Variables aleatorias

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Variables aleatorias

Distribuciones continuas

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua, o que X es una variable continua, si existe una función no negativa f, definida sobre los números

reales, tal que para cada intervalo en los reales, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo es igual a la integral sobre ese mismo intervalo

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Variables aleatorias

Por ejemplo:

A la función

f

se le llama función de densidad de probabilidad o simplemente densidad de probabilidad

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Variables aleatorias

Alternativamente:

Se define la función de densidad de

probabilidad (pdf), f(x), de una variable aleatoria continua X como aquella que satisface:

,

es decir, la probabilidad de que

x

caiga entre

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Variables aleatorias

La densidad de probabilidad, f(x), debe satisfacer que:

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Variables aleatorias

Comentario:

las distribuciones continuas asignan

probabilidad cero a valores individuales, es decir, si X es una variable continua

Pr(X=a)=0

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Variables aleatorias

Ejemplo:

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Variables aleatorias

Comentario:

La densidad de probabilidad NO es la probabilidad de X cerca de

x

.

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Variables aleatorias

Ejemplo:

Suponga que la función de densidad de probabilidad (pdf) está dada por:

¿Cuál es el valor de c? Determine :

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Variables aleatorias

Similarmente al caso discreto, se define la función de distribución cumulativa (cdf)

F(x):

De modo que Además:

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Variables aleatorias

Comentarios:

- La función de distribución cumulativa

F(x)

Es una función no decreciente con

x

- Una función de distribución cumulativa es siempre continua por la derecha:

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Variables aleatorias

Ejemplo:

Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [a,b].

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Variables aleatorias

Comentario:

Una variable aleatoria discreta puede tratarse como una variable aleatoria continua y

asignarse la correspondiente densidad de probabilidad.

Si X es una variable discreta que toma los valores x1,...,xn con probabilidades p1,...,pn , entonces la densidad de probabilidad

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Varias variables aleatorias

Es común encontrar problemas que

dependen de más de una variable aleatoria. Los resultados que hemos visto pueden

extenderse a dos o más variables aleatorias.

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Varias variables aleatorias

Distribucion conjunta discreta.

Sean X y Y dos variables aleatorias y

consideremos el par ordenado (X,Y). Si existe un número contable de diferentes valores

(xi,yi) para el par (X,Y), entonces X, Y tienen una distribución discreta.

Definición: La función de probabilidad

conjunta de X,Y se define como la función f

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Varias variables aleatorias

Con

Si (xi,yi) NO es uno de los valores posibles del par (X,Y) entonces f(xi,yi) = 0. Además,

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Varias variables aleatorias

Similarmente al caso continuo para una variable tenemos ahora que:

donde f(x,y) es la función de densidad de probabilidad conjunta que satisface:

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Varias variables aleatorias

Caso especial: variables independientes. Es frecuente encontrar casos donde las

variables aleatorias X, Y no dependen una de otra. En este caso la densidad de

probabilidad puede escribirse como

Pr(X=xi ,Y=yi )=g(xi )h(yi ) ,

donde g(xi) y h(yi) son las densidades de probabilidad de X y Y.

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Varias variables aleatorias

Sobre el tema de variables aleatorias independientes, supongamos que nos

interesa saber la densidad de probabilidad de la suma de variables independientes.

Sea Y = X1 + X2, donde X1 , X2 son variables aleatorias independientes con densidades de probabilidad f1 y f2 . La densidad de

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Varias variables aleatorias

Distribución cumulativa conjunta

La distribución cumulativa conjunta para dos variables aleatorias X y Y está definida como la función

F

tal que para todos los valores de

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Varias variables aleatorias

Si X e Y tienen una densidad de probabilidad conjunta f(x,y) entonces

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Varias variables aleatorias

Distribución marginal

Frecuentemente en un problema de varias variables, digamos 2 variables, estamos

interesados en la distribución de una sóla de las variables. Dicha distribución se obtiene a través de la distribución conjunta y se le

llama distribución marginal.

Por ejemplo, para el caso discreto, si X e Y son variables aleatorias con función de

distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f1 está dada por

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Varias variables aleatorias

Por ejemplo, para el caso discreto, si X y Y son variables aleatorias con distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f1 está dada por

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Varias variables aleatorias

Distribución condicional

Así como en el cálculo de probabilidades era de interés conocer la probabilidad de un

evento dado que otro había sucedido, ahora nos preguntamos por la distribución de una variable X dado que otra, Y, ha tomado un valor Y=y. La distribución de la probabilidad condicional viene dada por:

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Varias variables aleatorias

Distribución condicional Para n variables:

donde f2 es la distribución marginal de X1,... Xk

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Varias variables aleatorias

Ley de la probabilidad total y teorema de Bayes

Para n variables:

donde y

Y el teorema de Bayes para variables aleatorias es:

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Funciones de variables aleatorias

Frecuentemente se requiere la distribución

de una función de las variables aleatorias. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria,

quisieramos saber la distribución de 1/X, o bien para dos variables X1,X2, ¿cuál es la probabilididad de exp(X1+X2)?

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Varias variables aleatorias

Funciones de variables aleatorias

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Variables aleatorias

Algunas propiedades de las distribuciones

Las distribuciones de probabilidad tienen toda la información estadística de las variables

aleatorias en cuestión.

En muchas ocasiones algunas propiedades de las distribuciones nos dan suficiente información

estadística de las variables aleatorias.

Los llamados valores esperados (o promedios o momentos) son cantidades estadísticas simples que nos dan información de las variables

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Variables aleatorias

Valor esperado, valor promedio, promedio, valor medio, media, o primer momento

La propiedad más utilizada para caracterizar una distribución de variables aleatorias es el llamado valor medio.

Si X es una variable aleatoria el valor esperado E[X] está definido como

f(x) es la función de probabilidad (discreto) o densidad de probabilidad (continuo)

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Variables aleatorias

En general, para una función de variables aleatorias, tenemos

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Variables aleatorias

Una propiedad:

También, si f(x) y g(x) son funciones de probabilidad discretas (o bien, continuas) tenemos que:

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Variables aleatorias

Varianza (que tan dispersos son los valores de una variable aleatoria respecto al valor medio) Sea X es una variable aleatoria, su varianza está dada por:

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Variables aleatorias

Se pueden demostrar las siguientes igualdades para la varianza (a y b constantes):

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Variables aleatorias

Generalización: k-ésimo momento Este se define como:

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Variables aleatorias

Similarmente, el k-ésimo momento central viene definido por

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Variables aleatorias

Comentario:

Los momentos centrales y tienen nombre: “skewness” y “kurtosis”

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Variables aleatorias

Función generadora (generatriz) de probabilidad

donde fn =Pr(X=xn ) y xn toma valores enteros no negativos

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Variables aleatorias

de modo que, por ejemplo, el primer momento está dado por

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Variables aleatorias

Otro tipo de función generadora (generatriz) es la función generadora de momentos

Para una variable aleatoria X y un número real t,

esta función se define como:

La función generadora existe para todo valor de t siempre que X esté acotada y MX(t=0)=E(1)=1

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Variables aleatorias

Entonces, el n-ésimo momento de X está dado por:

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Variables aleatorias

Ejemplo: función generadora de una densidad de distribución Gaussiana está dada por:

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Variables aleatorias

Caso especial: suma de variables independientes Si X1,...,Xn son variables independientes y

Sn=X1+ ... +Xn, entonces

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Variables aleatorias

Un poco más general: si ahora Sn está dada por la

suma de variables independientes de la forma: Sn=c1X1+ ... +cnXn ,

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Variables aleatorias

Covarianza y correlación

Estas dos cantidades nos dicen que tanto están relacionadas/(dependen entre sí) dos variables aleatorias.

Covarianza: sean X e Y variables aleatorias con valores bien definidos

y

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Variables aleatorias

Covarianza y correlación

Se puede mostrar que la covarianza se puede escribir como:

De aquí que, si X e Y son variables independientes

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Variables aleatorias

Covarianza y correlación

En cuanto a la correlación, ésta se define como

Se puede demostra que: y

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Variables aleatorias

Si hay una dependencia lineal entre las

variables X e Y, digamos Y=aX + b, tenemos que

Corr[X,Y] =1 , si a es una constante positiva y

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Variables aleatorias

Comentarios:

a) El hecho de que haya una relación entre dos variables aleatorias, digamos Y=X*X, no implica que ambas variables esten correlacionadas

b) Si las variables son independientes =>

pero no en el otro sentido, i.e, si no implica que las variables sean independientes

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Variables aleatorias

Si X e Y son variables aleatorias con varianza finita entonces

Si las variables son independientes tenemos

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Variables aleatorias

Teorema del límite central Sean X1,...,Xn n variables aleatorias independientes cada una descrita

(estadísticamente) por funciones de probabilidad fi(x) con valores medios y varianzas .

Entonces la variable

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Variables aleatorias

1-El valor esperado está dado por

2-La varianza viende dada por

3-Para la función de probabilidad de Z tiene a una distribución normal (Gaussiana) con media y varianza dada en 1 y 2.

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Variables aleatorias

Comentarios:

1) Si las Xi siguen la misma distribución,

para la distribución de Z se aproxima a una distribución normal con valor medio y

varianza

2) Si una variable aleatoria está dada por podemos hacer

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