Variables aleatorias

Variables aleatorias

Distribuciones continuas

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua, o que X es una variable continua, si existe una función no negativa f, definida sobre los números

reales, tal que para cada intervalo en los reales, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo es igual a la integral sobre ese mismo intervalo

Variables aleatorias

Por ejemplo:

A la función

f

Variables aleatorias

Alternativamente:

Se define la función de densidad de

probabilidad (pdf), f(x), de una variable aleatoria continua X como aquella que satisface:

,

es decir, la probabilidad de que

x

Variables aleatorias

La densidad de probabilidad, _f(x), debe satisfacer que:

Variables aleatorias

Comentario:

las distribuciones continuas asignan

probabilidad cero a valores individuales, es decir, si X es una variable continua

Pr(X=a)=0

Variables aleatorias

Ejemplo:

Variables aleatorias

Comentario:

La densidad de probabilidad NO es la probabilidad de X cerca de

x

Variables aleatorias

Ejemplo:

Suponga que la función de densidad de probabilidad (pdf) está dada por:

¿Cuál es el valor de c? Determine :

Variables aleatorias

Similarmente al caso discreto, se define la función de distribución cumulativa (cdf)

F(x):

De modo que Además:

Variables aleatorias

Comentarios:

- La función de distribución cumulativa

F(x)

x

- Una función de distribución cumulativa es siempre continua por la derecha:

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Ejemplo:

Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [a,b].

Variables aleatorias

Comentario:

Una variable aleatoria discreta puede tratarse como una variable aleatoria continua y

asignarse la correspondiente densidad de probabilidad.

Si X es una variable discreta que toma los valores x₁,...,x_n con probabilidades p₁,...,p_n , entonces la densidad de probabilidad

Varias variables aleatorias

Es común encontrar problemas que

dependen de más de una variable aleatoria. Los resultados que hemos visto pueden

extenderse a dos o más variables aleatorias.

Varias variables aleatorias

Distribucion conjunta discreta.

Sean X y Y dos variables aleatorias y

consideremos el par ordenado (X,Y). Si existe un número contable de diferentes valores

(x_i,y_i) para el par (X,Y), entonces X, Y tienen una distribución discreta.

Definición: La función de probabilidad

conjunta de X,Y se define como la función f

Varias variables aleatorias

Con

Si (x_i,y_i) NO es uno de los valores posibles del par (X,Y) entonces f(x_i,y_i) = 0. Además,

Varias variables aleatorias

Similarmente al caso continuo para una variable tenemos ahora que:

donde f(x,y) es la función de densidad de probabilidad conjunta que satisface:

Varias variables aleatorias

Caso especial: variables independientes. Es frecuente encontrar casos donde las

variables aleatorias X, Y no dependen una de otra. En este caso la densidad de

probabilidad puede escribirse como

Pr(X=x_i ,Y=y_i )=g(x_i )h(y_i ) ,

donde g(x_i) y h(y_i) son las densidades de probabilidad de X y Y.

Varias variables aleatorias

Sobre el tema de variables aleatorias independientes, supongamos que nos

interesa saber la densidad de probabilidad de la suma de variables independientes.

Sea Y = X₁ + X₂, donde X₁ , X₂ son variables aleatorias independientes con densidades de probabilidad f₁ y f₂ . La densidad de

Varias variables aleatorias

Distribución cumulativa conjunta

La distribución cumulativa conjunta para dos variables aleatorias X y Y está definida como la función

F

Varias variables aleatorias

Si X e Y tienen una densidad de probabilidad conjunta f(x,y) entonces

Varias variables aleatorias

Distribución marginal

Frecuentemente en un problema de varias variables, digamos 2 variables, estamos

interesados en la distribución de una sóla de las variables. Dicha distribución se obtiene a través de la distribución conjunta y se le

llama distribución marginal.

Por ejemplo, para el caso discreto, si X e Y son variables aleatorias con función de

distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f₁ está dada por

Varias variables aleatorias

Por ejemplo, para el caso discreto, si X y Y son variables aleatorias con distribución conjunta f(x,y), entonces la distribución marginal f₁ está dada por

Varias variables aleatorias

Distribución condicional

Así como en el cálculo de probabilidades era de interés conocer la probabilidad de un

evento dado que otro había sucedido, ahora nos preguntamos por la distribución de una variable X dado que otra, Y, ha tomado un valor Y=y. La distribución de la probabilidad condicional viene dada por:

Varias variables aleatorias

Distribución condicional Para n variables:

donde f₂ es la distribución marginal de X₁,... X_k

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Ley de la probabilidad total y teorema de Bayes

Para n variables:

donde y

Y el teorema de Bayes para variables aleatorias es:

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Funciones de variables aleatorias

Frecuentemente se requiere la distribución

de una función de las variables aleatorias. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria,

quisieramos saber la distribución de 1/X, o bien para dos variables X₁,X_2, ¿cuál es la probabilididad de exp(X₁+X₂)?

Varias variables aleatorias

Funciones de variables aleatorias

Variables aleatorias

Algunas propiedades de las distribuciones

Las distribuciones de probabilidad tienen toda la información estadística de las variables

aleatorias en cuestión.

En muchas ocasiones algunas propiedades de las distribuciones nos dan suficiente información

estadística de las variables aleatorias.

Los llamados valores esperados (o promedios o momentos) son cantidades estadísticas simples que nos dan información de las variables

Variables aleatorias

Valor esperado, valor promedio, promedio, valor medio, media, o primer momento

La propiedad más utilizada para caracterizar una distribución de variables aleatorias es el llamado valor medio.

Si X es una variable aleatoria el valor esperado E[X] está definido como

f(x) es la función de probabilidad (discreto) o densidad de probabilidad (continuo)

Variables aleatorias

En general, para una función de variables aleatorias, tenemos

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Una propiedad:

También, si f(x) y g(x) son funciones de probabilidad discretas (o bien, continuas) tenemos que:

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Varianza (que tan dispersos son los valores de una variable aleatoria respecto al valor medio) Sea X es una variable aleatoria, su varianza está dada por:

Variables aleatorias

Se pueden demostrar las siguientes igualdades para la varianza (a y b constantes):

Variables aleatorias

Generalización: k-ésimo momento Este se define como:

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Similarmente, el k-ésimo momento central viene definido por

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Comentario:

Los momentos centrales y tienen nombre: “skewness” y “kurtosis”

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Función generadora (generatriz) de probabilidad

donde f_n =Pr(X=x_n ) y x_n toma valores enteros no negativos

Variables aleatorias

de modo que, por ejemplo, el primer momento está dado por

Variables aleatorias

Otro tipo de función generadora (generatriz) es la función generadora de momentos

Para una variable aleatoria X y un número real t,

esta función se define como:

La función generadora existe para todo valor de t siempre que X esté acotada y M_X(t=0)=E(1)=1

Variables aleatorias

Entonces, el n-ésimo momento de X está dado por:

Variables aleatorias

Ejemplo: función generadora de una densidad de distribución Gaussiana está dada por:

Variables aleatorias

Caso especial: suma de variables independientes Si X₁,...,X_n son variables independientes y

S_n=X₁+ ... +X_n, entonces

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Un poco más general: si ahora S_n está dada por la

suma de variables independientes de la forma: S_n=c₁X₁+ ... +c_nX_n ,

Variables aleatorias

Covarianza y correlación

Estas dos cantidades nos dicen que tanto están relacionadas/(dependen entre sí) dos variables aleatorias.

Covarianza: sean X e Y variables aleatorias con valores bien definidos

y

Variables aleatorias

Covarianza y correlación

Se puede mostrar que la covarianza se puede escribir como:

De aquí que, si X e Y son variables independientes

Variables aleatorias

Covarianza y correlación

En cuanto a la correlación, ésta se define como

Se puede demostra que: y

Variables aleatorias

Si hay una dependencia lineal entre las

variables X e Y, digamos Y=aX + b, tenemos que

Corr[X,Y] =1 , si a es una constante positiva y

Variables aleatorias

Comentarios:

a) El hecho de que haya una relación entre dos variables aleatorias, digamos Y=X*X, no implica que ambas variables esten correlacionadas

b) Si las variables son independientes =>

pero no en el otro sentido, i.e, si no implica que las variables sean independientes

Variables aleatorias

Si X e Y son variables aleatorias con varianza finita entonces

Si las variables son independientes tenemos

Variables aleatorias

Teorema del límite central Sean X₁,...,X_n n variables aleatorias independientes cada una descrita

(estadísticamente) por funciones de probabilidad f_i(x) con valores medios y varianzas .

Entonces la variable

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1-El valor esperado está dado por

2-La varianza viende dada por

3-Para la función de probabilidad de Z tiene a una distribución normal (Gaussiana) con media y varianza dada en 1 y 2.

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Comentarios:

1) Si las X_i siguen la misma distribución,

para la distribución de Z se aproxima a una distribución normal con valor medio y

varianza

2) Si una variable aleatoria está dada por podemos hacer