NÚMEROS ÍNDICES
Tenemos 2 tipos: - simples - compuestos
Índices Simples
Es una variable que toma distintos valores a lo largo del tiempo. El intervalo de tiempo puede ser cualquiera (días, meses, años, etc.)
Índice simple es el cociente entre el valor de nuestra variable en el periodo “t” y el valor en un periodo base.
Fórmula: Índice = x 100
Ej.: Calcular los números índices de la siguiente variable:
t 1990 1991 1992 1993 1994
x 1 1,2 1,7 2 3
tomando como base 1990 y luego hacer lo mismo tomando como año base 1993.
t 1990 1991 1992 1993 1994
x 1 1,2 1,7 2 3
Índice base
1990 1/1 x 100 =
100 1,2/1 x 100= 120 1,7/1 x 100= 170 2/1 x 100 =200 3/1 x 100 =300 Índice base
1993 ½ x 100 =
50 1,2/2 x 100= 60 1,7/2 x 100= 85 2/2 x 100 =100 3/2 x 100 =150
Los números índices sirven para saber como ha variado porcentualmente la variable desde el año base. Para saber como ha variado en porcentaje, la variable del año base restaremos el nº índice del periodo t, menos el nº índice del periodo base. Y lo que nos de será la variación porcentual de la variable desde el periodo base.
Ej.:
= 120 - 100 = 20 % = 170 - 100 = 70 %
Índices Compuestos
En los índices compuestos tenemos más de una variable; para calcular un índice compuesto hallaremos los índices simples de cada una de las variables y calcularemos posteriormente alguna o algunas de las siguientes opciones: Media aritmética, Media geométrica, Media armónica, Media Agregativa simple.
Ej.:
Pan Leche Chocolate
1970 10 6 2
1971 15 10 3
1972 25 12 4
Calcular los índices compuestos tomando en primer lugar como año base 1970, y en segundo lugar como año base 1971.
Base 1970 Base 1971
Pan Leche Chocolate Pan Leche Chocolate 10/10 x
100 = 100
6/6 x 100 = 100
2/2 x 100 = 100
10/15 x 100 = 67
60 67
15/10 x
100 = 150 10/6 x 100= 167 3/2 x 100 =150 100 = 10015/15 x 100 100 25/10 x
100 = 250
12/6 x 100 = 200
4/2 x 100 = 200
25/15 x 100 = 167
120 133
BASE 1970
a) Media aritmética
I1971 = 150+167+150 / 3 = 156 I1972 = 250+200+200 / 3 = 217 b) Media geométrica
I1971 = = 155
I1972 = = 215 c) Media armónica
I1971 = = 155
I1972 = = 214
d) Media agregativa simple
Media agregativa simple = x 100
Base 1970 Base 1971
1971 = x 100 = 228 1970 = x 100 = 64
1970 = x 100 = 100 1972 = x 100 = 146
Índices ponderados
Las ponderaciones sirven para dar más importancia a un bien que a otro.
Fórmula: para confeccionar un índice ponderado realizamos en 1er lugar los índices simples:
Ej.:
w =1 w = 5 w = 10
Pan Leche Cacao
1990 10 6 2
1991 15 10 3
1992 25 12 4
Índices simples
Pan Leche Cacao
100 100 100
150 167
150 200 200
Año base 1990:
También se emplea lo que se llama “ Índice agregativo ponderado ”.
; (Xit = año en cuestión, Xi0 = año base)
I1991 =
I1992=
Índices de precios
Índice de Laspeires
Es una medida ponderada de índices simples de la ponderación que se utiliza: w = pi0 · qi0 (pi0= precio en el periodo base)
(qi0= cantidades en el periodo base)
Índices de cada año
I1991=
I1992=
Este índice nos indica el aumento de precios que ha existido teniendo en cuenta las cantidades que se consumían en el año base.
Ejemplo:
Tenemos tres productos:
Precios Cantidades
1992 1993 1994 1992 1993 1994
A 1 1’25 1’50 10.000 12.500 13.000
B 10 11’75 13’5 1000 1100 1250
C 4 5 4’5 500 500 400
Año base 1992:
100
A precios (94 al 93) =
Índice de Pasche
Se entiende como una media aritmética ponderada, donde la ponderación es ahora:
Este índice nos indica la variación de precios que existe tomando como ponderaciones las cantidades consumidas en el año que consideramos como base.
Este índice tiene una propiedad que es, que al dividir el valor de lo consumido en un conjunto de bienes, entre el índice de Pasche obtendremos el valor referido a pesetas constantes del año base.
Pi0 qit
Índice de Fisher
F1992 = 100
F1993 =
F1994=
Índice de Edgeworth
E 1992 = 100
E 1993 =
E1994 =
Propiedades de los nº índices
1. PROPORCIONALIDAD
Un índice cumpliría esta propiedad si al aumentar todos los precios en la misma proporción el nº índice aumenta también en esta proporción.
2. LA INVERSIÓN EN EL TIEMPO
Decimos que un índice precios cumpla la propiedad de la inversión en el tiempo se deben seguir los siguientes pasos:
Se confecciona un índice de un año determinado tomando como año base el que antes no lo era:
Cumplirá la inversión en el tiempo si al multiplicar el 1º y el 2º nos da un valor igual a 10.000.
Ejercicio:
Comprobar la propiedad de inversión en el tiempo en el índice de Laspeires.
=
Si cumple.
Cuando dividimos una cantidad monetaria entre un índice de precios (o sus correspondientes índices de precios) y multiplicamos todo por 100, obtendremos el valor de esa cantidad monetaria en pesetas constantes del año que hallamos tomado como base. A esto se llama “deflactar”
Ejemplo:
Consumo
Años Final IPC
1986 17 100
1987 20 105
1988 22 110
1989 25 115
1990 30 118
Consumo final (pts.ctes 1986 año base) =
Consumo final 1988
Consumo final 1989
Consumo final 1990
Índice de precios al consumo (MUY IMPORTANTE)
Para calcular el IPC en primer lugar se selecciona una muestra de la población que es tomada al azar de entre los españoles normales. ( Ni ricos, ni pobres) (Se quita el 10% más rico y el 10% más pobre).
Segundo paso. Selección de las mercancías o bienes que tras la confección de la encuesta han dado como más representativas. Se utilizará como ponderación el nivel de consumo de estos bienes.
Tercer paso. Se fija el periodo o año base, que es el del año en que se realizó la última encuesta de presupuestos familiares.
Cuarto paso. Se aplica la fórmula de Laspeires.
Problemas de elaboración en el IPC
1. Especificaciones y recogida de los precios.
Se deben especificar claramente los productos de que se van a seguir la evolución de los precios. 2. Se debe investigar también las subidas de precios que se deben a la mejora de la calidad de un bien. 3. El precio de la vivienda, normalmente se realiza un IPC tomando el precio de la vivienda y otro sin él. 4. El cambio de base y las ponderaciones.
El INE va realizando una encuesta (Encuesta presupuestos familiares) continua que además de servir para determinar el consumo nos sirve para saber si las pautas de consumo están cambiando. si están cambiando cambia las ponderaciones.
- Índice de la producción (cantidades en lugar de precios)
ÍNDICES CANTIDADES
Otros tipos de índices
Índices salarios. S= Salario h= hora trabajada
Índice de Variación de los Costes Globales.
Índice de Variación de Costes Unitarios.
Índice de comercio exterior.
Pueden ser de Importación o Exportación y pueden se de cantidades o de precios.
PRECIOS
Índices sobre valores.
TABLAS DE CONTINGENCIAS
Sirven para saber si dos variables que están medidas en una escala nominal u ordinal están relacionadas. Una tabla se representa de la siguiente manera:
Ej.: “Relación entre que exista financiación y el tipo de comedor del colegio”.
PRIVADA SEMIPRIVADA PÚBLICA TOTAL
SI 110 15 10 135
COMEDOR NO 70 5 90 165
Total 180 20 100 300
Para saber si existe relación entre las dos variables:
1. Calcularemos la frecuencia (nº de casos) que debería haber en cada casilla si los dos sucesos fuesen independientes.
Inciso sobre probabilidad
(Probabilidad condicionada) No se repone. (Ej.: Bolas).
( Probabilidad independiente) Se repone. (Ej.: Bolas).
Ej.: 4 B
2 N
Si el caso se resuelve 100 veces: N =
0 = Independencia absoluta.
Cuanto más grande sea el valor más dependientes serán. Frecuencia esperada:
(Frecuencia esp. de que exista comedor y la financiación sea privada). 1. P (Comedor Financiación Privada) =
P (si) · P (Privado) =
Frecuencia esperada = N · P ( Si Privado) =
Frecuencia esperada =
( concert. comedor)
Para ver el grado de relación a través de un índice que varíe entre 0 y 1 se utiliza el coeficiente de contingencia.
( 0 C 1 ) 0 Ind. absoluta
1 (aunque nunca puede llegar a 1)
Más dependencia. Dependencia absoluta. Ejemplo:
COVARIANZA
Nos da una idea de la relación que existe entre dos variables.
Sxy = > 0 Relación directa. (Si x crece, la y crece; y si x crece, y decrece) < 0 Relación inversa. (Si x crece, y decrece)
Ejemplo:
x y x · y
2 1 2
3 2 6
6 3 18
Relación directa.
7. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Supongamos que tenemos 2 variables, una que queremos explicar (denominada variable explicada) y otra variable con la que queremos explicar a esa variable explicada.
( Las variables en la REGRESIÓN tienen que ser cuantitativas). Ejemplo:
La Regresión Lineal simple consistirá en hallar los coeficientes a y b. Coeficientes que me garantizarán una línea recta que haga mínima la distancia entre los “ y “ (pesos observados en la realidad) y los que pronosticarían mi función (la línea recta).
Regla general para calcular los coeficientes a y b.
sea mínima.
sea mínimo.
Resolvemos por Cramer
si dividimos arriba y abajo por n2
Peso (y) Estatura (x)
55 60 65 70 75
160 162 165 171 176
Así sacamos la “b” Para hallar la “a”:
La dividimos por n
;
Así hallamos la “a”
Cuando la “y” es la variable explicada (peso) y “x” explicativa (estatura), si nos dirán que hagamos la regresión de “y” sobre “x”. Si nos dan una variable “y” y una variable “x”, y nos dicen que hagamos la regresión de x sobre y , consideraríamos a la variable x como la variable explicada y la “y” la variable explicativa.
Ejemplo: Calcúlese la regresión lineal simple de estos valores.
x y
4 11
6 7
8 4
10 2
x var. explicativa. y var. explicada.
xy x2
44 16 42 36 32 64 20 100 138 216 RESIDUOS
Denominamos “residuos” a la diferencia entre los valores observados de la variable explicada y los valores que produce nuestra función.
(Si la diferencia es pequeña la recta nos sirve, y si los residuos son muy grandes la recta no nos servirá).
x y
4 11 10’5 11-10’5 = 0’5
6 7 7’5 7-7’5 = -0’5
10 2 1’5 2-1’5 = 0’5
VARIANZA RESIDUAL
La varianza residual es igual a la varianza de los residuos, o lo que es lo mismo, nos indica la cantidad de información que no hemos conseguido explicar con nuestra variable explicativa.
Ejemplo: d = 0’25
VARIANZA DE LAS “ Y “ PREDICHAS POR NUESTRA FUNCIÓN
Nos indica la cantidad de y información que ha aportado nuestro modelo a la explicación de la variable observada. o dicho de otro modo, la cantidad de la “ y “ observada que conseguimos explicar con nuestro modelo.
VARIANZA DE LAS “ Y “ OBSERVADAS
Es la cantidad de información que tiene la “ y “ observada.
Información de las “ y ” observada.
(La varianza de , se puede demostrar que es igual a : Ejemplo:
Coeficiente de determinación:
Nuestro modelo no explica nada
Ejemplo: Coeficiente determinación de nuestro modelo.
Otra forma de calcular el coeficiente de determinación.
Coeficiente de correlación lineal: (explica el grado de relación entre la variable explicativa y la explicada)
RECAPITULACIÓN DE FÓRMULAS
Se pide:
Coeficiente de correlación:
1.
2.
3.
4.
(Coef. deter.)
5.
12. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
Relacionamos una variable endógena (y), con más de una variable explicativa:
( 1 )
Si a ( 1 ) le restamos obtenemos
Sobre esta ecuación operamos igual que en la regtresión lineal simple, con el fin de obtener b1 y b2, sabeindo que a se obtendría de:
Operando
Resolviendo el sistema
, y que
Dividimos (2) por n
Del mismo modo obtenemos:
COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN
Como en el caso de la regresión lineal simple mide el grado de interdependencia entre la variable endógena ( y ) y las explicativas (x1, x2 ).
Viene dada por la expresión:
(0 R2 1) ó de otra forma:
COEFICIENTES DE CORRELACIÓN PARCIAL
Miden la correlación de la variable endógena explicada con una de las variables explicativas suponiendo que las demás variables permanezcan ctes.
Tienen la expresión para el caso de 2 variables explicativas
Es posible llegar a los mismos resultados por métodos matriciales, siendo:
Dos variables: x1 y x2.
Coeficiente de correlación parcial de x sobre y con x2 cte.
De x2 sobre y con x, cte.
OTRO TIPO DE MODELOS NO LINEALES
Puede suceder que entre 2 variables no exista una dependencia lineal y exista otro tipo de dependencia no lineal.
a = anti log a
Ejemplo:
Años C log C R log R
1980 2 0’3 10 1
1985 4 0’6 15 1’18
1988 6 0’78 22 1’34
1991 7 0’85 30 1’48
