EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Se recomienda:
a) Antes de hacer algo, leer todo el examen.
b) Resolver antes las preguntas que se te den mejor.
c) Responde a cada parte del examen en una hoja distinta.
d) Es una hoja de examen por las dos caras sobre la que no se escribe nada.
e) Resuelve detalladamente el problema para obtener todos los puntos del mismo.
f) El examen se hará a bolígrafo, NUNCA a lápiz.
Elegir uno de los dos siguientes problemas.
PROBLEMA 1
(7 p)
Se considera la región S acotada plana definida por las cinco condiciones siguientes:
x 2y 4 x 2y 4 2x 3y 6 2x 3y 6 x 2 Se pide:
1.1 Dibújese S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
1.2 Calcúlense los valores máximo y mínimo de la funciónf x, y 2x yen la región S, y
especifíquense los puntos de S en los cuáles se alcanzan dichos valores máximo y mínimo.
PROBLEMA 2
(10 p)
Un taller dedicado a la confección de prendas de punto fabrica dos tipos de prendas A y B. Para la confección de la prenda de tipo A se necesitan 30 minutos de trabajo manual y 45 minutos de máquina. Para la de tipo B, 60 minutos de trabajo manual y 20 minutos de máquina. El taller dispone al mes como máximo de 85 horas para el trabajo manual y de 75 horas para el trabajo de máquina y debe
confeccionar al menos 100 prendas. Si los beneficios son de 20 euros por cada prenda de tipo A y de 17 euros por cada prenda de tipo B, ¿cuántas prendas de cada tipo debe de fabricar al mes, para obtener el máximo beneficio y a cuánto asciende éste?
SOLUCIÓN
Se considera la región S acotada plana definida por las cinco condiciones siguientes:
x 2y 4 x 2y 4 2x 3y 6 2x 3y 6 x 2 Se pide:
1.1 Dibújese S y calcúlense las coordenadas de sus vértices.
1.1.1 Hemos de representarx 2y 4
Pintamos la recta de ecuaciónx 2y 4
Tenemos la tabla: x 0 4 y 2 0
que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente determinada cuando conocemos dos de sus puntos. A 0, 2 , B 4, 0
Tomamos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta y lo sustituimos en la inecuación:
0, 0 0 2 0 4 :cierto. Entonces la región es el semiplano que está por debajo de la recta
x 2y 4incluída esta. 0.7 P
1.1.2 Hemos de representarx 2y 4
Pintamos la recta de ecuaciónx 2y 4
Tenemos la tabla: x 0 4 y 2 0
que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente determinada cuando conocemos dos de sus puntos. C 0, 2 , B 4, 0
Tomamos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta y lo sustituimos en la inecuación:
0, 0 0 2 0 4 :cierto. Entonces la región es el semiplano que está por encima de la recta x 2y 4incluída esta. 0.7 P
1.1.3 Hemos de representar2x 3y 6
Pintamos la recta de ecuación2x 3y 6
Tenemos la tabla: x 0 3 y 2 0
que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente determinada cuando conocemos dos de sus puntos. A 0, 2 , D 3, 0
Tomamos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta y lo sustituimos en la inecuación:
0, 0 2 0 3 0 6 :cierto. Entonces la región es el semiplano que está por debajo de la recta 2x 3y 6incluída esta. 0.7 P
1.1.4 Hemos de representar2x 3y 6
Pintamos la recta de ecuación2x 3y 6
Tenemos la tabla: x 0 3
y 2 0
que nos permite pintarla pues una recta queda unívocamente determinada cuando conocemos dos de sus puntos. C 0, 2 , D 3, 0
Tomamos un punto cualquiera del plano que no esté sobre la recta y lo sustituimos en la inecuación:
1.1.5 Hemos de representarx 2
Se trata de la región del plano que queda a la izquierda de la recta verticalx 2, incluyendo a esta. 0.2 P
Gráficamente nos queda:
La región factible es:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 0.9 P 1.1.6 VérticeA x 2y 4 2x 3y 6
Como se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, lo resolvemos por el método de reducción:
x 2y 4 2 2x 3y 6
2x 4y 8
2x 3y 6 Restando en columna nos queda: 7y 14
y 14
7 2
Sustituimos este valor de y, para hallar el correspondiente valor de x:
x 2 2 4
x 0
1.1.7 VérticeB x 2y 4 x 2
Sustituimos el valor de x, para hallar el correspondiente valor de y:
2 2y 4 2y 4 2 y 2 2 1 Las coordenadas deB 2, 1 0.425 P 1.1.7 VérticeE x 2y 4 x 2
Sustituimos el valor de x, para hallar el correspondiente valor de y:
2 2y 4 2y 4 2 y 2 2 1 Las coordenadas deE 2, 1 0.425 P 1.1.8 VérticeC x 2y 4 2x 3y 6
Como se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, lo resolvemos por el método de reducción:
x 2y 4 2 2x 3y 6
2x 4y 8
2x 3y 6 Restando en columna nos queda: 7y 14
y 14
7 2
Sustituimos este valor de y, para hallar el correspondiente valor de x:
x 2 2 4
x 0
Las coordenadas deC 0, 2 0.425 P
1.1.9 VérticeD 2x 3y 6
2x 3y 6
Como se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, lo resolvemos por el método de reducción:
Sumando en columna nos queda:
4x 12
x 12
4 3
Sustituimos este valor de x, para hallar el correspondiente valor de y:
2 3 3y 6
y 0
Las coordenadas deD 3, 0 0.425 P
1.2 Vamos a evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la region factible.
fA 0, 2 2 0 2 2 0.175 P
fB 2, 1 2 2 1 5 0.175 P
fE 2, 1 2 2 1 3 0.175 P
fC 0, 2 2 0 2 2 0.175 P
PROBLEMA 2
(10 p)
Un taller dedicado a la confección de prendas de punto fabrica dos tipos de prendas A y B. Para la confección de la prenda de tipo A se necesitan 30 minutos de trabajo manual y 45 minutos de máquina. Para la de tipo B, 60 minutos de trabajo manual y 20 minutos de máquina. El taller dispone al mes como máximo de 85 horas para el trabajo manual y de 75 horas para el trabajo de máquina y debe
confeccionar al menos 100 prendas. Si los beneficios son de 20 euros por cada prenda de tipo A y de 17 euros por cada prenda de tipo B, ¿cuántas prendas de cada tipo debe de fabricar al mes, para obtener el máximo beneficio y a cuánto asciende éste?
