Matrices elementales

(1)

Matrices elementales

Jana Rodriguez Hertz GAL 1

IMERL

(2)

transformaciones elementales

recordemos: transformaciones elementales

llamamostransformación elementalen una matriz a

1 _{multiplicar una fila por una constante}_α6=₀

2 _{intercambiar dos filas de lugar}

(3)

matriz elemental

llamamosmatriz elemental

a toda matriz que resulte de aplicar una transformación elemental

(4)

matrices elemental

matriz elemental

matriz elemental tipo 1

E_α∗i =           1 0 . . . 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . 0 .. . ... . .. 0 0 0 . . . α . . . 0 .. . . .. ... 0 0 . . . 0 . . . 1           ←Fi

(5)

matriz elemental

E_i,j =           1 0 . . . 0 . . . 0 0 0 . . . 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 1 . . . 0 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 0 . . . 1           ←Fi ←Fj

(6)

matrices elemental

matriz elemental

E_i+α∗j =           1 0 . . . 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 α . . . 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 0 . . . 1           ←Fj ←Fi+αFj

(7)

proposición

A∈ M_m×n(K)matrizm×n

realizamos una transformación elemental

y obtenemos una matrizB∈ Mm×n(K)

entonces

B=EA

dondeE es la matriz elemental asociada a la

(8)

propiedades

ejemplo

ejemplo A=   1 0 2 1 2 −1 3 6 1 4 4 0   E3+3∗1=   1 0 0 0 1 0 3 0 1  

asociada con la operación: F37→F3+3F1 1 0 2 1 1 −1 3 6 1 4 4 0 1 0 0 1 0 2 1 0 1 0 1 −1 3 6 3 0 1 4 4 10 3

(9)

ejemplo

ejemplo A=   1 0 2 1 2 −1 3 6 1 4 4 0   E1,2=   0 1 0 1 0 0 0 0 1  

asociada con la operación: F2↔F1 1 0 2 1 1 −1 3 6 1 4 4 0 0 1 0 1 −1 3 6 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 1 4 4 0

(10)

propiedades

ejemplo

ejemplo A=   1 0 2 1 2 −1 3 6 1 4 4 0   E5∗1=   5 0 0 0 1 0 0 0 1  

asociada con la operación: F17→5∗F1 1 0 2 1 1 −1 3 6 1 4 4 0 5 0 0 5 0 10 5 0 1 0 1 −1 3 6 0 0 1 1 4 4 0

(11)

demostración

demostración a11 a12 . . . a1n .. . ... . . . ... ai1 ai2 . . . ain .. . ... . . . ... am1 am2 . . . amn 1 . . . 0 . . . 0 a11 a12 . . . a1n .. . . .. ... ... ... ... ... . . . ... 0 . . . α . . . 0 αai1 αai2 . . . αa1n .. . . .. ... ... ... ... ... . . . ... 0 . . . 0 . . . 1 am1 am2 . . . amn

(12)

propiedades

demostración

(13)

corolario

toda matrizApuede reducirse a su forma escalerizada

multiplicándola por un número finito de matrices elementales

o sea, existenE1, . . . ,Ek matrices elementales

tales que

(14)

escalerizando

demostración

es una consecuencia del hecho de que

toda matriz se puede escalerizar en un número finito de transformaciones elementales

(15)

proposición

consideremos una matriz cuadradaA∈ Mn(K)

si rango(A) =n, entonces

hay un número finito de matrices elementalesE1, . . . ,Ek

tales que

(16)

escalerizando

demostración

recordemos que rango(A) =número escalones deA=n

entonces, multiplicando aApor un número finito de M.E.

obtenemos      α11 α12 . . . α1n 0 α22 . . . α2n .. . ... . .. ... 0 0 . . . αnn      conαii 6=0

(17)

demostración

como todos losαii 6=0

podemos multiplicar porE_i_∗_α−1

ii ,i=1, . . . ,n y obtenemos      1 α12 α11 . . . α1n α11 0 1 . . . α2n α22 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 1     

(18)

escalerizando

demostración

demostración es decir         1 ∗ . . . ∗ ∗ 0 1 . . . ∗ ∗ .. . ... . .. ... ... 0 0 . .. 1 ∗ 0 0 . . . 0 1        

(19)

demostración

demostración y obtenemos         1 ∗ . . . ∗ 0 0 1 . . . ∗ 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 . .. 1 0 0 0 . . . 0 1        

luego multiplicamos porEi−∗(n−1)coni=1, . . . ,n−1

(20)

invertibilidad

proposición

invertibilidad de las matrices elementales toda matriz elemental es invertible

(21)

demostración

demostración: matrices de tipo 1 la inversa deEi∗αconα6=0, es Ei∗α−1 1 . . . 0 . . . 0 .. . . .. ... . .. ... 0 . . . α−1 . . . 0 .. . . .. ... . .. ... 0 . . . 0 . . . 1 1 . . . 0 . . . 0 1 . . . 0 . . . 0 .. . . .. ... ... ... ... ... ... . .. ... 0 . . . α . . . 0 0 . . . 1 . . . 0 .. . . .. ... ... ... ... ... ... . .. ... 0 . . . 0 . . . 1 0 . . . 0 . . . 1

(22)

invertibilidad

demostración

demostración del mismo modo

la inversa deEi,j esEi,j

la inversa deEi+α∗j esEi−α∗j

(23)

corolario

criterio de invertibilidad

una matriz es invertible si y sólo si

se puede escribir como producto de matrices elementales

es decir,Ainvertible ⇐⇒

(24)

invertibilidad

demostración

demostración⇒ Ainvertible ⇒rango(A) =n ⇒Ek. . .E1A=Ix proposición anterior

como cadaEi es invertible:

A=E₁−1. . .E_k−1

(25)

demostración

demostración⇐

supongamos queAes producto de matrices elementales

A=Ek. . .E1

⇒

E₁−1. . .E_k−1A=E₁−1. . .E_k−1Ek. . .E1=I

Atiene inversa a izquierda