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(1)Técnicas de Construcción de Programas Sesion 2:Crecimiento de Funciones Prof. Jorge Guevara Díaz Prof. Teresa Bracamonte Nole Universidad Nacional de Trujillo – E.A.P. Informática.

(2) Que veremos hoy? . Una manera de describir el comportamiento de las funciones en el limite.. . Describir el crecimiento de las funciones. . Enfocarnos en las partes importantes abstrayendo los terminos de bajo orden y factores constantes. . Como indicar los tiempos de corrida de los algoritmos. . Comparar los “tamaños” de las funciones.

(3) Introducción . Analizar el crecimiento del tiempo de corrida nos permite analizar el desempeño relativo de dos algoritmos alternativos . merge sort vs insersion sort insertionsort = T (n) = {an 2 + bn + c} c n = 1  mergesort = T (n) =   2 T ( n / 2 ) + cn n > 1  . . Las constantes y demás términos de menor grado son dominados por el tamaño de la entrada en si. Cuando n se hace grande n → ∞ . Θ(n log n) vs Θ(n2).

(4) Introducción . Tiempo de corrida . Depende de la entrada . . Depende del tamaño de la entrada . . Una secuencia ordenada es facil de ordenar. Secuencias cortas son más faciles de ordenar que secuencias largas. Se busca cotas superiores como garantia . Se desea tener como garantía que el tiempo de corrida del procedimiento no exceda cierto límite.

(5) Introducción . Tipos de Análisis . Peor Caso (usualmente) . . Caso Promedio (algunas veces) . . T(n) =máximo tiempo del algoritmo para cualquier entrada de tamaño n T(n)=tiempo esperado del algoritmo sobre todas las entradas de tamaño n. Mejor caso (caso fraudulento) . Tomar ventaja de un caso en que el algoritmo de baja eficiencia funciona de manera rápida.

(6) Notación Asintótica . La velocidad de la implementación de los algoritmos depende de la velocidad de la computadora . Velocidad relativa (en la misma máquina). . Velocidad absoluta (en diferentes máquinas). IDEA: Ignorar constantes dependientes de la máquina Analizar el crecimiento de T(n) cuando n → ∞ Análisis asintótico.

(7) Notación Asintótica . Notación Θ. Θ( g (n)) = { f (n) : existen constantes positivas c1 , c2 y n0 tal que 0 ≤ c1 g (n) ≤ f (n) ≤ c2 g (n) para todo n ≥ n0 } . Ejemplo:.

(8) Notación Asintótica . Notación Θ . Θ (g(n)) es el conjunto de funciones :. Θ( g (n)) = { f (n) : existen constantes positivas c1 , c2 y n0 tal que 0 ≤ c1 g (n) ≤ f (n) ≤ c2 g (n) para todo n ≥ n0 } . Ejemplo: con : y.

(9) Notación Asintótica . Notación Θ. . g(n) es límite asintótico (ajustado) para f(n).

(10) . Notación Θ . “Una funcion f(n) pertence al conjunto Θ(g(n)), si ésta se encuentra entre c1g(n) y c2g(n)” Usaremos la notacion f (n) = Θ( g (n)) para indicar que f (n) ∈ Θ( g (n)). . Cada f(n)=Θ(g(n)) tiene que ser asintóticamente positivo, es decir f(n) es positiva para un n grande. Notación Asintótica.

(11) . Notación Θ . Ejemplo: . Mostrar : 1 / 2n 2 − 3n = Θ(n 2 ) se nesecita mostrar que existen c1 , c2 y n0 : c1n 2 ≤ 1 / 2n 2 − 3n ≤ c2 n 2 para todo n ≥ n0 dividiendo por n 2 c1 ≤ 1 / 2 − 3 / n ≤ c2 lado izquierdo c1 = 1 / 14 para n ≥ 7, lado derecho c2 = 1 / 2 para n ≥ 1, c1 = 1 / 14, c2 = 1 / 2, n0 = 7. Notación Asintótica.

(12) . Notación Θ . Ejemplo: . Mostrar : 1 / 3n 2 − 2n = Θ(n 2 ) se nesecita mostrar que existen c1 , c2 y n0 : c1n 2 ≤ 1 / 3n 2 − 2n ≤ c2 n 2 para todo n ≥ n0 dividiendo por n 2 c1 ≤ 1 / 3 − 2 / n ≤ c2 lado izquierdo c1 = 1 / 21 para n ≥ 7, lado derecho c2 = 1 / 3 para n ≥ 1, c1 = 1 / 21, c2 = 1 / 3, n0 = 7. Notación Asintótica.

(13) . Notación Θ Si f (n) = an 2 + bn + c con a > 0 luego f ( n ) = Θ( n 2 ) en general para cualquier polinomio d. p (n) = ∑ ai n i con ad > 0 i =0. entonces p ( n ) = Θ( n d ). Notación Asintótica.

(14) Notación Asintótica . Notación O . O (g(n)) es el conjunto de funciones :. O ( g (n)) = { f (n) : existen constantes positivas c y n0 tal que 0 ≤ f (n) ≤ cg (n) para todo n ≥ n0 } . Ejemplo: 2n2 = O(n3) con : c=1 y n0=2.

(15) Notación Asintótica . Notación O. . g(n) es límite asintótico superior para f(n).

(16) . Notación O . Ejemplos de funciones en O(n2). . Notar f(n)= Θ(n) implica f(n)= O(n). . Notación Asintótica.

(17) Notación Asintótica . Notación Ω . Ω (g(n)) es el conjunto de funciones :. Ω( g (n)) = { f (n) : existen constantes positivas c y n0 tal que 0 ≤ cg (n) ≤ f (n) para todo n ≥ n0 } . Ejemplo: con : c=1 y n0=16.

(18) Notación Asintótica . Notación Ω. . g(n) es límite asintótico inferior para f(n).

(19) . Notación Ω . Ejemplos de funciones en Ω(n2). . Notar f(n)= Θ(n) implica f(n)= Ω(n). . . Teorema: . f(n)= Θ (n) si y solo si f(n)=O(n) y f(n)=Ω (n). Notación Asintótica.

(20) Notación Asintótica . Notaciones asintóticas en ecuaciones: . Lado derecho: 2n2+3n+1=2n2+ Θ (n) significa 2n2+3n+1=2n2+ f (n) algún f (n) Є Θ (n), en particular f(n)=3n+1. . Lado izquierdo: 2n2+ Θ (n) =Θ (n2) para todo f (n) Є Θ (n), existe una función g (n) Є Θ (n) tal que 2n2+ f (n) = g (n2) 2n2 + 3n + 1= 2n2 + Θ(n) = Θ(n2). Interpretación?.

(21) Notación Asintótica . Notaciones asintóticas en ecuaciones: 2n2 + 3n + 1= 2n2 + Θ(n) = Θ(n2). Interpretación Primera ecuación Existe f(n) ∈ Θ(n) / 2n2 + 3n + 1 = 2n2 + f(n) para todo n Segunda ecuación Para todo g(n) ∈ Θ(n) (como el f(n) mencionado), existe alguna función h(n) ∈ Θ(n2) / 2n2 + g(n) = h(n) para todo n. Esta interpretación implica 2n2 + 3n + 1 = Θ(n2),.

(22) Notación Asintótica . Notación o . o (g(n)) es el conjunto de funciones :. o( g (n)) = { f (n) : para todas las constantes c > 0 existe una constante n0 > 0 tal que 0 ≤ f (n) < cg (n) } para todo n ≥ n 0 }. f ( n) lim =0 n →∞ g ( n). ó. . ejemplos.

(23) Notación Asintótica . Notación ω . o (g(n)) es el conjunto de funciones :. ω ( g (n)) = { f (n) : para todas las constantes c > 0 existe una constante n0 > 0 tal que 0 ≤ cf (n) < g (n) } para todo n ≥ n 0 } . f ( n) lim =∞ n →∞ g ( n). o. Ejemplos . Notar . f(n) ∈ ω(g(n)) si y solo si g(n) ∈ o(f(n))..

(24) Notación Asintótica . Comparación de Funciones . Transitividad . . f(n) = Θ(g(n)) y g(n) = Θ(h(n)) f(n) = O(g(n)) y g(n) = O(h(n)) f(n) = Ω(g(n)) y g(n) = Ω(h(n)) f(n) = o(g(n)) y g(n) = o(h(n)) f(n) = ω(g(n)) y g(n) = ω(h(n)). Reflexividad . f(n) f(n) f(n). = = =. Θ(f(n)), O(f(n)), Ω(f(n)).. implica implica implica implica implica. f(n) = Θ(h(n)), f(n) = O(h(n)), f(n) = Ω(h(n)), f(n) = o(h(n)), f(n) = ω(h(n))..

(25) Notación Asintótica . Comparación de Funciones . Simetría . . Simetría Transpuesta . . f(n) = Θ(g(n)) si y solo si g(n) = Θ(f(n)).. f(n) = O(g(n)) f(n) = o(g(n)). si y solo si si y solo si. g(n) = Ω(f(n)), g(n) = ω(f(n)).. Análogia entre comparación asintótica y comparación de numeros reales . f(n) = O(g(n)) f(n) = Ω(g(n)) f(n) = Θ(g(n)) f(n) = o(g(n)) f(n) = ω(g(n)). ≈ ≈ ≈ ≈ ≈. a ≤ b, a ≥ b, a = b, a < b, a > b..

(26) Notación Asintótica . Comparación de Funciones . f(n) es asintóticamente mas pequeña que g(n) si f(n) = o(g(n)) f(n) es asintóticamente mas grande que g(n) es f(n) = ω(g(n))..

(27) Notaciones Estándares y Funciones Comunes . Monoticidad . . f(n) es monótonamente creciente si m ≤ n implica f(m) ≤ f(n). f(n) es monótonamente decreciente si m ≤ n implica f(m) ≥ f(n). f(n) es estrictamente creciente si m < n implica f(m) < f(n) f(n) es estrictamente decreciente si m < n implica f(m) > f(n).. Exponenciales . Para todos los reales a > 0, m, y n, se tiene: . a0 =1, a1 =a, a-1 =1/a, (am)n =amn, (am)n =(an)m, am an =am+n..

(28) Notaciones Estándares y Funciones Comunes . Exponenciales para todas las constantes reales a y b tal que a > 1 nb lim n = 0, lo cual implica n b = o(a n ) n →∞ a Para todo real x e ≥ 1+ x donde x 2 x3 ∞ xi e = 1+ x + + = ∑ 2! 3! i =0 i! x.

(29) Notaciones Estándares y Funciones Comunes . Exponenciales. Cuando | x |≤ 1 1+ x ≤ ex ≤ 1+ x + x2 e x = 1 + x + Θ( x 2 ) para todo x se tiene : x n lim(1 + ) = e x n →∞ n.

(30) Notaciones Estándares y Funciones Comunes . Logaritmos . . . lg n ln n lgk n lg lg n. = = = =. log2n logen (lg n)k lg (lg n). logaritmo binario logaritmo natural potenciación composición. Ejemplo: lg n +k = (lg n) +k no es lg (n +k) Si se tiene que log b a, el termino a crece y b se mantiene constante, entonces la expresión es creciente Si se tiene que log b a, el termino b crece y a se mantiene constante, entonces la expresión es decreciente.

(31) Notaciones Estándares y Funciones Comunes . Logaritmos . Identidades útiles, donde a>0,b>0,c >0; las bases de los logaritmos no son 1.

(32) Notaciones Estándares y Funciones Comunes . Logaritmos Los logaritmos crecen mas lento que los polinomios lg b n lim a = 0, lo cual implica lg b n = o(n a ) n →∞ n Para ln ( 1 + x) cuando | x |< 1 x 2 x3 x 4 x5 ln(1 + x) = x − + − + − ... 2 3 4 5 Para x > −1 x ≤ ln(1 + x ) ≤ x 1+ x.

(33) Notaciones Estándares y Funciones Comunes . Factoriales . n! = 1x2x3x4x…x n 0! = 1 Aproximación de Stirling. n n!= 2πn   e. n. 1   1 + Θ ( )  n  . de la expresión anterior podemos derivar : lg(n!) = Θ(n lg n).

(34) Notaciones Estándares y Funciones Comunes . Iteración funcional . Para enteros no negativos i se define recursivamente:. n si i = 0  f ( n) =   i −1  f ( f (n)) si i > 0 i. . Ejemplo: f(n)=2n f (i)(n) =2in.

(35) Notaciones Estándares y Funciones Comunes . Función logaritmo iterada lg* n. (se lee log star de n). Se define como la iteracion funcional cuando f(n)=lg n lg(i) n está definida si lg(i-1) n >0 La función del logaritmo iterada se define como: lg* n = min {i = 0: lg(i) n ≤ 1}. “número de veces que se debe aplicar la función logaritmo iterativamente hasta que su resultado sea menor o igual a 1”.

(36) Notaciones Estándares y Funciones Comunes . Función logaritmo iterada . Ejemplos lg* 2 = lg* 4 = lg* 16 = lg* 65536 lg*(265536). 1, 2, 3, = =. 4, 5..

(37) . Números Fibonacci Se define: F0=0, F1=1, Fi=Fi-1+Fi-2 para i>=2 Están relacionados por φ=. 1+ 5 = 1.61803 2. φˆ =. 1− 5 = −.61803 2. Fi =. φ i − φˆi 5. Notaciones Estándares y Funciones Comunes Leer:http://books.google.com.p. e/books?id=rF0cj1I5KQcC&d q=golden+ratio&printsec=fro ntcover&source=bl&ots=Ycrf nJwH8M&sig=vBHnCKQJGbFnY1VuDzLFxl3OP w&hl=es&ei=RTEPSrvlJsuJtgee qtH8Bw&sa=X&oi=book_res ult&ct=result&resnum=6#PPP 1,M1.

(38) Sumatorias . Dada una secuencia a1, a2, ... , la suma a1 + a2 + + an puede ser representa: n. ∑a k =1. . . k. Si n=0 la suma es 0, n es un entero positivo. Dada una secuencia a1, a2, ... , la suma infinita a1 + a2 + + an puede ser representa: ∞. ∑a k =1. n. k. = lim ∑ ak n →∞. k =1.

(39) Sumatorias . Linearidad . Para cualquier numero real c, y una secuencia finita a1, a2, ... , y b1, b2, ..., bn n. ∑ (ca k =1. . k. n. n. k =1. k =1. + bk ) =c ∑ ak + ∑ bk. Se puede incorporar notación asintótica ∞.  n  Θ( f (k )) = Θ ∑ f (k )  ∑ k =1  k =1 .

(40) Sumatorias . Series Aritméticas n. 1 2 = n ( n + 1 ) = Θ ( n ) k = 1 + 2 + ... + n ∑ 2 k =1 n. ∑k = 2. k =0. n(n + 1)(2n + 1) 6. n 2 (n + 1) 2 k = ∑ 4 k =0 n. 3.

(41) Sumatorias . Series Geométricas . Para cualquier real x!=1. x n +1 − 1 x =1 + x + x + ... + x = ∑ x −1 k =0 n. k. ∞. k x ∑ = k =0. 2. 1 1− x. n.

(42) Sumatorias . Series Armónicas . Para cualquier real x!=1. Hn = 1+ n. 1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 n. 1 =∑ k =1 k = ln n + O (1).

(43) Sumatorias . Otras series: ∞. x (1 − x) 2 k =0 para | x |< 1. ∑ kx k =. . Serie basada en productorias  n  n lg Π  = ∑ lg ak  k =1  k =1.

(44) Sumatorias . Series telescópicas para la secuencia a0, a1, ..., an, n. ∑ (a. k. − a k −1 ) = a n − a 0. k. − a k +1 ) = a 0 − a n. k =1. n −1. ∑ (a k =0. ejemplo n −1. ∑. k =1. n −1 1 1 1 1 =∑ ( − ) = 1− k ( k + 1) k =1 k k + 1 n.

(45) Acotando las sumatorias . Existen técnicas para acotar las sumatorias para describir el tiempo de ejecución de los algoritmos, entre estas técnicas tenemos: . Inducción matemática acotaciónde términos Particionar las sumatorias Aproximar por integrales.

(46) . Probar:. Inducción matemática Probar : 1.. Caso base. 2.. Hipótesis Inductiva. 3.. Tesis Inductiva. n. ∑ k = 1 / 2n(n + 1) k =1. n. k n 3 = O ( 3 ) ∑ k =0. n. ∑ k =O(n) k =1.

(47) . Un límite superior de una serie aritmética n. n. k =1. k =1. 2 k ≤ n = n ∑ ∑. en general n. ∑a k =1. k. ≤ namax. Acotación de términos Se puede obtener un buen límite superior en las series, limitando cada término en la serie, por ejemplo usando el término mas grande de la serie para limitar los demás términos.

(48) . Dada la serie n. ∑a. k. k =0. suponer ak +1 ≤ r , para todo k ≥ 0, ak donde 0 < r < 1, es una constante la serie puede ser limitada por una serie geométrica decreciente. Acotación de términos Otra manera de acotar es utilizando series geométricas, se debe encontrar un valor r constante.

(49) . Dada la serie. Acotación de términos. desde : ak ≤ a0 r k , así ∞. n. ∞. 1 a k ≤ ∑ a0 r = a 0 ∑ r = a0 ∑ 1− r k =0 k =0 k =0. . k. k. Ejemplos: . Encontrar un límite para las sumatorias ∞. k  k ∑ k =1  3. ∞ 1  n , ∑ ( n − k ), ∑  k =0 k =1 k. Otra manera de acotar es utilizando series geométricas, se debe encontrar un valor r constante.

(50) . Ejemplo:. Particionar las sumatorias. n. n/2. n. n/2. n. k =1. k =1. k = n / 2 +1. k =1. k = n / 2 +1. ∑ k = ∑ k + ∑ k ≥ ∑ 0 + ∑ ( n / 2) = ( n / 2) 2 = Ω ( n 2 ) . Para aplicar esta técnica se puede realizar lo siguiente. n. ∑a k =0. k. =. k 0 −1. n. ∑a +∑a k =0. k. k =k 0. k. = Θ(1) +. n. ∑a. k =k 0. k. Ignorar un número constante de términos iniciales.

(51) . Ejemplo:. Particionar las sumatorias. ∞. k2 ∑ k 2 k =0. La idea es particionar en dos sumatorias: la primera con términos constantes, la segunda con una serie geométrica decreciente. cuando k ≥ 3 la proporcion de términos consecutiv os deja de ser constante (k + 1) 2 / 2 k +1 ( k + 1) 2 8 = ≤ k 2 2 k /2 2k 9 la sumatoria puede ser dividida en : ∞. ∞ 2 k2 k2 ∞ k2 k2 9 ∞  8 = ∑ k + ∑ k ≤ ∑ k + ∑  ∑ k 8 k =0  9  k =0 2 k =0 2 k =3 2 k =0 2 = O (1). k.

(52) . Ejemplo. Particionar las sumatorias n. 1 k =1 k. Hn = ∑. ≤. lg n  2i −1. ∑ i =0. ≤. lg n  2i −1. ∑ i =0. ≤. 1 ∑ i j= 0 2 + j 1 ∑ i j= 0 2. lg n . ∑. 1. i =0. ≤ lg n + 1.

(53) . Podemos aproximar una función monótonamente creciente de la siguiente manera: n. n. n +1. m −1. k =m. m. ∫ f ( x)dx ≤ ∑ f (k ) ≤ ∫ f ( x)dx. Aproximar por integrales.

(54) . Podemos aproximar una función monótonamente creciente de la siguiente manera: n. n. n +1. m −1. k =m. m. ∫ f ( x)dx ≤ ∑ f (k ) ≤ ∫ f ( x)dx. Aproximar por integrales.

(55) . Podemos aproximar una función monótonamente decreciente de la siguiente manera: n +1. n. n. m. k =m. m −1. ∫ f ( x)dx ≤ ∑ f (k ) ≤ ∫ f ( x)dx. Aproximar por integrales.

(56) . Ejemplo n. 1 ≥ ∑ k k =1 n. Aproximar por integrales. n +1. ∫ 1. dx = ln( n + 1), para el límite inferior x. n. 1 dx ≤ = ln n, ∑ ∫ x k =2 k 1 n. 1 ≤ ln n + 1 ∑ k =2 k. para el límite superior.

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