3.3 Resonancia Magnética Nuclear
(Formulas & Ejercicios)
Dr. Willy H. Gerber, Dr. Constantino Utreras Instituto de Física, Universidad Austral
Valdivia, Chile
Objetivos: Comprender la técnica de resonancia magnética nuclear.
resorte de constante elástica k (N/m); x(t) es desplazamiento c/r a la posición de equilibrio,
• La fuerza elástica, debida al resorte, es (Ley de Hooke) (1)
• La ecuación de movimiento de Newton es • La ecuación de movimiento de Newton es
(2)
en que a es la aceleración del cuerpo. • La solución de la ecuación es
La solución se expresa en función de • La amplitud • La frecuencia angular , (4) • La fase inicial
Oscilaciones y Resonancia
• La fase inicial • La frecuencia (5) • El período (6) Periodo Amplitud Tiempo(7)
• La ecuación de movimiento es (8)
• agregamos la fuerza sinusoidal (9) (10) • la intensidad media es proporcional a ( )
Oscilaciones y Resonancia
proporcional a ( ) (11) • esta curva tiene un máximo en: Resonancia
• si el ancho de banda es estrecho, entonces , la resonancia se identifica fácilmente.
• Ejercen fuerzas magnéticas sobre cargas Eléctricas (12)
Para el caso de que es el ángulo entre y y ambos están en un plano perpendicular a
(13) (13) • y sobre corrientes
(14)
que en el caso de un alambre de largo en que el campo es constante a lo largo de el y es el vector unitario
perpendicular al disco que forma el alambre (15)
Conceptos de Magnetismo
• el campo magnético ( ) se mide en Tesla (T), o en Gauss (G), 1 (T) = 104 (G) (16)
• El campo magnético terrestre es B ≈ 1 (G) • Solenoide vueltas, largo , corriente
(17) = 1.2566×10−6 Tm/A
• un anillo (radio , área ) con corriente es una espira
• esta espira se comporta como un dipolo magnético, generando un campo magnético de tipo dipolar
• el momento (dipolar) magnético es , en que y es normal al plano de la espira
• en presencia de un campo magnético externo, la espira experimenta un torque
(18)
Conceptos de Magnetismo
• la fuerza sobre un dipolo es , (20)
o en forma aproximada para una variación en la dirección del dipolo sobre la
distancia
(21)
es decir, si el campo es uniforme • la energía es
• A mediados del siglo XIX, Faraday descubrió que un campo magnético variable en el tiempo es capaz de producir un campo eléctrico
• específicamente, demostró experimentalmente que, en un circuito que enlaza un flujo magnético
(23)
o para un campo a través de una superficie tipo disco de radio (24)
• Variable en el tiempo, se induce una fuerza electro-motriz (fem) ε, dada por (25)
o para pequeños tiempos (26)
Conceptos de Magnetismo
• aplicaciones: dinamos, motores eléctricos (de inducción), ondas • Maxwell: las ondas luminosas son un fenómeno electromagnético, • es posible emitir y detectar ondas electromagnéticas: Hertz (1883)
• El momento angular (spin) y el momento magnético son proporcionales,
(27) • es la razón geomagnética.
• la teoría clásica da (28) • la teoría clásica da (28)
con masa del protón.
• como , entonces (spines libres) (29)
• por relajamiento los spines se alinean con el campo magnético
Spin Nuclear y NMR
• los spines precesan a la frecuencia de Larmor, (30)
• Las ecuaciones de Bloch describen la relajación de los spines.
• Hay similaridad entre el trompo en campo gravitacional y los spines en el campo
• Los espines se relajan al valor de la magnetización (en presencia del campo externo ), que es el valor de equilibrio. El se deja calcular con la susceptibilidad magnética que es un parámetro propio del material mediante:
(31)
• Mz es la componente longitudinal y Mx , My son las componentes transversales
• T1 describe la relajación longitudinal y T2 la transversal.
Spin Nuclear y NMR
Precesión
• Los spines son alineados por el campo magnético estático intenso (0.3 T a 3 T) Los spines nucleares son excitados por un campo magnético variable en el tiempo
(31) El campo excitante
Pulso alta frecuencia
El campo excitante
(32)
a la frecuencia de resonancia de spines y perpendicular al campo principal
En MRI se utiliza la frecuencia del hidrogeno (protón) y
• el ángulo de rotación del spin es (33)
• un pulso de 90 o es un pulso que produce que los spines se orienten perpendicular a ~ B0, y tiene una duración tal que
duración tal que
, (34)
• por lo tanto, precesan formando un ángulo de 90 o con
• los spines emiten radiación al relajarse en presencia de
Spin Nuclear y NMR
• Cuando se relaja Mz, la componente z de la magnetización, el tiempo característico es T1, alcanzando el valor final asintóticamente
• Corresponde a la interacción de los spines nucleares con la red o átomos vecinos
• T1 y T2 dependen del tipo de tejido • T2 está entre 40 ms y 100 ms
• T1 está entre 200 ms y 900 ms
• en general T1 >> T2, además T1 depende de B0, pero T2 es independiente de B0
Tejido T2 (ms) T1 (ms) a 0.5 T T1 (ms) a 1T T1 (ms) a 1.5T Músculo 47±13 550±100 730±130 870±130 Músculo 47±13 550±100 730±130 870±130 Corazón 57±16 580±90 750±120 870±120 Hígado 43±14 330±70 430±90 500±90 Riñones 58±24 500±130 590±160 650±160 Bazo 67±27 540±100 680±130 780±130 Grasa 84±36 219±60 240±70 270±70 Materia gris 101±13 660±110 810±140 920±140 Materia blanca 92±22 540±90 680±120 790±120
Ejercicios
1. Considerando la analogía mecánica; si un resorte tienen una constante de
10 N/m y una masa de 10g, ¿cual es la frecuencia angular propia con la que oscilaría el resorte? (31.623 rad/s)
2. ¿Con que frecuencia oscilaría el resorte del ejercicio anterior? (5.033 Hz) 3. ¿Cual es el periodo de la oscilación de los ejercicios anteriores? (0.199 s)
4. Si el roce es proporcional a la velocidad y la coeficiente de roce viscoso es de 0.003 Ns/m, ¿cual es el ancho de banda? (0.15 Hz)
5. ¿Cual es la intensidad media para los ejercicios anteriores en las frecuencias angulares 0, ¼, ½, ¾, 1, 2, 4, 10, 100 veces la frecuencia angular de resonancia? angulares 0, ¼, ½, ¾, 1, 2, 4, 10, 100 veces la frecuencia angular de resonancia? (2.25x10-5,4.00x10-5,9.00x10-5,3.60x10-4,1.00,2.25x10-5,2.50x10-6,
2.78x10-7,2.29x10-9)
6. ¿Cual es el campo magnético de una bobina de 5 cm de largo, 100 vueltas y corriente de 1 A? (2.513x10-3 T)
7. Si un electrón (carga 1.6x10-19 C, masa 9.11x10-31 kg) entra con el 90% de la velocidad de la luz (3x10+8 m/s) en forma perpendicular al campo del ejercicio anterior, ¿que aceleración experimenta y en que dirección? (1.19x10+17 m/s2, perpendicular al campo y dirección de movimiento – regla de la mano derecha)
de radio 1 cm con 10 vueltas? (3.14x10-3 Cm2/s)
10. Si la bovina del ejercicio anterior se encuentra en un campo magnético de 1 T con siendo el ángulo entre el momento magnético y dicho campo de 30º, ¿cual es el torque que sufre la bovina? (1.57x10-3 Nm)
11. ¿Cual es la energía del momento magnético si se orienta paralelo al campo?, ¿cual si se orienta anti paralelo? (-2.72x10-3 J, +2.72x10-3 J)
12. Cual es la razón giro magnética? Considere la carga del protón como 1.6x10-19 C y la masa 1.67×10−27 kg. (4.79x10+7 C/kg)
masa 1.67×10−27 kg. (4.79x10+7 C/kg)
13. ¿Cual seria la frecuencia angular de Larmor para un campo estático de 1T? (47.9 MHz)
14. ¿Cual es el momento magnético del agua si el cuerpo se encuentra en un campo magnético de 1 T y la susceptibilidad del agua es -9.035x10-6? (-7.19 Am2)
15. Si asumimos que el momento magnético calculado en el ejercicio anterior aplica para muestras con musculo y grasa con tiempos de relajamiento de 0.73 [s] y 0.24 [s] respectivamente, ¿que magnetización existe a los 1 [s] para cada caso? (-5.36 Am2,-7.08 Am2)