TALLER # 7 SOBRE LA INTEGRAL DEFINIDA
1) Determinar el área de la región limitada por la curva y = x2 + 2x en el eje x y las rectas x = 1 y x = 3
2) Encontrar el área de la región limitada por la curva y = x3 - 2x2 - 5x +6, el eje x y las rectas x = 0 y x = 1
3) Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x2 y y = - x2 + 4x
4) Determinar el área de la región limitada por la parábola y2 = 2x -2 y la recta y = x - 5
5) Emplee el cálculo integral para demostrar que el volumen de una esfera de radio r es 4 3
r3 .
(Sugerencia: Considere la esfera como el sólido formado al rotar la región bajo el semicírculo
y
r
2
x
2 , desde x= -r hasta x= r alrededor del eje x).6) Calcular el volumen del sólido generado al girar, alrededor de la recta x = 1, la región limitada (x - 1)2 = 20 - 4y y las rectas x = 1, y = 1 y y = 3, y a la derecha de x=1.
7) La región limitada por la curva y = x2, el eje x y la recta x = 2 es girada alrededor del eje y. Determinar el volumen del sólido generado. Considerar los elementos de área paralelos al eje de revolución.
8) La región limitada por la curva y = x2 y las rectas y = 1 y x = 2 es girada alrededor de la recta y = - 3. Encontrar el volumen del sólido generado considerando los elementos rectangulares de área paralelos al eje de revolución.
9) Utilice el cálculo integral para demostrar que el volumen de un cono circular recto de altura h y
radio r es 1 3
r h2
. (Sugerencia: Considere el cono como el sólido formado al rotar un
triángulo rectángulo alrededor del eje x).
10) Utilice el método de la cubierta para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por xy2 9 y
x
0
alrededor del eje x.11) Utilice el método de la cubierta o del disco para encontrar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por
y
x
3,y
0
yx
2
alrededor de : a) El eje xb) El eje y c) la recta x = 4 d) la recta y = 8
12) Halle el volumen del sólido formado al girar la región delimitada por
y
x y x x x
1 , = 1, 1 y 2 alrededor del eje x.
13) Halle el volumen del sólido de revolución formado por la rotación de la región delimitada por
14) Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región del primer cuadrante limitada por la curva y2 x3, la recta x=4 y el eje de las x.
a) Alrededor de la línea x=4; b) alrededor de la recta y=8.
15) Bosqueje la región R limitada por y
x x x y
13 , 1, 3 y 0. Formule (pero no evalúe)
integrales para cada uno de los siguientes: a) Área de R.
b) Volumen del sólido obtenido cuando R gira en torno el eje de las y.
c) Volumen del sólido que se obtiene cuando R gira alrededor de la recta y= -1. d) Volumen del sólido que se obtiene mediante la rotación de R en torno a
x
4
16) Determine el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor de la recta x= -4 , de la región limitada por dicha recta y la parábola
x
4
6
y
2
y
2.17) Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor de la recta y= -3, de la región acotada por las dos parábolas y x2 y y 1 x x2.
18) Halle el volumen del sólido generado por el giro de la región acotada por la gráfica de
y4xx4, el eje x con respecto a la recta x=2.
19) Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor de la recta y=1, de la región limitada por dicha recta y la parábola
x
2
4
y
. Considere elementos rectangulares de área paralelos al eje de revolución.20) La región R limitada por el eje x , el eje y y la recta x+y=1, gira en torno a la recta
y
1 .
Hallar el volumen del sólido generado.21) Hallar el volumen del sólido generado cuando región R, limitada por y=0 y el arco de y= senx entre
0 y
, gira en torno a la recta x= -1.22) Hallar el volumen del sólido generado cuando región R, limitada por la curva x=lny, el eje y y la recta y e2, gira alrededor del eje x .
23) Hallar el volumen del sólido generado cuando región R, limitada por la parábola y= x(x-6) y el eje x, rota:
a) Alrededor del eje y
TALLER # 12
Calcular las siguientes integrales indefinidas:
En los siguientes ejercicios, evalúe la integral definida.
1
3
4
4
5
3
7
1
2
11
13
2
2
3 4
5 3
2 4
5 2
3 3 2 3
4 3 2
2 4
)
sen
sen
cos
)
sen
cos
cos
)
sen
sen
)
cos
cos
sen
cos
sen
cos
)
cos
sen
cos
)
sen
cos
2)
4)
sen
6)
8)
9)
10)
12)
x dx
x
x dx
x
x dx
x
x dx
x dx
z dz
x dx
x dx
x
x dx
x
x dx
x dx
x
x dx
t
t dt
14)
16)
18)
20)
sen
cos
)
cos
sen
sen
cos
)
sen
cos
sen
cos
)
cos
cos
cos
cos
2 2
3
3
3
3
15
3
3
3
2
17
5
3
8
7
19
5
3
9
4
t
t dt
x
x
dx
x
x dx
x
x dx
x
x dx
x
x dx
x
x dx
29) Si n es un entero positivo, demuestre que
21
23
1
2
25
2
4
27
3
5
4
2
2
2 0
2
0 6
0 8
)
sen
)
cos
)
cos
sen
cos
)
sen
cos
cos
cos
/
/
22)
cos
sen
24)
sen
sen
26)
28)
0/2
3 0
/3
4 0
1
3 /3
2 0
1
0 /6
x dx
t dt
x dx
t
t dt
t
t dt
x
x dx
x
x dx
x
x dx
sen2 0
1 2
nx dx
TALLER # 13
En los siguientes ejercicios, evalúe la integral definida.
1) 2)
4)
5) 6)
7) 8)
10)
11) 12)
14)
15) tan x dx t dt e tan e dx x x dx t dt tan x dx tan x dx x dx x dx x dx e tan e dx x x dx tan x x dx tan x x dx x x x x x 2 2 2 2 2 3 4 6 2 4 4 4 4 6 4 5 3 2 5 4 3 2 3 2 9 13 3 cot ) cot cot cot ) sec csc sec (ln ) ) sec sec cot
16) 18) cos 19) 20)2 csc
) sen
ln sec ln
sec 4
3
5
3 6 4
5 3
17 3 2 1
x dx tan x
x dx
tan x dx w
w dw
tan x x
21 4 3 2
23 12
4 8
6
3
0 3
6 4
3 6
4
6 4
) sec
)
sec sen
cot sec
/
/ /
/
/
/
/ /
tan 22)
24) cos
25) 26) 3
/16
4 /2
- /4
x dx t dt
tan x x dx
t t dt
x dx x dx
