EDO Sergio Solano Sabi ´e Clasificaci ´on de las ecuaciones diferenciales
ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
Sergio Stive Solano Sabi ´e1
Abril de 2013
1
EDO Sergio Solano Sabi ´e Clasificaci ´on de las ecuaciones diferenciales
ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
Sergio Stive Solano Sabi ´e1
Abril de 2013
1
EDO Sergio Solano Sabi ´e Clasificaci ´on de las ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Definici ´on 1.1Una ecuaci ´on diferencial es una ecuaci ´on que contiene una o m ´as derivadas de la funci ´on desconocida.
Un ejemplo de una ecuaci ´on diferencial es la ley de Newton:
md 2u(t) dt2 =F t, u(t),du(t) dt (1.1)
para la posici ´on u(t) de una part´ıcula sobre la cual act ´ua
una fuerzaF, que puede ser una funci ´on del tiempot, de la
posici ´onu(t) y de la velocidad du(t)/dt. Para determinar el
movimiento de una part´ıcula sobre la cual act ´ua una fuerza
F es necesario hallar una funci ´on u que satisface la
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Ecuaciones diferenciales
Definici ´on 1.1Una ecuaci ´on diferencial es una ecuaci ´on que contiene una o m ´as derivadas de la funci ´on desconocida.
Un ejemplo de una ecuaci ´on diferencial es la ley de Newton:
md 2u(t) dt2 =F t, u(t),du(t) dt (1.1)
para la posici ´on u(t) de una part´ıcula sobre la cual act ´ua una fuerzaF, que puede ser una funci ´on del tiempot, de la posici ´onu(t) y de la velocidad du(t)/dt. Para determinar el movimiento de una part´ıcula sobre la cual act ´ua una fuerza
F es necesario hallar una funci ´on u que satisface la ecua-ci ´on 1.1.
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Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Definici ´on 1.2
Si la funci ´on desconocida depende de una sola variable independiente, en la ecuaci ´on diferencial s ´olo aparecen derivadas ordinarias, por lo que se dice que es una ecuaci ´on ordinaria.
Definici ´on 1.3
Si la funci ´on desconocida depende de varias variables independientes, las derivadas son derivadas parciales, por lo que la ecuaci ´on se denominaecuaci ´on diferencial parcial.
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Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Ejemplo 1.1Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
1 La ecuaci ´on diferencial de la ley de Newton:
md 2u(t) dt2 =F t, u(t),du(t) dt
para la posici ´onu(t)de una part´ıcula sobre la cual act ´ua una fuerzaF.
2 La ecuaci ´on que rige el decaimiento con el tiempo de una cantidadR(t)de una sustancia radiactiva (como el radio),
dR(t)
dt =−kR(t) (1.2)
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Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Ejemplo 1.2Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales.
1 La Ecuaci ´on del Potencial:
∂2u(x, y)
∂x2 +
∂2u(x, y)
∂y2 = 0
2 La Ecuaci ´on de la Difusi ´on o Conducci ´on de Calor:
α2∂
2u(x, t)
∂x2 =
∂u(x, t)
∂t .
en dondeαes cierta constante.
Estas ecuaciones surgen de diversos problemas en los campos de la electricidad y del magnetismo, elasticidad y mec ´anica de fluidos.
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Sistema de ecuaciones diferenciales
Si hay que determinar una sola funci ´on, entonces basta una ecuaci ´on. Si existen dos o m ´as funciones desconocidas, en-tonces se requiere un sistema de ecuaciones.
Ejemplo 1.3
El siguiente sistema de ecuaciones de Lotka-Volterra, o del depredador-presa, es importante en la creaci ´on de modelos ecol ´ogicos:
dH
dt =aH −αHP dP
dt =−cP +γHP
en dondeH(t)yP(t)son las poblaciones respectivas de las especies presa y depredadora. Las constantesa,α,cy
γse basan en observaciones emp´ıricas y dependen de las especies en estudio.
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Orden
Definici ´on 1.4El orden de una ecuaci ´on diferencial es el orden de la derivada m ´as alta que aparece en ella.
Ejemplo 1.4
Las ecuaciones 1.1 es una ecuaci ´on diferenciales ordinarias de segundo orden y la 1.2 es una ecuaci ´on diferencial ordinaria de primer orden.
De manera m ´as general, la ecuaci ´on
F[x, u(x), u0(x), . . . , un(x)] = 0 (1.3) es una ecuaci ´on diferencial ordinaria den- ´esimo orden.
Ejemplo 1.5
La ecuaci ´ony000+ 2exy00+yy0 =x4es una ecuaci ´on diferencial ordinaria de tercer orden paray=u(x).
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Orden
En ocasiones, dependiendo del contexto se usan otras letras en lugar de y. Se supone que siempre es posible despejar la derivada de orden m ´as alto en una ecuaci ´on diferencial ordinaria dada y obtener
y(n)=f(x, y, y0, y00, . . . , y(n−1)) (1.4) S ´olo se estudiar ´an las ecuaciones de la forma 1.4.
Lo anterios se hace principalmente para evitar la ambig ¨uedad que pudiera surgir debido a que una sola ecuaci ´on de la for-ma 1.3 puede corresponder a varias ecuaciones de la forfor-ma 1.4. Por ejemplo, la ecuaci ´on
(y0)2+xy0+ 4y= 0
da las dos ecuacionesy0= −x+
√ x2−16y
2 o
−x−√x2−16y
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Soluci ´on
Definici ´on 1.5Una soluci ´on de la ecuaci ´on diferencial 1.4 sobre un intervaloα < x < βes una funci ´onφtal que existen
φ0, φ00, . . . , φ(n)y se satisface
φ(n) =f(x, φ, φ0, φ00, . . . , φ(n−1))
para todaxenα < x < β. A menos que se diga otra cosa, se supone que la funci ´onf de la ecuaci ´on 1.4 es una funci ´on de valores reales, y se tiene inter ´es en obtener las solucionesy =φ(x)de valores reales.
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Soluci ´on
Ejemplo 1.6Es f ´acil comprobar por sustituci ´on directa que la ecuaci ´on 1.2 de primer orden tiene la soluci ´onR=φ(t) =ce−kt,
−∞< t <∞, en dondeces una constante arbitraria.
Ejemplo 1.7
Las funcionesy1(x) =cosxyy2(x) =senxson soluciones dey00+y= 0para todax.
Ejemplo 1.8
Se comprueba queφ(x) =x2lnxes una soluci ´on de
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