Selección de proyectos considerando criterios no cuantificables mediante el uso de lógica difusa
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(2) 1. Introducción Con la publicación del informe Brundtland en 1987, realizado para las Naciones Unidas por una comisión de países encabezada por la Primera Ministra de Noruega Gro Harlem Brundtland, se despertó a nivel mundial un creciente interés en el discurso de la sostenibilidad ambiental (Goodland, 1995). La actual preocupación por el cambio climático, pone en perspectiva la responsabilidad de la humanidad en cuanto a los cambios ambientales globales y llama la atención sobre la incertidumbre del impacto ambiental que conllevan los proyectos que desarrollan las diferentes instituciones o personas (Vitousek, 1994). En los procesos de planeación múltiples objetivos y criterios son relevantes para la evaluación de los proyectos de inversión (Medaglia et. al, 2008). Por ejemplo, las personas encargadas de tomar las decisiones pueden estar interesadas en objetivos regulatorios, sociales, políticos, legales, económicos y/o ambientales (Medina & Moreno, 2007; Campos & Mello, 2006; Hung et. al, 2006). A pesar de esto, en la literatura de selección de proyectos, el criterio más usado es el Valor Presente Neto (VPN) y los modelos matemáticos que se proponen evitan el uso de criterios subjetivos, porque la incorporación de éstos puede generar soluciones sub-óptimas, además de ser difíciles de cuantificar (Medaglia et. al, 2008). Sin embargo, los impactos ambientales de los proyectos son cada vez más relevantes, porque la protección ambiental y la calidad de los recursos naturales se han convertido en un tema importante dentro de las políticas públicas (Adriaenssens et. al, 2004). Y aunque éstos estén sujetos a un alto grado de incertidumbre e imprecisión, sean difíciles de cuantificar y la información que se tenga de éstos sea limitada y caracterizada por variables lingüísticas (Peche & Rodríguez, 2009), deben ser tenidos en cuenta dentro de los procesos de planeación. El problema de la incertidumbre e imprecisión respecto a los impactos ambientales de las actividades o proyectos surge desde el discurso de la sostenibilidad. Es decir, la importancia actual de este debate implica que los procesos de planeación deben contemplar imperativamente la incertidumbre ambiental asociada al desarrollo de las diferentes actividades o proyectos. A pesar de esto, el uso de la teoría de probabilidad no es viable [2].
(3) dadas las características propias de la incertidumbre ambiental (Young, 2001). En primer lugar, muchos de los impactos ecológicos asociados a un proyecto son irreversibles, no repetibles y sólo es posible conocer un conjunto incompleto de los posibles resultados de estos impactos ambientales. Además, el hecho de no conocer el conjunto completo de los eventos ambientales asociados a un proyecto implica que no se satisface la propiedad de aditividad, pues no se conocen todas las probabilidades y por ende la suma éstas no es igual a la unidad (Young, 2001). Por lo tanto, es necesario buscar una alternativa que permita incorporar, dentro de los procesos de planeación, la incertidumbre asociada al impacto ambiental de los proyectos que se evalúen. La lógica difusa permite incorporar y describir los impactos ambientales difícilmente cuantificables de los proyectos dentro del proceso de planeación. En primera instancia, esta teoría fue introducida para capturar la incertidumbre y la vaguedad de sistemas complejos (Medaglia et. al, 2002) y se basa en la idea de construir modelos que sean capaces de simular el razonamiento de expertos (González et. al, 2002; Medina & Moreno, 2007). Además, la lógica difusa también ofrece una metodología para clasificar e incorporar información de carácter no cuantificable y subjetivo (Silvert, 1997; Silvert, 2000). Por ello, esta teoría permite construir modelos donde la información relacionada con los impactos ambientales de los proyectos se describe a través de variables semánticas (Peche & Rodríguez, 2009). Por otro lado, los sistemas de inferencia difusos se han caracterizado por ser flexibles, no estar atados a supuestos estadísticos, ser fáciles de modificar y lograr incorporar funciones no lineales de amplia complejidad (Medina & Moreno, 2007). Por último, esta metodología también tiene la gran facilidad de integrar diferentes tipos de observaciones, lo que permite un balance entre efectos inconmensurables (e.g. sociales, ambientales y económicos) (Silvert, 2000). Como señalan Medaglia et. al (2008), varias metodologías han sido utilizadas para resolver el problema de selección de proyectos. Entre éstas se encuentran programación lineal, programación entera, programación lineal multiobjetivo, programación por metas, algoritmos evolutivos y programación entera-mixta. A pesar que estas metodologías logran soluciones óptimas y objetivas a este problema, no siempre incorporan entre sus criterios de [3].
(4) decisión el impacto ambiental producto de la realización de los proyectos seleccionados. Por ejemplo, Ringuest & Graves (1989), propone un modelo de programación lineal multiobjetivo para encontrar todas las soluciones no dominadas al problema de maximizar la rentabilidad y la participación de mercado de los proyectos. Pero, no hace referencia a cómo incorporar dentro de estos modelos, objetivos no cuantificables como lo son los ambientales. Por su parte la literatura de evaluación de impactos ambientales busca ser un método eficiente para preservar los recursos naturales y conservar el medio ambiente (Peche & Rodríguez, 2009). Esta literatura ha encontrado en la lógica difusa una herramienta muy útil para la construcción de modelos que facilitan la incorporación de variables ambientales no cuantificables. Varias metodologías se han aplicado a este problema: construcción de índices o estimadores de impacto ambiental (Peche & Rodríguez, 2009; Silvert, 1997; Silvert, 2000), dendogramas (Campos & Mello, 2006), sistemas de inferencia difusos para la evaluación del ciclo de vida de productos (González et. al, 2002), procesos analíticos jerárquicos difusos (Filippo et. al, 2007) y programación multiobjetivo (Hung et. al, 2006), entre otras. Sin embargo, en general esta literatura se centra en clasificar los impactos, predecir los inconvenientes que éstos generen y encontrar la forma de evitar los aspectos negativos y promover los positivos de un único proyecto, dejando a un lado la evaluación de muchos proyectos para tomar la decisión ex-ante de en qué proyectos invertir los escasos recursos disponibles. El principal objetivo de este trabajo es desarrollar una metodología que permita incorporar, dentro del problema de selección de proyectos, diferentes criterios. En particular criterios que no sean fácilmente medibles, como es el caso de los criterios ambientales. Para esto, se desarrolla un sistema de inferencia difuso basado en reglas (Piegat, 2001), que permite generar un índice agregado, para cada proyecto, de los diferentes objetivos que se evalúan. De esta forma, se propone un modelo de programación lineal donde los parámetros de la función objetivo son el resultado de un índice agregado, en el cual se incorporan los diferentes criterios ambientales de decisión de interés. A diferencia de las metodologías usualmente usadas para solucionar el problema de selección [4].
(5) de proyectos, este modelo logra incorporar la evaluación de criterios no fácilmente cuantificables, como impactos ambientales, mediante la simulación del razonamiento de los tomadores de decisión y el uso de variables lingüísticas. Por otra parte, en comparación con la literatura de evaluación de impactos ambientales, el modelo propuesto incorpora restricciones de presupuesto para tomar una decisión ex-ante de en qué proyectos invertir. Además, el modelo propuesto es bastante flexible de modo que puede incorporar múltiples criterios de decisión y podría extenderse para tomar decisiones de programación. Este documento se divide en 4 secciones. La sección 2 presenta un trasfondo de la lógica difusa y una conceptualización del concepto de incertidumbre, con el objetivo de mostrar que la incertidumbre ambiental tiene características únicas y por ende, la lógica difusa es una herramienta útil para modelar criterios ambientales dentro del problema de selección proyectos. La sección 3 describe tanto la metodología usada para la construcción de los parámetros de la función objetivo del modelo de optimización, como la formulación de éste último. En la sección 4 se presentan los resultados de los experimentos computacionales usando un conjunto de proyectos del Fondo para la Acción Ambiental y la Niñez. En esta sección también se realiza un análisis de sensibilidad. Finalmente, en la sección 5 se presentan las conclusiones y el trabajo futuro. 2. Incertidumbre Ambiental y la Lógica Difusa El impacto ambiental de los proyectos está condicionado a la presencia de incertidumbre. Sin embargo, es esencial entender este concepto, para comprender la forma correcta de contemplarlo dentro de los procesos de decisión. Como tal, detrás de la definición de incertidumbre hay una realidad en la cual se conceptualiza ésta. Dentro de una realidad inmutable, donde ésta no se altera por las acciones humanas, los eventos futuros son capturados por una función de probabilidad objetiva o subjetiva y por tanto, se puede interpretar probabilísticamente el concepto de incertidumbre. Pero, si la realidad es transmutable, el futuro es creado por las acciones humanas en el presente y futuro y por tanto, no hay forma de usar la información presente y pasada para pronosticar los cambios futuros en los sistemas, debido a las interacciones entre las dinámicas propias de los sistemas y las acciones humanas (Young, 2001). Lo anterior implica que hay diferentes [5].
(6) tipos de incertidumbre y por ello, su comprensión es necesaria para poder incorporarla correctamente en los procesos de planeación. El trabajo de Young (2001), clasifica los diferentes tipos de incertidumbre mediante cuatro criterios: divisibilidad, serialidad, distribución y aditividad (ver Figura 1). El primero de estos se basa en que, los eventos divisibles son aquellos que pueden repetirse bajo las mismas condiciones subyacentes. El segundo criterio hace referencia a acciones individuales, que aún siendo no divisibles, pueden agruparse. Por ejemplo, las compañías aseguradoras pueden agrupar diferentes tipos de seguros a través de individuos, aunque la vida de una persona no sea divisible. El tercer criterio requiere que todo el conjunto de eventos sea conocido, al igual que sus probabilidades, de forma tal que la suma de estas sea igual a 1. Finalmente, la aditividad es la condición bajo la cual la probabilidad de un evento puede sumarse con la de otros eventos. En la Figura 1, se muestran los diferentes tipos de incertidumbre clasificados a través de los cuatro criterios propuestos por Young (2001). Nótese que al moverse desde la esquina inferior derecha hacia la esquina superior izquierda se pasa de situaciones de total certeza a situaciones de ignorancia total, haciendo la toma de decisiones progresivamente más difícil. Divisibilidad. no divisible. divisible. no. si. Serialidad Conocimiento Eventos Futuros bajo. Probabilidad imprecisa. ignorancia incertidumbre Dura incertidumbre Suave. bien definida Distribución no posible. posible. no aditivo. aditivo. certeza. alto. Aditividad. 4. Figura 1: Modalidades de incertidumbre 4. Adaptado de Young (2001), “Uncertainty and the Environment: Implications for Decision Making and Environmental Policy”, p. 44.. [6].
(7) El problema de medir la incertidumbre asociada al impacto ambiental de un proyecto mediante la teoría de probabilidad es que según Young (2001), la incertidumbre ambiental es lo que él considera incertidumbre “dura”. Esto se debe a que los impactos ambientales no son replicables, muchos son únicos y no son reversibles dada la naturaleza misma de los ecosistemas. Además, hay funciones ambientales que son únicas dentro de un ecosistema, de modo que no es posible agrupar los impactos ambientales. Por otro lado, Young (2001) sugiere que es imposible conocer el conjunto completo de eventos derivados del impacto ambiental de un proyecto, por lo cual tampoco se cumplirían las condiciones de distribución y aditividad. En este escenario, el uso de lógica difusa permite representar la incertidumbre no a través de probabilidades, sino mediante información cualitativa (Basili & Zappia, 2009), caracterizada por variables lingüísticas que eventualmente es de carácter no cuantificable y proviene del criterio de expertos. El concepto de los conjuntos difusos fue introducido por primera vez por el profesor Lofti Zadeh, a quien también se le debe la idea central de esta teoría: el grado de membresía (Zadeh, 1965). En un sentido amplio, la lógica difusa se refiere a todas las teorías y tecnologías que usan conjuntos difusos (Yen & Langari, 1999). La idea central de los conjuntos difusos es representar una transición gradual de un estado a otro. En otras palabras, los conjuntos difusos son conjuntos con fronteras borrosas y una generalización de los conjuntos clásicos. Mientras en un conjunto ordinario sus elementos pertenecen o no por completo a éste, en los conjuntos difusos cada elemento tiene un grado de pertenencia (membresía) a éstos. Un conjunto difuso está caracterizado por su función de membresía , que asocia. cada elemento del universo de discurso al intervalo 0, 1 . Además, los conjuntos difusos también se asocian a variables o términos lingüísticos y por ende deben estar definidos dentro de un contexto particular, aunque éste no sea explícito. Las variables lingüísticas son una composición entre una variable numérica y una simbólica, por lo que sus diferentes valores se pueden describir tanto cualitativa como cuantitativamente, a través de la función de membresía (Yen & Langari, 1999). Por ejemplo, en la Figura 2 la variable lingüística “Altura” está descrita cualitativamente por el valor lingüístico “Promedio” y [7].
(8) cuantitativamente por el conjunto difuso asociado a éste. Además, este conjunto está caracterizado por una función de membresía triangular que mapea todo elemento dentro del universo de discurso [1.3, 2] al intervalo [0,1]. µ Promedio. 1. 1.3. 1.65. 2. Altura (m). Figura 2. Función de membresía y variable lingüística. Las funciones de membresía más comúnmente usadas son la triangular (ver Figura 2), la trapezoidal, la gaussiana, la sigmoidea y la de forma de S, entre otras (Yen & Langari, 1999). Las propiedades básicas de los conjuntos difusos son su cardinalidad, altura, soporte, cortes- , identidad de resolución y convexidad. Sea. la cardinalidad de un. conjunto difuso. Ésta es la suma de los grados de membresía de todos sus elementos (Yen & Langari, 1999), es decir: . 1. Por su parte la altura de un conjunto difuso es el máximo valor que toma la función de membresía. Por tanto, matemáticamente podemos definir la altura de un conjunto difuso , como:. . max . 2. Si un conjunto difuso tiene una altura igual a 1 se dice que es un conjunto difuso normal, mientas que si su altura es menor a 1 se llama conjunto difuso sub-normal. El [8].
(9) soporte de un conjunto difuso son todos los elementos para los cuales el grado de membresía es mayor a cero. Formalmente, se define el soporte de un conjunto como: ! " # $| & 0' A su vez un corte-. es el conjunto de elementos para los cuales su grado de. membresía es mayor o igual a un número definimos un corte-. 3. ). que está entre 0 y 1. Matemáticamente,. (*+ ) de un conjunto en el universo $ como (Yen & Langari,. 1999): *+ " # $| ,. 4. )'. La identidad de resolución está relacionada con el concepto de corte- . Esta propiedad establece que una función de membresía, y por ende un conjunto difuso, puede ser reconstruida a partir de todos sus cortes- (Yen & Langari, 1999). Es decir, si se unen todos los conjuntos definidos por todos los cortes-. de un conjunto difuso, entonces la. unión de éstos es la función de membresía del conjunto. Finalmente, sea $ el universo de. discurso de una variable , entonces se dice que un conjunto difuso es convexo si y sólo si se satisface la siguiente relación: . / 1 0 .1 , 234" , 1'. 5. Para todo , 1 # $ y 0 6 . 6 1 (Yen & Langari, 1999). Como con los conjuntos ordinarios, con los conjuntos difusos también se pueden realizar operaciones. La intersección y la unión de éstos, se realizan mediante pares de operadores conocidos como normas triangulares y co-normas triangulares. Éstas son. funciones 7: 0,1 9 0,1 : 0,1 , que se definen mediante un conjunto de axiomas. Lo importante es que la selección de un operador para la intersección de conjuntos difusos define cual es el operador que se debe usar para la unión de los mismos, y viceversa (Yen [9].
(10) & Langari, 1999). Por ejemplo, si se usa para la intersección el operador 234, entonces. para la unión de conjuntos difusos se usa el operador 2 . Otra operación con un conjunto difuso es el complemento, que se define en términos del complemento algebraico de su. función de membresía. Es decir el complemento (; ) de un conjunto difuso se define mediante su función de membresía como < 1 0 . Sin embargo, lo anterior. implica que la lógica difusa viola 2 de las leyes de la teoría de conjuntos clásica: la ley del medio excluido y la ley de contradicción (Yen & Langari, 1999). En otras palabras, para un elemento que pertenece parcialmente a un conjunto difuso también es posible pertenecer parcialmente al complemento de éste. Los sistemas de inferencia difusos hacen uso tanto, de las funciones de membresía y las operaciones lógicas entre conjuntos, como de las reglas Sí-Entonces. Estas reglas asocian una condición (antecedente), descrita por variables lingüísticas y conjuntos difusos, a una conclusión (consecuente). Como tal, las reglas Sí-Entonces son un esquema de representación de conocimiento, que por naturaleza es impreciso (Yen & Langari, 1999). Los sistemas de inferencia construidos con estas reglas consisten de 4 pasos (ver Figura 3): a. Fusificación: Este primer paso consiste en calcular para cada dato de las variables de entrada, el grado de membresía resultante de cada categoría (González et. al, 2002). b. Inferencia: Este paso consta de dos etapas. El primero es la agregación de los grados de membresía de los antecedentes con el objetivo de formar un único grado global de verdad para los antecedentes. Para esto existen diferentes operadores lógicos como y ó o (González et. al, 2002). Luego, se calcula la conclusión de la regla en base a ese grado global de verdad. Los métodos que se pueden usar son el corte de la función de membresía del consecuente o el escalamiento de ésta misma (Yen & Langari, 1999). c. Combinación: Dado que para cada regla se obtiene una conclusión, es necesario combinar todos los consecuentes inferidos en uno solo (Yen & Langari, 1999). Esto se logra a través de diferentes métodos: Suma de conclusiones o el máximo de estas, entre otros (González et. al, 2002). [10].
(11) d. Desfusificación: El objetivo de este paso es convertir el resultado difuso calculado en el paso (c.) en uno no difuso. Para esto existen diferentes métodos como el mínimo, la media o el máximo de los máximos de la función de membresía. Aunque, el más común y aceptado es el método del centroide (González et. al, 2002).. 1. if. and. then. 2. if. and. then. and. then. Inferencia. . . .. i. if. Desfusificación. Input r. Input 1. Output. Fusificación. Combinación. Figura 3: Sistema de inferencia difuso (Mamdani)5. Dentro de los sistemas de inferencia difusos existen varios modelos. Lo más conocidos son el modelo de Mamdani y los esquemas de Takagi-Sugeno-Kang y Kosko (Yen & Langari, 1999). El modelo de Mamdani que se desarrolla en este trabajo se diferencia de los otros esquemas, en que en éstos últimos la etapa de combinación se realiza a través de una suma, mientras que en el modelo de Mamdani la agregación de las conclusiones de las reglas Sí-Entonces se realiza mediante superposición (Yen & Langari, 1999). La elección del modelo Mamdani se debe a que el presente trabajo busca modelar un sistema de decisión basado en el conocimiento de expertos donde no existen datos de. 5. Adaptado de The MathWorks™ (2010), “Fuzzy Logic Toolbox™: User’s Guide”, p. 2-29.. [11].
(12) variables de entrada y salida. Los modelos del tipo de Takagi-Sugeno-Kang se construyen mediante métodos adaptativos en la base que se cuenta con los datos de entrada y salida (Piegat, 2001). El sistema de inferencia difuso Mamdani está compuesto por reglas lingüísticas. indexadas en 3, que describen un mapeo que va desde $= 9 $> 9 ? 9 $@ hacia A. Sean B las variables de entrada, B los conjuntos difusos de éstas, C la variable de salida y. . es el. conjunto difuso de la variable de salida (Yen & Langari, 1999). Las reglas del modelo Mamdani (Piegat, 2001) son de la siguiente forma: D : í = !G = H ? H @ !G @ I4 4J!G C !G. . 6. De la expresión (6) podemos observar que la etapa de agregación en el paso de. inferencia se realiza mediante el operador y H. Esto quiere decir, que el grado de verdad. global resulta del operador de intersección 234. Luego, se cortan las funciones de. membresía de los consecuentes, de forma tal que la altura final de éstos sea el grado de verdad global. Después, la combinación de los conjuntos difusos previamente cortados se. hace mediante el operador 2 (Yen & Langari, 1999) (ver Figura 3). Finalmente, la desfusificación se realiza, usando el centroide del conjunto difuso inferido, mediante la siguiente expresión: C. L M C 9 C C L M C C. 7. 3. Descripción de la Metodología y del Modelo de Optimización En esta sección, se presenta la metodología usada para la construcción de los parámetros de la función objetivo del modelo de programación lineal, al igual que la formulación de éste. La primera parte, describe cómo a través de un sistema de inferencia difuso de tipo Mamdani se genera un índice para un criterio de decisión, donde se pueden combinar diferentes variables, bien sean éstas conmensurables o no. La segunda parte, desarrolla la formulación del modelo de optimización. [12].
(13) 3.1. Construcción de Parámetros para la Función Objetivo El primer paso de la metodología que se propone, consiste en definir un banco de proyectos sobre los cuales se va a decidir cuáles se llevan a cabo y cuáles no. El segundo paso consiste en definir los criterios de interés para el análisis (e.g. económicos, sociales, financieros ó ambientales). Con esto es posible crear un contexto que facilite la interpretación del problema de selección, y la elaboración de un índice para evaluar un determinado criterio, donde se debe asegurar que todas las variables previsibles de un proyecto, en un determinado período de tiempo, sean contempladas (Bojórquez-Tapia et. al, 2002). Luego de definir los proyectos y los criterios, se comienza a construir el sistema de inferencia difuso. Dado que la motivación de usar lógica difusa nace de la habilidad de ésta para modelar la incertidumbre y vaguedad de sistemas complejos (Medaglia et. al, 2002), simular el razonamiento de expertos (González et. al, 2002; Medina & Moreno, 2007) e incorporar información no cuantificable y de naturaleza subjetiva (Silvert, 1997; Silvert, 2000), se describe la metodología para construir el índice de impacto ambiental. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que dicha metodología se puede aplicar a cada uno de los diferentes criterios. Sea. el conjunto de criterios de decisión, indexado en O, y P el conjunto de. proyectos candidatos a realizarse, indexado en 3. Suponiendo que sólo interesa el impacto. ambiental de los proyectos, entonces el tercer paso de la metodología consiste en definir el conjunto de variables de entrada y la variable de salida, que es precisamente el índice de. impacto ambiental del proyecto 3 # , Q . Las variables de entrada deben ser relevantes al problema y su selección puede realizarse a través de técnicas basadas en datos o a través del conocimiento de expertos (Adriaenssens et. al, 2004). Por ejemplo, Campos & Mello (2006), usan variables de entrada físicas como agua, suelo y aire, y variables bióticas como flora y fauna en el desarrollo de un mecanismo de soporte de decisiones, para evaluar y pronosticar los impactos ambientales de la adaptación de una autopista. Por su parte, Filippo et. al, (2007) tienen en cuenta la sensibilidad y degradación del ecosistema. [13].
(14) El cuarto paso es definir los conjuntos difusos de las variables de entrada y salida, y asociar a éstos variables lingüísticas, con el objetivo de usarlas en la construcción de las reglas del sistema de inferencia difuso. Formalmente, en esta etapa para cada variable de entrada R se definen los conjuntos difusos SR . Por ejemplo, si la variable de entrada es el. impacto sobre el recurso aire, algunos posibles conjuntos difusos descritos por los valores lingüísticos son: alto, bajo y medio. De igual forma para la variable de salida (impacto ambiental) debe definirse el conjuntos difuso TS , que será usado en la U-ésima regla de inferencia,. S.. Klir & Yuan (1995), clasifican los diferentes métodos de construcciones de las funciones de membresía en métodos directos e indirectos. En el primer tipo de métodos se espera que los expertos contesten preguntas que relacionen de forma directa distintos elementos del conjunto difuso a distintos grados de membresía, para luego ajustar una curva a los datos. Los métodos indirectos buscan recopilar la información a través de preguntas más sencillas, donde indirectamente se obtienen los grados de membresía para distintos elementos de los conjuntos difusos. En la ausencia de datos, lo convencional es escoger una familia de funciones de membresía, definir un soporte para éstas y calibrar los parámetros en base al conocimiento del experto (Medaglia et. al, 2002; Medina & Moreno, 2007). Sin embargo, es importante tener en cuenta que la complejidad del sistema aumenta en la medida que aumenten, tanto el número de variables de entrada, como el número de conjuntos difusos definidos. Dicha complejidad es una ventaja puesto que aumenta la capacidad del modelo para describir un sistema real, pero a la vez es una desventaja pues incrementa la cantidad de información necesaria requerida para la modelación (Piegat, 2001). El quinto paso es la definición del conjunto de reglas, D, del sistema de inferencia difuso. El objetivo de las reglas es unir las variables de entrada a la variable de salida, en este caso el índice de impacto ambiental. Además, es en este punto donde se simula el conocimiento de los expertos (González et. al, 2002). El conjunto D se define mediante las posibles combinaciones de las variables de entrada, usando para ello las variables lingüísticas (Bojórquez-Tapia et. al, 2002; Campos & Mello, 2006; Medina & Moreno, [14].
(15) 2007). A cada combinación se le asigna un posible resultado (variables lingüísticas) de la variable de salida. Es importante señalar que esta etapa debe realizarse de la mano de los expertos, pues es el conocimiento que ellos tienen lo que se pretende plasmar en el modelo. Finalmente, el sexto paso es la implementación del sistema de inferencia difuso Mamdani, haciendo uso de todos los elementos previamente desarrollados. El resultado de esta etapa es el indicador de impacto ambiental, Q , que será usado como parámetro de la función objetivo del modelo de optimización. La metodología que se propone puede extenderse para incorporar más de un solo criterio de decisión y más de un único período de tiempo. Cuando existan más criterios, lo. primero es construir el índice de cada uno de éstos para cada proyecto, QB . Luego, deben. agruparse dichos criterios, para formar un único índice para cada proyecto, V . Esto implica. que la metodología propuesta tiene la capacidad para integrar criterios que incluso pueden llegar a ser inconmensurables, lo cual es un resultado directo de usar la lógica difusa (Silvert, 2000). Para agrupar los diferentes índices en uno solo, debe notarse que los índices de impacto para cada uno de éstos, pasan de ser las variables de salida a ser las variables de entrada del sistema de inferencia difuso Mamdani. Por tanto, los valores de entrada que son necesarios para desarrollar el sistema de inferencia difuso que agrupa todos los criterios son en sí mismos, los índices de cada criterio previamente calculados. Por ende, sólo sería necesario definir las reglas del sistema de inferencia, los conjuntos difusos y las variables lingüísticas del índice conjunto para cada proyecto. Una vez realizado esto, se simula un segundo sistema de inferencia difuso Mamdani y el resultado final es un índice para cada. proyecto, V , que agrupa los diferentes criterios de decisión. Si además, se quiere construir. dicho índice para cada período de tiempo, entonces para cada # W se realiza la anterior metodología y se obtiene el índice VX para el proyecto 3 en el período .. La Figura 4 describe diagramáticamente toda la metodología propuesta, cuando existen varios criterios de interés. Nótese que los pasos 3, 4, 5 y 6 deben realizarse para cada uno de los criterios, puesto que el índice de cada criterio se convierte en el valor de entrada del paso 7, donde se implementa el segundo sistema de inferencia difuso Mamdani. [15].
(16) A su vez, las fases 1 y 2 deben ejecutarse para cada uno de los proyectos candidatos definidos en el primer paso de la metodología.. Figura 4: Metodología. 3.2. Formulación Matemática del Modelo de Optimización Una vez definidos los índices, índices se seleccionan los proyectos candidatos, candidatos a través de un modelo de programación lineal. Para ello, sea Sea. el costo de inversión del proyecto. proyecto. y sea. el conjunto de los proyectos aspirantes.. . Sea. el índice de impacto ambiental del. el presupuesto máximo del que se dispone para financiar los. proyectos. Sea. una variable binaria que toma el valor de. si el proyecto. se realiza ó 0. de lo contrario.. El objetivo del modelo de optimización es maximizar la suma de los índices de impacto ambiental de los proyectos realizados. La función objetivo se muestra a continuación:. Alternativamente, si se tienen más criterios de decisión, el índice el índice de impacto agregado,. se remplaza por. , que agrupa todos los criterios de decisión contemplados. [16].
(17) En dicho caso, el objetivo del modelo de optimización es la maximización de la suma de los índices de impacto agregado. En otras palabras, se estaría maximizando el impacto que los proyectos seleccionados tienen sobre los criterios de interés. Es importante aclarar que. Q (o en su caso, V ) se considera mejor entre mayor sea. Es decir, se supone que los. impactos producidos por los proyectos son benéficos para el medio ambiente (o para cada uno de los criterios) y por ende entre mayores sean los índices mejor. Las restricciones del modelo son las siguientes: J C 6 Z #Y. C # "0,1'. \3 #P. 9 10. La restricción en (9) establece que los proyectos que se realicen pueden a lo sumo demandar el máximo presupuesto disponible para financiar éstos. Las restricciones en (10) consideran la naturaleza de las variables del modelo. 4. Ejemplos Computacionales 4.1. Caso de Estudio Se cuenta con información para 15 proyectos del Fondo para la Acción Ambiental y la Niñez (FAAN). Dichos proyectos se caracterizan por hacer énfasis en temas ambientales. Sus objetivos están enfocados en conservar diferentes ecosistemas, fortalecer reservas naturales, implementar sistemas agrarios sostenibles, disminuir la presión humana en ecosistemas, entre otros (ver Anexo 1). El FAAN es una persona jurídica privada que nace en el año 2000 a través de un acuerdo bilateral entre los gobiernos de Estados Unidos y de Colombia, en el marco de la iniciativa para las Américas. Su objetivo es administrar los recursos de la iniciativa para las Américas en Colombia. Dichos recursos han sido destinados a promover proyectos que busquen preservar, proteger y manejar los recursos naturales y biológicos. Además, los recursos también han sido usados para financiar proyectos que fomenten la supervivencia y el desarrollo integral de la niñez. El FAAN desarrolla convocatorias de proyectos directas o [17].
(18) a través de alianzas para seleccionar dentro de éstos aquellos que sigan sus líneas de inversión prioritarias (Fondo para la Acción Ambiental y la Niñez, 2010). Este trabajo pretende aplicar la metodología desarrollada, al problema de seleccionar de los 15 proyectos aquellos que generen un mayor impacto, sujeto a la disponibilidad de recursos. Para ello, se construye un sistema de inferencia difuso Mamdani que permite integrar el conocimiento de los expertos dentro de un mecanismo de decisión. Esto resulta de vital importancia en un contexto donde los proyectos tienen un carácter ambiental, porque la medición de los impactos de éstos y la pertinencia de su realización están sujetas a evaluaciones de sostenibilidad. Esto hace relevante la implementación de expresiones semánticas debido al hecho que el concepto de sostenibilidad es difícil de definir, medir y es por naturaleza vago y complejo (Adriaenssens et. al, 2004). 4.2. Resultados de la Implementación del Modelo Mamdani El conjunto de criterios que se seleccionaron para el análisis y construcción del sistema de inferencia difuso son el impacto ambiental, el impacto social y el impacto en sistemas productivos de cada uno de los proyectos. Dichos criterios se seleccionaron porque los objetivos y acciones de los diferentes proyectos están enfocados en estos criterios y son acordes a la misión y a las líneas de inversión del FAAN (ver Tabla 1). Tabla 1: Criterios y variables. Variables de Entrada. Criterio Recurso Suelo. Impa cto Ambienta l. Recurso Agua Zonas de Protección ó Amortiguación Conservación Biodiversidad Estructuras Organizacionales y Participación Comunitaria. Impa cto Soci a l. Pertinencia de la Promoción de la Cultura Ambiental Mecanismos Ejecución Campañas Promoción. Impa cto en Sis tema s Producti vos. Identificación de Sistemas Productivos Sostenibles Estrategia de Apropiación de Sistemas Productivos Sostenibles Promoción Cambios en Estructura de Comercialización. [18].
(19) El impacto ambiental se define mediante el impacto que un proyecto tiene en el recurso agua, el recurso suelo, las zonas de protección o amortiguación ambiental y la conservación de la biodiversidad. La naturaleza de los proyectos y su énfasis hace relevante la incorporación de estas variables, puesto que muchos de los objetivos de éstos están dirigidos de forma directa sobre alguna de estas variables. Por su parte el impacto social tiene como variables de entrada el impacto que un proyecto tiene sobre las estructuras organizacionales y la participación comunitaria, la pertinencia de la promoción de la cultura ambiental y los mecanismos a través de los cuales se adelantan las campañas de promoción cultural. Estas variables buscan capturar el acento social de los proyectos y resaltan que el éxito de los proyectos propuestos depende de la participación de la sociedad y del compromiso que se genere en relación a la conservación del medio ambiente. Por último, el impacto en sistemas productivos se describe mediante la capacidad de cada proyecto en identificar sistemas productivos sostenibles, la estrategia de apropiación de dichos sistemas y la capacidad del proyecto de promover cambios en la estructura de comercialización de los productos derivados de los nuevos sistemas productivos. Con este conjunto de variables se plasman los aspectos más relevantes en cuanto al objetivo de los proyectos de solucionar un problema de producción, generando alternativas más amigables con el ambiente y a su vez rentables para los productores. Debe notarse que todos los criterios y las variables de entrada usadas son difícilmente cuantificables, su conocimiento proviene del criterio y la experiencia de los expertos, y la naturaleza del impacto de cada uno de los proyectos sobre dichos criterios es imprecisa. Por tanto, el uso de la lógica difusa se convierte en una herramienta muy útil para el desarrollo de un sistema de soporte para la toma de decisiones. Para cada uno de los criterios de interés se desarrolla un sistema de inferencia difuso que tiene como variable de salida un índice de impacto (ambiental, social ó en sistemas productivos). Los impactos de los proyectos sobre cada una de las variables relevantes en cada sistema son modelados a través de 3 conjuntos difusos: bajo, medio y alto. Estos [19].
(20) conjuntos se definen por su valor lingüístico y su universo de discurso se define en el intervalo [0,1] (Medina & Moreno, 2007). En otras palabras, cada variable de entrada está descrita por los conjuntos difusos alto, medio y bajo. La Figura 4 muestra los conjuntos difusos usados para las variables de entrada del sistema de inferencia difuso Mamdani usado para calcular el impacto ambiental de los proyectos. Los conjuntos usados para las demás variables de entrada son idénticos a los mostrados en la Figura 4.. Bajo. Medio. Alto. 1 Grado de Membresía. Grado de Membresía. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0. 0.2. Bajo. 0.4 0.6 RecursoSuelo Medio. 0.8. Alto. 0.8 0.6 0.4 0.2. 1. 0. Alto. 1 Grado de Membresía. Grado de Membresía. Medio. 0 0. 1. Bajo. 0.8 0.6 0.4 0.2 0. Bajo. 0.2. 0.4 0.6 RecursoAgua. 0.8. Medio. 1 Alto. 0.8 0.6 0.4 0.2 0. 0. 0.2 0.4 0.6 0.8 ZonasProtección/Amortiguación. 1. 0. 0.2 0.4 0.6 0.8 ConservaciónBiodiversidad. 1. Figura 5: Ejemplo de conjuntos difusos para las variables de entrada. Por su parte, cada variable de salida (impacto ambiental, impacto social e impacto en sistemas productivos) está descrita por los conjuntos difusos: muy bajo, bajo, medio, alto y muy alto. Por ejemplo, en la Figura 6 se muestran tanto las funciones de membresía que describen los conjuntos difusos usados para describir el impacto ambiental de los proyectos, como los valores lingüísticos asociados a estos. Al igual que con los conjuntos [20].
(21) de las variables de entrada, el universo de discurso de estos conjuntos es el intervalo [0,1]. Al usar más conjuntos en las variables de salida se logra mayor precisión en la modelación y no se incrementa la complejidad del sistema, puesto que ésta se debe principalmente al número de variables de entrada y el número de reglas del sistema de inferencia.. Medio. Grado de Membresía. 1 MuyBajo 0.8. Bajo. MuyAlto Alto. 0.6 0.4 0.2 0 0. 0.2. 0.4 0.6 0.8 ImpactoAmbiental. 1. Figura 6: Ejemplo de conjuntos difusos para variables de salida. Puesto que la forma de las funciones de membresía debe reflejar el significado semántico de los conceptos subyacentes, los conjuntos difusos están descritos a través de funciones de membresía gaussianas. La ventaja de estas funciones es que permiten modelar la percepción común de cómo las condiciones ambientales cambian con el tiempo y los lugares. Además, dentro de los sistemas expertos usados para cuantificar impactos ambientales son usadas frecuentemente (Shepard, 2005). Sea la función que describe está familia de funciones. La ecuación de describe es la siguiente: : 2, ] exp `0. 0 2> a ]>. 11. Donde 2 es la media de la función y ] es la desviación de ésta. Estos parámetros se definen con el propósito de lograr una partición simétrica del universo de discurso. Con las variables de entrada y salida y los conjuntos difusos definidos, se sigue la definición de las reglas del sistema de inferencia difuso. Éstas buscan relacionar las [21].
(22) variables de entrada con las variables de salida, motivo por el cual se definen mediante. todas las posibles combinaciones de las variables de entrada mediante el operador y (H) (González et. al, 2002). Sin embargo, el conjunto de reglas definitivas se redujo para reducir la complejidad. La reducción lingüística del conjunto de reglas se realiza en los estados del modelo que en la práctica no operan (Piegat, 2001). En otras palabras, no se contemplan las reglas que describan situaciones que no ocurren en la práctica. Por ejemplo, en las reglas del modelo Mamdani usado para el cálculo del índice de impacto social, un estado que en la práctica no es observable es el caso en el cual un proyecto tiene un impacto sobre las estructuras organizacionales y la participación comunitaria bajo, la pertinencia de la promoción de la cultura ambiental es bajo y el impacto sobre los mecanismos usados para la ejecución de las campañas de promoción es alto. Esto se debe a que el impacto en éstos últimos sea alto depende de un buen desempeño del impacto del proyecto sobre las estructuras organizacionales, la participación comunitaria y la pertinencia de la promoción de la cultura ambiental (ver Anexo 2). Es importante anotar, que el conjunto de reglas definitivo debe ser validado por los expertos, puesto que al trabajar con modelos incompletos hay estados que pueden pasarse por alto y ser importantes. Los sistemas de inferencia desarrollados se describen gráficamente en las Figuras 7, 8, 9 y 10. Cada figura corresponde a un modelo Mamdani. Por ejemplo, la Figura 10 muestra el segundo sistema de inferencia usado para agrupar los 3 criterios empleados: impacto ambiental, impacto social e impacto sobre sistemas productivos. Este último modelo Mamdani debe implementarse después de ejecutar los modelos en las Figuras 7, 8 y 9, pues los resultados de estos últimos son precisamente los valores de entrada necesarios para ejecutar el sistema de inferencia que agrupa los impactos de los diferentes criterios. Las Figuras 7, 8, 9 y 10 muestran las variables de entrada y salida de cada modelo Mamdani. Además, en cada una de estas figuras se detalla el número de conjuntos difusos usados para cada variable y el número de reglas usadas, en cada uno de los sistemas de inferencia.. [22].
(23) RecursoSuelo (3) Modelo RecursoAgua (3). (Mamdani). 51 Reglas ZonasProtección/Amortiguación (3). ImpactoAmbiental (5). ConservaciónBiodiversidad (3) Modelo: 4 Entradas, 1 Salida, 51 Reglas Figura 7: Sistema de inferencia para impacto ambiental. EstructurasOrganizacionales ParticipaciónComunitaria (3). Modelo. (Mamdani) PertinenciaPromoción CulturaAmbiental (3). 22 Reglas ImpactoSocial (5). MecanismosEjecución CampañasPromoción (3) Modelo: 3 Entradas, 1 Salida, 22 Reglas Figura 8: Sistema de inferencia para impacto social. [23].
(24) IdentificaciónSistemas ProductivosSostenibles (3). Modelo. (Mamdani) EstrategiaApropiaciónSistemas ProductivosSostenibles (3). 13 Reglas ImpactoSistemasProductivos (5). PromociónCambios EstructuraComercialización (3) Modelo: 3 Entradas, 1 Salida, 13 Reglas. Figura 9: Sistema de inferencia para impacto en sistemas productivos. ImpactoAmbiental (3) Modelo. (Mamdani) ImpactoSocial (3). 18 Reglas ImpactoAgregado (5). ImpactoSistemasProductivos (3). Modelo: 3 Entradas, 1 Salida, 18 Reglas Figura 10: Sistema de inferencia para impacto agregado. Para implementar estos modelos es necesario obtener los valores para cada variable de entrada. Esto se logró desarrollando un mecanismo de evaluación para cada proyecto y cada variable en Excel, de tal forma que se facilite el uso de éste por parte de los tomadores de decisión. En el Anexo 3 se presenta el sistema de soporte para la toma de decisiones [24].
(25) usado para obtener los valores de entrada del modelo Mamdani usado para la construcción del índice de impacto en sistemas productivos. Para los sistemas de inferencia difusos usados para el cálculo de los índices de impacto ambiental e impacto social se usaron mecanismos de evaluación similares al presentado en el Anexo 3. Los resultados del uso de este mecanismo de evaluación se muestran en las Tablas 2, 3 y 4. Cada uno de los datos de estas tablas fue sugerido por el tomador de decisión usando el mecanismo de evaluación propuesto (ver Anexo 3). En dicho mecanismo cada uno de los ecualizadores devuelve un número en el intervalo [0,1]. Por ejemplo, en la Tabla 3 el impacto sobre la identificación de sistemas productivos sostenibles para el proyecto Esfera Azul fue evaluado por el tomador de decisión en 0.7. Este valor corresponde al primer ecualizador (esquina superior izquierda) del mecanismo de evaluación presentado en el Anexo 3. Debe señalarse que el tomador de decisión nunca introduce un valor numérico para cada variable de entrada y cada proyecto. Su decisión se basa en la configuración de los ecualizadores del sistema de soporte para la toma de decisiones, donde solamente se usan los valores lingüísticos (bajo, medio y alto) y las calificaciones dadas a otros proyectos como referencia para evaluar cada una de las variables para cada proyecto. Tabla 2: Datos de entrada impacto ambiental Impacto Ambiental Zonas de Cons erva ci ón Recurs o Suelo Recurs o Agua Protección ó Biodi vers idad Amorti gua ci ón No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. Proyecto Es fera Azul La s Pi edra s Corpotambo Al to del Os o Sa n Is idro Mos quera Wal li s Semil l as de Agua As omuri pi k Pa pal l aqta El Roble As patru Iqui ra Amuc Corpos unuba Beltrá nUDCA. Códi go 2040 2042 2043 2045 2046 2048 2060 2070 CEDE 2007 CEDE 2013 CEDE 2014 CEDE 2006 CEDE 021 CEDE 888 CINSET-CEDE 1002. 0.498 0.648 0.653 0.766 0.444 0.332 0.403 0.217 0.197 0.258 0.253 0.497 0.838 0.755 0.212. [25]. 0.362 0.05 0.595 0.87 0.616 0.089 0.372 0.299 0.227 0.839 0.652 0.378 0.036 0.388 0.326. 0.056 0.703 0.166 0.61 0.056 0.707 0.134 0.124 0.134 0.067 0.268 0.363 0.316 0.067 0.056. 0.59 0.445 0.341 0.559 0.49 0.781 0.375 0.347 0.466 0.558 0.653 0.742 0.502 0.523 0.284.
(26) Tabla 3: Datos de entrada impacto social. No. Proyecto. Código. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. Es fera Azul La s Pi edra s Corpota mbo Al to del Os o Sa n Is i dro Mosquera Wa ll i s Semi l la s de Agua As omuri pi k Pa pa l la qta El Robl e As pa tru Iquira Amuc Corpos unuba Bel trá nUDCA. 2040 2042 2043 2045 2046 2048 2060 2070 CEDE 2007 CEDE 2013 CEDE 2014 CEDE 2006 CEDE 021 CEDE 888 CINSET-CEDE 1002. Es tructura s Orga ni za ci ona l es y Pa rtici pa ción Comuni ta ri a. Impacto Social Pertinenci a de l a Promoci ón de l a Cul tura Ambi enta l. Meca nis mos Ejecución Ca mpa ña s Promoci ón. 0.708 0.576 0.886 0.947 0.734 0.533 0.249 0.679 0.803 0.658 0.658 0.528 0.823 0.73 0.264. 0.595 0.367 0.813 0.781 0.548 0.341 0.746 0.829 0.585 0.761 0.761 0.605 0.822 0.678 0.243. 0.527 0.212 0.875 0.673 0.269 0.21 0.279 0.735 0.18 0.797 0.803 0.31 0.735 0.777 0.222. Tabla 4: Datos de entrada impacto sistemas productivos Impacto Sist. Productivos Identi fi ca ci ón de Es tra tegi a de Promoci ón Si s tema s Apropi a ci ón de Ca mbi os en Producti vos Si s tema s Prod. Es tructura de Sos teni bl es Sos teni bl es Comerci a l i za ci ón No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. Proyecto Es fera Azul La s Pi edra s Corpota mbo Al to del Os o Sa n Is i dro Mos quera Wa l l i s Semi l l a s de Agua As omuri pi k Pa pa l l a qta El Robl e As pa tru Iqui ra Amuc Corpos unuba Bel trá nUDCA. Códi go 2040 2042 2043 2045 2046 2048 2060 2070 CEDE 2007 CEDE 2013 CEDE 2014 CEDE 2006 CEDE 021 CEDE 888 CINSET-CEDE 1002. 0.7 0.165 0.787 0.429 0.699 0.119 0.58 0.776 0.036 0.248 0.264 0.269 0.321 0.595 0.44. 0.658 0.088 0.725 0.375 0.611 0.155 0.347 0.657 0.041 0.134 0.145 0.139 0.321 0.544 0.304. 0.196 0.124 0.668 0.155 0.849 0.155 0.11 0.772 0.025 0.088 0.098 0.098 0.17 0.497 0.088. La Tabla 6 muestra los resultados de cada uno de los sistemas de inferencia desarrollados para cada uno de los criterios. Todos los modelos Mamdani usados se [26].
(27) implementaron en Matlab® (The MathWorks™, 2010), de forma tal que sólo introduciendo los datos de entrada calculados con el mecanismo de evaluación se obtienen todos los resultados. Debe notarse que los resultados de los modelos para los criterios de impacto ambiental, impacto social e impacto en sistemas productivos son usados para obtener el impacto agregado de cada proyecto. Los resultados obtenidos para cada criterio y para el impacto agregado muestran que la variabilidad de los datos de entrada a través de los proyectos se mantiene en las variables de salida. Esto se debe a que se usan más conjuntos difusos en las variables de salida que en las variables de entrada, logrando mantener la variabilidad de las variables de entrada en los resultados porque se crea una mayor partición para las variables de salida. En la Tabla 5 se puede observar que con menos conjuntos difusos en las variables de salida, los resultados se concentran en determinados valores reduciendo la variabilidad de estos. Los conjuntos difusos usados en las variables de salida, cuando sólo se usan 3 son: alto, medio y bajo. Nótese que al reducir el número de conjuntos difusos es necesario alterar los consecuentes de las reglas de los sistemas de inferencia implementados. Los resultados presentados en la Tabla 6 corresponden a aquellos donde se usan 5 conjuntos difusos porque son los que corresponden a la partición más coherente del rango de las variables de salida. Tabla 5: Desviaciones estándar de variables de entrada y salida. Desviaciones Estándar Variables de Entrada. Recurso Suelo. 22.2% Recurso Agua. Zonas de 26.2% Protección ó Amortiguación. Pertinencia de la Promoción de la Cultura Ambiental. Mecanismos Ejecución 18.8% Campañas Promoción. Identificación de Sistemas 27.0% Productivos Sostenibles. Conservación 23.8% Biodiversidad. Estructuras Organizacionales 14.4% y Participación Comunitaria. 20.0%. Estrategia de Apropiación 24.8% de Sistemas Prod. Sostenibles. Promoción Cambios en 23.5% Estructura de Comercialización. 27.7%. Variables de Salida Conjuntos Difusos 3. Impacto Ambiental. 6.2% Impacto Social. 9.9%. 5. Impacto Ambiental. 13.0% Impacto Social. 16.6%. [27]. Impacto en Sistemas Productivos Impacto en Sistemas Productivos. 15.6%. Impacto Agregado. 0.3%. 20.6%. Impacto Agregado. 11.4%.
(28) Tabla 6: Resultados de los sistemas de inferencia difusos Mamdani. No. Proyecto. Código. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. Es fera Azul La s Piedra s Corpota mbo Al to del Os o Sa n Is i dro Mos quera Wa l l i s Semi ll a s de Agua As omuri pik Pa pa ll a qta El Roble As pa tru Iquira Amuc Corpos unuba Bel trá nUDCA. 2040 2042 2043 2045 2046 2048 2060 2070 CEDE 2007 CEDE 2013 CEDE 2014 CEDE 2006 CEDE 021 CEDE 888 CINSET-CEDE 1002. Impacto Impacto Social Ambiental 0.2705 0.3273 0.3331 0.6991 0.2746 0.4643 0.2748 0.2770 0.2539 0.3978 0.4387 0.5779 0.4549 0.3938 0.2606. 0.5695 0.3414 0.8236 0.7884 0.5025 0.3315 0.4837 0.7021 0.4894 0.6870 0.6918 0.4614 0.7178 0.6662 0.3309. Impacto Impacto Sistemas Agregado Productivos 0.3961 0.4137 0.1511 0.2840 0.6741 0.6516 0.2848 0.5807 0.7140 0.4910 0.1625 0.2893 0.2804 0.3997 0.6776 0.4873 0.0912 0.2576 0.2036 0.3908 0.2057 0.3969 0.1993 0.3288 0.2934 0.5084 0.5077 0.5222 0.2638 0.3755. Cada uno de los resultados en la Tabla 6 corresponde a la implementación de un modelo Mamdani. Es decir, los resultados de cada columna en esta tabla se obtuvieron mediante la ejecución, para cada proyecto, de los sistemas de inferencia presentados en las Figuras 7, 8, 9 y 10. Por ejemplo, en la Figura 11 se presenta gráficamente el cálculo del impacto en sistemas productivos para el proyecto “Esfera Azul”. En esta figura se pueden observar las tres variables de entrada en cada columna, junto con sus valores de entrada. Además, se muestran los conjuntos difusos usados para describir tanto las variables de entrada, como el impacto en sistemas productivos. Cada una de las filas de la figura representa una de las reglas del modelo Mamdani. Nótese, que en la Figura 11 se pueden observar los 4 pasos de este modelo. La fusificación corresponde al cálculo del grado de membresía de cada conjunto usando los valores de entrada. Por su parte, la inferencia corresponde al cálculo del grado global de verdad mediante el uso del operador min y su posterior uso para calcular la conclusión de cada regla. Luego, la combinación de los consecuentes de las reglas se realiza mediante el operador max, por último, se encuentra el valor del índice del impacto en sistemas productivos del proyecto “Esfera Azul” mediante la desfusificación, como se observa en el recuadro inferior derecho de la Figura 11.. [28].
(29) Figura 11: Ejemplo cálculo impacto social para el proyecto Esfera Azul. 4.3. Resultados del Modelo de Optimización El vector de parámetros de la función objetivo está representado por la columna de impacto agregado en la Tabla 6. Por su parte, los costos de cada uno de los proyectos se presentan en la Tabla 7. Nótese, que tanto los impactos agregados como los requisitos de inversión de cada proyecto no son números difusos. En otras palabras, se asume que hay certeza tanto de los parámetros de la función objetivo, como de los parámetros de la restricción presupuestal. Esto permite construir un programa de programación lineal, donde el objetivo es seleccionar los proyectos que generen el mayor impacto conjunto sujeto a cierta cantidad de recursos financieros. Dicho modelo de optimización fue implementado en Xpress-MP. El presupuesto total se muestra en la Tabla 7. Éste equivale al 60% de los fondos mínimos necesarios para realizar el total de los proyectos. Con este presupuesto los resultados del modelo sugieren realizar 10 proyectos (ver Tabla 8). Los proyectos seleccionados generan el mejor balance posible entre el costo de inversión y el impacto que [29].
(30) generan sobre la función objetivo. La realización de estos proyectos no consume todo el presupuesto disponible y generaría un ahorro de más de COP 6 millones. Esto implica que la asignación propuesta realiza un uso eficiente de los recursos presupuestales. Tabla 7: Costos de inversión de los proyectos y presupuesto total. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. Proyecto. Código. Costo (COP). Es fera Azul 2040 103,674,200 La s Pi edra s 2042 155,697,290 Corpotambo 2043 185,607,151 Al to del Os o 2045 91,534,592 San Is i dro 2046 173,250,895 Mos quera Wal l i s 2048 168,896,890 Semi l l as de Agua 2060 193,335,375 Asomuri pi k 2070 70,632,786 Papa l l aqta CEDE 2007 83,773,211 El Robl e CEDE 2013 131,838,530 Aspa tru CEDE 2014 146,148,236 Iqui ra CEDE 2006 199,161,064 Amuc CEDE 021 45,737,086 Corpos unuba CEDE 888 119,230,772 Bel trá nUDCA CINSET-CEDE 1002 139,359,791 Presupuesto Total 1,204,726,722. Por otra parte, los resultados del modelo de optimización muestran que los proyectos con un menor impacto agregado no son necesariamente los que quedan fuera del conjunto de proyectos seleccionados. Por ejemplo, el proyecto 9 es el de menor impacto y hace parte de los proyectos que el modelo selecciona. De hecho, los proyectos no seleccionados son aquellos que de incluirse en el conjunto de los que sí se realizan no aportarían de manera significativa sobre el impacto conjunto de los proyectos e incrementarían notoriamente la inversión total. Con el presupuesto disponible se logra un impacto total de los proyectos agregados de 4.70325. Sí se realizarán todos los proyectos la función objetivo tomaría un valor de 6.37773. Esto quiere decir, que con el 60% de los fondos mínimos necesarios para realizar todos los proyectos, se logra que los proyectos seleccionados generen un impacto total equivalente al 73.74% del impacto máximo que se lograría al realizar todos los proyectos disponibles. [30].
(31) Tabla 8: Resultados del modelo de optimización. No. Proyecto. Código. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. Es fera Azul La s Piedra s Corpota mbo Al to del Os o Sa n Is i dro Mos quera Wa l l i s Semi ll a s de Agua As omuri pik Pa pa ll a qta El Roble As pa tru Iquira Amuc Corpos unuba Bel trá nUDCA. 2040 2042 2043 2045 2046 2048 2060 2070 CEDE 2007 CEDE 2013 CEDE 2014 CEDE 2006 CEDE 021 CEDE 888 CINSET-CEDE 1002. Impacto Impacto Social Ambiental 0.2705 0.3273 0.3331 0.6991 0.2746 0.4643 0.2748 0.2770 0.2539 0.3978 0.4387 0.5779 0.4549 0.3938 0.2606. 0.5695 0.3414 0.8236 0.7884 0.5025 0.3315 0.4837 0.7021 0.4894 0.6870 0.6918 0.4614 0.7178 0.6662 0.3309. Impacto Impacto Sistemas Agregado Productivos 0.3961 0.1511 0.6741 0.2848 0.7140 0.1625 0.2804 0.6776 0.0912 0.2036 0.2057 0.1993 0.2934 0.5077 0.2638. Impacto Total de los Proyectos Seleccionados. Selección Proyecto*. 0.4137 0.2840 0.6516 0.5807 0.4910 0.2893 0.3997 0.4873 0.2576 0.3908 0.3969 0.3288 0.5084 0.5222 0.3755 4.70325. * Las celdas resaltadas corresponden a los proyectos seleccionados. 4.4. Análisis de Sensibilidad Para estudiar la sensibilidad de los resultados a cambios en los sistemas de inferencia difusos, se realizaron varios análisis. El primero de estos es usar una familia de funciones de membresía diferentes a las gaussianas. En este caso, se usaron funciones de membresía triangulares. Esta familia de funciones ha sido usada frecuentemente en la literatura de evaluación de impactos ambientales (Hung et. al, 2006; González et. al, 2002; Filippo et. al, 2007), porque su uso es recomendado, dada la simplicidad de las funciones y la relativa poca información necesaria para su definición (Piegat, 2001). Puesto que los conjuntos de reglas son precisamente la parte de la modelación que busca simular el razonamiento de los expertos, su definición está sujeta a los intereses o prejuicios que los expertos puedan tener. Por tanto, otro conjunto de cambios estudiados corresponde a alterar los conjuntos de reglas definidos en cada uno de los modelos Mamdani implementados. En otras palabras, lo que se pretende analizar al cambiar las reglas de los sistemas de inferencia, son los cambios en actitudes de los expertos. Por ello, el segundo cambio realizado fue alterar el conjunto de reglas del sistema de inferencia del [31].
(32) impacto ambiental. En particular, se alteraron los consecuentes de las reglas con el fin de dar mayor importancia a algunas variables de entrada que a otras. En este caso, la variable que recibió menor importancia es el impacto sobre zonas de protección ó amortiguación. El tercer cambio se realizó a las reglas del sistema de inferencia del impacto social. La variable a la que se le dio menor importancia es al impacto sobre los mecanismos de ejecución de las campañas de promoción ambiental. El cuarto cambio, fue modificar las reglas del sistema de inferencia del impacto en sistemas productivos. Para ello, se alteraron los consecuentes de las reglas a fin de dar menor importancia a la variable del impacto sobre la promoción de cambios en la estructura de comercialización. Por último, el quinto cambio se realizó sobre el conjunto de reglas del sistema de inferencia del impacto agregado, donde el objetivo fue dar menor importancia al impacto social. Es importante señalar que cada uno de los cambios se realizó manteniendo todo lo demás constante. Por tanto, el objetivo es observar cómo cada cambio altera el conjunto de proyectos seleccionados para ser financiados. Además, es también posible como cambia en el ranking de proyectos según el índice de impacto agregado de estos. Tabla 9: Análisis de sensibilidad – cambio en familia de funciones de membresía. No. Proyecto. Código. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. Es fera Azul La s Piedra s Corpota mbo Alto del Os o Sa n Is i dro Mos quera Wal l is Semi ll a s de Agua As omuri pik Pa pa ll a qta El Robl e As pa tru Iqui ra Amuc Corpos unuba Bel trá nUDCA. 2040 2042 2043 2045 2046 2048 2060 2070 CEDE 2007 CEDE 2013 CEDE 2014 CEDE 2006 CEDE 021 CEDE 888 CINSET-CEDE 1002. Impacto Impacto Social Ambiental 0.3584 0.3970 0.4400 0.6682 0.3652 0.4882 0.3174 0.3073 0.3015 0.4284 0.4880 0.5385 0.4275 0.4244 0.2754. Impacto Total de los Proyectos Seleccionados * Las celdas resaltadas corresponden a los proyectos seleccionados. [32]. 0.6147 0.4025 0.7161 0.7465 0.5028 0.3694 0.4718 0.6792 0.4996 0.6712 0.6731 0.4656 0.6752 0.6628 0.3346. Impacto Impacto Sistemas Agregado Productivos 0.4850 0.2622 0.6651 0.3266 0.6829 0.2806 0.3703 0.6662 0.1551 0.2817 0.2860 0.2845 0.3257 0.5578 0.2892. 0.4879 0.3726 0.5874 0.5420 0.5190 0.3759 0.3906 0.5132 0.3187 0.4796 0.4854 0.4154 0.4961 0.5432 0.3596 4.97242. Selección Proyecto*.
(33) La Tabla 9 muestra los resultados para el escenario en que se usan funciones de membresía triangulares. Aunque el valor de la función objetivo no es comparable con los resultados presentados en la anterior sección, puesto que los parámetros de ésta son diferentes al cambiar la familia de funciones de membresía, si se puede observar que el proyecto 7 deja de ser seleccionado entre las alternativas a realizar. En su lugar, el proyecto 11 entra al conjunto de proyectos seleccionados. Esto ocurre porque al cambiar las funciones de membresía el proyecto 11 pasa a tener un impacto agregado mayor al del proyecto 7. Por tanto, el cambio en la familia de las funciones de membresía tiene un impacto contundente dentro de la selección de proyectos. Es por esto, que es esencial definir sí la simplicidad de las funciones triangulares es preferible a la capacidad de las funciones gaussianas de modelar la percepción de cómo se dan los cambios en las condiciones ambientales a través del tiempo (Shepard, 2005). En otras palabras, la decisión de usar la familia de funciones de membresía triangulares depende de si se está dispuesto a aceptar que las funciones triangulares generan un buen ajuste de las funciones gaussianas, que los puntos de inflexión de éstas últimas no son necesarios para modelar la percepción de cómo cambian las condiciones de los ecosistemas con el tiempo y por último, que estos cambios en el ambiente no son continuos (la función triangular no es continua en todo su dominio). En la Tabla 10 podemos observar como los cambios en los conjuntos de reglas de los diferentes sistemas de inferencia tienen efectos sobre el conjunto de proyectos que se seleccionan. Los cambios realizados sobre los sistemas de inferencia difusos de los impactos ambiental, social y agregado no alteraron la solución obtenida en una primera instancia. En otras palabras, al realizar cada uno de estos cambios no se altera el conjunto de proyectos seleccionados. Por su parte al alterar las reglas de los sistemas de inferencia del impacto en sistemas productivos si se generan cambios sobre el portafolio de proyectos seleccionados para ser ejecutados. Esto quiere decir, que sólo el cambio en la actitud o en las preferencias del tomador de decisión respecto a los sistemas productivos alteró el conjunto de proyectos que se seleccionan para financiar. Sin embargo, todos los cambios en reglas sí generaron un cambio en el ranking de los proyectos según el índice de impacto [33].
(34) agregado (ver Tabla 10). En otras palabras, el cambio en la actitud del tomador de decisión si se ve reflejado en el cambio en el ranking de los proyectos. Tabla 10: Análisis de sensibilidad – cambio en reglas de los sistemas de inferencia difusos Resultados Base ∆. Cambio en Reglas Impacto Ambiental ∆. No. Proyecto. No. Proyecto. 9 2 6 12 15 10 11 7 1 8 5 13 14 4 3. Papallaqta Las Piedras Mosquera Wallis Iquira BeltránUDCA El Roble Aspatru Semillas de Agua Esfera Azul Asomuripik San Isidro Amuc Corposunuba Alto del Oso Corpotambo. 9 2 6 12 10 15 11 7 1 13 8 14 5 4 3. Papallaqta Las Piedras Mosquera Wallis Iquira El Roble BeltránUDCA Aspatru Semillas de Agua Esfera Azul Amuc Asomuripik Corposunuba San Isidro Alto del Oso Corpotambo. Resultados Base. No. ∆. Proyecto. Impacto Impacto Selección No Ambiental Agregado Proyecto*. 0.3000 0.2973 0.4280 0.5853 0.5835 0.3303 0.4387 0.4822 0.4875 0.4666 0.3306 0.6063 0.5097 0.6992 0.5297. 0.2657 0.2862 0.2888 0.3306 0.3908 0.3946 0.3969 0.4181 0.4946 0.5084 0.5236 0.5347 0.5752 0.5807 0.7028. Cambio en Reglas Impacto en Sistemas Productivos. No. Proyecto. ∆. 2 6 9 12 10 11 15 7 1 8 5 14 13 4 3. 9 Papallaqta 0.0931 0.2583 Papallaqta 6 Mosquera Wallis 0.1625 0.2893 Las Piedras 2 Las Piedras 0.1678 0.2916 Mosquera Wallis 15 BeltránUDCA 0.4417 0.3909 Iquira 7 Semillas de Agua 0.4793 0.4116 BeltránUDCA 1 Esfera Azul 0.5635 0.4137 El Roble 5 San Isidro 0.5613 0.4174 Aspatru Semillas de Agua 12 Iquira 0.2795 0.4259 10 El Roble 0.2716 0.4680 Esfera Azul 11 Aspatru 0.2820 0.4808 Asomuripik San Isidro 8 Asomuripik 0.6545 0.4850 14 Corposunuba 0.5085 0.5222 Amuc 13 Amuc 0.4523 0.5759 Corposunuba Alto del Oso 3 Corpotambo 0.6741 0.6516 4 Alto del Oso 0.4818 0.6721 Corpotambo * Las celdas resaltadas corresponden a los proyectos seleccionados. Proyecto. ∆. Las Piedras Mosquera Wallis Papallaqta Iquira El Roble Aspatru BeltránUDCA Semillas de Agua Esfera Azul Asomuripik San Isidro Corposunuba Amuc Alto del Oso Corpotambo. Impacto Impacto Selección Social Agregado Proyecto*. 0.4815 0.4629 0.6845 0.5144 0.6377 0.6377 0.3527 0.4954 0.5701 0.6896 0.6000 0.5986 0.7178 0.7884 0.7990. 0.2851 0.2895 0.3258 0.3288 0.3566 0.3587 0.3755 0.4001 0.4138 0.4783 0.4910 0.4985 0.5084 0.5807 0.6294. Cambio en Reglas Impacto Agrupado. Impacto en Impacto Selección Sistemas No Agregado Proyecto* Productivos. 9 2 6 12 15 10 11 7 1 8 5 13 14 4 3. ∆. Cambio en Reglas Impacto Social. 9 2 6 10 11 12 15 7 1 13 8 14 4 5 3. Proyecto. ∆. Papallaqta Las Piedras Mosquera Wallis El Roble Aspatru Iquira BeltránUDCA Semillas de Agua Esfera Azul Amuc Asomuripik Corposunuba Alto del Oso San Isidro Corpotambo. Impacto Selección Agregado Proyecto*. 0.2554 0.2840 0.2905 0.3219 0.3242 0.3288 0.3755 0.3987 0.4052 0.4273 0.4667 0.4879 0.4882 0.4910 0.5037. Los proyectos están ordenandos de menor a mayor impacto agregado. En el caso en el cual se modifican las reglas del sistema de inferencia para el impacto en sistemas productivos los proyectos 5 y 7 son substituidos por los proyectos 11 y 12, en el portafolio de proyectos seleccionados. Esto se debe a que los proyectos 5 y 7 [34].
(35) pasan a tener un menor impacto agregado que los proyectos 11 y 12. Por tanto, las modificaciones en los conjuntos de reglas de los sistemas de inferencia difusos pueden producir cambios en los proyectos seleccionados, representando de esta forma cambios en las preferencias del tomador de decisión, al dar menor importancia a ciertas variables o criterios de decisión. Finalmente, la Figura 12 muestra como cambios en el presupuesto disponible impactan el valor de la función objetivo. Podemos observar que el aumento del impacto total de los proyectos seleccionados es decreciente. Esto se da porque, teniendo en cuenta los costos de inversión, los proyectos con los mayores impactos agregados son los primeros en ser seleccionados. Es importante señalar que a cada valor del impacto total corresponde una única combinación de proyectos seleccionados.. Impacto Total de los Proyectos Seleccionados 6,5 6 5,5 5. Impacto Máximo. 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0%. 10%. 20%. 30%. 40%. 50%. 60%. 70%. 80%. 90%. Presupuesto (% Ingreso Total Mínimo para hacer Todos los Proyectos) Presupuesto Base Figura 12: Análisis de sensibilidad - cambio en presupuesto. [35]. 100%.
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