GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 28
UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD ISOMETRÍAS Y TESELACIONES
TRASLACIONES
Las traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una determinada dirección, sentido y distancia, por lo que toda traslación queda definida por lo que se llama su “vector de traslación”.
OBSERVACIONES
Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares. Una figura jamás rota; es decir, el ángulo que forma con la horizontal no varía.
No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en una única.
EJEMPLOS
1. ¿Cuál(es) de los siguientes casos representa(n) una Traslación?
I) II) III)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
2. En la figura 1, cada cuadradito representa una unidad cuadrada. La posición del triángulo ABC es el resultado de haber aplicado una traslación de vector T(-8, 3) al triángulo original. ¿Cuáles eran las coordenadas del vértice A antes de la traslación?
A) (-3, -4) B) (-4, -3) C) (-14, 7) D) (2, 1) E) (1, 2)
y
x
y
x
y
x
C
u
r
s
o
:
Matemática
Material N° 34
fig. 1
x y
A
B
2 ROTACIONES
Las rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos del plano. Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo bien determinados, por lo que toda rotación queda definida por su centro de rotación y por su ángulo de giro. Si la rotación se efectúa en sentido contrario a como giran las manecillas del reloj, se dice que la rotación es positiva o antihoraria; en caso contrario, se dice que la rotación es negativa u horaria.
OBSERVACIONES
Una rotación con centro P y ángulo de giro α, se representa por R (P, α ). Si la rotación es negativa, se representa por R (P, -α ).
Si rotamos el punto (x, y) con respecto al origen 0 (0, 0) en un ángulo de giro de 90º, 180º, 270º ó 360º, las coordenadas de los puntos obtenidos están dados en la siguiente tabla.
Punto Inicial R (0, 90º) R (0, 180º) R (0, 270º) R (0, 360º) ( x, y ) ( -y, x ) ( -x, -y ) ( y , -x ) ( x , y )
EJEMPLOS
1. En el sistema de ejes coordenados de la figura 1, se han realizado transformaciones. Con respecto a las figuras A, B y C, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La figura A es una traslación de la figura C.
II) La figura C se obtiene efectuando una rotación de la figura B de 90º respecto del origen.
III) La figura B es una simetría central de la figura C con centro en el punto de coordenadas (-1, 0).
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
2. En el sistema de ejes coordenados se ha ubicado el punto P de coordenadas (-4, 6). Al aplicar una rotación horaria de 90º con centro en el origen, las coordenadas de P’ son
A) (6, -4) B) (-6, 4) C) (-6, -4) D) (6, 4) E) (4, 6)
A
C B
O
3 SIMETRÍAS
Las simetrías o reflexiones, son aquellas transformaciones isométricas que invierten los puntos y figuras del plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (simetría central) o respecto de una recta (simetría axial).
SIMETRÍA CENTRAL
Dado un punto fijo O del plano, se llama simetría (reflexión) con respecto a O a aquella isometría que lleva cada punto P del plano a una posición P’ de modo que P’ está en la recta OP,
a distinto lado con respecto a O, y OP = OP' . El punto O se llama centro de la simetría y P, P’ puntos correspondientes u homólogos de la simetría.
OBSERVACIONES
Una simetría (reflexión) respecto de un punto O equivale a una rotación en 180º de centro O.
Los trazos de la figura original son paralelos con los trazos homólogos de la figura transformada.
El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas del reloj.
Todo punto del plano cartesiano A(x, y) tiene su simétrico A’(-x, -y) con respecto al origen O(0, 0).
EJEMPLOS
1. Al segmento AB de la figura 1, se le aplica una simetría (reflexión) con respecto al punto P(0, 2) resultando un segmento A’B’, entonces las coordenadas de A’ son
A) (-3, 0) B) (0, -1) C) (1, 0) D) (3, 0) E) (2, -1)
2. De acuerdo con la figura 2 es falso que
A) la figura C se obtiene de una simetría central respecto del punto P de la figura A.
B) Q es centro de simetría ente las figuras A y D. C) la figura B se obtiene al aplicar a A una rotación
con centro en el punto P.
D) la figura A se obtiene por traslación de la figura D.
E) la figura A se obtiene a partir de la figura C aplicando a esta última una rotación de 180º con centro en P.
1 2 3 x
-3 -2 -1 2 4
A B
y
fig. 1 P
A
D B
C Q
P
4 SIMETRÍA AXIAL
Dada una recta fija L del plano, se llama simetría axial con respecto a L o reflexión con respecto a L, a aquella isometría tal que, si P y P’ son puntos homólogos con respecto a ella, PP´ ⊥ L y, además, el punto medio de PP´ está en L. La figura 1, muestra dos triángulos simétricos respecto de L.
OBSERVACIONES
En una simetría axial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las manecillas del reloj.
No es posible superponer, mediante traslaciones y/o rotaciones, los triángulos congruentes PQR y P’Q’R’.
Los puntos de la recta L permanecen invariantes ante esta reflexión.
Todo punto del plano cartesiano A (x, y) tiene un simétrico A’ (x, -y) con respecto al eje de las abscisas y un simétrico A” (-x , y) con respecto al eje de las ordenadas. EJEMPLOS
1. ¿En cuál de los siguientes casos se verifica una simetría axial con respecto a L?
I) II) III)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
2. al punto A(4, 5) se le aplica una reflexión con respecto al eje x. Las coordenadas del punto homólogo de A son
A) (5, -4) B) (-4, -5) C) (-4, 5) D) (4, 10) E) (4, -5)
L Q
R P
P’
R’ Q’
fig. 1
L
5 EJE DE SIMETRÍA
Es aquella recta que atraviesa una figura dividiéndola en dos partes simétricas con respecto a la recta.
OBSERVACIONES
Existen figuras que no tienen eje de simetría. Existen figuras que tienen sólo un eje de simetría. Existen figuras que tienen más de un eje de simetría. La circunferencia tiene infinitos ejes de simetría.
EJEMPLOS
1. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un rectángulo?
A) Uno B) Dos C) Cuatro D) Ocho E) Infinitos
2. ¿Cuántos ejes de simetría tiene una semicircunferencia?
A) Ninguno B) Uno C) Dos D) Tres E) Cuatro
3. En un polígono se trazaron al menos 4 ejes de simetría, entonces el polígono puede ser: I) Trapezoide.
II) Rectángulo. III) Cuadrado. A) Sólo I
B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III
6 TESELACIÓN DEL PLANO
Es la entera división del plano mediante la repetición de una o más figuras que encajan perfectamente unas con otras, sin superponerse ni dejando espacios vacíos entre ellas. Esta partición del plano suele
llamarse también mosaico o embaldosado. Las figuras siguientes muestran teselaciones del plano.
OBSERVACIONES
Todos los triángulos y todos los cuadriláteros teselan por si mismo el plano. (fig. 1)
Los únicos polígonos regulares que teselan por si mismo el plano son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular, ya que en estos polígonos sus ángulos interiores son divisores de 360.
Si queremos teselar el plano utilizando dos o más polígonos, es necesario que en cada vértice la suma de todos los ángulos sea 360º (fig. 2).
El artista holandés Maurits Escher realizó notables teselaciones (fig. 3).
EJEMPLOS
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)
I) Todos los cuadriláteros pueden teselar por si mismos el plano.
II) Todos los triángulos pueden teselar por si mismo el plano.
III) Sólo los polígonos regulares teselan por si mismo el plano
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
2. En la figura 1, se tiene tres polígonos regulares: triángulo, cuadrado y hexágono. ¿Con cuál de
ellos, es posible teselar el plano, si se aplican sucesivas reflexiones respecto de cualquiera de sus lados?
I) Triángulo.
II) Cuadrado.
III) Hexágono.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
fig. 1 fig. 2 fig. 3
7 EJERCICIOS
1. Al aplicar transformaciones isométricas a la figura 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A) (a) se obtiene a partid de la figura 1 mediante una rotación. B) Entre (b) y la figura 1 existe semetría central.
C) (b) se obtiene a partir e la figura 1 mediante simetría axial respecto de un eje cualquiera.
D) Entre la figura 1 y (c) existe simetría central.
E) No es posible establecer una relación de isometría entre las figuras dadas. 2. En la figura 2, ¿cuál es el centro de rotación para transformar el triángulo A en A’?
A) M B) N C) K D) Q E) S
3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un hexágono regular? A) Tres
B) Cuatro C) Cinco D) Seis E) Infinitos
4. ¿En cuál de las siguientes alternativas se muestra una simetría (reflexión) respecto a L?
A) B) C)
D) E)
fig. 1
(a) (b) (c)
A’
A
M N S K Q
fig. 2
L L
L
8 5. En la figura 3, es posible observar:
I) Traslación. II) Simetría axial. III) Rotación.
IV) Simetría central. A) Sólo II
B) Sólo III C) Sólo IV D) Sólo III y IV E) Sólo I, III y IV
6. ¿Qué figuras se obtiene al aplicar una rotación de centro en O y un ángulo de giro 90º, en sentido horario, a la figura 4?
A) B) C)
D) E)
7. Al punto A(-3, 5) de la figura 5 se le aplica una simetría central con respecto al punto B(0, 1), entonces A’ es
A) (3, 5) B) (3, -5) C) (-3, -5) D) (3, -3) E) (3, -4)
8. En la figura 6, ABCD es un rectángulo al que se le aplica una rotación en 90º antihoraria,
obteniéndose el rectángulo A’B’C’D’. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio de AA´ ?
A) (1, 3). B) (-1, 3) C) -1, 7
2
D) (0, 3) E) 0, 7
2
O
fig. 4
1 1
fig. 3
-1 1
fig. 5
5
-3
B A
x y
1 1
fig. 6
4
3 x
y
2
C’ B’
D’
A’ 3
2 1
9
9. Dada la función f(x) = x2, se puede decir que g(x) = -x2 es I) Una simetría central con centro en el origen de f(x). II) Una simetría axial con respecto al eje x de f(x). III) Una rotación en 180º con respecto al origen de f(x). A) Sólo I
B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
10. Es imposible teselar el plano con la figura de la alternativa
A) B) C)
D) E)
11. En la figura 8, L1 // L2 y L3 // L4. Si a F se le aplica una simetría axial respecto de L1,
después respecto de L2, de L3 y finalmente de L4, esta composición de simetrías es
equivalentes a aplicar una
A) Traslación de abscisa positiva y ordenada negativa. B) Rotación de centro O y ángulo de giro -180º. C) Simetría central respecto del punto O.
D) Simetría axial respecto a la que pasa por Q y M. E) Rotación de centro P y -90º seguida de una rotación
de centro N y -90º.
12. Al triángulo ABC equilátero de lado 2 cm, se le aplica una simetría (reflexión) respecto a la recta L (L // AB), generándose el triángulo A’B’C’. Determinar la longitud del segmento CC’, siendo el punto P centro de la circunferencia inscrita.
A) 2 3 B) 4
3 3 C) 8
3 3 D) 7
3 3 E) 5
3 3
O Q P
N M
L3
L4
L1 L2
F
fig. 8
L
A B
P C
10
13. Luego de aplicar ciertas isometrías en el plano de la figura 9, la semicircunferencia de centro O se transformó en la semicircunferencia de centro O’. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Se aplicó una traslación T(0, 6) y luego una rotación en 180º y centro E. II) Se aplicó una simetría central con respecto al punto P.
III) Se aplicó una simetría axial con respecto a la recta que pasa por los puntos medios de AD y BC .
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
14. Sobre los segmentos AB, CD y EF se han construido triángulos rectángulo isósceles congruentes, como se muestra en las tres siguientes figuras. ¿Cuáles de estas figuras tienen sólo un eje de simetría?
I) II) III)
A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
15. Los puntos extremos de un trazo AB son A(3, 5) y B(-4, -3). Si se aplica una traslación según vector (a, b) y las nuevas coordenadas de A son A’(7, -5), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) (a, b) = (4, -10) II) B’ = (0, -13) III) B’ + A’ = (7, -18) A) Sólo I
B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
A B C
D
E
F F E P
O’ C
D
O B
A
11
16. En la figura 8, hay un triángulo rectángulo isósceles con un cuadrado y un círculo. ¿Cuál de las siguientes alternativas entrega una simetría con respecto a la recta AB?
A) B) C)
D) E)
17. El trazo de la figura 12 intersecta a los ejes en los puntos (3, 0) y (0, 6)
Si al trazo se le realiza una rotación en 90º con respecto al origen (0, 0), y después un desplazamiento de 6 unidades hacia la derecha, ¿cuál de los siguientes gráficos representa mejor esta situación?
A) B) C)
D) E)
A B
fig. 11
x y
3
-6
3 6
fig. 12
x y
x y
3
6
x y
-3 6
x y
3
6
x y
-3
12
18. En el plano cartesiano de la figura 7, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El ∆A2B2C2 no es simétrico del ∆A4B4C4 con respecto al eje de las ordenadas.
II) El ∆A1B1C1 se obtuvo por efecto de una rotación de -90º con respecto al punto C del
∆ABC.
III) El ∆A3B3C3 es simétrico al ∆A2B2C2 con respecto a la bisectriz del A3C2A2.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
19. Si el punto A(a, b) pertenece al eje x, al aplicar una traslación y dejarlo en el eje y, se forma con los ejes coordenados el triángulo AOA’ rectángulo isósceles si :
(1) T(-a, -a)
(2) T(x,y) con x = y
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
20. En la figura 13, ABCD es un paralelogramo, el triángulo APD es un simetría axial del triángulo CPD si :
(1) ABCD es un cuadrado.
(2) DP = PB y CP = PA
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
A B
D C
P
fig. 13
3 2 1
1
fig. 7
3 x
y
2
C4
4 5 -5 -4 -3 -2
-1 -2 -3
-4 -5
B4
B1 C1
A2
A3
B2
C2
C3
B3
A B
C
A4
