¿Listo para seguir? Intervención de destrezas
Mínimo común múltiplo
5-1
LECCÍON
El número mínimo que es un múltiplo de dos o más números es el mínimo común múltiplo (mcm).
Aplicación para el consumidor
Los bates plásticos de béisbol se venden en paquetes de 4, y las
pelotas plásticas de béisbol se venden en paquetes de 8. Un entrenador quiere darle a cada uno de sus 32 jugadores un bate y una pelota. ¿Cuál es el número mínimo de paquetes de bates y pelotas que debe comprar para que no sobren ni bates ni pelotas?
En el siguiente espacio, dibuja bates de béisbol en grupos de 4. Dibuja pelotas de béisbol en grupos de 8. Detente cuando hayas dibujado 32 de cada uno.
¿Cuántos grupos de bates de béisbol dibujaste? ¿Cuántos grupos de pelotas de béisbol dibujaste?
El entrenador debe comprar de bates y
de pelotas de béisbol.
Usar múltiplos para hallar el mcm
Halla el mínimo común múltiplo (mcm).
A. Usa una lista para hallar el mcm de 2, 4 y 7.
Haz una lista de los múltiplos de 2, 4 y 7.
2: 2, , , 8, , , 14, , , , 22, , , 28, 30, . . .
4: , 8, , 16, , , , 32, . . .
7: , 14, 21, , , . . .
¿Cuál es el número menor que está en todas las listas? ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 2, 4 y 7?
B. Usa la factorización prima para hallar el mcm de 4 y 6.
Completa la factorización prima de cada número.
4 2 • Alinea los factores comunes.
6 2 •
• • Multiplica los factores comunes para hallar el mcm.
➝ ➝ ➝ Vocabulario mínimo común múltiplo (mcm)
Los múltiplos y los factores están muy relacionados. Si 12 es múltiplo de 4, entonces 4 es un factor de 12. Puedes usar esa idea para resolver problemas.
Ray calculó que el mínimo común múltiplo de dos números es 144. Uno de los números es 36. ¿Cuánto es lo mínimo que puede valer el otro número?
Comprende el problema
1. Sea x la respuesta. Completa los espacios en blanco para
volver a enunciar el problema.
es el mcm de y x.
¿Cuál es el valor mínimo posible de ?
2. ¿Por qué x debe ser un factor de 144?
Haz un plan
3. Si usas calcular y comprobar para resolver el problema,
¿comenzarías calculando valores bajos para x o valores altos para x? ¿Por qué?
Resuelve
4. ¿Cuáles son los factores de 144?
5. ¿Cuál es el mcm de 2 y 36? ¿Y de 3 y 36? ¿Y de 4 y 36?
¿x se corresponde con 2, 3 ó 4? Explica.
6. Sigue intentando con distintos factores de 144 para el valor
de x. ¿Cuál es el mínimo valor que funciona?
Comprueba
7. ¿Tu respuesta cumple todas las condiciones del problema? Explica.
¿Listo para seguir? Intervención de resolución
de problemas
Mínimo común múltiplo
5-1
¿Listo para seguir? Intervención de destrezas
Cómo sumar y restar con denominadores distintos
5-2
LECCÍON
Las fracciones distintas tienen distintos denominadores. Para sumar o restar fracciones distintas, primero vuelve a escribirlas como fracciones equivalentes con un común denominador. Puedes usar cualquier denominador común o el mínimo
común denominador (mcd) para sumar y restar fracciones
distintas. El mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Aplicación a la economía doméstica
Laura prepara enchiladas de pollo con una receta que lleva
34de lata de pollo en trozos. Si ha cortado 12de taza de pollo, ¿cuánto pollo más necesita cortar?
Resta 12de 34.
3
4 1
2 Razona: ¿Es 4 múltiplo de 2? Por lo tanto, el mcd es .
34➝ Halla fracciones equivalentes usando el común denominador.
12➝
Resta los numeradores. Conserva el común denominador.
Laura necesita cortar de taza más de pollo.
Sumar fracciones distintas
Suma. Escribe la respuesta en su mínima expresión.
3816 Usa el método del mcd.
3816 ¿Cuál es el mcd de los denominadores?
Escribe fracciones equivalentes.
Suma los numeradores. Conserva el común denominador.
¿Está tu respuesta en su mínima expresión?
Vocabulario
mínimo común denominador (mcd)
En una elección escolar, Ashley obtuvo 13de los votos, Bob obtuvo 41, Candace obtuvo 15y Dee obtuvo 16. Ed obtuvo el resto de los votos. ¿Qué fracción de los votos obtuvo Ed?
Comprende el problema
1. ¿Qué cantidad se te pide que halles?
2. ¿Cuánto sumarán en total las 5 fracciones para los 5
candidatos? ¿Por qué?
Haz un plan
3. Si supieras la suma de las fracciones de los otros 4 candidatos,
¿cómo podrías hallar la fracción que representa los votos de Ed? Explica.
Resuelve
4. ¿Cuál es la suma de las cuatro fracciones que se dan en el problema?
5. ¿Qué fracción de los votos obtuvo Ed? Comprueba
6. Supongamos que votaron 120 estudiantes. Demuestra que los
votos para cada candidato suman 120 en total.
13• 120 14• 120 15• 120
16• 120 • 120
¿Listo para seguir? Intervención de resolución
de problemas
Cómo sumar y restar con denominadores distintos
5-2
Sumar y restar números mixtos
Halla cada suma o diferencia. Escribe la respuesta en su mínima expresión.
A. 325 227
325➝ 3 Multiplica los denominadores. 5 •
227➝ 2 Escribe fracciones equivalentes usando el mcd de .
Suma las fracciones y luego los números cabales.
B. 756 314
756➝ 7 ¿Cuál es el mcd de los denominadores?
314➝ 3 Escribe fracciones equivalentes usando el mcd.
Resta las fracciones y luego los números cabales.
Aplicación al tiempo
Allan estudió 279horas el miércoles y 1152horas el jueves. ¿Cuántas más horas estudió Allan el miércoles que el jueves? Resta 1152de 2 79.
279 ➝ 2 ¿Cuál es le mcd?
1152➝1 Escribe fracciones equivalentes usando el mcd.
Resta las fracciones y luego los números cabales.
Allan estudió más horas el miércoles que el jueves.
¿Listo para seguir? Intervención de destrezas
Cómo sumar y restar números mixtos
5-3
Reagrupar números mixtos
Resta. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.
A. 515235
515➝ 45 Vuelve a escribir 515como 4 54 5 5.
235➝ 25 ¿Son iguales los denominadores?
5 Resta las fracciones y luego los números cabales.
B. 9 317
9 ➝ 8 Vuelve a escribir 9 como 8 8 .
317➝ 317 ¿Cuál es el común denominador?
Resta las fracciones y luego los números cabales.
Aplicación a las mediciones
Adam Rainer tiene el récord mundial de estatura más variable. A los 21 años medía 31121pies de estatura. Luego comenzó a crecer rápidamente y, a los 32 años, medía 716pies de estatura. ¿Cuántos pies creció Adam entre los 21 y los 32 años de edad?
71631121 ¿Es 12 un múltiplo de 6? Por lo tanto, es el mcd.
7122➝ Vuelve a escribir 7122como 6 16 .
31121➝ 3
Resta las fracciones y luego los números cabales.
Simplifica.
Adam creció pies entre los 21 y los 32 años.
¿Listo para seguir? Intervención de destrezas
Cómo reagrupar para restar números mixtos
5-4
¿Listo para seguir? Intervención de resolución
de problemas
Cómo reagrupar para restar números mixtos
5-4
LECCÍON
Cuando restas números cercanos, puedes pensar qué distancia los separa sobre una recta numérica.
Tienes un cable que mide 32136 pulgadas de largo. Si usas un trozo de cable que mide 2958pulgadas, ¿cuánto te quedará?
Comprende el problema
1. Haz y rotula un diagrama para demostrar lo que sabes. Haz un plan
2. Sea x la longitud restante. Escribe una ecuación con
restas que podrías resolver para hallar x.
3. Piensa en estos números mixtos sobre una recta
numérica. Escribe una ecuación con sumas que podrías resolver para hallar x.
4. ¿Cómo puedes hallar x mentalmente dividiendo la distancia en
3 partes?
Resuelve
5. Completa los espacios en blanco para poder hallar x. 6. Suma para hallar x.
2958 30
30 32
32 32136
Comprueba
7. Suma tu respuesta a 2958 para ver si obtienes 32136.
29 29 30 31 32 33 5 8 32 3 16 x
Resolver ecuaciones con sumas y restas
Resuelve cada ecuación. Escribe la solución en su mínima expresión.
A. h 53414
h 534 14 Cancela la suma para que h quede sola.
h 13 534 ¿Cómo volverás a escribir 14?
h Resta.
B. 313t 116
313 t 116 Cancela la resta.
3 t ¿Cuál es el común denominador de 3 y 6?
6 t Suma. Simplifica tu respuesta.
Aplicación a las mediciones
Alexander usó 327onzas de queso para su sándwich. Cuando terminó, el trozo de queso pesaba 847onzas. ¿Cuánto pesaba el trozo de queso antes de que Alexander hiciera su sándwich?
w 327847 Sea w el peso original del trozo de queso.
¿Qué sumarás a ambos lados para cancelar la resta?
w
El trozo de queso pesaba onzas antes de que Alexander hiciera su sándwich.
¿Listo para seguir? Intervención de destrezas
Cómo resolver ecuaciones con fracciones: la suma y la resta
5-5
¿Listo para seguir? Intervención de resolución
de problemas
Cómo resolver ecuaciones con fracciones: la suma y la resta
5-5
LECCÍON
Puedes usar más de una ecuación para resolver un problema. Scott mezcló 4 clases de jugos de fruta y preparó
suficiente cantidad de refresco para 15 porciones
equivalentes a media taza. ¿Cuánto jugo de mango usó?
Comprende el problema
1. ¿Cuántas medias tazas deben sumar los 4 jugos?
Haz un plan
2. Sea p el número total de tazas de refresco y m el número de tazas
de jugo de mango. Escribe una ecuación que relacione m con p.
3. Escribe una ecuación para demostrar que p corresponde
a 15 porciones equivalentes a media taza.
Resuelve
4. Usa tu ecuación del Ejercicio 3 para hallar p.
5. Sustituye ese valor de p en la ecuación del Ejercicio 2. Halla m.
¿Cuántas tazas de jugo de mango usó Scott?
Comprueba
6. ¿Tus valores para p y m se corresponden con la ecuación
del Ejercicio 2?
Naranja 214tazas Papaya 134tazas Guayaba 234tazas
5-1 Mínimo común múltiplo
Halla el mínimo común múltiplo.
1. 3 y 5 2. 4 y 12 3. 8 y 6
4. 6 y 9 5. 12 y 8 6. 9 y 7
7. En un partido de fútbol americano, los Bobcats anotaron
todos los touchdowns, que valen 7 puntos cada uno. Los Crocodiles anotaron todos los goles de campo, que valen 3 puntos cada uno. Ninguno de los dos equipos quedó sin anotar. El resultado final del partido fue el empate más bajo posible dadas estas condiciones. ¿Cuántos puntos anotó cada equipo?
5-2 Cómo sumar y restar con denominadores distintos
Suma o resta. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.
8. 16172 9. 1216 47 10. 8935
11. 5618 12. 5715 13. 2916
14. Wilma debe agregar 21 taza de leche a una tanda de puré.
Ya agregó 13de taza. ¿Cuánta leche más necesita agregar?
5-3 Cómo sumar y restar números mixtos
Suma o resta. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.
15. 2172316 16. 6352145 17. 54711134
18. 7190325 19. 456349 20. 5956172
¿Listo para seguir? Prueba
5A
5-3 Cómo sumar y restar números mixtos (continuación)
21. Para practicar para una prueba de atletismo, Rafael corrió 313
millas el sábado y 612millas el domingo. ¿Cuántas millas corrió?
5-4 Cómo reagrupar para restar números mixtos
Resta. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.
22. 214158 23. 55631121
24. 8134 237 25. 916479
26. 758456 27. 4118 129
28. Annette necesita 816yardas de hilo para tejer una bufanda.
Tiene 414yardas. ¿Cuántas yardas más necesita?
5-5 Cómo resolver ecuaciones con fracciones: la suma y la resta
Resuelve cada ecuación. Escribe la solución en su mínima expresión.
29. x3168 30. z2235
31. 678m 412 32. g556238
33. 916h 134 34. c117022390
35. Catarina trabaja un turno de 512horas en una tienda de
comestibles. Ya trabajó 135horas. Escribe y resuelve una ecuación para hallar cuánto tiempo más trabajará Catarina.
¿Listo para seguir? Prueba
(continuación)5A
Resuelve el siguiente ejercicio parecido a un crucigrama, usando las pistas horizontales y verticales que se dan al final de la página. Escribe todas las respuestas como fracciones propias e impropias. No uses números mixtos. Escribe los numeradores en las casillas vacías arriba o a la izquierda de la barra de fracciones, un dígito por casilla. Escribe los denominadores en las casillas vacías debajo o a la derecha de la barra de fracciones, un dígito por casilla. No escribas nada en las casillas que tienen las barras de fracciones. La primera está hecha.
Horizontales 1. 211012 3. 1121 34 4. 23241 6. 223116 7. 1614 10. 1617 12.16112 14. 135112 15. 256923 Verticales 1. 2321 2. 382141 3. 113523 5. 1215 6. 2112113 8. 156323 42 11 5 1 1 5 3 1 3 7 8 9 13 15 12 14 2 4 5 10 6 11
1
3
5
6
1
5
1
2
4
1
1
1
5
2
2
3
0
6
7
3
4
2
3
2
1
0
¿Listo para seguir? Enriquecimiento
Fracciones cruzadas
5A
Puedes multiplicar una fracción por un número cabal volviendo a escribir el problema como suma repetida. También puedes multiplicar volviendo a escribir el número cabal como fracción con denominador 1 y luego multiplicar los numeradores y multiplicar los denominadores.
Multiplicar fracciones y números cabales
Multiplica. Escribe tu respuesta en su mínima expresión.
7 • 128 Vuelve a escribir 7 como
• 128128 128 128 128 128 128 128 Vuelve a escribir el problema como suma repetida.
Suma los .
Escribe el producto en su
mínima expresión.
Evaluar expresiones con fracciones
Evalúa 4x para x35. Escribe tu respuesta en su mínima expresión.
4 • ¿Con qué fracción sustituirás x en la expresión?
4• 35353535152 Vuelve a escribir el problema como suma repetida.
5 Escribe la fracción impropia como número mixto.
Aplicación
Caleb plantó 48 vegetales. De esos vegetales, 23eran zanahorias. ¿Cuántas zanahorias plantó Caleb?
¿Qué operación realizas para hallar 23de 48?
2• 48 2 • 48 Establece el problema de multiplicación. Vuelve a escribir 48 como fracción.
Multiplica las fracciones.
Divide.
3
¿Listo para seguir? Intervención de destrezas
Cómo multiplicar fracciones por números cabales
5-6
¿Qué contiene más nueces: 2 libras de mezcla de nueces ó 3 libras de mezcla de manzanas? ¿Cuánta cantidad más?
Comprende el problema
1. ¿Qué fracción de la mezcla de nueces forman las nueces?
¿Y de la mezcla de manzanas?
2. ¿Cuántas onzas hay en 1 libra? ¿En 2 libras? ¿En 3 libras?
Haz un plan
3. ¿Qué números puedes multiplicar para hallar la cantidad de
onzas de nueces que hay en 2 libras de mezcla de nueces? ¿En 3 libras de mezcla de manzanas?
Resuelve
4. ¿Cuántas onzas de nueces hay en 2 libras de mezcla de nueces? ¿En 3 libras de
mezcla de manzanas?
5. ¿Qué contiene más nueces:, 2 libras de mezcla de nueces ó 3 libras de mezcla de
manzanas? ¿Cuánta cantidad más?
Comprueba
6. Estima para ver si tu respuesta es razonable.
1 15Semillas de calabaza Pasas 1 3 Nueces Mezcla de nueces 3 5 Semillas de calabaza Nueces 3 8 1 8 Manzanas secas Mezcla de manzanas 1 2
¿Listo para seguir? Intervención
de resolución de problemas
Cómo multiplicar fracciones por números cabales
5-6
Multiplicar fracciones
Multiplica. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.
A.15• 57
15• 5715•• ¿Por qué número multiplicarás 1? ¿Por qué número multiplicarás 5?
¿Cuál es el mcd del numerador y el denominador?
Usa el mcd para escribir tu respuesta en su mínima expresión.
B.78• 45
• 7 •• 5 Halla el mcd y simplifica las fracciones antes de multiplicar. 72•• ¿Por qué número multiplicarás 7? ¿Por qué número multiplicarás 2?
¿Está tu respuesta en su mínima expresión?
Evaluar expresiones con fracciones
Evalúa la expresión k • 15para el valor de k 23. Escribe la respuesta en su mínima expresión.
k • 15
• 15 ¿Con qué fracción sustituirás k en la expresión?
••15 Multiplica. ¿Está tu respuesta en su mínima expresión?
4
5
7
8
¿Listo para seguir? Intervención de destrezas
Cómo multiplicar fracciones
5-7
Multiplicar fracciones y números mixtos
Multiplica. Escribe la respuesta en su mínima expresión.
56• 215
56• Escribe 215como fracción impropia.
Halla el mcd y simplifica las fracciones antes de multiplicar. 6••11 Escribe el problema de multiplicación simplificado.
Multiplica los numeradores y los denominadores.
1 Escribe la fracción impropia como número mixto.
Multiplicar números mixtos
Halla el producto. Escribe la respuesta en su mínima expresión. 213• 115
3• 5 Cambia 213y 115a .
3•• 5 Escribe el problema de multiplicación simplificado.
Multiplica.
2 Cambia la fracción impropia a número mixto.
5 Simplifica.
5 • 11
6 •
¿Listo para seguir? Intervención de destrezas
Cómo multiplicar números mixtos
5-8
Los recíprocos te sirven para dividir entre fracciones. Dos números son recíprocos si su producto es 1.
Hallar recíprocos
Halla el recíproco. 214
2144 ¿Cómo cambiarás 214a fracción impropia?
4• ? 1 Razona: 4de qué número es 1?
4• 1 Multiplica.
El recíproco de 214ó 4es .
Usar recíprocos para dividir fracciones y números mixtos
Divide. Escribe la respuesta en su mínima expresión. 214138
21413848 Escribe los números mixtos como fracciones impropias.
¿Cuál es el recíproco de 181?
4• Vuelve a escribir el problema como problema de multiplicación.
Halla el mcd. Simplifica las fracciones antes de multiplicar.
Multiplica los y los denominadores.
1 Escribe la fracción impropia como número mixto.
¿Está tu respuesta en su mínima expresión?
9 •
• 11
¿Listo para seguir? Intervención de destrezas
Cómo dividir fracciones y números mixtos
5-9
Resolver ecuaciones con multiplicación y división
Resuelve la ecuación. Escribe la respuesta en su mínima expresión.
3
4k 12
3
4k 12 Halla k.
34k 12 ¿Entre qué fracción dividirás ambos lados de la ecuación?
34k • 12 • ¿Cuál es el recíproco de 34?
k 12 • 112•• Multiplica.
k ó ¿Está tu respuesta en su mínima expresión?
Aplicación al dinero
Verónica hace trabajos de jardinería durante 57de una hora y gana $10. ¿Cuál es su paga por hora por los trabajos de jardinería? ¿Qué representará la respuesta?
Escribe y resuelve una ecuación. Sea p la paga por hora por los trabajos de jardinería. Verónica gana $10, que es 57de su paga por hora por los trabajos de jardinería, p.
7p Escribe la ecuación.
• 10 7p • 5 ¿Por qué fracción multiplicarás ambos lados de la ecuación?
• p Simplifica.
p Multiplica.
La paga por hora de Verónica por los trabajos de jardinería es .
10 1 7 5 1
¿Listo para seguir? Intervención de destrezas
Cómo resolver ecuaciones con fracciones: la multiplicación
y la división
5-10
¿Listo para seguir? Intervención de resolución
de problemas
Cómo resolver ecuaciones con fracciones:
la multiplicación y la división
5-10
LECCÍON
Cuando escribes una ecuación para resolver un problema, asegúrate de estar usando los números apropiados.
En un sitio web de tareas, 35de las consultas que se recibieron en una hora fueron sobre matemáticas. Las otras 136 consultas fueron
sobre otras materias. ¿Cuántas consultas recibió el sitio web en una hora?
Comprende el problema
1. ¿Qué fracción de las consultas fue sobre matemáticas? 2. ¿Qué fracción de las consultas fue sobre otras materias?
¿Cuántas consultas fueron sobre otras materias?
Haz un plan
3. Usa la información del Ejercicio 2 para escribir una ecuación que
puedas usar para hallar x, la cantidad total de consultas en una hora.
Resuelve
4. Resuelve tu ecuación para hallar x. Demuestra cada paso.
5. ¿Cuántas consultas recibió el sitio web en la primera hora?
Comprueba
6. Resuelve de forma diferente. Completa los
espacios en blanco de la gráfica. (Pista:15 es la mitad de 25).
7. Suma para hallar la cantidad total de consultas.
136 2 5 2 5 136
5-6 Cómo multiplicar fracciones por números cabales
Multiplica. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.
1. 5 • 34 2. 6 • 23 3. 8 • 56
4. La regla de Kazuko se rompió. Mide solamente 35de una yarda
de largo. Kazuko mide una pared de su salón de clases, que tiene 7 veces la longitud de la regla rota. ¿Cuál es el largo de la pared?
5-7 Cómo multiplicar fracciones
Multiplica. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.
5. 23• 34 6. 152 • 67 7. 14• 89
8. 130 • 56 9. 181 • 12 10. 152 • 185
Evalúa la expresión s • 16para cada valor de s. Escribe la
respuesta en su mínima expresión.
11. s34 12. s67 13. s190
5-8 Cómo multiplicar números mixtos
Multiplica. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.
14. 34• 212 15. 214• 23 16. 35• 313
17. 223• 214 18. 412• 116 19. 159• 558
¿Listo para seguir? Prueba
5B
5-9 Cómo dividir fracciones y números mixtos
Halla el recíproco.
20. 34 21. 49 22. 58 23. 712
Divide. Escribe cada respuesta en su mínima expresión.
24.344 25. 6712 26. 58334
27. 335225 28. 413289 29. 234317
5-10 Cómo resolver ecuaciones con fracciones: la multiplicación y la división
Resuelve cada ecuación.
30. 4m23 31. 35n 9 32. 37p5
33. 56q3 34. 16t 121 35. 5z 190
36. La ciudad más cercana se encuentra a 11 millas de la casa
de Amber. Esto equivale a 34de la distancia entre la ciudad y la autopista. ¿Cuántas millas hay entre la ciudad y
la autopista?
37. El pájaro de 112libras de Frieda pesa 125de lo que pesa
su gato. ¿Cuántas libras pesa su gato?
38. Arthur tiene 2 pintas de jugo. Esta cantidad llenará su vaso
312veces. ¿Cuál es la capacidad del vaso de Arthur?
¿Listo para seguir? Prueba
(continuación)5B
Una forma de multiplicar números mixtos es cambiarlos a
fracciones impropias y luego multiplicar. En el área del rectángulo grande del diagrama se muestra otra forma de hacerlo.
313• 412 130 • 92 5 1• 3 1 15
Sigue estos pasos para multiplicar usando el segundo método: • Multiplica los números cabales.
• Multiplica las fracciones.
• Multiplica el número cabal del primer factor y la fracción del segundo.
• Multiplica la fracción del primer factor y el número cabal del segundo.
Como ambos métodos producen la misma respuesta, puedes usar el segundo método para comprobar la respuesta que obtuviste usando el primer método.
Halla el producto. Escribe la respuesta en su mínima expresión. Usa ambos métodos para comprobar tus respuestas.
1. 212• 114 2. 213• 445 3. 116• 123 4. 12• 21 5. 11• 33 6. 62• 11 Área de A3 • 412 Área de B 1 3• 1 2 1 6 Área de C 3 • 12112 Área de D 4 • 13113 AB C D 12 16 112 113 15 1 3 1 2 3 4 A C D B
