Matemáticas
Nivel Medio
Matemáticas
Ap.CC.SS.I
Martes, 25 de enero de 2018 1 hora y 15 minutos. NOMBRE CALIFICACIÓN APELLIDOS 1. Considere el desarrollo de ( 𝑥2 − 𝑥 2 ) 10 ,(a) Escriba el número de términos y el grado máximo que tiene el desarrollo. (0´5 puntos) (b) Halle el coeficiente correspondiente a 𝑥11. (0´5 puntos) 2. Calcula cuántos meses deben pasar para que un cierto dinero se cuadruplique al ingresarlo en un
depósito al 7´5 % de interés simple mensual. (1 punto) 3. Uno de los términos del desarrollo de ( 2𝑥 + 𝑝 )6 es 60𝑥4. Halle los posibles valores de p. (1 punto) 4. Calcula el número de años que debo tener un montante de 2500 € al 1´5 % de interés compuesto anual
para obtener un interés de 1 000 €. (1 punto) 5. Resuelve las siguientes cuestiones independientes,
a) Divide 𝑃(𝑥) = 6𝑥5− 2𝑥 − 5𝑥3− 𝑥4− 5 entre 𝑄(𝑥) = 𝑥2+ 3 − 2𝑥3 (0´75 puntos) b) Calcula, todos los valores de “m” en el polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑚𝑥2+ (𝑚2− 2)𝑥 + 2𝑚2 para que al dividirlo entre Q(𝑥) = 𝑥 + 1 de resto 4. (1 punto) 6. Factoriza el polinomio 𝑀(𝑥) = 8𝑥3 + 4𝑥2 − 10𝑥 + 3 en producto de irreducibles. (1 punto) 7. Calcula el M.c.d. y el m.c.m. de los polinomios,𝑀(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 𝑦 𝑁(𝑥) = 𝑥3 − 4x (1 punto) 8. He firmado un crédito de 35 000 € para abrir un negocio con las siguientes condiciones: los pagos serán
mensuales a un 6 % durante los próximos 10 años. ¿A cuánto ascenderá cada mensualidad del crédito a pagar?, ¿cuánto estaré pagando de más por la apertura del negocio? (0´5 + 0´25 puntos)
9. Un producto cuesta actualmente 20´95 € después de una primera rebaja en su precio original del 5 %, una subida del precio del 2 %; y una última bajada de precio del 6 %. Calcula el índice de
variación que ha sufrido el producto desde su precio original hasta su precio final y calcula el precio de origen de dicho producto. (0´25 + 0´25 puntos) 10. Calcula las raíces del polinomio 𝑃(𝑥) = 63𝑥3+ 8𝑥6− 8 (1 punto)
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SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CONTROL Nº 5 DE 1º MATEMÁTICAS N.M.
1. Considere el desarrollo de ( 𝒙𝟐− 𝟐
𝒙 ) 𝟏𝟎
,
(a) Escriba el número de términos y el grado máximo que tiene el desarrollo. (0´5 puntos) (b) Halle el coeficiente correspondiente a 𝒙𝟏𝟏. (0´5 puntos) Solución.
(a) Escriba el número de términos y el grado máximo que tiene el desarrollo. (0´5 puntos) El binomio de Newton es,
( 𝑥2 − 2 𝑥 ) 10 = ∑ (−1)𝑘· ( 10 𝑘 ) · (𝑥2)10−𝑘· ( 2 𝑥 ) 𝑘 10 𝑘 = 0
Puesto que damos valores a k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , entonces habrá 11 términos. Además, el grado máximo dependerá de los grados de cada monomio. Investigamos las partes literales de cada monomio, Monomios (𝑥2)10· ( 2 𝑥 ) 0 (𝑥2)9· ( 2 𝑥 ) 1 (𝑥2)8· ( 2 𝑥 ) 2 (𝑥2)7· ( 2 𝑥 ) 3 (𝑥2)6· ( 2 𝑥 ) 4 (𝑥2)5· ( 2 𝑥 ) 5 𝑥20· 20 𝑥0 = 20𝑥20 𝑥18· 21 𝑥1 = 21𝑥17 𝑥16· 22 𝑥2 = 22𝑥14 𝑥14· 23 𝑥3 = 23𝑥11 𝑥12· 24 𝑥4 = 24𝑥8 𝑥10· 25 𝑥5 = 25𝑥5 Monomios (𝑥2)4· ( 2 𝑥 ) 6 (𝑥2)3· ( 2 𝑥 ) 7 (𝑥2)2· ( 2 𝑥 ) 8 (𝑥2)1· ( 2 𝑥 ) 9 (𝑥2)0· ( 2 𝑥 ) 10 𝑥8· 26 𝑥6 = 26𝑥2 𝑥6· 27 𝑥7 = 27 𝑥 𝑥4· 28 𝑥8 = 28 𝑥4 𝑥2· 29 𝑥9 = 29 𝑥7 1 · 210 𝑥10 = 1
Por lo tanto, el grado máximo de los monomios es 20.
(b) Halle el coeficiente correspondiente a 𝒙𝟏𝟏. (0´5 puntos) Según el apartado anterior, el monomio de grado 11 es el que se obtiene para 𝑘 = 3,
(−1)7· ( 10 3 ) · (𝑥2)7· ( 2 𝑥 ) 3 = − 10! 3! · (10 − 3)!· 𝑥14· 23 𝑥3 = − 10! 3! · 7!· 𝑥14· 23 𝑥3 = = −10 · 9 · 8 · 7! 3! · 7! · 23𝑥11 = − 10 · 9 · 8 3 · 2 · 1 · 8𝑥11= −120 · 8𝑥11 = −960𝑥11
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2. Calcula cuántos meses deben pasar para que un cierto dinero se cuadruplique al ingresarlo en un depósito al 7´5 % de interés simple mensual. (1 punto)
Solución. Puesto que el capital inicial es CI = x y queremos que se cuadruplique CF = 4x, entonces los intereses son
𝐼 = 𝐶𝐹− 𝐶𝐼 = 4𝑥 – 𝑥 = 3𝑥,
Con un rédito mensual del 4´5 %, entonces, aplicando la fórmula del interés simple mensual tendremos que, 𝐼 = 𝐶 · 𝑟 · 𝑡 1200 ⇔ 3𝑥 = 𝑥 · 7´5 · 𝑡 1200 ⇔ 3𝑥 · 1200 𝑥 · 7´5 = 𝑡 ⇔ 𝑡 = 3600 7´5 = 480 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
Por lo tanto, tendrán que pasar 480 meses.
3. Uno de los términos del desarrollo de ( 𝟐𝒙 + 𝒑 )𝟔 es 𝟔𝟎𝒙𝟒. Halle los posibles valores de p. (1 punto)
Solución. El binomio de Newton del enunciado tiene el siguiente desarrollo,
( 2𝑥 + 𝑝 )6 = ∑ ( 6
𝑘 ) · (2𝑥)6−𝑘· 𝑝𝑘
6
𝑘 = 0
Puesto que damos valores a k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} , el monomio de grado 4 será para k = 2,
( 62 ) · (2𝑥)6−2· 𝑝2 = 6! 2! · (6 − 2)!· 24· 𝑥4· 𝑝2 = 6! 2! · 4!· 16 · 𝑥4· 𝑝2 = = 6 · 5 · 4! 2 · 1 · 4!· 16 · 𝑥4 · 𝑝2 = 6 · 5 2 · 1· 16 · 𝑥4 · 𝑝2 = 15 · 16 · 𝑥4· 𝑝2 = 240 · 𝑝2· 𝑥4
Puesto que el coeficiente de grado 4 es 60 entonces,
60 · 𝑥4 = 240 · 𝑝2· 𝑥4 ⇔ 60 = 240 · 𝑝2 ⇔ 60 240= 𝑝2 ⇔ ⇔ 1 4= 𝑝2 ⇔ ± √ 1 4 = 𝑝 ⇔ ± 1 2 = 𝑝 Por lo tanto, p = ½ o p = – ½ .
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4. Calcula el número de años que debo tener un montante de 2 500 € al 1´5 % de interés compuesto anual para obtener un interés de 1 000 €. (1 punto)
Solución. Se trata de un interés compuesto. Los datos que nos facilitan son CI = 2 500 €, y el capital final,
𝐶𝐹 = 𝐶𝐼 + 𝐼 = 2 500 € + 1 000 € = 3 500 €
Puesto que el rédito r = 1´5 % y se nos pide t, utilizando la fórmula del interés compuesto tendremos que, 𝐶𝐹 = 𝐶𝐹· (1 + 𝑟 100) 𝑡 ⇔ 3 500 = 2 500 · (1 + 1´5 100) 𝑡 ⇔ ⇔ 3 500 2 500= (1´015)𝑡 ⇔ 1´4 = (1´015)𝑡
Tomamos logaritmos decimales y despejamos t,
log(1´4) = 𝑙𝑜𝑔(1´015)𝑡 ⇔ log(1´4) = 𝑡 · log(1´015) ⇔
⇔ log(1´4)
log(1´015) = 𝑡 ⇔ 𝑡 ≈ 22´6 𝑎ñ𝑜𝑠
Por lo tanto, para que 2 500 € reviertan unos intereses de 1 000 € mediante interés compuestos al 1´5 % anual hay que tenerlos 22´6 años.
5. Resuelve las siguientes cuestiones independientes,
a) Divide 𝑷(𝒙) = 𝟔𝒙𝟓− 𝟐𝒙 − 𝟓𝒙𝟑− 𝒙𝟒− 𝟓 entre 𝑸(𝒙) = 𝒙𝟐+ 𝟑 − 𝟐𝒙𝟑 (0´75 puntos)
Entonces el cociente es 𝒄(𝒙) = −𝟑𝒙𝟐− 𝒙 + 𝟐 y el resto es 𝒓(𝒙) = 𝟕𝒙𝟐+ 𝒙 − 𝟏𝟏.
b) Calcula, todos los valores de “m” en el polinomio 𝑷(𝒙) = 𝒎𝒙𝟐+ (𝒎𝟐− 𝟐)𝒙 + 𝟐𝒎𝟐 para que al dividirlo entre Q(𝒙) = 𝒙 + 𝟏 de resto 4. (1 punto) El teorema del resto dice que el resto de dividir un polinomio P(x) entre (x – a) es P(a). Por lo tanto, para calcular el resto sustituimos x = – 1 en el polinomio P(x).
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Puesto que el resto es r = 4, hacemos P(– 1) = 4 y entonces
𝑚2+ 𝑚 + 2 = 4 ⇔ 𝑚2 + 𝑚 − 2 = 0
y resolvemos el valor de m mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado,
𝑚2+ 𝑚 − 2 = 0 𝑚 = −1 ± √ 12− 4 · 1 · (−2) 2 · 1 = −1 ± √ 1 + 8 2 = −1 ± √ 9 2 = −1 ± 3 2 = { 𝑚1 = −1 + 3 2 = 2 2 = 1 𝑚2 = −1 − 3 2 = −4 2 = −2
Por lo tanto, los valores buscados son m = 1 y m = – 2.
6. Factoriza el siguiente polinomio en producto de irreducibles, (1 punto)
𝑴(𝒙) = 𝟖𝒙𝟑+ 𝟒𝒙𝟐− 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑
Solución. Calculamos una de sus raíz buscando entre los divisores del término independiente dividido entre los divisores del coeficiente principal.
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠(3) 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠(8)=
±1, ±3 ± 1 , ±2 , ±4 , ±8
Aplicamos el método de Ruffini con 1/2 ,
Por lo tanto, una raíz del polinomio es x = ½.
Investigamos si hay más raíces resolviendo la ecuación resultante de igualar el cociente a cero,
8𝑥2 + 8𝑥 − 6 = 0 8𝑥2 + 8𝑥 − 6 = 0 ⇔ 4𝑥2+ 4𝑥 − 3 = 0 ⇔ 𝑥 =−4 ± √ 42 − 4 · 4 · (−3) 2 · 4 = = −4 ± √16 + 48 8 = −4 ± √ 64 8 = −4 ± 8 8 = { 𝑥1 =−4 + 8 8 = 4 8 = 1 2 𝑥2 = −4 − 8 8 = −12 8 = − 3 2
En Consecuencia, las raíces del polinomio serán x = ½ de multiplicidad 2 y x = – ¾. La factorización en irreducibles del polinomio será, 𝑀(𝑥) = 8 · ( 𝑥 − 1 2 )
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7. Calcula el M.c.d. y el m.c.m. de los polinomios, (1 punto)
𝑴(𝒙) = 𝒙𝟑− 𝟐𝒙𝟐 𝑵(𝒙) = 𝒙𝟑− 𝟒𝐱
Solución. Factorizamos ambos polinomios,
𝑀(𝑥) = 𝑥3− 2𝑥2 = 𝑥2 · (𝑥 − 2) ; 𝑁(𝑥) = 𝑥3 − 4x = x · (𝑥2− 4) = 𝑥 · (𝑥 + 2) · (𝑥 − 2)
Calculamos el M.c.d. de 𝑀(𝑥) 𝑦 𝑁(𝑥) tomando los factores irreducibles comunes al menor exponente,
𝑀. 𝑐. 𝑑. (𝑀(𝑥), 𝑁(𝑥)) = x · (x − 2) = 𝑥2− 2𝑥
Calculamos el m.c.m. de 𝑀(𝑥) 𝑦 𝑁(𝑥) tomando los factores irreducibles comunes y no comunes al mayor exponente,
𝑚. 𝑐. 𝑚. (𝑀(𝑥), 𝑁(𝑥)) = x2· (x + 2) · (x − 2) = 𝑥2 · (𝑥2− 4) = 𝑥4− 4𝑥2
8. He firmado un crédito de 35 000 € para abrir un negocio con las siguientes condiciones: el Pagos mensuales a un 6 % durante los próximos 10 años. ¿A cuánto asciende cada mensualidad del crédito a pagar?, ¿cuánto estamos pagando de más por la apertura del negocio? (0´5+0´25 puntos)
Solución. Se trata de un problema de anualidad de amortización. Los datos que nos facilitan son C = 3500 €, t = 10, r = 6 % con k = 12. Se nos pide primeramente la mensualidad. Utilizando la
fórmula de las anualidades de amortización,
𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝐶𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎· 𝑟 𝑘 · 100 · (1 +𝑘 · 100)𝑟 𝑘·𝑡 (1 +𝑘 · 100)𝑟 𝑘·𝑡 − 1 obtenemos: 𝐶 = 35 000 · 6 12 · 100 · (1 +12 · 100)6 12·10 (1 +12 · 100)6 12·10− 1 = 35 000 · 6 1200 · (1 +1200)6 120 (1 +1200)6 120− 1 = 35000 ·0´005 · (1´005) 120 (1´005)120− 1 = 388´57 €
La mensualidad será entonces de 388´57 €. Por lo tanto, si queremos saber cuánto pagaremos de más respecto al crédito concedido, haremos:
388´57 · 10 · 12 = 46 628´4 €
Y restamos:
46 628´4 € – 35 000 € = 11 628´4 €
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9. Un producto cuesta actualmente 20´95 € después de una primera rebaja en su precio original del 5 %, una subida del precio del 2 %; y una última bajada de precio del 6 %. Calcula el índice
de variación que ha sufrido el producto desde el su precio original hasta su precio final y calcula el precio de origen de dicho producto. (0´25 + 0´25 puntos)
Solución. Calculamos el Índice de Variación total multiplicando los índices de Variación de cada descuento o subida,
0´95 · 1´02 · 0´94 = 0´91086
Calculamos el precio inicial sabiendo que
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 · 𝐼. 𝑉. = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
En ese caso,
𝑥 · 0´91086 = 20´95
Por lo tanto, despejamos “x” y obtenemos el precio original,
𝑥 = 20´95
0´96726= 23 €
10. Calcula las raíces del polinomio 𝑷(𝒙) = 63𝑥3+ 8𝑥6 − 8 (1 punto) Resolvemos la ecuación,
8𝑥6+ 63𝑥3− 8 = 0
Se trata de una ecuación bicuadrada en la que haremos el cambio de variable, 𝑡 = 𝑥3
8𝑥6+ 63𝑥3− 8 = 0 ⇔ 8𝑥𝑡2 + 63𝑡 − 8 = 0
Resolvemos mediante la fórmula general de resolución de la ecuación de ecuación de segundo grado,
𝑡 =−𝑏 ± √𝑏2− 4𝑎𝑐 2𝑎 = −63 ± √ 632− 4 · 8 · (−8) 2 · 8 = −63 ± √3969 + 256 16 = = −63 ± √4225 16 = −63 ± 65 16 = { 𝑡1 = −63 + 65 16 = 2 16= 1 8 𝑡2 = −63 − 65 16 = −128 16 = −8
Deshacemos el cambio de variable,
Si 𝑡 = 8 1, como 𝑡 = 𝑥3,entonces 𝑥3 = 8 1 ⇔ 𝑥 = √ 3 1 8 = 2 1 Si 𝑡 = −8, como 𝑡 = 𝑥3,entonces 𝑥3 = −8 ⇔ 𝑥 = √−8 3 = −2 Por lo tanto, las raíces son, 𝑥 = −2 𝑦 𝑥 = ½.
