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Ejercicios De Probabilidad TODOS[1]

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Academic year: 2020

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EJERCICIOS DEL 24 AL 26

24.-

El conjunto de datos adjuntos consiste en observaciones de resistencia al esfuerzo cortante (Ib) de soldaduras de puntos ultrasónicas aplicadas a un cierto tipo de lámina alclad. Construya un histograma de frecuencia relativa basado en diez clases de ancho igual con límites de 4000, 4200,…[El histograma concordara con el que aparece en (“Comparison of Properties of Joints Prepared by Ultrasonic Welding and Other Means”, J. of Aircraft, 1983: 552-556.)] Comente sobre sus características.

5434 4948 4521 4570 4990 5702 5241

5112 5015 4659 4806 4637 5670 4381

4820 5043 4886 4599 5288 5299 4848

5378 5260 5055 5828 5218 4859 4780

5027 5008 4609 4772 5133 5095 4618

4848 5089 5518 5333 5164 5342 5069

4755 4925 5001 4803 4951 5679 5256

5207 5621 4918 5138 4786 4500 5461

5049 4974 4592 4173 5296 4965 5170

4740 5173 4568 5653 5078 4900 4968

5248 5245 4723 5275 5419 5205 4452

5227 5555 5388 5498 4681 5076 4774

4931 4493 5309 5582 4308 4823 4417

5364 5640 5069 5188 5764 5273 5042

5189 4986

Frecuencia De clase 4000-4200 4200-4400 4400-4600 4600-4800 4800-5000 5000-5200 5200-5400 5400-5600 5600-5800 5800-6000

1 2 9 12 19 22 20 7 7 1

Frecuencia relativa

(3)

1 2 9 12

19 22 20

7 7 1

Po

rc

e

n

taje

(Ib)

Histograma

Los datos anteriores nos muestran que existe una buena resistencia al esfuerzo cortante ya que la mayoría se encuentra en un rango de 4800 a 5400. Eso quiere decir que las soldaduras de puntos son eficientes.

25.-

Una transformación de valores de datos por medio de alguna función matemática, tal como, √𝑥 o 1⁄𝑥 a menudo produce conjunto de números que tienen “mejores”

(4)

IDT log10(IDT) IDT log10(IDT) IDT log10(IDT) 28.1 1.45 60.1 1.78 21 1.32

31.2 1.49 23.7 1.37 22.3 1.35

13.7 1.14 18.6 1.27 15.5 1.19

46 1.66 21.4 1.33 36.3 1.56

25.8 1.41 26.6 1.42 19.1 1.28

16.8 1.23 26.2 1.42 38.4 1.58

34.8 1.54 32 1.51 72.8 1.86

62.3 1.79 43.5 1.54 48.9 1.69

28 1.45 17.4 1.24 21.4 1.33

17.9 1.25 38.8 1.59 20 1.32

19.5 1.29 30.6 1.49 57.3 1.76

21.1 1.32 55.6 1.75 40.9 1.61

31.9 1.5 25.5 1.41

28.9 1.46 52.1 1.72

Use los intervalos de clase 10-<20, 20-<30,… para construir un histograma de los datos originales. Use los intervalos 1.1-<1.2, 1.2-<1.3,… para hacer lo mismo con los datos transformados. ¿Cuál es el efecto de la transformación?

Intervalos f/clase f/relativa Intervalos f/clase f/relativa 10-<20 8 0.2 1.1-<1.2 2 0.05

20-<30 14 0.35 1.2-<1.3 6 0.15

30-<40 8 0.2 1.3-<1.4 7 0.175

40-<50 4 0.075 1.4-<1.5 9 0.225

50-<60 3 0.075 1.5-<1.6 6 0.15

60-<70 2 0.05 1.6-<1.7 4 0.1

70-<80 1 0.025 1.7-<1.8 5 0.125

SUMATORIA= 40 1.8-<1.9 1 0.025

(5)

La interdivision de las células es mayor que cuando hay un control de ellas. Pero cuando se comparan los histogramas, la diferencia es que hay control en las que tienen un tratamiento. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.1-<1.2 1.2-<1.3 1.3-<1.4 1.4-<1.5 1.5-<1.6 1.6-<1.7 1.7-<1.8 1.8-<1.9

Fre cu en ci a d e c las e Intervalos

f/clase

0 2 4 6 8 10 12 14 16

10-<20 20-<30 30-<40 40-<50 50-<60 60-<70 70-<80

(6)

26.-

En la actualidad se está utilizando la difracción retro dispersada de electrones en el estudio de fenómenos de fractura. La siguiente información sobre ángulo desorientación (grados) se extrajo del articulo (“Observations on the faceted Initiation Site in the Dwell-Fatige Tested Ti-6242 Alloy: Crystallographic Orientation an Size Effects”, metallurgical an materials trans., 2006: 1507-1518).

Clase 0-<5 5-<5 10-<15 15-<20

Frecuencia Relativa 0.177 0.166 0.175 0.136 Clase 20-<30 30-<40 40-<60 60-<90 Frecuencia Relativa 0.194 0.078 0.044 0.03

a. ¿Es verdad que más de 50% de los ángulos muestreados son más pequeños que 15°, como se afirma el artículo?

Si por que 0.177 + 0.166 + 0.175 = 0.518 que nos da un porcentaje del 51.8%

b. ¿Qué proporción de los ángulos muestreados son por lo menos de 30°? R= 0.177 + 0.166 + 0.175 + 0.136 + 0.194 = 0.848 = 84.8 % de los ángulos son menos de 30°

c. ¿Aproximada mente que proporción de los ángulos son de entre 10° y 25°?

0.1750.136 + 0.097 = 0.408 = 40.8 %

d. Construya un histograma y comente sobre cualquier característica interesante

Se dice que la difracción retro dispersada es enfocar el haz emitido por estos sistemas de manera muy precisa y a dimensiones muy pequeñas lo que representa el

histograma siguiente es que en los rangos iniciales la difracción es mayor pero

(7)

44. El articulo (“Oxygen Consumption During Fire Suppression: Error Of Heart Rate Estimation”, Ergonomics, 1991:1469-1474) reportó los siguientes datos sobre consume de oxigeno (ml/kg/min) para una muestra de diez bomberos que realizaron un simulacro de su presión de incendio.

29.5 49.3 30.6 28.2 28.0 26.3 33.9 29.4 23.5 31.6 Calcula lo siguiente:

A.- El Rango Muestral.

R=49.3-23.5 =25.8

B.- La varianza muestral 𝑠2a partir de la definición (es decir calculando primero las desviaciones y luego elevándolas al cuadrado etc.).

𝑥 =23.5 +26.3+28.0+28.2+29.4+29.5+30.6+31.6+33.9+49.3= 310

10 = 31.03

10

C.- La desviación estándar muestral.

𝑠 = √𝑠2= √2430.49 = 7.02

D.- 𝑠2 utilizando el método más cortó

𝑠𝑥𝑥 = (443.7 − 31.03)2− (

(310)2

10 )

10072.41 − 9628.609 = 49.3

0.177

0.166 0.175

0.136

0.194

0.078

0.044 0.03

0-<5 5-<10 10-<15 15-<20 20-<30 30-<40 40-<60 60-<90

(8)

23.5 56.7009

26.3 22.3729

28.0 9.1809

28.2 8.0089

29.4 2.6469 443.7/9=49.3

29.5 -31.03 2.3409

30.6 0.1849

31.6 0.3249

33.9 8.2369

49.3 333.7929

46. Las observaciones adjuntas de viscosidad estabilizada (Cp.) realizadas en probetas de un cierto grado de asfalto con 18% de caucho agregado se tomaron dela artículo (“viscosity characteristics of rubber-modified asphalts”, j.ofmaterials in civil engr.1996:153-156):

2781,2900, 3013, 2856, 2888

A) ¿cuáles son los valores de la media y mediana muéstrales?

𝑥 =2781 + 2900 + 3013 + 2856 + 2888

5 = 2887.6

𝑥 =𝑛 + 1 2 =

3013 + 1

(9)

B) Calcule la varianza muestral por medio de la fórmula de cálculo. [Sugerencia. Primero reste un número conveniente de cada observación.]

2781 11363.56

2900 153.76

3013 -2887.6 15725.16 =7060.3

2856 998.56

2888 0.16

𝑠𝑥𝑥 = 41719410 −

144382

5

4 = 7060.3

47. Calcula e interpreta los valores de la mediana muestral, la media muestral y la desviación estar muestral de las siguientes observaciones de la resistencia a la factura (MPa, leída en una gráfica que aparece en el artículo (“Heat-Resistant Active Brasingz Of Silicon Nitride: Mechanical

Evaluation Of Braze Joints”, building j., agosto de 1997): 88, 93, 96, 98, 105, 114, 128, 131, 142, 168

𝑥 =88 + 93 + 96 + 98 + 105 + 114 + 128 + 131 + 142 + 168

10 =

1062

10 = 116.2

𝑥 =105 + 114

(10)

DESVIACION ESTANDAR

88 852.64

93 538.24

96 408.04

98 331.24

105 125.44

114 - 116.2 4.84 /9=663.06

128 139.24

131 219.04

142 665.64

168 2683.24

Deviación estándar.

(11)

49. Un estudio de la relación entre edad y varias funciones visuales ( tales como agudeza y persecución de profundidad) reporto las siguientes observaciones del área de la lámina esclerótica (𝑚𝑚2) de las cabezas del nervio óptico humano (“Morphometry Of Nerve

Fiber Bundle Pores In The Optic Nerve Heat Of The Human”, Experimental Eye Research, 1988:559-568):

A) Calcule ∑ 𝑥𝑖 𝑦 ∑ 𝑥2𝑖

∑ 𝑥𝑖 = 56.8

∑ 𝑥2

𝑖 = 197.8040

B) Use los valores calculados en el inciso a) para calcular la varianza muestral 𝑠2 y luego la desviación estándar muestral 𝑠.

𝑠𝑥𝑥 = 197.8040 −

(56.8)2

17

16 = 0.5016

(12)

50. 1997 una mujer demando a un fabricante de teclados de computadora y lo acuso de que sus respectivas lesiones por esfuerzo eran provocadas por el teclado (Jenissy espacio digital Equipment Corp) el jurado adjudico $3.5 millones por el dolor y sufrimiento pero la corte anulo dicha adjudicación por considerarla una compensación irrazonable. Al hacer esta determinación la corte identifico un grupo “normativa de 27 casos similares y especifico una adjudicación razonable como una dentro de dos desviaciones estándar de la media de las adjudicaciones en los 27 casos. Las 27 adjudicaciones fueron (en el rango de los 1000)

33, 60, 75, 115, 135, 140, 149, 150, 238, 290, 340, 410, 600, 750, 750, 750, 1050, 1100, 1139, 1150, 1200, 1200, 1250, 1576, 1700, 1825, 2000

Con las cuales ∑ 𝑥𝑖 = 20179, ∑ 2𝑥𝑖 = 24657511. (¿Cuál es la cantidad máxima posible que podría ser adjudicada con forme a la regla de dos desviaciones estándar?).

EJERCICIOS DEL 52 AL 56

52.-

Las primeras desviaciones de la media en una muestra n=5 tiempos de reacción fueron 0.3, 0.9, 1.0, 1.3

(¿Cuál es la quinta desviación de la media?)

De una muestra para la cual estas son las cinco desviaciones de la media. El Valor de la Desviación es 1.9

52.-

Reconsidere los datos sobre el área de lámina esclerótica dados en el ejercicio 49 a. determine los cuartos inferior y superior.

2.34 2.43 2.62 2.74 2.74 2.75 2.78 3.01 3.46 3.56 3.65 3.85 3.88 3.93 4.21 4.33 4.52 4.60

𝑥𝑖 𝑀𝑎𝑠 𝑃𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 = 2.34 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 2.74

𝑥𝑖𝑀𝑎𝑠 𝐺𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 = 4.52 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 3.88

b. Calcule el valor de la dispersión de los cuartos

(13)

c. si los dos v alores maestrales más grandes, 4.33 y 4.52 hubieran sido 5.33 y 5.52, (¿Cómo afectaría esto a Fs.?) Explique:

No afecta nada porque estos valores no se ocupan para calcular el valor de dispersión de los cuartos.

d. ¿En cuántos se podría incrementar la observación 2.34 sin afectar a Es? Explique:

Se le puede aumentar hasta 0.40 ya que si pasamos de esta cantidad cambiaria nuestro cuarto inferior y nuestra dispersión.

e. Si la 18ª observación, X18= 4.60, se suma a la muestra (¿cuál es Fs.?)

3.93 − 2.74 = 1.19

54.-

Considere las siguientes observaciones sobre resistencia al esfuerzo cortante (MPa) de una junta unida de manera particular (tomadas de una gráfica que aparece en el artículo “Diffusion of Silicon Nitride to Austenitic Stainless Steel without Yntelayers”, Metallurgical Trans, 1993:1835-1843)

22.2 40.4 16.4 73.7 36.6 109.9 30.0 4.4 33.1 66.7 81.5

a. ¿Cuáles son los valores de los cuartos y cuál es el valor de 𝑓𝑠?

4.4 16.4 22.2 30.0 33.1 36.6 40.4 66.7 73.7 81.5 109.9

b. Construya una gráfica de caja basada en el resumen de 5 números y comente sobre sus características.

Cuarto inferior= 44.1

Cuarto superior = 70.2

𝑥̅ = 46.80

(14)

c. (Qué tan grande o pequeña tiene que ser una observación para calificar como valor apartado) (como valor apartado extremo).

A más de 1.5 𝑓𝑠 del cuarto más cercano, es un valor atípico, y un valor extremo está a más de 3 𝑓𝑠.

d. ¿En cuánto podría disminuir la observación más grande sin afectar Fs.?

36.2

El límite superior cambiaria si este valor disminuye.

55.-

He aquí una gráfica de tallo y hojas de los datos de tiempo de escape introducidos en el ejercicio 36 de este capítulo.

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

55 49

6699 34469 03345 9 2347 23

4

a. Determine el valor de la dispersión de los cuartos.

Cuarto Inferior=359 𝑓𝑠 = 392 − 359 = 33

Cuarto Superior=392

b. ¿hay algunos valores apartados en la muestra? ¿Algunos valores apartados extremos?

No hay valores atípicos.

(15)

325 339 340 359 363 370 380 392 403 410 424

d. ¿En cuánto se podría disminuir la observación más grande, actualmente de 424, sin afectar el valor de la dispersión de los cuartos?

Hasta 32 porque si aumenta más afectaría el cuarto superior.

56.-

Se determinó la cantidad de contaminación por aluminio (ppm) en plástico de cierto tipo con una muestra de 26 probetas de plástico y se obtuvieron los siguientes datos (“The lognormal Distribution for modeling quality data when the mean is near Zero”, j. of quality technology, 1990:105-110):

30 30 60 63 70 79 87 90 101 102 115 118 119 119 120 125 140 145 172 182 183 191 222 244 291 511

Construya una gráfica de caja que muestre valores apartados y comente sobre sus características.

Cuarto Inferior = 88.5

Cuarto Superior = 177

𝑥̅ = 142.65

(16)

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 210 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520

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