Integración por partes.

(1)

u dv



u v



v du



ln

x dx



x

ln

x

 

x

c



Integración por partes.

Este método es útil cuando se requiere integrar diferenciales que contienen productos, diferenciales que contienen logaritmos y diferenciales que contienen funciones trigonométricas inversas.

Fórmula de integración por partes

Cómo se resuelve una integral por partes

Este método consiste en identificara

u

con una parte de la integral y

dv

con el resto, con la pretensión de que al aplicar la fórmula obtenida, la integral del segundo miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria.

Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer la identificación de

dv

ésta debe contener siempre a

dx

.

Ejemplo 1: calcular



ln

x dx

Este es uno de los casos más sencillos; la integral consta de una sola función:

ln

x

Seleccionamos a

u

y

dv

de la siguiente manera:

1

1 ln

du

u

x

du

dx

x

dv

dx

dv

dx

v

x























Ahora podemos sustituir en la fórmula de integración:



u

dv



u

v





v

du

1 ln

ln

u v v du

x dx

x

dx

x

dx

x

c

x



 



_

_{ }









 



 



sen

2

x dx

Se puede resolver de dos formas distintas:

a) La identificación puede ser:

sen

du

cos

u

x

du

x dx

dx











(2)

Ahora podemos aplicar la fórmula de integración:



u

dv



u

v





v

du





 



2

sen

cos

sen

cos

x dx

x

x dx

x

x dx





 

 





Puesto que

cos

2

x

 

1 sen

2

x





2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

2

2 sen

sen

cos

sen

cos

sen

= sen

cos

sen

cos

sen

cos

sen

cos

sen

x dx

x

x dx

x

dx

x dx

x

x dx

x

x dx

x

x dx

c

 





 





 



 



 









b) Esta integral admite también la selección:

2

2 sen

du

sen cos

u

x

du

x

x dx

dx

dv

dx

dv

dx

v

x













_



_





Recordando que

sen

2 x



2 sen cos

x



du



sen

2 x dx

Ahora podemos aplicar la fórmula de integración:



u

dv



u

v





v

du





 

2 2 2

1

2

2 sen

x dx



sen

x



x

sen

x dx



x

sen

x



x

sen

x dx

...



Para resolver esta última integral nuevamente aplicamos el método:

1

2

2 sen

sen

cos

du

u

x

du

dx

dv

x dx

dv

x dx

v

x





















 

Aplicando la fórmula de integración:

 

1

2

1

2

4 sen

cos

sen

x

x dx

x

x dx

x

x dx

x











_



_



_



_

 











 





(3)

2

2 sen

cos

sen

x dx



x



x



c





Volviendo a la igualdad

 

1

2 2 2 2

2

1

2

4

1

2

4 sen

sen

=

sen

cos

sen

=

sen

cos

sen

x dx

x

x dx

x









 

_



_











No hay que dejarse engañar por la apariencia de que los resultados que se han

obtenido son distintos; en realidad son iguales. Si en la segunda expresión se sustituye:

2 2

2 cos

x



cos

x



sen

x

y

sen

2 x



2 sen cos

x

se obtiene:





2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

2

4

1

2

4

1

2

1

2

2 sen

sen

cos

sen

cos

sen

sen cos

sen

cos

sen

sen cos

=

sen

cos

sen cos

x dx

x















_



_

















2 2



 

1

2

1

2

2 =

sen

cos

sen cos

x

c

















que es el resultado que teníamos en el caso anterior.

Ejemplo 3: calcular



arc

sen

x dx

2 2

1

1 sen

du

u

arc

x

du

dx

_x

dv

dx

dv

dx

v

x

















_



_





(4)

2

1 sen

sen

arc

x dx



x arc

x





x



c







3





5

2

4

1

3

15 x

x



x dx





x





x



c



Aplicando la fórmula



u

dv



u

v





v

du

 

  

1

₂ ₂

 

1

1 sen

sen

x dx

...

arc

x dx

x arc

x

dx

x arc

x











La última integral se resuelve con cambio de variable haciendo

u



1 

x

2 porlo que la diferencial será:

du

2 x

du

2 x dx

dx

 



 

1 1 ₂ 2 2 2 2 2

2

1

2

1

2

1

2

1 x dx

x dx

du

u

u du

u

x





 



 

 







Sustituyendo este resultado en la expresión

 

1

: Ejemplo 4: calcular



x

1 

x dx





3 2

1

2

1

3 du

u

x

du

dx

dv

x dx

dv

x dx

v

x















_



_













u

dv



u

v





v

du

 

































3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 2

2

1

3

1

2

4

1

3

3 5 2

3

15

/ / / / / / / /

=

/

x

x dx

x

dx

x

dx

x

c













_



_



_



_































(5)





2 2

2

x x

x e dx



e

x



x

 

c



x e dx

2 x 2

2

x x x

du

u

x

du

x dx

dx

dv

e dx

dv

e dx

v

e



























u

dv



u

v





v

du

    



 

2 2 2

2

x

...

1

x x x x

x e dx



x

e



e

x dx



x e



x e dx



Para resolver la última integral se aplica nuevamente el método.

1

x x x

du

u

x

du

dx

dv

e dx

dv

e dx

v

e













_



_





Aplicando otra vez la fórmula



u

dv



u

v





v

du

:

 

x x x x x

x e dx



x e



e dx



x e



e



Sustituyendo este resultado en la expresión

 

1 



2 2 2 2 2

2

x x x x x x x x x x

x e dx

x e

x e dx

x e

e

x e

e

x

c













_



_









 



x

sen

x dx

1 sen

sen

cos

du

u

x

du

dx

dv

x dx

dv

x dx

v

x













_



_



 

(6)

sen

cos

sen

x

dx

 

x



x



c



2 sen

cos

sen

x x x

e

x e

x

e

dx







c



Sustituyendo en la fórmula:



u

dv



u

v





v

du

 

 







 

 









sen

cos



cos



cos

=

cos

sen

x

x dx

x

x dx

x

x dx

x

c



e

x

sen

x dx

sen

cos

x

du

x x

u

e

du

e dx

dx

dv

x dx

dv

x dx

v

x













_



_



 

Sustituyendo en la fórmula:



u

dv



u

v





v

du

 



 



sen

cos

x x x x x

e

dx



e



x

 

x e dx

 

e

x



e

x dx



Esta última integral también se resuelve por partes: Considerando nuevamente que

cos

sen

x

du

x x

u

e

du

e dx

dx

dv

x dx

dv

x dx

v

x























Por lo que:

2

2 sen

cos

sen

cos

sen

cos

sen

cos

sen

x x x x x x x x x x x x x x x x

e

dx

e

x

e

x dx

e

x

e

x

e

x dx

e

dx

e

x dx

e

x

e

x

e

x e

x

e

dx

e

x e

x

e

dx

c

 



 







 

















(7)

Ejercicios

Compruebe los resultados de las integrales que se presentan a continuación:

1.

4

2

2 sen

cos

sen

x







c



2.

1

5

25

5

5 





x

cos

x dx

co

s

x

sen

x

c

3.

x

s c

e

2

x

dx

x

tg

x

ln co

s

x

c

4. 2

1

2

1

6

1

6

4

1

72

3

2 se

n

x

sen

c s

o

x

x d

x





x



x



c



5. 2 2

2

4

2

2 c

2

2 sen

os

x

sen

cos

x

x dx





x



x



c



6.

 

2

1

2

2 ₂

2 























x x

_ln

x

dx

x

c

7. 4 3

1

4

4 

_{ }















x

ln

x

dx

x

ln

x

c

8.

1 

1

2



2 









arc tg

x

dx

x

arc tg

x

ln

x

c

9.

1 

1

2



2 









arc ctg

x d

x

arc ctg

x

ln

x

c

10.

2

1 1 4

2

2 







arc co

s

x d

x

arc c

o

s

x

c

11.



a c e

r

s c x d

x



x

arc e

s c x



l

n



x



x

2



1





c

12.



2



2 

2 



4 



arccsc

x

d

x

arc cs

c

x

ln

x

c

13. 2

1

2

2 



 



x

arc tg

x d

x

arc t

g

x

c

14.



arc tg

x

d

x





x



1 

arctg

x



x



c

(8)

16.





2 





x

cos

s

en

cos

x

e

x

e

x x

d

x

c

17.





2



1 

1

1 











ln

x d

x

ln

x

ln

x

c

x

18. 2 2 3 2

2

1

3

9 











x

ar

csen

x dx

x

arc

sen

x

c

19.





2

1

1 





x e

x

_x

d

x

e

x

_x

c

20. 3

1

1 



2 e

tg

2 ln

e

tg

e

s c x

x

s c x

s c x d

x





x



c



(9)

UNIVERSIDAD DEL MAR

MATEMÁTICAS I

ALUMNO: ___________________________________________________

SERIE #

20

Resolver la las integrales que se indican a continuación por el método de integración por partes: 1.