=660.03 pF, y un inductor con L=640 fH. El circuito quedó implementado de la siguiente forma.
Figura 18. Modelo de la cavidad resonante de parámetros de Marcuvitz.
Para el circuito presentado se simularon los parámetros S para comprobar su funcionamiento. La figura 19 ilustra estos resultados.
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Figura 19. Parámetros S para el modelo de Marcuvitz.
A pesar de que los parámetros modelan la discontinuidad en la cavidad, no es modelo suficiente para que se asemeje como tal a la misma pues el modelo está desarrollado para guías de onda rectangulares, y para que ésta llegue a ser una cavidad de cortocircuitarse un extremo de la cavidad, sin embargo, si ese fuera el caso no podría medirse el efecto del dispositivo por medio de un modelo que lo simule.
Este problema debe ser revisado más a fondo, sin embargo, por restricción de tiempo del proyecto quedará inconcluso. Por otro lado, cabe resaltar que logró modelarse por otra vía la cavidad y mostró un funcionamiento adecuado, por lo cual, de haberse tenido la herramienta apropiada (HFSS) se habría podido llevar a feliz término el proyecto.
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5. Conclusiones
El campo del electromagnetismo es realmente interesante y su profundidad puede llegar hasta niveles realmente minuciosos, donde la teoría no cuenta tanto como la experimentación, ya que esta última puede eventualmente contradecir la primera.
El desarrollo del proyecto ha sido provechoso en varios aspectos ya que me ha permitido comprender que existe y existirá siempre la necesidad de continuar aprendiendo a lo largo de la vida, pues siempre habrá algo nuevo que encontrar.
Por otro lado, es conveniente mencionar que el proyecto ha abarcado gran cantidad de conocimientos de diferentes autores en diferentes épocas, lo que también lleva a pensar que a pesar de que el conocimiento avanza, siempre existen pilares que mantienen este avance desde los primeros descubrimientos, como es el caso de Marcuvitz quien escribió su libro hace más de 45 años.
En lo netamente enfocado al proyecto, se pudo observar el comportamiento, bajo simulación, de una cavidad resonante y sus diferentes variaciones en cuanto a dimensiones y perturbaciones. Se logró desarrollar un diseño detallado para la cavidad en conjunto con un poste que pudiera determinar la presión de un medio y se llevó a simulación exitosamente, lo cual se ajusta con el avance del proyecto. Desafortunadamente, no se pudo observar el comportamiento del sistema completa bajo la herramienta de análisis de radiación en 3D, para comprender completamente la función de cada componente en el sistema, sin embargo son contratiempos sobre los cuales no se puede tener control y se debe lidiar con ellos. Ventajosamente, Se logró hallar una solución alternativa a este problema de software y se dio continuidad al proyecto, y cabe resaltar que aun así se llegó a un resultado positivo.
El presente proyecto proporciona herramientas para dar continuidad al desarrollo del dispositivo y cumplió con el alcance del proyecto de llevar a simulación el sistema completo, por lo tanto, se culmina satisfactoriamente y queda a disposición para revisión de futuros estudiantes con interés en concluirlo.
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6. Referencias
[1] S. Ferreiro y S. Ruiz, «Glaucoma,» de Oftalmología en Atención Primaria, Jaén, Formación Alcalá, 2003, pp. 199,202.
[2] American Academy of Ophthalmology, «Introducción al glaucoma: terminología, epidemiología y genética,» de Glaucoma, Barcelona, Elsevier, 2009-2009, p. 9.
[3] D. Pozar, Microwave Engineering 4th Ed., New York: John Wiley & Sons, Inc., 2012.
[4] H. Huang, «Quantification of Multiple Cracks Using MM-wave Antenna Sensor Network,» University of Texas Arlington, Arlington, 2011.
[5] K. Wu, D. Deslandes y Y. Cassivi, «The Substrate Integrated Circuits - A New Concept for High-Frequency Electronics and Optoelectronics,» Telecommunications in Modern Satellite, Cable and Broadcasting Service, 2003. TELSIKS 2003. 6th International Conference on , vol.1, pp. P-III - P-X, 1-3 Octubre 2003.
[6] J. C. Bohórquez y C. A. Tovar, «Size Reduction of Planar Substrate Integrated Waveguide Cavity-Backed Antennas,» IEEE ANTENNAS AND WIRELESS PROPAGATION, pp. 1-3.
[7] O. A. Nova, Módulo filtro-antena basado en cavidades fabricadas mediante tecnología de guía de onda integrada al subtrato (Substrate Integrated Waveguide, SIW), Bogotá: Universidad de los Andes, 2010.
[8] F. Xu y K. Wu, «Guided-Wave and Leakage Characteristics,» IEEE TRANSACTIONS ON MICROWAVE THEORY AND TECHNIQUES, VOL. 53, NO. 1, pp. 66-73, Enero 2005.
[9] J. C. Bohórquez, B. Potelon, C. Potelon, E. Rius, C. Quendo, G. Tanné y E. Fourn, Reconfigurable Planar SIW Cavity Resonator and Filter, Bogota: IEEE, 2006.
[10] L. Harle, Microwave Micormachined Cavity Filters, University of Michigan, 2003.
[11] K. C. Gupta, «Slotlines,» de Microstrip Lines and Slotlines 2nd Ed., Norwood, Artech House, Inc., 1996, pp. 269-286,375-414.
[12] N. Marcuvitz, «Chapter 5: Four Terminal Structures,» de Waveguide Handbook, Lexington, Boton Technical Publishers, Inc., 1964, pp. 257-263.