Pr´
actica 10 - Parte 1
´
Area entre curvas
Una de las aplicaciones del c´alculo de integrales definidas es el c´alculo de ´areas de regiones acotadas del plano delimitadas por gr´aficos de funciones.
1.
Area entre el gr´afico de una funci ´on y el eje
´
x
Como primer paso, nos interesa calcular el ´area comprendida entre el gr´afico de una funci ´on
f y el ejexentrex =ayx =b, sabiendo que f es integrable en[a;b].
En primer lugar, consideraremos el caso en que el gr´afico de f est´a por arriba del ejex.
a b
y= f(x)
Al introducir la noci ´on de integral vimos que:
Si la funci ´on f es positiva o cero en el intervalo[a;b], el ´area de la regi ´on compren-dida entre el ejexy el gr´afico de la funci ´on f entre los l´ımitesaybes
A=
Z b
a f (x)dx
Ejemplo 1. Calcular el ´area de la regi ´on comprendida entre el ejexy el gr´afico de la funci ´on f(x) = x2−1 entrex =1 yx =3.
1 3 f
A
Como la funci ´on f es positiva o cero en el intervalo[1; 3], el ´areaAest´a dada por
A =
Z 3
1
(x2−1)dx.
Para calcular la integral, podemos usar la regla de Barrow. Como F(x) = 1
3x
3−x es una
primitiva de f(x) = x2−1, tenemos que
A= Z 3
1 (x
2−1)dx=1 3x
3−x 3
1 = 1
33
3−3−1 31
3−1=6−(−2 3) =
20 3 .
El segundo caso que consideraremos es cuando el gr´afico de f est´a por debajo del ejex
a b
y= f(x)
es decir, la funci ´on f es negativa o cero en el intervalo[a;b].
Si la funci ´on f es negativa o cero en el intervalo[a;b], el ´area de la regi ´on compren-dida entre el ejexy el gr´afico de la funci ´on f entre los l´ımitesaybes
A=− Z b
a f
(x)dx
Ejemplo 2. Calcular el ´area de la regi ´on comprendida entre el ejexy el gr´afico de la funci ´on f(x) = −x2−1 entrex =−2 yx =1.
En el siguiente gr´afico aparece sombreada la regi ´on en cuesti ´on:
−2 1
y= f(x) A
La funci ´on f toma valores negativos en todoR, con lo cual el ´areaAbuscada es
A=− Z 1
−2
(−x2−1)dx= Z 1
−2
(x2+1)dx=
1 3x
3+x
1
−2=
=
1 31
3+1
−
1 3(−2)
3+ (−2)
= 4
3+ 14
3 = 6 .
Por ejemplo, para calcular el ´area de la regi ´on sombreada en la figura
a
b
y= f(x)
podemos descomponerla en dos ´areas que ya sabemos calcular: sices el punto de intersec-ci ´on del gr´afico de f con el ejex(es decir, el punto del intervalo [a;b]donde la funci ´on vale 0), entonces, como podemos ver en el gr´afico, f(x) ≤ 0 para todox ∈ [a;c]y f(x) ≥0 para todox ∈ [c;b].
a
b
y= f(x)
A1
A2
c
Entonces, podemos calcular el ´area A1 comprendida entre el gr´afico de f y el eje x para
a≤x ≤cy el ´area A2comprendida entre el gr´afico de f y el eje xparac ≤x ≤b, y obtener
el ´areaAcomo la suma de estas dos ´areas:
A =A1+A2 =−
Z c
a f(x)dx+
Z b
Ejemplo 3. Calcular el ´area de la regi ´on comprendida entre el ejexy el gr´afico de la funci ´on f(x) = x2+2x−3 entrex =−1 yx =2.
Veamos primero si el gr´afico de la funci ´on f(x) = x2+2x−3 corta al ejexpara alg ´un valor
x∈ [−1; 2]. Para esto, buscamos los ceros de f:
x2+2x−3=0 ⇐⇒ x =1 ´ox=−3
De estos dos ceros, 1 ∈ [−1; 2]y−3 /∈ [−1; 2], con lo cual s ´olo nos interesa x =1. Hagamos un gr´afico aproximado para ver cu´al es el ´area pedida:
−1
1 2 f
A1
A2
Tenemos que f(x) ≤ 0 para todo x ∈ [−1; 1] y f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [1; 2]. Entonces, el ´area a calcular es
A= A1+A2=− Z 1
−1
(x2+2x−3)dx+ Z 2
1
(x2+2x−3)dx.
Para calcular las integrales definidas en cuesti ´on, usamos la regla de Barrow. Como una
primitiva de f(x) = x2+2x−3 es 1 3x
3+x2−3x, obtenemos:
A=−
1 3x
3+x2−3x 1 −1 + 1 3x
3+x2−3x 2 1 = =− (1
3 +1−3)−( 1 3(−1)
3+ (−
1)2−3(−1))
+ (1 32 3+
22−3.2)−(1
3+1−3)
=
=−(−16 3 ) +
7 3 =
23 3 .
La misma idea puede usarse en el caso en que la funci ´on f tenga varios ceros en el intervalo
Por ejemplo, en la situaci ´on del siguiente gr´afico
a c d b
A1
A2
A3 y= f(x)
el ´area de la regi ´on comprendida entre el gr´afico de f y el eje x para a ≤ x ≤ b puede obtenerse como la suma de las ´areas de las tres regiones sombreadas, delimitadas por ceros de f. Cada una estas ´areas, a su vez, puede calcularse por medio de una integral con el signo correspondiente:
A= A1+A2+A3 =−
Z c a f
(x)dx+ Z d
c f
(x)dx− Z b
d f
(x)dx
2.
Area entre el gr´afico de dos funciones
´
Nos interesa ahora calcular el ´area de una regi ´on comprendida entre los gr´aficos de dos funciones integrables f yg.
Consideremos, en primer lugar, la situaci ´on del siguiente gr´afico:
a b
f
g
A
Queremos calcular el ´area comprendida entre los gr´aficos de f y gpara a ≤ x ≤ b. En este caso, f(x) ≥g(x)para todox ∈[a;b].
a b
f
g
A =
a b
f
A1 −
a b
g
A2
Como f ygtoman valores positivos en[a;b], entonces
A1 =
Z b
a f(x)dx y A2 = Z b
a g(x)dx
y, por lo tanto, el ´area Abuscada es
A= A1−A2 = Z b
a f(x)dx− Z b
a g(x)dx = Z b
a (f(x)−g(x))dx.
Si las funciones f y g cumplen que f(x) ≥ g(x) para todox ∈ [a;b], el ´area de la regi ´on comprendida entre los gr´aficos de f ygparaa≤x ≤bes
A= Z b
a (f(x)−g(x))dx
Si bien anteriormente consideramos el caso en que f y g son funciones no negativas en el intervalo[a;b], la f ´ormula anterior vale siempre que f ygcumplan que f(x) ≥g(x), aunque tomen valores negativos. Para ver esto, consideremos el siguiente gr´afico:
a b
f
g
A
al caso ya analizado. Para hacer esta traslaci ´on, basta sumarles la misma constanteK, sufi-cientemente grande, a f y ag, de manera queg(x) +K ≥ 0 para todox ∈ [a;b]y, entonces,
f(x) +K≥ g(x) +K ≥0 para todox∈ [a;b]. Gr´aficamente:
a b
y= f(x)
y=g(x) A
a b
y= f(x) +K
y=g(x) +K
As´ı, el ´area de la regi ´on es
A= Z b
a
((f(x) +K)−(g(x) +K))dx= Z b
a
(f(x)−g(x))dx
Ejemplo 4. Calcular el ´area de la regi ´on encerrada entre los gr´aficos de
f(x) =3x2−2 yg(x) = 2x−1.
En primer lugar, hagamos un gr´afico aproximado de la regi ´on cuya ´area queremos calcular:
y= f(x)
y=g(x)
A
La regi ´on est´a limitada por los valores de x correspondientes a los dos puntos en los que se intersecan los gr´aficos de f y g; es decir, los valores de x para los cuales f(x) = g(x). Calculemos estos valores:
Entonces, los valores de x que delimitan el ´area son x = −1
3 y x = 1. Como podemos observar en el gr´afico,g(x)≥ f(x)para todox∈ [−1
3; 1].
−1
3
1
y= f(x)
y=g(x)
A
Por lo tanto, el ´area de la regi ´on encerrada entre los gr´aficos de f yges
A= Z 1
−1 3
(g(x)−f(x))dx= Z 1
−1 3
2x−1−(3x2−2)dx =
= Z 1
−1 3
−3x2+2x+1dx =−x3+x2+x 1
−1 3
=1−
−−5 27
= 32
27
Veamos ahora otra situaci ´on:
a c b
y= f(x)
y=g(x) A
a c b
y= f(x)
y=g(x) A1
+
a c b
y= f(x)
y=g(x) A2
Como en cada uno de los intervalos [a;c] y [c;b] el gr´afico de una de las funciones est´a siempre arriba del de la otra, usando lo que vimos antes, tenemos que
A1 = Z c
a (g(x)− f(x))dx, ya queg(x) ≥ f(x)para todox ∈ [a;c],
A2 =
Z b c (f
(x)−g(x))dx, ya que f(x) ≥g(x)para todox∈ [c;b],
Por lo tanto,
A= Z c
a (g(x)− f(x))dx+ Z b
c (f(x)−g(x))dx.
Ejemplo 5. Calcular el ´area de la regi ´on comprendida entre los gr´aficos de
f(x) = x2+1 yg(x) = 2x2para 0 ≤x ≤2.
Primero veamos si los gr´aficos de las funciones se intersecan en alg ´un punto con abscisa tal que 0≤x ≤2:
f(x) = g(x) ⇐⇒ x2+1=2x2 ⇐⇒ −x2+1=0 ⇐⇒ x =−1 ´ox=1.
Como la regi ´on est´a dada por los valores dexentre 0 y 2, el valor que nos interesa esx =1. Veamos ahora c ´omo se comportan los gr´aficos de f yg en cada uno de los intervalos[0; 1)
y (1; 2], es decir, si f(x) > g(x) o f(x) < g(x). Dado que f y g son continuas, como con-secuencia del Teorema de Bolzano, podemos determinar esto simplemente evalu´andolas en un punto de cada intervalo:
x [0; 1) 1 (1; 2]
f f(0) =1 f(1) = 2 f(2) =5
g g(0) =0 g(1) = 2 g(2) =8
El siguiente gr´afico resume la situaci ´on:
2 0 1
y= f(x)
y=g(x)
A
Luego, el ´area pedida es
A = Z 1
0
−x2+1dx+ Z 2
1
x2−1dx.
Calculando primitivas y usando la regla de Barrow, obtenemos que
A =
−1
3x 3+x
1
0+
1 3x
3−x
2
1=
2 3−0
+
2 3 −(−
2 3)
= 2 .
Para calcular en general el ´area de la regi ´on comprendida entre los gr´aficos de dos funciones
f y gintegrables para a ≤ x ≤ b (ya sea que los gr´aficos se intersequen o no) la idea es la misma:subdividir la regi´on en regiones m´as chicas en cada una de las cuales el gr´afico de una de las funciones est´e siempre por arriba del de la otra y sumar las ´areas de estas regiones. Esto conduce a la siguiente f ´ormula para el c´alculo del ´area:
El ´area de la regi ´on comprendida entre los gr´aficos de f ygparaa ≤x ≤bes
A = Z b
a
|f(x)−g(x)|dx
informaci ´on, calculamos el ´area de la regi ´on comprendida entre los gr´aficos de f y g para
c ≤ x ≤ d. Una vez calculada el ´area para cada intervalo, el ´area total se obtiene sumando las ´areas obtenidas.
Observamos que determinar si f > go f < ges equivalente a ver si f −g >0 o f −g <0. Entonces, si f ygson funciones continuas en un intervalo(c;d)en el cual sus gr´aficos no se intersecan (es decir, f(x)−g(x) 6= 0 para todo x ∈ (c;d)), por el corolario del Teorema de Bolzano, para ver cu´al de ellas es mayor en todo el intervalo, basta comparar los valores que toman en un punto cualquiera de(c;d).
3.
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1. Calcular el ´area de la regi ´on encerrada entre los gr´aficos de f(x) = 4x3
yg(x) =4x.
Soluci´on
Primero calculamos los valores dexdonde los gr´aficos de las funciones se cortan:
f(x) = g(x) ⇐⇒ 4x3 =4x ⇐⇒ 4x3−4x =0
⇐⇒ 4x(x2−1) =0 ⇐⇒ x =0 ´ox=1 ´ox =−1.
Esto nos dice que el ´area encerrada entre los gr´aficos de f y gse encuentra entre x = −1 y
x=1 y que, adem´as, los gr´aficos tambi´en se cortan enx =0.
Ahora, para cada uno de los intervalos con extremos en dos valores consecutivos entre los hallados, determinamos si f(x)> g(x)o f(x) <g(x)para todoxdel intervalo:
x −1 (−1; 0) 0 (0; 1) 1
f −4 f(−0, 5) = −0, 5 0 f(0, 5) =0, 5 4
g −4 g(−0, 5) = −2 0 g(0, 5) =2 4
luego f >g f <g
−1
0 1
f g
Entonces, el ´area de la regi ´on encerrada entre los gr´aficos de f ygresulta ser
A= Z 0
−1(f
(x)−g(x))dx+ Z 1
0 (g
(x)−f(x))dx =
= Z 0
−1
4x3−4xdx+ Z 1
0
4x−4x3dx=
= (x4−2x2) 0
−1+ (2x
2−x4) 1
0 = (0−(−1)) + (−1−0) = 2 .
2
En muchos casos, no es sencillo graficar las funciones para darse una idea del ´area a de-terminar, pero sin embargo, siguiendo el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, podemos realizar los c´alculos:
Ejercicio 2. Calcular el ´area de la regi ´on encerrada entre los gr´aficos de las funciones
f(x) = (x3+2x)ex4−4x3+4x2 yg(x) =3x2ex4−4x3+4x2.
Soluci´on
f(x) = g(x) ⇐⇒ (x3+2x)ex4−4x3+4x2 =3x2ex4−4x3+4x2 ⇐⇒
⇐⇒ (x3+2x)ex4−4x3+4x2−3x2ex4−4x3+4x2 =0 ⇐⇒ (x3−3x2+2x)ex4−4x3+4x2 =0
⇐⇒ x3−3x2+2x =0 ⇐⇒ x =0 ´o x=1 ´o x =2
Entonces la regi ´on cuya ´area queremos calcular tiene dos partes: una comprendida entre
x = 0 y x = 1 y la otra, entrex = 1 y x = 2. Para calcular el ´area de cada una de las dos partes, determinamos si f >go f < gen los intervalos correspondientes:
x 0 (0; 1) 1 (1; 2) 2
f 0 f(12) = 89e169 3e f(3
2) = 518e 9 16 12
g 0 g(12) = 43e169 3e g(3
2) = 272e 9 16 12
luego f >g f <g
En consecuencia, el ´area de la regi ´on encerrada entre los gr´aficos de f yges
A= Z 1
0 (f(x)−g(x))dx+
Z 2
1 (g(x)−f(x))dx =
= Z 1
0
(x3−3x2+2x)ex4−4x3+4x2dx+ Z 2
1
(−x2+3x2−2x)ex4−4x3+4x2dx
Para terminar el c´alculo, buscamos una primitiva de la funci ´on(x3−3x2+2x)ex4−4x3+4x2 y aplicamos la regla de Barrow
Z
(x3−3x2+2x)ex4−4x3+4x2 dx = 1
4
Z
eu du = ↓
u = x4−4x3+4x2 du = (4x3−12x2+8x)dx
= 4(x3−3x2+2x)dx
= 1
4e
u+K = 1
4e
x4−4x3+4x2+K
TomandoK =0,
A = (1
4e
x4−4x3+4x2 )
1
0+ (− 1 4e
x4−4x3+4x2 )
2
1 = ( 1 4e−
1
4) + (− 1 4+
1 4e) =
1 2e−
1 2 .
Con las herramientas vistas, podemos calcular tambi´en ´areas de regiones delimitadas por gr´aficos de funciones en otras situaciones.
Ejercicio 3. Calcular el ´area de la regi ´on delimitada por los gr´aficos de
f(x) = √x+1, g(x) =−√x+1 yh(x) = −x+5.
Soluci´on
Comencemos haciendo un gr´afico para entender la situaci ´on:
a b
c
f
g
h
Observando la figura, para calcular el ´area buscada, podemos partirla en dos ´areas que sa-bemos calcular: el ´area comprendida entre los gr´aficos de f yg, desde la abscisaadel punto en que ´estos se cortan hasta la abscisabdonde f yhvalen lo mismo, y el ´area comprendida entre los gr´aficos de gyh, desdebhasta la abscisacdel punto donde se cortan sus gr´aficos. Busquemos entonces los valores dea,byc.
El valoraes la abscisa del punto donde se cortan los gr´aficos de f yg:
f(x) = g(x) ⇐⇒ √x+1 =−√x+1 ⇐⇒ 2√x+1=0 ⇐⇒ x=−1.
El valorbes la abscisa del punto donde se cortan los gr´aficos de f yh:
f(x) = h(x) ⇐⇒ √x+1=−x+5 ⇐⇒ x+1= (−x+5)2y−x+5 ≥0 ⇐⇒
⇐⇒ x+1 =x2−10x+25 y x≤5 ⇐⇒ x2−11x+24=0 y x ≤5 ⇐⇒
⇐⇒ (x=3 ox =8)yx≤5 ⇐⇒ x =3.
El valorces la abscisa del punto donde se cortan los gr´aficos degyh:
g(x) = h(x) ⇐⇒ −x+5=−√x+1 ⇐⇒ (−x+5)2= x+1 y−x+5≤0 ⇐⇒
⇐⇒ (x=3 ox =8)yx≥5 ⇐⇒ x =8.
Con todo esto, tenemos que el ´area buscada es
A= Z 3
−1(f
(x)−g(x))dx+ Z 8
3 (h
(x)−g(x))dx=
= Z 3
−1 √
x+1−(−√x+1)dx+ Z 8
3
−x+5−(−√x+1)dx =
= Z 3
−12 √
x+1dx+ Z 8
3
−x+5+√x+1 dx
Calculando las primitivas correspondientes (¡queda como ejercicio para el lector!) y aplican-do la regla de Barrow tenemos que
A =
4
3(x+1) 3 2 3
−1+
−1 2x
2+5x+2
3(x+1) 3 2 8 3 = 32 3 −0
+
26−95 6
= 125
6 .
2
Con lo visto aqu´ı, se pueden resolver los ejercicios 1 a 5 de la Pr´actica 10.
