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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

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Academic year: 2021

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EDO Sergio Solano Sabi ´e Clasificaci ´on de las ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES DE

PRIMER ORDEN

Sergio Stive Solano Sabi ´e1

Abril de 2013

1

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EDO Sergio Solano Sabi ´e Clasificaci ´on de las ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES DE

PRIMER ORDEN

Sergio Stive Solano Sabi ´e1

Abril de 2013

1

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EDO Sergio Solano Sabi ´e Clasificaci ´on de las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales

Definici ´on 1.1

Una ecuaci ´on diferencial es una ecuaci ´on que contiene una o m ´as derivadas de la funci ´on desconocida.

Un ejemplo de una ecuaci ´on diferencial es la ley de Newton:

md 2u(t) dt2 =F t, u(t),du(t) dt (1.1)

para la posici ´on u(t) de una part´ıcula sobre la cual act ´ua

una fuerzaF, que puede ser una funci ´on del tiempot, de la

posici ´onu(t) y de la velocidad du(t)/dt. Para determinar el

movimiento de una part´ıcula sobre la cual act ´ua una fuerza

F es necesario hallar una funci ´on u que satisface la

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EDO Sergio Solano Sabi ´e Clasificaci ´on de las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales

Definici ´on 1.1

Una ecuaci ´on diferencial es una ecuaci ´on que contiene una o m ´as derivadas de la funci ´on desconocida.

Un ejemplo de una ecuaci ´on diferencial es la ley de Newton:

md 2u(t) dt2 =F t, u(t),du(t) dt (1.1)

para la posici ´on u(t) de una part´ıcula sobre la cual act ´ua una fuerzaF, que puede ser una funci ´on del tiempot, de la posici ´onu(t) y de la velocidad du(t)/dt. Para determinar el movimiento de una part´ıcula sobre la cual act ´ua una fuerza

F es necesario hallar una funci ´on u que satisface la ecua-ci ´on 1.1.

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EDO Sergio Solano Sabi ´e Clasificaci ´on de las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Definici ´on 1.2

Si la funci ´on desconocida depende de una sola variable independiente, en la ecuaci ´on diferencial s ´olo aparecen derivadas ordinarias, por lo que se dice que es una ecuaci ´on ordinaria.

Definici ´on 1.3

Si la funci ´on desconocida depende de varias variables independientes, las derivadas son derivadas parciales, por lo que la ecuaci ´on se denominaecuaci ´on diferencial parcial.

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EDO Sergio Solano Sabi ´e Clasificaci ´on de las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Ejemplo 1.1

Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.

1 La ecuaci ´on diferencial de la ley de Newton:

md 2u(t) dt2 =F t, u(t),du(t) dt

para la posici ´onu(t)de una part´ıcula sobre la cual act ´ua una fuerzaF.

2 La ecuaci ´on que rige el decaimiento con el tiempo de una cantidadR(t)de una sustancia radiactiva (como el radio),

dR(t)

dt =−kR(t) (1.2)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales

Ejemplo 1.2

Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales.

1 La Ecuaci ´on del Potencial:

∂2u(x, y)

∂x2 +

∂2u(x, y)

∂y2 = 0

2 La Ecuaci ´on de la Difusi ´on o Conducci ´on de Calor:

α2∂

2u(x, t)

∂x2 =

∂u(x, t)

∂t .

en dondeαes cierta constante.

Estas ecuaciones surgen de diversos problemas en los campos de la electricidad y del magnetismo, elasticidad y mec ´anica de fluidos.

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Sistema de ecuaciones diferenciales

Si hay que determinar una sola funci ´on, entonces basta una ecuaci ´on. Si existen dos o m ´as funciones desconocidas, en-tonces se requiere un sistema de ecuaciones.

Ejemplo 1.3

El siguiente sistema de ecuaciones de Lotka-Volterra, o del depredador-presa, es importante en la creaci ´on de modelos ecol ´ogicos:

dH

dt =aH −αHP dP

dt =−cP +γHP

en dondeH(t)yP(t)son las poblaciones respectivas de las especies presa y depredadora. Las constantesa,α,cy

γse basan en observaciones emp´ıricas y dependen de las especies en estudio.

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Orden

Definici ´on 1.4

El orden de una ecuaci ´on diferencial es el orden de la derivada m ´as alta que aparece en ella.

Ejemplo 1.4

Las ecuaciones 1.1 es una ecuaci ´on diferenciales ordinarias de segundo orden y la 1.2 es una ecuaci ´on diferencial ordinaria de primer orden.

De manera m ´as general, la ecuaci ´on

F[x, u(x), u0(x), . . . , un(x)] = 0 (1.3) es una ecuaci ´on diferencial ordinaria den- ´esimo orden.

Ejemplo 1.5

La ecuaci ´ony000+ 2exy00+yy0 =x4es una ecuaci ´on diferencial ordinaria de tercer orden paray=u(x).

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Orden

En ocasiones, dependiendo del contexto se usan otras letras en lugar de y. Se supone que siempre es posible despejar la derivada de orden m ´as alto en una ecuaci ´on diferencial ordinaria dada y obtener

y(n)=f(x, y, y0, y00, . . . , y(n−1)) (1.4) S ´olo se estudiar ´an las ecuaciones de la forma 1.4.

Lo anterios se hace principalmente para evitar la ambig ¨uedad que pudiera surgir debido a que una sola ecuaci ´on de la for-ma 1.3 puede corresponder a varias ecuaciones de la forfor-ma 1.4. Por ejemplo, la ecuaci ´on

(y0)2+xy0+ 4y= 0

da las dos ecuacionesy0= −x+

√ x2−16y

2 o

−x−√x2−16y

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Soluci ´on

Definici ´on 1.5

Una soluci ´on de la ecuaci ´on diferencial 1.4 sobre un intervaloα < x < βes una funci ´onφtal que existen

φ0, φ00, . . . , φ(n)y se satisface

φ(n) =f(x, φ, φ0, φ00, . . . , φ(n−1))

para todaxenα < x < β. A menos que se diga otra cosa, se supone que la funci ´onf de la ecuaci ´on 1.4 es una funci ´on de valores reales, y se tiene inter ´es en obtener las solucionesy =φ(x)de valores reales.

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Soluci ´on

Ejemplo 1.6

Es f ´acil comprobar por sustituci ´on directa que la ecuaci ´on 1.2 de primer orden tiene la soluci ´onR=φ(t) =ce−kt,

−∞< t <∞, en dondeces una constante arbitraria.

Ejemplo 1.7

Las funcionesy1(x) =cosxyy2(x) =senxson soluciones dey00+y= 0para todax.

Ejemplo 1.8

Se comprueba queφ(x) =x2lnxes una soluci ´on de

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