FICHA 1 POTENCIAS

FICHA 1: POTENCIAS Y RAÍCES

1. Observa los ejemplos y escribe como se leen las siguientes potencias.

71 _{: siete a la uno. 8}1 _:

32 _{: tres al cuadrado. 4}2 _:

53 _{: cinco al cubo. 10}3 _:

84 _{: ocho a la cuarta. 9}4 _:

65 _{: seis a la quinta. 7}5 _:

916 _{: nueve a la decimosexta. 6}17 _: 1428 _{: catorce a la vigésimo octava. 18}36 _:

2.

Observa los ejemplos e indica cuáles son los términos de las potencias siguientes. 32 _{: La base es 3 y el exponente es 2. 5}7 _{: La base es …. y el exponente es …..}

84 _{: La base es …. y el exponente es …. 13}6 _{: La base es …. y el exponente es …..} 75 _{: La …...…. es 7 y el ………. es 5. 12}0 _{: La ………… es 12 y el …...……. es 0.} 49 _{: ………... 2}7 _{: ………...}

3. Observa los ejemplos y calcula.

Para calcular una potencia se multiplica la base tantas veces como indica el exponente.

a)

32 _{= 3 · 3 = 9 g) 0}5 ₌

b)

53 _{= 5 · 5 · 5 = 125 h) 7}3 ₌

c)

71 _{= 7 (observa que el exponente 1 i) 4}1 ₌ no sirve de nada y por eso no se pone)

d)

84 _{= 8 · 8 · 8 · 8 = 4096 j) 3}4 ₌

e)

92 _{= k) 2}5 ₌

f)

63 _{= l) 1}7 ₌

4. Observa los ejemplos y calcula.

Cualquier potencia de exponente 0 es 1, salvo 00 _{que no se puede calcular.} 90 _{= 1 7}0 _{= 1 6}0 _{= 8}0 _{= 4}0 _{= 12}0 _{= 927}0 ₌

00 _{= No se puede 0}0 _{= 0}0 _{= 0}0 ₌

5. Observa los ejemplos y expresa como única potencia.

Producto (multiplicación) de potencias con la misma base: se deja la base y se suman los exponentes.

a) 54 _{· 5}2 _{= 5}6 _{b) 7}3

×

₇2 _{= 7}5 _{c) 3}7 _{· 3 = 3}8 _{(si no hay exponente es porque es 1)} d) 85 _{· 8}4 _{= e) 1}3

×

₁4 _{= f) 2}5 _{· 2 =}

g) 39 _{· 3}7 _{= h) 2}10 _{· 2}13 _{= i) 8}

×

₈45 ₌ j) 23 _{· 2}5 _{· 2}2 _{= k) 7}2 _{· 7}3 _{· 7}4 _{= l) 3}2 _{· 3 · 3}4 ₌

6º Observa los ejemplos y expresa como única potencia.

Cociente (división) de potencias con la misma base: se deja la base y se restan los exponentes. a) 58 _{: 5}2 _{= 5}6 _{b) 7}3 _{: 7}0 _{= 7}3 _{c) 3}6 _{: 3 = 3}5 _{(si no hay exponente es porque es 1)} d) 85 _{: 8}2 _{= e) 1}9 _{: 1}4 _{= f) 2}5 _{: 2 =}

g) 39 _:37 _{= h) 2}57 _{: 2}10 _{= i) 8}5 _{: 8}4 _{= (el exponente 1 no se pone)}

j) 2

5 7

3

3

3

=

k) ₈

=

12

2

2

l)

=

9

9

5

m) ₇

₌

10

5

5

n) ₁₅

₌

25

7

7

ñ) ₄

₌

5

7º Observa los ejemplos y expresa como única potencia.

Potencia de una potencia: se deja la base y se multiplican los exponentes.

a)

( )

₇

2 3

₌

₇

6 _b)

( )

₅

4 3

₌

₅

12 _c)

( )

₂

5 3

₌

_d)

( )

₉

7 2

₌

e)

( )

₄

8 5

₌

_f)

( )

₁

4 2

₌

₅

12 _g)

( )

₃

9 0

₌

_h)

( )

₆

3 9

₌

i)

[ ]

( )

₇

4 5 3

₌

₇

60 _j)

[ ]

( )

₄

2 5 9

₌

_k)

[ ]

( )

₅

3 2 8

₌

_d)

[ ]

( )

₂

4 0 6

₌

8º Utiliza las propiedades de las potencias, vistas en los 3 ejercicios anteriores (estate atento a cuál de las tres corresponde en cada caso) y expresa como única potencia:

a)

₂

9

_⋅

₂

3

₌

_b)

( )

₄ 3

₌

5

c)

₇

8

_:

₇

6

₌

_d)

( )

₉ 2

₌

5

e)

₃

10

_:

₃

6

=

_f)

₂

8

_:

₂

₌

_g)

₌

7 10

5

5

h)

₉

4

⋅

₉

3

=

i)

₆

4

_×

₆

0

₌

_j)

₌

7 17

4

4

k)

( )

₈ 2

₌

3

l)

₀

4

_×

₀

7

₌

9º Utiliza las propiedades de las potencias para escribirlo como única potencia y luego calcula: a)

2

3

_⋅

2

2

₌

2

5

₌

32

_b)

₃

8

_:

₃

6

₌

_c)

₌

7 9

5

5

d)

₂

3

_⋅

₂

₌

e)

₃

11

_:

₃

9

=

_f)

( )

₂ 3

₌

2

g) ₄

=

6

9

9

h)

₃

×

₃

3

=

i)

₁₀

4

×

₁₀

2

=

_j)

₌

7 17

1

1

k)

( )

₈ 2

=

3

l)

₀

4

×

₀

7

=

10º Utiliza las propiedades de las potencias (puedes tener que utilizar más de una en cada apartado) y expresa como única potencia:

a)

₍

₂

5

_⋅

₂

3

₎

_:

₂

4

₌

₂

8

_:

₂

4

₌

₂

4 _b)

( )

=

⋅

3 3

2

₅

5

c)

₆

3

_⋅

₆

8

_:

₆

6

₌

d)

( ) ( )

₃

9 2

_:

₃

2 5

₌

_e)

₃

5

_⋅

₍

₃

10

_:

₃

8

₎

₌

_f)

⋅

₌

6 4 10

7

7

7

g)

₉

4

_⋅

₉

3

_⋅

( )

₉

2 7

₌

_h)

=

⋅

2 3

14 20

4

4

4

:

4

i)

(

₃

8

_⋅

₃

2

)

5

₌

11º Observa los ejemplos y expresa como única potencia.

Producto (multiplicación) de potencias con el mismo exponente: se multiplican las bases y se deja el exponente.

a) 54 _{· 3}4 _{= 15}4 _{b) 7}3

×

₂3 _{= 14}3 _{c) 3}7 _{· (-8)}7 _{= (-24)}7 _{d) 8}5 _{· 4}5 ₌ e) 16

×

₇6 _{= f) (-2)}5 _{· 3}5 _{= g) 3}9 _{· (-4)}9 _{= h) 9}10 _{· 2}10 ₌ i) (-8) 4

×

_(-6)4 _{= j) 2}3 _{· 5}3 _{· 7}3 _{= k) 4}2 _·(-5)2 _{· 3}2 _{= l) (-3)}5 _{· (-2)} 5 _{· (-4)}5 ₌

12º Observa los ejemplos y expresa como única potencia.

Cociente (división) de potencias con el mismo exponente: se dividen las bases y se deja el exponente.

a) 85 _{: 2}5_{= 4}5 _{b) 21}2 _{: 7}2 _{= 3}2 _{c) 15}6 _{: (-3)} 6 _{= (-5)}6 _d) 7 7 7

2

3

6

=

i) 84 _{: (-4)}4 _{= j)}

₌

5 5

3

9

k) ₈

=

8

2

10

l)

−

₅

=

5

9

)

36

(

m) ₁₀

=

10

1

5

n)

=

−

−

25 25

)

7

(

)

14

(

ñ)

=

−

4 4

)

3

(

30

o) ₈

=

8

7

49

13º Lee los siguientes problemas y fíjate en qué se parecen sus enunciados. Observa como está resuelto el primero y resuelve los demás.

a) En una habitación de un museo hay tres paredes con tres cuadros en cada una de ellas y en cada cuadro aparecen tres personas con tres flores cada una. ¿Cuántas flores habrá en total? Expresa el resultado como potencia y calcúlalo.

3 paredes con 3 cuadros con 3 personas con 3 flores. 34 _{= 3 · 3 · 3 · 3 = 81 flores habrá en total.}

b) En un parque hay cinco lagos con cinco patos en cada lago. ¿Cuántos patos habrá en total? Expresa el resultado como potencia y calcúlalo.

c) Pedro tiene seis bolsillos con seis llaveros en cada uno y en cada llavero hay seis llaves. ¿Cuántas llaves tiene Pedro? Expresa el resultado como potencia y calcúlalo.

d) Un granjero posee dos pocilgas con dos cerdos en cada una, ¿cuántos jamones obtendrá? Expresa el resultado como potencia y calcúlalo. (Recuerda que los jamones se obtienen de las patas traseras de los cerdos).

14º Lee los siguientes problemas, ¿en que se parecen sus enunciados? Observa como está resuelto el primero y resuelve los demás.

a) Calcula el área de un cuadrado de lado 5 cm.

A = l2 _{(Área del cuadrado = lado al cuadrado)} 5 cm

A = 52_{= 5· 5 = 25 cm}2 _{(Observa que si el lado te lo dan en cm} 5 cm el área será en cm2 ₎

b) Calcula el área de un cuadrado de lado 8 cm.

c) Sabiendo que el lado de un cuadrado mide 12 cm, ¿cuánto medirá su área?

d) Halla el área de un cuadrado de 10 m de lado. (Atento: si el lado viene dado en m, ¿en qué vendrá dado el área?)

15º Calcula e intenta memorizar los resultados:

a)

0

2

₌

0

_⋅

0

₌

_g)

₆

2

₌

_m)

₁₂

2

₌

_r)

₁₈

2

₌

_x)

₆₀

2

₌

b)

₁

2

₌

₁

_⋅

₁

₌

_h)

₇

2

₌

_n)

₁₃

2

₌

_s)

₁₉

2

₌

_y)

₇₀

2

₌

c)

2

2

₌

2

_⋅

2

₌

_i)

₈

2

₌

_ñ)

₁₄

2

₌

_t)

₂₀

2

₌

_z)

₈₀

2

₌

d)

3

2

₌

3

_⋅

3

₌

_j)

₉

2

₌

_o)

₁₅

2

₌

_u)

₃₀

2

₌

_A)

₉₀

2

₌

e)

₄

2

₌

₄

_⋅

₄

₌

_k)

₁₀

2

₌

_p)

₁₆

2

₌

_v)

₄₀

2

₌

_B)

₁₀₀

2

₌

16º Observa los siguientes ejemplos de raíces exactas y completa.

a) 81= 9 porque

9

2

₌

81

_{e) 64 =…. porque …………. i) 0 =………..} b) 25 = 5 porque ….2

₌

25

_{f) 16 =……… j) 2500 = ………..} c) 9 = 3 porque

₃

2

₌

_{…. g) 900 =……….. k)}

₁₂₁

₌

_………..

d) 100 =…. porque

₁₀

2

₌

_{…. h)}

₁₄₄

₌

_{……….. l) 169 =………..}

17º Observa los siguientes ejemplos de raíces no exactas y completa.

a) 18 = 4 porque

4

2

₌

16

_{y de resto 2 (observa que}

₅

2

₌

₂₅

_{ya se pasaría)}

b) 40 = 6 porque

6

2

₌

36

_{y de resto …. e) 117 =……….} c) 15 = 3 porque ……….. y de resto …. f) 75 =………..…. d) 31=…. porque ……….. y de resto …. g) 200 = ……….

18º Calcula y si no es exacta indica el resto:

a) 49 = d) 1600 =

b) 289 = e) 97 =

c) 150 = f) 184 =

19º Vuelve a mirar el ejercicio 11 y lee los siguientes problemas ¿qué observas?

En el ejercicio 11 me dan el lado y me piden el área (elevando el lado al cuadrado), y estos problemas son ‘al revés’ me dan el área y me piden el lado, por lo tanto tendré que hacer lo contrario de elevar al cuadrado que es calcular la raíz cuadrada.

Observa como está resuelto el primero y resuelve los demás. a) Calcula el lado de un cuadrado de o 36 m2_.

l

=

A

_{(lado = raíz cuadrada del área)} ¿x?

6 36 = =

l m _{(Observa que si el área te lo dan en m}2 ¿x? el lado será en m )

b) Sabiendo que el área de un cuadrado mide 400 cm2_{, ¿cuánto medirá su lado?}

c) Javier es un coleccionista de sellos. Tiene ya 81 y quiere colocarlos en una vitrina formando un cuadrado, ¿cuántos sellos debe colocar en cada lado?

20º Utiliza las propiedades de las potencias y expresa como única potencia:

a)

₍

₂

5

_⋅

₂

3

₎

_:

₂

4

₌

₂

8

_:

₂

4

₌

₂

4

_b)

( )

=

⋅

3 3

2

₅

5

c)

₆

3

⋅

₆

8

_:

₆

6

=

_d)

( ) ( )

₃

9 2

_:

₃

2 5

₌

e)

3

5

⋅

(

3

10

:

3

8

)

=

_f)

⋅

₌

6 4 10

7

7

7

g)

₄

⋅

₃

⋅

( )

₂ 7

=

9

9

9

h)

=

⋅

2 3

14 20

4

4

4

:

4

i)

(

₈

⋅

₂

)

5

=

21º Calcula las multiplicaciones de potencias de igual base:

a)

2

5

_{· 2}

4

b)

3

5

_{· 3}

6

c)

10

4

_{· 10}

7

₁₀

8

_{· 10}

6

d)

3

5

_{: 3}

2

22º Realiza la siguiente operación combinada con potencias. 2 · 3

2

_{– 5}

2

_{(4 – 2): 5}

23º Resuelve:

a) 2

2

_{+ 3}

2

_{- 2}

4

_{b) 2 · 3}

2

_{+ 48 : 2}

3

_{c) 5 · (3}

2

_{– 7) · 2}

2

_{d) 2}

4

_{· 3}

2

_{: 2 – (2 – 4}

2

₎

24º Aplicando las propiedades de las potencias, simplifica estas expresiones:

2 2 5 0 4 3 2 2

)

5

(

5

5

5

)

5

(

5

)

⋅

⋅

⋅

⋅

− −

a

7 3 5 1

2

2

)

2

(

2

)

−

⋅

₋ −

⋅

b

3 2 3 2 2 3

3

)

3

(

3

)

⋅

c

5 2

4 1 3

)

7

7

(

7

7

7

)

⋅

⋅

⋅

− −

d

25º Calcula el valor de las siguientes expresiones:

2

0

_{+ 2}

1

_{+ 2}

2

_{+ 2}

3

3·3

5

(2·(–3))

2

2· (–3)

2

– (–2)

2

_{+ (–3)}

2

(0,2)

2

_{– (0,1)}

2

–5 ·(–3)

2

(–5)

2

_·(–2)

3

2

6

_·3

2

_{– 2}

5

_·3

2

_{– 1}

(12)

–1

_{+ (–12)}

–1

26º Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a)

_{2 5 5 2 2 7 3}

7 2 2 3 2 2

3

·

2

·

)

2

·

3

·(

)

3

·

2

(

3

·

2

·

3

·

)

2

·(

)

3

(

b)

_{4 4}

3 2 3 2

2

·

5

·

)

5

·

3

(

2

·

5

·

2

·

3

·

5

·

2

c)

_{4 3 2 2}

2 2 4 5

2

·

5

·

3

·

2

·

)

3

·

7

(

7

·

7

·

3

·

2

·

3

·

7

27º

Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de

producto o cociente de potencias de base un número primo y exponente positivo:

a)

(

₃

2

⋅

₂

3

⋅

₅

2

) (

⋅

₂

5

⋅

₃

3

⋅

₅

3

)

=

_b)

(

₂

3

_⋅

₃

_⋅

₅

2

) (

_⋅

₂

2

_⋅

₃

_⋅

₅

)

₌

c)

₇

3

⋅

₄

3

⋅

₅

3

⋅

₆

3

=

_d)

(

₇

2

_⋅

₂

3

_⋅

₅

2

) ( )

_÷

₂

_⋅

₅

2

₌

e)

=

⋅

⋅

⋅

5 3 3 4

21

3

21

7

3

f)

( )

₃

4 5

=

_g)

(

₃

_⋅

_a

2

)

3

₌

h)

=

⋅

⋅

⋅

3 5 2

2

3

7

2

3

i)

_a

3

⋅

₃

3

⋅

(

₃

2

⋅

_a

2

)

=

28º Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de

potencia de base y exponentes los que creas más adecuados en cada caso:

a)

(

−₃

⋅

₂

)

3

=

4

4

b)

(

₃

÷

−₂

)

−2

=

5

5

c)

( )

−₄ −2

=

7

d)

(

−₃

÷

−₅

)

−2

=

7

7

e)

( )

9

3 −3

=

f)

(

2

_÷

3

)

−2

₌

9

9

g)

( )

2 3

=

9

h)

(

9

⋅

10

6

) (

÷

3

⋅

10

4

)

=

i)

(

−₃

_÷

−₇

)

−2

₌

9

9

j)

(

₂

⋅

₄

)

2

=

9

27

k)

( )

−₂ −4

=

9

l)

(

−₂

)

−3

=

27

m)

(

2

÷

3

)

2

=

4

8

n)

(

2

⋅

5

)

2

=

3

9

o)

(

3

÷

3

)

4

=

8

16

p)

(

₂

÷

−₂

)

3

=

9

27

q)

(

₂

⋅

₅

)

2

=

3

3

r)

(

3

⋅

5

)

3

=

5

5

s)

(

₃

÷

−₄

)

−2

=

29º Efectúa las siguientes operaciones dando el resultado como una sola potencia:

a)

₂

3

_⋅

₂

5

_⋅

₂

7

₌

_b)

−₅

_⋅

−₆

_⋅

( )

₄ 3

₌

4

4

4

c)

3

−2

⋅

(

3

4

÷

3

5

)

=

d)

( )

₋

₂

11

_÷

(

( )

₋

₂

3

)

−2

₌

_e)

(

₂

_⋅

₃

)

−2

₌

8

4

f)

(

−₂

÷

−₃

)

3

=

4

8

g)

(

₃

⋅

−₃

)

−4

=

4

2

h)

( ) ( )

−₃ 2

÷

₃ −4

=

8

16

i)

(

₂

⋅

₂

)

3

=

25

5

j)

(

₂

÷

₄

)

−4

=

27

9

k)

(

( )

₋

₂

12

)

3

_⋅

( )

₋

₈

5

₌

_l)

(

₋₃

_⋅

₋₂

)

−1

₌

36

6

30º Calcula en cada caso el valor del exponente a, para que se cumplan las igualdades:

a)

(

₃

a

_⋅

₃

5

)

2

₌

₃

14

_b)

(

₂

5

_÷

₂

a

)

−2

₌

₂

6

_c)

( )

( )

₅ a 2 ₁₀

6

6

−

=

d)

(

( ) ( )

a 5

)

2

( )

20

5

5

5

⋅

−

=

−

−

e)

₂

3

_⋅

_a

2

₌

₂

7

f)

8

3

÷

a

6

=

8

21

g)



a

4

_

2

₌

₁₁

−8

_h)

_

₋

₃

_

4

_⋅

_a

5

=



−

3



−11