a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen.

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(1)

Puntos de corte - Monotonía y Curvatura funciones simples Septiembre 2015 - Opción B

Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 9𝑥2+ 8

a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen. Reserva-1 2015 - Opción B

Se considera la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3−2𝑥2+ 𝑥

a) (1.3 puntos) Halle los puntos de corte con los ejes , el máximo, el mínimo y el punto de inflexión de la función. Reserva-1 2014 - Opción A

Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 3𝑥2+ 3𝑥

a) (1 punto) Estudie la monotonía de f y halle los extremos relativos que posea. b) (0.75 puntos) Estudie su curvatura y calcule su punto de inflexión.

Reserva-4 2014 - Opción B

(2.5 puntos) Represente gráficamente la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 6𝑥2+ 12𝑥 , estudiando previamente su dominio, puntos de corte con los ejes, intervalos de monotonía, extremos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Junio 2013 - Opción A

Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función:

𝐵(𝑡) =

𝑡3

4

− 3𝑡

2

+ 9𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 8

donde la variable t indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación.

a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y los extremos de 𝐵(𝑡). Reserva-2 2013 – Opción B Sea la función 𝑓(𝑥) =1 3𝑥 3+1 2𝑥 2− 2𝑥 + 3.

a) (1 punto) Determine sus máximos y sus mínimos relativos. Reserva-3 2013 – Opción B

Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 24𝑥2+ 4𝑥.

a) (1 punto) Halle los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión. c) (0.5 puntos) En el punto de abscisa 𝑥 = 1, ¿la función es creciente o decreciente? Reserva-1 2012 – Opción A

De la función f se sabe que su función derivada es 𝑓´(𝑥) = 3𝑥2− 8𝑥 + 5.

a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de f. Reserva-3 2012 – Opción A

Se considera la función 𝑓(𝑥) = 1 −𝑥+22

a) (0.8 puntos) Determine la monotonía y curvatura de la función. Reserva-4 2012 – Opción A

Sean dos funciones, f y g, tales que las expresiones de sus funciones derivadas son, respectivamente, 𝑓´(𝑥) = 𝑥 + 2 y 𝑔´(𝑥) = 2.

a) (1 punto) Estudie la monotonía de las funciones f y g.

b) (0.75 puntos) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula. ¿Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? ¿Por qué?

Septiembre 2011 – Opción A

a) (1.25 puntos) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥

2𝑥+1

Junio 2010 - Opción A

Sea la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥2−1

3𝑥

3. Calcule:

a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) (1 punto) Las coordenadas de sus extremos relativos.

Reserva-3 2009 – Opción A Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 1.

a) (1 punto) Calcule los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía y extremos relativos, si los tuviese.

b)

(1 punto) Determine su curvatura y su punto de inflexión.

(2)

Monotonía y Curvatura funciones a trozos Junio 2015 - Opción B Se considera la función 𝑓(𝑥) = { 𝑥2+ 2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 8𝑥−10 𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 > 2

¿Es creciente la función en 𝑥 = 3?

Junio 2014 – Opción B

Sea la función f definida por 𝑓(𝑥) = {

−𝑏𝑥2− 𝑏𝑥 + 𝑎 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2 60

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 2

b) (1 punto) Para 𝑎 = 48 y 𝑏 = 3, estudie la monotonía de 𝑓(𝑥) y calcule sus extremos. Reserva-2 2013 – Opción A

Consideremos la función 𝑓(𝑥) = {−𝑥

2+ 6𝑥 − 5 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 ≤ 4

−2𝑥 + 11 𝑠𝑖 4 < 𝑥 ≤ 5

b) (1.5 puntos) Indique dónde alcanza su máximo y su mínimo absoluto. ¿Cuál es el valor del máximo? ¿Y del mínimo? Reserva-3 2013 – Opción A

Sea la función 𝑓(𝑥) = { 2𝑥

2− 12 𝑠𝑖 𝑥 < −3

−𝑥 + 3 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2

b) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) (0.5 puntos) Calcule los extremos relativos.

Reserva-4 2013 – Opción B

Se considera la función 𝑓(𝑥) = { 𝑥3− 1 𝑠𝑖 𝑥 < 1 −𝑥2+ 4𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

b) (1 punto) Obtenga los extremos de la función. c) (0.75 puntos) Estudie su curvatura.

Reserva-1 2011 – Opción A Sea la función 𝑓(𝑥) = { −𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 < 2 4 𝑥 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑥2− 4𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4

Determine los extremos locales de f.

Septiembre 2010 – Opción B Sea la función 𝑓(𝑥) = {

−𝑥2− 2𝑎𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1

𝑎𝑥2− 6𝑥 + 5 𝑠𝑖 𝑥 > 1

b) (2 puntos) Para 𝑎 = 1, indique su monotonía y las coordenadas de sus extremos locales. Letras Extremos

Septiembre 2015 - Opción A

b) (1.5 puntos) Calcule los coeficientes b y c de la función 𝑔(𝑥) = 𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 − 2 para que (1, 2) sea un punto de inflexión de g.

Septiembre 2014 – Opción B

Sea la función 𝑓 (𝑥) = −𝑥2+ 𝑝𝑥 + 𝑞.

a)

(1.5 puntos) Calcule los valores que deben tener p y q para que la gráfica de la función f pase por el punto (− 4, −5) y presente un máximo en el punto de abscisa 𝑥 = −1. Determine el valor de f (x) en ese punto.

Reserva-2 2014 - Opción A

Sea la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥3+ 𝑎 ∙ 𝑒−𝑥+ 𝑏 ∙ 𝑥 − 1.

a)

(1.5 puntos) Halle los valores de a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en 𝑥 = 0 y que la gráfica de la función pasa por el punto (0, 0).

(3)

Reserva-1 2012 – Opción B

a) (1.25 puntos) Dada la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥2+ 𝑎𝑥 + 𝑏 , determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en 𝑥 = −2.

Reserva-2 2012 – Opción B Sea la función 𝑓(𝑥) = {

𝑎𝑥2− 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2

𝑥

2− 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 > 2

a) (1.5 puntos) Calcule a y b para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en 𝑥 = 1. Junio 2011 - Opción A

b) (1.5 puntos) Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes 𝑁(𝑡) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es 𝑁(𝑡) = 𝑎 · 𝑡2+ 𝑏 · 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 8, a, b ЄR. Sabiendo que el máximo de clientes que han acudido ese día ha sido de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b.

Reserva-4 2010 – Opción A

Sea la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥2+ 𝑎𝑥 + 𝑏

a) (1.25 puntos) Determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo local en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

b) (1.25 puntos) Tomando 𝑎 = 8 y 𝑏 = −10 deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los valores donde la función se anula.

Septiembre 2009 – Opción B

Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑥.

a) (1.5 puntos) Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máximo en 𝑥 = 1 y que 𝑓(1) = 2.

Problemas

Junio 2014 - Opción A

La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por:

𝑓(𝑥) = −2𝑥2+ 36𝑥 + 138, 𝑥 ≥ 0.

a) (1 punto) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo. b) (0.5 puntos) Calcule 𝑓´(7) e interprete el signo del resultado.

c) (1 punto) ¿Para qué valor o valores de la inversión, x, el beneficio es de 138 mil euros? Septiembre 2014 – Opción A

Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos 10 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por 𝐵(𝑡) = 2𝑡3− 36𝑡2+ 162𝑡 − 6, con 0 ≤ 𝑡 ≤ 10.

a)

(0.8 puntos) ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo (𝑡 = 0) y al final del décimo año (𝑡 = 10)?

b)

(1.7 puntos) ¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimo beneficio y cuáles fueron sus cuantías? Reserva-3 2014 - Opción B

El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio que se emite entre las 6 y las 12 horas viene dado, según la hora t, mediante la función

𝑆(𝑡) = 660 − 231𝑡 + 27𝑡2− 𝑡3 , 6 ≤ 𝑡 ≤ 12.

a) (0.5 puntos) ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? ¿Y al cierre?

b) (2 puntos) ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? ¿Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas horas?

Septiembre 2013 – Opción A

En una empresa de montajes, el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días trabajados según la función 𝑀(𝑡) =11𝑡+17

2𝑡+12, 𝑡 ≥ 1, donde t es el número de días trabajados.

a) (0.5 puntos) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios? b) (0.75 puntos) ¿Qué ocurrirá con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente?

c) (0.75 puntos) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia.

(4)

Junio 2012 – Opción B

Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la función 𝐵(𝑡) = { 𝑎𝑡 − 𝑡2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 6

2𝑡 𝑠𝑖 6 < 𝑡 ≤ 10 , siendo t el tiempo transcurrido en años.

a) (1 punto) Para 𝑎 = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá.

a) (0.75 puntos) Para 𝑎 = 8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor.

Septiembre 2012 – Opción B

En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en 𝑘𝑚2, viene dada por la función 𝑓(𝑡) =11𝑡+20𝑡+2 , siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla.

a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) (1.25 puntos) Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo.

c) (0.75 puntos) ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha? Reserva-3 2012 – Opción B

Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses:

𝑃(𝑡) = {

𝑡2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 5 100𝑡 − 250

𝑡 + 5 𝑠𝑖 𝑡 > 5

a) (0.75 puntos) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas. b) (0.5 puntos) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?

Junio 2011 – Opción B

Las funciones 𝐼(𝑡) = −2𝑡2+ 51𝑡 y 𝐺(𝑡) = 𝑡2− 3𝑡 + 96 con 0 ≤ 𝑡 ≤ 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) (0.5 puntos) ¿Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela

gráficamente.

c) (1 punto) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máximos? Calcule el valor de ese beneficio.

Reserva-2 2011 – Opción A

Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, c(x) , expresado en litros, viene dado por la función 𝑐(𝑥) = 7.5 − 0.05𝑥 + 0.00025𝑥2, siendo x la velocidad en km/h y 25 ≤ 𝑥 ≤ 175. a) (0.5 puntos) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h.

b) (1 punto) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c(x) .

c) (1 punto) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos? Reserva-3 2011 – Opción A

Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x) , en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, x, que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión:

𝑅(𝑥) = −0.001𝑥2+ 0.4𝑥 + 3.5, con 𝑥 ≥ 10.

a) (0.5 puntos) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros.

b) (1.5 puntos) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad. c) (0.5 puntos) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría?

Reserva-4 2011 – Opción A

El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la función B(t) expresada a continuación 𝐵(𝑡) = { 1 8𝑡 2− 𝑡 + 5 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 6 𝑡+1 2 𝑠𝑖 6 < 𝑥 ≤ 12

, t es el tiempo transcurrido en meses. b) (0.5 puntos) ¿Cuándo fue mínimo el beneficio? ¿Cuál fue dicho beneficio?

(5)

Septiembre 2010 – Opción A

Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes.

La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es 𝑁(𝑡) = 4𝑡 − 𝑡2

a) (1 punto) ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo? b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, ¿a qué hora cerrará? Reserva-1 2010 – Opción A

En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la expresión 𝐵(𝑥) = 0.5𝑥2− 4x + 6, siendo x la inversión

en publicidad, en miles de euros, con x en el intervalo [0, 10].

a) (1 punto) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?

b) (1 punto) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?

c) (0.5 puntos) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?

Reserva-2 2010 – Opción B

El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, 𝑓(𝑥), dependen de la inversión, x, según la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2+ 11𝑥 − 10.

a) (0.75 puntos) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa. b) (1 punto) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máximo. ¿A cuánto asciende éste?

c) (0.75 puntos) ¿Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo?

Reserva-3 2010 – Opción B

Un depósito lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja. El volumen de agua, en 𝑚3, que hay en cada momento en el depósito, desde que empieza a vaciarse, viene dado por la función 𝑉(𝑡) = 8 − 𝑡 +𝑡2

32, donde t es el tiempo

en minutos.

a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la capacidad del depósito? b) (0.5 puntos) ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse?

d) (0.7 puntos) Calcule la derivada de esa función en 𝑡 = 8 e interprete su significado Junio 2009 - Opción B

Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función:

𝐶(𝑡) = −0.2𝑡2+ 4𝑡 + 25, 0 ≤ 𝑡 ≤ 25 (t=años transcurridos desde el año 2000).

a) (1 punto) ¿En qué año se alcanzará un máximo nivel de contaminación? b) (1 punto) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?

c) (1 punto) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función 𝐶(𝑡) en 𝑡 = 8. Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento.

Reserva-2 2009 – Opción A

Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo (kg) de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la función 𝐵(𝑥) = −𝑥2+ 4𝑥 + 3

Siendo 𝐵(𝑥) el beneficio por kg y x el precio de cada kg, ambos expresados en euros. a) (1.25 puntos) ¿Entre qué precios se producen beneficios para el almacenista? b) (1.25 puntos) ¿Qué precio maximiza los beneficios?

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Referencias

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