ECONOMETRÍA II: ECONOMETRÍA DE SERIES TEMPORALES. Modelos ARMA

(1)

ECONOMETR´IA II:

ECONOMETR´IA DE SERIES TEMPORALES

(2)

•Definici´on: Ruido blanco. Se dice que el proceso{t} es ruido

blanco (”white noise”) si:

E(t) = 0

Var(t) = E(2_t) = σ2

Para todo i 6=j : Cov(ij) = E(ij) = 0

•Notaci´on: t ∼WN

•Ruido blanco Gaussiano: Para todo t,t ∼N(0, σ2). Notaci´on:

(3)

•Definici´on: Modelo ARMA. Un modelo autoregresivo-media m´ovil (”autoregressive moving average”—ARMA) tiene la forma:

yt=φ0+ p X i=1 φiyt−i + q X j=0 θjt−j,

donde el proceso{t} esruido blanco.

Este modelo se denota como ARMA(p,q), y normalmente se normalizaθ0 a 1.

Nota: Suponemos que todas las ra´ıces caracter´ısticas est´an dentro del c´ırculo de unidad. Si una o varias ra´ıces caracter´ısticas estan encima o fuera del circulo de unidad, el modelo se llama

autoregresivo-integrado-media m´ovil (”autoregressive integrated moving average”—ARIMA(p,d,q), donded es el orden de integraci´on)

(4)

Ejemplos de modelos ARMA: ARMA(0,0): yt =φ0+t ARMA(0,1): yt =φ0+t+θ1t−1 ARMA(1,0): yt =φ0+φ1yt−1+t ARMA(1,0) (paseo aleatorio) : yt =yt−1+t ARMA(1,1): yt =φ0+φ1yt−1+t+θ1t−1

(5)

Ejemplos de modelos ARMA (cont.): •Modelos ARMA(p,0) con θ0 = 1:

yt=φ0+

p X

i=1

φiyt−i +t

tambi´en se denotan modelos AR(p). •Modelos ARMA(0,q): yt =φ0+ q X j=0 θjt−j

(6)

Modelos MA(q):

•MA(1): yt=φ0+t+θ1t−1, donde{t} es ruido blanco

⇒µ=E(yt) =φ0 ⇒γ0 =Var(yt) = (1 +θ21)σ2 ⇒γk =Cov(yt,yt−k) = θ1σ2 para k = 1 0 parak >1 •Es el modelo MA(1) estacionario? Si

•Qu´e esCorr(yt,yt−k)?

(7)

Modelos MA(q) (cont.):

•MA(q): yt=φ0+Pq_j₌₀θqt−q, donde{t} es ruido blanco y

dondeθ0 = 1 ⇒µ=φ0 ⇒γ0 = (1 +θ12+· · ·+θ2q)σ2 ⇒γk = (θk+θk+1θ1+· · ·+θqθq−1)σ2 parak = 1, . . . ,q 0 parak >q

•Es el modelo MA(q) estacionario? Si •Qu´e esCorr(yt,yt−k)?

(8)

Modelos MA(q) (cont.):

•MA(∞): yt =φ0+P∞_j₌₀ψjt−j, donde{t} es ruido blanco y

dondeψ0 = 1

•Notaci´on: MA(∞)

•Como podemos saber si MA(∞) es un proceso estacionario y bien definido? Una de las condiciones siguientes es suficiente:

a) P∞

j=0ψj2 <∞

⇑

b) P∞

(9)

Modelos MA(q) (cont.): •Entonces, por el MA(∞) tenemos que:

⇒µ=φ0

⇒γ0 = limT→∞(ψ2₀+ψ2₁+· · ·+ψ_T2)σ2 ⇒γk =σ2(ψkψ0+ψk+1ψ1+ψk+2ψ2+· · ·)

(10)

Modelos AR(p):

•AR(1): yt =φ0+φ1yt−1+t, donde {t}es ruido blanco

•Es el modelo AR(1) estacionario (”estable”)? → Si |φ1|<1⇒ si

→ Si |φ1| ≥1⇒ no

(11)

Modelos AR(p) (cont.):

•Porque eso implica que el modelo AR(1) se puede escribir como un modelo MA(∞): yt = φ0+φ1yt−1+t = φ0+φ1(φ0+φ1yt−2+t−1) +t = φ0+φ1[φ0+φ1(φ0+φ1yt−3+t−2) +t−1] +t .. . = (φ0+t) +φ1(φ0+t−1) +φ21(φ0+t−2) +· · · = φ0·P∞_i₌₀φi1+t+φ1t−1+φ21t−2+φ31t−3+· · · = ₁₋φ0_φ1 +t+φ1t−1+φ21t−2+φ31t−3+· · · = MA(∞)

(12)

•Recuerda: P∞

j=0|ψj|<∞ ⇒ MA(q) estacionario, y en nuestro

caso (dado que|φ1|<1) tenemos

P∞

j=0|ψj|=P∞j=0|φ

j

1|<∞

•De todo esto se deduce (cuando |φ1|<1):

µ= ₁₋φ0_φ1 γ0 = σ 2 (1−φ2 1) γk = φ k 1 1−φ2 1 σ2 ρk = γ_γ0k =φk1

(13)

Modelos AR(p) (cont.): •El modelo AR(2) se define como:

yt =φ0+φ1yt−1+φ2yt−2+t (1)

•Aplicando el operador de retardo el AR(2) se puede escribir como (1−φ1L−φ2L2)yt =φ0+t

y (1) es estacionario si lasp ra´ıces caracter´ısticas λ1 yλ2 est´an

dentro del c´ırculo de unidad (es decir,|λ1|,|λ2|<1)

•C´omo calculamos las 2 ra´ıces caracter´ısticasλ1, λ2 de un AR(2)?

(1−φ1z−φ2z2) = 0 ⇔ (λ2−φ1λ−φ2) = 0

(14)

•Nota: A veces se utiliza una terminolog´ıa diferente que puede confundir:

ra´ıces del polinomo 1−φ1z−φ2z2 est´a fuera del c´ırculo de unidad

m

Las ra´ıces caracter´ısticas est´an dentro del circulo de unidad •Si todas las ra´ıces caracter´ısticas est´an dentro del c´ırculo de unidad, entonces podemos escribir

ψ(L) = (1−φ1L−φ2L2)−1 =ψ0+ψ1L+ψ2L2+· · · (2)

y finalmente

yt = ψ(L)φ0+ψ(L)t

(15)

•Suponiendo que las 2 ra´ıces caracter´ısticas est´an dentro del c´ırculo de unidad, entonces tenemos que:

µ= ₁₋_φ1φ0₋_φ2

γ0 =φ1γ1+φ2γ2+σ2

γk =φ1γk−1+φ2γk−2

(16)

Modelos AR(p) (cont.): •El modelo AR(p) se define como:

yt=φ0+

p X

i=1

φ1yt−i +t

•Suponiendo que todas las ra´ıces caracter´ısticas est´an dentro del c´ırculo de unidad, entonces tenemos que:

µ= ₁₋_φ1_−···−φ0 _φ p

γ0 =φ1γ1+· · ·+φpγp+σ2

γk =φkγk−1+· · ·+φpγk−p ρk = γ_γ0k

Nota: Lasp+ 1 ecuaciones definidas porρ0, . . . , ρp se llaman las

(17)

ARMA(p,q), representación de media móvil MA(∞): Un modelo ARMA(p,q) estacionario/estable siempre tiene una representación de media móvil MA(∞):

yt =φ0+Pp_i₌₁φiyt−i +Pqj=0θjt−j

se puede escribir

(1−φ1L− · · · −φpLp)yt =φ0+ (1 +θ1L+· · ·+θqLq)t,

y si el ARMA(p,q) es estable entonces

yt = ₁₋_φ1_−···−φ0 _φ

p +ψ(L)t = MA(∞)

dondeψ(L) = 1+θ1L+···+θqLq

(18)

Teorema de Wold (1938):

•Hemos visto que procesos ARMA(p,q) estacionarios se pueden escribir como un modelo MA(∞), es decir, como

yt =φ0+P∞j=0ψjt−j dondeψ0= 1, si P∞j=0|ψj|<∞

•El teorema de Wold establece que esto es cierto para todo

(19)

Teorema de Wold (1938) (cont.):

Teorema (Wold): Cualquier proceso estacionario{yt} con media cero se puede representar de la forma

yt =

∞

X

j=0

ψjt−j+κt (4)

dondeψ0 = 1 y P∞_j₌₀ψ_j2<∞. El proceso {t}es ruido blanco y

representa el error resultante de predeciryt con una funci´on lineal

de los retardos deyt:

t =yt−E(yt|yt−1,yt−2, . . .)

El valor deκt es incorrelado cont−j para cualquierj, pero se

puede predecirκt arbitrariamente bien con una funci´on lineal de

los valores pasados deyt:

(20)

Teorema de Wold (1938) (cont.): •Nota 1: La parteP∞

j=0ψjt−j se llama el componente linealmente indetermin´ıstico

•Nota 2: La parteκt se llama el componente linealmente determin´ıstico

•Problema: Estimar la representación de Wold de una serie requiere la estimación de un número infinito de parámetros •Tenemos solamente un número finito de observaciones •Solución: Hacer supuestos adicionales sobre la naturaleza de

(21)

Teorema de Wold (1938) (cont.):

•Estrategia 1: Aproximar la suma infinita con una suma finita: 1 +θ1L+θ2L2+· · ·+θqLq 1−φ1L−φ2L2− · · · −φpLp = ∞ X j=0 ψjLj ≈ r X j=0 ψjLj

•Entonces se obtiene (en general) una buena aproximaci´on con pocos par´ametros

(22)

Invertibilidad de MA(q):

•Recordamos: Si un modelo AR(p) es estable, entonces podemos escribirlo como un MA(∞)

•Si un modelo MA(q) esinvertible, entonces podemos escribirlo como un AR(∞)

•Definici´on: Invertibilidad de MA(q). Un modelo MA(q) se puede escribir comoyt−φ0 = (1 +θ1L+θ2L2+· · ·+θqLq)t. Si

el MA(q) se puede escribir como un modelo AR(∞) utilizando la inversa del (1 +θ1L+θ2L2+· · ·+θqLq), entonces se dice que

MA(q) es invertible.

•Condici´on suficiente para la invertibilidad: Que todas las ra´ıces del polinomo (1 +θ1z+θ2z2+· · ·+θqzq) = 0 est´an fuera del

(23)

Invertibilidad de MA(q) (cont.): •MA(q): yt=φ0+Pqj=0t−j

⇒yt−φ0 = (1 +θ1L+θ2L2+· · ·+θqLq)t

•Si todas las ra´ıces est´an fuera del circulo de unidad tenemos que (1 +η1L+η2L2+· · ·) = (1 +θ1L+θ2L2+· · ·+θqLq)−1

y entonces

(1 +η1L+η2L2+· · ·)(yt−φ0) =t

(24)

Causalidad:

•Definici´on: Causalidad. Un proceso {yt} es causal, o una funci´on causal de{t}, si existen constantesψj as´ı que

i) P∞

j=0|ψj|<∞ ii) yt=P∞

j=0ψjt−j para todot

•Ejemplos: Modelos AR(1) con |φ1|<1:

→ yt =φ1yt−1+t

(25)

q-correlaci´on:

•Definici´on: q-correlaci´on. Un proceso {yt}estacionario es q-correlacionado siCov(yt,yt−k) = 0 para todo|k|>q, y si Cov(yt,yt−k)6= 0 para todo|k| ≤q.

•Recuerda:

→Cov(yt,yt−k) = 0⇔Corr(yt,yt−k) = 0 y

→Cov(yt,yt−k)6= 0⇔Corr(yt,yt−k)6= 0

(26)

Referencias:

Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton, New Jersey: Princeton University Press.

Wold, H. (1938). A Study in the Analysis of Stationary Time Series. Uppsala, Sweden: Almqvist and Wiksell.