Curso de Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas II

(1)

Curso de Matemáticas Actuariales del

Seguro de Personas II

(SEMESTRE 2013-1)

Prof.: José Fernando Soriano Flores

Email: [email protected] (Messenger) Tel Movil: 55-21064804

Tel Oficina: 91577400 Ext. 2122

Prof. Adjunto: Christian Arturo Quiroga V.

Email: [email protected]

TEMARIO GENERAL:

1. Repaso de Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas I 2. Asset Share

3. Probabilidades para Vida Conjunta y último Sobreviviente 4. Anualidades para Vida Conjunta y último Sobreviviente 5. Primas Netas para Vida Conjunta y último Sobreviviente 6. Ley de Mortalidad Gompertz-Makeham

7. Tabla de Decrementos Múltiples.

8. Modelos Contingentes de Vida Bajo el Caso Continuo (no incluido en este material)

FORMA DE CALIFICAR:

• EXAMENES 60%

• TAREAS 40%

• ASISTENCIA 10%

INTRODUCCIÓN:

El curso será teórico-práctico y efectivo se verán a profundidad los temas conforme sean requerido en el temario para que su comprensión sea del 100% y considerar todo el temario de estudios.

CONSIDEREACIONES:

El curso ahora cuenta con modelos de vida, bajo enfoque continuo. La bibliografía correspondiente es el libro Actuarial Mathematics, Bowers, ACTEX.

Para el desarrollo del curso que compete al enfoque discreto, se han preparado estas notas de clase en formato PDF con el contenido de todo lo que se verá en el semestre, la finalidad de estas notas es que el alumno no anote ni tome apuntes en clase, simplemente pondrá atención a la clase y si cree conveniente anotar algo lo hará sobre las mismas notas ya impresas.

Además se cuenta con un nuevo blog del curso: actuarialestarea.wordpress.com Este blog contendrá de manera permanente el material de clase a lo largo del semestre

1.- Repaso de Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas 1. 1.1 Tabla de Mortalidad

Definición: Una Tabla de Mortalidad es un Cuadro Estadístico que resume el impacto de la mortalidad en un grupo cerrado de personas (Cohorte Generalmente Ficticia) denotado como

x

l

.

Clasificación:

• Generada o de Cohorte: Se construye en base a la observación de un grupo

cerrado de personas hasta que dicho grupo desaparezca por la causa de muerte

• Actual: Se construye en un periodo corto de tiempo tomando como referencia dos censos o observaciones

Tipos:

• Abreviada: Como su nombre lo indica es una tabla abreviada la cual emplea

grupos de edad resumidos generalmente las edades 1, 4, 5, 10, 15, 20, etc.

(2)

Construcción:

Para construir una tabla de Mortalidad es necesario hacer uso de la siguiente notación:

•

l

x : Número de Vivos de Edad exacta x

•

d

x: Número de muertes ocurridas entre las edades x y x+1, es decir: 1 +

−

=

x x x

l

d

• n

d

x: Número de muertes ocurridas entre las edades x y x+n, es decir: n

x x x

n

d

=

l

−

l

+

•

p

x : Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva 1 año más, es decir:

{

}

{

Casos

Totales

}

Faborables

Casos

l

p

x x x 1 +

=

• n

p

x: Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva n años más

x n x x n

l

p

₌

+

•

q

x : Probabilidad de que una persona de edad x muera entre las edades x y x+1

{

}

Totales

Casos

Faborables

Casos

l

d

q

x x x

=

Es decir: x x x x x x x x x

p

l

d

q

=

−

+1

=

₁

−

+1

=

₁

−

• n

L

x: Años persona vividos entre las edades x y x+n.

Esta es una de las series más importantes de una tabla de mortalidad y generalmente es la que menos se entiende, su comprensión y estimación se vuelve esencial para poder comprender muchos tópicos actuariales, con el fin de que se entienda cuál es la interpretación de los Años-Persona Vividos considérese el siguiente ejemplo:

Supongamos que tenemos un grupo de tres personas todas de edad 25, y supongamos también que una de ellas llega con vida a la edad 30, otra a la edad 29 y otra a la edad 28,

eso quiere decir que una persona vivió 5 años entre las edades 25 y 30, otra vivió 4 años entre las edades 25 y 30, y otra vivió 3 años entre las edades 25 y 30, esto quiere decir que los años persona vividos entre las edades 25 y 30 fueron de 5+4+3=12 años.

Dado el ejemplo anterior podemos decir que los años persona vividos entre las edades x y

x+n es el área bajo la función lx como se muestra en la siguiente figura:

En el caso de conocer la función lx de manera continua entonces diríamos que:

dx

l

L

n x x x x n

∫

+

=

Como desconocemos dicha función entonces suponemos que la función lx se comporta de manera lineal entre las edades x y x+n, de tal manera que el área a calcular es de un rectángulo cuya base mide n y altura lx+n, y un triangulo de base n y altura lx – lx+n, de tal manera que:

(

)

(

)

_

[

x x n

]

dEMOSTRAR TAREA n x x n x x n

l

n

l

n

l

n

L

=

₊

+

−

₊

=

+

₊

2

(TAREA 1. DEMOSTRAR ULTIMA IGUALDAD)

•

L

x: Años persona vividos entre las edades x y x+1

[

1

]

2

1

+

=

x x x

l

L

•

T

x: Años persona vividos entre las edades x y w

∑

=

w x t n t x

L

(3)

•

e

x : Esperanza de vida a la edad x (Número de años que se espera viva una persona de edad x: x x x

l

T

e

=

En términos generales se puede decir que estas son todas las funciones que componen una tabla de mortalidad, sin en cambio, el actuario para hacer cálculos financieros se apoya en funciones adicionales llamados “Valores Conmutados”

Valores Conmutados.

• x

x

V

l

D

:

=

⋅

Donde

V

x

=

(

1 +

i

)

−x e

i

= Interés Técnico

•

∑

=

w x t t x

D

N

:

• x x x

V

d

C

:

=

+1

⋅

•

∑

=

w x t t x

C

M

:

(TAREA 2. Calcular una tabla de mortalidad en base a la serie lx y un interés técnico del 5%)

1.2.- Anualidades Contingentes.

En el curso de matemáticas financieras se estudio este tema como “Anualidades Ciertas”, y consistía en una serie de pagos “ciertos”, en el caso de Matemáticas Actuariales I se estudia este tema como Anualidades “contingentes” que consisten en una serie de pagos que dependen de una contingencia, es decir, la serie de pagos va a depender directamente de la ocurrencia de una contingencia, en nuestro caso, va a depender de si vive o muere la persona.

x

n

E

Dotal Puro n años: En este caso se dará un solo pago de 1 u.m. (unidad monetaria) a

una persona de edad x si esta llega con vida a la edad x+n, es decir, sobrevive n años, este valor presente se calcula de la siguiente manera:

x n x x x n x n x x n x n x x x n n x n

D

l

V

l

V

l

V

P

V

E

+ + + +

₌

⋅

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

=

⋅

=

1

x

a

Anualidad Vitalicia Vencida: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al final del año de forma anual a una persona, siempre y cuando esta permanezca con vida, este

valor presente se calcula de la siguiente manera:

x x x w t t x x w x x x x x x w x x x

D

N

D

E

a

1 2 1 1 2 1 = + + + + −

=

+

=

+

=



∑

x

a



Anualidad Vitalicia Anticipada: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al principio del año de forma anual a una persona, siempre y cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula de la siguiente manera:

x x x

D

N

a



=

n x

a

_: Anualidad Vencida Temporal n años: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al final del año de forma anual durante n años, a una persona siempre y cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula:

x w n t t x w t t x x n x x x x x x n x x n x

D

E

a

∑

= + + = + + + +

−

=

+

=

+

=

1 2 1 2 1 1 :



Es decir: x n x x n x

D

N

a

1 1 : + + +

−

=

n x

a



_: Anualidad Anticipada Temporal n años: Supongamos ahora que se va a dar un pago de 1 u.m. al principio de cada año de forma anual durante n años, a una persona siempre y cuando esta permanezca con vida, este valor presente se calcula, análogamente a lo anterior de la siguiente manera: x n x x n x

D

N

a

−

+

=

:



Hasta ahora se han analizados los casos en los que se entrega una cantidad de unidades monetarias si una persona llega con vida, o vive determinado numero de años. Toca tiempo de analizar aquellos casos en los que se entregara una cantidad de unidades monetarias si la persona muere en un número determinado de años, a este tipo de casos se les llama “Seguros”.

(4)

.2.- Seguros

x

A

Seguro Ordinario de Vida: Una persona de edad x, contrata un seguro ordinario de vida, y así en caso de que fallezca, se le entregara una suma asegurada de 1 u.m. a los beneficiarios en cuanto la persona fallezca. Este valor presente se calcula de la siguiente manera: x x x w x t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

D

M

D

C

D

C

D

C

l

V

d

V

l

V

d

V

l

d

V

l

d

V

l

d

V

l

d

V

A

=

+

=

+

⋅

+

⋅

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⋅

+

⋅

=

+

⋅

+

⋅

=

∑

= + + + + + +



1 1 2 1 1 2 1 2 n x

A

__: _{Seguro Temporal n años:}_{Una persona de edad x, contrata un seguro de vida, y así en}

caso de que fallezca antes de los próximos n años, se le entregara una suma asegurada de 1 u.m. a los beneficiarios en cuanto la persona fallezca. Este valor presente se calcula de la siguiente manera: x n x x x w n x t t w x t t x n x x x x x x x n x n x x x x x x x x x x n x n x x x x x x x n x n x x x x n x

D

M

D

C

D

C

D

C

D

C

l

V

d

V

l

V

d

V

l

V

d

V

l

d

V

l

d

V

l

d

V

l

d

V

l

d

V

l

d

V

A

+ + = = − + + − + + + + + − + + − + +

−

=

−

=

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

∑

1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 :



n x

A

_:: Seguro Dotal Mixto n años: Una persona de edad x, contrata un seguro de vida Dotal Mixto, y así en caso de que fallezca antes de los próximos n años ó llegue con vida, se le entregara una suma asegurada de 1 u.m. a el o a los beneficiarios. Este valor presente se calcula de la siguiente manera:

x n x n x x n x x n n x

D

M

A

E

A

−

+

=

+

=

: ::  1.3.PRIMAS

En términos Generales ya se vio este tema, pues el ultimo tema que vimos fue el de “seguros” denotado en general con una “A”, y dado que es un valor presente, también lo podemos ver como una “prima neta única”, es decir, a el valor presente de un seguro, se puede ver como una prima que se pagara en una sola exhibición para cubrir el siniestro (fallecimiento), pero que pasa si el asegurado no quiere pagar en una sola exhibición el seguro. Entonces se desprende la siguiente formula general para calcular una Prima Neta Nivelada:

PRIMA NETA NIVELADA

En este caso el asegurado pagara una prima “P” de manera anual y siempre de la misma cantidad durante la vigencia del seguro, de tal manera que se tiene que cumplir:

A

a

P

⋅



=

Es decir, que la prima P (Serie de pagos periódicos iguales) traída a valor presente debe de ser igual a la prima que se pagaría en una sola exhibición y finalmente la formula general quedaría:

a

A

P



=

x

P

Prima Neta Nivelada para un seguro Ordinario de Vida: Usando la formula general tenemos que: x x x x x x x x x

N

M

D

N

D

M

a

A

P

=



n x

P

__: _{Prima Neta Nivelada para un seguro Temporal n años:}_{Usando la formula general}

tenemos que: n x x n x x x n x x x n x x n x n x n x

_N

M

D

N

D

M

a

A

P

+ + + +

−

=

−

=

: : :



 

(5)

(Tarea 3: Calcular la formula para calcular la prima neta nivelada para un Seguro Dotal Mixto)

1.4 Reservas:

Sean:

•

VPOC

t= Valor Presente de las obligaciones de la compañía en el año t.

•

VPOA

t = Valor Presente de las obligaciones del asegurado en el año t.

Entonces la formula general para calcular una reserva en el año t sería:

[

t t

]

t

V

=

VPOC

−

VPOA

Por ejemplo:

x

t

V

Reserva al año t de un seguro Ordinario de Vida contratado a edad x: Usando la

formula general antes vista tenemos que:

[

x t x x t

]

t x t x t x x t x t x VPOA t x x VPOC t x x t

N

P

M

A

S

D

N

P

D

M

A

S

a

P

A

S

V

t t + + + + + + + + +

⋅

−

⋅

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

−

⋅

=

.

1 .

.







 







n x

t

V

: Reserva al año t de un seguro temporal n años contratado a edad x: Nuevamente

usando la formula general antes vista tenemos que:

(

)

(

)

[

x t x n xn x t x n

]

t x t x n x t x x t x n x t x VPOA t n t x n x VPOC t n t x n x t

N

P

M

A

S

D

N

P

D

M

A

S

a

P

A

S

V

t t + + + + + + + + + + + − + − +

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

−

⋅

=

: : : : :

.

1 .

.

   

_

_

_

_{ }

_

_

(Tarea 4.- Calcular la formula para calcular la reserva al año t de un

seguro Dotal Mixto contratado a edad x)

Para aplicar en la práctica lo visto en este repaso el siguiente tema es:

2. ASSET SHARE:

Se pueden encontrar muchas definiciones de Asset Share e incluso la traducción al castellano es algo ambigua pero, para efectos de este curso lo definiremos como: la simulación de la rentabilidad que se espera tener por la venta de un seguro .En este caso, un seguro de vida, para simular dicha rentabilidad nos apoyaremos de la teoría actuarial que ya vimos y en una hoja de cálculo de Excel, de tal manera que la finalidad de este ejercicio nos ayudara a dominar esta herramienta tan usada en el mercado laboral y nos dará un ejemplo práctico de cómo usar los conocimientos adquiridos en nuestra carrera.

Para simular dicha rentabilidad es necesario partir de ciertas hipótesis como por ejemplo el número de asegurados que tendrá, tasas de inversión, gastos de administración y operación. En base a esto la Aseguradora pronosticará las ganancias en dinero que tendría por la venta de algún seguro en específico.

FACTORES DE CANCELACIÓN:

Estos son factores de ajustes y como su nombre lo dice, corresponden a la frecuencia con la cual los asegurados "cancelan" el seguro, este factor lo calcula la CIA aseguradora en base a su experiencia i.e. analiza el número de asegurados que cancelan su seguro al pasar la vigencia de la póliza, en base a eso se calculan los factores de cancelación. Por ejemplo, supongamos que el factor de cancelación en el año 3 de la vigencia de la póliza es del 0.38, podemos decir entonces que en el tercer año el 38% de los asegurados cancelan su póliza.

FACTOR DE RESCATE:

Análogamente como la CIA aseguradora calcula los factores de cancelación en base a su experiencia, los factores de rescate se calculan tomando en cuenta el numero de asegurados que hacen uso de los valores de rescate (Seguro Saldado, Seguro Prorrogado, etc), i.e. analiza cuantos asegurados usan el valor de rescate y en base a eso calcula el factor de rescate.

TASAS DEL FONDO DE INVERSIÓN.

i

(t)

No es más que la tasa a la que la CIA aseguradora cree invertirá todo el dinero que le entra ya sea de reserva ó de prima. Que generalmente son mayores al interés técnico.

SEGURO A PRIMA UNICA.

Consiste en calcular un seguro a prima única dependiendo del tipo del seguro que se va a vender, por ejemplo si queremos calcular un seguro temporal a "n" años a prima única, con una Suma Asegurada (SA) se calcularía de la siguiente manera:

SA

D

M

PU

A

x n x x n x: +

*

−

=



(6)

ANUALIDAD ANTICIPADA.

No es mas que calcular la anualidad anticipada de un seguro, como ejemplo si tenemos un seguro temporal a "n" años con una Suma Asegurada (SA) se calcularía de la siguiente manera: x n x x n x

_D

N

ä

−

+

=

:

PRIMA NETA NIVELADA.

Es la prima que siempre pagara el asegurado en todas sus anualidades, por ejemplo para un seguro temporal a "n" años.

SA

N

M

ä

PU

PN

P

n x x n x x n x n x

*

: : + +

−

=

 PRIMA DE TARIFA.

Esta es la prima que sale al mercado, o prima comercial, en esta prima ya se recargan gastos de gestión externa (GGE) y los gastos de gestión interna (GGI). Se calcula de la siguiente manera:

)

1 (

gge

ggi

PN

PTarifa

−

=

TABLA SELECTA (Qt).

Esta tabla se calcula a partir de la proporción que existe entre las tasas de mortalidad de la aseguradora y las tasas de la tabla de mortalidad utilizada, es decir, son probabilidades de muerte ajustadas por la Aseguradora en base a su propia experiencia. Generalmente las tasas de mortalidad de la tabla selecta son más grandes que las de una tabla de mortalidad.

CALCULO DE LAS FUNCIONES DEL ASSET SHARE:

#Aseg: en esta función se calculan los números estimados de asegurados tendrá la aseguradora, para calcular esta columna se osan los factores de cancelación para estimar cuantos asegurados al paso del tiempo van ir cancelando su seguro, se calcula de la siguiente manera:

)

1 (

*

#

Aseg

t

=

Aseg

t₋₁

−

Q

t₋₁

−

Can

t₋₁

PRIMA.

En esta colma se calcula, cuanto dinero le entra a la aseguradora en primas i.e. Primat

=

(

Ptarifa

)

*

(#

Aseg

t

)

G.G.E.

Estos Son los gastos de gestión externa, en esta columna la aseguradora calcula cuanto dinero desembolsará por gastos como pago de Agentes de Seguros,

=

t

GGE

Primat

*

GGE

G.G.I.

Estos Son los gastos de gestión interna, en esta columna la aseguradora calcula cuanto dinero desembolsará por Gastos de Administración (Ej. Pago de Nomina de empleados):

=

t

GGI

Primat

*

GGI

MORTALIDAD.

En esta columna se calcula el dinero el cual espera pagar la aseguradora en sumas aseguradas, para ello se tiene que calcular el número esperado de muertos que tendrá.

)

0 ,

*

#

(

_

esperados

_t

Round

Aseg

_t

Q

_t

Muertos

=

En general este producto no da un número entero, de tal forma que se tiene que redondear al entero más próximo. Entonces el dinero que espera pagar la Aseguradora esta dado de la siguiente manera:

SA

Q

Aseg

Mortalidad

_t

=

(#

_t

*

_t

)

*

RESERVA T.

En esta columna se calcula la reserva terminal por asegurado, consiste en calcular la reserva al tiempo "t" por asegurado, para este efecto se usara el método prospectivo. i.e. La reserva terminal por asegurado de un seguro temporal a "n"años al año "t" ó en el año "t" es:

[

]

t x n x t x n x n x t x t

D

N

P

M

SA

n

x

V

+ + + + +

−

=

*

(

)

(

)

*

1 :

_: ' 

La reserva terminal por asegurado de un seguro ordinario de vida (vida entera) al año "t" ó en el año "t" es:

(7)

[

]

t x t x x t x t

D

N

P

M

SA

x

V

+ + +

−

=

*

_

*

1

La reserva terminal por asegurado de un seguro dotal al año "t" ó en el año "t" es:

[

]

t x n x t x n x n x n x t x t

D

N

P

D

M

SA

n

x

V

+ + + + + +

−

+

−

=

*

(

)

(

)

*

1 :

__: VALOR DE RESCATE.

En esta columna se calcula el dinero esperado que piensa pagar la aseguradora por el concepto de Valor de Rescate, dicho en otras palabras, la Aseguradora hace un estimado de cuanto dinero piensa desembolsar por que un asegurado decida cancelar su póliza, la forma de calcular es la siguiente; suponiendo que le devolverá el 95% de su reserva matemática una ves aplicándole el factor de rescate que le corresponde:

95 .

0 *

*

#

_

Re

_

de

scate

Esperado

_t

Aseg

_t

Can

_t

Rva

_t

Rcte

_t

Valor

=

RESERVA TERMINAL.

En esta columna la aseguradora calcula cuanto dinero tendrá en reserva por todos sus asegurados. i.e. t t t

Aseg

Rva

al

Ter

serva

_

min

#

*

Re

=

DIVIDENDOS.

Una ves que la aseguradora crea reservas ese dinero lo invierte a una tasa i(t) mayor a la del Interés Técnico, formando así los llamados "dividendos", la forma de calcularlos es:

)

90 .

0 *

(

*

#

Aseg

Rva

₁

i

₍₎

it

Dividendos

_t

=

_t _t− _t

−

Suponiendo que dará el 90% de dividendos.

FONDO.

Esta es una de las funciones más importantes de un Asset Share pues hace uso de la mayoría de las columnas del Asset Share ya que a todas las entradas de dinero a la aseguradora le resta todas las salidas obteniendo así las ganancias. Se calcula de la siguiente manera:

Nótese que los GGI y Mortalidad fueron llevados a valor futuro o invertidos medio periodo eso suponiendo que el dinero que gasto la compañía en nomina de empleados y muertes

ocurridas fueron entregados a mitad de año.

VP PRIMAS.

En esta columna se llevan a valor presente el dinero en primas que le entraron a la aseguradora, se calcula de la siguiente manera:

) 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1) *(1 ) *...*(1 ) 1 ( * Pr Pr − − − − + + + = t t t ima i i i imas VP

CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE VALORES GARANTIZADOS PARA EL ASEGURADO

Las siguientes columnas si bien no forman parte del Asset Share si son muy importantes verlas de manera didáctica y se calculan para mostrar un especie de catalogo al asegurado, en donde se le explique qué puede hacer con su dinero en reserva si decide cancelar su seguro.

VALOR DE RESCATE.

Forma parte de los "valores garantizados", cuando el asegurado decide no continuar con el seguro entonces la Aseguradora le devuelve "parte" de la Reserva Matemática, cabe aclarar que este como todos los valores garantizados solo se tomaran en cuenta cuando el asegurado ya haya permanecido al menos dos años con la aseguradora. Se calcula de la siguiente manera:

95 .

0 *

*

_

por

Aseg

_t

Rva

_t

Rcte

_t

ValRcte

=

El 0.95 corresponde al porcentaje que la aseguradora dará de la reserva que a creado el asegurado una ves aplicado el factor de rescate que le corresponde.

SEGURO SALDADO

Si el asegurado decide no seguir pagando la prima y desea continuar protegido, el valor de rescate puede ser utilizados para pagar el plazo que falte de transcurrir de la vigencia del Contrato.

De esta forma, el asegurado utiliza el Valor de Rescate para pagar una cobertura a prima única, por le mismo plazo que contrató originalmente, pero con menor suma asegurada. Supongamos un Seguro Temporal n años, entonces la formula se deduce de la siguiente manera: t t t t t t t t t t

Divdendos

VRscate

i

Mortalidad

GGI

i

GGE

ima

Fondo

−

+

−

+

−

+

=

₋

]

)

1 (

*

)

[(

)]

1 (

*

)

Pr

[(

2 / 1 1

(8)



 



 



















 Asegurada Suma Nueva t Seguro del Costo t n t x Asegurado del serva t

A

Seguro

Saldado

Aseg

por

ValRcte

_

_:

_

Re

⋅

=

₊ ₋ t t x n x t x t

Seguro

Saldado

D

M

Aseg

por

ValRcte

_

(

)

_

+ + +

−

=

t x n x t x t t

D

M

Aseg

por

ValRcte

Saldado

Seguro

+ + +

−

=

)

(

_

(Tarea 5, Construir la formula para calcular el Seguro Saldado en el tiempo t para un seguro Ordinario de Vida)

SEGURO PRORROGADO

Si el asegurado decide no seguir pagando la prima y desea continuar protegido con la misma Suma Asegurada, el valor de rescate podrá ser utilizado para este fin.

De esta forma, el asegurado utiliza el Valor de Rescate para pagar una cobertura a prima única, por la misma suma asegurada que contrató originalmente, pero por un plazo menor (plazo prorrogado).

La deducción de la formula es la siguiente:



⎟

_⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

=

₊

365 _

_

_:₁ Re t año un en Seguro del Costo t x Asegurado del serva t

prorrogado

Seguro

A

Aseg

por

ValRcte

_











Entonces

:

1

_

*365

*

t t x t x t x t

ValRcte por Aseg

Seguro prorrogado

M

SA

D

+ + + +

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

=

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

CUADRO DE RENTABILIDAD.

Finalmente es hora de saber que rentabilidad (que tan rentable fue el seguro que vendió la aseguradora) tubo la aseguradora con el seguro que vendió. Para ello necesitamos calcular el

Valor Presente del Fondo VPF (cuanto dinero obtuvo al invertir la aseguradora) y el valor presente de las primas VPP (cuanto dinero en primas entro a la aseguradora traído a valor presente.)

∑

=

n t t

imas

VP

VPP

1

Pr

1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 (

)

*

(

1 )

*

...

*

(

1 )

1 (

*

− − − +

+

=

Fondo

t n

i

t

VPF

PORCENTAJE DE UTILIDAD.

VPP

VPF

utilidad

de

Porcentaje

_

=

%

(Tarea 6, Calcular un Asset Share se anexara Asset en Excel para un

temporal 10 años)

(Tarea 7, Calcular un Asset Share se anexara Asset en Excel para un

temporal 20 años)

(Tarea 8, Calcular un Asset Share se anexara Asset en Excel para un

Ordinario de Vida)

3.- PROBABILIDAD DE VIDA CONJUNTA Y DE ÚLTIMO SOBREVIVIENTE

Recordemos la probabilidad de dos o más independientes que se presentan juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales:

)

(

)

(

)

(

A

y

B

P

A

P

B

P

=

⋅

Así pues, ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas, una de edad “x” y otra de edad “y” ambas lleguen con vida al siguiente año?, si suponemos que se trata de dos eventos independientes, es decir, que la muerte de una persona en nada afectará a la otra, tendríamos que: y x y x

p

:

=

⋅

Ó dicho de otra manera:

y x y x y y x x y x

l

p

: 1 : 1 1 1 : + + + +

_⋅

₌

=

(9)

•

l

x+1:y+1

=

l

x+1

⋅

l

y+1

•

l

x:y

=

l

x

⋅

l

y

Pongamos un ejemplo de lo antes descrito:

¿Cuál es la probabilidad de que 2 personas una de edad 18 y otra de edad 20 ambas lleguen con vida al siguiente año?

20 : 18 20 : 19 20 21 18 19 20 : 18

_l

l

p

=

⋅

=

Probabilidad de vida conjunta de m participantes:

Se conoce así por que el grupo se destruye si alguno de los integrantes fallece, ó dicho de otra manera todos los participantes deben de continuar con vida.

En general supongamos que las vidas para edades

x

i para i=1,2,...,m son independientes,

entonces la probabilidad de que un grupo vida conjunta de “m” vidas todas sobrevivan n años más: m m m x x x n x n x n x x x x n

l

p

: ... : : : ... : : : ... : : 2 1 2 1 2 1 + + +

=

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 3 personas de edades 18, 19 y 20 todas lleguen con vida dentro de 3 años:

20 : 19 : 18 3 20 : 3 19 : 3 18 20 : 19 : 18 3

_l

l

p

₌

+ + +

Probabilidad de destrucción de un grupo de m participantes

Ya vimos la probabilidad de que de un grupo de m participantes todos sobrevivan, pero cuál es la probabilidad de que de un grupo de m participantes todos mueran (destrucción del grupo). Para encontrar dicha probabilidad partamos de lo siguiente:

¿Cuál sería la probabilidad de que en un grupo de 2 personas, una de edad “x” y otra de edad “y” ninguna llegue con vida al siguiente año:

y x y x y x y x y x

q

p

q

_:

=

⋅

=

(

1 −

)

⋅

(

1 −

)

=

1 −

−

+

_:

Ahora bien, supongamos que las vidas para edades

x

i_{con i=1,2,...,m son independientes,}

entonces la probabilidad de que un grupo vida conjunta de “m” vidas muera a la edad

n

x

_i

+

se puede expresar por:

m m m m x x x x x x n x n x n x n x x x n

l

d

q

: ... : : : ... : : : ... : : 2 1 2 1 2 1 2 1

=

(

)

⋅

(

)

⋅

…

⋅

(

)

=

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de 3 personas con edades 18, 20 y 22 todas mueran dentro de 3 años?

22 : 20 : 18 22 : 20 : 18 3 22 3 20 3 18 3 22 : 20 : 18 3

(

)

(

)

(

)

l

d

q

=

⋅

=

Otra pregunta interesante podría ser:

¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de m participantes de edades

x

i todos mueran

entre los años n y r con n < r?

m m m m x x x n x n x n x n r x n r n x n r n x n r n x x x n r n

l

d

q

: ... : : : ... : : : ... : : 2 1 2 1 2 1 2 1

(

|

)

(

|

)

(

|

)

|

− + + + − − − −

=

⋅

…

⋅

=

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de 3 personas de edades 18, 20, y 22 todas mueran entre los años 6 y 8?

22 : 20 : 18 28 : 26 : 24 2 22 : 20 : 18 6 22 : 6 20 : 6 18 2 22 2 6 20 2 6 18 2 6 22 : 20 : 18 2 6 22 6 8 6 20 6 8 6 18 6 8 6 22 : 20 : 18 6 8 6

)

|

(

)

|

(

)

|

(

|

)

|

(

)

|

(

)

|

(

|

l

d

l

d

q

=

⋅

=

⋅

=

+ + + − − − −

Como hemos visto hasta ahora hemos calculado probabilidad de sobrevivencia y destrucción de un grupo de m participantes los cuales todos en su conjunto deben sobrevivir o desaparecer. Ahora veremos el caso donde no a todos les tenga que ocurrir la contingencia:

Probabilidad de vida conjunta de último sobreviviente.

Si se recuerda en el capitulo anterior, vida conjunta de m participantes, este era destruido cuando cualquier participante falleciera, es decir todos los participantes debían continuar con vida. Por lo tanto el grupo de último sobreviviente, se destruye a la muerte del último sobreviviente.

(10)

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 2 personas de edades

x

1 y

x

2al menos una

llegue con vida el siguiente año?



∑

= +

−

+

=

−

+

=

−

=

−

=

−

=

2 1 : 1 2 : . : 1 : 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

)

1 (

)

1 )(

1 (

1 )

)(

(

1

i x x x x x x x x x x x mueran ambosprob deque

x x x x

p

q

p

i

Ahora, ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas de edades

x

1,

x

2 y

x

3 al menos una llegue con vida el siguiente año?

∑

= + <=

−

+

−

=

+

−

+

=

−

=

−

=

−

=

3 1 : : 1 3 3 1 : : : : : : : : 1 : : 3 2 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1

)

1 (

)

1 )(

1 (

1 )

)(

(

1

i x x x j i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

p

q

p

j i i

Ahora, ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas de edades

x

₁,

x

₂,

x

3 y 4

x

al menos una llegue con vida el siguiente año?

∑

= + < <= < =

−

+

−

=

−

+

−

+

=

−

=

−

=

−

=

4 1 : : : 1 4 4 1 : : 4 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 : : : 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 4 3 1 4 2 1 3 2 1 4 3 4 2 3 2 4 1 3 1 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1

)

1 (

)

1 )(

1 (

1 )

)(

(

1

i x x x x k j i i x x x j i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

p

q

p

k j i j i i

Finalmente, Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades

x

₁,

x

₂, 3

x

,…,

x

m al menos una llegue con vida el siguiente año?

∑

= + < < = <=

−

+

−

=

m i x x x m m k j i i x x x m j i i x x x x x x m

p

i

p

i j

p

i j k

p

m

p

1 : : : 1 1 : : 1 : 1 : : :2 1 2 1 …

…

(

1 )

…

Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades

x

1,

x

2,

x

3,…,

x

m al

menos una sobreviva n años más?

∑

= + < < = < =

−

+

−

=

m i x x x n m m k j i i x x x n m j i i x x n x n x x x n

p

m

p

i

p

i j

p

i j k

p

m 1 : : : 1 1 : : 1 : 1 : : :2 1 2 1 …

…

(

1 )

… Ejemplo:

Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas de edades 18, 20 y 22 al menos una sobreviva 3 años más?

∑

= + < =

−

+

−

=

3 1 3 18:20:22 1 3 3 1 3 : 3 1 22 : 20 : 18 3

(

1 )

i j i i xx x

p

j i i 22 : 20 : 18 3 22 : 20 3 22 : 18 3 20 : 18 3 22 3 20 3 18 3

p

+

p

+

p

−

p

−

p

−

p

+

p

=

Ahora nos enfrentamos a otro problema: ¿ Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas de edades 18, 20 y 22 al menos dos sobreviva 3 años más?, o más aún:

¿ Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades

x

1,

x

2,

x

3,…,

m

x

al menos r sobrevivan n años más?

Para resolver estas preguntas introduciremos el concepto de:

] [ : : :2 1 r x x x n

p

… _m

Que denota la probabilidad de que en un grupo de m personas con edades

x

1,

x

2,

x

3,…,

m

x

exactamente r sobrevivan n años más.

(11)

Cuál es la probabilidad de que en un grupo de m personas de edades

x

1,

x

2,

x

3,…,

m

x

al menos r sobrevivan n años más sería:

] [ : : : ] 1 [ : : : ] [ : : : : : :2 1 2 1 2 1 2 1 m x x x n r x x x n r x x x n r x x x n

p

… _m

=

p

… _m

+

p

… _m

+

+

p

… _m +

Centrémonos entonces en calcular:

] [ : : :2 1 r x x x n

p

… _m

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 2 personas una edad

x

1 y otra de edad 2

x

exactamente una llegue con vida al siguiente año?

En este caso recordemos que para dos eventos independientes:

)

(

)

(

)

(

A

ó

B

P

A

P

B

P

=

+

Entonces la probabilidad de que en un grupo de 2 personas una edad

x

1 y otra de edad 2

x

una llegue con vida al siguiente año, sería lo mismo que decir que (

x

1) llegue con vida

al siguiente año y la otra muera ó (

x

2) llegue con vida al siguiente año y la otra muera:

§

p

x₁

(

1 −

p

x₂

)

=

p

x₁

−

p

x₁:x₂

§

p

x₂

(

1 −

p

x₁

)

=

p

x₂

−

p

x₁:x₂ Finalmente la probabilidad que queríamos encontrar seria:

(

) (

)

2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 : 1 2 2 1 : : : ] 1 [ :

)

1 (

2

x x i x x x x x x x x x x x x x

p

i + =

−

+

=

−

+

=

−

+

−

=

∑

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 3 personas una edad

x

1, otra de edad 2

x

y otra de edad

x

3 exactamente una llegue con vida al siguiente año?

Usando lo que vimos en el ejemplo anterior tendríamos ahora 3 casos:

• Solo llegue con vida

x

1 ó

x

2 ó

x

3

Es decir: •

p

x1

(

1 −

p

x2

)(

1 −

p

x3

)

=

p

x1

−

p

x1:x2

−

p

x1:x3

+

p

x1:x2:x3 •

p

x2

(

1 −

p

x1

)(

1 −

p

x3

)

=

p

x2

−

p

x1:x2

−

p

x2:x3

+

p

x1:x2:x3 •

p

x3

(

1 −

p

x1

)(

1 −

p

x2

)

=

p

x3

−

p

x1:x3

−

p

x2:x3

+

p

x1:x2:x3 Sumando: 3 2 1 3 2 1 2 2 3 1 2 1 2 2 1 3 2 1 : : 1 3 3 1 : 3 1 : : : : : ] 1 [ : :

)

1 (

3

2

3

2

x x x j i i x x i x x x x x x x x x x x x x x x x

p

j i i + < = =

−

+

=

+

−

+

=

∑

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 4 personas una edad con edades

x

1, 2

x

,

x

3 y

x

4exactamente una llegue con vida al siguiente año?

Usando lo que vimos en el ejemplo anterior tendríamos ahora 4 casos:

x

1 ó

x

2 ó

x

3 ó • Solo llegue con vida

x

4

Es decir: 4 3 2 1 4 3 1 4 2 1 3 2 1 4 1 3 1 2 1 1 4 3 2 1 : : : : : : : : : : : :

)

1 )(

1 (

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

p

−

+

−

=

−

4 3 2 1 4 3 2 4 1 2 3 1 2 4 2 3 2 2 1 2 4 3 1 2 : : : : : : : : : : : :

)

1 )(

1 (

p

+

−

=

−

4 3 2 1 4 2 3 4 1 3 2 1 3 4 3 2 3 1 3 3 4 2 1 3 : : : : : : : : : : : :

)

1 )(

1 (

p

+

−

=

−

(12)

4 3 2 1 3 2 4 3 1 4 2 1 4 3 4 2 4 1 4 4 3 2 1 4 : : : : : : : : : : : :

)

1 )(

1 (

p

+

−

=

−

Finalmente la probabilidad que buscamos es:

4 3 2 1 4 3 1 4 3 2 4 2 1 3 2 1 4 3 4 2 3 2 4 1 3 1 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : ] 1 [ : : :

4

3

2

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

p

−

+

−

+

=

O bien: 4 3 2 1 4 3 2 1 : : : 1 4 4 1 : : 4 1 : 4 1 ] 1 [ : : :

2

3

4 (

1 )

x x x x k j i i x x x j i i x x i x x x x x

p

k j i j i i + < < = < = =

−

+

=

_∑

De acuerdo a todo lo anterior.

¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de “m” personas de edades

m

x

₁

,

₂

,

₃

,

...

,

, respectivamente exactamente una llegue con vida al siguiente año?

m k j i j i i m x x x m m k j i i x x x m j i i x x m i x x x x

p

m

P

p

1 _: _:_..._: 1 : : 1 : 1 ] 1 [ :: .... : :2 1 2 1

2

3 ....

(

)(

1 )

+ < <= < = =

−

+

−

+

−

=

_∑

Pero seguimos sin encontrar

] [ : : :2 1 r x x x

n

p

… _m , por lo que el último resultado evidencia lo

complejo que es encontrar dicha probabilidad. Ahora analicemos otro resultado....

¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de tres personas de edades

x

1

,

x

2

,

x

3

iguales exactamente dos lleguen con vida?

Para resolver la pregunta hay que analizar los casos posibles:

• Que x1 y x2 lleguen con vida y x3 muera ó • Que x1 y x3 lleguen con vida y x2 muera ó

• Que x1 y x3 lleguen con vida y x1 muera

Dicho de otra manera:

•

p

x1

p

x2

q

x3 ó

•

p

x1

p

x3

q

x3 ó •

p

x2

p

x3

q

x1

Y dado que x1=x2=x3=x (pues las edades son iguales) la probabilidad que buscamos es:

( ) ( )

2 3 2

( ) ( )

2 3 2 1 2 ] 2 [ :: :

)!

2

3 (

!

2 !

3

1

2

1

2

3

3 )

(

3

3 2 1 − −

−

=

⋅

=

+

=

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

q

p

Finalmente tenemos que:

( ) ( )

2 3 2 3 2 ] 2 [ :: :2 3 1 −

=

x x x x x

C

p

q

p

Ahora bien, ¿qué pasa para un grupo de 4 personas de la misma edad x , exactamente 2 lleguen con vida?

Analicemos los casos:

•

p

x

p

x

q

x

q

xó •

p

x

q

x

p

x

q

x ó •

p

x

q

x

q

x

p

x ó •

q

x

p

x

p

x

q

x ó •

q

x

p

x

q

x

p

x ó •

q

x

q

x

p

x

p

x

Entonces tenemos que:

( ) ( )

4

( ) ( )

2 4 2 2 2 4 2 ] 2 [ : :: :

₂

_!

₍

₄

₂

_)!

!

4

6

4 3 2 1 − −

=

−

=

x x x x x x x x x x x x

p

q

p

q

C

p

q

p

Ahora que pasa si de ese mismo grupo de personas queremos que exactamente 3 sobrevivan:

•

p

x

p

x

p

x

q

x ó

•

p

x

p

x

q

x

p

x ó

•

p

x

q

x

p

x

p

x ó

•

q

x

p

x

p

x

p

x