-NÚMEROS. Revista de didáctica de las matemáticas Volumen 36, diciembre de 1998, páginas 29-34
Figuras que rebasan el folio
Antonio Pérez Jiménez
A Gonzalo, que rebosaba humanidad.
Recuerdo aún cuando mi maestro me contó que la distancia de la Tierra a la Luna era de unos 385.000 km. ¿Cómo había podido calcularse tal distancia? ¿Y la distancia de la Tierra al Sol? Más aún, ¿y la distancia a las estrellas?.
La construcción de un túnel bajo una montaña comenzando por ambos extremos; el cálculo de la altura de una torre 'sin subir a la misma y sin tirar una cuerda' son problemas que suelen llamar la atención de los alumnos. Hay algo de fascinante en el cálculo de los elementos inaccesibles.
En alguna medida las matemáticas o, más en general, las ciencias, son eso: descubrimiento, cálculo de lo inaccesible. Esta consideración platónica de la ciencia puede trasladase a la enseñanza como un elemento de motivación científica.
Muchos recursos, propiedades y teoremas de la geometría elemental pue-den ser ejercitados mediante el anterior punto de vista. Voy a plantear una gama de ejercicios (siguiendo esa imagen que conservo de Gonzalo planteán-donos, en la sede de Thales y sobre la marcha, problemas de Geometría) enun-ciados sobre un folio, en los que lo inaccesible, el desafio, la motivación, esta-rán en aquellos elementos que caen fuera del mismo. Se tratará, en definitiva, de resolver problemas dentro del folio, pero con datos externos aunque deter-minados. El folio se constituirá así en nuestro universo y las soluciones de los problemas habrán de conseguirse, siempre que sea posible, dentro.
De los ejercicios que se plantean mezclados en cuanto a niveles, los profe-sores podrán desgajar, según los casos, enunciados concretos adaptados a la edad de los alumnos y alumnas.
Ejercicio 1.- Dadas dos rectas r y s que se cortan fuera del folio, trazar una recta que pase por el punto de intersección de ambas.
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1 ªSolución: Trazar un paralelogramo:
Fig. 2
Las rectas PA' (paralela a s desde P) y QA' (paralela a r desde Q) se cortan en A'.
La recta A'M, donde M es el punto medio de PQ, es una recta solución.
2ª Solución: Trazar el simétrico del punto de intersección de r y s.
Fig. 3
Las rectas RA' ( simétrica de r respecto de la perpendicular a RS por R) y SA' (simétrica des respecto de la perpendicular a RS por S) se cortan en A'.
La perpendicular a RS por A' es una recta solución.
Ejercicio 2.- Dadas dos rectas r y s, que se cortan fuera del folio, y un punto P trazar una recta que pase por P y por el punto de intersección de r y s.
Calcular la distancia de P al punto de intersección, A.
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Una solución de este ejercicio, con regla exclusivamente, nos la
proporcio-na el Teorema de Desargues. En su versión afm, es decir utilizando homotecias,
necesitamos, además, escuadra o cartabón.
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Fig. 5Trazamos un triángulo PMN, con M y N sobre las rectas dadas. Trazamos
un triángulo semejante P'M'N', con M' y N' sobre las rectas dadas. La recta
PP' es la solución.
En cuanto a la distancia PA, basta con resolver el triángulo APM, pudiendo
tomar M= 90º.
Nota: Para resolver este ejercicio basta con que el dominio en el que se
encuentran las rectas sea convexo. Este problema tiene siempre solución en
un folio. Sin embargo, las soluciones del ejercicio 1 depende de las inclinacio-nes de las rectas (pues A' podría caer fuera del folio). En adelante, cuando utilicemos algunas de las técnicas del ejercicio 1, supondremos que el punto A' cae dentro del folio.
Ejercicio 3.- Dadas dos rectas r y s que se cortan fuera del folio y una recta t, trazar la recta que pasa por el punto de intersección de r y s y es paralela a t. Discutir los casos en que la recta solución cae fuera del folio.
1
7
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Sea A' el simétrico del punto de corte de r y s. Trazamos las paralelas a t por Ay por O. La recta t' tal que la paralela por O es paralela media de t' y de la paralela por A, es la recta solucion.
Fig. 7
Discusión:
A
/
-Fig. 8
Las rectas simétricas a VA' y WA', respecto de la paralela por A' al borde RS, nos determinan la solución. Si el ángulo b de t está comprendido entre -c y
+a, la recta pedida esta dentro del folio. Caso contrario cae fuera.
Ejercicio 4.- Dados dos pares de rectas, r, s y u, v, que se cortan fuera del folio, calcular la recta que une los puntos de intersección de r con s y u con v.
Fig. 9
Buscaremos un punto de la recta solución. Entonces, bastará aplicar el
Figuras que rebasan el/olio 33
•. B
Fig.10
Sean A' y B' los puntos simétricos de A y B respectivamente. Sean M y N
los pies respectivos de las perpendiculares desde A' y B' a los bordes.
Las rectas A'B' y MN se cortan en un punto P de la recta solución. Si las
rectas A'B' y MN coincidiesen entonces esa sería la recta solución.
Ejercicio 5.-Trazar la bisectriz de un ángulo con vértice fuera del folio.
A
Fig. 11
Trazamos por P la paralela a s, s'. La bisectriz de r, s' nos determina la
dirección de la solución. Bastará, ahora, con aplicar el ejercicio 3.
Ejercicio 6.-Determinar el punto medio de un segmento AM con su
ex-tremo A fuera del folio.
A
Fig. 12
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Trazamos por R la paralela a s, s'. La mediana t desde el vértice D del triángulo DRT, corta a AM en el punto medio. Las rectas t y s determinan el punto solución.
Ejercicio 7.- Dado un cuadrilátero definido sobre un folio por cuatro
seg-mentos r, s, u y v, y con algunos vértices fuera del papel,
a) Determinar el tipo de cuadrilátero (paralelogramo, rectángulo, rombo, cua-drado, .... ).
b) Si se trata de un rectángulo, calcular su perímetro y su área.
Ejercicio 8.- Dado un triángulo definido sobre un folio por tres segmentos
r, s, y u y con un vértice fuera del papel,
a) Determinar el tipo de triángulo (equilátero, isóscesles, rectángulo) b) Calcular sus medianas, alturas, bisectrices, mediatrices.
c) Calcular su área.
Una estrategia general
Una estrategia general de resolución de este tipo de ejercicios consiste en efectuar una homotecia con centro en el centro del Folio:
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