Como se mostró en clases, esta ecuación corresponde a la desarrollada para la dirección y flujo incompresible.

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Texto completo

(1)

Ecuaciones de Navier-Stokes

Estas ecuaciones vienen de la ecuación de conservación del movimiento. Esta se deriva al definir una relación (lineal) entre los esfuerzos de corte obtenidos en la ecuación de Cauchy (1) y la tasa de velocidad de deformación. Por lo tanto, estas ecuaciones sirven solo para fluidos newtonianos. Se tiene:

+ + + = + + + (1)

Con:

: Fuerzas de cuerpo involucradas.

Como se mostró en clases, esta ecuación corresponde a la desarrollada para la dirección y flujo incompresible.

Luego de asumir un comportamiento isotrópico del material (tensor esfuerzos es simétrico) se obtiene la relación entre los esfuerzos de corte y las tasas de velocidad de deformación para fluidos newtonianos (2).

= (2)

= + = + = +

De manera más compleja se obtienen también para los esfuerzos normales

= − + 2 = − + 2 = − + 2

Con estos resultados, se reemplazan las variables de esfuerzo en la ecuación de Cauchy y se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes

+ ∇ ∙ = ∇!

Esta ecuación se puede escribir de manera más explícita para las distintas direcciones del sistema coordenado.

(2)

Navier-Stokes en sistema de coordenadas cartesianas: Para : " + + + # = − + !!+ !!+ !! Para : " + + + # = − + !!+ !!+ !! Para : " + + + # = − + !! + !! + !!

Navier-Stokes en sistema de coordenadas cilíndricas: Para $: %+ % $ +% $& ' −% & ! $ + % = − $ + 1$ $ $ $ −% $%!+$1! ! % '! −$2! ' +& ! % ! Para ':

" &+ % $ +& $& ' −& % &$ + &#

= − ' + 1$ $ $ $ −& $&!+$1! ! & '! −$2! ' +% ! & ! Para : " + % $ + $ ' +& # = − $ + 1$ $ $ $ +$1! ! '! + ! !

(3)

Ejemplo.

Se tiene un flujo laminar estacionario a través de una tubería circular de radio (. Encuentre la distribución de velocidades dentro de la tubería.

(1)) ¿Qué sistema coordenado nos conviene usar?

Obviamente nos conviene usar coordenadas cilíndricas. Podemos intuir que el flujo será unidireccional (velocidad solo en dirección ) y que cambia solo de forma radial (solo cambia en $). Al ser unidireccional, la velocidad en otras direcciones es despreciable ( % = &≈ 0)

(2)) ¿Qué fuerza domina el flujo?

Fuerza de presión. El flujo se mueve por causa de la diferencia de presión entre la entrada y la salida de la tubería.

(3)) Condiciones de borde

@ $ = (, = 0 → Condición de no deslizamiento

@ $ = 0, = 01 → Velocidad máxima es finita

(4)) Forma de solución Se espera un perfil parabólico

(4)

(5)) Simplificar las ecuaciones del movimiento. De las ecuaciones de conservación de momentum Para $ 45 4%= 0 → no es función de $ Para ' 45 4%= 0 → no es función de ' Para 45 4 = 6 % 4 4%7$ 489 4%:

(6)) Resolvemos la ecuación diferencial resultante

= $ $ $ $

¿Qué sabemos del problema? Condiciones de borde

@ $ = (, = 0

@ $ = 0, = 01

Ahora tenemos: Para que dos valores que dependen de distintas variables sean iguales, se debe cumplir que ambos deben ser igual a la misma constante

= $ $ $ $ = < =

(5)

= !− C

!− C =

!− C

D

Pero para que la dirección del flujo sea + , necesitamos que ! < C, donde la caída de presión se define por ∆ = C!, así que, normalmente definimos:

− = C−D !=∆D =−∆D = $ $ $ $

Con lo que obtenemos una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, la cual se puede resolver directamente por integración.

Ordenando la ecuación

− G $ ∆D H$ = G I $ $ $ J H$2$!∆D + <C= $ $

− G 2$ ∆D +<$ H$ = G $ H$C = −4$!∆D + <Cln($) + <!

Con esto obtenemos una ecuación que define el perfil de velocidades dependiente de $. Para obtener los valores de <C y <!.

(%)= −$ !

4 ∆D + <Cln($) + <!

Para la condición de no deslizamiento: (1) @ $ = (, = 0 (1)= 0 = −( ! 4 ∆D + <Cln(() + <! <! =( ! 4 ∆D − <Cln(()

(6)

(2) $ = 0, = 01

(M)= 01 = −0 !

4 ∆D + <Cln(0) + <!

Como se ve en la ecuación anterior, ln(0) tiene a infinito, por lo que la ecuación tendería a divergir. Pero, se dio como condición de borde, se impuso que la velocidad máxima sería finita, por lo que para cumplir dicha imposición se llega a la conclusión que <C= 0 → <!= 1N

O6 ∆5

P Ahora, reemplazando en la ecuación principal, tenemos:

(%)= −$ ! 4 ∆D +( ! 4 ∆D =41 ∆D ((!− $!) Y factorizando se obtiene: (%)=4( ∆D Q1 −$ ! (!R

El método para resolver este tipo de problemas se puede resumir en lo siguiente:

(1)) Escoger un sistema coordenado Pregúntese: a) ¿Qué dirección lleva el flujo?

b) ¿En qué dirección cambia la velocidad?

(2)) Determinar la fuerza que conduce el flujo

• Presión

• Esfuerzos de corte

• Gravedad

(3)) Determinar las condiciones de borde

Donde el flujo tiene características conocidas, para la mayoría de los problemas usted conocerá al menos 2 caracteristicas, una de ellas, casi siempre, es la condición de no deslizamiento.

(4)) Suponga una forma e la solución

¿Cómo debería verse la solución? Usualmente los perfiles tienen forma parabólica, la cual es una buena suposición.

(5)) Simplificar las ecuaciones de conservación

Dejar solo las variables que influyen en el movimiento del flujo.

(7)

Tuberías en serie

Caso para todo sistema de tuberías donde existe una única línea de flujo. La principal característica de este tipo de problemas es que existe un único caudal.

Problema 1

Analizando el sistema con Benoulli S T + S+ S ! 2T = T +U U+ U ! 2T + ℎP+ ℎ0 S− U = W = ℎP+ ℎ0 Donde: ℎP= XCDYC C C! 2T + X!YD!! !! 2T ZC= Z!= Z Existen, en general, dos tipos de problemas para estos casos

1) Se conoce la geometría (D, Y, [)y el Caudal (o Gasto Z) y se busca W 2) Se conoce la geometría (D, Y, [)y la diferencia de altura W y se busca Z El caso 1) es muy sencillo de resolver

Para el Problema 1 se tiene:

YC 6” = 0.1524 ^ Y! 9” = 0.2286 ^ DC 6 ^ D! 15 ^ [ YC a 0.0015 [aY! 0.001 b 1.003 ∙ 10cd Z 135 D @a

(8)

Conociendo el caudal y los diámetros de tubería se puede obtener fácilmente las velocidades y por consiguiente el número de Reynolds:

Z = e ∙ f g= =Y ∙ eb

eC 7.4 ^ @⁄ e! 3.28 ^ @⁄

jkl l. lm ∙ lno jkm p. q ∙ lnq

Con los datos dados y obtenidos se va al diagrama de Moody y se obtienen los valores de factores de fricción.

rl n. nnmm rm n. nnm

**RECORDAR QUE DIAGRAMA DE MOODY ES LOGARITMICO**

Considerando también las perdidas menores

ℎ0= stueC ! 2T + sCc!eC ! 2T + svwxe! ! 2T

**Para obtener más valores de K, revisar ANEXO enviado previamente Calculando las perdidas y reemplazando en la ecuación de Bernoulli

(9)

Para el caso 2) tenemos un método algo más engorroso YC 6” = 0.1524 ^ Y! 9” = 0.2286 ^ DC 6 ^ D! 15 ^ [ Y C a 0.0015 [aY! 0.001 b 1.003 ∙ 10cd W 6 ^

Se busca calcular el caudal que pasa por la tubería S T + S+ S ! 2T = T +U U+ U ! 2T + ℎP+ ℎ0 S− U = W = ℎP+ ℎ0 W = stueC ! 2T + XCYDCC C! 2T + sCc!eC ! 2T + X!YD!! e!! 2T + svwxe! ! 2T

Por la ecuación de continuidad se obtiene una relación entre las velocidades eCfC= e!f! Reemplazando los datos en las ecuaciones anteriores se obtiene:

eC=ff! Ce!= Y! YC ! e!= 96 ! e!= 2.25e! 6 = (5.09 + 199.21XC+ 65.62X!)e! ! 2T

Primero se estima un valor para los factores de fricción XC y X!, usualmente con experiencia se pueden asumir ciertos valores característicos. Para empezar se recomienda XC= X!= 0.02

Reemplazando estos valores en la ecuación anterior se obtiene:

eC 7.56 ^ @⁄ e! 3.36 ^ @⁄

Calculamos números de Reynolds asociados a estas velocidades

g=C 1.15 ∙ 10d g=! 7.7 ∙ 10y

Se observan los valores de factores de fricción obtenidos con estos números re Reynolds

XC 0.0022 X! 0.00205

Con estos nuevos valores de factores de fricción se calculan nuevamente las velocidades:

eC 7.42 ^ @⁄ e! 3.3 ^ @⁄

Si los resultados no son satisfactorios se vuelve a calcular el número de Reynolds con las velocidades obtenidas y luego con diagrama de Moody un nuevo valor de X

Calculando el caudal se obtiene:

(10)

Resumen de métodos para tuberías en serie:

Caso 1) Se conoce la geometría (D, Y, [)y el Caudal (o Gasto Z) y se busca W

1. Con el caudal Z y el diámetro Y de alguna de las tuberías se obtiene una velocidad 2. Con esta velocidad se calcula el g=

3. Con el Re junto con la rugosidad relativa z

{ se obtiene un valor de X con el diagrama de Moody

4. Se identifican los accesorios que influyen en las perdidas menores (no olvidar entradas y salidas de las tuberías)

5. Se resuelve la ecuación de Bernoulli con todos los datos obtenidos para calcular W Caso 2) Se conoce la geometría (D, Y, [)y la diferencia de altura W y se busca Z

1. Se analiza la ecuación de Bernoulli, dejando todo en función de las velocidades

2. Por ecuación de continuidad (Z = ef = < =) se hace una relación entre las velocidades 3. Se deja expresada la ecuación de Bernoulli en función de solo una velocidad

4. Se asumen valores para los factores de fricción involucrados (0.02 es una buena suposición en casi todos los casos)

5. Con los valores de X supuestos se obtiene una velocidad de la ecuación de Bernoulli, con la que se calculan el resto de las velocidades

6. Se obtienen valores de Reynolds a partir de las velocidades calculadas, que junto con las rugosidades relativas z

{, las usamos para obtener valores de X a partir del diagrama de Moody

7. Se repiten pasos 5 y 6 hasta que los valores no sufren tantos cambios

(11)

Tuberías en paralelo

Tenemos que el flujo va de A a D. En el punto B la tubería se bifurca y vuelve a unirse en C para seguir hasta D. Si medimos las presiones en los puntos B y C, veremos que existe cierta diferencia. Ya sea tomamos el tramo BMC o BNC la diferencia de presiones es la misma. De ahí se concluye que las pérdidas de carga de cada tramo son iguales a las pérdidas de carga que hay entre los nodos que los unen.

Por lo tanto se tiene:

ℎPcU| = ℎPcU}~= ℎPcU~|

Similarmente que con tuberías en serie, existen 2 tipos de problemas a resolver.

1) Se conoce la perdida de carga entre B y C, se trata de calcular el caudal o gasto en cada tramo.

2) Se conoce el caudal AB, se debe calcular la distribución del caudal en las ramas del sistema y la pérdida de carga entre B y C

(12)

Caso 1) S 70 ^ U 46 ^ DSU• 3000 ^ YSU• 300 ^^ DS|• 1300 ^ YS|• 200 ^^ DS{• 2600 ^ YS{• 250 ^^ b 1.003 ∙ 10cd [ Y C 0.0004

a) Se combina la ecuación de pérdida de carga con la de continuidad para dejar la ecuación en función del caudal Z

ℎ€ = XYDe ! 2T = XYD Zf ! 1 2T = XY •D ‚Z 4 Y!ƒ ! 1 2T ℎ€ = 0.0827XYDyZ!

Si se deja la ecuación en función de ℎ queda:

Z = 3.477„YXD ℎy €C !a= sℎ€C !a con s = 3.477„Y y

XD

Luego se calcula Z dependiendo de los valores de X que se dan. Estos valores de X se suponen en un principio (0.02 es un valor aceptable para comenzar) y se calculan así los valores de s correspondientes a cada tramo y con este valor se calculan los valores de Z por tramo. ZC = sCℎ€M.y= 0.108 ^ ‡ @ Z!= s!ℎ€M.y= 0.0598^ ‡ @ Z‡= s‡ℎ€M.y = 0.0738 ^ ‡ @

Con estos valores se calculan la velocidad media en la tubería, luego números de Reynolds y se observa en el diagrama de Moody cuál sería el valor de X para el tramo especifico. Este proceso se repite hasta lograr un valor aceptable (que los valores no cambien mucho luego de cada iteración)

(13)

b) Metodo de Hazen-Williams

Este método es una relación experimental entre velocidad, radio de tubería y pérdida de carga de la forma:

e = 0.8492 ∙ ˆ ∙ gM.d‡∙ >M.yO Z = 0.2785 ∙ ˆ ∙ Y!.d‡∙ >M.yO Con: C: Constante de rugosidad

R: Radio D: Diametro

S: Perdida de carga de la forma ‰Š P De la ecuación de Z se obtiene: ZC = 0.104^ ‡ @ ZC= 0.0562^ ‡ @ ZC= 0.0695^ ‡ @

Valores similares a los obtenidos en a)

(14)

**Recordar que estos graficos solo funcionan para determinados valores de C y características del fluido.

(15)

Caso 2) DSU• 1500′ YSU• 30" DS|• 1000′ YS|• 18" DS{• 2000′ YS{• 15" b 1.003 ∙ 10cd Z 15 <X@ (X@ )

Primero se asume un valor de pérdida de carga entre los puntos A y E Asumimos entonces ℎ€cS• = 30•= 30 X

Luego se obtiene un valor ‰Š

P = > para cada tramo

>SU•=1500 = 0.02 → Z30 U= 18.1 <X@

>S|• =1000 = 0.03 → Z30 | = 7.7 <X@

>S{• =2000 = 0.015 → Z30 {= 9.6 <X@ Sumando todos los caudales se tiene: ZS= 35.4 <X@

Evidentemente los valores no coinciden, pero los valores están en la proporción que corresponde, por lo tanto se calcula la relación Z de entrada con Z de ramal

ZU• ZS•= 18.1 35.4 = 0.511 ZZ|•S• = 0.218 Z{• ZS• = 0.271 Luego se calculan los caudales reales con el caudal de entrada que es conocido

ZU =ZZU•

S•∙ ZS= 7.67 <X@

ZU= 3.27 <X@

ZU= 4.07 <X@

De la misma manera, con las ecuaciones de Hazen-Williams se puede obtener la perdida de carga De la ecuación > = 0.004 por lo que:

ℎ€cS• ≈ 6′

**Como siempre los valores de X se asumen en un principio y se van corrigiendo una vez obtenidos resultados, si no se cumple alguna igualdad, se repite el proceso hasta satisfacer todas las ecuaciones.

(16)

Resumen de métodos para tuberías en paralelo:

Caso 1) Se conoce la perdida de carga entre los puntos donde se separan y vuelven a unirse las tuberías

a)

1. Primero se define la ecuación de pérdida de carga (normalmente son solo regulares, pero pueden haber perdidas singulares en el sistema.

2. Con la ecuación de continuidad se deja la pérdida de carga en función del caudal Z

3. Se asumen valores de X para hacer un primer cálculo de caudales

4. Se calculan los caudales

5. Si tiene acceso a los valores de rugosidad relativa, usted puede obtener velocidades medias a partir de los caudales y por consiguiente números re Reynolds, que puede usar para obtener nuevos factores de fricción.

6. Se repinten los puntos 4 y 5 hasta que se llegue a valores razonables b) Hazen-Williams

1. Se aplican las ecuaciones de Hazen-Williams, recordando que > =‰Š

P y ˆ depende del material de la tubería.

2. Usted conoce el valor de S y el diámetro, por lo que si tiene acceso a un diagrama de Hazen-Williams, puede obtener rápidamente el caudal.

Caso 2) Se conoce el caudal que entra en la tubería 1. Primero se asume una pérdida de carga 2. Se calcula el valor >′ =‰ŠŽ

P, con ℎ€• la perdida de carga que se asumió 3. Por la ecuación de Hazen-Williams se obtienen caudales para cada ramal

4. Se suman todos los caudales obtenidos y se hace una relación de caudal de entrada y caudal de ramal, de la forma ••Ž

•‘Ž

5. Se calcula el caudal del ramal multiplicando ••Ž

•‘Ž con el caudal real de entrada

6. Luego con la ecuación de Hazen-Williams se puede obtener la perdida de carga entre los nodos donde se separan y vuelven a unirse las tuberías

(17)
(18)

Redes de tuberías

Una red de tuberías se identifica al observar varios nodos que unen tuberías. Este tipo de problemas requiere más trabajo, tanteos e iteraciones en su resolución.

Definimos dos términos:

Nodos: Donde convergen 3 o más tuberías (B, C, M y N de la figura)

Circuitos: Secciones de tuberías que completan un perímetro de mínimo recorrido (I e II en la figura)

En la figura identificamos 4 nodos y 2 circuitos

El tramo MN no está determinado, ya que no se sabe qué dirección lleva el flujo. Hay ciertas condiciones que se deben cumplir para las redes:

1. La suma algebraica de las pérdidas de carga debe ser cero

ℎU}+ ℎ}~+ ℎ~U = 0 Circuito I

2. Cada nodo debe cumplir la ecuación de continuidad

Flujo que entra = Flujo que sale 3. Cada ramal debe cumplir una ecuación de la forma

ℎ€ = s ∙ Z Con s y dependientes de la ecuación que se utilice

(19)

Analizamos primero un ramal. Tenemos:

1. Primero suponemos un caudal inicial para cada ramal de la red. ZM

Sabemos que dicho caudal, probablemente, no será el correcto. Buscamos entonces un caudal Z que es el real. Estos dos términos se relacionan de la forma:

Z = ZM+ ∆Z con ∆Z el error (valor desconocido) Luego tomamos una ecuación de la forma ℎ = s ∙ Z

Hazen-Williams propone ℎ= s ∙ ZC. y. Con esto se obtiene:

Inicial ℎ

¡ = s ∙ ZMC. y Real ℎ€= s ∙ (ZM+ ∆Z)C. y Desarrollando el valor de ℎ y despreciando los términos pequeños se obtiene:

ℎ€ = s ∙ ZMC. y+ 1.85ℎZ€¡

v∆Z = ℎ€¡+ 1.85

ℎ€¡

Zv∆Z Entonces, para cada circuito se tiene:

¢ ℎ€ = ¢ ℎ€¡+ ∆Z ∙ ¢

ℎ€¡

ZM = 0 Con lo que se obtiene:

∆Z = − ∑ ℎ€¡

1.85 ∑ℎ€¡

(20)

Tenemos:

Se pide obtener los caudales en cada una de las tuberías de la red. Partimos con la ecuación de Hazen

Y luego hacemos una primera suposición de los caudales Primera suposición

Las suposiciones van de la mano con la idea que, a mayor diámetro, mayor es el caudal que puede llevar una tubería.

Se pide obtener los caudales en cada una de las tuberías de la red. Partimos con la ecuación de Hazen-Williams

ℎ€ = sZC. y

s = 1.72 ∙ 10dD ˆ‰C. y∙ YO. dd ego hacemos una primera suposición de los caudales ZM

Las suposiciones van de la mano con la idea que, a mayor diámetro, mayor es el caudal que puede Las suposiciones van de la mano con la idea que, a mayor diámetro, mayor es el caudal que puede

(21)

Todos los caudales expresados son SUPUESTOS Calculamos los valores de s para cada tramo:

Circuito I Circuito II

BN 0.03376 CM 0.00969

NM 0.02806 MN 0.02806

MB 0.00692 NC 0.00830

Con los valores de K se obtienen los valores de ℎ¡:

Circuito I Circuito II

BN +87.23 CM -57.93

NM -7.16 MN +7.16

MB -56.35 NC +34.23

∑ ℎ¡ +23.72 ∑ ℎ¡ -16.54

Ahora aplicamos la ecuación de ∆Z para cada circuito

∆Z = − ∑ ℎ€¡ 1.85 ∑ℎ€¡ ZM ∆Z¤= −(+23.72) 1.85(+87.23+70 +−7.16−20 +−56.35−130 )= −6.3 ∆Z¤¤ = 16.54 1.85 ∙ 1.26 = 7.1 ∆Z¤ = −6 ∆Z¤¤ = 7 Circuito I Circuito II

Tramo Caudal Pérdida Tramo Caudal Pérdida

BN +70-6=+64 +73.41 CM -110+7=-103 -51.29

NM -20-6-7=-33 -18.09 MN +20+7+6=+33 +18.09

MB -130-6=-136 -61.26 NC +90+7=+97 +39.32

∑ ℎ€¡ -5.44 ∑ ℎ€¡ +6.12

Con estos nuevos valores se obtienen nuevos ∆Z con el que se repite el proceso. Este método se llama método de Hardy-cross

(22)

Resumen método de Hardy-Cross

1. Se analiza la red y se suponen direcciones de flujo en las tuberías periféricas

2. Luego se seleccionan circuitos. Recuerde minimizar la cantidad de tramos de tubería por circuito. Se sugiere seleccionar el flujo del circuito en contra del movimiento de las agujas del reloj.

3. Se calculan los valores de la constante K para cada tramo.

4. Se obtienen las pérdidas para cada tramo. Recordar que el signo de las perdidas están de acuerdo a la dirección que se le dio al flujo del circuito.

5. Se aplica la ecuación de error de caudal ∆Z para cada circuito.

6. Los valores de ∆Z se usan para cambiar los valores de caudal iniciales. 7. Se repiten los pasos 4, 5 y 6 hasta satisfacer los requerimientos.

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