Métodos geométricos aplicados a locomoción de cuerpos deformables

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(1)Métodos Geométricos Aplicados a Locomoción de Cuerpos Deformables. Fabio Domı́nguez Director: Alonso Botero.

(2) Índice general 1. Introducción. 3. 2. Herramientas Preliminares. 7. 2.1. Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.1.1. Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.2. Haces Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.2.1. Conexiones sobre Haces Principales . . . . . . . . . . . . .. 16. 3. Formulación Geométrica. 23. 3.1. Espacios de configuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 3.2. Utilización de conexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3.2.1. Ligaduras no holonómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 3.2.2. Simetrı́as y cantidades conservadas . . . . . . . . . . . . .. 29. 3.3. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.3.1. Caso puramente cinemático . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.3.2. Caso sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 1.

(3) 3.3.3. Simetrı́as y ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Generación de movimiento. 48 53. 4.1. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 4.2. Pasos y curvas cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 4.3. Ejemplos. 64. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. Optimalidad. 73. 6. Conclusiones. 80. 2.

(4) Capı́tulo 1. Introducción A lo largo de toda su historia, el hombre siempre se ha interesado por las diversas formas de movimiento. Sin embargo no se realizaron estudios cuantitativos serios hasta la llegada de Galileo y Newton. Antes de ellos, los estudios que se habı́an realizado eran netamente cualitativos y en muchos casos más de carácter filosófico. Los estudios de Newton y Galileo permitieron dar inicio a la disciplina hoy conocida como mecánica clásica, la cual es la rama fundadora de la fı́sica. Por esa época se logró describir exitosamente diversos tipos de movimiento presentes en la naturaleza y sus respectivas causas. De ahı́ en adelante la mecánica clásica ha sido ampliamente estudiada, y cada vez son más los cuerpos macroscópicos que podemos describir por medio de ella. Aun ası́, hay un tipo particular de movimiento que vemos en la vida diaria pero del cual no se tenı́a una descripción adecuada que permitiera hacer. 3.

(5) cálculos, estudiar sus propiedades y plantear posibles aplicaciones. Este tipo de movimiento es el movimiento autónomo (locomoción), aquel que puede generar un cuerpo sin la participación activa de otros. Tanto el hombre como el resto de animales presentan mecanismos de locomoción que les permiten desplazarse y cambiar de posición en el medio en que se encuentren. Los mecanismos de locomoción cambian significativamente las caracterı́sticas de vida de cualquier organismo y juegan un papel muy importante en todo lo que tenga que ver con desplazamientos intencionales de cuerpos. Por estas razones y muchas otras más se hace necesario un estudio satisfactorio de la caracterización de los mecanismos de locomoción. Hasta hace unos pocos años no existı́an teorı́as que describieran la locomoción de manera adecuada, de modo que fuera posible determinar causas y efectos producidos al interior de los cuerpos que presentan estos mecanismos. Los métodos de resolución con los que cuenta la mecánica clásica dan opciones para el estudio de estos cuerpos, pero por lo general no permiten entender las relaciones entre las variables que dan origen a la locomoción, y por ende tampoco dan ideas encaminadas hacia el planteamiento de nuevos mecanismos. Una de las dificultades que presentan estos cuerpos es que no es posible aplicar la teorı́a de cuerpos rı́gidos, pues desde ya hace mucho tiempo se sabe que no es posible tener locomoción sin cambios al interior del cuerpo. La locomoción exige cambios de forma. Una vez identificada esta dificultad se hace necesario introducir nuevas herramientas matemáticas que permitan plantear el problema y resolverlo de manera. 4.

(6) adecuada. Desde hace unos años se tomó la ruta de la geometrı́a diferencial para manejar los espacios de configuración correspondientes a estos sistemas, pues su complejidad aumenta al hacerse necesario introducir variables que describen la forma del cuerpo. Este planteamiento ha llevado a grandes avances en el entendimiento de los mecanismos de locomoción y actualmente es la herramienta preferida en las investigaciones que se realizan en esta área. Por medio de los conceptos geométricos introducidos es posible dividir las coordenadas que describen un cuerpo en variables internas y variables externas, en donde cambios en las primeras originan cambios en las segundas las cuales describen el movimiento neto del cuerpo. Además se hace posible proponer métodos por medio de los cuales se puede caracterizar el movimiento que puede llegar a generar un cuerpo deformable. El planteamiento geométrico no sólo permite encontrar las trayectorias descritas por un cuerpo deformable bajo algún mecanismo de locomoción, también permite estudiar aspectos sumamente importantes como lo son la controlabilidad del sistema y la búsqueda de trayectorias ideales. La controlabilidad hace referencia a las posibles configuraciones que puede alcanzar el sistema dadas unas condiciones iniciales. Por medio de esta se determinan los cambios que se deben hacer en las variables controladas para obtener los resultados deseados. Por otro lado, cuando nos referimos a búsqueda de trayectorias ideales nos referimos a que el problema acepta una formulación en términos de control óptimo, en cuyo caso se plantea un funcional de costo que se minimiza sobre. 5.

(7) las posibles trayectorias del sistema dando lugar a curvas que de alguna manera presentan ventajas sobre las demás. Estos aspectos serán presentados a lo largo de este documento, precisando los conceptos que se han tratado de introducir hasta el momento. La idea general es mostrar las virtudes de los métodos geométricos y justificar por qué se consideran una de las herramientas más poderosas que se tienen actualmente para la resolución de este tipo de problemas. De aquı́ en adelante se asume que el lector tiene conocimientos de topologı́a y maneja el lenguaje de variedades, espacios tangentes y formas diferenciales.. 6.

(8) Capı́tulo 2. Herramientas Preliminares En la descripción que se pretende realizar de los cuerpos deformables es necesario introducir conceptos matemáticos más avanzados de los que se utilizan en la mayorı́a de los problemas de mecánica clásica, incluyendo el movimiento de cuerpos rı́gidos. Cualquier sistema descrito por coordenadas tiene un respectivo espacio de configuración, el cual en general es una variedad diferenciable cuya dimensión es el número de coordenadas generalizadas. En muchos de los problemas estudiados en cursos de mecánica clásica la geometrı́a de este espacio no juega un papel importante y en la gran mayorı́a de los casos puede ser evitada por completo, pero para el caso de cuerpos deformables esta es una herramienta sumamente importante que puede facilitar enormemente los cálculos y que permite tener una percepción global del comportamiento del sistema. Para algunos cuerpos deformables es posible encontrar un conjunto de coordenadas generalizadas que se subdivide en dos grupos, las variables internas. 7.

(9) y las variables de grupo. Las primeras son las que tienen que ver con la forma del cuerpo y las segundas son las que describen su posición y orientación en el espacio. Esta división en las variables permite que el espacio de configuración tenga una estructura adicional que podemos aprovechar a la hora de introducir las ligaduras y simetrı́as del sistema: se dice que el espacio de configuración es un haz principal. A continuación se pretende precisar los conceptos necesarios para este planteamiento geométrico del problema, no se tiene la intención de hacer un análisis matemático detallado ni de demostrar los resultados aquı́ mencionados; si se desea tener más claridad sobre los conceptos y demostraciones se sugiere consultar las referencias [2, 7, 14, 15].. 2.1.. Grupos de Lie. Un tipo de variedad muy común en fı́sica, y que será de gran utilidad para el caso de los cuerpos deformables, es el Grupo de Lie. En términos generales, un Grupo de Lie es una variedad con un producto interno que cumple los axiomas de grupo y respeta la estructura diferenciable. Definición 1. Un Grupo de Lie G es una variedad diferenciable dotada de estructura de grupo, tal que las funciones 1.. · : G × G → G dada por. 2.. −1. : G → G dada por. (g1 , g2 ) 7→ g1 · g2. g 7→ g −1. son diferenciables. 8.

(10) La dimensión de un grupo de Lie está dada por su dimensión como variedad. En general el producto no tiene por qué ser conmutativo, de hecho la gran mayorı́a de grupos de Lie utilizados en fı́sica son grupos de matrices, en los que la operación de grupo es la multiplicación de matrices que no es conmutativa. Trabajar con grupos no abelianos puede dificultar los cálculos, pero para nuestra fortuna los grupos que vamos a utilizar son grupos de matrices ampliamente estudiados, de los cuales se encuentra bastante información en la literatura disponible. El grupo de Lie más de general que más vamos a necesitar es SE(3), el grupo de transformaciones rı́gidas (traslaciones y rotaciones) en 3 dimensiones. No siempre va a ser necesario considerar todas las posibles transformaciones, ası́ que en la mayorı́a de los casos habrá que restringirse a alguno de sus subgrupos. Los más comunes son: SE(2) (transformaciones rı́gidas en 2 dimensiones), SO(3) (rotaciones en 3 dimensiones), o sólo para traslaciones (R3 , +), (R2 , +). Los grupos de Lie tienen una familia de difeomorfismos que aparece de forma natural cuando se hace actuar el grupo sobre sı́ mismo: estos son los difeomorfismos dados por traslación derecha y traslación izquierda. Esta familia de difeomorfismos va a ser fundamental en la teorı́a necesaria para manejar los espacios de configuración de los cuerpos deformables, pues son la base para entender la estructura inherente a los grupos de Lie que los hace tan atractivos para modelar diferentes situaciones fı́sicas. Definición 2. Sea a ∈ G grupo de Lie, la traslación derecha Ra : G → G y la. 9.

(11) traslación izquierda La : G → G por a están definidas por: Ra g = ga La g = ag. De aquı́ en adelante vamos a utilizar principalmente la traslación izquierda. También se puede hacer el mismo análisis basado en la traslación derecha siguiendo el mismo procedimiento. Estas traslaciones son de suma importancia cuando se quiere utilizar la estructura de grupo de la variedad, además, por ser difeomorfismos, inducen sus respectivos levantamientos en los espacios tangentes La∗ y Ra∗ . A partir de estos levantamientos es posible definir campos vectoriales invariantes a izquierda y derecha. Definición 3. Sea X un campo vectorial sobre un grupo de Lie G. X se dice invariante por izquierda si La∗ X|g = X|ag . Los campos invariantes por derecha se definen análogamente. Estos campos vectoriales invariantes por izquierda juegan un papel sumamente importante en la interpretación fı́sica del grupo de Lie, pues son precisamente éstos los que representan las posibles velocidades del sistema, y por ende sus curvas integrales serán las trayectorias permitidas.. 2.1.1.. Algebras de Lie. Gracias a la acción de las traslaciones a izquierda y sus respectivos levantamientos, es posible caracterizar los espacios tangentes a los grupos de Lie de 10.

(12) una manera natural que respete los campos vectoriales invariantes por izquierda, e inclusive darles la estructura adicional de álgebra. Primero definimos precisamente lo que significa un álgebra de Lie. Definición 4. Un álgebra de Lie es un espacio vectorial con un corchete de Lie [X, Y ] que es bilineal, antisimétrico y cumple la identidad de Jacobi: [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0. Dada una base para un álgebra de Lie f1 , f2 , . . . , fn , el corchete de Lie queda completamente determinado por las constantes de estructura, que se definen de la siguiente forma: [fa , fb ] = cdab fd . Todo grupo de Lie tiene asociada una respectiva álgebra de Lie. El álgebra de Lie de un determinado grupo es el conjunto de todos los campos vectoriales invariantes por izquierda. Teniendo en cuenta que los vectores tangentes se definen como operadores diferenciales sobre funciones en la variedad, el corchete de Lie se define de la siguiente manera: [X, Y ]f = X[Y [f ]] − Y [X[f ]] Es fácil mostrar que este es un campo vectorial, y además que si X y Y son invariantes por izquierda [X, Y ] también lo es, pues se tiene que: La∗ [X, Y ] = [La∗ X, La∗ Y ] = [X, Y ] Existe una correspondencia uno a uno entre campos vectoriales invariantes por izquierda y vectores tangentes al grupo en la identidad, pues dado un vector 11.

(13) V , hay uno y solo un campo vectorial invariante X tal que X|e = V . Este campo se define por X|g = Lg∗ V . De esta forma se establece un isomorfismo canónico entre el álgebra de Lie g y el espacio tangente a la identidad Te G. Gracias a este isomorfismo canónico, es posible pensar en los vectores tangentes como elementos del álgebra de Lie. Como ya se mencionó anteriormente, las curvas integrales de los campos vectoriales invariantes por izquierda juegan un papel muy importante. Para esto se introduce una nueva notación, consistente con la ecuación diferencial correspondiente. Sea φξ : R → G, si φξ es curva integral del campo vectorial invariante por izquierda correspondiente a ξ entonces se escribe φξ (t) = exp tξ.. 2.2.. Haces Principales. La construcción de traslaciones a izquierda y derecha son de gran utilidad para la definición del álgebra de Lie de un grupo. Estos conceptos se pueden generalizar a la acción de un grupo sobre una variedad arbitraria. Definición 5. Una acción por izquierda de un grupo de Lie G sobre una variedad Q es una función diferenciable Φ : G × Q → Q tal que: 1.. Φ(e, q) = q. ∀q ∈ Q.. 2.. Φ(g2 , Φ(g1 , q)) = Φ(g2 g1 , q) ∀g1 , g2 ∈ G, q ∈ Q.. Se dice que una acción por izquierda Φ es libre si se tiene que Φ(g, q) = q Q implica g = e.. 12. ∀q ∈.

(14) Se puede definir de manera similar acción por derecha. Análogamente a las traslaciones por izquierda, con las acciones por izquierda es posible definir un campo vectorial sobre la variedad que esté en correspondencia uno a uno con el álgebra de Lie del grupo. Estos campos son de suma importancia para definir la conexión, la cual será utilizada para incluir las ligaduras y las simetrı́as. Para definir estos campos vectoriales, es necesario valerse de la notación exponencial introducida en la sección anterior. Definición 6. Sea G grupo de Lie, g su álgebra de Lie, Q una variedad, Φ una acción por izquierda de G en Q y ξ ∈ g. El generador infinitesimal de Φ correspondiente a ξ es el campo vectorial en Q definido por: ξQ (q) =. ¯ ¯ d (Φ(exp(ξt), q))¯¯ . dt t=0. Estos campos vectoriales se dice que son tangentes a la acción del grupo, y representan velocidades debidas a transformaciones asociadas al grupo. Las acciones a izquierda nos permiten definir los haces principales, los cuales vamos a utilizar como espacio de configuración para los cuerpos deformables. Estas nuevas estructuras se hacen necesarias dado que los espacios de configuración no son grupos de Lie, pues no es posible definir una operación de grupo en las variables internas. La distinción entre variables internas y variables de grupo se incorpora a la geometrı́a del espacio de configuración por medio de la acción por izquierda del grupo de Lie descrito por las variables de grupo y una proyección sobre las variables internas. Definición 7. Un haz principal es una variedad Q junto con un espacio base 13.

(15) M , un grupo de Lie G (grupo de estructura) que actúa por izquierda libremente sobre Q y una proyección π : Q → M tal que: 1.. Es localmente trivial, es decir que para todo q ∈ Q existe una vecindad U tal que π −1 (U ) es homeomorfo a G × U .. 2.. La acción por izquierda preserva las fibras, es decir, π(Φ(g, q)) = π(q) ∀g ∈ G ∀q ∈ Q.. Claramente se ve de la definición que las fibras π −1 (p) son homeomorfas al grupo G, y que la acción por izquierda mueve los elementos dentro de la fibra. Gracias a estas caracterı́sticas podemos decir que los haces principales son las estructuras que estamos necesitando para describir los cuerpos deformables, pues se asocia con la fibra las variables de grupo que aun poseen estructura de grupo de Lie y las variables internas se asocian con el espacio base. En la gran mayorı́a de los casos de interés esta separación puede hacerse de manera global, es decir que el espacio de configuración se puede escribir como producto directo del espacio base y la fibra. Estos espacios forman una clase particular de haces principales llamados haces principales triviales, en los cuales la acción del grupo se vuelve una traslación. Si q ∈ Q entonces q se puede expresar como q = (p, g) con p ∈ M y g ∈ G, dado que la acción preserva las fibras, se tiene que Φ(g1 , (p, g)) = (p, g1 g) la cual es precisamente la traslación izquierda en la componente del grupo. Es claro que los haces principales triviales se prestan para esta división de las variables de configuración, y que en cada punto es posible distinguir fácilmente 14.

(16) qué variables hacen parte de las variables internas y cuáles hacen parte de las variable de grupo. Dada la estructura del espacio, pareciera ser que las dos clases de variables están completamente desacopladas, y que cambios en la forma interna no tienen por qué afectar la posición o la orientación del sistema. Como ya lo hemos anticipado esta concepción es errónea, pues en presencia de ligaduras o de simetrı́as las dos clases de variables se encuentran fuertemente relacionadas. Para que esto sea visible en términos de la estructura del espacio de configuración es necesario introducir un nuevo concepto: la conexión sobre haces principales. Antes de entrar a definir formalmente conexiones sobre haces principales vale la pena hacer una aclaración sobre la escogencia de los marcos de referencia para las distintas formas posibles del cuerpo. Cuando se trabaja con un cuerpo rı́gido se tiene la libertad de escoger el marco de referencia que se desea utilizar. Lo común es tener un marco de ejes fijos en reposo con respecto al observador y un marco de ejes fijos al cuerpo que coinciden con los ejes caracterı́sticos del mismo; a partir de estos dos marcos de referencia es posible definir la orientación del cuerpo en cualquier instante. Cuando se trabaja con cuerpos deformables, se tiene el inconveniente de que los ejes caracterı́sticos del cuerpo cambian constantemente, ası́ que es necesario definir marcos de referencia para cada posible forma que pueda tomar el cuerpo. En este caso se tiene entonces una libertad mayor en la escogencia de dichos marcos de referencia; las cantidades que describen el acople entre las dos clases de variables se transforman como potencial gauge bajo un cambio en escogencia de estos marcos de referencia. Desde el. 15.

(17) punto de vista geométrico esto quiere decir que existe cierta libertad en la escogencia de la conexión. Dado que las cantidades de interés transforman como potenciales gauge, es fácil ver que los resultados fı́sicos son independientes de dicha escogencia.. 2.2.1.. Conexiones sobre Haces Principales. Para poder expresar en estos términos el acople entre las variables internas y las variables de grupo es necesario trabajar con los espacios tangentes, pues es allı́ en donde se encuentran las posibles velocidades del cuerpo y, por lo general, éstas son las que determinan dicho acople. En cada punto del haz principal hay un subespacio del espacio tangente que es fácil de identificar y que tiene un significado fı́sico bastante claro: el subespacio vertical. Este subespacio consiste de los vectores tangentes a la fibra, los cuales representan velocidades netas del cuerpo, es decir desplazamientos en la posición del cuerpo sin cambios internos de forma. Formalmente se define de la siguiente forma. Definición 8. El subespacio vertical de un haz principal Q en un punto q se define por: Vq Q = {vq ∈ Tq Q : vq = ξQ (q) para algún ξ ∈ g}. Como ya se habı́a mencionado antes, estos vectores (generadores infinitesimales) son tangentes a la acción del grupo. Dado que se está trabajando sobre un haz principal, ser tangente a la acción del grupo es lo mismo que ser tangente. 16.

(18) a la fibra, por lo que se tiene que dicho espacio debe ser isomorfo al espacio tangente al grupo G cuando es considerado como variedad el mismo (fuera del haz principal). Ası́ mismo, se tiene que también es isomorfo al álgebra de Lie del grupo, este isomorfismo se ve claramente de la definición. Cuando estos vectores son proyectados a la variedad base se anulan, y es común encontrar en diferentes libros que el subespacio vertical es precisamente el kernel de la función sobre el espacio tangente inducida por la proyección. Por ese hecho es que los vectores verticales tiene la interpretación fı́sica antes mencionada: si en un instante dado el vector velocidad del cuerpo es vertical es porque en ese momento no hay cambios de forma y la trayectoria descrita en el espacio de configuración tiende a permanecer sobre la misma fibra. En un haz principal trivial, los vectores verticales se pueden escribir de la forma (0, vq ) con vq ∈ Tg G, las únicas componentes no nulas son las correspondientes a las variables de grupo. Como primer intento se podrı́a definir un subespacio complementario al vertical considerando los vectores de la forma (vq , 0) con vq ∈ Tp M que son tangentes a la variedad base; claramente la suma directa de este subespacio con el subespacio vertical es todo Tq Q. Sin embargo, en presencia de ligaduras y simetrı́as, esta descomposición del espacio tangente no es conveniente, dado que existe un acople entre las variables internas y las de grupo. En general no es posible tener movimientos en las variables internas sin un respectivo movimiento en las variables de grupo, ası́ que desacoplar completamente los vectores velocidad de la manera sugerida anteriormente no es de ayuda en la resolución de los diferentes problemas.. 17.

(19) En general, inclusive en haces principales no triviales, es conveniente buscar un complemento para el subespacio vertical. Este complemento no está unı́vocamente determinado para un haz principal dado y existen infinitas formas de escogerlo; cada escogencia da lugar a una respectiva conexión. Para el tipo de problemas que se piensa trabajar, existen ciertos procedimientos para escoger la conexión que facilita los cálculos pertinentes y que nos permite predecir cuáles son las posibles trayectorias en el espacio de configuración del cuerpo. En estos casos lo más conveniente es escoger como complemento el espacio definido por los vectores velocidad permitidos para el sistema en estudio. Más adelante se explicará el método de escogencia de la conexión. Al complemento del subespacio vertical se le conoce como subespacio horizontal y se nota Hq Q. Cuando este espacio se escoge para cada punto de la variedad cumpliendo ciertas condiciones se dice que se tiene una conexión sobre el haz principal. Definición 9. Una conexión Γ sobre un haz principal Q es una escogencia de un subespacio horizontal Hq Q ⊂ Tq Q para todo q ∈ Q tal que: 1.. Vq Q ⊕ Hq Q = Tq Q ∀q ∈ Q. 2.. Φg∗ Hq Q = HΦg (q) Q. 3.. Hq Q depende suavemente de q. ∀q ∈ Q ∀g ∈ G. Una vez escogido el subespacio horizontal en cada punto del haz principal, es posible llevar a cabo un proceso conocido como levantamiento horizontal, el cual toma curvas sobre la variedad base y encuentra curvas sobre el haz principal 18.

(20) de tal forma que su vector velocidad es siempre horizontal y su proyección en la variedad base es la curva original. Si la conexión se escoge de acuerdo a las ligaduras y a las simetrı́as del sistema, este procedimiento nos permite encontrar la trayectoria del cuerpo en el espacio de configuración si se conoce cómo cambian las variables internas. El subespacio horizontal en cada punto del haz es isomorfo al espacio tangente a la variedad base; claramente la función sobre los espacios tangentes inducida por la proyección es un isomorfismo entre estos dos espacios, y de hecho es el isomorfismo que nos sirve para hacer el levantamiento horizontal de vectores. En términos prácticos, la definición de conexión no proporciona métodos computacionales claros con los que podamos obtener resultados; de hecho parece bastante complicado que para poder definir la conexión sea necesario definir un espacio vectorial en cada punto del haz principal. Por esto es necesario definir la 1-forma de conexión, la cual nos permite trabajar con la conexión como si fuera una función definida sobre el espacio tangente en cada punto. Algunos autores prefieren definir la conexión por medio de la 1-forma de conexión1 y luego mostrar cómo de ahı́ se desprenden los subespacios horizontales; los dos planteamientos son equivalentes. Definición 10. Una 1-forma de conexión A es una 1-forma que toma valores en el álgebra de Lie g y que cumple las siguientes propiedades: 1. 1 El. A(q) · ξQ (q) = ξ. ∀ξ ∈ g. planteamiento que seguimos es el presentado en [7].. 19.

(21) 2.. A(Φg (q)) · Φg∗ (vq ) = Adg A(q) · vq. ∀vq ∈ Tq Q. Teniendo en cuenta el isomorfismo entre el álgebra de Lie g y el subespacio vertical dado por la definición de generador infinitesimal, se puede ver que la condición 1 de la definición implica que la 1-forma de conexión actúa como una proyección sobre el subespacio vertical. Es aquı́ en donde es posible ver la relación entre la conexión (Definición 9) y la 1-forma de conexión (Definición 10): dado que el espacio tangente en cada punto se separa en la suma directa del subespacio vertical y el subespacio horizontal, se tiene que para cada vector en Tq Q existe una única forma de expresarlo como suma de un vector vertical y uno horizontal; la 1-forma de conexión correspondiente a una conexión dada es aquella que a cada vector le asigna el elemento del álgebra de Lie correspondiente a su componente vertical de acuerdo a la separación dada por la conexión. Ası́ mismo, a partir de una 1-forma de conexión es posible definir la conexión, pues el subespacio horizontal en cada punto se define como el kernel de la 1forma de conexión en ese punto. La condición 2 de la definición 10 corresponde a la condición 2 de la definición 9. Estas condiciones aseguran que un subespacio horizontal genera todos los subespacios horizontales sobre la misma fibra, lo cual garantizará más adelante que vectores sobre la misma fibra se transportan paralelamente de la misma manera. Esto sugiere que debe ser posible trabajar con la conexión independientemente de la posición sobre la fibra, es decir que debe haber una manera natural de trasladar los cálculos de una posición a otra de la fibra y que en esta traslación se incluya toda la dependencia de las variables de grupo. Para 20.

(22) esto es necesario recurrir a la forma local de la conexión, la cual se define sobre trivializaciones locales pero que en un haz principal trivial se puede definir globalmente. Esta forma local de la conexión es supremamente útil para el levantamiento horizontal de vectores. Teorema 1. Sea A una 1-forma de conexión sobre un haz principal Q, entonces A se puede escribir sobre una trivialización local de la siguiente forma: A · q̇ = Adg (g −1 ġ + A(r) · ṙ) donde q = (g, r) y g −1 ġ se entiende como la acción a izquierda aplicada a vectores en q. A la 1-forma A se le llama la forma local de A.2 Lo importante de esta forma local es que no depende de las variables de grupo, sino de las variables internas. Vale la pena aclarar que esta forma local toma valores en el álgebra de Lie g y está definida sobre el espacio tangente a la variedad base. La forma local de la conexión proporciona un método para obtener levantamientos horizontales de campos vectoriales sobre la variedad base. Si X es un campo vectorial en T M entonces el levantamiento horizontal de X está dado por: X h (q) = (X(x), −gA(r) · X(x)) Esto nos muestra el camino hacia el levantamiento horizontal de curvas. Teniendo una curva sobre la variedad base el proceso a seguir es el siguiente: se encuentra el vector velocidad en cada punto de la curva, se define un campo 2 Una. prueba de este teorema puede ser consultada en [16].. 21.

(23) vectorial en la variedad base que coincida con el vector velocidad en los puntos de la curva, se hace el levantamiento horizontal de este campo y por último se encuentran las curvas integrales del levantamiento. Este procedimiento siempre funciona. Particularmente estamos interesados en curvas cerradas sobre la variedad base, de tal forma que el cuerpo retorna a su forma original. Los levantamientos horizontales de estas curvas no tienen por que ser cerrados, lo único de lo que podemos estar seguros es que el punto inicial y el final deben estar en la misma fibra. El cambio en las variables de grupo va a ser de suma importancia en estos casos, pues es el que determina el cambio neto en la posición del cuerpo una vez se obtiene la misma forma original. Este cambio neto en las variables de grupo es lo que se conoce como fase geométrica. Definición 11. La fase geométrica o holonomı́a de una curva cerrada sobre la variedad base es el cambio neto en las variables de grupo determinado por su levantamiento horizontal. El grupo de holonomı́a de Γ con punto de referencia q consiste de todos los puntos sobre la fibra que son punto final del levantamiento horizontal con punto inicial q de alguna curva cerrada sobre la variedad base. El haz de holonomı́a con punto base q es el conjunto de todos los puntos en Q que se pueden unir a q por medio de curvas horizontales. Estos conceptos son necesarios para el estudio de controlabilidad de los sistemas que se están trabajando, pues nos permite saber qué desplazamientos son posibles a partir de cambios en las variables internas. Sobre esto existe una amplia teorı́a que sera explicada más adelante. 22.

(24) Capı́tulo 3. Formulación Geométrica En este capı́tulo vamos a mostrar cómo es posible valerse de los conceptos introducidos en el capı́tulo anterior para solucionar problemas relacionados con cuerpos deformables y en general de mecánica no holonómica. Además del valor computacional que pueden tener estos conceptos, es de suma importancia el aporte teórico que proporcionan, sobre todo cuando se estudia la controlabilidad y la optimalidad de ciertos procesos que se llevan a cabo sobre estos sistemas.. 3.1.. Espacios de configuración. Vamos a estudiar cuerpos que poseen un número finito de grados de libertad, en los cuales es posible especificar completamente el estado del cuerpo con un número finito de coordenadas. En general es posible trabajar en sistemas descritos por infinitas coordenadas, pero eso está fuera del alcance de este trabajo.. 23.

(25) Considere el conjunto de todos los posibles estados del cuerpo; a cada uno de éstos se le asignan unas coordenadas. Inclusive se acepta el caso en que las coordenadas no están bien definidas globalmente, es decir que un solo sistema de coordenadas no es suficiente para describir todos los estados posibles de manera única. Esto quiere decir que este conjunto es una variedad, y dado que necesitamos poder sacar derivadas asumimos que se trata de una variedad diferenciable. Esta variedad es lo que se conoce como espacio de configuración del sistema y va a ser un concepto de suma importancia en este planteamiento, pues es a este espacio al que vamos a tratar de darle una estructura adicional que facilite el entendimiento de la situación a resolver. Como ya se habı́a mencionado antes, este espacio de configuración adquiere naturalmente una estructura de haz principal cuando el cuerpo en consideración es deformable, pues en este caso existe una división clara de las variables (variables internas y variables de grupo) y además las variables de grupo tienen estructura de grupo de Lie (por lo general SE(3) o alguno de sus subgrupos). En este caso se tiene que la variedad base es el conjunto de todas las posibles formas que puede adoptar el cuerpo, mientras que la fibra representa las posibles ubicaciones espaciales de cada una de las formas. Bajo esta identificación se tiene que en la gran mayorı́a de los casos los espacios de configuración son haces principales triviales, pues se pueden representar globalmente como el producto cartesiano de la variedad base y la fibra. Sobre la inclusión de ligaduras se hablará en detalle más adelante, pero vale la pena hacer una distinción a este nivel entre ligaduras holonómicas y no. 24.

(26) holonómicas. Las herramientas geométricas que se han introducido son de gran ayuda para algunos casos de ligaduras no holonómicas y es precisamente este campo el que se piensa tratar en detalle, pues gracias a este tipo de ligaduras es posible la locomoción en gran parte de los casos. Las ligaduras holonómicas imponen restricciones directamente sobre las coordenadas y restringen el espacio de configuración, ası́ que de ahora en adelante vamos a asumir que el espacio de configuración escogido ya tiene en cuenta las ligaduras de tipo holonómico y que las únicas que hace falta considerar son las de tipo no holonómico. Esta simplificación no es tan sencilla, en general las ligaduras de tipo holonómico pueden llegar a ser muy difı́ciles de manejar, y encontrar el espacio de configuración que satisfaga dichas ligaduras y las coordenadas generalizadas que se deben utilizar no es un procedimiento sencillo. Sin embargo se van a estudiar casos en los que estas ligaduras no representan mayor problema, aunque hay que tener en cuenta que esto puede causar dificultades a la hora de estudiar sistemas más complicados.. 3.2.. Utilización de conexiones. El concepto de conexión introducido en el capı́tulo anterior es la herramienta que nos permite incluir en la estructura geométrica del espacio de configuración las ligaduras no holonómicas y las simetrı́as del sistema. Esta es la parte más importante de la formulación geométrica, pues al fin y al cabo el objetivo es caracterizar sistemas de locomoción encontrando cómo se afectan las variables. 25.

(27) de grupo bajo determinadas entradas en las variables internas y, como se va a ver en el resto del capı́tulo, la conexión es la responsable de establecer estas relaciones.. 3.2.1.. Ligaduras no holonómicas. Las ligaduras no holonómicas restringen los posibles vectores velocidad que puede tener un cuerpo en un instante dado. Estas no restringen las coordenadas directamente, y por ende no excluyen puntos del espacio de configuración, como sı́ lo hacen las ligaduras holonómicas. Es decir que no se restringe el espacio de configuración pero sı́ su respectivo fibrado tangente. En cada punto del espacio de configuración se hace necesario hacer la distinción de cuáles son los vectores tangentes permitidos como vector velocidad del cuerpo cuando se encuentra en ese estado. Lo ideal serı́a que ese conjunto de vectores que satisfacen las ligaduras fuera un subespacio vectorial del espacio tangente, y ası́ poder operar sobre estos vectores más fácilmente. Lastimosamente este no es el caso general, las ligaduras no holonómicas pueden llegar a ser muy complicadas y no tienen por qué ser lineales en las velocidades. Por simplicidad vamos a suponer que este es el caso y que las ligaduras que se trabajan son de tipo Pfaffiano, es decir que tienen la siguiente forma: ωji (q) q̇ j = 0. (3.1). Cuando las ligaduras son de esta forma es fácil verificar que en cada punto del espacio de configuración los vectores tangentes que satisfacen las ligaduras son un subespacio vectorial del espacio tangente, pues las ligaduras forman un 26.

(28) sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Vale la pena aclarar que aunque parece que se están restringiendo enormemente los casos sobre los que aplica la teorı́a aquı́ desarrollada, es un hecho que la gran mayorı́a de los casos de interés satisfacen estos supuestos. Cuando veamos los ejemplos quedará claro que estos supuestos no son tan restrictivos como parecen y que es posible estudiar gran cantidad de sistemas bajo estas condiciones. Una vez se tienen bien definidos los subespacios vectoriales que generan los vectores que cumplen las ligaduras es posible proceder con el planteamiento geométrico del problema. Como ya se habı́a anticipado, la conexión que se define sobre el haz principal es la responsable de guardar la información relacionada con las ligaduras no holonómicas, gracias al carácter de espacio vectorial que se le dio a los vectores permitidos por las ligaduras la conexión se define de manera natural. Los subespacios horizontales se toman como los espacios generados por los vectores permitidos por las ligaduras. Claramente esta es la elección más natural que se pudo haber hecho, pero hasta ahora no es claro por qué estos subespacios cumplen la definición de conexión; de hecho esto no siempre es suficiente para definirla completamente. Por lo general las ligaduras son G-invariantes, es decir que bajo la acción del grupo siguen siendo válidas; esto garantiza que la condición 2 de la definición 9 se satisface. Además se tiene que las ligaduras, por ser lineales en las velocidades, definen subespacios que dependen suavemente de las coordenadas, lo cual implica que la condición 3 también se satisface. El problema real lo presenta la. 27.

(29) condición 1, pues la forma en que se escogió el subespacio horizontal no garantiza que este sea un complemento del subespacio vertical; la dimensión de este espacio es igual a la dimensión del espacio de configuración menos el número de ligaduras independientes, y esta dimensión no tiene por qué ser exactamente la dimensión del espacio base. En los casos en que esta definición de subespacios horizontales cumple las condiciones enunciadas en la definición de conexión se dice que el sistema es de tipo puramente cinemático. Cuando las ligaduras no son suficientes para definir la conexión es necesario recurrir a herramientas adicionales. Por lo general se tiene que existen simetrı́as presentes en el problema que permiten encontrar cantidades conservadas que actúan como ligaduras adicionales de tipo Pfaffiano. Para lograr esto se necesitan algunas herramientas adicionales que serán tratadas en detalle en la siguiente sección. La gran mayorı́a de sistemas que se basan en rodamiento sin deslizamiento son de tipo puramente cinemático. En estos casos las variables internas están relacionadas con los ángulos de rodamiento de las ruedas y se acoplan con las variables de grupo (posición y orientación) por medio de las ligaduras no holonómicas relacionadas con la condición de no deslizamiento. Aquı́ asumimos que se tiene total control sobre la rotación de las ruedas y lo que realmente nos interesa es encontrar las trayectorias descritas por los cuerpos para diferentes curvas sobre las variables internas.. 28.

(30) 3.2.2.. Simetrı́as y cantidades conservadas. No siempre se tiene que las ligaduras no holonómicas son suficientes para determinar el movimiento del cuerpo; es posible que éstas no restrinjan completamente el sistema y tengamos que recurrir a otras herramientas para poder encontrar las trayectorias descritas. En estos casos es necesario utilizar la dinámica del sistema. Para esto la herramienta de la que disponemos son las ecuaciones de Lagrange, que nos proporcionan suficientes ecuaciones diferenciales de segundo orden para resolver el sistema. La resolución de estas ecuaciones puede llegar a ser extremadamente complicada y en estos procesos se pierde toda intuición fı́sica dado que no permite hacer una distinción clara de las variables involucradas. Para superar estos inconvenientes se utilizan métodos de reducción, en los cuales se establecen nuevas ecuaciones a partir de las simetrı́as presentes en el sistema. Estas simetrı́as tienen que ver con las propiedades de invariancia del sistema bajo la acción de algún grupo determinado. Por este camino es posible simplificar el problema y muchas veces permite una mayor intuición fı́sica del comportamiento del sistema, aunque si se pretende tener una visión clara del acople de las variables, y de cómo es la generación de movimiento a partir de entradas especificas en las variables controladas, es mucho mejor expresar estas ideas en términos de conceptos geométricos. En ausencia de ligaduras las simetrı́as llevan directamente a encontrar cantidades conservadas. Bajo este planteamiento se puede encontrar una función momento que permite definir la conexión de manera análoga al caso puramente. 29.

(31) cinemático. Cuando el sistema está restringido por un conjunto de ligaduras que a su vez no determinan completamente el comportamiento del sistema se tiene un caso hı́brido en el cual hay que tener en cuenta tanto las ligaduras como las simetrı́as, pero que es más complicado que los anteriores dado que la presencia de ligaduras hace que no hayan cantidades conservadas. Aun ası́ se pueden definir cantidades tipo momento, de las cuales se conoce su evolución temporal, con las que es posible llevar a cabo procesos de reducción.. Simetrı́as sin ligaduras La ausencia de ligaduras hace que el sistema se encuentre aislado de sus alrededores, y gracias a esto es posible encontrar cantidades que se conservan a lo largo de las trayectorias que satisfacen la dinámica del sistema. Estas cantidades conservadas cambian de acuerdo al sistema en consideración y en algunos casos es posible que nos sean fáciles de encontrar por inspección. Para esto hay resultados ampliamente conocidos que permiten establecer métodos por los cuales siempre se encuentra la cantidad conservada. Bajo ciertos supuestos se tiene que estas cantidades conservadas juegan el papel de las ligaduras no holonómicas de la sección anterior, de tal forma que los subespacios horizontales se escogen a partir de los vectores que satisfacen las restricciones impuestas. Para hacer más precisos estos conceptos y definir formalmente la conexión inducida por las simetrı́as es necesario hacer uso del teorema de Noether. Sea G un grupo de Lie que actúa por izquierda sobre una variedad Q, sea Φ : G × Q →. 30.

(32) Q está acción. Una función lagrangiana L : T Q → R se dice G-invariante si: L(Φg (q), Φg∗ (q̇)) = L(q, q̇). (3.2). para todo g ∈ G, q ∈ Q. El teorema de Noether nos dice que existen cantidades conservadas para sistemas con lagrangianos G-invariantes. Teorema 2 (Noether). Sea L : T Q → R un lagrangiano G invariante de un sistema descrito por las ecuaciones de Lagrange. La función vectorial J : T Q → g∗ definida por hJ(q, q̇), ξi = h. ∂L (q, q̇), ξQ (q)i ∂ q̇. ξ∈g. es constante a lo largo de las posibles trayectorias del sistema. Este teorema es un resultado sumamente importante y de gran utilidad en los problemas de mecánica clásica, pues proporciona ecuaciones adicionales que restringen de alguna forma las posibles trayectorias del sistema. Para que podamos ver su utilidad en la definición de la conexión tenemos que observar con cuidado la cantidad conservada. Si el lagrangiano es simple (energı́a cinética menos energı́a potencial), es fácil mostrar que las componentes de J se escriben de la siguiente forma: Ja (q, q̇) = Kai Mij q̇ j = 0 = ωa (q) · q̇ = 0. (3.3) (3.4). donde M es la matriz de masa. Esta es precisamente la forma de las ligaduras tipo Pfaffiano con las que se definı́a la conexión en el caso puramente cinemático. 31.

(33) Hay que tener cuidado en el momento de definir la 1-forma de conexión, pues estas restricciones tipo Pfaffiano no están en el espacio de los vectores ya que la función J tiene su imagen en el dual del álgebra de Lie. Para que la conexión quede bien definida es necesario introducir una función que transforme elementos del álgebra de Lie en elementos del dual del álgebra de Lie. Esta función se conoce como el tensor bloqueado de inercia y se define como la única función I(q) : g → g∗ que satisface T hIξ, ηi = ξQ M (q)ηQ. ξ, η ∈ g. (3.5). A partir de este tensor se define la 1-forma de conexión A(q) : T Q → g de la siguiente forma: A(q) · q̇ = I −1 (q)J(q, q̇) = I −1 K(q)M (q)q̇. (3.6). Fue necesaria la inclusión del tensor I para que la conexión tome valores en el algebra de Lie y no en el dual. Se puede mostrar que esta 1-forma satisface la definición de 1-forma de conexión en el haz dado por la proyección π : Q → Q/G. Esta conexión se conoce como la conexión mecánica.. Simetrı́as con ligaduras Cuando el sistema tiene ligaduras no holonómicas, pero estas no determinan completamente su comportamiento, es cuando se hace necesario el uso de las simetrı́as. Si en este caso se intentara definir la conexión como en el caso puramente cinemático tendrı́amos la dificultad de que la dimensión del espacio 32.

(34) horizontal definido en cada punto serı́a superior a la necesaria, su intersección con el subespacio vertical serı́a no trivial y en ese caso no se podrı́a satisfacer la primera condición de la definición de conexión. Esto indica que esa selección de espacio horizontal es demasiado amplia y por ende hay que restringirla. Antes de entrar a definir formalmente la conexión para estos casos, es necesario precisar algunos conceptos con el ánimo de mostrar el proceso de reducción del sistema y justificar la elección de la conexión. Sea la distribución restringida el conjunto de todos los vectores que satisfacen las ligaduras: Dq = {vq ∈ Tq Q | ω i · vq = 0. i = 1, . . . , k}. (3.7). Considere la intersección de este conjunto con el subespacio vertical en ese mismo punto, esta se conoce como la distribución restringida de fibra. Sq = Dq ∩ Vq Q. (3.8). Cuando esta es no vacı́a se dice que las ligaduras actúan verticalmente. Si esto sucede estamos en el caso en que las ligaduras no son suficientes y es necesario hacer uso de las simetrı́as del sistema. A diferencia del caso sin ligaduras, aquı́ las simetrı́as no necesariamente dan origen a cantidades conservadas; la presencia de ligaduras hace que las cantidades tipo momento que se pueden obtener del lagrangiano del sistema no se conserven sobre las trayectorias permitidas. Sin embargo es posible encontrar cómo evolucionan en el tiempo dichas cantidades, y esta evolución temporal nos proporciona nuevas ecuaciones que permiten descubrir el comportamiento del sistema.. 33.

(35) El hecho que las cantidades tipo momento no se conserven es de suma importancia en la locomoción. Es precisamente este fenómeno el que permite que un cuerpo pueda ganar momento lineal (o angular) sin presencia de fuerzas externas (aparte de las ligaduras), lo cual es precisamente la base de cualquier movimiento autónomo. Las cantidades tipo momento se obtienen de la misma forma sugerida en el teorema de Noether, y su evolución temporal está dada por el siguiente teorema: Teorema 3. Si c es una curva sobre Q que satisface las ecuaciones de Lagrange para un sistema con ligaduras no holonómicas, entonces las siguientes ecuac ciones generalizadas de momento son validas para todo campo vectorial ξQ ∈ S:. ∂L d c p = i dt ∂ q̇. µ. ¶i µ ¶i d c [ξ (c(t))] + τi ξ c (c(t)) dt Q Q. (3.9). donde pc =. ∂L c (ξ (c(t)))iQ ∂ q̇ i. (3.10). es el momento restringido.1 Estas ecuaciones generalizadas de momento no hacen parte de la definición de la conexión, pero sin ellas no serı́a posible describir el movimiento del cuerpo estudiado. Volviendo a la definición de la conexión, tenemos que de alguna forma es necesario restringir el espacio de los vectores que satisfacen las ligaduras para poder definir apropiadamente los subespacios horizontales. Dado que en este tipo de problemas se tiene una métrica asociada a la energı́a cinética, podemos 1 En. las referencias [3, 16] se encuentran dos demostraciones distintas de este teorema.. 34.

(36) hacer uso de ella para encontrar un complemento ortogonal de Sq . Esta métrica está dada por: hhu, vii = uT M (r)v. (3.11). donde M (r) es la matriz de inercia. Los subespacios horizontales se definen tomando los vectores que satisfacen las ligaduras y que bajo esta métrica son ortogonales a la fibra. Esta segunda condición garantiza que estos vectores cumplan las simetrı́as, de tal forma que volvemos a tener que los vectores horizontales son aquellos vectores que son permitidos como vector velocidad del sistema. Hq Q = {vq ∈ Q | vq ∈ Dq y hhvq , wq ii = 0 ∀wq ∈ S}. (3.12). La incorporación de la métrica garantiza que Hq Q ⊕ Vq Q = Tq Q, y si se asume que tanto la métrica como las ligaduras son G-invariantes, se tiene que la conexión está bien definida. Poniendo la conexión en su forma local se puede mostrar que para vectores horizontales se cumple que: g −1 ġ = −A(r)ṙ + I(r)−1 p. (3.13). donde I(r) es el tensor bloqueado de inercia. Aquı́ se observa que el movimiento en las variables de grupo tiene influencia directa de las variables internas, pero que además tiene una contribución adicional debido al momento adquirido anteriormente. Este segundo factor en la ecuación (3.13) es el que justifica la importancia de las ecuaciones generalizadas de momento, pues sin estas serı́a imposible encontrar la velocidad de las variables de grupo. 35.

(37) Este planteamiento nos ha permitido expresar la dinámica del sistema en términos de las ecuaciones (3.9) y (3.13), las cuales son de primer orden y tienen la gran ventaja de que permiten ver claramente cuál es el aporte de las variables internas a la velocidad de las variables de grupo. Para completar toda la dinámica del sistema hace falta una ecuación que describa la dinámica de las variables internas únicamente, la cual no es importante para el entendimiento de la locomoción del sistema.. 3.3.. Ejemplos. En esta sección mostraremos la formulación geométrica de algunos casos que ya han sido ampliamente estudiados y que ilustran adecuadamente los métodos expuestos en este capı́tulo. Se mostrará el desarrollo hasta la definición de la conexión y las ecuaciones diferenciales que de ahı́ se desprenden; no vamos a encontrar explı́citamente las trayectorias inducidas por curvas en la variedad base.. 3.3.1.. Caso puramente cinemático. Ejemplo 1. Considere un robot que mantiene una orientación fija2 , el cual gira sus ruedas simultáneamente alrededor de sus ejes independientes (Figura 3.1). Suponemos que tenemos control sobre las ruedas. Las coordenadas que describen este sistema son la posición (x, y) del centro del robot, el ángulo θ en que apuntan las ruedas y el ángulo de rotación de las ruedas ψ. El radio de las 2 Tomado. de [5].. 36.

(38) Figura 3.1: Robot de orientación fija. (Imagen tomada de [5]) ruedas es ρ. El movimiento del cuerpo está dado por el hecho de que las ruedas ruedan sin deslizamiento y únicamente en la dirección en la que están apuntando. Estas restricciones son ligaduras de tipo no holonómico, y en términos de las variables mencionadas toman la siguiente forma: ω 1 (q) · q̇ = ẋ sen θ − ẏ cos θ = 0. (3.14). ω 2 (q) · q̇ = ẋ cos θ + ẏ sen θ − ρψ̇ = 0. (3.15). La primera ecuación dice que las ruedas no pueden tener velocidad en la dirección perpendicular a la que están apuntando y la segunda es precisamente la condición de no deslizamiento. En este caso se tiene que el espacio de configuración es un haz principal trivial, donde la fibra es (R2 , +) que representa la posición del centro del robot y la variedad base es R2 que representa las dos variables angulares. Claramente el espacio tangente en cada punto es de dimensión 4 (esta es la dimensión de la variedad) y el subespacio vertical es de dimensión 2; tenemos dos ligaduras independientes ası́ que el subespacio de los vectores que cumplen las ligaduras 37.

(39) también es de dimensión 2. Para poder definir los subespacios horizontales como los vectores que satisfacen las ligaduras tenemos que primero identificar cuál es ese subespacio y verificar que satisface las condiciones de la definición. Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se puede ver que una base para los vectores que satisfacen las ligaduras es: (1, 0, 0, 0) , (0, 1, ρ cos θ, ρ sen θ). La base natural para el subespacio vertical es: (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1). De aquı́ se ve claramente que Tq Q = Hq Q ⊕ Vq Q, definiendo Hq Q como el subespacio de los vectores que satisfacen las ligaduras. Además como los subespacios horizontales no dependen de las variables de la fibra, se verifica fácilmente la condición 2 de la definición. También es inmediato que Hq Q depende suavemente de las coordenadas. Entonces la conexión está bien definida. A partir de las condiciones impuestas en la definición 10 es posible encontrar la 1-forma de conexión asociada a esta conexión particular.   vx − ρ cos θvψ   A(q) · vq =    vy − ρ sen θvψ. (3.16). También es fácil encontrar la forma local de la conexión, teniendo en cuenta que en este caso estamos trabajando con un grupo abeliano en el cual los cálculos se simplifican enormemente. . . 0 A(r) =   0. −ρ cos θ    −ρ sen θ. (3.17). Esta forma local es la que más se utiliza a la hora de hacer los cálculos pues, como ya se menciono anteriormente, es por medio de esta que se puede realizar el levantamiento de curvas. 38.

(40) Figura 3.2: Robot plano de dos ruedas. (Imagen tomada de [5]) Ejemplo 2. Considere un robot plano con dos ruedas3 . El robot puede avanzar en la dirección en la que apunta y girar al rededor de su centro (Figura 3.2). Sean ψ1 y ψ2 los ángulos de rotación de las ruedas. El robot es libre de moverse en el plano, su posición esta descrita por las coordenadas de su centro xy y el ángulo θ en el que apunta. Claramente se puede observar que el espacio de configuración de este sistema es S 1 × S 1 × SE(2) en donde se hace evidente la estructura de haz principal trivial, siendo S 1 × S 1 la variedad base y SE(2) la fibra. Las ligaduras que controlan la cinemática del sistema tienen que ver con el hecho de que las ruedas no pueden rodar en la dirección perpendicular a la que apuntan, ruedan sin deslizamiento en la dirección en la que apuntan y la distancia entre ellas y la orientación relativa son constantes. A partir de esto es 3 Tomado. de [5], [19], [18] y [13].. 39.

(41) posible encontrar explı́citamente las ligaduras no holonómicas del sistema. ρ ω 1 (q) · q̇ = ẋ cos θ + ẏ sen θ − (ψ˙1 + ψ˙2 ) = 0 2 (3.18). ω 2 (q) · q̇ = −ẋ sen θ + ẏ cos θ = 0 ω 3 (q) · q̇ = θ̇ −. ρ ˙ (ψ1 − ψ˙2 ) = 0 2w. Estas ecuaciones son suficientes para encontrar la trayectoria del sistema dada una curva sobre la variedad base. La dinámica del sistema contribuye únicamente con la dinámica de las variables internas y no va a ser tenida en cuenta por el momento. Para simplificar la forma en que aparecen las ligaduras, y posteriormente la conexión, se hace un cambio de variables en las variables internas. Se definen φ1 y φ2 a partir de ψ1 y ψ2 de la siguiente manera: φ1 =. ψ1 + ψ2 2. si además definimos a = ρ y b =. ρ w. φ2 =. ψ1 − ψ2 2. (3.19). se tiene que las ligaduras toman la siguiente. forma: ω 1 (q) · q̇ = ẋ cos θ + ẏ sen θ − aφ˙1 = 0 ω 2 (q) · q̇ = −ẋ sen θ + ẏ cos θ = 0. (3.20). ω 3 (q) · q̇ = θ̇ − bφ˙2 = 0 En notación matricial: . . . ẋ cos θ + ẏ sen θ −a       ẋ sen θ − ẏ cos θ +  0          θ̇ 0. 40.  0    φ˙   1   0    φ˙  2 −b. (3.21).

(42) Aquı́ se aprecia claramente que, teniendo en cuenta la acción por izquierda de SE(2) sobre sı́ mismo, las ligaduras toman la forma g −1 ġ + A(r) · ṙ = 0. (3.22). En esta ecuación identificamos A(r) como la forma local de la conexión, ası́ que la 1-forma de conexión se obtiene haciendo uso de la acción adjunta.   ˙ 2 ) ẋ − a cos θφ˙1 + y(θ̇ − bphi      A(q) · q̇ =  ẏ − a sen θφ˙1 − x(θ̇ − bφ˙2 )       θ̇ − bφ˙2. (3.23). Ejemplo 3. Es posible establecer un modelo simplificado del automóvil4 , en el cual las ligaduras no holonómicas son suficientes para describir su locomoción (Figura 3.3). Por simplicidad, se tratan los pares de ruedas traseras y delanteras cada uno como una sola rueda en la mitad de sus respectivos ejes. La variedad base se parametriza por medio de dos ángulos, el ángulo de rotación de las ruedas traseras ψ y el ángulo φ entre la dirección en la que apunta el carro y la dirección en la que apuntan las ruedas delanteras. El ángulo de rotación de las ruedas delanteras no es necesario para tener total control sobre el sistema. Las variables de grupo están descritas por la posición xy del centro y el ángulo θ de orientación del carro, ası́ que la fibra está dada por SE(2). De nuevo las ligaduras están relacionadas con el hecho de que las ruedas no pueden moverse en dirección perpendicular a la dirección en la que apuntan y que además ruedan sin deslizamiento. Las respectivas ecuaciones de ligadura 4 Tomado. de [13] y [5].. 41.

(43) Figura 3.3: Modelo cinemático simplificado del automóvil. (Imagen tomada de [5]). son: ẋ sen θ − ẏ cos θ = 0 ẋ sen(θ + φ) − ẏ cos(θ + φ) − lθ̇ cos φ = 0. (3.24). ẋ cos θ + ẏ sen θ − ρψ̇ = 0 donde ρ es el radio de las ruedas y l es la distancia entre las ruedas delanteras y las traseras. Estas ecuaciones se pueden combinar para mostrar que los vectores que las cumplen también deben satisfacer la siguiente relación:     ẋ  ρ cos θ          ẏ  =  ρ sen θ  ψ̇             θ̇ (ρ/l) tan φ. (3.25). A partir de esta ecuación se determina la forma que deben tener los vectores. 42.

(44) horizontales, ası́ que todo vector tangente se puede escribir de la siguiente forma:     0 φ̇                 0 ψ̇                + vq =   ρ cos θψ̇   ẋ − ρ cos θψ̇  = hor(vq ) + ver(vq )          ρ sen θψ̇   ẏ − ρ sen θψ̇              θ̇ − (ρ/l) tan φψ̇ (ρ/l) tan φψ̇. (3.26). Claramente la componente horizontal satisface las ligaduras. Utilizando la forma obtenida para los vectores verticales, el isomorfismo entre se(2) y Vq Q dado por los generadores infinitesimales y las propiedades que definen la conexión se puede mostrar que la 1-forma de conexión se expresa como: . .  ẋ − (ρ cos θ + (ρ/l)y tan φ)ψ̇ + y θ̇       A(q) · vq = ẏ + ((ρ/l)x tan φ − ρ sen θ)ψ̇ − xθ̇      θ̇ − (ρ/l) tan φψ̇ que en su forma local se escribe:    cos θ   A(q) · vq =  sen θ   0. − sen θ cos θ 0. . . y  cos θẋ + sen θẏ  0             −x cos θẏ − sen θẋ  + 0         1 θ̇ 0. (3.27). .    −ρ    φ̇        0     ψ̇    −(ρ/l) tan φ. = Adg (g −1 ġ + A(r) · ṙ) (3.28) Como se ha visto hasta ahora, las condiciones de rodamiento sin deslizamiento son una gran fuente de ejemplos para los casos puramente cinemáticos, por lo general estas ligaduras son suficientes para determinar completamente la conexión y por ende el acople entre las variables internas y las variables de 43.

(45) grupo. Sin embargo vale la pena hacer la aclaración que esto es útil únicamente cuando se tiene control sobre los ángulos de rotación de las ruedas. Más adelante veremos ejemplos en los cuales la condición de no deslizamiento no es suficiente y hay que hacer uso de las simetrı́as. Vale la pena aclarar que estos no son los únicos sistemas que corresponden al caso puramente cinemático. Existen muchas otras formas de locomoción que también pueden ser descritas a partir de sus ligaduras no holonómicas y que por lo tanto pueden ser estudiadas por medio de los métodos aquı́ tratados. Ejemplo 4. Se puede plantear un modelo bastante simplificado de uno de los posibles mecanismos de locomoción de una lombriz5 . Suponemos que esta se mueve en una dimensión, y que los cambios de forma permitidos consisten en levantar un pedazo del cuerpo como se aprecia en la figura 3.4. La variedad base (espacio de formas) se parametriza por medio de tres variables, lr es la longitud del pedazo de atrás, sh la longitud del pedazo levantado y lh la longitud horizontal sobre la que se encuentra el pedazo levantado. La posición del robot está dada por la distancia entre la parte posterior de la lombriz y el origen. Se tiene entonces que el grupo de Lie asociado a las variables de grupo es (R, +) y la variedad base es un subconjunto abierto de R3 , el espacio de configuración es un haz principal trivial construido a partir de estos dos espacios. Dado que la fibra es de dimensión 1, solo se necesita de una ligadura no holonómica para restringir el sistema y obtener el acople entre las variables de grupo y las variables internas. Esta ligadura está dada por el supuesto de 5 Tomado. de [5] y [6].. 44.

(46) Figura 3.4: Modelo simplificado de locomoción para una lombriz. (Imagen tomada de [5]). que la lombriz no siente una fuerza viscosa neta. En términos de las variables introducidas esta ligadura se escribe como: lr ẋ + (1 − lr − sh )(ẋ + l˙h − ṡh ) = 0. (3.29). Aquı́ se asumió que la longitud total de la lombriz es 1. La verificación de que esta ligadura es G-invariante es inmediata, ası́ como las otras condiciones necesarias para que los vectores que cumplen la ligadura definan los subespacios horizontales y éstos estén de acuerdo con la definición de conexión. La 1-forma de conexión obtenida es: A(q) · vq = ẋ +. 1 − lr − sh ˙ (lh − ṡh ) 1 − sh. (3.30). Como el grupo es abeliano la acción adjunta es igual a la identidad, ası́ que aquı́ también tenemos la forma local. ¸. · A(r) = 0. 1−lr −sh 1−sh. 45. r −sh − 1−l 1−sh. (3.31).

(47) Figura 3.5: Modelo simplificado de satélite. (Imagen tomada de [5]).. 3.3.2.. Caso sin ligaduras. Ejemplo 5. Satélites que flotan libremente en el espacio se valen de este tipo de locomoción para generar rotaciones a pesar de tener un momento angular cero6 . Es precisamente la condición de que el momento angular debe ser igual a cero la que permite que el sistema rote sin influencia de fuerzas externas, pues esta condición tiene la misma forma que una ligadura no holonómica. Suponga que se tiene un robot plano con dos brazos conectados a un cuerpo central, los cuales pueden cambiar su orientación relativa al cuerpo (Figura 3.5). Si se mueven los brazos la ley de conservación de momento angular implica que el cuerpo central debe rotar. El espacio de formas del robot está parametrizado por los dos ángulos que determinan la orientación de los brazos con respecto al cuerpo central ψ1 y ψ2 , ası́ que M = S 1 ×S 1 . La posición del robot está determinada únicamente por un 6 Tomado. de [5].. 46.

(48) ángulo θ que indica la orientación del cuerpo central, ası́ que el grupo de Lie que representa las variables de grupo es SO(2) ' S 1 . Claramente, estos espacios se combinan para dar lugar al espacio de configuración del sistema, el cual resulta ser un haz principal trivial. Para construir el lagrangiano del sistema sólo es necesario encontrar la energı́a cinética del problema dado que no hay energı́a potencial. Este lagrangiano no depende explı́citamente de la coordenada θ, lo cual induce naturalmente a la ley de conservación de momento angular. Se puede mostrar que para este caso la expresión para el momento angular es:. µ=. ∂L = (ml2 + mρ cos ψ1 )ψ̇1 + (ml2 + mρ cos ψ2 )ψ̇2 + ∂ θ̇ (J + 2ml2 + 2mρ2 + 2mρl(cos ψ1 + cos ψ2 ))θ̇. (3.32). Cuando el momento angular es cero esta ley de conservación se convierte en una ligadura tipo Pfaffiano que a su vez define una conexión sobre el haz principal. Como la fibra tiene dimensión uno es suficiente con una ligadura para restringir el sistema. Es fácil ver que esta ley de conservación en efecto define una conexión que satisface todas las condiciones de la definición. La respectiva 1-forma de conexión se expresa de la siguiente manera:. A(q) · vq = θ̇ +. ml2 + mρ cos ψ1 ψ̇1 + J + 2ml2 + 2mρ2 + 2mρl(cos ψ1 + cos ψ2 ) ml2 + mρ cos ψ2 ψ̇2 J + 2ml2 + 2mρ2 + 2mρl(cos ψ1 + cos ψ2 ). (3.33). Como el grupo es abeliano, la acción adjunta no altera los resultados, ası́ que de la ecuación (3.33) se puede extraer directamente la forma local de la conexión. 47.

(49) Figura 3.6: El Snakeboard. (Imagen tomada de [9]). Un ejemplo muy conocido que cabe dentro de esta categorı́a es el del gato cayendo. Cuando un gato esta en caı́da libre debe realizar una serie de cambios de forma que le permitan obtener una rotación aun con momento angular igual a cero. La descripción detallada puede ser consultada en [12].. 3.3.3.. Simetrı́as y ligaduras. Ejemplo 6. Existe una variante del monopatı́n conocida como Snakeboard (Figura 3.6), en el cual es posible impulsarse sin hacer contacto con el suelo7 . Esto se logra gracias al acople entre movimientos del cuerpo y cambios en la orientación de las ruedas, los cuales aprovechan las ligaduras no holonómicas que actúan en el sistema además de las simetrı́as presentes. Se puede plantear un modelo simplificado del Snakeboard de la siguiente forma: un cuerpo rı́gido uniendo dos pares de ruedas que pueden cambiar su ángulo de orientación independientemente con otro cuerpo rı́gido (rotor) unido al centro del Snakeboard para simular el cuerpo de la persona que lo está montando (Figura 3.7). La forma del Snakeboard está determinada por tres variables, los ángulos 7 Tomado. de [9], [18] y [13].. 48.

(50) Figura 3.7: Modelo simplificado del Snakeboard. (Imagen tomada de [9]). de orientación de cada par de ruedas φr y φf , y el ángulo de orientación del rotor ψ. De aquı́ se obtiene que la variedad base del espacio de configuración es S 1 × S 1 × S 1 . Las variables de grupo son la posición xy del centro de masa y el ángulo de orientación θ, las cuales definen como grupo de Lie asociado a la fibra a SE(2). Las ruedas se asumen que ruedan sin deslizamiento y solo en la dirección en la que apuntan, sin embargo estas ligaduras nos son suficientes para restringir completamente el sistema, pues el ángulo de rotación de las ruedas no es una variable controlada. En términos de las variables utilizadas es posible expresar las ligaduras que indican que las ruedas no deslizan en dirección perpendicular a la que están apuntando. − sen(φf + θ)ẋ + cos(φf + θ)ẏ + l cos φf θ̇ = 0. (3.34). − sen(φb + θ)ẋ + cos(φb + θ)ẏ − l cos φb θ̇ = 0 Sólo se tienen dos ligaduras y el grupo asociado a la fibra tiene dimensión 3, ası́ que aquéllas no son suficientes. Se hace necesario considerar la dinámica del. 49.

(51) sistema. El lagrangiano de este sistema está dado por: L = 12 m(ẋ2 + ẏ 2 ) + 12 Jˆθ̇2 + 12 Jr (ψ̇ + θ̇)2 + 12 Jw ((φ̇b + θ̇)2 + (φ̇f + θ̇)2 ) (3.35) donde J es el momento de inercia del cuerpo del Snakeboard, Jr es el momento de inercia del rotor, Jw es el momento de inercia de las ruedas alrededor de un eje vertical y Jˆ = J + Jr + 2Jw . A partir de este lagrangiano se encuentran las cantidades tipo momento que a pesar de no conservarse nos permiten establecer las restricciones adicionales para encontrar la conexión deseada. Antes de esto se hace necesario encontrar la distribución restringida de fibra Sq , pues estos vectores son los que aparecen en las ecuaciones generalizadas de momento. El subespacio vertical en cada punto es el espacio generado por los vectores (0, 0, 0, 1, 0, 0) (0, 0, 0, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 0, 0, 1) solucionando el sistema lineal planteado por las ligaduras se encuentra que la distribución restringida Dq es el espacio generado por los vectores (1, 0, 0, 0, 0, 0). (0, 1, 0, 0, 0, 0). (0, 0, 1, 0, 0, 0). (0, 0, 0, a, b, c). donde a = −l(cos φb cos(φf + θ) + cos φf cos(φb + θ)) b = −l(cos φb sen(φf + θ) + cos φf sen(φb + θ)). (3.36). c = sen(φb − φf ) Se tiene entonces que la distribución restringida de fibra es: Sq = gen {(0, 0, 0, a, b, c)} 50. (3.37).

(52) esta tiene dimensión uno, ası́ que sólo hay un momento restringido. Los vectores en Sq representan rotaciones al rededor de un eje ubicado en el punto donde se intersecan los ejes de las ruedas. El momento restringido obtenido es: ˆ θ̇ + Jr cψ̇ + Jw c(φ̇b + φ̇f ) pc = (mR2 + Jc). (3.38). donde R es el radio desde el centro de rotación instantáneo hasta el centro de masa del Snakeboard. Se ve de la ecuación (3.38) que pc es el momento angular del Snakeboard con respecto el centro de rotación instantáneo y que en el caso en que las ruedas permanecen fijas esta cantidad se conserva. La evolución temporal de pc está determinada por la ecuación generalizada de momento, que en este caso es: ṗc = mȧẋ + mḃẏ + Jˆċθ + Jr ċψ̇ + Jw ċ(φ̇b + φ̇f ). (3.39). Definiendo la conexión como se indicó en la sección anterior se encuentra que esta se puede expresar como la ecuación (3.13) con A(r) = I −1 (r) · f (r) . (3.40) .  2l cos φb cos φf      1  I −1 (r) = · l sen(φ + φ )   b f W (r)     − sen(φb − φf ). (3.41). donde W (r) = Jˆ sen2 (φb − φf ) − ml2 sen2 (φb + φf ) − 4ml2 cos2 φb cos2 φf f (r) = sen(φb − φf )(Jr , Jw , Jw ). (3.42) (3.43). También es posible hacer uso de las propiedades de invariancia de la ecuación generalizada de momento y expresarla en términos de las variables internas y el 51.

(53) momento restringido eliminando la dependencia de las variables de grupo. La ecuación obtenida es: p˙c =. ´´ 1 d ³ ³ ˆ log (mR2 + J)c · (pc − f (r)ṙ) + f˙(r)ṙ 2 dt. (3.44). Otros tipos de sistemas que también han sido estudiados ampliamente con ideas similares son los sistemas de locomoción en fluidos ideales. En estos casos las ligaduras vienen dadas por las fuerzas viscosas que actúan sobre el sistema y por esta razón en algunos artı́culos denominan la conexión obtenida como la conexión viscosa. Una muy buena referencia en este tema pero que expresa estas ideas en términos de potenciales gauge es [22], allı́ se trabaja con mecanismos de propulsión a bajo numero de Reynolds. Otras referencias que también trabajan este tema en los términos que hemos utilizado son [6, 11].. 52.

(54) Capı́tulo 4. Generación de movimiento El propósito de la formulación geométrica estudiada en el capı́tulo anterior es el de proveer herramientas que permitan estudiar los mecanismos de locomoción presentes en diferentes sistemas e inclusive abrir la posibilidad de proponer algunos nuevos. Traducir las ecuaciones al lenguaje geométrico nos ha permitido encontrar métodos para levantar curvas sobre la variedad base a curvas en el espacio de configuración, en otras palabras, hemos encontrado métodos para determinar el comportamiento de un cuerpo si se conoce el comportamiento de sus variables internas (los cambios de forma). Esto es de gran utilidad, pero no es precisamente lo que estamos buscando. Dado que estamos interesados en mecanismos de locomoción, lo que realmente estamos buscando es encontrar los cambios de forma que conllevan a una determinada configuración final. Lo interesante no es encontrar los efectos que causa un determinado cambio en las variables internas, sino encontrar cuáles. 53.