Geometría polígonos y cudrilateros

(1)

C u r s o : Matemática

Material N° 13

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 11

UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS

POLÍGONOS

DEFINICIÓN: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).

NOMBRE DE POLÍGONOS

TRIÁNGULOS 3 LADOS

CUADRILÁTERO 4 LADOS

PENTÁGONO 5 LADOS

HEXÁGONO 6 LADOS

HEPTÁGONO 7 LADOS

OCTÓGONO 8 LADOS

PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS:

Suma de los ángulos interiores = 180º ⋅ (n - 2) Diagonales desde un vértice = n - 3 Suma de los ángulos exteriores = 360º Total de diagonales = n(n −3)

2

EJEMPLOS

1. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 7 lados?

A) 1.260º B) 1.080º

C) 900º

D) 720º E) 360º

2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Un polígono cuyos ángulos interiores suman 720º tiene 6 lados. II) Desde un vértice de un octógono se pueden trazar 6 diagonales.

III) Los ángulos exteriores de un polígono de 17 lados suman 360º.

(2)

POLÍGONO REGULAR

DEFINICIÓN: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulo respectivamente congruentes. En caso contrario se dice que es irregular.

a α a

α α _α′_{= 360°}

n

a a a a a

a a

α α α’

a

a a a a

a

Pentágono regular Hexágono regular

EJEMPLOS

I) Existe un polígono regular tal que la suma de sus ángulos interiores es 540º.

II) Existe un polígono regular donde cada ángulo exterior mide 25º. III) Existe un polígono regular donde cada ángulo interior mide 120º.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

2. En el hexágono regular de la figura 1, se trazaron las diagonales AB y CD , ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 30º

B) 45º

C) 60º

D) 90º

E) 120º

B

C x D

A

(3)

CUADRILÁTERO

DEFINICIÓN

Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados.

CLASIFICACIÓN

Los cuadriláteros se clasifican en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES.

PROPIEDADES

* La suma de los ángulos interiores es 360º. * La suma de los ángulos exteriores es 360º.

EJEMPLOS

1. En el cuadrilátero ABCD de la figura 1, AB = BC y AD = BD = CD . Si 4BDC= 40º, entonces 4BAD =

A) 35º

B) 40º

C) 70º

D) 90º

E) 140º

D

C

fig. 1

B A

2. En el cuadrilátero ABCD de la figura 2, ¿cuánto mide el ángulo exterior CBE?

A) 36º

B) 72º

C) 108º D) 126º E) 144º

D

4α C

α

fig. 2

2α 3α

(4)

PARALELOGRAMO

DEFINICIÓN: Paralelogramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos.

CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES

CUADRADO ROMBO RECTÁNGULO ROMBOIDE

NOMBRE PROPIEDADES a 45º 45º 45º 45º a a 45º 45º 45º 45º

a α_α

a a ββ ββ a a α α b α α β β a a β β α α

b b

α β a a β α b

Lados opuestos

congruentes

Ángulos opuestos

congruentes

Las diagonales

se dimidian

Ángulos contiguos

suplementarios Diagonales perpendiculares Diagonales bisectrices Diagonales congruentes EJEMPLOS

1. ¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelogramo?

A) B) C) D) E)

130º 50º 50º 130º 130º

50º 130º 50º 130º 130º 130º 130º 50º 50º 50º

2. En la figura 1, los puntos B y C del cuadrado ABCD pertenecen, respectivamente, a los lados EF y HG del cuadrado EFGH. Si 4CBF = 70º, entonces 4ACH =

A) 15º B) 20º C) 22,5º D) 25º E) 30º

D C G

H

70º

A B

fig. 1

(5)

3. En el rectángulo ABCD de la figura 2, EB = BC y 4ECA = 10º. ¿Cuánto mide el ángulo BMA?

A) 130º B) 110º C) 100º D) 70º E) 55º

D C

M

A E B

fig. 2

4. En la figura 3, DEFG es un rombo. ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 22,5º B) 67,5º C) 90º D) 112,5º E) 122,5º

G F

3x x

D E

fig. 3

5. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) necesariamente verdadera(s) en un paralelogramo ABCD de diagonales AC y BD ?

I) Si AC ⊥ BD y AC ≠ BD , entonces ABCD es un rombo. II) Si AC ⊥ BD y AB = BC , entonces ABCD es un cuadrado.

III) Si AC ≠ BD y AB ≠ BC , entonces ABCD es un romboide.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

6. En la figura 4, ABCD es rectángulo, AC y B D son diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∆AED ≅ ∆CEB II) ∆AEB ≅ ∆CEB III) ∆ACD ≅∆BDC

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Sólo I y III

D C

E

fig. 4

(6)

TRAPECIO

DEFINICIÓN: Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamados bases.

D C

δ γ α + δ= 180º δ γ

β+ γ= 180º

α β

A B

AB // CD

α β

A B

AB // C D

Trapecio Escaleno PROPIEDADES:

Trapecio Isósceles

En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( AB y CD ) son suplementarios.

TRAPECIO ISÓSCELES

PROPIEDADES: Además de las propiedades generales de los trapecios, los isósceles tienen las siguientes propiedades:

D C

* Diagonales congruentes. β β

* Ángulos basales congruentes. * Ángulos opuestos suplementarios.

α α

A B

EJEMPLOS

1. En el trapecio ABCD de la figura 1, AB // CD y AD entonces el 4DAB mide

= DC . Si el 4ADC = 100º,

A) 40º

B) 50º

C) 60º

D) 80º

E) 100º

D C

fig. 1

A B

2. En el trapecio ABCD de la figura 2, AD = DC = CB , AB // C D y 4ABC = 76º. ¿Cuánto mide el 4DCA?

A) 38º

B) 66º

C) 76º

D) 104º E) 142º

D C

fig. 2

(7)

TRAPEZOIDE

DEFINICIÓN: Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos.

CLASIFICACIÓN: Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos.

D

C

A

TRAPEZOIDE B

ASIMÉTRICO

C

D B

AB ≅AD y CD ≅CB

A

PROPIEDADES DEL DELTOIDE

* Diagonales perpendiculares.

* Una diagonal es bisectriz.

TRAPEZOIDE

SIMÉTRICO (DELTOIDE)

a a

* La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral

de la otra diagonal.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, DEFG es un deltoide con GD = DE 4GDE = 20º, entonces el ángulo FGE mide

a ≠b

b b

y GF = EF . Si 4DEF = 130º y

F

A) 80º B) 75º C) 65º D) 55º E) 50º

G E _{fig. 1}

D

2. En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC ¿cuánto mide el ángulo DAC?

A) 25º B) 32,5º C) 40º D) 65º E) 80º

y DA = BA . Si 4BCA = 25º y 4ABC = 115º,

C

fig. 2

D B

(8)

EJERCICIOS

1. En todo paralelogramo siempre se cumple que

A) las diagonales son congruentes

B) los ángulos opuestos son suplementarios C) los ángulos consecutivos son suplementarios D) las diagonales son bisectrices

E) los lados consecutivos son congruentes

2. La figura 1, está formada por un rectángulo ABCD, un triángulo equilátero ABE y un triángulo rectángulo isósceles, ¿cuál es el valor de la diferencia entre el 4FBE y el 4DAE, respectivamente?

D C F

A) 165º B) 150º

C) 45º

D) 30º

E) 15º

B A

fig. 1

E

3. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 60º?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

4. ¿En cuál(es) de los siguientes paralelogramos, al trazar sus diagonales, se forman cuatro triángulos congruentes?

I) Rombo. II) Rectángulo. III) Romboide.

Es(son) verdadera(s)

(9)

U

T

5. ABCD es un cuadrado de lado 12 cm y EFGH es un cuadrilátero inscrito en el cuadrado de la figura 2. Entonces, el ∆AEH ≅∆CFG por el criterio

A) LLL B) AAA C) ALA D) LLA E) LAL

D 4 G C 4

H _F

7 fig. 2

A E 7 _B

6. En el trapecio ABCD de bases AB y C D de la figura 3, las bisectrices EC y ED de los ángulos en C y en D, respectivamente, forman un ángulo x que mide

A) 124º B) 118º C) 62º D) 56º

E) faltan datos

D C

x

E fig. 3

82º 42º

A B

7. En la figura 4, el cuadrado ABCD está formado por 9 cuadrados congruentes, ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A) ∆SRD ≅∆PSA B) ∆CQR ≅∆BPQ C) ∆PUS ≅ ∆RTQ D) PQRS cuadrado E) ∆TQR ≅∆SDR

D R C

S

Q

fig. 4

A P B

8. En la figura 5, ABCD es rombo y 4DAB = 40º, ¿cuál es el valor del 4x?

A) 110º B) 100º C) 90º D) 80º E) 70º

D C

x

fig. 5

(10)

I) Existe un polígono regular cuya suma de ángulos interiores es 1080º. II) El total de diagonales que se pueden trazar en un pentágono son 5. III) Un pentágono regular tiene sus ángulos interiores de 108º.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

10. En el triángulo ABC de la figura 6, ADEF es un rombo, AF = FC y ABEF es un trapecio isósceles. ¿Cuál es la medida del 4x?

A) 90º B) 60º C) 50º D) 40º

E) No se puede calcular

C

x fig. 6

F E

A D B

11. En la figura 7, ABCD es un rectángulo y el triángulo AEF es equilátero. Si 4BCA = 2 4CDA, entonces el suplemento del ángulo AGF es

3

A) 0º B) 30º C) 45º D) 60º E) 90º

D F C

G fig. 7

A E B

12. En la figura 8, ABCD es un rombo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) α= γ

II) α+ γ = β D C

III) α+ γ= 90º γ

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

β fig. 8

α

(11)

13. En la figura 9, DEFG es un cuadrilátero con GD = DE y GF = EF . Si 4DEF = 130º y 4GDE = 20º, entonces el ángulo FGE mide

A) 80º B) 75º C) 65º D) 55º E) 50º

F

fig. 9

G E

D

14. En el hexágono regular de la figura 10, ¿cuál es el valor del ángulo α?

A) 30º B) 45º C) 50º D) 60º

E) No se puede calcular

fig. 10

α

15. En el cuadrado ABCD (fig. 11). EF // AB y DE = DG . Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 4DEG = 4GEF II) 4CGE = 34DEG III) 4EFC = 24EGD

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

D G C

E F

A B

fig. 11

16. ABCDE es un pentágono regular (fig. 12), AD, B D y EC son diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∆ADE ≅∆BDC II) ∆FGD ≅∆DCG III) ∆ECD ≅ ∆ADE

D

E _{F G}

A B

C

(12)

17. El pentágono de la figura 13, es regular. Si α = 72º, entonces ¿cuánto mide el ángulo β?

A) 108º B) 72º C) 60º D) 54º E) 36º

β

α fig. 13

18. Si en el trapecio ABCD de la figura 14, AB // CD , AD = DC = CB y 4CDA = 100º, entonces el ángulo x mide

D C

A) 20º B) 22,5º C) 30º D) 40º

E) faltan datos para determinarlo

fig. 14

x

A B

19. En el triángulo ABC de la figura 15, AC // MN , NO // BC y OP // AB . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) BPON paralelogramo. II) MCON paralelogramo. III) ∆BMN ≅∆PCO

A

fig. 15

N O

R

B P M C

20. En el romboide ABCD de la figura 16, BG es bisectriz del 4ABC y EF // BC . ¿Cuál es la medida del 4BHE?

A) 100º

B) 80º

C) 50º

D) 30º

E) 20º

D G F C

100º

H

A E B

(13)

21. En el cuadrilátero ABCD de la figura 17, AB = AD . 4DAB = 50º, 4CDA = 150º y AC bisectriz de los ángulos en A y en C. Entonces, 4x = C

A) 85º B) 75º C) 65º D) 55º E) 45º

D

fig. 17 x

B A

22. En la figura 18, el vértice A del cuadrado ABCD pertenece al lado EF del cuadrado EFGD. Si DB es diagonal del cuadrado ABCD y 4EAD = 50º, entonces 4x =

A) 40º B) 45º C) 50º D) 75º E) 85º

D C

G x

E 50º

fig. 18

A B

F

23. La figura 19, formada por un hexágono regular y un triángulo. ¿Cuál de las afirmaciones

siguientes es falsa? _C

A) ∆EDC equilátero B) EGHA rombo C) ABFG rectángulo

D) ABDE trapecio isósceles E) ABDH romboide

fig. 19

G F

E D

H

A B

24. La figura 20, está formada por 4 rombos congruentes de lados 5 cm. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) 4IKJ = 40º II) ∆HEK ≅ ∆IAK III) 4IKA= 80º

F H G

D

K

A J I

E

C

110º

B

(14)

25. En la figura 21, ∆PTR ≅ ∆SVQ. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) SV // TP

II) Cuadrilátero TPVS es un paralelogramo. III) ∆TRS ≅ ∆VQP

T A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

20º 50º

S 70º

R

Q 70º

P

50º 10º V

fig. 21

26. En la figura 22, ABCD es un rectángulo, OT // BC y AD = DT . Entonces, 4BTA = 90º si:

(1) OT = OA

(2) DT = TC D T C

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

A O B

fig. 22

27. El ∆ABC de la figura 23, es isósceles de base AB y ABED es paralelogramo. El ∆DFC es congruente con el ∆EFB si:

(1) F punto medio de DE . (2) F punto medio de BC .

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2)

C

D F E

fig. 23

E) Se requiere información adicional A B

28. El la figura 24, ABCD es un cuadrado y BD es diagonal. Se puede determinar la medida del 4DFC si:

(1) 4CEB = 40º

(2) ∆BCE isósceles de base BC .

D C

F

E fig. 24

(15)

Ejemplos

Págs. 1 2 3 4 5 6

1 C D

2 D E

3 C B

4 y 5 A D B A D E

6 D A

7 E C

29. En la figura 25, se puede determinar la medida del ángulo x si se sabe que:

(1) PQRS y PMNT son cuadrados. (2) 4PMN = 4NTP = 90º

30. El paralelogramo ABCD de la figura 26, es un rombo si:

S R

T

x

P Q N

M

fig. 25

(1) AC ⊥ DB _D _C

(2) AC ≠ DB

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional A B

RESPUESTAS

fig. 26

CLAVES PÁG. 8