Flujo de Potencia DC con Modelación de Incertidumbres Aplicado al Caso Chileno

Flujo de Potencia DC con Modelación de Incertidumbres Aplicado al Caso Chileno

Rodrigo Palma B. [email protected] Christian Jeldres H. [email protected] Area de Energía

Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile Resumen

Este trabajo presenta un método para la incorporación de incertidumbres, asociadas a generación y consumos, en el cálculo de flujos de potencia (FP). El modelo permite simular la operación anual de un sistema eléctrico sin la necesidad de calcular múltiples FP. El sistema es modelado a través de un FP lineal (DC). El sistema de ecuaciones es solucionado aplicando directamente la teoría de sistemas lineales difusos. Los resultados son comparados con una metodología tradicional basada en un análisis incremental. El uso de este tipo de modelos permite abarcar problemas de planificación en sistemas eléctricos competitivos, evitando simular cientos de escenarios en la predicción de la demanda. Por último se aplican ambos modelos al caso del Sistema Interconectado Central Chileno, en un sistema reducido de 69 barras.

1. Introducción

Para poder modelar la incertidumbre existen algunos métodos en los cuales se destacan: los modelos probalísticos y la representación difusa. En la actualidad se ha abierto un amplio estudio para poder aplicar los conjuntos difusos al modelamiento de incertidumbre. Esto afecta también a los sistemas eléctricos de potencia (SEP), ya que en un flujo de potencia (FP) la generación o carga en una cierta barra puede tener un cierto rango de variación, siendo un valor de ellos el que presente una mayor posibilidad de ocurrencia.

En la planificación de SEP es importante poder obtener una representación aproximada del comportamiento del sistema. Por lo cual la simulación es muy importante para poder encontrar posibles requerimientos. Una buena aproximación del comportamiento del sistema esta dada por el modelo DC de flujo de potencia (FDC), es decir un modelo P-θ.

El modelo tradicional utilizado para resolver un FDC en [1][2], utiliza un modelo incremental el que trabaja con aproximaciones sobre los números difusos que representan potencia neta, mientras que el modelo propuesto trabaja directamente con los valores de los números difusos. Los nuevos requerimientos para el modelo serán principalmente la representación difusa de los números, la cual tiene que ser triangular, además no es necesaria la existencia de una base de datos con las estadísticas de las potencias netas por barra, sino su respectiva declaración lingüística.

2. Conceptos Básicos de Lógica Difusa

Los conjuntos tradicionales solamente nos permiten modelar con variables determinísticas y con precisión. Con los conjuntos de los números tradicionales (enteros, reales, binarios, etc.) podemos establecer relaciones del tipo si o no, menor que o mayor que, además la lógica convencional agrega relaciones del tipo verdadero o falso. La necesidad de poder modelar decisiones como el razonamiento humano hizo surgir los conjuntos difusos [7].

Los números difusos permiten modelar o representar incertidumbres asociadas a parámetros y variables de un sistema eléctrico. Un conjunto difuso se caracteriza por una función de membresía (fm)

µ(x), definida entre [0,1], la cual relaciona cada elemento x1 con su grado de posibilidad X1 = µ(x1)

[7].

2.1 Teoría de conjuntos Difusos (TCD) versus Teoría de Probabilidades (TP)

Es claro que la probabilidad asociada a un evento determinado está representado por la integral de una función de probabilidad (fprob) dentro del intervalo de interés. Mientras que en una fm, el grado de ocurrencia del evento queda reflejado en el eje de la ordenada por su grado de posibilidad.

La semejanza entre la fm y fprob es clara, debido a que ambas representan posibles eventos. Es importante señalar que una fprob debe cumplir que:

Esto representa que la probabilidad de que ocurra uno de los eventos en todo el intervalo real es 1, o sea, alguno de ellos ocurrirá.

Lo cual no se cumple para una fm, aunque esta se encuentre normalizada, por ejemplo una representación triangular como la de la figura 4. Tenemos:

5

.

1

2

1

)

1

4

(

dx

)

x

(



=











−

⋅

=

µ

∫

−∞∞ (2)

Debido a que la fm tiene asociado los grados de posibilidad en el eje de la ordenada, es decir, esta representación nos permite saber a simple vista el nivel de ocurrencia de un evento de terminado.

A grandes rasgos podemos encontrar algunas diferencias entre la TCD y TP, si bien ambas son muy ocupadas en la modelación de incertidumbre [6][7]:

a. La TP, en general, trabaja sobre eventos ya ocurridos los que determinan una cierta distribución, mientras que la TCD utiliza una representación difusa en los datos de entrada y los resultados obtenidos tendrán incorporados el nivel de incertidumbre, dado por su declaración lingüística (DLg), explicado en 4.

b. La TP esta basada en eventos aleatorios, mientras que la TCD esta basada en los conceptos dependientes de su DLg.

c. En TP, la complejidad de la matemática introduce simplificaciones, lo que afecta a sus modelos.

2.2 Representación de Números Difusos

La representación más usada de números difusos es la triangular (fig. 1(a)) y la trapezoidal (fig. 1 (b)):

(a) (b) Fig. 1

Otra forma de representar los números difusos triangulares es de acuerdo al segmento de recta creciente y el segmento decreciente de recta de acuerdo a lo mostrado en la figura 2.

Fig. 2

Esta notación cumple las siguientes definiciones [3]:

Sean f1e f2 dos números difusos, entonces

)

(

X

)

(

X

),

(

X

)

(

X

ssi

f

f

)

a

₁

=

_{2 1}

µ

=

₂

µ

₁

µ

=

₂

µ

)) ( X ) ( X ), ( X ) ( X ( f f ) b ₁+ ₂= ₁ µ + ₂ µ ₁ µ + ₂ µ (3)    < ≥ = 0 k )) X k , X k ( 0 k ) X k , X k ( kf ) c 2 1 2 1

Ejemplos de representación de números difusos: Sea el número difuso según fig. 1b f=(1,3,4,7), su representación queda:

Fig. 3

Sea el siguiente número difuso con representación según fig. 2 f=(1+µ,4-2µ), entonces su representación queda:

Fig. 4 2.3 Algebra de Números Difusos

Sea f1=(a1,b1,c1,d1) y f2=(a2,b2,c2,d2), dos

números difusos con representación trapezoidal y k un número real, entonces:

f1+f2=(a1+a2,b1+b2,c1+c2,d1+d2) a. b c a b c d µ µ x x x1 X1 x1 X1 µ 1 3 4 7 1 x ) ( Xµ X(µ) µ x µ x 1 2 4 1

f1-f2=(a1-d2,b1-c2,c1-b2,d1-a2)

(4) kf1=(ka1,kb1,kc1,kd1) , para k>0.

kf1=(kd1,kc1,kb1,ka1) , para k<0.

Las operaciones algebraica son aplicables de igual medida para una representación triangular. 2.4 Desdifusión

Existen varias formas para poder extraer la información de un número difuso, las cuales dependen de la aplicación: método de las alturas, promedio de los supremos y centro de gravedad. La técnica más utilizada es la del “centro de gravedad” (CDG).

La desdifusión por CDG, aplicada a un conjunto difuso F continuo, queda definida como [7]:

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ −

µ

µ

=

dx

)

x

(

dx

)

x

(

x

)

F

(

CDG

3. Modelo del Flujo de Potencia DC

El FP constituye una herramienta fundamental en el análisis de la operación de un sistema eléctrico de potencia. Esta herramienta se utiliza como módulo en problemas de planificación. Aprovechando el dascoplamiento natural existente entre el modelo P-θ y Q-V, en este trabajo se propone hacer uso de la aproximación del modelo de FP en continua (FDC). En el FDC, la operación estacionaria de la red es modelada a través del siguiente sistema lineal de ecuaciones [5]:

[ ] [ ] [ ]

?

=

B

−1

P

(5)

donde θ representa el vector de ángulos de fase de los voltajes, P vector de potencias netas por barra. Los elementos de la matriz B serán :

∑

=

=

≠

−

=

n 1 k ik ii ik ik

x

1

b

i

k

si

,

x

1

b

(6)

donde xik corresponde a la reactancia de línea entre

los nodos i y k.

Debido a la linealidad del FDC, se puede observar que se cumple:

[ ] [ ] [ ]

∆

?

=

B

−1

∆

P

(7)

Asimismo, la expresión para el flujo de potencia entre los nodos i y k se aproxima por la expresión lineal en la ecuación (8) [5]:

)

(

x

1

P

_{i k} ik ik

=

?

−

?

(8) 3.1 Metodología Tradicional

La solución tradicional propuesta para el modelo difuso de flujo de potencia en continua DC, utiliza un método incremental [1]. Este desarrollo calcula el flujo de potencia en un punto y luego las variaciones de acuerdo a las ecuaciones matriciales:

[ ] [ ] [ ]

∆

?

=

B

−1

∆

P

(9)

[ ] [ ][ ]

∆

P

_ik

=

A

∆

P

En este método, se obtiene una descripción difusa de los ángulos y potencia en las barras, usando el modelo incremental. Para ello debemos seguir lo siguientes pasos:

a. Encontrar el punto medio de las potencias netas tomando sus respectivas funciones de posibilidad. Este punto puede corresponder en la representación trapezoidal, al promedio de los puntos medios del número difuso. En figura 1(b) corresponde a (a+b+c+d)/4 Para el vector de inyecciones resultante, se calcula un FDC determinístico con las ecuaciónes (5) y (8). Esto nos permite encontrar Pdik y θd (donde el

subíndice d significa determinístico).

b. Encontrar las variaciones de Pi con respecto a los

puntos determinísticos obtenidos anteriormente. c. Como consecuencia del modelo lineal utilizado,

las variaciones pueden ser obtenidas con nuevos cálculos del modelo DC (eqs. (9)). Las variaciones de inyecciones netas son calculadas en función de los extremos de los números difusos. En fig. 1 (b) corresponde a los puntos a y d.

La solución planteada en este documento sugiere obtener resultados trabajando directamente con álgebra de números difusos y no con aproximaciones o linealizaciones en la obtención de la representación difusa. Es por eso que para resolver el problema del sistema lineal difuso se utilizó la metodología general propuesta en [3]. Así nos permite trabajar con los valores de las generaciones y cargas en un sistema del tipo:

[ ][ ] [ ]

B

θ

F

=

P

F (10)

donde θF representa el vector difuso de variables de

ángulos de voltaje, PF es el vector difuso de las

inyecciones o retiros, B representa la matriz del sistema especificado en (5), con coeficientes constantes.

El sistema de la eq. (10) queda:

n n nn 2 2 n 1 1 n 2 n n 2 2 22 1 21 1 n n 1 2 12 1 11

p

b

b

b

p

b

b

b

p

b

b

b

=

θ

+

+

θ

+

θ

=

θ

+

+

θ

+

θ

=

θ

+

+

θ

+

θ

L

M

L

L

(11)

donde n es el número de variables difusas del sistema.

Para resolver el problema se propone una representación triangular de los números difusos, como las mostradas en las fig. 2 y 4.

Además para el sistema lineal de la ecuación (11) y la representación de números difusos necesaria, se cumplen las siguientes propiedades [3]:

i n 1 j j ij n 1 j j ij i n 1 j j ij n 1 j j ij

p

b

b

p

b

b

=

θ

=

θ

=

θ

=

θ

∑

∑

∑

∑

= = = = (12)

Si en particular para un valor bij>0, para 1<j<n,

se cumple lo siguiente: i n 1 j j ij i n 1 j j ij

p

b

,

p

b

=

θ

=

θ

∑

∑

= = (13)

Ocupando las propiedades de las ecuaciones (13) y (14) se tienen la siguiente descomposición [3]:

n n n 2 . n 2 2 2 n . n 2 1 1 n . n 2 n n . n 2 2 2 . n 2 1 1 . n 2 1 n n 2 . 1 n 2 2 n . 1 n 1 1 n . 1 n n n . 1 n 2 2 . 1 n 1 1 . 1 n n n n 2 . n 2 2 n . n 1 1 n . n n n 1 . n 2 2 . n 1 1 . n 1 n n 2 . 1 2 2 n . 1 1 1 n . 1 n n 1 2 12 1 11 p ) ( w ) ( w ) ( w w w w p ) ( w ) ( w ) ( w w w w p ) ( w ) ( w ) ( w w w w p ) ( w ) ( w ) ( w w w w − = θ − + + θ − + θ − + θ + + θ + θ − = θ − + + θ − + θ − + θ + + θ + θ = θ − + + θ − + θ − + θ + + θ + θ = θ − + + θ − + θ − + θ + + θ + θ + + + + + + + + + + + + + + L L M L L L L M L L (14)

La característica de esta descomposición es que nos permite tener una matriz W tal que todas sus componentes sean positivos, es decir:

n

2

j

1

),

w

(

W

n

2

i

1

),

w

(

W

ij ij

≤

≤

=

≤

≤

=

(15)

Con esto el sistema queda reducido a:

[ ] [ ]

S

P

S

W

θ

=

₍₁₆₎ donde:

[ ]

[ ]





































−

−

=





































θ

−

θ

−

θ

θ

=

θ

n 1 n 1 S n 1 n 1 S

p

p

p

p

P

,

M

M

M

M

(17)

Por esto la matriz W nos queda de la forma:









=

R

C

C

R

W

(18)

donde R contiene los coeficiente positivos del sistema lineal original, o sea los elementos de la diagonal de B, y la matriz C contiene los valores negativos ponderado por –1 del sistema lineal original, o sea los elementos que están fuera de la diagonal principal.

Por lo dicho anteriormente se puede concluir que:

[ ] [ ] [ ]

B

=

R

−

C

(19)

El sistema de la ecuación (16) puede ser resulto con álgebra convencional, obteniendo la representación de los ángulos de voltajes correspondiente a su recta de subida y bajada.

Finalmente existen dos alternativas de solución para obtener los flujos por líneas, obteniendo primeramente los ángulos de voltajes:

a) Resta Difusa

Consiste en simplemente, dada la siguiente expresión:

)

(

_{Fi Fk} ik ik

x

1

P

=

θ

−

θ

(20)

en realizar la resta difusa de los ángulos, lo que agrega mayor incertidumbre a los resultados. b) Mínimos y Máximos de ángulos de voltajes

Consiste en realizar la resta de los ángulos de voltajes, pero entre máximos, medios y mínimos de la representación en cada barra. Esto es aplicable suponiendo una dependencia entre las variables del modelo.

Existe la posibilidad de encontrar una solución intermedia entre ambas alternativas, especialmente para algunos casos como se explica en los resultados. 4. Representación cargas y generaciones

La forma común de representar un número difuso es por su DLg, esta representa el grado de conocimiento que tenemos sobre la potencia en alguna barra determinada, por ejemplo de acuerdo a la figura 1(a) la declaración sería “su valor es más o menos b”. En la figura 1(b) puede ser “la potencia no está fuera del rango a-d MW, pero posiblemente está entre b-c”.

En el problema a resolver es muy importante poder conocer la representación difusa de las cargas y generaciones, es decir, conocer su declaración lingüística [4] en una barra determinada u obtenerla con datos estadísticos de las potencias en alguna barra determinada.

Para obtener el valor neta de potencia en una barra se utilizará la expresión siguiente:

)

P

P

(

P

_F.L.i i i . G . F i . neto . F

=

∑

−

(21) Fig. 5

donde el subíndice F indica que es una representación triangular difusa, el subíndice G indica que es generación y L indica que es de carga. 5. Aplicación al Caso Chileno

Ambos modelos se aplicaran al caso Chileno en su sistema reducido a 69 barras, como se muestra en el anexo. La barra de referencia aparece dentro de un circulo, y corresponde a la barra Antuco_13.8.

Se presentan tres tipos de resultados: modelo lineal con resta difusa, modelo lineal mínimos-máximos y modelo incremental. Para todos ellos se presentan las mayores incertidumbres en los flujos por líneas.

a) Modelo Lineal con Resta Difusa

Fig. 6 Resultados del Modelo Lineal con resta Difusa (i) PF.G.i

PF.L.i

Rango de Incetridumbres - Mayores Incertidumbres - 2% - Modelo Lineal

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00 140,00

Tr_Talt15Pap220 Ln2HuaSVic Ln1HuaSVic BBCanut220 LnSVivConce Bb220Pm220 CpintoDalmagro V220BB220 Cardcpinto220 Ln_PapDAlmag220 LnSauzRgua THualpen TConce2201 TAJahue1a Tem220Val220

Línea o Transformador

Rango de Incertidumbres - Mayores Incertidumbres - 2% - Modelo Lineal Min-Max 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00

TEqNehuenco CardoMaite220 Guaco2220138 CpintoDalmagro Cardcpinto220 LSPLasVegas110 LnQuiSLui TQuillota2 BBCanut220 Ln_PapDAlmag220 Tr_Talt15Pap220 LnTorAnt TEl_Toro LEsTe220 LChaEsp220

Línea o Transformador

Rango de Incertidumbres [MW]

b) Modelo Lineal Min-Max

Fig. 7 Resultados del Modelo Lineal Min-Max

c) Modelo Incremental

Fig. 8 Resultados del Modelo Incremental

6. Restricciones del Modelo

Considerando el sistema de la siguiente figura:

Se puede observar que entre las barras BusbarAux y Busbar2 se puso una línea de reactancia pequeña (0.0008 pu), los otros valores de reactancia son 1.0 pu. En este caso se obtienes los siguientes flujos:

Name c1 c2 Pa Pb Pc Line X Pequeño BusbarA

ux

Busbar 2

-8347,77 -13,33 8321,11 Line1 Busbar1 Busbar

3

0 43,33 86,66 Line2 Busbar1 Busbar

Aux

-16,66 -13,33 -10 Line3 Busbar3 Busbar

2

-103,34 -56,67 -10

7. Conclusiones

La ventaja del algoritmo propuesto es que nos permite trabajar directamente con la representación de los números difusos, y no con variaciones simultaneas en todas las barras.

Las representaciones difusas cercanas a la barra de referencia se obtienen con un menor grado de incertidumbre que las lejanas a ella, esto se observa en la tabla 5 donde los flujos por las líneas 5 y 6 tienen un amplio rango de posibilidades.

La representación triangular posee un único valor con posibilidad 1, el cual es el valor medio. Para el valor medio de los resultados del algoritmo lineal, se obtienen los mismos valores del modelo determinístico.

Como resultado de ambos algoritmos es posible obtener los límites máximos y mínimos de los flujos por líneas, y a la vez los valores con mayor grado de posibilidad, pero no es claro saber que cual condición de generación produjo dichos límites.

Las aplicaciones del modelo nos permite representar incertidumbre en las generaciones y cargas en un sistema eléctrico determinado. De esta manera podemos representar en una simulación lo que tradicionalmente se hace en cientos de casos determinísticos.

Referencias

[1]. Miranda V., Matos M., Saraiva J.: “Fuzzy Load Flow - New Algorithms Incorporating Uncertain Generation and Load Representation”. Proceedings of the 10th Power Computation Conference. Agosto 1990.

Rango Incertidumbre, Modelo Incremental, Mayores Incertidumbres, 2%, M o d e l o I n c r e m e n t a l 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

TAntuco TAJahue1a TAJahue2a TAncoa1 TAncoa2 LnAncCharr1 LnTruAnt LnAJahAnc500b LnTruCharr LnCharrAnt1 LnCharrAnt2 LnAJahAnc500a LnPolQui1 LnAncCharr2 LnLVilQui

Línea o Transformador

[2]. MirandaV., Saraiva J. T., "Fuzzy Modelling of Power System Optimal Load FLow", IEEE Trans. on Power Systems, vol7 Nº2 May 1992. [3]. Friedman M., Ming M., Kandel A. “Fuzzy Linear Systems”. Fuzzy Sets and Systems. 96 (1998). Páginas 201-209.

[4]. Barbosa L.: “Towards a Comprensive Methodology for Power System Planing”. Tesis Doctoral, Facultad de Ingeniería Universidad de Porto. Noviembre 1997. [5]. Wood, A., Wollenberg, B.: “Power,

Generation, Operation, and Control“, John Wiley & SONS, INC., 2da Edición, ISBN 0-471-58699-4, 1996.

[6]. Klir G.;”Fuzzy Set Theory”, Pretice Hall PTR, 1997 ISBN: 0-13-341058-7.

[7]. Zimmerman H. J., "Fuzzy Set Theory and Its Applications", Allied, ISBN 81-7023-525-1.

Anexos Sistema Interconectado Cental Chileno, 69 Barras