ECONOMETR´IA II:
ECONOMETR´IA DE SERIES TEMPORALES
•Definici´on: Ruido blanco. Se dice que el proceso{t} es ruido
blanco (”white noise”) si:
E(t) = 0
Var(t) = E(2t) = σ2
Para todo i 6=j : Cov(ij) = E(ij) = 0
•Notaci´on: t ∼WN
•Ruido blanco Gaussiano: Para todo t,t ∼N(0, σ2). Notaci´on:
•Definici´on: Modelo ARMA. Un modelo autoregresivo-media m´ovil (”autoregressive moving average”—ARMA) tiene la forma:
yt=φ0+ p X i=1 φiyt−i + q X j=0 θjt−j,
donde el proceso{t} esruido blanco.
Este modelo se denota como ARMA(p,q), y normalmente se normalizaθ0 a 1.
Nota: Suponemos que todas las ra´ıces caracter´ısticas est´an dentro del c´ırculo de unidad. Si una o varias ra´ıces caracter´ısticas estan encima o fuera del circulo de unidad, el modelo se llama
autoregresivo-integrado-media m´ovil (”autoregressive integrated moving average”—ARIMA(p,d,q), donded es el orden de integraci´on)
Ejemplos de modelos ARMA: ARMA(0,0): yt =φ0+t ARMA(0,1): yt =φ0+t+θ1t−1 ARMA(1,0): yt =φ0+φ1yt−1+t ARMA(1,0) (paseo aleatorio) : yt =yt−1+t ARMA(1,1): yt =φ0+φ1yt−1+t+θ1t−1
Ejemplos de modelos ARMA (cont.): •Modelos ARMA(p,0) con θ0 = 1:
yt=φ0+
p X
i=1
φiyt−i +t
tambi´en se denotan modelos AR(p). •Modelos ARMA(0,q): yt =φ0+ q X j=0 θjt−j
Modelos MA(q):
•MA(1): yt=φ0+t+θ1t−1, donde{t} es ruido blanco
⇒µ=E(yt) =φ0 ⇒γ0 =Var(yt) = (1 +θ21)σ2 ⇒γk =Cov(yt,yt−k) = θ1σ2 para k = 1 0 parak >1 •Es el modelo MA(1) estacionario? Si
•Qu´e esCorr(yt,yt−k)?
Modelos MA(q) (cont.):
•MA(q): yt=φ0+Pqj=0θqt−q, donde{t} es ruido blanco y
dondeθ0 = 1 ⇒µ=φ0 ⇒γ0 = (1 +θ12+· · ·+θ2q)σ2 ⇒γk = (θk+θk+1θ1+· · ·+θqθq−1)σ2 parak = 1, . . . ,q 0 parak >q
•Es el modelo MA(q) estacionario? Si •Qu´e esCorr(yt,yt−k)?
Modelos MA(q) (cont.):
•MA(∞): yt =φ0+P∞j=0ψjt−j, donde{t} es ruido blanco y
dondeψ0 = 1
•Notaci´on: MA(∞)
•Como podemos saber si MA(∞) es un proceso estacionario y bien definido? Una de las condiciones siguientes es suficiente:
a) P∞
j=0ψj2 <∞
⇑
b) P∞
Modelos MA(q) (cont.): •Entonces, por el MA(∞) tenemos que:
⇒µ=φ0
⇒γ0 = limT→∞(ψ20+ψ21+· · ·+ψT2)σ2 ⇒γk =σ2(ψkψ0+ψk+1ψ1+ψk+2ψ2+· · ·)
Modelos AR(p):
•AR(1): yt =φ0+φ1yt−1+t, donde {t}es ruido blanco
•Es el modelo AR(1) estacionario (”estable”)? → Si |φ1|<1⇒ si
→ Si |φ1| ≥1⇒ no
Modelos AR(p) (cont.):
•Porque eso implica que el modelo AR(1) se puede escribir como un modelo MA(∞): yt = φ0+φ1yt−1+t = φ0+φ1(φ0+φ1yt−2+t−1) +t = φ0+φ1[φ0+φ1(φ0+φ1yt−3+t−2) +t−1] +t .. . = (φ0+t) +φ1(φ0+t−1) +φ21(φ0+t−2) +· · · = φ0·P∞i=0φi1+t+φ1t−1+φ21t−2+φ31t−3+· · · = 1−φ0φ1 +t+φ1t−1+φ21t−2+φ31t−3+· · · = MA(∞)
Modelos AR(p) (cont.):
•Recuerda: P∞
j=0|ψj|<∞ ⇒ MA(q) estacionario, y en nuestro
caso (dado que|φ1|<1) tenemos
P∞
j=0|ψj|=P∞j=0|φ
j
1|<∞
•De todo esto se deduce (cuando |φ1|<1):
µ= 1−φ0φ1 γ0 = σ 2 (1−φ2 1) γk = φ k 1 1−φ2 1 σ2 ρk = γγ0k =φk1
Modelos AR(p) (cont.): •El modelo AR(2) se define como:
yt =φ0+φ1yt−1+φ2yt−2+t (1)
•Aplicando el operador de retardo el AR(2) se puede escribir como (1−φ1L−φ2L2)yt =φ0+t
y (1) es estacionario si lasp ra´ıces caracter´ısticas λ1 yλ2 est´an
dentro del c´ırculo de unidad (es decir,|λ1|,|λ2|<1)
•C´omo calculamos las 2 ra´ıces caracter´ısticasλ1, λ2 de un AR(2)?
(1−φ1z−φ2z2) = 0 ⇔ (λ2−φ1λ−φ2) = 0
Modelos AR(p) (cont.):
•Nota: A veces se utiliza una terminolog´ıa diferente que puede confundir:
ra´ıces del polinomo 1−φ1z−φ2z2 est´a fuera del c´ırculo de unidad
m
Las ra´ıces caracter´ısticas est´an dentro del circulo de unidad •Si todas las ra´ıces caracter´ısticas est´an dentro del c´ırculo de unidad, entonces podemos escribir
ψ(L) = (1−φ1L−φ2L2)−1 =ψ0+ψ1L+ψ2L2+· · · (2)
y finalmente
yt = ψ(L)φ0+ψ(L)t
Modelos AR(p) (cont.):
•Suponiendo que las 2 ra´ıces caracter´ısticas est´an dentro del c´ırculo de unidad, entonces tenemos que:
µ= 1−φ1φ0−φ2
γ0 =φ1γ1+φ2γ2+σ2
γk =φ1γk−1+φ2γk−2
Modelos AR(p) (cont.): •El modelo AR(p) se define como:
yt=φ0+
p X
i=1
φ1yt−i +t
•Suponiendo que todas las ra´ıces caracter´ısticas est´an dentro del c´ırculo de unidad, entonces tenemos que:
µ= 1−φ1−···−φ0 φ p
γ0 =φ1γ1+· · ·+φpγp+σ2
γk =φkγk−1+· · ·+φpγk−p ρk = γγ0k
Nota: Lasp+ 1 ecuaciones definidas porρ0, . . . , ρp se llaman las
ARMA(p,q), representaci´on de media m´ovil MA(∞): Un modelo ARMA(p,q) estacionario/estable siempre tiene una representaci´on de media m´ovil MA(∞):
yt =φ0+Ppi=1φiyt−i +Pqj=0θjt−j
se puede escribir
(1−φ1L− · · · −φpLp)yt =φ0+ (1 +θ1L+· · ·+θqLq)t,
y si el ARMA(p,q) es estable entonces
yt = 1−φ1−···−φ0 φ
p +ψ(L)t = MA(∞)
dondeψ(L) = 1+θ1L+···+θqLq
Teorema de Wold (1938):
•Hemos visto que procesos ARMA(p,q) estacionarios se pueden escribir como un modelo MA(∞), es decir, como
yt =φ0+P∞j=0ψjt−j dondeψ0= 1, si P∞j=0|ψj|<∞
•El teorema de Wold establece que esto es cierto para todo
Teorema de Wold (1938) (cont.):
Teorema (Wold): Cualquier proceso estacionario{yt} con media cero se puede representar de la forma
yt =
∞
X
j=0
ψjt−j+κt (4)
dondeψ0 = 1 y P∞j=0ψj2<∞. El proceso {t}es ruido blanco y
representa el error resultante de predeciryt con una funci´on lineal
de los retardos deyt:
t =yt−E(yt|yt−1,yt−2, . . .)
El valor deκt es incorrelado cont−j para cualquierj, pero se
puede predecirκt arbitrariamente bien con una funci´on lineal de
los valores pasados deyt:
Teorema de Wold (1938) (cont.): •Nota 1: La parteP∞
j=0ψjt−j se llama el componente linealmente indetermin´ıstico
•Nota 2: La parteκt se llama el componente linealmente determin´ıstico
•Problema: Estimar la representaci´on de Wold de una serie requiere la estimaci´on de un n´umero infinito de par´ametros •Tenemos solamente un n´umero finito de observaciones •Soluci´on: Hacer supuestos adicionales sobre la naturaleza de
Teorema de Wold (1938) (cont.):
•Estrategia 1: Aproximar la suma infinita con una suma finita: 1 +θ1L+θ2L2+· · ·+θqLq 1−φ1L−φ2L2− · · · −φpLp = ∞ X j=0 ψjLj ≈ r X j=0 ψjLj
•Entonces se obtiene (en general) una buena aproximaci´on con pocos par´ametros
Invertibilidad de MA(q):
•Recordamos: Si un modelo AR(p) es estable, entonces podemos escribirlo como un MA(∞)
•Si un modelo MA(q) esinvertible, entonces podemos escribirlo como un AR(∞)
•Definici´on: Invertibilidad de MA(q). Un modelo MA(q) se puede escribir comoyt−φ0 = (1 +θ1L+θ2L2+· · ·+θqLq)t. Si
el MA(q) se puede escribir como un modelo AR(∞) utilizando la inversa del (1 +θ1L+θ2L2+· · ·+θqLq), entonces se dice que
MA(q) es invertible.
•Condici´on suficiente para la invertibilidad: Que todas las ra´ıces del polinomo (1 +θ1z+θ2z2+· · ·+θqzq) = 0 est´an fuera del
Invertibilidad de MA(q) (cont.): •MA(q): yt=φ0+Pqj=0t−j
⇒yt−φ0 = (1 +θ1L+θ2L2+· · ·+θqLq)t
•Si todas las ra´ıces est´an fuera del circulo de unidad tenemos que (1 +η1L+η2L2+· · ·) = (1 +θ1L+θ2L2+· · ·+θqLq)−1
y entonces
(1 +η1L+η2L2+· · ·)(yt−φ0) =t
Causalidad:
•Definici´on: Causalidad. Un proceso {yt} es causal, o una funci´on causal de{t}, si existen constantesψj as´ı que
i) P∞
j=0|ψj|<∞ ii) yt=P∞
j=0ψjt−j para todot
•Ejemplos: Modelos AR(1) con |φ1|<1:
→ yt =φ1yt−1+t
q-correlaci´on:
•Definici´on: q-correlaci´on. Un proceso {yt}estacionario es q-correlacionado siCov(yt,yt−k) = 0 para todo|k|>q, y si Cov(yt,yt−k)6= 0 para todo|k| ≤q.
•Recuerda:
→Cov(yt,yt−k) = 0⇔Corr(yt,yt−k) = 0 y
→Cov(yt,yt−k)6= 0⇔Corr(yt,yt−k)6= 0
Referencias:
Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis. Princeton, New Jersey: Princeton University Press.
Wold, H. (1938). A Study in the Analysis of Stationary Time Series. Uppsala, Sweden: Almqvist and Wiksell.