Simulación por medio de elementos finitos del comportamiento de honeycombs de aluminio sometidos a compresión cuasi-estática

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Simulación por medio de elementos

finitos del comportamiento de

honeycombs de aluminio sometidos a

compresión cuasi-estática

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2

Simulación por medio de elementos finitos

del comportamiento de honeycombs de

aluminio sometidos a compresión

cuasi-estática

Camilo José Orrego Caicedo

Cod. 201013462

Asesor

Juan Pablo Casas Rodríguez

Ingeniero Mecánico, M.Sc. PhD

Bogotá, Junio de 2014

Universidad de los Andes

Facultad de Ingeniería

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3

Agradecimientos

A mi padre Nicolás y a mi madre Dilia, por ser mi fuente de inspiración y estar siempre presentes con sus enseñanzas, paciencia y cariño en todos los momentos de mi vida, lo que me ha permitido crecer tanto académicamente como persona, dejándome un legado que espero no desaprovechar.

A mi hermano Pablo, a Gladys, a Brayan, a mi tía Mercedes y sus hijos José Antonio y Matías, por animarme en los momentos difíciles y apoyarme en cualquier circunstancia, permitiendo siempre avanzar tanto en la universidad como en la vida.

A mis amigos, que me permitieron acostumbrarme a la universidad, facilitándome mi transcurrir académico y con los que siempre podía contar en cualquier momento

Al profesor Juan Pablo Casas, por su colaboración y confianza, lo cual permitió no solamente el buen desarrollo de este proyecto, sino que me aporto muchas enseñanzas acerca de la carrera y del futuro como ingeniero mecánico.

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4

Índice

1. Resumen………11

2. Introducción...12

2.1. Objetivos………..13

3. Marco Teórico………..14

3.1. Propiedades geométricas……….14

3.2. Modos de falla……….14

3.3. Comportamiento de un honeycomb a compresión cuasi-estática……….15

3.4. Modelos analíticos………16

3.5. Análisis por elementos finitos………..18

4. Metodología………..19

4.1. Definición de elementos a simular………19

4.2. Definición de condiciones de frontera………21

4.3. Definición de método computacional para simulaciones……….21

4.4. Obtención de resultados………..22

5. Análisis y resultados……….25

5.1. Validación con modelos de prueba………25

5.2. Resultados con variación de parámetros………..29

5.3. Análisis de la variación de parámetros………34

5.4. Corroboración con los modelos analíticos………34

5.5. Análisis de la comprobación con los modelos analíticos………38

6. Conclusiones………..40

7. Recomendaciones………..41

8. Referencias……….42

9. Anexos………44

9.1. Modelos a simular variando el espesor……….47

9.2. Modelos a simular variando la altura………..50

9.3. Modelos a simular variando la inclusión de adhesivo……….55

9.4. Modelos a simular variando el tamaño de la malla………56

9.5. Resultados para la variación del espesor………..59

9.6. Resultados para la variación de altura………68

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5

Índice de tablas

1. Propiedades del aluminio usado en la simulación………..20

2. Propiedades del epoxi usado en la simulación………..20

3. Resultados de las simulaciones de prueba para honeycombs con adhesivos……….28

4. Resultados de las simulaciones de prueba para honeycombs sin adhesivos…………29

5. Comparación de los datos experimentales con las simulaciones……….29

6. Resultados de la simulación para un grosor de 0.05 mm y altura de 12 mm………..29

7. Resultados de la simulación para un grosor de 0.075 mm y altura de 12 mm………30

8. Resultados de la simulación para un grosor de 0.1 mm y altura de 12 mm………….30

9. Resultados de la simulación para un grosor de 0.25 mm y altura de 12 mm………..30

10.Resultados de la simulación para un grosor de 0.5 mm y altura de 12 mm………….30

11.Resultados de la simulación para un grosor de 0.025 mm y altura de 5 mm………..30

12.Resultados de la simulación para un grosor de 0.025 mm y altura de 10 mm………31

16.Comparación entre los datos experimentales y las simulaciones………37

17.Comparación entre los datos teóricos y las simulaciones para variaciones de

grosor………..37

18.Comparación entre los datos teóricos y las simulaciones para variaciones de

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6

Índice de imágenes

1. Honeycomb……….12

2. Parámetros geométricos en un honeycomb………14

3. Presencia de modos de fallas de un honeycomb, como el pandeo y fracturas en el material……….15

4. Pandeo en un honeycomb por esfuerzos compresivos………16

5. Diagrama esfuerzo-deformación de un honeycomb……….18

6. Imagen de la celda unitaria con grosor 0.025 mm………..19

7. Muestra del enmallado usado con el modelo con adhesivo………20

8. Restricciones aplicadas a los modelos a simular………..22

9. Muestra del sistema usado para generar la deformación en el modelo……….23

10.Área utilizada para el cálculo del esfuerzo ingenieril………24

11.Deformación bajo procesión de compresión en un honeycomb simulado de 0.025 mm sin adhesivo……….25

12.Deformación bajo procesión de compresión en un honeycomb simulado de 0.025 mm con adhesivo………..26

13.Deformación bajo procesión de compresión en un honeycomb simulado de 0.1 mm………...39

14.Vista superior del honeycomb de 0.025 mm de espesor………44

15.Vista superior del honeycomb de 0.05 mm de espesor………..44

16.Vista superior del honeycomb de 0.075 mm de espesor………45

17.Vista superior del honeycomb de 0.1 mm de espesor……….45

18.Vista superior del honeycomb de 0.25 mm de espesor………..46

19.Vista superior del honeycomb de 0.5 mm de espesor……….46

20.Vista lateral del honeycomb de 25 mm de altura………47

25.Vista lateral del honeycomb de 5 mm de altura………..52

26.Vista superior del honeycomb de 0.025 mm de espesor sin adhesivo……….52

27.Vista superior del honeycomb de 0.025 mm de espesor con adhesivo………53

28.Vista lateral del honeycomb de 12 mm de altura con una malla de 1/25 de la altura………53

29.Vista lateral del honeycomb de 12 mm de altura con una malla de 1/50 de la altura………54

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7

30.Vista lateral del honeycomb de 12 mm de altura con una malla de 1/75 de la

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8

Índice de gráficos

1. Grafica usada para aproximar el comportamiento plástico del aluminio en la

simulación………24

2. Grafica esfuerzo deformación de honeycombs básico (grosor 0.025 mm y altura 12

mm) simulado con adhesivo y experimental………..28

3. Grafica esfuerzo deformación de honeycomb básico (grosor 0.025 mm y altura 12

mm) simulado sin adhesivo y experimental……….29

4. Modulo elástico del honeycomb vs grosor de las paredes con distintas mallas……32

5. Esfuerzo elástico máximo del honeycomb y esfuerzo plástico de compresión vs

grosor de las paredes con distintas

mallas………..32

6. Modulo elástico del honeycomb vs altura de honeycomb con distintas mallas……33

7. Esfuerzo elástico máximo del honeycomb y esfuerzo plástico de compresión vs

altura del honeycomb con distintas

mallas………..33

8. Comparación de los resultados promedios de modulo elástico de las simulaciones

con los modelos teóricos según varia el grosor de las laminas………..35

9. Comparación de los resultados promedios de esfuerzo plástico de compresión de

las simulaciones con los modelos teóricos según varía el grosor de las láminas…..35

10.Comparación de los resultados promedios de modulo elástico de las simulaciones

con los modelos teóricos según varia la altura del honeycomb………36

11.Comparación de los resultados promedios de esfuerzo de compresión plástica de

las simulaciones con los modelos teóricos según varía la altura del honeycomb….36

12.Grafica de esfuerzo-deformación para el modelo sin adhesivo con altura de 12 mm

y espesor de lámina de 0.025 mm con una malla de 1/25 de la altura………56

(9)

9

y espesor de lámina de 0.1 mm con una malla de 1/50 de la altura………..61

30.Grafica de esfuerzo-deformación para el modelo sin adhesivo con altura de 5 mm y

espesor de lámina de 0.025 mm con una malla de 1/25 de la altura………65

(10)

10

45.Grafica de esfuerzo-deformación para el modelo con adhesivo con altura de 12

mm y espesor de lámina de 0.025 mm con una malla de 1/25 de la altura…………72

mm y espesor de lámina de 0.025 mm con una malla de 1/50 de la altura…………73

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11

Resumen

La investigación de cómo afectan diversos parámetros geométricos y de simulación la respuesta de los honeycombs a bajas tasas de deformación unitaria compresivas se hacen mediante el uso de programas de elementos finitos. Estos se validan por medio de experimentaciones realizadas anteriormente y usando las mismas condiciones de material y geometría. A partir de resultados comparados, se varían parámetros geométricos como grosor de la lámina y la altura de la celda unitaria para ver la importancia de estos. Además, también se estudia el afecto del uso de adhesivos en la respuesta tanto en la región elástica como la plástica compresiva de la estructura. Los resultados obtenidos para las simulaciones de comprobación validan las pruebas realizadas al ser similares a los datos experimentales. También se obtiene una tendencia positiva entre el modulo de Young y el esfuerzo compresivo plástico con los parámetros antes mencionado, lo cual tiene coherencia con modelos desarrollados anteriormente.

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1. Introducción

Los honeycombs, desde el punto de vista de manufactura, son un tipo de configuración en la cual se crean láminas de un mismo material y se unen de tal forma que parece un panal de abeja, de ahí su nombre. También se puede ver como un material celular bidimensional que es relativamente fuerte y rígido en el plano normal a la microestructura pero débil en plano [1]. Estos se pueden utilizar en una estructura tipo sándwich, lo cual se refiere a que se encuentran en medio de 2 láminas, las cuales mantienes unido al honeycomb y ayuda al proceso de dispersión de energía [2]. Estos sistemas tienen alta resistencia al pandeo, buena rigidez relativa al peso y estabilidad, lo cual lo hace importante en ciertas industrias como la aeroespacial, la automovilística y la naval, donde la durabilidad estructural y la tolerancia al daño son vitales en el momento de diseño [3].

Los sistemas están diseñados para resistir impactos a altas y bajas velocidades. Ejemplos de estos últimos son impactos de aves, rocas, granizo, herramientas que se caen, que son llamados fuente de daños discreto [3] o el producto del aterrizaje de una nave en un planeta o luna [4]. Para proteger la seguridad de los usuarios, se ha generado mucha investigación acerca de la caracterización y el modelación de estos sistemas. Uno de los principales problema al estudiar daños en honeycombs en estructura tipo sándwich es que presenta tipos de fallas dinámicos altamente complejos y la imposibilidad de analizar el comportamiento del material en tiempo real [3]. Por eso, se estudian a partir de resultados experimentales y se crean modelos matemáticos que se aproximen en lo posible a estos.

Figura 1. Honeycomb. (Zhang, Zhang, Wen. 2014)

Con el desarrollo de la tecnología, se visualizó el uso de los nuevos softwares de elementos finitos como herramientas útiles en el estudio de los honeycombs. La principal

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ventaja de este método es la relación costos-resultados, ya que existen una gran variedad de simuladores comerciales que pueden obtener resultados a distintas condiciones cercanos a los obtenidos en un laboratorio de pruebas. Se simplifica la operación mediante el uso de un modelo continuo equivalente y las propiedades de todo el conjunto se analizan en función de las propiedades efectivas en vez de usar toda la estructura real de las celdas.

El propósito de este proyecto es usar un programa de modelación con el cual se pueda analizar el efecto que tiene el cambio de propiedades geométricas del honeycomb, como lo puede ser su altura o el ancho de la lámina con la cual está hecho, en su comportamiento en el diagrama esfuerzo-deformación. Para eso, se realizaran simulaciones variando estos parámetros y se analizaran los resultados reportados por el simulador. También, se verá los efectos del uso de un adhesivo epoxi, que es la forma usada en la manufactura, en la simulación. Para tener un mayor criterio, otro parámetro a analizar será el tamaño de la malla con la cual se hará el análisis de elementos finitos.

La validación de las pruebas se hará realizando un modelo con propiedades similares a una probeta ya caracterizada, para luego comparar los resultados de cada una. Al tener que los algoritmos utilizados son apropiados, se procede a simular para todas las variables a analizar y a partir de los resultados obtenidos de cada una, se miran los cambios en diversos parámetros como el esfuerzo máximo lineal, el módulo de Young y el esfuerzo plástico de compresión. Estos datos se comparan con modelos descritos anteriormente para así poder verificar el buen proceso de modelación.

1.1.

Objetivos

Objetivo general:

Desarrollar una simulación numérica de honeycombs evaluando variables geométricas en la resistencia a compresión de la estructura frente a condiciones cuasi-estáticas.

Objetivos específicos:

• Evaluar el efecto del grosor de lamina en el comportamiento de un honeycomb

• Evaluar el efecto de la altura del honeycomb en su comportamiento

• Evaluar el efecto de la inclusión de un adhesivo en el comportamiento de un

honeycomb

• Evaluar los efectos de la variación del tamaño de malla en los resultados

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2. Marco teórico

2.1.

Propiedades geométricas

Aunque los honeycombs pueden tener distintas geometrías, generalmente se manufacturan de forma hexagonal. Estas se caracterizan principalmente por el parámetro del grosor de la lámina (t) y el tamaño de la celda unitaria (h). Estos parámetros se han usado para intentar establecer ecuaciones que describan los resultados obtenidos experimentalmente. Por ejemplo, se han hecho modelos que describen al grosor como parámetro más importante y otros incluyen la altura pero en menor medida [5].

Figura 2. Parámetros geométricos en un honeycomb. (Deqiang, Weihong. 2010)

2.2.

Modos de fallas

Los resultados obtenidos de las muestras usadas experimentalmente muestran que los modos principales de falla de un honeycomb bajo esfuerzos compresivos cuasi-estáticos ( que significa que no hay efectos inerciales y la tasa de deformación no es importante) son el pandeo elástico de las paredes, la fluencia plástica o la fractura frágil, dependiendo del material del que está hecho [5]. Por ejemplo si el material base del honeycomb es aluminio, el principal modo de fallo es por pandeo elástico.

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Figura 3. Presencia de modos de fallas de un honeycomb, como el pandeo y rupturas en el material. (Zuhri, Guan, Cantwell, 2014)

Cuando ocurre este proceso, la deformación comienza como un bucle simétrico en la mitad de la altura del honeycomb. También se muestra como las paredes sencillas pandean tanto al exterior como al interior, mientras que las paredes dobles solo lo hacen hacia el interior. A medida que sigue aumentando la deformación en el honeycomb, se va perdiendo la simetría, ya que va apareciendo bucles adicionales. También se vio que en algunas celdas los bucles comenzaron en la parte inferior del honeycomb, mientras que en otras comenzaron en la parte superior. Además, se comprobó el poco efecto que tiene la cantidad de celdas en los resultados finales [5].

2.3.

Comportamiento de un honeycomb a compresión cuasi-estática

Las curvas de las pruebas experimentales realizadas a estos elementos han mostrado que estos tienen 3 comportamientos característicos: primeramente, se comporta elásticamente hasta un máximo local, al cual se hace referencia en este proyecto como esfuerzo máximo elástico. Luego, el esfuerzo baja hasta llegar a un punto llamado de compresión plástica, producto del pandeo en las láminas del honeycomb, el cual se mantiene constante hasta cierto punto. Todas estas regiones están influenciadas por diversos parámetros. Finalmente, vuelve a aumentar los valores del esfuerzo, condicionado por el material usado para la manufactura del honeycomb, producto de la densificación de este [6]. Este comportamiento es fundamental para entender el porqué del uso de los honeycombs para absorber energía por impacto.

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Figura 4. Pandeo en un honeycomb por esfuerzos compresivos. (Wilbert, Jang, Kyriakides, Floccari. 2011)

2.4.

Modelos analíticos

Los primeros estudios realizados con respecto a este tema fueron los de McFarland [4], luego corregidos por Wierzbicki [4], quien determinó que el colapso de las paredes celulares se debía al pliegue del elemento y no debido a la deformación por esfuerzos cortantes como era descrito por McFarland. Además, Wierzbicki empezó a estimar

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diversos valores, como el del esfuerzo de compresión para condiciones cuasi-estáticas [7], en función de parámetros geométricos y del material. Véase la ecuación 1.

( )

Gibson y Ashby desarrollaron un modelo para estimar el modulo elástico basados en la densidad del honeycomb comparando con la densidad del material [8]. Véase la ecuación 2.

√

Otro modelo lo desarrollaron Meraghni, Desrumaux y Benzeggagh en función de la geometría de la celda [9]. Véase la ecuación 3, usada para un ángulo de 120°.

√

Aunque estos modelos no incluyen la altura y consideran su influencia como despreciable, otros si tienen en cuenta este parámetro y muestran resultados de simulaciones donde para radios de Poisson diferentes a 0, el modulo elástico aumenta a medida que la altura también. Los aumentos en este parámetro para radios de Poisson de 0.33 y ángulos de 30°, aunque influyen menos que otros como el grosor, son considerables y puede ser estimados. Véase las ecuaciones 4 y 5.

√

∑

donde Hm se calcula

y Ep se halla basado en la ecuación 2.

Hazizan y Cantwell [4] hicieron su investigación en el comportamiento de los honeycombs en estructuras de sándwich ante impacto a bajas velocidades, con lo cual desarrollaron un modelo de balance de energía simple bajo el cual clasificaron la energía absorbida por estos elementos en componentes de pandeo, contacto y cortante. Yamashita y Gotoh [4] investigaron el efecto de la forma de la celda y del grosor de la pared de la celda en un honeycomb ante un impacto numéricamente. Todos estos estudios descubrieron una

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18

dependencia con los diversos parámetros geométricos presentes en el material base, lo cual afecta el comportamiento compresivo del núcleo a diferentes condiciones de carga [4].

Figura 5. Diagrama esfuerzo-deformación de un honeycomb. (Othman, Barton. 2008)

2.5.

Análisis por elementos finitos

El proceso de análisis por elementos finitos consiste en el uso de aproximaciones de variables desconocidas para transformar ecuaciones diferenciales parciales en ecuaciones algebraicas [11]. Este usa un sistema de puntos llamados nodos que forman una red llamada malla. Esta es programada para contener las propiedades estructurales y de materiales, la cuales definen el comportamiento del elemento bajo ciertas condiciones de carga. A partir del uso de las matrices de rigidez de cada elemento, se puede determinar los esfuerzos presentes en el material.

Este método puede ser usado para resolver problemas transientes o estáticos en regiones tanto lineares como no-lineares. Estos pueden ser tanto en sistemas 2-D como en 3-D. Los 3-D son más precisos, pero necesitan un mayor procesador de computador. Se debe en cuenta que los resultados y el análisis pueden variar dependiendo del algoritmo utilizado para realizar la simulación, por lo que se debe revisar en la teoría y hacer pruebas para encontrar el mejor modelo a utilizar. Por ejemplo, los sistemas lineales no tienen en cuenta la deformación plástica, mientras que los no lineales si los tiene en cuenta y pueden llegar hasta fractura [11].

Aun con sus virtudes, este método de análisis puede presentar sus errores. El principal es que este sistema presenta resultados aproximados de modelos matemáticos, que a su vez son acercamientos que se intentan hacer de resultados experimentales. También, se tiene que tener en cuenta problemas de convergencia que pueden ocurrir por el tipo de malla utilizada [12].

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3. Metodología

El desarrollo correcto de las simulaciones depende de una buena definición de las propiedades y características del elemento a analizar, junto a las condiciones de fronteras adecuadas. También depende del método computacional a utilizar, por lo tanto se busca que todas las condiciones y sus resultados sean los más aproximadas a la realidad. Los datos obtenidos se procesan adecuadamente para poder hacer su posterior análisis.

3.1.

Definición de elementos a simular

El programa de elementos finitos que fue usado para realizar las simulaciones fue Marc Mentat versión estudiantil 2013 y profesional 2012. El elemento a analizar fue la celda unitaria del honeycomb, que se modeló como 3 láminas que entre ellas forman un ángulo de 120°, de las cuales 2 tienen grosor normal y la otra tiene grosor doble. Para el análisis del comportamiento del honeycomb con el adhesivo, se agrega otro elemento, el cual tendrá la misma malla que las laminas, en el centro de lo que sería la lamina de grosor doble, volviéndolo 2 laminas separadas. La longitud de cada lámina es de 1,74 mm. El grosor y la altura son variables para el análisis.

Figura 6. Imagen de la celda unitaria con grosor 0.025 mm.

El enmallado se hace manualmente, haciéndolo más fino en la zona donde la lamina se dobla. Esto se hace para evitar distorsiones que afecten los resultados. El tamaño de la

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20

malla en los ejes X y Y se mantiene constante en todas los modelos y es igual a 1/3 de la dimensión de los elementos. La subdivisión realizada para el eje Z es variable, para el estudio de su efecto. El límite de este está condicionado a la convergencia de los resultados.

Figura 7. Muestra del enmallado usado con el modelo con adhesivo.

El material usado para la simulación es el aluminio 5052, para así poder ser comparado con experimentos anteriores. Para las simulaciones con adhesivos, se incluye un material adicional con las propiedades de un epoxi. Además, se define que los elementos del enmallado se modelan como sólidos. Se asumió un coeficiente de Poisson de 0.33 para el epoxi.

Tabla 1. Propiedades del aluminio usado en la simulación [12]

Propiedad del Aluminio Valor

Módulo de Young (GPa) 70.3

Coeficiente de Poisson 0.33

Esfuerzo de fluencia (MPa) 292

Esfuerzo Ultimo (MPa) 313

Deformación de fallo (%) 12

Tabla 2. Propiedades del epoxi usado en la simulación [13].

Propiedad del epoxi Valor

Módulo de Young (GPa) 2.01

Esfuerzo de fluencia (MPa) 29

Esfuerzo Ultimo (MPa) 57.7

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21

Grafica 1. Grafica usada para aproximar el comportamiento plástico del aluminio en la simulación.

3.2.

Definición de condiciones de frontera

Adicionalmente, se agregan las condiciones de fronteras necesarias. Estas son una restricción en los ejes X y Y en el nodo inferior en la intersección de la laminas y en los ejes Z para todos los nodos inferiores.

Se simula la compresión cuasi-estática mediante el uso de un nodo exterior a la geometría analizada. A este, se le asigna que se traslade únicamente en el eje Z por medio de restricciones en los demás ejes y bajo una función dependiente del tiempo. Esta función solo sirve para provocar el movimiento ya que los algoritmos usados, que se explicaran posteriormente, provocan que el tiempo y a su vez se ajusten automáticamente y son independientes de la tasa deformación/tiempo. Posteriormente, se une a los nodos superiores del honeycomb mediante enlaces, lo cual hace que todos presenten el mismo desplazamiento en el sistema fuera del plano.

3.3.

Definición de método computacional para las simulaciones

Se usó el método arc-lenght del software Marc para realizar las simulaciones. Este define que las inestabilidades que se puedan presentar en la simulación se deben a las cargas aplicadas. El incremento de la fuerza se define por el método Crisfield, que lo hace por medio de una función cuadrática, la cual es resuelta usando la iteración de Newton, y a partir de estos, buscar un punto de equilibrio en el sistema. Se uso este método para

290 295 300 305 310 315

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Esf

u

e

rzo

(

M

Pa)

(22)

22

forzar a no encontrar estos puntos en deformaciones más pequeñas de la ya analizadas por el programa.

Figura 8. Restricciones aplicadas a los modelos a simular.

El método arc-lenght usado para esta prueba fue definida con un número máximo de incrementos de 200, un numero deseado de reciclajes sobre incrementos de 5 y un máximo radio de arc-lenght sobre el inicial de 10. Esto se definió a partir de las pruebas realizadas en los modelos con un grosor de 0.025 mm, una altura de 12 mm y adhesivo, y comparándolas con los resultados experimentales en un honeycomb con las mismas características. Pero, debido a que este método es de incremento automático, se dificulta la obtención de muchos resultados [14].

-90 grados en el eje x

(23)

23

3.4.

Obtención de resultados

En el postprocesamiento, se examina la fuerza y el desplazamiento que reporta el nodo único exterior, lo que facilita el análisis, al evitar respuestas múltiples que se pueden dar dentro de la estructura y se asemeja más a los diseños experimentales.

Figura 9. Muestra del sistema usado para generar la deformación en el modelo.

Se usan ecuaciones para transformar los datos de fuerza y desplazamiento en esfuerzo y deformación. Véase las ecuaciones 6 y 7.

Donde en la ecuación (6), el área en función del espesor, se basa en un rombo que cubre toda la vista y su ecuación se desarrolla teniendo en cuenta otros parámetros como el largo de la lámina y el ángulo del hexágono, que son constantes para este caso [15]. Véase la ecuación 8.

Las parámetros utilizados para las pruebas fueron grosores de 0.025, 0.05, 0.075, 0.1, 0.25 y 0.5 mm para una misma altura de 12 mm, y alturas de 5, 10, 12, 15, 20 y 25 mm para un

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mismo grosor de 0.025 mm. La combinación de prueba es de un grosor de 0.025 mm y una altura de 12 mm.

Figura 10. Área utilizada para el cálculo del esfuerzo ingenieril.

Se analizan 3 parámetros: el modulo de Young, el esfuerzo máximo elástico y el esfuerzo plástico compresivo. El primero se calcula dividiendo el valor máximo elástico entre la distancia a la que está ubicada, ya que esos son los únicos que se tienen generalmente en las simulaciones; el segundo es el valor más alto en la zona elástica y el ultimo se calcula promediando los valores de esfuerzos obtenidos en la meseta característica del honeycomb.

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4. Análisis y resultados.

Los primeros resultados obtenidos son los obtenidos con los modelos con 0.025 mm de grosor y 12 mm de altura, con y sin adhesivos, ya que estos se usaran como comparación con resultados experimentales para comprobar el buen desempeño de la simulación. Si estos se presentan confiables, se procede a varias los parámetros de grosor y altura para ver su importancia en las propiedades del honeycomb. Adicionalmente, se varía el tamaño de la malla para ver como esta afecta los resultados. Estos se compararan con modelos analíticos desarrollados previamente.

4.1.

Validación con modelos de prueba

Para cada prueba, se realizan las simulaciones con divisiones en el eje Z de un 1/25, 1/50 y 1/75 de la altura. Ese límite definido para las divisiones es debido a que al hacer a 1/100, se presentan problemas de convergencia y los resultados ya no tienen aproximación con los obtenidos previamente. Las simulaciones resultados presentan que las láminas presentan pandeo, lo cual es la forma en la que está demostrado que fallan estos elementos, que principalmente se generan en los puntos descritos en la teoría, como lo son el centro de la lamina y la parte inferior de esta. Comparando la distancia a la que se encuentra estos bucles en las simulaciones con la reportada en los experimentos, ambas están se presentan en los mismos rangos entre un 40 y 60% de la altura [1].

Figura 11. Deformación bajo procesión de compresión en un honeycomb simulado de 0.025 mm sin adhesivo.

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Figura 12. Deformación bajo procesión de compresión en un honeycomb simulado de 0.025 mm con adhesivo.

Se nota las diferencias entre las imágenes mostradas. El modelo con el epoxi presenta menos bucles, cuya cantidad por lámina (entre 1 y 2) está de acuerdo con los resultados experimentales para deformaciones pequeñas pero en el rango elástico (en este caso los datos se obtuvieron para deformaciones cercanas al 0.04%). Además, los bucles se presentaron a distancias que están aproximadamente a 40% de la altura a partir de los bordes generalmente. Por lo tanto se tiene que las simulaciones son concordantes.

Se validan las simulaciones con experimentos realizados previamente, se comparan los modelos de prueba, variando el tamaño de la malla, con los datos obtenidos por el ingeniero Diego Avendaño con honeycombs con las mismas condiciones geométricas y de material. Para ver cual se acerca más a la realidad, se comparan tanto los modelos con o sin adhesivo.

Se puede ver como el valor para los parámetros evaluados para el modelo con pegamento aumenta y se acerca más al valor experimental de manera significativa. Aun se presentan enormes diferencias entre los valores promedio de las simulaciones que usan adhesivos y los experimentales. En las gráfica 1, se ve que con mallas de 1/25, hasta cierto punto, y de 1/50 se presenta un buen comportamiento pero para la malla de 1/75, la meseta característica del honeycombs tiene una longitud pequeña y tiene un valor de esfuerzo

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27

menor al esperado. Además, se ve en la misma grafica que para la malla de 1/25, los valores de esfuerzos bajan considerablemente, aun después de estar en los valores aceptables y por encima de los obtenidos en la simulación sin adhesivo, que se encuentran en la grafica 2.

Grafica 2. Grafica esfuerzo deformación de honeycombs básico (grosor 0.025 mm y altura 12 mm) simulado con adhesivo y experimental.

Una de las razones de este error puede ser numérica, ya que la geometría compleja que posee el elemento puede generar lecturas erróneas y extrapolación de los datos. Esto sería consistente con los reportes de error que a veces se presentaban, ya que estos decían que algunos elementos de la malla tenían valores limites y los nodos estaban saliendo de la estructura, pero que esto no siempre ocurría y que podía ser problema de la integración [16].

Para los valores de módulo de Young y esfuerzo máximo elástico, se nota que estos tienen un error significativamente menor, igual que la desviación estándar, y sigue con la tendencia de que los valores de las simulaciones con adhesivo se asemejan más a los experimentales que los que no lo poseen.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Esf u e rzo in ge n ie ri l (M Pa)

Deformacion unitaria (mm/mm)

Con Adhesivo (1/25)

Con Adhesivo (1/50)

Con Adhesivo (1/75)

(28)

28

Grafica 3. Grafica esfuerzo deformación de honeycomb básico (grosor 0.025 mm y altura 12 mm) simulado sin adhesivo y experimental.

Tabla 3. Resultados de las simulaciones de prueba para honeycombs con adhesivos.

Característica Con

adhesivo (Tamaño de malla de 1/25) Con adhesivo (Tamaño de malla de 1/50) Con adhesivo (Tamaño de malla de 1/75)

Promedio Desviación

Estándar

Módulo de

Young (GPa) 379 387 387 384 5

Esfuerzo Máximo

Elástico (MPa) 3.13 3.21 3.21 3.18

0.04

Esfuerzo de Compresión

Plástica (MPa) 1.4 2.3 1.4 1.9 0.9

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Deformacion unitaria (mm/mm)

Sin Adhesivo (1/25)

Sin Adhesivo (1/50)

Sin Adhesivo (1/75)

(29)

29

Tabla 4. Resultados de las simulaciones de prueba para honeycombs sin adhesivos.

Característica Sin

adhesivo (1/25) Sin adhesivo (1/50) Sin adhesivo (1/75)

Promedio Desviación

estándar

Módulo de

Young (MPa) 387 360 387 378 15

Esfuerzo Máximo Elástico (MPa)

3.21 2.93 3.21 3.11 0.16

Esfuerzo de Compresión Plástica (MPa)

1.2 1.09 1.5 1.28 0.2

Tabla 5. Comparación de los datos experimentales con las simulaciones.

Característica Experimental Error con

pegamento (%)

Error sin pegamento (%) Modulo de Young

(GPa) 389 1.12 3.42

Esfuerzo Máximo

Elástico (MPa) 3.21 0.96 3.75

Esfuerzo de Compresión Plástica (MPa)

2.96 37.07 59.26

4.2. Resultados con variación de parámetros

E es el modulo elástico, σem es el esfuerzo elástico máximo y σcp es el esfuerzo compresivo

plástico.

Tabla 6. Resultados de la simulación para un grosor de 0.05 mm y altura de 12 mm.

Modelo E (MPa) σem (MPa) σcp (MPa)

Malla 1/25 673 5.57 3.51

Malla 1/50 673 5.58 4.17

Malla 1/75 998 8.31 5.04

Promedio 781 6.49 4.24

(30)

30

Malla 1/25 1037 8.59 3.48

Malla 1/50 1536 12.8 6.96

Malla 1/75 1541 12.85 6.86

Promedio 1371 11.41 5.77

Desviación Estándar 289 2.45 1.98

Malla 1/25 1969 16.41 4.29

Malla 1/50 1981 16.51 8.75

Malla 1/75 1990 15.69 10.14

Promedio 1980 16.5 7.73

Malla 1/25 4490 37.41 20.49

Malla 1/50 4539 37.83 21.36

Malla 1/75 4579 38.16 19.12

Promedio 4536 37.8 20.32

Malla 1/25 7952 66.27 41.99

Malla 1/50 8085 67.38 38.46

Malla 1/75 8178 68.15 41.77

Promedio 8072 67.26 40.74

(31)

31

Malla 1/25 200 3.9 1.03

Malla 1/50 164 3.19 0.72

Malla 1/75 204 3.98 1.35

Promedio 189 3.69 1.03

Malla 1/25 339.86 3.365 1.51

Malla 1/50 339.79 3.367 1.8

Malla 1/75 339.73 3.37 2.85

Promedio 339.79 3.367 2.05

Desviación Estándar 0.06 0.003 0.7

Malla 1/25 461.5 3.061 3.09

Malla 1/50 462.6 3.072 2.9

Malla 1/75 463 3.075 2.88

Promedio 462.4 3.069 2.96

Desviación Estándar 0.8 0.007 0.11

Malla 1/25 587 2.93 3.01

Malla 1/50 590 2.95 2.98

Malla 1/75 659 3.3 1.59

Promedio 612 3.06 2.52

Malla 1/25 690 2.76 2.51

Malla 1/50 686 2.74 3.07

Malla 1/75 684 2.74 3.05

Promedio 687 2.75 2.88

(32)

32

Para poder ver mejor como afecta el tamaño de la malla a los resultados, se los grafico en función de la variable a analizar.

Grafica 4. Modulo elástico del honeycomb vs grosor de las paredes con distintas mallas

Grafica 5. Esfuerzo elástico máximo del honeycomb y esfuerzo plástico de compresión vs grosor de las paredes con distintas mallas

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

M o d u lo E lasti co (M Pa) Grosor (mm) 0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Grosor de lamina (mm)

Esfuerzo plastico de compresion

(33)

33

Los resultados mostrados muestran que un aumento en el grosor de las paredes influye de manera positiva y significativa en los parámetros analizados. Esto es concordante con los modelos teóricos, donde dicen que la variable que más afecta al comportamiento a compresión de un honeycomb es el grosor de la lamina.

Grafica 6. Modulo elástico del honeycomb vs altura de honeycomb con distintas mallas

Grafica 7. Esfuerzo elástico máximo del honeycomb y esfuerzo plástico compresivo vs altura del honeycomb con distintas mallas

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0 5 10 15 20 25 30

M o d u lo E lasti co ( M Pa ) Altura (mm) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

0 5 10 15 20 25 30

Altura del honeycomb (mm)

Esfuerzo plastico de compresion

(34)

34

4.3.

Análisis de la variación de parámetros

En el caso de la altura, se nota como el comportamiento de las variables evaluadas no es uniforme de acuerdo al cambio de la altura evaluada. En el análisis del esfuerzo plástico compresivo, el comportamiento parece no depender directamente de la altura, lo cual es válido según los modelos teóricos desarrollados, ya que estos dicen que el parámetro principal es el grosor de la lámina. Se puede ver como la altura aumenta el modulo elástico, lo cual está en concordancia de ciertas teorías propuestas. Adicionalmente, se puede ver como el modelo elástico máximo decrece a medida que la altura aumenta. Estas tendencias tienen en común que no presentan cambios grandes en los resultados, aun cuando la altura aumenta significativamente. Se presentaron errores en la simulación en las alturas más grandes evaluadas, donde había unos máximos que no eran elásticos. Como se explico antes y ya que esto no ocurrió en todos los casos, se puede deber a fallas en proceso de integración del sistema.

También se pudo ver cómo, aun con los errores que se pudieron presentar, el cambio del tamaño de la malla no afecto significativamente los resultados obtenidos y generalmente estos están relativamente cercanos entre ellos y presentando la misma tendencia. Pero como ya se explico, esto solo es válido para ciertos rangos de tamaño de mallas, ya que a más pequeñas se presentan valores que se alejan de los ya mostrados. Debido a la cercanía de los resultados encontrados, se puede usar los promedios de estos y estos serán los utilizados para análisis posteriores, junto con su desviación estándar.

4.4.

Corroboración con modelos analíticos

Se prueba la validez de los resultados según los modelos analíticos desarrollados mediante la comparación bajo una distribución t-student de 2 colas, 2 grados de libertad (numero de datos -1) y con un 95% de confiabilidad, por lo cual si el parámetro t. Véase la ecuación 9.

√ (9)

Donde n es el número de datos, en este caso 3. Para esta situación, si t es menor a 4.3027, se tiene que está dentro del rango aceptable.

(35)

35

Grafica 8. Comparación de los resultados promedios de modulo elástico de las simulaciones con los modelos teóricos según varia el grosor de las laminas.

Grafica 9. Comparación de los resultados promedios de esfuerzo plástico de compresión de las simulaciones con los modelos teóricos según varía el grosor de las láminas.

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

M o d u lo E lasti co ( M Pa ) Grosor (mm) Simulaciones Ashby Merghani 0 50 100 150 200 250

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Esf u e rzo Pl asti co d e Co m p re si o n ( M Pa ) Grosor (mm) Simulaciones Wierzbicki

(36)

36

Grafica 10. Comparación de los resultados promedios de modulo elástico de las simulaciones con los modelos teóricos según varia la altura del honeycomb.

Grafica 11. Comparación de los resultados promedios de esfuerzo de compresión plástica de las simulaciones con los modelos teóricos según varía la altura del honeycomb.

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0 5 10 15 20 25 30

M o d u lo E lasti co (M Pa) Altura (mm) Simulaciones Chen Merghani 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

0 5 10 15 20 25 30

Esf u e rzo Pl asti co d e Co m p re si o n ( M Pa ) Altura (mm) Simulaciones Wierzbicki

(37)

37

Tabla 16. Comparación entre los datos experimentales y las simulaciones

Dato a analizar

Por experimentos (MPa) Por simulaciones (MPa) Desviación

(MPa) Parámetro t

Dentro del rango

σem sin adhesivo 3,21 3,11 0,16 -1,06 Si

σcp sin adhesivo 2,96 1,28 0,24 12,12 No

E sin adhesivo 388,8 378,2 15,5 1,18 Si

σem sin adhesivo 3,21 3,16 0,04 -2,23 Si

σcp con adhesivo 2,96 1,9 0,94 1,95 Si

E con adhesivo 388,8 381,6 5,05 2,47 Si

Tabla 17. Comparación entre los datos teóricos y las simulaciones para variaciones de grosor

Dato a analizar

Por análisis teórico (MPa)

Por Simulaciones (MPa)

Desviación

(MPa) Parámetro t

Dentro del Rango

σcp para g=0,025 1,49 1,28 0,24 1,5 Si

E1 para g= 0,025 723,9 378,2 15,5 38,6 No

E2 para g= 0,025 551,5 378,2 15,5 19,4 No

σcp para g = 0,05 4,73 4,24 0,77 1,11 Si

E1 para g= 0,05 1425,8 781,3 187,7 5,9 No

E2 para g= 0,05 1102,9 781,3 187,7 3 Si

σcp para g= 0,075 9,3 5,77 1,98 3,09 Si

E1 para g= 0,075 2106,7 1371,8 289,4 4,4 No

E2 para g= 0,075 1654,4 1371,8 289,4 1,7 Si

σcp para g= 0,1 15 7,73 3,06 4,14 Si

E1 para g= 0,1 2767,5 1980,2 10,6 129,1 No

E2 para g= 0,1 2205,9 1980,2 10,6 37 No

σcp para g= 0,25 69,2 20,32 1,13 75,07 No

E1 para g= 0,25 6355,7 4536 44,8 70,4 No

E2 para g= 0,25 5514,6 4536 44,8 37,8 No

σcp para g= 0,5 219,71 40,74 1,98 156,61 No

E1 para g= 0,5 11193,4 8071,8 113,2 47,7 No

(38)

38

Tabla 18. Comparación entre los datos teóricos y las simulaciones para variaciones de altura

Dato a analizar

Por análisis teórico (MPa)

Por Simulaciones (MPa)

Desviación

(MPa) Parámetro t

Dentro del rango

σcp para h=5 1,49 1,03 0,32 2,51 Si

E1 para h= 5 710,9 189,1 21,8 41,5 No

E2 para h= 5 551,5 189,1 21,8 28,8 No

σcp para h=10 1,49 2,05 0,7 -1,39 Si

E1 para h= 10 712,6 339,8 0,1 10778,4 No

E2 para h= 10 551,5 339,8 0,1 6119,9 No

σcp para h=15 1,49 2,96 0,12 -22 No

E1 para h= 15 713,2 462,4 0,8 536,9 No

E2 para h= 15 551,5 462,4 0,8 190,7 No

σcp para h=20 1,49 2,52 0,81 -2,22 Si

E1 para h= 20 713,4 612,2 40,8 4,3 Si

E2 para h= 20 551,5 612,2 40,8 -2,58 Si

σcp para h=25 1,49 2,88 0,32 -7,59 No

E1 para h= 25 713,6 686,7 2,7 17,1 No

E2 para h= 25 551,5 686,7 2,7 -86 No

4.5.

Análisis de la comprobación con modelos analíticos

Una de las razones de la posible diferencia entre los valores teóricos y los simulados puede ser que las simulaciones se detienen en cierto punto y no dan valores posteriores, que pueden hacer que la diferencia entre los resultados se reduzca. El algoritmo utilizado es define los incrementos automáticamente, por lo cual este define el número de datos disponible y el máximo valor al cual se llega la simulación. Debido a estos inconvenientes, se intentó usar el que diera los mejores valores en general. Esto afecto principalmente a las simulaciones para las simulaciones variando la altura en la parte plástica del diagrama esfuerzo-deformación, lo cual provoca errores en el análisis del esfuerzo plástico compresivo. Aun así, las simulaciones que pudieron continuar no presentan alguna tendencia dependiente de la altura y están en el rango que se espera según el modelo de Wierzbicki, lo cual es esperado según la teoría.

Otro detalle importante es como los resultados de las simulaciones con respecto al esfuerzo plástico de compresión son validos para grosores pequeños y que estos se alejan de sus valores teóricos a medida que aumenta el ancho de la lámina. Esto se puede deber a que, como generalmente este valor es muy pequeño, todos los modelos teóricos usan aproximaciones que empiezan a no tener validez con elementos más gruesos, como podría ser el desarrollo del pandeo, ya que en los resultados se podía ver como este se

(39)

39

vuelve menos prominente, como se puede ver en la figura 12, donde los bucles en las laminas generalmente son más pequeño que los mostrados en las figuras 10 y 11. Como las ecuaciones desarrolladas consideran que el esfuerzo plástico de compresión es producto del pandeo de las hojas que componen, se puede ver una razón para que los valores presentados se alejen considerablemente.

Figura 13. Deformación bajo procesión de compresión en un honeycomb simulado de 0.1 mm.

Aunque los resultados usando las distintas ecuaciones no se aproximan a los resultados de las simulaciones, como se muestran en las graficas 10, 11, 12 y 13, se puede ver como si se presentan las mismas tendencias. Esto se puede ver principalmente en el análisis del modulo elástico, donde tanto para la variación de altura y de grosor, y usando diversos modelos teóricos, los resultados no se aproximaban a lo esperado, el tipo de tendencia es la misma, la cual es positiva. Pero lo marcado de la tendencia varía entre las simulaciones y la teoría. Esto indica puede indicar que en sí, las asunciones realizadas para el estudio de estos elementos pueden ser validas para ciertos casos, pero aun falta seguir haciendo estudios para acercar los valores obtenidos con las ecuaciones con los reales.

(40)

40

5. Conclusiones

 Los resultados de las simulaciones de comparación, que son las de adhesivos con

0.025 mm de grosor y 12 mm de altura, se acercan bastantes a los experimentales, lo cual los valida.

 El ancho de las láminas usadas fue el factor más importante en el comportamiento

de los honeycombs simulados, presentando una tendencia positiva significativa en todos los parámetros analizados.

 La altura, en menor medida, también afecta al comportamiento del elemento,

pero presentando distintas tendencias en cada parámetro analizado.

 El uso de adhesivo aumenta los valores de los parámetros analizados en la relación

a los resultados sin este, principalmente el esfuerzo compresivo plástico.

 Los modelos teóricos utilizados para el cálculo del esfuerzo de compresión se

presentaron validos para grosores de laminas pequeños

 Los modelos teóricos utilizados para el cálculo del modulo elástico de honeycombs

no son los apropiados para compararse con los valores experimentales y de las simulaciones

 La variación del tamaño de malla puede afectar los resultados de las simulaciones,

presentando divergencia en estos, pero los convergentes son relativamente cercanos entre ellos.

(41)

41

6. Recomendaciones

 Usar distintos programas de simulación por elementos finitos para poder

comparar los resultados obtenidos.

 Continuar las simulaciones con valores intermedios para descubrir hasta que

puntos son validos los modelos teóricos.

 Poder construir los elementos simulados y hacer pruebas con ellos para validar

(42)

42

7. Referencias

[1] Wilbert. A, Jang. W. Y, Kyriakides. S, Floccari, J. F. Buckling and progressive crushing of laterally loaded honeycomb. International Journal of Solids and Structures, Volumen 48, Ejemplar 5. Marzo 2011.

[2] Bitzer. T. N. Honeycomb technology: Materials, Design, Manufacturing, Applications and Testing. Chapman & Hall. 1997

[3] Meo. M, Vignjevic. R, Marengo. G. The response of honeycomb sandwich panels under low-velocity impact loading. International Journal of Mechanics Sciences, Volumen 47 Ejemplar 9. Septiembre 2005

[4] Petrone. G, Rao. S, De Rosa. A, Mace. B.R, Franco. F, Bhattacharya. D. Behavior of fibre-reinforced honeycomb core under low velocity impact loading. Composites Structures, Volumen 100. Junio 2013.

[5] Othman. A. R, Barton. D. C. Failure initiation and propagation characteristics of honeycomb sandwich composites. Composite Structures, Volumen 85, Ejemplar 2. Septiembre 2008.

[6] Deqiang. S, Weihong. Z, Yanbin, W. Mean out-of-plane dynamic plateau stresses of hexagonal honeycomb cores under impact loadings. Composites Structures, Volumen 92, Ejemplar 11. Octubre 2010.

[7] Gibson. L. J, Ashby. M. F. Cellular Solids: Structure and Properties: The Mechanics of Honeycombs. Paginas 90-159. Cambrigde University Press: UK, 1997.

[8] Lin. T-C, Yang. M-Y, Huang. J-S. Effects of solid distribution on the out-of-plane elastic properties of hexagonal honeycombs. Volumen 100. Junio 2013.

[9] Meraghni. F, Desrumaux. F, Benzeggagh. M.L. Mechanical behavior of cellular core for structural sandwich panels. Composites: Part A. Volumen 30. Octubre 1998.

[10] Chen. D.H, Ozaki. S. Analysis of in-plane elastic modulus for a hexagonal honeycomb core: Effect of core height and proposed analytic method. Composite Structures. Volumen 88, Ejemplar 1. Marzo 2009.

(43)

43

[11] Dhatt. G, Lefrancois. E, Touzout. G. Finite Element Method: The finite element method. ISTE Ltd: UK, 2012.

[12] Avendaño. D.F, Casas-Rodriguez. J. P, Maranon. A. Dynamic characterization of

hexagonal cell structures. 14th Pan-American Congress of Applied Mechanics. Marzo 2014.

[13] Casas-Rodriguez. J.P, Ashcroft. I.A, Silberschmidt. V.V. Delamination in adhesively bonded CFRP joints: Standard fatigue, impact-fatigue and intermittent impact. Composites Science and Technology. Volumen 68, Ejemplar 12. Septiembre 2008.

[14] Volume A: Theory and User Information. Marc 2012.

[15] Aaron-Jeyasingh, V.M. Analytic modeling of metallic honeycomb for energy absorption and validation with FEA. Wichita State University. Mayo 2005

[16] Errors arising In FEA. Recuperado de

(44)

44

8. Anexos

8.1. Modelos a simular variando el espesor

(45)

45

Figura 15. Vista superior del honeycomb de 0.05 mm de espesor

(46)

46

(47)

47

8.2. Modelos a simular variando la altura

(48)

48

(49)

49

(50)

50

(51)

51

(52)

52

Figura 25. Vista lateral del honeycomb de 5 mm de altura

8.3. Modelos a simular variando la inclusión de adhesivo

(53)

53

Figura 27. Vista superior del honeycomb de 0.025 mm de espesor con adhesivo

8.4. Modelos a simular variando el tamaño de la malla

Figura 28. Vista lateral del honeycomb de 12 mm de altura con una malla de 1/25 de la altura

(54)

54

(55)

55

(56)

56

8.5. Resultados para la variación del espesor

Grafica 12. Grafica de esfuerzo-deformación para el modelo sin adhesivo con altura de 12 mm y espesor de lámina de 0.025 mm con una malla de 1/25 de la altura.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Esf

u

e

rzo

(

M

Pa)

Deformacion (mm/mm)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016

Esf

u

e

rzo

(

M

Pa)

(57)

57

Grafica 15. Grafica de esfuerzo-deformación para el modelo con altura de 12 mm y espesor de lámina de 0.05 mm con una malla de 1/25 de la altura.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

0 0,005 0,01 0,015 0,02

Esf

u

e

rzo

(

M

Pa)

0 1 2 3 4 5 6

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03

Esf

u

e

rzo

(

M

Pa)

(58)

58

0 1 2 3 4 5 6

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

Esf

u

e

rzo

(

M

Pa)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03

Esf

u

e

rzo

(

M

Pa)

(59)

59

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Esf u e rzo ( M Pa) Deformacion (mm/mm) 0 2 4 6 8 10 12 14

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Esf u e rzo ( M Pa) Deformacion (mm/mm)

(60)

60

0 2 4 6 8 10 12 14

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Esf u e rzo ( M Pa) Deformacion (mm/mm) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

(61)

61

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03

Esf u e rzo ( M Pa) Deformacion (mm/mm) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

(62)

62

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Esf u e rzo ( M Pa) Deformacion (mm/mm) 0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

(63)

63

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

Esf u e rzo ( M Pa) Deformacion (mm/mm) 0 10 20 30 40 50 60 70

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

(64)

64

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Esf u e rzo ( M Pa) Deformacion (mm/mm) 0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,05 0,1 0,15 0,2

(65)

65

8.6. Resultados para la variación de la altura

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

Esf u e rzo ( M Pa) Deformacion (mm/mm) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

(66)

66

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

Esf u e rzo ( M Pa) Deformacion (mm/mm) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06