Optimización de la inversión en la malla Vial de Bogotá

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(1)UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA. PROYECTO DE GRADO. OPTIMIZACION DE LA INVERSION EN LA MALLA VIAL DE BOGOTA. PRESENTADO POR: OSCAR DANIEL CALDERON. ASESOR: ING. MAURICIO SANCHEZ. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL Y AMBIENTAL BOGOTA JULIO 2005.

(2) INDICE Pág.. GLOSARIO DE TÉRMINOS……………………………………….......................... 6 LISTA DE TABLAS………………………………………………………………….... 8 LISTA DE FIGURAS……………………………………………………………….… 10 LISTA DE ANEXOS.…………………………………………………………….…… 12 CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN………………………………………………..…. 13 1.1. OBJETIVO GENERAL…………………………………………………….…….. 14 1.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS……………………………………………………. 14 1.3. CONTENIDO……………………………………………………………………... 15 CAPITULO 2. DEFINICIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE LA MALLA VIAL DE BOGOTA………………….………………….. 16 2.1. OBJETIVOS…………………………………………………………………… 16 2.2. ASPECTOS GENERALES………………………………………………..… 16 2.3. ESTADO ACTUAL DE LA MALLA VIAL DE BOGOTA………………….. 17 2.

(3) Pág.. 2.4. PRESUPUESTO AÑO BASE Y LA TASA DE CRECIMIENTO PROMEDIO ANUAL HISTÓRICO “Α”………………… 21 2.5. ÍNDICE DE COSTOS DE CONSTRUCCIÓN PESADA -ICCP- “Γ”………………………………………………………………….… 23 2.6. COSTO PROMEDIO DE INTERVENCIÓN POR KM.-CARRIL……….................................................................................. 23 2.7. CONCLUSIONES.................................................................................... 24 CAPITULO 3.MODELO DE OPTIMIZACIÓN DE ASIGNACIÓN DE COSTOS………..……….……………………… 26 3.1. OBJETIVOS…………………………………………….……………………. 26 3.2. ASPECTOS GENERALES…………………………………………………. 26 3.3. MALLA VIAL DE ESTADO BUENO……………………………................ 30 3.3.1. Modelación de Km.-carril de mantenimiento….…………………… 31 3.3.2. Modelación de Km.-carril de malla inicial, rehabilitación y reconstrucción……………………………………….…………………... 32 3.4. MALLA VIAL DE ESTADO REGULAR…………………………………….. 33 3.4.1. Modelación del deterioro de Km.-carril de mantenimiento….……. 34. 3.

(4) Pág.. 3.4.2. Modelación del deterioro de Km.-carril de rehabilitación y reconstrucción……………………………………...… 34 3.5. MALLA VIAL DE ESTADO MALO………………………………………….. 36 3.5.1. Modelo de deterioro de la malla vial regular…...………………..… 36. 3.5.2. Modelo de intervenciones en rehabilitación y reconstrucción……………………………………………………….. ..38 3.6. PROCESO DE OPTIMIZACION……………………………………………. 39 3.6.1. Función para la malla vial buena…………………………………… 40 3.6.2. Función para la malla regular………………………………………... 42 3.6.3. Función para la malla mala………………………………………….. 43 3.6.4. Función para el desarrollo del índice…………………………….… 44 3.7. VENTAJAS Y LIMITACIONES DEL MODELO…………………………… 45 CAPITULO 4.DEFINICIÓN DEL ESQUEMA DE INVERSIÓN…………………... 47 4.1. OBJETIVOS………………………………………………………………….. 47 4.2. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS SUMINISTRADOS POR EL MODELO…………………………………………………………….. 47 4.

(5) Pág.. 4.3. ANÁLISIS DE RESULTADO CON EL ESQUEMA ACTUAL DE INVERSIÓN IMPLEMENTADO POR EL IDU…………………………. 57 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES………………………………………. 60 BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………… 62 ANEXOS………………………………………………………………………………. 64. 5.

(6) GLOSARIO DE TERMINOS •. ÍNDICE DE CONDICIÓN DE PAVIMENTO - ICP-1: parámetro que permite calificar la condición superficial de la estructura del pavimento, que depende del índice de rugosidad internacional (IRI), que determina la regularidad superficial del pavimento, y del índice de falla (IF), el cual por su parte, determina el nivel de fallas superficiales que se presentan en el pavimento.. •. MANTENIMIENTO RUTINARIO (ICP>70)2: actividad que tiende a mantener la vida útil de la estructura del pavimento. Constituye una practica preventiva y comprende las siguientes obras: sello de fisuras, limpieza de drenajes (cunetas, alcantarillas, pozos de inspección, sumideros) limpieza de obras adyacentes (bermas), demarcación horizontal, limpieza de señales verticales.. •. MANTENIMIENTO. PERIÓDICO. (ICP>70)3:. actividad. tendiente. a. aumentar durante un periodo adicional la vida útil de la estructura del pavimento, en términos de comodidad y seguridad. Puede constituir una practica preventiva o correctiva y comprende las siguientes obras: parcheo y. reparcheo,. bacheo,. sobrecapa,. técnicas. alternativas. (fresado,. termoperfilado, termogeneracion y reciclado in situ de la carpeta asfáltica). •. REHABILITACIÓN (70>ICP>30)4: actividad necesaria para devolver a la estructura de pavimento las condiciones de soporte de carga con las que inicialmente se construyo, así como su nivel de servicio en términos de seguridad y comodidad. Constituye una practica correctiva y comprende las siguientes actividades: intervenciones profundas (retiro y reconformación de. 1, 2, 3, 4. Definición tomada de la pagina Web del IDU, www.idu.gov.co. 6.

(7) capas de estructura de pavimento con idénticas características) y reciclado in situ de la totalidad de la estructura del pavimento. •. CONSTRUCCIÓN (ICP<30)5: caracterización de una estructura de pavimento nueva sobre vías en afirmado o tierra, o que por su estado de deterioro se considera deben ser reconstruidas.. •. ÍNDICE DE COSTOS DE CONSTRUCCIÓN PESADA – ICCP-6: el Índice de Costos de la Construcción Pesada, mide la evolución de los costos de los principales insumos requeridos en la construcción de carreteras y puentes, analizando las siguientes variables: obras de explanación, subbases y bases, transporte de materiales provenientes de obras de explanación, aceros y elementos metálicos, acero estructural y cables de acero, concretos, morteros y obras varias, concretos súperestructurales, pavimentación con asfalto y otros.. •. TEORÍA DE JUEGOS DE SUMA CERO7: es un juego entre dos personas o entidades cualesquiera es de suma cero cuando los logros o ganancias de un jugador se originan exactamente en las pérdidas o cesiones que debe afrontar el otro jugador.. 5. Definición tomada de la pagina Web del IDU, www.idu.gov.co Definición tomada de la pagina Web del DANE, www.dane.gov.co 7 Definición tomada de la pagina Web, http://www.rinconmatematico.com/miro/juegos2/teoriadejuegos2.htm 6. 7.

(8) LISTA DE TABLAS Pág.. Tabla 2.1 Presupuesto aproximado para el año 2005………………………….… 22 Tabla 2.2 Costos de intervención…………………………………………………... 24 Tabla 2.3 Costos de intervención promedio………………………………………. 24 Tabla 4.1 Equivalencia entre filas y porcentaje asignado a la reconstrucción……………………………………………. 48 Tabla 4.2 Equivalencia entre columnas y porcentaje asignado a la rehabilitación…………………………………………….... 49 Tabla 4.3 Limites máximos y mínimos de asignación de porcentajes………...… 49 Tabla 4.4 Inversión optima………………………………………………………...… 54 Tabla 4.5 Situación actual y proyección al 2015…………………………………. 54 Tabla 4.6 Porcentajes de asignación de recursos, 2003…………………..……. 57 Tabla 4.7 Asignación de recursos, 2005………………………………………..… 58. 8.

(9) Pág.. Tabla 4.8 Situación actual y proyección al 2015 con la política de inversión del IDU……………………………………………. 58. 9.

(10) LISTA DE FIGURAS Pág.. Figura 2.1 Lista de contratos de inventario……………………………………….. 18 Figura 2.2 Distribución de la malla vial de Bogota………………………………... 18 Figura 2.3 Diagnostico del sistema vial de Bogota, D.C. proyección a diciembre de 2004……………………………………… 20 Figura 2.4 Distribución de la malla vial, según el estado de las vías………………………………………………………………. 20 Figura 2.5 Evolución de compromisos ejecutados por el IDU…………………... 21 Figura 3.1 Curva de condición típica del ciclo de vida de un pavimento……………………………………………………………. 29 Figura 3.2 Curva de deterioramiento del pavimento…………………………....... 30 Figura 4.1 Grafica de los resultados de la matriz de la malla vial buena, a 10 años …………………………….…………………..…..… 50 Figura 4.2 Grafica de los resultados de la matriz de la malla vial Regular, a 10 años……………………………….…………….………... 51. 10.

(11) Pág.. Figura 4.3 Grafica de los resultados de la matriz de resultados de la malla vial Mala, a 10 años...………………….………………….… 52 Figura 4.4 Grafica de los resultados de la matriz del índice, a 10 años…………………………………………...……………….………… 51 Figura 4.5 Variación de la malla vial……………………………………………….. 56 Figura 4.6 Variación de la malla vial, porcentaje IDU……………………………. 59. 11.

(12) LISTA DE ANEXOS Pág.. Anexo A CÁLCULO DE PROYECCIÓN ICCP……………..………………..… 64 Anexo B MODELO DESARROLLADO EN MATHCAD VERSION 11 PARA OPTIMIZACION DE LA INVERSION EN LA MALLA VIAL DE BOGOTA.…………………………….……..……. 66 Anexo C MODELO CON ESQUEMA PROPUESTO POR EL INSTITUTO DE DESARROLLO URBANO - IDU -…………….… 83. 12.

(13) 1.. INTRODUCCIÓN.. Uno de los temas de gran de importancia e interés para la ciudadanía, es la movilidad de ellos a través de la ciudad de Bogota, es decir, los tiempos de viaje, el tráfico en las calles y el nivel de servio que se presta. La. movilidad esta. determinada por varios aspectos, dentro de los cuales se destacan el sistema vial y el sistema de transporte. Para el sistema de transporte, durante los últimos periodos de gobierno distrital han elaborado e implementado un plan de transporte masivo, para darle solución a los problemas presentados en Bogota, reduciendo los tiempos de viajes y los costos asociados a ellos. La alcaldía de Bogota ha venido realizando una serie de inversiones a planes de largo plazo, situación que progresivamente le ha ido cambiando la cara a la ciudad. En cambio, en la última década el sistema vial de Bogota ha venido en decadencia, donde una de la razones es que la política de inversión de IDU, esta en gran parte definida por compromisos políticos adquiridos durante la campaña hacia la alcaldía. No existe una política clara de inversión a largo plazo, solo se consideran planes de ejecución con un plazo menor o igual al de la duración de las alcaldías. La ciudad cuenta con un presupuesto reducido destinado a la malla vial, que en la actual administración “el mejoramiento de la malla vial”, no ha sido una bandera de justa causa, que inclusive, dentro de los últimos años se ha disminuido el presupuesto, dado que se ha reasignado a planes de asistencia medica y alimenticia subsidiada por la alcaldía, planes de no menos importancia y prioridad que la movilidad en Bogota. 13.

(14) Además, en este momento las inversiones del IDU están concentradas en su mayoría hacia la construcción de vías nuevas, dado al gran impacto social que causa este tipo de obra en el sector. Ya que aunque la rehabilitación o mantenimiento de las vías ya establecidas alargan la vida útil del pavimento, a estas no se les esta prestando gran importancia, por que no se ve reflejado de manera inmediata el beneficio generado en la sociedad.. 1.1 OBJETIVO GENERAL Desarrollar un programa que permita simular la evolución de la malla vial de Bogota a través de los años, teniendo en cuenta la asignación de recursos para cada tipo de intervención. Con el fin de optimizar, evaluar y comparar la situación optima futura, la actual y la situación futura bajo el esquema actual de inversión propuesto por el IDU.. 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS •. Definir, evaluar y cuantificar las variables que mas influyan en el comportamiento de la malla vial de bogota.. •. Simular mediante ecuaciones matemáticas el deterioro que sufre una vía a lo largo de su vida útil.. •. Elaborar un modelo matemático, que permita simular los estados de la malla vial.. •. Desarrollar un modelo de optimización que nos permita simular la evolución del futuro estado de la malla vial, evaluando el espectro de combinaciones de los diferentes tipos de intervención.. •. Determinar el mejor escenario de la política de inversión, para maximizar los resultados a 10 años. 14.

(15) •. Proyectar el estado de las vías siguiendo la política de inversión que rige actualmente el IDU.. 1.3 CONTENIDO Durante el desarrollo de este trabajo el lector, en primera instancia, encontrara un análisis de las variables que interfieren en la evolución de la malla vial de Bogota, variables que se han considerado de gran impacto, tales como, el costo de las diferentes tipos de intervención, el presupuesto asignado a la malla vial y su respectiva proyección para los próximos 10 años, de igual forma se encontrara un descripción el estado actual de la malla vial de Bogota. En el capitulo 3, se encuentra una detallada descripción del modelo desarrollado, allí se explica de manera minuciosa cada una de las variables utilizadas y la deducción de cada una de las formulas que describen el proceso de deterioro de la malla vial. Al final de este capitulo, encontraremos el proceso y desarrollo del modelo de optimización de la inversión de la malla vial. Por ultimo, en el capitulo 4 se realiza el respectivo análisis de los resultados emitidos por el modelo, dentro de los cuales se presentan dos análisis, el primero de ellos, es el obtenido por la optimización de la inversión y el segundo es el generado bajo las condiciones de inversión actuales del Instituto de Desarrollo Urbano - IDU -. 15.

(16) 2.. DEFINICIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE LA MALLA VIAL DE BOGOTA.. 2.1 OBJETIVOS •. Precisar cuales son las variables de entrada ( INPUT ) del modelo. •. Definir cual es el estado actual de la malla vial en la ciudad de Santa Fe de Bogota.. •. Detallar y cuantificar la inversión necesaria para realizar una intervención a la malla vial de Bogota.. •. Proyectar la tasa de crecimiento del presupuesto de inversión directa del IDU según su trayectoria histórica.. •. Proyectar la tasa de variación en los precios de los insumos para la construcción de infraestructura vial.. 2.2 ASPECTOS GENERALES. En este capitulo, encontraremos cuales son la variables de entrada para nuestro modelo. Dichas variables, deben ser cuidadosamente seleccionadas, dado que de su estimación dependen los resultados del modelo, teniendo en cuenta lo riesgoso que puede llegar al concepto de TITO “Trash In – Trash Out”. Unos de los aspectos más importantes a tener en cuenta, son las variables relacionadas con el tiempo, en este caso, las proyecciones de tasas de crecimiento ya que alguna variación mal planeada, puede influir de manera drástica en la cantidad de Km.-carril que se pueden intervenir en un futuro.. 16.

(17) 2.3 ESTADO ACTUAL DE LA MALLA VIAL DE BOGOTA. Durante segunda mitad de la década de los noventas, la Secretaria de Obras Publicas de bogota - que era la entidad encargada de la malla vial de Bogota en ese momento -, en vista que el deterioramiento de la malla vial de Bogota era progresivo y que se contaba con mas de 10.700 Km.-carril de vías, pero no se contaba con su respectivo diagnostico, ni se conocía detalladamente su estado. En busca de mejorar la inversión en mantenimiento de vías existentes, en 1997 se suscribieron 8 contratos de inventario por más de 2’700 millones con el fin de diagnosticar e inventariar la malla vial de bogota. A partir de la creación de Instituto de Desarrollo Urbano y específicamente desde el acuerdo 02 de 1999, el consejo de Bogota delego la creación de un sistema de información de la malla vial de Bogota al IDU, obligando a esta entidad, a unificar y compilar la información de estudios ya existentes y contratar los estudios pertinentes para conformar la base de datos del sistema vial. Dicha base de datos debería contener información general, características de la estructura del pavimento, del tráfico vehicular, del mantenimiento. de la vía y sus obras. complementarias. Para ello, el IDU suscribió 14 contratos por 6’444 millones desde el año 1998 hasta el año 2002 (ver figura 2.1).. 17.

(18) Figura 2.1. Lista de contratos de inventario Dado que solo se realizaron estudios hasta mediados del 2002, en este momento, el IDU cuenta con las actualizaciones que se presentan cada vez que se termina un contrato de obra, esto sirve como base para realizar las proyecciones correspondientes al estado de la malla vial. Para diciembre de 2004 el IDU proyecto un total de 15.306 Km.-carril de los cuales 823 Km.-carril son pertenecientes al sistema general de transporte, los restantes 14.483 Km.-carril se encuentran distribuidos de la siguiente forma:. Figura 2.2 Distribución de la malla vial de Bogota 18.

(19) Para la caracterización de cada uno de los estados de la malla vial, el IDU procedió a cualificar y asociar cada estado con su tipo de intervención requerida para mantener el nivel de servicio óptimo. Dicha intervenciones se estimaron mediante el Índice de Condición de Pavimento - ICP- presentando los siguientes resultados. •. ICP < 30. CONSTRUCCION. •. 30 < ICP < 70. REHABILITACION. •. ICP > 70. MANTENIMIENTO. Teniendo en cuenta la asociación del estado con las intervenciones antes mencionadas, tenemos que para la malla vial de estado Bueno se le realizaran intervenciones de tipo Mantenimiento. Para la malla vial de estado regular se le realizaran intervenciones de tipo rehabilitación y para el estado de malla vial de estado malo se considerara intervenciones de tipo construcción. Dada la anterior correlación, tenemos el siguiente diagnostico para la malla vial de bogota.. 19.

(20) Figura 2.3 Diagnostico del sistema vial de Bogota D.C, proyección a diciembre de 2004 Al sintetizar las figuras 2.2. y 2.3 obtenemos en general que la malla de Bogota se encuentran distribuidos de la siguiente forma, según su el estado de la malla.. Figura 2.4 Distribución de la malla vial, según el estado de las vías. 20.

(21) 2.4 PRESUPUESTO AÑO BASE Y LA TASA DE CRECIMIENTO PROMEDIO ANUAL HISTÓRICO “Α”.. Debido a que el modelo debe proyectarse a una década, es importante estimar cual es la tasa de crecimiento del presupuesto del IDU. Aunque no existe tendencia alguna del crecimiento histórico del presupuesto (ver figura 2.2), en promedio, sin tener en cuenta recursos de Transmilenio ni de la UEL, es de 402.927 millones de pesos.. Figura 2.5 Evolución de compromisos ejecutados por el IDU. Durante los últimos 4 años, el presupuestos del IDU ha venido decreciendo, situación que en el año 2005 se acentúa mas dado que se requiere fortalecer sectores aún más deprimidos como son la salud y la educación que la misma infraestructura vial8. Para este año el IDU tiene destinado $ 243.500 millones para 8. Tomado del documento del IDU, soporte para el informe general de gestión 2004-2005. 21.

(22) la inversión directa al subsistema vial de bogota, los cuales se dispondrán como se muestra en la tabla 2.1.. Tabla 2.1 Presupuesto aproximado para el año 2005 Aunque las series históricas nos provean un ámbito de decrecimiento en el presupuesto, se debe tener en cuenta que se están planteando medidas o políticas de financiamiento que al largo plazo, permitirán incrementar el presupuesto del IDU. Dentro de las políticas más fuertes, urbanos internos y en la periferia. se encuentran la imposición de peajes (en los accesos a la ciudad de Bogota).. Adicionalmente, se buscara incrementar la base de liquidación del impuesto de vehículos, ya que las tarifas están por 30 % menor al valor comercial del vehiculo. Por ultimo, según personas cercanas al sector al igual que ingenieros pertenecientes al IDU, se estima que de ser implementadas estas medidas, el presupuesto del IDU crecerá indudablemente, a una tasa por debajo de la tasa de inflación.. 22.

(23) 2.5 ÍNDICE DE COSTOS DE CONSTRUCCIÓN PESADA -ICCP- “γ”. Debido a que el modelo se proyectara a 10 años, los costos de intervención en el tiempo presentaran incrementos o decrementos, debido al fenómeno de la inflación. Para remediar esta situación, indexaremos los costos mediante el ICCP y no mediante la inflación, debido a que esta última se calcula con los cambios en precios de una canasta de bienes y servicios que en ningún momento reflejan el impacto real de la inflación en las obras de ingeniería. Tomando las variaciones porcentuales anuales del ICCP, que se registraron desde 1994 hasta 2004, y realizando una regresión con estos datos, tenemos que para los próximos 10 años un ICCP de 4.76% anual promedio (ver anexo A.).. 2.6 COSTO PROMEDIO DE INTERVENCIÓN POR KM.-CARRIL Según el documento “Plan de Desarrollo Económico, Social y de Obras publicas para Bogota D.C. 2001 – 2004”, se incluyó dentro del costo de intervención de rehabilitación y reconstrucción, el costo de intervención en andenes, circunstancia que aumento los costos de intervención en la malla vial de bogota en casi 2.2 billones. En la tabla 2.2, podemos observar el costo promedio de cada intervención para el año 2002.. 23.

(24) Tabla 2.2. Costos de Intervencion (Valores en millones de pesos, 2002). TIPO DE OBRA. COSTO POR KM.- COSTO POR KM.CARRIL, MALLA CARRIL, MALLA VIAL ARTERIAL VIAL INTERMEDIA. $ 1.999 $ 500 $ 105. CONSTRUCCION REHABILITACION MANTENIMIENTO. $ 980 $ 350 $ 105. Fuente: Analisis Estadistico de la Condicion Actual de la Malla Vial de Bogota, 2003. Como primera medida, los costos referenciados en la tabla 2.2. deben ser indexados con el ICCP, con el fin de actualizar el costo de cada uno de ellos a Diciembre de 2004. Además, el modelo requiere que solo haya un costo promedio para cada tipo de intervención, por esto, los valores de la tabla. 2.2 serán ponderados por las longitudes correspondientes de cada tipo de malla (ver tabla 2.3).. Tabla 2.3. Costos de Intervencion promedio (Valores en millones de pesos, 2005). TIPO DE OBRA. COSTO POR KM.CARRIL. $ 1.487,67 $ 486,61 $ 119,79. CONSTRUCCION REHABILITACION MANTENIMIENTO. 2.7 CONCLUSIONES •. Se evidencia el mal estado en el que se encuentra la malla vial de bogota, donde casi el 50 % de la malla vial total se encuentra ya deteriorada, además en estado regular hay un 25 % y un 26 % en estado bueno.. •. Dada la serie histórica del ICCP, se calcula que para la próxima década dicho índice podrá tener un valor promedio cercano a 4.76%.. 24.

(25) •. Debido a que se correlaciono el estado de la malla vial con un tipo de intervención especifica, se tiene que el costo de mantenimiento por km.carril es aproximado a $ 119 millones de pesos, el costo de rehabilitación es de alrededor de $486 millones de pesos, por ultimo tenemos que se requiere un poco mas de $ 1.487 millones para reconstruir o construir un km.-carril en bogota.. •. Si se aplicaran las medidas para generar mas ingresos para la sostenibilidad de la malla vial, algunas personas cree que el presupuesto del IDU puede estar creciendo alrededor del 3%.. 25.

(26) 3.. MODELO DE OPTIMIZACIÓN DE ASIGNACIÓN DE COSTOS.. 3.1. OBJETIVOS. •. Desarrollar un programa que permita la modelación de los diferentes estados en los que se encuentra la malla vial de bogota, que incluya el deterioramiento y el tipo de intervención que se le realice.. •. Deducir y modelar todo el espectro de combinaciones de inversión, teniendo en cuenta sus restricciones.. 3.2. ASPECTOS GENERALES En primera instancia, se definió las variables de entrada y las variables que representaran los diferentes tipos de intervención. Luego se modelo la cantidad de Km.-carril que se pueden intervenir según el presupuesto disponible, el porcentaje de asignación a cada estado y el costo de dicha intervención. Este proceso, se realizo para cada una de las intervenciones que se relacionan con los estados en los que se encuentra la malla vial de Bogota, el estado bueno, Regular y Malo. Variables de entrada: Bo = Km.-carril en estado Bueno año 0 Ro = Km.-carril en estado Regular año 0 Mo = Km.-carril en estado Malo año 0 Po = Presupuesto año 0 recons = costo promedio de reconstrucción km.-carril año 0 26.

(27) rehab = costo promedio de rehabilitación km.-carril año 0 mante = costo promedio de mantenimiento km.-carril año 0 α= crecimiento promedio anual del presupuesto γ = ICCP proyectado t = año horizonte Variables de tipo intervención: •. Q es el % destinado a la reconstrucción. •. R es el % destinado a la rehabilitación. •. S es el % destinado al mantenimiento, pero se define automáticamente como 100 % - Q – R. •. Q y R son las únicas variables a optimizar.. Como se puede ver en la ecuación 3.1., la cantidad de km.-carril que se pueden reconstruir (intervención que permite devolver el pavimento de estado malo a estado Bueno) es función de las variables “t” que significa tiempo y la variable “Q” que es el porcentaje destinado a la reconstrucción, y se calcula mediante el siguiente procedimiento. La ecuación 3.1. nos muestra los Kms-carril que se pueden reconstruir “reconsKM”, durante el tiempo horizonte, son el porcentaje destinado a la reconstrucción “Q” multiplicado por el presupuesto inicial “Po” e indexado con la tasa de crecimiento promedio anual del presupuesto “α” año tras año; todo lo anterior, dividido por el costo de reconstruir un Km-carril e indexado con el ICCP “γ” año tras año. Teniendo en cuenta que se modelara desde el año cero y no se cuenta con registros históricos de ninguna intervención. 27.

(28) reconsKM ( Q , t ) :=. Q⋅. ⎡ (1 + α )t ⎤ ⎥ if t > 0 recons ⎢ t ⎥ ⎣ (1 + γ) ⎦ ⋅⎢. Po. (3.1). 0 otherwise. De manera similar se modela los km-carril que se rehabilitaran “rehabKM” año tras año, como se aprecia en la ecuación 3.2., donde “R” es el porcentaje destinado a la rehabilitación y “rehab” es el costo promedio de rehabilitación de un Km.-carril. rehabKM ( R, t) :=. R⋅. ⎡ (1 + α )t ⎤ ⎥ if t > 0 t⎥ rehab ⎢ ⎣ (1 + γ) ⎦ Po. ⋅⎢. (3.2). 0 otherwise. Debido a que el porcentaje asignado a mantenimiento se define automáticamente cuando se definen los porcentajes de reconstrucción y de rehabilitación, en la ecuación 3.3. podemos observar como se modela los Km.-carril que se intervendrán con mantenimiento “ rehabKM”, donde “mante” es el costo promedio del mantenimiento de un km.-carril.. ⎡ (1 + α )t ⎤ ⎥ if t > 0 manteKM( Q , R, t) := ( 1 − Q − R) ⋅ ⋅⎢ t⎥ mante ⎢ ⎣ (1 + γ) ⎦ Po. (3.3). 0 otherwise. Debemos tener en cuenta, que existe una relación dependiente entre cada uno de los estados de la malla vial, esto se debe a que se aplico la teoría de juegos de suma cero, por ejemplo, la cantidad de Km.-carril que se reconstruyen, se restan a la malla vial en mal estado y se le suman a la malla vial de estado bueno, manteniéndose el equilibrio en el sistema. Por otro lado, se debe simular el deterioramiento del pavimento entre cada estado, me explico, es simular que cantidad de Km.-carril pasa del estado Bueno a regular 28.

(29) y del estado regular al Malo. Para dicha simulación, se ha tomado como referencia la curva de condición típica del ciclo de vida de un pavimento presentada en la Guía Metodológica para el Diseño de obras de Rehabilitación de INVIAS, 2002, que relaciona el deterioro con los costos de las necesidades según el instante de la intervención (ver figura 3.1). Además, se ha combinado con la curva de deterioramiento del pavimento (ver figura 3.2) que fue idealizada y utilizada por el IDU en el modelo de desarrollado por ellos.. Fuente: Guía Metodológica para el Diseño de obras de Rehabilitación de INVIAS, 2002. Figura 3.1 Curva de condición típica del ciclo de vida de un pavimento. 29.

(30) Figura 3.2 curva de deterioro del pavimento Al analizar las dos graficas presentadas con anterioridad, tenemos que un pavimento en estado bueno se demora 6 años en cambiar totalmente a un estado regular, lo que simularemos como una depreciación en línea recta con una pendiente de un sexto (1/6). Análogamente, para el estado regular tenemos una depreciación de un octavo (1/8) por año, simulando el deterioramiento de regular a malo.. 3.3 MALLA VIAL DE ESTADO BUENO. La función que modela el estado de la malla vial no es una función acumulativa, esta función calcula el total de la malla vial en estado bueno como la suma de los diferentes Km.-carril que se encuentran en cada año, según su incremento y deterioramiento año tras año. Para modelar el funcionamiento del estado bueno se debe tener en cuenta los siguientes aspectos:. 30.

(31) •. La intervención por mantenimiento alarga la vida útil del pavimento en dos años adicionales, es decir, que si la vida útil en el estado Bueno es de 6 años, al realizar la intervención dicha vida útil se alargara a 8 años. Por lo cual su deterioramiento se calculara como un octavo (1/8) anual y no un sexto (1/6).. •. Todo el pavimento que se encuentre en estado bueno – sin tener en cuenta al que se le realiza mantenimiento- se le calculara un deterioramiento de un sexto (1/6), incluye los kms.-carril del pavimento inicial en estado bueno, de lo rehabilitado y lo reconstruido.. Para la modelación del estado bueno, se dividirá en dos partes, dada la diferencia en su periodo de deterioro. La primera de ellas, son los Km.-carril de mantenimiento con un periodo de 8 años y segundo los Km.-carril de malla inicial, de rehabilitación y reconstrucción con un periodo de 6 años.. 3.3.1 Modelación de Km.-carril de mantenimiento Para la cantidad de km.-carril que se intervinieron con mantenimiento, tenemos que para el año 8 -que se considera el comienzo de la generalización de la función, dado que allí termina de depreciarse lo recuperado por mantenimiento en el año 1- la siguiente expresión:. (3.4). Donde “manteKM(t)” son los Kms.-carril que es posible intervenir con mantenimiento en el año “t”, además tenemos que la fracción simboliza la cantidad de Kms.-carril que se tienen para ese año “t” descontando el deterioramiento. Por 31.

(32) esto para el año inmediatamente anterior a “t” tenemos 7/8, ya que en un año se deteriora 1/8, para el año “t-2” tenemos 6/8 ya que se a deteriorado en 2/8 la cantidad de pavimento en mantenimiento y así sucesivamente hasta que la fracción se convierte en 0. Al simplificar la ecuación (3.4), se obtiene la siguiente ecuación. 8. Mkm( Q , R, t) :=. ∑. i=0. ⎡ ( 8 − i) ⋅ manteKM( Q , R, t − i)⎤ ⎢ ⎥ ⎣ 8 ⎦. (3.5). 3.3.2 Modelación de Km.-carril de malla inicial, rehabilitación y reconstrucción Como primera medida, se compilaron dentro de la variable “Bkm(Q,R,t)” las cantidades de Km.-carril de la malla buena inicial “Bo”, los Km.-carril que se intervinieron por rehabilitación “rehabKM(R,t)” y por reconstrucción “reconsKm(Q,t) a través del tiempo. Esta compilación se logra debido a que estas tres cantidades se deterioran en el mismo plazo (ver la ecuación 3.6.). Bkm( Q , R, t) :=. Bo if t. 0. (3.6). ( reconsKM ( Q , t ) + rehabKM ( R, t) ) otherwise. Dado que “Bkm(Q,R,t)” se deteriora en un plazo de 6 años y siguiendo de manera similar el concepto explicado para el mantenimiento (ecuación 3.4.) pero utilizando 1/6 como factor de deterioro, tenemos para el año 6 - que se considera el comienzo de la generalización de la función, dado que allí termina de depreciarse la malla vial en estado bueno inicial- la siguiente expresión: Bkmtotal( t ) := Bkm( t ) +. 5 6. ⋅ Bkm( t − 1) +. 2 3. ⋅ Bkm( t − 2) +. Y simplificado, tenemos: 32. 1 2. ⋅ Bkm( t − 3) +. 1 3. ⋅ Bkm( t − 4) +. 1 6. ⋅ Bkm( t − 5). (3.7).

(33) 6. Bkmtotal( t) :=. ∑. (6 − i). i=0. 6. ⋅ Bkm( ( t − i) ). (3.8). Por ultimo, tenemos que la suma aritmética de la ecuación 3.5 y la ecuación 3.8, donde “Btotal(Q,R,t)” representa el total de km-carril de la malla vial en estado bueno a lo largo del tiempo (ecuación 3.9).. 6. Btotal ( Q , R, t ) := Mkm( Q , R, t ) +. ∑. i=0. 3.4. ( 6 − i) 6. ⋅ Bkm( Q , R, t − i). (3.9). MALLA VIAL DE ESTADO REGULAR.. De manera similar al modelo de malla vial buena, este modelo no es una función acumulativa, esta función calcula el total de la malla vial en estado regular como la suma de los diferentes Km.-carril que se encuentran en cada año según su incremento y deterioramiento año tras año. Dado que todos los modelos están correlacionados, para la malla regular se le sumaran los km.-carril que se deterioran de la malla vial buena (incluye los km.carril iniciales de la malla buena, el mantenimiento, la rehabilitación y la reconstrucción). Así mismo, se le sustraerá a esta, los deterioramientos correspondientes a las cantidades anteriormente mencionadas y los km.-carril que se rehabilitan. Debido a que en la malla vial buena, se realizo un modelo especifico según el tipo de intervención, para el modelo regular se tratara de la misma forma, independientemente que se deterioraren igualmente a un plazo de 8 años.. 33.

(34) 3.4.1Modelación del deterioro de Km.-carril de mantenimiento Para desarrollar el modelo, se debe tener en cuenta, que se aplico un deterioro de 1/8 anual al mantenimiento realizado en la malla buena, así deducimos que durante un lapso de 8 años, el mantenimiento que se realizo en un tiempo t se estará deteriorando (aportando a la malla vial regular). Por lo anterior, el deterioro de los km.-carril de mantenimiento se calculara como 1/8 de los diferentes km.carril que se mantuvieron durante los últimos 8 años al tiempo t, comenzando en “t-1” en el tiempo t, ya que el deterioro comienza desde el siguiente año al que se realiza la intervención (ver ecuación 3.10).. (3.10). Al simplificar dicha expresión, tenemos la ecuación 3.11:. 7. deteriorodemantenimiento ( t) :=. ∑. i=0. 1 8. ⋅ manteKM( t − i − 1). (3.11). 3.4.2 Modelación del deterioro de Km.-carril de rehabilitación y reconstrucción De igual manera que se desarrollo el procedimiento para calcular el deterioro del mantenimiento, se utilizara en este deterioro, para el cual se utiliza un deterioro de 1/6 anual, con un lapso de 6 años (ver ecuación 3.12). deteriorodeBkm :=. 1 6. ⋅ Bkm( Q , R , t − 1) + 1. 1 6. ⋅ Bkm( Q , R , t − 2) + 1. 1 6. ⋅ Bkm( Q , R , t − 3) 1. + 6 ⋅ Bkm( Q , R , t − 4) + 6 ⋅ Bkm( Q , R , t − 5) + 6 ⋅ Bkm( Q , R , t − 6) 34. (3.12).

(35) Simplificando la ecuación 3.12, tenemos: 6. deteriorodeBkm. :=. ∑. i=1. 1 6. ⋅ Bkm [ Q , R , ( t − i) ]. (3.13). Hasta ahora solo se ha modelado por separado que cantidad de km-carril pasaran año tras año de la malla buena a la malla regular, pero no se modelado como se deteriorara este (de la malla regular a la mala) y así mismo que cantidad realmente tendremos en un año “t”. Para resolver este problema, procedemos a compilar en la variable Rkm(Q,R,t) las cantidades que se suman en la malla regular (ver ecuación 3.14), los km.-carril de la malla inicial “Ro”, el deterioro en el mantenimiento (ecuación 3.11), el deterioro de Bkm (ecuación 3.13) que es el deterioro de la malla inicial buena, de lo rehabilitado y lo reconstruido, por ultimo se debe restar el mantenimiento que se realiza durante ese año (ecuación 3.3). Rkm( Q , R, t) :=. Ro if t. 0. 7 ⎡⎡ 6 1 ⎤ ⎤ 1 ⎢⎢ ⋅ Bkm[ Q , R, ( t − i) ] ⎥ − manteKM( Q , R, t) + ⋅ manteKM( Q , R, t − i − 1)⎥ otherwise ⎢⎢ ⎥ ⎥ 6 8 i =0 ⎣⎣ i = 1 ⎦ ⎦. ∑. ∑. (3.14). Una vez obtenidos estas cantidades año tras año (Rkm), de manera similar a lo deducido para la modelación del mantenimiento en la malla vial buena (ecuación 3.4 y 3.5), se obtendrá el total de Rkm, teniendo en cuenta que estas cantidades se deterioraran en un periodo de 8 años a una tasa de 1/8, dando como resultado la siguiente expresión: 8. totalRkm :=. ∑. i=0. (8 − i) 8. ⋅ Rkm( ( t − i) ). 35. (3.15).

(36) Por ultimo, tenemos que el total de Km.-carril en estado regular “Rtotal(Q,R,t)” (ecuación 3.16) es igual al total de Rkm (ecuación 3.15) que es la sumatoria de los diferentes Km.-carril que se encuentran en año t, menos la cantidad de Km.-carril que se rehabilita en el mismo año t (ecuación 3.2). 8. Rtotal( Q , R, t) :=. ∑. i=0. 3.5.. (8 − i) 8. ⋅ Rkm( Q , R, t − i) − rehabKM ( Q , t ). (3.16). MALLA VIAL DE ESTADO MALO.. A diferencia de los modelos anteriores, en el modelo de estado malo no existe la posibilidad que el pavimento pueda pasar a otro estado sin requerir ningún tipo de intervención, es decir, el pavimento que llega a este estado se quedara ahí hasta que pueda ser reconstruido. Esta situación nos indica que la función que describirá este proceso será una función acumulativa. Con el fin de simplificar la explicación del modelo de la malla vial mala, este se explicara en dos partes, en la primera de ellas se describirá el deterioro de la malla regular (lo que pasa de la malla regular a la malla mala), y segundo se explicara el efecto de las intervenciones en rehabilitación y reconstrucción.. 3.5.1 Modelo de deterioro de la malla vial regular Para el desarrollo del modelo del deterioro de la malla vial regular, se dividirá en dos escenarios diferentes, dado que se utilizaran funciones acumulativas. Para el primer escenario, el cual se presenta cuando t es menor a 8 años, esto debido a que el deterioro de la malla regular se presenta en un lapso de 8 años, donde en el año octavo del modelo, los km.-carril iniciales de la malla vial se 36.

(37) terminaran de deteriorar (pasa la totalidad de km.-carril iniciales de la malla regular a la malla mala). Teniendo en cuenta que de la malla regular se deterioraran los km.-carril que se le suman a ella, es decir, lo que son representados por Rkm (ecuación 3.14), el deterioramiento de la malla regular será el complemento de la ecuación 3.15, pero teniendo en cuenta que solo se habrá deterioramiento un año después de que lleguen a la malla regular, esto significa, que el deterioramiento de la malla regular para cualquier año t menor que 8, será 1/8 de Rkm del año anterior, 2/8 de Rkm(t2) , 3/8 de Rkm(t-3) y así sucesivamente hasta que 8/8 de Rkm(t-8)( ver ecuación 3.17). Si t < 8 deteriromallaregular :=. +. 1. ⋅ Rkm( Q , R, t − 1) +. 1. 3. ⋅ Rkm( Q , R, t − 3) +. 1. ⋅ Rkm( Q , R, t − 4) 4 8 2 (3.17) 3 7 ⋅ Rkm( Q , R, t − 5) + ⋅ Rkm( Q , R, t − 6) + ⋅ Rkm( Q , R, t − 7) + Rkm( Q , R, t − 8) 4 8 8. 8 5. ⋅ Rkm( Q , R, t − 2) +. Simplificando la ecuación anterior, tenemos: 8. deteriromallaregular :=. ∑. i=1. ⎛ i ⎞ ⋅ Rkm( Q , R, t − i) ⎜ ⎝ 8⎠. Si t < 8. (3.18). El segundo escenario se presenta cuando t es mayor o igual a 8, el deterioramiento de la malla regular, para este caso, se calculará como la suma de la ecuación 3.18 más los km.-carril en total acumulado que se han deteriorado en años iguales o anteriores al octavo (ver ecuación 3.19).. ⎡. ⎞ ⎤ ⎛ t −8 ⎛ i ⎞ ⋅ Rkm( Q , R , t − i) ⎥ + ⎜ Rkm( Q , R , i − 1) ⎜ Si t ≥ 8 ⎢ ⎥ ⎜ ⎝ 8⎠ ⎣i = 0 ⎦ ⎝i = 0 ⎠. deteriromallaregular := ⎢. 8. ∑. ∑. 37. (3.19).

(38) Con el fin de desarrollar una sola expresión, se combinaran las ecuaciones 3.18 y 3.19 en un condicional (ver ecuación 3.20). 8. deteriromallaregular :=. ⎛ i ⎞ ⋅ Rkm( Q , R , t − i) if t < 8 ⎜ ⎝ 8⎠. ∑. i=1. (3.20). ⎡⎡ 8 ⎞⎤ ⎤ ⎛ t−8 ⎛ i ⎞ ⋅ Rkm( Q , R , t − i) ⎥ + ⎜ ⎢⎢ Rkm( Q , R , i − 1) ⎥ otherwise ⎜ ⎢⎢ ⎥ ⎜ ⎥ ⎝8⎠ ⎣⎣ i = 0 ⎦ ⎝i = 0 ⎠⎦. ∑. ∑. 3.5.2 Modelo de intervenciones en rehabilitación y reconstrucción Dado que el modelo de la malla vial mala es una función acumulativa, los km.carril que se reconstruyeron año tras año deben ser acumulados durante el tiempo, ya que esta cifra se deducirá del total de la malla vial mala. Por otro lado, tenemos que dentro de la malla mala se deducirán también los km.-carril que fueron rehabilitados, ya que estos, en teoría serian parte de la malla vial mala si no fueron intervenidos apropiadamente (ver ecuación 3.21). t. modelointervenciones := −. ∑. rehabKM ⎡⎣R, ( i − 1)⎤⎦ −. i=0. t. ∑. reconsKM ( Q , i). (3.21). i=0. Por ultimo, se combinaran las ecuaciones 3.20 y 3.21 con el fin de modelar el total de km.-carril que se encuentran año tras año en estado malo “Mtotal(Q,R,t)”, teniendo en cuenta que se parte de un cantidad de km.-carril inicial en estado malo “Mo” (ver ecuación 3.22).. 38.

(39) t. Mtotal ( Q , R, t) := Mo −. ∑. rehabKM ⎡⎣R, ( i − 1)⎤⎦. i=0. −. ∑. reconsKM ( Q , i). i=0. (3.22). 8. ∑. +. t. i=1. ⎛ ⎞ ⋅ Rkm( Q , R , t − i) if t < 8 ⎜ ⎝8⎠ i. ⎡⎡ 8 ⎞⎤ ⎤ ⎛ t −8 ⎛ i ⎞ ⋅ Rkm( Q , R , t − i) ⎥ + ⎜ ⎢⎢ ⎥ otherwise ( ) Rkm Q , R , i − 1 ⎜ 8 ⎢⎢ ⎥ ⎜ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣⎣ i = 0 ⎦ ⎝i = 0 ⎠⎦. ∑. 3.6.. ∑. PROCESO DE OPTIMIZACIÓN. Como se pretende optimizar los porcentajes de inversión, para que en un tiempo t horizonte, se encuentre la mayor cantidad de km.-carril en la malla vial buena y regular con la menor cantidad de km.-carril en la malla vial mala. Para lograr este propósito utilizaremos las expresiones de Btotal(Q,R,t) (ecuación 3.9), Rtotal(Q,R,t) (ecuación 3.16) y Mtotal(Q,R,t) (ecuación 3.22), recordando que Q es el porcentaje asignado a reconstrucción, R es el porcentaje asignado a la rehabilitación y el porcentaje de mantenimiento automáticamente se define como 100 % menos Q y R, y t es el tiempo horizonte. Las ecuaciones mencionadas nos proveerán los posibles resultados de las distintas combinaciones que sean posibles. Para ello, se restringirá el modelo para asignar una inversión mínima “X”, una inversión máxima “Y” y unos incrementos en la inversión “Z" en cada uno de los diferentes tipos de intervención (mantenimiento – malla buena, rehabilitación – malla regular, reconstrucción – malla mala).. 39.

(40) X es el % mínimo de inversión Y es el % máximo de inversión Z es el % de incremento de la inversión. Luego, procedemos a realizar una función para cada uno de los tipos de intervención, que nos permita generar una matriz de las posibles combinaciones de inversión, teniendo en cuenta las restricciones antes mencionadas.. 3.6.1 Función para la malla vial buena Para la malla vial buena, se calcularan los km.-carril de esta para un tiempo t horizonte, mediante la función 3.23, la cual presentara las variables “low” que representa la mínima inversión, “upp” que representa la máxima inversión y “incr” que simboliza el incremento en la inversión. Básicamente, la función 3.23 genera una matriz donde las columnas representan el porcentaje asignado a reconstrucción y las filas representan el porcentaje asignado a la rehabilitación, para ello se utilizaran los caracteres “a” como contador para columnas y “b” como contador para las filas. Además se utilizaran dos contadores internos “i” y “j” para barrer el espectro de combinaciones, utilizando un “for” anidado de la siguiente manera, para “i” desde “low” hasta “upp” creciendo como “low + incr”, recorra “j” desde “low” hasta “upp” creciendo como “low + incr”, es decir, para pasar de una fila a otra se debe recorrer primero todas las columnas de la primera fila.. 40.

(41) MB( low , upp , incr) :=. a←0 for i ∈ low , low + incr .. upp b←0 for j ∈ low , low + incr .. upp M. a, b. ←. 0 if a + b + 1 ≥ 0 if. ( 1 − 2⋅ low) incr. Rtotal( i, j, t) < 0 Rtotal( i, j, t − 1) < 0 Rtotal( i, j, t − 2) < 0. 0 if. (3.23). Btotal( i, j, t) < 0 Btotal( i, j, t − 1) < 0 Btotal( i, j, t − 2) < 0. Btotal( i, j, t) otherwise b←b+1 a←a+1 M. Para cada celda perteneciente a la matriz generada por la función 3.23, debe haber un valor asignado “Ma,b” que presentara las siguientes restricciones •. Asígnele cero (0) a “Ma,b”, si la suma de las columnas y filas de dicha celda es igual o mayor al numero máximo de posible de incrementos (ecuación 3.24), dado que las celdas de una matriz se enumeran desde cero (0), pero se cuentan desde 1, esta diferencia se absorbe sumando uno (1) a la expresión “a+b”.. M. •. a, b. ← 0 if a + b + 1 ≥. (1 − 2⋅ low). (3.24). incr. Asígnele cero (0) a “Ma,b”, si la cantidad de km.-carril de la malla regular para un año t, t-1 y t-2 es menor a cero (0) (ecuación 3.25), esta restricción se debe a que es posible en términos matemáticos tener km.-carril negativos, pero en la realidad no se puede dar esta opción. 41.

(42) M. a, b. ← 0 if. Rtotal( i, j, t) < 0 Rtotal( i, j, t − 1) < 0 Rtotal( i, j, t − 2) < 0. •. (3.25). Asígnele cero (0) a “Ma,b”, si la cantidad de km.-carril de la malla buena para un año t, t-1 y t-2 es menor a cero (0) (ecuación 3.26), esta restricción se debe a que es posible en términos matemáticos tener km.-carril negativos, pero en la realidad no se puede dar esta opción.. M. a, b. ← 0 if. Btotal( i, j, t) < 0 Btotal( i, j, t − 1) < 0. (3.26). Btotal( i, j, t − 2) < 0. •. Asígnele Btotal(i,j,t) a “Ma,b”, si no se ha cumplido ninguna de las restricciones anteriores (ecuación 3.27).. M. a, b. ← Btotal( i, j, t) otherwise. (3.27). 3.6.2 Función para la malla regular Para la malla vial regular (ver ecuación 3.29), se recorrerá todo el espectro de combinaciones de la matriz de igual manera que la malla vial buena, reemplazando la siguiente restricción. •. Asígnele Rtotal(i,j,t) a “Ma,b”, si no se ha cumplido ninguna de las restricciones anteriores (ecuación 3.28). M. a, b. ← Rtotal( i, j, t) otherwise. 42. (3.28).

(43) MR ( low , upp , incr) :=. a←0 for i ∈ low , low + incr .. upp b←0 for j ∈ low , low + incr .. upp M. a, b. ←. 0 if a + b + 1 ≥ 0 if. (1 − 2⋅ low) incr. Rtotal( i, j, t) < 0 Rtotal( i, j, t − 1) < 0 Rtotal( i, j, t − 2) < 0. 0 if. (3.29). Btotal( i, j, t) < 0 Btotal( i, j, t − 1) < 0 Btotal( i, j, t − 2) < 0. Rtotal( i, j, t) otherwise b←b+1 a←a+1 M. 3.6.3 Función para la malla mala De igual forma, para la malla vial mala (ver ecuación 3.31) se utilizara el mismo mecanismo descrito para la función 3.23 de la malla buena, con el fin de barrer el espectro de combinaciones, exceptuando la siguiente restricción. •. Asígnele Mtotal(i,j,t) a “Ma,b”, si no se ha cumplido ninguna de las restricciones anteriores (ecuación 3.30).. M. a, b. ← Mtotal ( i, j, t) otherwise. 43. (3.30).

(44) MM ( low , upp , incr) :=. a←0 for i ∈ low , low + incr .. upp b←0 for j ∈ low , low + incr .. upp M. a, b. ←. 0 if a + b + 1 ≥ 0 if. ( 1 − 2⋅ low) incr. Rtotal( i, j, t) < 0 Rtotal( i, j, t − 1) < 0. (3.31). Rtotal( i, j, t − 2) < 0 0 if. Btotal( i, j, t) < 0 Btotal( i, j, t − 1) < 0 Btotal( i, j, t − 2) < 0. Mtotal ( i, j, t) otherwise b←b+1 a←a+1 M. 3.6.4 Función para el desarrollo del índice. Para la lograr que se optimicen las cantidades de km.-carril de la malla vial buena, regular y mala. Se debe define un índice que nos permitan integrar todas las variables, para así lograr la maximizar los km.-carril en bogota. Mediante este índice, podremos optimizar la cantidad de km.-carril que se encuentren en un estado aceptable o superior a este, es decir, que se tomara el total de km.-carril de la malla buena más el total de km.-carril de la malla regular que haya en un tiempo t, dividido sobre el total de la malla vial de mala, a su vez que se esta minimizando los km.-carril de la malla mala (ecuación 3.32) indice :=. (MBm, n + MRm, n) MM. 44. m, n. (3.32).

(45) Para evidenciar los posibles resultados de este índice, se construyo la función 3.33 que nos permitirá recorrer todo el espectro de combinaciones, donde m y n son los contadores respectivos para las fila y las columnas, MBm,n es la matriz de resultados de la malla vial buena (función 3.23), MRm,n es la matriz de resultados de la malla vial regular (función 3.29) y MRm,n es la matriz de resultados de la malla vial mala (función 3.31). indice( MB , MR , MM ) :=. L← 0 for m ∈ 0 .. rows ( MB) − 1 for n ∈ 0 .. cols ( MB) − 1 L. m, n. (MBm, n + MRm, n) ← MM. (3.33). m, n. L. 3.7 VENTAJAS Y LIMITACIONES DEL MODELO. Una de las grandes ventajas del modelo es que fue desarrollado en MATHCAD versión 11. lo cual nos permitió programar y desarrollar funciones y ecuaciones específicas para el modelo. Al mismo tiempo, permite modificar los datos iniciales según las consideraciones correspondientes para años futuros, permite que el modelo se trabaje en pesos corriente, es decir, que las variables que tengan un componente de dinero, este conserve su valor en el tiempo y el modelo se puede proyectar a diferentes años horizontes. Otra ventaja, es que es el primer modelo matemático que contempla el impacto de la intervención por mantenimiento en la malla vial de bogota, teniendo en cuenta que este presentara un tiempo de deterioro diferente. También, permite la diferenciación entre el deterioro correspondiente a cada una de la intervenciones, tal igual que permite diferenciarlas año tras año, es decir, que aunque pertenezcan. 45.

(46) a un mismo estado de la malla vial, no quiere decir que tengan el mismo tiempo de deterioro. Además, se desarrollo una ecuación para cada estado de la malla vial, del cual depende directamente de la inversión que se realice en las intervenciones. A su vez, el modelo no esta sujeto a solo un tipo de escenario, este modelo permite que se realicen todos los diferentes tipos de combinaciones de escenarios, incrementando desde cada 1% o menos si es necesario, este provee la posibilidad de realizar inversiones mínimas en cada tipo de malla vial. Por otro lado, una de las limitaciones que presenta el modelo es que el modelo no contempla un crecimiento en la malla vial en Bogota, es decir, parte del principio de que del presupuesto disponible no se hace la asignación presupuestal para construir vías nuevas. Otra limitación, es que Dado que no se cuentan con registros históricos de comportamiento de la malla vial de bogota durante varios años, se considera que los km.-carril iniciales de cada estado se encuentran en el mismo tiempo de deterioro, por ejemplo, en la malla vial buena, todos los km.-carril están comenzando a deteriorarse en el año 1, Por lo cual este modelo no ha sido posible calibrarlo o ajustarlo a la realidad en sus primeros años de proyección. Por ultimo, una de las grandes limitaciones del modelo es que se considera una Esquema de inversión fijo para los 10 años, no deja la posibilidad de ir cambiando el esquema de inversión a través del tiempo, situación que puede optimizar aun mas el esquema de inversión.. 46.

(47) 4.. DEFINICIÓN DEL ESQUEMA DE INVERSIÓN.. 4.1 OBJETIVOS. •. Realizar un análisis de los resultados emitidos por el modelo de optimización, asignándole el monto mínimo y máximo de inversión y el respectivo incremento, para calcular.. •. Realizar un análisis de la proyección del estado de la malla vial, según la política de inversión del IDU.. 4.2 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS SUMINISTRADOS POR EL MODELO. Utilizando el modelo descrito en el capitulo anterior, y teniendo en cuenta que los datos iniciales se definieron en el capitulo 2. Se realizara la proyección a 10 años, al año 2015. Además, se ha tomado como premisa básica para el modelo, que la inversión mínima en cada tipo de intervención sea de un 10% del presupuesto anual, dado que es la política del IDU, “realizar una intervención integral que permita consolidar un proyecto de ciudad a largo plazo donde prime el bienestar común, el valor de lo publico, las actuaciones programadas y, en general, la calidad del entorno”9.. 9. Tomado de “Plan Maestro de Sostenibilidad de Infraestructura Urbana de Bogota, D.C”, IDU 2004, Pág. 453. 47.

(48) Se realizaran incrementos de un 5% con el fin de recorrer el espectro de combinaciones, no se pretende llegar a una exactitud de un 1% o menos, dada la ingerencia del IDU en la asignación de recursos. Se debe aclarar que las matrices y sus graficas que resultan del modelo, deben ser interpretadas de la siguiente forma: •. Las filas de la matrices representan la cantidad de intervalos que hay en los porcentajes de Reconstrucción, es decir, la fila 0 toma un valor de 10% asignado a la Reconstrucción, la fila 1 es el 15% asignado a reconstrucción y así sucesivamente hasta la fila 14 que es el 80 % destinado a la reconstrucción (ver tabla 4.1) Tabla 4.1 Equivalencia entre filas y porcentaje asignado a la Reconstruccion. •. FILA. % ASIGNADO A LA. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. RECONSTRUCCION 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80%. Las columnas de la matrices representan la cantidad de intervalos que hay en los porcentajes de Rehabilitación, es decir, la columna 0 toma un valor de 10% asignado a la Rehabilitación, la columna 1 es el 15% y así. 48.

(49) sucesivamente hasta la columna 14 que es el 80 % destinado a la reconstrucción (ver tabla 4.1) Tabla 4.2 Equivalencia entre columnas y porcentaje asignado a la Rehabilitacion COLUMNA. % ASIGNADO A LA. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. REHABILITACION 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80%. Dadas las restricciones al modelo, tal como, inversión mínima igual al 10%, inversión máxima del 100% e incrementos iguales al 5%, tenemos que las posibles combinaciones están restringidas a los valores máximos y mínimos presentados en la tabla 4.3. Los valores expresados en la tabla 4.3 no contemplan las restricciones presentadas en las ecuaciones 3.23, 3.29 y 3.31.. Tabla 4.3 Limites maximos y minimos de asignacion de porcentajes LIMITES DE ASIGNACION DE PORCENTAJES PARA POSIBLES COMBINACIONES I II III RECONSTRUCCION 10% 10% 80% REHABILITACION 10% 80% 10% MANTENIMIENTO 80% 10% 10%. Una vez introducidos los respectivos datos iniciales y sus restricciones, al analizar la grafica de resultados de la función 3.23 (figura 4.1), podemos observar que para 49.

(50) un periodo de 10 años, se presentaran los mejores resultados –mayores km.-carril de estado bueno - en la malla vial Buena, si el IDU invierte la mayor cantidad del presupuesto en mantenimiento de las vías, es decir, no se realizan grandes inversiones en Rehabilitación y reconstrucción. Este efecto se debe a que el mantenimiento prolonga la vida útil de un pavimento flexible, realizar mantenimientos rutinarios y periódicos previene el deterioro, entonces la cantidad de km.-carril de estado bueno se retiene en este por más tiempo.. Figura 4.1 Grafica de los resultados de la matriz de la malla vial Buena, a 10 años De la figura numero 4.2, que es el resultado de la función 3.29, podemos ver que la mayor cantidad de km.-carril en estado regular que se logran en diez años, es. 50.

(51) cuando se realiza una inversión considerable en la rehabilitación de la malla vial regular, dejando minimizada las inversiones en mantenimiento y reconstrucción. Esta situaron se debe a que si no se realiza una inversión en mantenimiento, la malla vial buena no mantendrá los km.-carril en su estado, entonces cederá la mayoría de sus km.-carril al deterioro, es decir, vendrán a ser parte de la malla vial regular, si vemos la grafica 4.1, podemos verificar que si se realiza la mayor inversión en rehabilitación se tendrá los valores mínimos de km. Carril en estado bueno. Para el estado regular, en contraposición al estado Bueno, se observa que una menor inversión en rehabilitación y reconstrucción logra los menores valores en la malla vial regular.. Figura 4.2 Grafica de los resultados de la matriz de la malla vial Regular, a 10 años. 51.

(52) Como podemos ver en la figura 4.3,. correspondiente a los resultados de la. función 3.31 de la malla vial mala, se grafico los resultados mayores a 8.000 km.carril, escalando el eje z – Km.-carril de malla vial mala- desde 8.000 hasta 12.000 km.-carril, razón por la cual no se ven los demás resultados que son cero (0). La mejor opción de inversión se da para la malla vial mala, cuando los diez años se dan los menores km.-carril en ese estado. Por lo cual, podemos observar (figura 4.3) un comportamiento similar al de la malla vial buena, entre mas se invierta en mantenimiento - menor inversión en rehabilitación y reconstrucción -, se lograra el menor numero de km.-carril en estado malo. Si comparamos el esquema de inversión óptimo para la malla vial regular con la grafica de la malla vial mala, observaremos que aunque no es el valor máximo de km.-carril de estado malo, es una considerable suma de km.-carril que sobrepasa los 10.000 km.-carril.. Figura 4.3 Grafica de los resultados de la matriz de la malla vial Regular, a 10 años. 52.

(53) Con el fin de presentar un esquema de inversión optimo, nos valdremos de la matriz de resultados del índice que fue definido en el capitulo 3 (ver figura 4.4). La esencia del índice es que entre mas alto sea su número, mayores km.-carril encontraremos en estado bueno y regular y menores km.-carril en estado malo. Como podemos ver ahora en la figura 4.4. y como se vio en las graficas anteriores, el índice que presentar el mayor valor cuando se realice la mayor inversión en mantenimiento. A pesar que en la figura 4.2 el mayor valor de km.-carril de malla regular se consiguiera realizando una mayor inversión en rehabilitación y no en mantenimiento, este valor no es suficiente para compensar la pérdida de km.-carril en la malla vial buena. De forma contraria sucede en la malla vial buena, que hay un aumento sustancioso en km.-carril dado por la inversión en mantenimiento, si compensa el mínimo valor posible de km.-carril en la malla vial regular.. Figura 4.4. Grafica de lo resultados de la matriz del índice, a 10 años 53.

(54) Una vez definidos los valores del índice, se localizo dentro de la matriz el mayor valor con sus respectivos porcentajes de inversión. En este caso, se logra un índice de 0,689, que significa que más o menos por cada 10 km.-carril en estado malo, hay 7 km.-carril en estado aceptable o superior – en estado bueno o regular. Cifra que es menor a la registrada actualmente que es por cada 10 km.-carril en estado malo, hay 10 km.-carril en estado aceptable o superior. Para lograr unos resultados óptimos de los km.-carril en la ciudad de Bogota, el IDU debe procurar invertir de la siguiente forma: Tabla 4.4. Inversion Optima TIPO DE OBRA. PORCENTAJE ASIGNADO. 10% 30% 60%. RECONSTRUCCION REHABILITACION MANTENIMIENTO. Los resultados de dicho esquema de inversión a diez años y su cambio con la situación actual se presentan en la siguiente tabla: Tabla 4.5 Situacion actual y proyeccion al 2015. TIPO DE MALLA MALLA VIAL BUENA MALLA VIAL REGULAR MALLA VIAL MALA TIPO DE MALLA MALLA VIAL BUENA MALLA VIAL REGULAR MALLA VIAL MALA. KM.CARRIL (2005) 3.738 3.596 7.149 KM.CARRIL (2015) 5.343 611 8.529. PORCENTAJE 25,81% 24,83% 49,36% PORCENTAJE 36,89% 4,22% 58,89%. ∆ PORCENTAJE 11,08% -20,61% 9,53%. Aunque las proyecciones para el 2015 no son la situación ideal para una capital de un país, dado la malla regular pierde mas del 20% de la participación en el total de la malla vial, es evidente que no es del todo malo, ya que se recupera un poco. 54.

(55) mas del 11% para la malla vial en estado bueno, pero el 9.5% se deteriora, aumentando la malla vial mala. En la figura 4.5 se muestra la evolución de los diferentes tipos de malla vial para los próximos diez años. En el anexo B se muestran los resultados pertinentes al modelo analizado durante este capitulo.. 55.

(56) Grafica 4.5. 56.

(57) 4.3 ANÁLISIS DE RESULTADOS CON EL ESQUEMA ACTUAL DE INVERSIÓN IMPLEMENTADO POR EL IDU. En el informe “Plan Maestro de Sostenibilidad de la Infraestructura Urbana de Bogota D,C” emitido por el Instituto de Desarrollo Urbano, a principios de 2004, presenta en el numeral 4.5.2 de este informe, los estados de inversión para la sostenibilidad de la malla vial durante el año 2003 para los diferentes programas que realiza el IDU. Aunque dichos programas de inversión no se ajustan adecuadamente a los tipos de inversión propuestos en este trabajo, mediante un análisis de los objetivos y montos de inversión de cada unos de los programas se estimaron los porcentajes de inversión en mantenimiento, rehabilitación y reconstrucción de la siguiente manera: Tabla 4.6 Porcentajes de asignacion de recursos, 2003 PORCENTAJE ASIGNADO CONSTRUCCION NUEVA 53,63% RECONSTRUCCION 15,70% REHABILITACION 7,97% MANTENIMIENTO 22,71% 100,00% TIPO DE OBRA. Fuente: Plan Maestro de Sostenibilidad de Infraestructura Urbana de Bogota,IDU,2004. Se debe aclarar que el modelo propuesto en este trabajo no contempla ningún tipo de crecimiento, por lo cual se adicionara una variable con el fin de representar la asignación de recursos para la construcción de vías nuevas, pero no indica se este crecimiento se contemple, el crecimiento de la malla vial no será proyectado. En la tabla. 4.7 podemos ver el monto asignado para el año 2005, asumiendo que se mantendrán las políticas de inversión del IDU a lo largo de los años.. 57.

(58) Tabla 4.7 Asignacion de recursos, 2005 TIPO DE OBRA CONSTRUCCION NUEVA RECONSTRUCCION REHABILITACION MANTENIMIENTO. PORCENTAJE MONTO ASIGNADO ASIGNADO (milones de pesos) 53,63% $ 130.576,90 15,70% $ 38.234,94 7,97% $ 19.397,55 22,71% $ 55.290,61 100,00% $ 243.500,00. Al justar el modelo y realizar la proyección para el año 2015 con los valores de la tabla 4.7, tenemos que indudablemente la malla vial en estado malo tendrá mas de 11.700 km-carril, que representa casi el 81 % del total de la malla vial, absorbiendo el 11 % de la malla vial Buena, y el 19 % de la malla regular (ver tabla 4.8). Esto nos indica, que solo por cada 10 km.-carril en estado malo tendremos 2.36 km.-carril en estado aceptable o superior (ver figura 4.6). Tabla 4.8 Situacion actual y proyeccion al 2015 con politica de inversion del IDU. TIPO DE MALLA MALLA VIAL BUENA MALLA VIAL REGULAR MALLA VIAL MALA TIPO DE MALLA MALLA VIAL BUENA MALLA VIAL REGULAR MALLA VIAL MALA. KM.CARRIL (2005) 3.738 3.596 7.149 KM.CARRIL (2015) 2.025 735 11.721. PORCENTAJE 25,81% 24,83% 49,36% PORCENTAJE 13,98% 5,07% 80,93%. ∆ PORCENTAJE -11,83% -19,75% 31,57%. En el anexo C, se presenta el modelo y sus resultados con el esquema de inversión propuesto por el IDU.. 58.

(59) Figura 4.6. 59.