. M odulo 3 Algebra Gu ıa de Ejercicios

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odulo 3

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Algebra

Gu´ıa de Ejercicios

(2)

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_Indice

Unidad I.

Operaciones algebraicas en polinomios

Ejercicios Resueltos ... p´ag. 2 Ejercicios Propuestos ... p´ag. 7

Unidad II.

Factorizaciones

Unidad III.

Ecuaciones de primer grado

Unidad IV.

Inecuaciones lineales

(3)

Unidad I.

Operaciones algebraicas en polinomios

Ejercicios Resueltos 1. Reducir la expresión−8x−[x−4(3−x) + 1] Solución −8x−[x−12 + 4x+ 1] = −8x−[−11 + 5x] = −8x+ 11−5x = −8x−11 + 5x = −3x−11 2. Al reducir la expresión (1−x2)(1−x) 1 +x resulta a) 1−x2 b) 1−2x+x2 c) 1 d) 1 +x2 e) 0 Solución (1−x2₎₍₁₋_x₎ 1 +x = (1−x)(1 +x)(1−x) 1 +x = (1−x)2 = 1−2x+x2

(4)

3. En una caja hay N bolitas, de las cualesB% son blancas, R% son rojas y el resto son azules. La cantidad de bolitas azules es:

a) N − B 100− R 100 b) N − B+R 100N c) 100−B%−R% d) N −(B+N) % e) N − BN+RN 100 Soluci´on

B% de las N son blancas, entonces el n´umero de blancas es B

100N

R% de las N son rojas, entonces el n´umero de rojas es ₁₀₀R N

El resto son azules, es decir N−(blancas+rojas)

N − B 100N + R 100N =N − BN +RN 100 4. Multiplicar (a−1)(an₊_an+1₊_an+2₎ a) −an₊_an+3 b) an₊_a3n c) an₋₂_a2n d) an+an+3 e) an−an+3 Soluci´on (a−1)(an+an+1+an+2) = an·a+an+1·a+an+2·a−an−an+1−an+2 = an+1+an+2+an+3−an−an+1−an+2 = an+3−an

(5)

5. Si x es un n´umero de 2 d´ıgitos, en que el d´ıgito de las unidades es a y el d´ıgito de las decenas es b, entonces el antecesor de x es

a) a+b−1 b) 100 +b−1 c) 10b+a−1 d) 100b+ 10a−1 e) 10(b−1) +a Soluci´on

Si x es un n´umero de dos d´ıgitos, entonces se puede escribir como x= 10b+a. El antecesor de x es (x−1), entonces x−1 = 10b−a−1 6. Sumar (1,¯1a−2,¯3b) + (0,0¯1a+ 0,0¯3b) = a) 101₉₀a−23 10b b) 11₉a− 18 9 b c) 11₉a+ 18₉b d) 101₉ a−23 10b e) 101₉₀a−23 90b Soluci´on ₁₁−₁ 9 a− 23−2 9 b + ₁ 90a+ 3 90b = 10 9 a− 21 9 b+ 1 90a+ 3 90b = ₁₀ 9 + 1 90 a+ ₃ 90− 21 9 b = 101 90 a+ −207 90 b = 101 90 a− 23 10b

(6)

7. Multiplicar los polinomios ₂ 5xy 2_z25 4 x 2_y₍₋₂_yz−3_{) =} a) −5x−3_y4_z−2 b) −5x3_y−4_z−2 c) 5x−3y4z−2 d) −5x3y4z−2 e) 5x3y4z−2 Soluci´on 2 5xy 2 z 25 4 x 2 y (−2yz−3) = 2 5 · 25 4 · −2·xy 2 zx2yyz−3 = −5x1+2·y2+1+1·z1−3 = −5x3·y4·z−2 8. Simplifique 0,2a+ [(3,4a−2,5)−(2,3a−0,7)] + 0,2 = a) 1,3a−1,6 b) 1,3a−8,4 c) −1,3a+ 1,6 d) 1,3a+ 1,6 e) −1,3a−1,6 Soluci´on 0,2a+ [(3,4a−2,5)−(2,3a−0,7)] + 0,2 = 0,2a+ [3,4a−2,5−2,3a+ 0,7] + 0,2 = 0,2a+ [1,1a−1,8] + 0,2 = 0,2a+ 1,1a−1,8 + 0,2 = 1,3a−1,6

(7)

9. Al restar la expresión−(1−a) de −(−a), se obtiene a) 1 b) −1 c) −2a+ 1 d) −2a−1 e) 2a−1 Solución [−(−a)]−[−(1−a)] = [a]−[−1 +a] =a+ 1−a= 1 10. Multiplicar (−2ab)(a2_b₋₃_ab3₎ a) −2a3_b2₋₆_a2_b4 b) 2a3_b2_{+ 6}_a2_b4 c) −2a3b2−6a2b6 d) −2a3b2+ 6a2b4 e) 2a3b2 + 6a2b6 Solución (−2ab)(a2b−3ab3) = (−2ab)(a2b) + (−2ab)(−3ab3) = −2a3b2+ 6a2b4

(8)

Ejercicios Propuestos

1. Evaluar las siguientes expresiones algebraicas a) ab2₋_a3 _:_c

b) 1_a

−

1_b

−

1_c

utilizando a =−2, b=−3,c= 4 y luego cona= 3, b =−4,c= 1.

2. La expresi´on x−2y+ 3z−4−2x+ 4y−z+ 3 es igual a a) −x+ 2y−2z−1 b) −x−2y+ 2z−1 c) −x+ 2y+ 2z−1 d) x+ 2y+ 2z−1 e) −x+ 2y+ 2z+ 1 3. La expresi´on a2_b₋ 1 3ab 2₋ 1 4a 2_b₊2 3ab 2₋_{1 es igual a} a) 3₄ab2 +1₃a2b−1 b) 3₄a4_b2₊1 3a 4_b₋₁ c) 3₄ab2−1 3a 2_b₋₁ d) 3₄a2_b₊1 3ab 2₋₁ e) −3 4ab 2 ₊1 3a 2_b₋₁ 4. El valor de x− 1 y y− 1 x es a) y x b) x y c) x−1 y−x d) y−1 x−1 e) xy−1 xy

(9)

5. Elimine par´entesis y reduzca los t´erminos semejantes: − _a 3 − − b 2 −(1−c) −b = a) −1 3a+ 1 2b+c+ 1 b) −1 3a+ 3 2b+c−1 c) −1 3a+ 1 2b+c−1 d) −1 3a+ 1 2b−c−1 e) 1₃a+1₂b+c−1

6. Reduzca la siguiente expresi´on algebraica

3x+ 2y− {2x−[3x−(2y−3x)−2x]−y}= a) 5x+ 5y b) 5x+y c) −7x+ 5y d) 7x−5y e) 5x−y 7. Si A= 2x2 + 3x+ 7 yB = 5x2−7x−4, entonces −2(A+B) = a) 6x2₋₂₀_x₋₂₀ b) −14x2₋₈_x₋₆ c) −14x2_{+ 8}_x₋₆ d) −14x2₋₂₀_x₋₆ e) −6x2₋₂₀_x₋₂₀

8. La edad de Francisca hace 3 años era x+ 7, mientras que la de Ignacia era y−3. La expresión que indica la diferencia de años que actualmente tiene Francisca e Ignacia es: a) x+y+ 10

b) x+y−16 c) x+ 13−y

d) x+y−10 e) x+ 10−y

(10)

9. El enunciado: el cuadrado del triple de la suma de a y b es mayor en 3 unidades que el triple de la suma de los cuadrados de a y b se expresa por

a) 3(a+b)2 _{= 3(}_a2₊_b2_{) + 3}

b) 3(a+b)2 _{= 3(}_a2₊_b2₎₋₃

c) [3(a+b)]2 _{= 3(}_a2₊_b2_{) + 3}

d) [3(a+b)]2 = 3(a2+b2)−3 e) [3(a+b)]2 = 3(a2+b2) + 3

10. El triple del cuadrado de k es 5 unidades mayor que p, se expresa como a) 3k2₋_{5 =} _p

b) 3k2_{+ 5 =}_p

c) (3k)2_{+ 5 =}_p

d) 3(2k)2₋_{5 =}_p

(11)

Unidad II.

Factorizaciones

Ejercicios Resueltos

1. Uno de los factores de (8z3₋_{1) es}

a) 2z+ 1 b) 2z−1 c) 6z3+ 1 d) z−1 e) z+ 1 Soluci´on 8z3−1 = (2z)3−13 = (2z−1)((2z)2+ 2z+ 12) = (2z−1)(4z2+ 2z+ 1) 2. Al factorizar (6x2+ 7x+ 2) se obtiene a) (3x−2)(2x−1) b) (3x+ 2)(2x−1) c) (3x−2)(2x+ 1) d) (3x+ 1)(2x+ 2) e) (3x+ 2)(2x+ 1) Soluci´on

Al amplificar y simplificar a la vez por 6:

6 6(6x 2_{+ 7}_x_{+ 2) =} 1 6[(6x) 2_{+ 7(6}_x_{) + 12]} = 1 6[(6x+ 4)(6x+ 3)] = 1 6[2(3x+ 2)·3(2x+ 1)] = (3x+ 2)(2z+ 1)

(12)

3. Al factorizar (z2₋_{4 +}_zx₋₂_x_{) se obtiene} a) (z−2)(z+x+ 2) b) (z−2)(z+ 2) c) z(z−4 +x−2) d) z(z+x)·2(2 +x) e) (z+ 2)(z+ 2 +x) Soluci´on z2−4 +zx−2x = z2−22+x(z−2) = (z−2)(z+ 2) +x(z−2) = (z−2)[(z+ 2) +x] 4. Obtenga la factorizaci´on de 4−(x−1)2 a) (3 +x)(5−x) b) (3 +x)(1−x) c) (1 +x)(1−x) d) (1 +x)(3−x)

e) Ninguna de las anteriores

Soluci´on

4−(x−1)2 = 22 −(x−1)2

= [2 + (x−1)][2−(x−1)] = (2 +x−1)(2−x+ 1) = (1 +x)(3−x)

(13)

5. Utilice factorización y reduzca la expresión 25a4₋₁₆_b2 4b−5a2 Solución 25a4−16b2 4b−5a2 = (5a2)2−(4b)2 4b−5a2 = (5a 2_{+ 4}_b₎₍₅_a2₋₄_b₎ −(5a2₋₄_b₎ = (5a 2_{+ 4}_b₎ −1 = −(5a2+ 4b)

6. Un globo aerostático vuela con una rapidez de (n+ 8) km/hr. A esta rapidez, ¿cuánto tiempo, en horas, le tomará volar (n2+ 5n−24) km?

a) n+ 3 b) n−3 c) (n−3)(n+ 8)2 d) n+ 16 e) n−16 Soluci´on

Se sabe que la velocidad es distancia dividida en el tiempo. En este caso la velocidad es (n+ 8) y la distancia es (n2+ 5n−24) t = distancia velocidad = n2+ 5n−24 n+ 8 = (n+ 8)(n−3) n+ 8 =n−3

(14)

7. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) factor(es) de la expresión algebraica (x2₋₇_x_{+ 12)?} I. x−4 II. x−1 III. x−3 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III e) Sólo I y III Solución

Se necesitan dos n´umeros que al multiplicarlos se obtenga 12 y al sumarlos −7; estos son (−3) y (−4). Entonces

x2−7x+ 12 = (x−3)(x−4)

Ambos factores encontrados aparecen en las alternativas.

8. La expresi´on (1−p6_{) es equivalente a} a) (1−p3)(1−p2) b) p3(1−p2) c) (1−p3)(1 +p3) d) (1−p3)2 e) (1−p2)3 Soluci´on 1−p6 = 12−(p3)2 = (1−p3)(1 +p3)

(15)

9. Reducir y factorizar la expresi´on (5x2_{+ 8}₋₅_x₋_x2 _{+ 17}₋₁₅_x₎ a) x(6x−20) + 25 b) x(4x−20) + 25 c) 4(x2 ₋₂₀_x_{+ 5)} d) 3(x−5)2 e) (2x−5)2 Soluci´on 5x2+ 8−5x−x2+ 17−15x = 4x2−20x+ 25 = (2x)2−2·2x·5 + (5)2 = ((2x−5)5

10. Si se reparten (3x2₊₂_x₋_{1) hect´}_{areas de terreno en partes iguales entre (}_x_{+1) personas,}

a cada cual le corresponden a) (3x−5) hectáreas b) (3x−1) hectáreas c) (3x+ 1) hectáreas d) (3x2 ₊_x_{) hect´}_areas e) (x−1)2 _hect´_areas Solución (3x2_{+ 2}_x₋_{1) : (}_x_{+ 1)} 3x2_{+ 2}_x₋₁ x+ 1 = (3x−1)(x+ 1) (x+ 1) = (3x−1)

(16)

1. Al factorizar la expresi´on 2x3_y₋₈_x2_y2₋₆_xy3 _{se obtiene}

a) x(2xy ₋₈_xy2₋₆_xy3₎ b) −6x6y6 c) 2xy(x2−4xy−3y2) d) x3y2(2y2−8xy−8x2) e) 2xy(x2−6xy−3xy) 2. La factorizaci´on de la expresi´on (a+b)2 _{+ 3(}_a₊_b_{) es} a) (a+b)(a+b+ 3) b) 3(a2₊_b2₎ c) (a+b)[3(a+b)] d) (a−b)(a−b−3) e) (a−b)(a−b+ 3) 3. Al factorizar (3a+b)2+ 9a2−b2 se obtiene a) (3a+b)(3a−b) b) (3a+b)(a−2b) c) (3a+b)(2a−b) d) a(3a+b) e) 6a(3a+b)

4. Al factorizar la expresi´on 16x2₋₉_y2_{, el resultado es}

a) (4x−3y)(4x−3y) b) (8x+ 3y)(8x−3y) c) xy(16x−9y) d) (4x−3y)2 e) (4x+ 3y)(4x−3y) 5. La expresi´on a3₋_{1 es equivalente a} a) (a−1)(a2 ₊_a_{+ 1)} b) (a+ 1)(a2₋_a_{+ 1)} c) (a−1)(a2₋_a₋₁₎ d) (a+ 1)(a2₊_a_{+ 1)} e) (a+ 1)(a2−2a+ 1)

(17)

6. Al factorizar x2_{+ 6}_xy_{+ 9}_y2 _{se obtiene} a) (x2_{+ 3)}2 b) (x+ 3y)2 c) (x+ 6y)2 d) (x−3y)2 e) (x−4y)2 7. Al factorizar b2+ 6ba+ 9a2 se obtiene a) (b2_{+ 3)}2 b) (b+ 3a)2 c) (b+ 6a)2 d) (b−3a)2 e) (b−4a)2 8. Al factorizar x2₋₂_x₋_{15 se obtiene} a) (x+ 1)(x−15) b) (x−5)(x−3) c) (x−5)(x+ 3) d) (x+ 5)(x−3) e) (x+ 5)(x+ 3)

9. La expresi´on y2_{+ 3}_y_{+ 2 + 2}_x₊_xy _{es equivalente con}

a) (2 +y)(x+y+ 1) b) (2 +y)(x+y) c) y(y3₊_x₎_·_{2(1 +}_x₎

d) (y+ 1)2+x(2 +y) e) 3y3+ 3xy+ 2

10. De los siguientes polinomios ¿cu´al corresponde al desarrollo del cuadraro de un binomio? a) x2₋₂_x₋₁

b) 4x2₋₈_x₋₁₆

c) 9x2₋₆_x_{+ 1}

d) 9x2₋₆_x_{+ 9}

(18)

Unidad III.

Ecuaciones de primer grado

Ejercicios Resueltos

1. Se mezcla cierta cantidad de café de 6 mil pesos cada kilo, con otra cantidad de café que cuesta 4 mil pesos cada kilo. Se obtienen 8 kilos de mezcla. Se sabe que el precio de cada kilo de la mezcla es de 4,5 mil pesos. ¿Cuántos kilos hay de cada tipo de café en la mezcla?

Soluci´on

x: cantidad de caf´e del tipo de 6 mil el kilo

y : cantidad de caf´e del tipo de 4 mil el kilo Se plantea el sistema de ecuaciones siguiente

x+y = 8 6x+ 4y = 4,5·8 = 36

De la primera ecuaci´on y= 8−x. Sustituyendo en la segunda ecuaci´on, se obtiene 6x+ 4(8−x) = 36

6x+ 32−4x= 36 2x= 4

x= 2 ⇒ y= 8−2 = 6

2. Un examen tipo test tiene 40 preguntas. Cada pregunta contestada correctamente vale un punto, en caso contrario, se resta medio punto. Sabiendo que el puntaje final de un alumno fue 32,5 puntos, ¿cu´antas respuestas correctas tuvo en su examen?

Soluci´on

x: n´umero de respuestas correctas

40−x: n´umero de respuestas incorrectas

x−(40−x)·0,5 = 32,5

x−20 + 0,5x= 32,5 1,5x= 52,5

(19)

3. Claudio deb´ıa a sus padres x pesos. El mes pasado pagó un sexto de lo adeudado. Este mes pagó un sexto del resto, más 20 pesos. ¿Cuánto dinero debe todav´ıa a sus padres?

Soluci´on

La deuda es x

Primer pago es de 1₆x, entonces a´un debe x−1 6x=

5 6x

Segundo pago es de 1₆(5₆x) + 20

Entonces la deuda a´un existente es

x− 1 6x+ 1 6 5 6x + 20 =x− 1 6x+ 5 36x+ 20 =x− 25 36x−20

4. Un automovil sale de Santiago al mediod´ıa y se dirige a La Serena a una velocidad promedio de 80 km/hr. Al mismo tiempo sale otro veh´ıculo de La Serena a Santiago, a una velocidad promedio de 50 km/hr. Si la distancia entre las dos ciudades es de 360 km, ¿en qu´e momento se encuentran los dos veh´ıculos?

Soluci´on

x: tiempo transcurrido hasta que se encuentran los dos veh´ıculos 80x+ 50x= 360

130x= 360

x= 360 130

x= 36₁₃ = 210₁₃

Entonces se encuentran a las 210₁₃ horas, es decir, a las 2 horas y 46 minutos.

5. Calcular xsi (5x+ 5) : 5 = (6x+ 4) : 7 a) -10 b) 3 c) -3 d) 11 e) 10 Soluci´on 7(5x+ 5) = 5(6x+ 4) 35x+ 35 = 30x+ 20

(20)

6. Un remero sube con su bote por un rio a una velocidad de 30 metros por minuto y baja a 60 metros por minuto. ¿Hasta que distancia se aleja en un paseo de hora y media?

Soluci´on x t = 30, x 90−t = 60 30t= 5400−60t⇒t = 60 minutos

Tarda 60 minutos en la ida y 30 minutos en la vuelta. Se ajela una distancia de 1800 metros.

7. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que éstas suman 9; la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos y que si del número dado se resta el que resulta de invertir el orden de las cifras, la diferencia es 198.

Soluci´on

Escribamos el n´umero de tres cifras comoabc. Se sabe que

a+b+c= 9; b= a+c 2 ; 100a+ 10b+c−(100c+ 10b+a) = 198 se forma un sistema de 3x3 a+b+c= 9 2b =a+c a−c= 2

Usando las ecuaciones 1 y 2 obtenemos b = 3. Luego, con este resultado y usando las ecuaciones 2 y 3 se obtienen a= 4 yc= 2. Entonces el n´umero es 432.

8. Hallar dos n´umeros cuya suma sea -2 y cuya diferencia sea 44.

Soluci´on

Sean x e y los n´umeros mencionados, entonces se forma el sistema

x+y =−2

x−y= 44 entonces 2x= 42, ⇒x= 21, ⇒y=−23.

(21)

9. La edad de Juan es el doble que la de Fernando, y hace 5 años ten´ıa el triple de la edad que ten´ıa Fernando. ¿Cuál será la edad de Fernando dentro de 5 años?

a) 5 años b) 10 años c) 15 años d) 20 años e) 25 años Solución

Sea J=edad de Juan, y F=edad de Fernando. De acuerdo al enunciado se plantean las ecuaciones

J = 2F J−5 = 3(F −5) reemplazando la primera en la segunda ecuaci´on

2F −5 = 3(F −5) 2F −5 = 3F −15

F = 10

(22)

10. Un cuarto de la suma de dos n´umeros es 81 y un tercio de su diferencia es 54. El doble del menor es a) 72 b) 81 c) 162 d) 243 e) 486 Soluci´on

De acuerdo al enunciado del problema se plantean las ecuaciones

x+y

4 = 81 ;

x−y

3 = 54 y se pueden escribir de la forma

x+y= 324

x−y= 162 Si sumamos ambas ecuaciones obtenemos

2x= 486

x= 243 Por otro lado, si restamos las ecuaciones se obtiene

2y= 162

y= 81 Por lo tanto el doble del menor es 2y= 162.

(23)

1. Resuelva las ecuaciones

1 2x− 1 3x + 1 6x = 1 3 x−3x−1 4 − 2 x− 3 +x 5 = 5x−2 2. Dada la ecuaci´on nE =RI +nrl m despejar I.

3. Encuentre la(s) soluci´on(es) de la ecuaci´on

x x−1 − x−1 x+ 1 = x2_{+ 1} x2₋₁ a) {1} b) {2} c) {1 , 2} d) {-1 , 2} e) {-1 , 1 , 2}

4. Un contratista emplea a 3 categor´ıas de obreros. La mitad de todos los obreros cobran 100 mil pesos por hora, la tercera parte cobran 200 mil pesos y un sexto cobran 300 mil pesos. En total paga 2 millones de pesos por hora. ¿Cu´antos obreros contrat´o de cada clase?

5. En un corral hay conejos y gallinas. Las cabezas suman 50 y las patas 134. ¿Cu´antas gallinas y conejos hay?

6. En un albergue juvenil hay habitaciones con literas de 2 y 4 camas. Sabiendo que hay 80 habitaciones y 270 camas, ¿cu´antas habitaciones son de cada tipo?

7. En un curso, el número de niños es dos tercios del número de niñas. Pero si disminuye en 6 el número de niños, habrá el triple de niñas que de niños. ¿Cuántos alumnos tiene el curso?

(24)

9. En una fiesta a la que asisten 600 jóvenes bailan en parejas el 15 % de las mujeres con el 10 % de los hombres; los demás bailan solos. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres asisten a la fiesta?

10. Hallar dos n´umeros tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4, la suma de sus cocientes es 15, mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5, la suma de sus productos es 174.

(25)

Unidad IV.

Inecuaciones lineales

Ejercicios Resueltos 1. Resolver la inecuaci´on 2(x+1 2) + 3(x+ 1 3)>4(x+ 1 4) Soluci´on 2 x+ 1 2 + 3 x+1 3 > 4 x+ 1 4 2x+ 1 + 3x+ 1 > 4x+ 1 5x+ 2 > 4x+ 1 5x−4x > 1−2 x > −1

2. En un negocio se venden sólo bicicletas y triciclos. Entre bicicletas y triciclos hay más de 35 ruedas. El número de bicicletas menos el número de triciclos es 10. ¿Cuál es el menor número de triciclos posible?

Soluci´on

Sea B el número de bicicletas y T el número de triciclos. Por lo tanto el número de ruedas de bicicletas es 2B y el de ruedas de los triciclos es 3T. Entonces de acuerdo al enunciado se plantean

2B+ 3T >35 ; B−T = 10

Despejando el número de bicicletas B de la segunda ecuación y reemplazandolo en la inecuación se obtiene 2B+ 3T > 35 2(T + 10) + 3T > 35 2T + 20 + 3T > 35 5T > 15 T > 3

(26)

3. Un vendedor de una tienda dehardwarecomputacional recibe un sueldo base de 144.000 pesos y una comisi´on del 5 % por cada venta que realice. ¿Qu´e cantidad de dinero debe vender en hardware para obtener un sueldo no menor a 200.000 pesos?

Soluci´on

Sea V el total de dinero reunido de las ventas por el vendedor. De acuerdo al enunciado del problema se plantea

144000 + 5 100V > 200000 5 100V > 56000 5V > 56000·100 V > 56000·100 5 V > 1120000

Por lo tanto el total de ventas no debe ser menor que $ 1.120.000.

4. El IMC es la raz´on entre la masa corporal y el cuadrado de la estatura de una persona, respectivamente. Diversos estudios realizados, han concluido que el grupo de mejor salud corresponde a un IMC comprendido entre 20 y 25 kg/m2_{. Si una persona mide 1,5}

met-ros, para ser considerada saludable, su masa corporal deber´a estar entre a) 30 kg y 37,5 kg b) 30 kg y 56,25 kg c) 40 kg y 50 kg d) 45 kg y 56,25 kg e) 45 kg y 55 kg Soluci´on IM C = peso estatura2 ; 20≤IM C ≤25

Si la estatura es 1,5 metros, entonces

20≤ peso

(1,5)2 ≤25

20(1,5)2 _≤_peso_≤₂₅₍₁_,₅₎2

(27)

5. ¿Cuántos números enteros cumplen simultáneamente con las dos condiciones siguientes?

i) El triple del n´umero no supera su mitad, aumentada en 25 unidades.

ii) El exceso del cu´adruplo del n´umero sobre 2 supera las 6 unidades. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Soluc´ıon

Planteando las inecuaciones correspondientes

i) 3x < 1₂x+ 25

ii) 4x−2>6 Resolviendo ambas inecuaciones separadamente

i) 3x < 1₂x+ 25 6x < x+ 50 5x <50 x <10 ii) 4x−2>6 4x >8 x >2

Cumplen con ambas condiciones todos los n´umeros enteros entre 2 y 10, sin incluir a estos mismos; es decir son 7 n´umeros en total.

(28)

6. Se desea confeccionar un marco rectangular cuyo per´ımetro sea menor a 120 cm, pero no menor que 90 cm. Si el largo es el doble del ancho, ¿entre qué valores, en cent´ımetros, variará el anchok? a) 15≤k < 20 b) 15≤k ≤20 c) 30≤k < 40 d) 30≤k ≤40 e) 45≤k < 60 Solución 90< perimetro < 120

Si el largo es el doble del ancho x, entonces el per´ımetro es 6x, luego 90<6x <120 /: 6

15< x <20

7. La señora X pesa 20 kilos más que su esposo Y y el doble que su hijo Z. Si entre los tres pesan a lo menos 180 kilos, ¿cuál es el peso m´ınimo del señor Y?

Soluci´on

Sea x el peso de la se˜nora X,y el peso del se˜nor Y, z el peso del hijoZ. Del enunciado del problema se plantea

x−20 =y ; x= 2z ; x+y+z >180

En la primera ecuaci´on despejamos x y reemplazamos en la segunda ecuaci´on, con lo que se obtiene

x=y+ 20 ⇒ z = y+ 20 2 Reemplazando estos resultados en la inecuaci´on

(y+ 20) +y+ _y_{+ 20} 2 > 180 5 2y+ 30 > 180 5 2y > 150 y > 150·2 5 y > 60

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8. Un comerciante compra una partida de 130 camisas por un total de $ 500000. Vende al detalle 50 de estas camisas a $ 6000 cada una. ¿Cu´al es el mejor precio al que debe vender cada una de las camisas restantes si quiere obtener, como m´ınimo, un 30 % de ganancia? a) $ 2.500 b) $ 3.250 c) $ 3.750 d) $ 4.325 e) $ 4.375 Soluci´on

Si el comerciante vendi´o 50 camisas a $ 6000 cada una, entonces obtuvo 50·$ 6000 = $ 300000

Si quiere obtener, como m´ınimo, un 30 % de ganancia, debe reunir un total de $650000 en la venta de todas las camisas. Entonces le falta por vender

$ 650000−$ 300000 = $ 350000

Luego la venta de las 80 camisas que le quedan debe reunir por lo menos esta cantidad, lo que se expresa de la forma

80·x > $ 350000

x > $ 350000

80

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1. Resolver las siguientes inecuaciones

i) x+2₃ +x−₂3 ≥5

ii) x+1₂ −3x≥ 1−5x

3 + 4

iii) 2x−3−4(x2−5)>20 + 5x−4x2

2. Encuentre el conjunto soluci´on, en los n´umeros naturales, del sistema 5x+ 2 >−8 3x−11<7 a) {1,2,3,4,5,6} b) {1,2,3,4,5} c) {0,1,2,3,4,5,6} d) {0,1,2,3,4,5} e) {-1,0,1,2,3,4,5}

3. Encuentre la cantidad de n´umeros enteros que tiene el conjunto soluci´on del sistema

x+ 15>2x+ 10 −3x−8≤6 + 4x a) Ninguno b) 3 c) 5 d) 7 e) Infinitos

4. Un vendedor de repuestos recibe una cantidad fija al mes de 480.000 pesos y un 3 % de las ventas que realice. ¿Qu´e cantidad de repuestos debe vender para obtener un sueldo mensual superior a 1.350.000 pesos?

5. Las edades de un padre y su hijo tienen una diferencia de 30 años. Determinar en que pe-riodo de sus vidas la edad del padre excede en más de 10 años al doble de la edad del hijo.

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6. Un artesano tiene x collares, vende 60 y le quedan más de la mitad. Tras esta venta, fabrica 5 collares más, vende 27 y le quedan menos de 40 collares. ¿Cuántos collares fabricó en total? a) 120 b) 121 c) 125 d) 126 e) 127

7. El doctor le dice a Mónica que debe bajar por lo menos 10 kilos. Si el peso actual de Mónica es P y su peso ideal es I, ¿cuál de las siguientes desigualdades es siempre ver-dadera? a) I > P −10 kilos b) I ≤P −10 kilos c) I ≥P −10 kilos d) I < P −10 kilos e) P ≤I−10 kilos

8. Sean p, q y r n´umeros reales. Si p > r −1 y q ≥ r− 1, ¿cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I. p > q II. p+q >2(r−1) III. q > r a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III

9. ¿Cuántos números naturales cumplen la condición: el exceso del qu´ıntuplo del número sobre 4 es menor que 31?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

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10. ¿Cuántos números enteros cumplen simultáneamente con las condiciones siguientes?

i) El doble del n´umero, m´as 1 es mayor que 3.

ii) El triple del n´umero, m´as 2 no es mayor que 23. a) 4

b) 5 c) 6 d) 7