Cap´ıtulo 1
M´
odulos
1.1.
M´
odulos
Axiomas de m´odulo:Sea Aun anillo (conmutativo y con unidad) y seaM un conjunto. Diremos que una operaci´on M×M −−→+ M y una aplicaci´on A×M −→· M definen enM una estructura deA-m´odulocuando
Axioma 1: (M,+) es un grupo conmutativo.
Axioma 2: a·(m+n) =a·m+a·n
Axioma 3: (a+b)·m=a·m+b·m
Axioma 4: (ab)·m=a·(b·m)
Axioma 5: 1·m=m
Es decir, dada una aplicaci´onA×M →M, cada elemento a∈Adefine una aplicaci´on a·:M → M y el segundo axioma expresa quea· es morfismo de grupos. Los tres ´ultimos axiomas expresan que la aplicaci´on φ:A → End(M), φ(a) = a·, es morfismo de anillos. Rec´ıprocamente, si M es un grupo abeliano, cada morfismo de anillos φ: A → End(M) define una estructura de A-m´odulo en M tal que a·m=φ(a)(m) . Resumiendo, dar una estructura deA-m´odulo en un grupo abelianoM es dar un morfismo de anillos de Aen el anillo (no conmutativo en general) de los endomorfismos del grupoM.Los A-m´odulos son las representaciones deA como anillo de endomorfismos de un grupo abeliano.
Definici´on:Una aplicaci´onf:M →Nentre dosA-m´odulos es unmorfismodeA-m´odulos cuando es un morfismo de grupos y conserva el producto por elementos deA:
f(m+m0) =f(m) +f(m0) f(a·m) =a·f(m)
Diremos que un morfismo deA-m´odulosf:M →N es unisomorfismo deA-m´odulos si existe alg´un morfismo de A-m´odulosh:N →M tal que f◦h=IdN y h◦f =IdM.
La composici´on de morfismos deA-m´odulos tambi´en es morfismo deA-m´odulos, la iden-tidad siempre es morfismo deA-m´odulos, y los isomorfismos deA-m´odulos son los morfismos biyectivos.
Definici´on:Sea M unA-m´odulo. Diremos que un subgrupoN deM es unsubm´odulosi es estable por el producto por elementos deA; i.e.,a∈A, m∈N ⇒ am∈N.
En tal casoN hereda una estructura deA-m´odulo. 1
Sif:M →N es un morfismo deA-m´odulos, su n´ucleo Kerf es un subm´odulo deM y su imagen Imf es un subm´odulo deN.
M y 0 son subm´odulos deM. Adem´as, la intersecci´on de cualquier familia de subm´odulos deM tambi´en es un subm´odulo deM. Por tanto, dada una familia{mi}i∈I de elementos de
M, la intersecci´on de todos los subm´odulos deM que la contengan es el menor subm´odulo de M que la contiene y recibe el nombre de subm´odulogeneradopor tal familia. Claramente es el subm´odulo deM formado por las combinaciones lineales finitas con coeficientes enA de elementos de la familia {mi}i∈I dada, y se denotar´a
P
i∈I
Ami
Ejemplos:
1. Si k es un cuerpo, los k-m´odulos son los k-espacios vectoriales, y los morfismos de k-m´odulos son las aplicacionesk-lineales.
2. Cada grupo abeliano (M,+) admite una ´unica estructura deZ-m´odulo. En efecto, si n∈N, basta poner
nm:=m+. . .n +m
(−n)m:= (−m)+. . .n +(−m)
de modo que los subm´odulos deM son precisamente los subgrupos deM, y los mor-fismos deZ-m´odulos son los morfismos de grupos.
3. SeaEun espacio vectorial sobre un cuerpok. Cada endomorfismok-linealT:E→E define una estructura dek[x]-m´odulo enE:
(anxn+. . .+a1x+a0)e:=anTn(e) +. . .+a1T(e) +a0e
y los subm´odulos deE son los subespacios vectorialesV ⊆E invariantes:T(V)⊆V. 4. Cada anillo A es claramente un A-m´odulo, y sus subm´odulos son precisamente los
ideales deA.
5. Sea M un A-m´odulo. Cada a ∈ A induce un morfismo de A-m´odulos M −−→a· M, m7→am; y cadam∈M induce un morfismo deA-m´odulosA−−−→·m M, a7→am. 6. SeaM unA-m´odulo yaun ideal deA. El subm´odulo deM generado por los productos
am, dondea∈aym∈M, se denotaaM. Los elementos deaM son las combinaciones lineales finitasa1m1+. . .+anmn de elementos de M con coeficientes ena.
7. Sea {Mi}i∈I una familia de A-m´odulos con ´ındices en un conjunto I. Su producto
directose denotar´aQi∈IMi, mientras que
L
i∈IMidenotar´a el subgrupo de
Q
i∈IMi
formado por los elementos (mi) que tienen todas sus componentes mi nulas salvo un
n´umero finito y se llamar´asuma directade tal familia (n´otese queLiMi=
Q
iMi
cuando el conjunto de ´ındices es finito). Tanto la suma directaLiMicomo el producto
directoQiMi sonA-m´odulos con el siguiente producto por elementos deA:
a·(mi)i∈I = (ami)i∈I
Si todos los m´odulosMi son iguales a cierto m´oduloM, el producto directo
Q iMi se denotaMI =Q IM y la suma directa L iMi se denota M(I) = L IM. Cuando el
conjuntoI es finito y de cardinaln, ambos m´odulos coinciden y se denotanMn.
8. Fijado un conjunto {xi}i∈I, cada elemento xi define can´onicamente un elemento de
A(I): aqu´el cuyas componentes son todas nulas, excepto la i-´esima que es la unidad.
Ahora todo elemento deA(I)=L
IAdescompone, y de modo ´unico, como una suma
finita a1x1+. . .+anxn, donde ai∈A. Es decir, A(I) =
L
IA es el m´odulo de las
1.1. M ´ODULOS 3
M´
odulo Cociente
Si N es un subm´odulo de unA-m´odulo M, es un subgrupo normal de M. Es sencillo comprobar que en el grupo cocienteM/Nexiste una ´unica estructura deA-m´odulo tal que la proyecci´on can´onicaπ:M →M/N,π(m) = [m], sea morfismo deA-m´odulos. Tal estructura viene definida por el producto
a·[m] = [am]
La demostraci´on de la propiedad universal delA-m´odulo cocienteM/N, y la del corre-spondiente teorema de isomorf´ıa, es similar a la dada para morfismos de grupos y anillos: Propiedad universal del m´odulo cociente: Sea N un subm´odulo de un A-m´odulo M
y sea π:M → M/N la proyecci´on can´onica. Si un morfismo de A-m´odulos f: M → M0
se anula en N, entonces existe un ´unico morfismo de A-m´odulos ϕ:M/N → M0 tal que
f =ϕ◦π; es decir, ϕ([m]) =f(m).
Teorema de Isomorf´ıa:Seaf:M →N un morfismo deA-m´odulos. Tenemos un isomor-fismo de A-m´odulos:
φ:M/Kerf −→ Imf , φ([m]) =f(m)
Teorema 1.1.1 Sea M un A-m´odulo y sea π: M → M/N la proyecci´on can´onica en el cociente por un subm´odulo N. Si P¯ es un subm´odulo de M/N, entonces π−1( ¯P) es un
subm´odulo deM que contiene aN. Tenemos as´ı una biyecci´on que conserva inclusiones
· Subm´odulos deM/N ¸ = · Subm´odulos deM que contienen aN ¸
Demostraci´on: Es claro queπ−1( ¯P) es un subm´odulo deM que contiene a Kerπ=N y que
π−1( ¯P
1)⊆π−1( ¯P2) cuando ¯P1⊆P¯2. Por tanto, basta probar que la aplicaci´on as´ı obtenida
del conjunto de los subm´odulos deM/N en el de los subm´odulos deM que contienen aN es biyectiva. La aplicaci´on inversa asigna a cada subm´odulo P de M que contenga aN el subm´oduloπ(P) deM/N. En efecto:
Si un subm´oduloP deM contiene aN, entonces
P ⊆π−1¡π(P)¢⊆P+N ⊆P
yP=π−1¡π(P)¢. Rec´ıprocamente, si ¯Pes un subm´odulo deM/N, entoncesπ¡π−1( ¯P)¢⊆P¯
y se da la igualdad porqueπes epiyectivo.
Corolario 1.1.2 Sea a un ideal de un anillo A y sea A¯ = A/a. La proyecci´on can´onica
π:A→A¯establece una correspondencia biyectiva, que conserva inclusiones, entre los ideales deA¯ y los ideales deA que contienen aa. Adem´as, si¯bes el ideal de A¯correspondiente a un idealb⊇a, entonces
A/b ' A/¯ ¯b
En particular, ideales primos se corresponden con ideales primos e ideales maximales con ideales maximales.
Demostraci´on: La primera parte es consecuencia del teorema anterior, pues los subm´odulos delA-m´odulo A/a son sus ideales.
En cuanto al isomorfismo A/b ' A/¯ ¯b, el morfismo de anillos natural A → A/¯ ¯b es epiyectivo y su n´ucleo es precisamente el idealb=π−1(¯b). Concluimos al aplicar el teorema
de isomorf´ıa para morfismos de anillos.
Demostraci´on: Sea Aun anillo y seaX el conjunto de sus ideales distintos deA, ordenado por inclusi´on. Si{ai}i∈I es una cadena de elementos deX, entoncesa=
S
iaies claramente
un ideal 6=A que contiene a todos los ideales ai. Es decir, toda cadena de X admite una
cota superior. SiA6= 0, entoncesX no es vac´ıo y el lema de Zorn afirma queX tiene alg´un elemento maximal, que es un ideal maximal de A.
Teorema 1.1.4 Seaaun ideal de un anilloA. Sia6=A, entoncesaest´a contenido en alg´un ideal maximal de A.
Demostraci´on: Si a 6= A, entonces A/a 6= 0 y, por 1.1.3, el anillo A/a tiene alg´un ideal maximal que, seg´un 1.1.2, se corresponde con un ideal maximal de Aque contiene aa. Corolario 1.1.5 La condici´on necesaria y suficiente para que un elemento de un anilloA
sea invertible es que no pertenezca a ning´un ideal maximal deA.
Demostraci´on: Seaf un elemento de un anilloA. Sif pertenece a un ideal maximal, clara-mente no puede ser invertible en A. Rec´ıprocamente, si f no es invertible en A, entonces f A6=Ay, seg´un 1.1.4, el idealf Aest´a contenido en alg´un ideal maximal deA.
M´
odulos Libres
Cada familia{mi}i∈I de elementos de unA-m´oduloM define un morfismo deA-m´odulos
f: LIA→M φ¡(ai)i∈I ¢ :=P i∈I aimi
y diremos que forman unsistema de generadores deM cuando M =PiAmi; es decir,
cuando el correspondiente morfismoφ:A(I)→M sea epiyectivo. Diremos que forman una
basedeM cuandoφsea un isomorfismo; es decir, cuando cada elemento deMdescomponga, y de modo ´unico, como combinaci´on lineal con coeficientes enAde los elementos{mi}i∈I.
Todo m´odulo admite sistemas de generadores (la familia formada por todos sus elementos, etc.); pero existen m´odulos que no tienen ninguna base. Por ejemplo, ning´un grupo abeliano finito no nulo tiene bases.
Definici´on: Diremos que unA-m´odulo es detipo finitosi admite alg´un sistema finito de generadores; es decir, si es isomorfo a un cociente de alguna suma directa finitaAn.
Diremos que un A-m´odulo es libre si admite alguna base; es decir, si es isomorfo a alguna suma directaA(I). CuandoA6= 0, veremos a continuaci´on que todas las bases de un
A-m´odulo libre Ltienen el mismo cardinal, que se llamar´arangodeL.
Lema 1.1.6 Sea A un anillo no nulo. Si existe alg´un morfismo epiyectivo de A-m´odulos
A(I)→A(J), entonces el cardinal deI es mayor o igual que el cardinal de J. En particular
todas las bases de unA-m´odulo libre tienen igual cardinal.
Demostraci´on: Sea m un ideal maximal de A y k = A/m su cuerpo residual. N´otese que m·A(I) = m(I) y que A(I)/mA(I) '(A/m)(I) =k(I). Si alg´un morfismo de A-m´odulos
ϕ:A(I)→A(J) es epiyectivo, tambi´en lo ser´a el morfismo ¯ϕ:A(I)/mA(I)→A(J)/mA(J),
¯
ϕ([m]) = [ϕ(m)]. Como ¯ϕesk-lineal, el cardinal deJ no puede superar al cardinal deI.
1.2.
Sucesiones Exactas
SeanM yN dosA-m´odulos. El conjunto de los morfismos deA-m´odulos deM enN se denota HomA(M, N). Sif, h:M →N son dos morfismos deA-m´odulos, su sumaf+h, que
es la aplicaci´on
1.2. SUCESIONES EXACTAS 5
tambi´en es morfismo deA-m´odulos, y el productoaf por cualquier elementoa∈A, que es la aplicaci´on
(af)(m) :=a¡f(m)¢ tambi´en es morfismo deA-m´odulos.
Con estas operaciones, HomA(M, N) tiene estructura deA-m´odulo.
Sea f: M0 →M un morfismo deA-m´odulos y N unA-m´odulo. La composici´on con f
induce aplicaciones
f∗: HomA(N, M0)−→HomA(N, M), f∗(h) :=f ◦h
f∗: Hom
A(M, N)−→HomA(M0, N), f∗(h) :=h◦f
que son morfismos de A-m´odulos. Es claro que f∗ y f
∗ son la identidad cuando f lo es y
que se verifica:
(f◦h)∗= (f∗)◦(h∗) , (af +bh)∗=a(f∗) +b(h∗)
(f◦h)∗= (h∗)◦(f∗) , (af +bh)∗=a(f∗) +b(h∗)
Ejemplo:SeaE un espacio vectorial sobre un cuerpok. Su espaciodual, por definici´on, es E∗ = Hom
k(E, k). Ahora, si T:E →F es una aplicaci´on k-lineal entre dos k-espacios
vectoriales, la aplicaci´onk-linealT∗:F∗→E∗,T∗(ω) =ω◦T, que acabamos de definir es
precisamente la aplicaci´ontraspuesta; i.e, (T∗ω)(e) =ω(T e) para todoe∈E,ω∈F∗.
Definici´on: Diremos que una sucesi´on . . . −→ Mn−1 −→fn Mn fn+1
−−−→ Mn+1 −→ . . . de
morfismos deA-m´odulos esexactacuando Imfn= Kerfn+1 para todo ´ındicen.
Teorema 1.2.1 La condici´on necesaria y suficiente para que una sucesi´on de morfismos de
A-m´odulos M0 −→i M →−p M00 → 0 sea exacta es que para todo A-m´odulo N sea exacta la
sucesi´on 0 −→ HomA(M00, N) p ∗ −−−→ HomA(M, N) i ∗ −−→ HomA(M0, N)
Demostraci´on: Supongamos que Imi= Kerpy quepes epiyectivo. Sif ∈HomA(M00, N) y
f p= 0, entoncesf se anula en Imp=M00; luegof = 0, lo que muestra quep∗es inyectivo.
Comopi= 0, se sigue que 0 = (pi)∗=i∗p∗; luego Imp∗ ⊆Keri∗. Por ´ultimo, sih∈Keri∗,
entonces el morfismo h: M →N se anula en Imi= Kerp, as´ı que hfactoriza a trav´es de la proyecci´on can´onica π:M →M/Kerp'M00 de acuerdo con la propiedad universal del
cociente. Es decir,h∈Imπ∗= Imp∗.
Veamos ahora que la condici´on es suficiente. Comop∗es inyectivo cuandoN=M00/Imp,
se sigue que la proyecci´on can´onica π: M00 → N es nula; es decir, Imp = M00 y p es
epiyectivo. Adem´as, la condici´on i∗p∗ = (pi)∗ = 0 implica que pi = (pi)∗(Id) = 0; luego
Imi⊆Kerp. Por ´ultimo, siN =M/Imi yπ:M →N es la proyecci´on can´onica, tenemos que i∗(π) = 0. Luego existe alg´un morfismo f: M00 → N tal que π = p∗(f) = f ◦p y
concluimos que Kerp⊆Kerπ= Imi.
Corolario 1.2.2 La condici´on necesaria y suficiente para que un morfismo de A-m´odulos
f:M →M00 sea un isomorfismo es que para todoA-m´oduloN lo sea el morfismo
f∗: Hom
A(M00, N)−→HomA(M, N)
Demostraci´on:Un morfismo deA-m´odulosg:M1→M2es isomorfismo precisamente cuando
Teorema 1.2.3 La condici´on necesaria y suficiente para que una sucesi´on de morfismos de
A-m´odulos 0 → M0 −→i M −→p M00 sea exacta es que para todo A-m´odulo N sea exacta la
sucesi´on
0 −→ HomA(N, M0) −−→i∗ HomA(N, M) p∗
−−−→ HomA(N, M00)
Demostraci´on: La necesidad de la condici´on es inmediata. Para ver que es suficiente bas-ta tomar N = A, pues para todo A-m´odulo M tenemos un isomorfismo natural M = HomA(A, M) y, mediante estos isomorfismos, cada morfismof se corresponde conf∗.
Corolario 1.2.4 La condici´on necesaria y suficiente para que un morfismo de A-m´odulos
f:M0→M sea un isomorfismo es que para todoA-m´odulo N lo sea el morfismo
f∗: HomA(N, M0)→HomA(N, M)
Teorema 1.2.5 Sea 0 → M0 −→i M −→p M00 → 0 una sucesi´on exacta de morfismos de
A-m´odulos. Las siguientes condiciones son equivalentes:
1. Existe un morfismo deA-m´odulos s:M00→M tal quep◦s= Id M00.
2. Existe un morfismo deA-m´odulos r:M →M0 tal quer◦i= Id M0.
3. p∗: HomA(N, M)−→HomA(N, M00)es epiyectivo para todo A-m´odulo N.
4. i∗: Hom
A(M, N)−→HomA(M0, N)es epiyectivo para todo A-m´odulo N.
Adem´as, si se verifican estas condiciones, M es isomorfo aM0⊕M00.
Demostraci´on: (1⇒3) Porquep∗s∗= (ps)∗= Id.
(3⇒1) Basta tomarN=M00 y considerar la identidad deM00.
(2⇒4) Porquei∗r∗= (ri)∗= Id.
(4⇒2) Basta tomarN=M0 y considerar la identidad deM0.
Por ´ultimo, veamos que las dos primeras condiciones son equivalentes. Si se verifica la primera condici´on, entoncesπi: M0 →M/Ims es un isomorfismo y su inverso, compuesto
con la proyecci´on can´onicaM →M/Ims, define un morfismor:M →M0tal queri= Id M0.
En efecto, siπi(m0) = 0, entoncesi(m0) =s(m00) para alg´unm00∈M00. Luego 0 =pi(m0) =
ps(m00) =m00y 0 =s(m00) =i(m0), de modo quem0 = 0. Adem´as, sim∈M, tenemos que
π(m) =π(m−sp(m)) =πi(m0) para alg´unm0∈M0, porquem−sp(m)∈Kerp= Imi.
Rec´ıprocamente, si se verifica la condici´on 2, entoncesp: Kerr→M00es un isomorfismo
y su inverso define un morfismo s: M00 → M tal que ps= Id
M00. En efecto, si r(m) = 0
y p(m) = 0, entoncesm =i(m0) para alg´un m0 ∈ M0. Luego 0 = r(i(m0)) = m0 y m =
i(m0) = 0. Por otra parte, sim00∈M00, tenemos quem00=p(m) =p(m−ir(m)) para alg´un
m∈M, ym−ir(m)∈Kerr.
Adem´as, esta ´ultima igualdad muestra que M = Imi+ Kerr. Como es claro que 0 = Imi∩Kerr, concluimos que
M = Imi ⊕ Kerr ' M0⊕M00 .
Definici´on:Las sucesiones exactas 0→M0→M →M00→0 se llaman sucesiones exactas
cortas. Diremos que una sucesi´on sucesi´on exacta corta escinde o rompe si verifica las condiciones equivalentes del teorema anterior. En tal casoM 'M0⊕M00.
Corolario 1.2.6 Toda sucesi´on exacta 0 → M0 −−→i M −−→p L → 0 de morfismos de A
-m´odulos, dondeLesA-m´odulo libre, escinde. En particular, sikes un cuerpo, toda sucesi´on exacta corta de aplicaciones k-lineales escinde.
Demostraci´on: Sea{ei}i∈I una base deL. Comopes epiyectivo, existen elementosmi∈M
tales que p(mi) =ei. Ahora la aplicaci´on s: L→M, s
¡P
iaiei
¢
=Piaimi, es A-lineal y
Cap´ıtulo 2
Localizaci´
on
2.1.
Anillos de Fracciones
Definici´on:Diremos que un subconjuntoS de un anilloA es unsistema multiplicativo cuando 1∈S y a, b∈S⇒ab∈S.
SiS es un sistema multiplicativo de un anilloA, vamos a construir el anillo de fracciones con numerador enAy denominador enS. Consideramos enA×S la relaci´on:
(a, s)≡(b, t) ⇔ existen u, v∈S tales que au=bvysu=tv
que es una relaci´on de equivalencia enA×S. Claramente tiene las propiedades sim´etrica y reflexiva. En cuanto a la transitiva, si (a, s)≡(b, t) y (b, t)≡(c, r), existenu, v, u0, v0 ∈S
tales queau=bv,su=tvybu0=cv0,tu0=rv0. Luego
auu0=bvu0=cvv0 , suu0=tvu0=rvv0. Comouu0, vv0 ∈S, concluimos que (a, s)≡(c, r)
El conjunto cociente (A×S)/≡ se denotaS−1A´oA
S, y la imagen de cada pareja (a, s)
enAS se denotaa/s.
Definici´on: Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. Llamaremosanillo de frac-ciones o localizaci´on deA por S al conjunto AS con la estructura de anillo que definen
las siguientes operaciones:
a s + b t = at+bs st a s · b t = ab st
Para ver que estas operaciones no dependen de los representantes elegidos, basta com-probarlo cuando la fracci´ona/s se sustituye porau/su:
au su+ b t = (at+bs)u stu = at+bs st au su· b t = abu stu = ab st
Es sencillo comprobar que estas operaciones definen enAS una estructura de anillo. El
cero es 0/1, la unidad es 1/1 y el opuesto de a/s es (−a)/s. Adem´as, una fracci´on a/s es nula precisamente cuandota= 0 para alg´unt∈S.
La aplicaci´onγ:A→S−1A,γ(a) =a/1, es morfismo de anillos
γ(a+b) = (a+b)/1 =a/1 +b/1 =γ(a) +γ(b) γ(ab) =ab/1 = (a/1)(b/1) =γ(a)γ(b)
γ(1) = 1/1
N´otese queγ(s) =ses invertible enS−1Apara todos∈S, pues su inverso es 1/s. Este
morfismo de anillos can´onicoγ:A→S−1Ase llamar´amorfismo de localizaci´on.
Propiedad Universal de la Localizaci´on:Seaγ:A→S−1Ael morfismo de localizaci´on
de un anillo Apor un sistema multiplicativo S. Sif:A→B es un morfismo de anillos tal que f(s)es invertible en B para todo s∈S, entonces existe un ´unico morfismo de anillos
ψ:S−1A→B tal quef =ψ◦γ:
A −→f B γ& %ψ
S−1A
Demostraci´on: Si f(s) es invertible enB para todos∈S, entonces la aplicaci´on ψ: S−1A→B , ψ(a/s) =f(a)f(s)−1
no depende del representantea/selegido, porque
ψ(au/su) =f(au)f(su)−1=f(a)f(u)f(s)−1f(u)−1=f(a)f(s)−1
Se comprueba f´acilmente que esta aplicaci´on ψ es un morfismo de anillos. Adem´as, si a∈A, entonces (ψ◦γ)(a) =ψ(a/1) =f(a)f(1)−1=f(a).
Teorema 2.1.1 SeaAun anillo ´ıntegro.S=A− {0}es un sistema multiplicativo, el anillo de fracciones S−1A es un cuerpo (llamadocuerpo de fraccionesdeA) y el morfismo de
localizaci´on γ:A→S−1A es inyectivo.
Demostraci´on: Si A es ´ıntegro, S = A− {0} es un sistema multiplicativo porque en A el producto de elementos no nulos nunca es nulo y 16= 0.
Por otra parte, si a/1 = 0, existe s 6= 0 tal que sa = 0; luego a = 0 y se sigue que γ: A→ S−1A es inyectivo. En particular S−1A6= 0. Adem´as, si a/s no es nulo, entonces
a6= 0; luegoa∈S ys/a∈S−1Averifica que (a/s)(s/a) = 1, de modo quea/ses invertible
enS−1Ay concluimos queS−1Aes un cuerpo.
2.2.
Localizaci´
on de M´
odulos
Definici´on: Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. Si M es un A-m´odulo, deno-taremosS−1M ´oM
S el cociente deM ×S respecto de la relaci´on de equivalencia
(m, s)≡(n, t) ⇔ existen u, v∈S tales que mu=nv ysu=tv y la imagen de cada pareja (m, s) en el cocienteS−1M se denotar´am/s.
Las operaciones m s + n t = tm+sn st a s · m t = am st
2.2. LOCALIZACI ´ON DE M ´ODULOS 9
definen enS−1M una estructura de S−1A-m´odulo y diremos que es lalocalizaci´ondeM
porS. La aplicaci´on can´onica
γ:M −→S−1M , γ(m) =m/1
es morfismo deA-m´odulos y diremos que es elmorfismo de localizaci´on. Tambi´en diremos que γ(m) = m/1 es la localizaci´on de m por S. Por definici´on, la condici´on necesaria y suficiente para que la localizaci´on de un elemento m ∈ M por S sea nula es que sm = 0
para alg´uns∈S.
Cada morfismo de A-m´odulos f: M → N induce de modo natural una aplicaci´on, lla-madalocalizaci´ondef porS:
S−1f:S−1M −→S−1N , (S−1f)(m/s) =f(m)/s
que es morfismo deS−1A-m´odulos.
Es inmediato comprobar que la localizaci´on de morfismos conserva composiciones y com-binacionesA-lineales:
S−1(f ◦g) = (S−1f)◦(S−1g) S−1(af+bg) =a(S−1f) +b(S−1g)
Propiedad universal de la localizaci´on de m´odulos:SeaM un A-m´odulo y sea S un sistema multiplicativo de A. Si N es un S−1A-m´odulo y f:M → N es un morfismo de
A-m´odulos, existe un ´unico morfismo de S−1A-m´odulos φ: S−1M →N tal quef =φ◦γ;
es decir, φ(m/1) =f(m)para todo m∈M:
HomA(M, N) = HomS−1A(S−1M, N)
Demostraci´on: La unicidad es evidente, pues tal morfismoφha de ser φ(m/s) =s−1f(m) .
En cuanto a la existencia, veamos que tal igualdad define una aplicaci´on deS−1M enN:
φ(um/us) = (su)−1f(um) =s−1u−1uf(m) =s−1f(m)
Ahora es inmediato comprobar que esta aplicaci´onφes morfismo deS−1A-m´odulos.
Teorema 2.2.1 Sea S un sistema multiplicativo de un anilloA y sea
M0 −→f M −→g M00
una sucesi´on exacta de A-m´odulos. Tambi´en es exacta la sucesi´on
M0 S
S−1f
−−−→ S−1M −−−→S−1g M00 S
Demostraci´on: Im(S−1f)⊆Ker(S−1g) porque
(S−1g)◦(S−1f) =S−1(g◦f) = 0
Rec´ıprocamente, sim/s∈Ker(S−1g), entoncesg(m)/s = 0. Luego 0 =tg(m) = g(tm)
para alg´unt∈S y, por hip´otesis, existem0 ∈M0 tal quetm=f(m0). Por tanto
m/s=tm/ts=f(m0)/ts= (S−1f)(m0/ts)
y Ker(S−1g)⊆Im(S−1f). Concluimos que Im(S−1f) = Ker(S−1g) .
Una consecuencia de este teorema es que la localizaci´on transforma subm´odulos en subm´odulos. Con precisi´on, si N es un subm´odulo de un m´odulo M y consideramos la inclusi´on natural N →M, su localizaci´onS−1N →S−1M es inyectiva, as´ı que induce un
isomorfismo de S−1N con su imagen, que es un subm´odulo de S−1M que tambi´en
deno-taremosS−1N:
Corolario 2.2.2 S−1(M/N) = (S−1M)/(S−1N) S−1(N∩N0) = (S−1N)∩(S−1N0) S−1(M ⊕M0) = (S−1M)⊕(S−1M0) S−1(Kerf) = Ker (S−1f) S−1(Imf) = Im (S−1f) S−1(N+N0) = (S−1N) + (S−1N0) S−1(aM) = (S−1a)(S−1M)
Demostraci´on: La primera afirmaci´on se obtiene localizando la sucesi´on exacta 0−→N −→M −→M/N −→0
En cuanto a la segunda, sin/s=n0/s0, donden∈N, n0∈N0, entonces un=u0n0 para
ciertos u0, u∈S; luegounest´a enN∩N0 yn/s= (un)/(us)∈S−1(N∩N0).
Localizando la sucesi´on exacta escindida 0→M0→M0⊕M →M →0, obtenemos una
sucesi´on exacta
0−→M0
S −→(M0⊕M)S−→MS −→0
que escinde; luego (M0⊕M)
S =MS0 ⊕MS.
Sif:M →N es un morfismo deA-m´odulos, localizando la sucesi´on exacta 0−→Kerf −→M −−→f N
obtenemos queS−1(Kerf) = Ker (S−1f).
Las restantes igualdades se siguen directamente de las definiciones.
2.3.
Espectro de un Anillo
Definici´on :Llamaremosespectro primode un anilloAal conjunto de sus ideales primos y lo denotaremos SpecA. Llamaremos funcionesa los elementos del anilloA ypuntos a los elementos de su espectro SpecA, de modo que cada puntox∈SpecAse corresponde con un ideal primo deA que denotaremospx. Diremos que una funci´on f ∈A seanulaen un
puntox∈SpecAcuandof ∈px, de modo queel ideal primopxde un puntoxest´a formado
por todas las funciones que se anulan en x
px = {f ∈A: f se anula enx}.
El hecho de que el ideal de un puntoxsea un ideal primo significa que:
La funci´on 0 se anula en todos los puntos.
Si dos funciones se anulan en un punto, su suma tambi´en. Si una funci´on se anula en un punto, sus m´ultiplos tambi´en.
Si un producto de funciones se anula enx, alg´un factor se anula enx.
El teorema 1.1.3 muestra quetodo anillo no nulo tiene espectro no vac´ıoy 1.1.5 nos dice quelas funciones invertibles son las que no se anulan en ning´un punto del espectro.
Definici´on: Sea A un anillo. Si f ∈A, llamaremosceros de la funci´onf al subconjunto (f)o del espectro de Aformado por todos los puntos donde se anulef. Llamaremosceros
de un idealadeAal subconjunto de SpecAformado por los puntos donde se anulen todas las funciones deay lo denotaremos (a)o:
(a)o= T f∈a (f)o={x∈SpecA:a⊆px}= · Ideales primos deA que contienen aa ¸
2.3. ESPECTRO DE UN ANILLO 11
Las siguientes igualdades son de comprobaci´on directa: (0)o = SpecA ; (A)o=∅ ³ P i∈I ai ´ o = T i∈I (ai)o ³Tn i=1 ai ´ o = n S i=1 (ai)o
excepto la ´ultima, que basta probar cuandoi= 2, y se debe a que si en un puntox∈SpecA no se anula una funci´onf1∈a1 y no se anula una funci´onf2∈a2, entoncesf1f2∈a1∩a2
y no se anula enx.
Estas igualdades muestran que los ceros de los ideales de A son los cerrados de una topolog´ıa sobre SpecA, llamada topolog´ıa de Zariski. De ahora en adelante consider-aremos siempre el espectro de un anillo como un espacio topol´ogico. Por definici´on, si un puntox∈SpecAno est´a en un cerradoC= (a)o, alguna funci´onf ∈ano se anula enx (y
se anula obviamente enC):Las funciones deA separan puntos de cerrados en SpecA. Ahora 1.1.4 afirma que (a)o=∅si y s´olo sia=A, y 1.1.2 afirma que
Spec (A/a) = (a)o
Proposici´on 2.3.1 El cierre de cada puntoxdel espectro de un anilloAest´a formado por los ceros de su ideal primo:
{x} = (px)o .
Luego SpecA es un espacio topol´ogico T0 (puntos distintos tienen cierres distintos) y los
puntos cerrados deSpecA se corresponden con los ideales maximales de A.
Demostraci´on:La condici´on de que un cerrado (a)ode SpecApase porxsignifica quea⊆px,
en cuyo caso (px)o ⊆(a)o. Luego (px)o es el menor cerrado de SpecA que contiene ax; es
decir, (px)o es el cierre dexen SpecA.
Ejemplos:El espectro de un cuerpo tiene un ´unico punto.
De acuerdo con el Lema de Euclides, el espectro deZtiene un punto cerrado por cada n´umero primop(su ideal primo espZ), y un punto denso (llamadopunto gen´ericode SpecZ) que se corresponde con el ideal primo 0.
Los cerrados no triviales de SpecZson las familias finitas de n´umeros primos.
Adem´as, sin≥2, entonces SpecZ/nZ = (nZ)o es el espacio formado por los divisores
primos den, con la top`olog´ıa discreta.
El espectro deC[x] tiene un punto cerrado por cada n´umero complejoα(su ideal primo (x−α) est´a formado por todos los polinomios que admiten la ra´ızx=α), y un punto denso (llamadopunto gen´erico de SpecC[x]) que se corresponde con el ideal primo 0.
Los cerrados no triviales de SpecC[x] son las familias finitas de n´umeros complejos. Adem´as, SpecC[x]/¡p(x)¢= ¡p(x)¢o es el espacio formado por las ra´ıces complejas de p(x), con la topolog´ıa discreta.
Sikes un cuerpo, el espectro dek[x] tiene un punto cerrado por cada polinomio unitario irreducibleq(x) con coeficientes enk, cuyo ideal primo es¡q(x)¢, y un punto denso (llamado
punto gen´erico de Speck[x]) que se corresponde con el ideal primo 0.
Los cerrados no triviales de Speck[x] son las familias finitas de puntos cerrados. Adem´as, Speck[x]/¡p(x)¢=¡p(x)¢o es el espacio formado por los factores irreducibles dep(x), con la topolog´ıa discreta.
Teorema 2.3.2 Si S es un sistema multiplicativo de un anillo A, entonces el espectro de
AS est´a formado por los puntos deSpecA donde no se anula ninguna funci´onf ∈S:
SpecAS =
·
Ideales primos deA que no cortan aS
¸
donde cada ideal primoqdeAS se corresponde conA∩q:={a∈A: a/1∈q}, y cada ideal
primo p deAse corresponde conpAS ={a/s∈AS: a∈p}.
Demostraci´on: Es f´acil comprobar quep=A∩qes un ideal primo deA y que q = {a/s∈AS: a∈p} = pAS
as´ı que la aplicaci´on considerada es inyectiva. Adem´as p no corta a S porque, en caso contrario,q=pAS tendr´ıa elementos invertibles yq=AS, contra la hip´otesis de que el ideal
qes primo. Adem´as, sipes un ideal primo deAque no corta aS, entoncesA∩(pAS) =p:
a 1 =
b
s, b∈p ⇒ au=bv∈p, u∈S ⇒ a∈p Se sigue tambi´en quepAS es un ideal primo deAS,
(a1/s1)(a2/s2)∈pAS ⇒ a1a2∈A∩pAS =p ⇒ ai∈p ⇒ ai/si∈pAS
lo que permite concluir que el morfismo de localizaci´onγ:A→AS establece una biyecci´on
entre los ideales primos deAS y los ideales primos deAque no cortan aS.
Notaci´on:Sea Aun anillo. Si f ∈A, denotaremos Af la localizaci´on deApor el sistema
multiplicativo{1, f, f2, . . . , fn, . . .}.
Corolario 2.3.3 Los ideales primos deAf se corresponden con los ideales primos deAque
no contienen af:
SpecAf = (SpecA)−(f)o
Definici´on:Llamaremos radicalde un anilloAal conjunto de sus elementos nilpotentes: r (A) = {a∈A: an∈a para alg´unn∈N}
y diremos que un anillo es reducidosi su radical es nulo; es decir, si carece de elementos nilpotentes no nulos.
Teorema 2.3.4 El radical de un anillo Aes la intersecci´on de todos sus ideales primos, y por tanto es un ideal deA. Es decir, las funciones nilpotentes son las que se anulan en todos los puntos del espectro.
Demostraci´on: Es claro que los elementos nilpotentes de un anilloApertenecen a todos sus ideales primos.
Rec´ıprocamente, si un elemento f ∈ A pertenece a todos los ideales primos, entonces Af carece de ideales primos seg´un 2.3.3. De acuerdo con 1.1.3 tenemos que Af = 0; luego
1/1 = 0/1, de modo que existe una potenciafn tal que 0 =fn(1−0) =fn.
2.4.
Propiedades Locales
Notaci´on:Sea x∈SpecA y seap el correspondiente ideal primo deA. La localizaci´on de unA-m´oduloM por el sistema multiplicativoS =A−pde las funciones que no se anulan enxse denota Mxo Mp. La imagen de cada elementom∈M por el morfismo can´onico de
2.4. PROPIEDADES LOCALES 13
Lema 2.4.1 Simx= 0en todo puntox∈SpecA, entonces m= 0.
Demostraci´on: Sea I = {f ∈ A: f m = 0} el ideal anulador de m. Si mx = 0, entonces
f m= 0 para alguna funci´on f ∈Aque no se anula enx; luegoxno est´a en (I)o.
Ahora bien, si (I)o=∅, seg´un 1.1.4 tenemos queI=Ay concluimos que 0 = 1·m=m.
Teorema 2.4.2 Sea M un A-m´odulo. Si Mx= 0 en todox∈SpecA, entonces M = 0.
Demostraci´on: SiMx= 0, entonces todo elemento deM se anula al localizar enx, y el lema
anterior permite concluir que todo elemento deM es nulo.
Teorema 2.4.3 Una sucesi´on de morfismos de A-m´odulos M0 −→f M −→g M00 es exacta si y
s´olo si es exacta su localizaci´on M0 x
fx
−→Mx−→gx Mx00 en todo puntox∈SpecA.
Demostraci´on: Seg´un 2.2.1, la localizaci´on de una sucesi´on es exacta tambi´en es exacta. Rec´ıprocamente, si la sucesi´on es exacta al localizar en todo puntox, entonces
(Imgf)x = Im (gf)x = Im (gxfx) = 0
y, de acuerdo con 2.4.2, se sigue que Imgf = 0; es decir, Imf ⊆Kerg. Localizando ahora (Kerg)/(Imf) obtenemos que
(Kerg/Imf)x = (Kerg)x/(Imf)x = (Kergx)/(Imfx) = 0
y de nuevo 2.4.2 permite concluir que (Kerg)/(Imf) = 0. Es decir, Kerg= Imf.
Corolario 2.4.4 La condici´on necesaria y suficiente para que un morfismo de A-m´odulos sea inyectivo (respectivamente epiyectivo, isomorfismo) es que lo sea al localizar en todos los puntos deSpecA.
Corolario 2.4.5 Si unA-m´oduloM est´a anulado por alguna potencia de cierto ideal max-imal m, i.e mnM = 0, entoncesM =M
m.
Demostraci´on: El morfismo naturalM →Mm siempre es un isomorfismo al localizar enm.
CuandomnM = 0, tambi´en es isomorfismo al localizar en cualquier otro puntox∈SpecA.
En efecto, como existe f ∈ mn que no se anula en x y f M = 0, se tiene que M
x = 0 y
(Mm)x= (Mx)m = 0. q.e.d.
El teorema anterior reduce la mayor parte de las cuestiones sobre un A-m´odulo M a estudiar el correspondiente problema sobre losAx-m´odulosMx, dondexrecorre los puntos
de SpecA. Ahora bien, estos anillosAxno son arbitrarios, sino que tienen la particularidad
de tener un ´unico ideal maximalpAx, y vamos a ver que la anulaci´on deMxequivale, cuando
M es unA-m´odulo de tipo finito, a la del espacio vectorialMx/pMxsobre el cuerpo residual
Ax/pAx del puntox, que es una cuesti´on de ´algebra lineal.
Proposici´on 2.4.6 Seapel ideal primo de un puntox∈SpecA. Los ideales primos de Ax
se corresponden con los ideales primos de A contenidos en p. En particular, Ax tiene un
´unico ideal maximal, que es pAx.
Demostraci´on: Basta aplicar 2.3.2 al sistema multiplicativoS=A−p. Definici´on:Un anillo eslocalsi tiene un ´unico ideal maximal.
Lema de Nakayama: Sea O un anillo local y m su ´unico ideal maximal. Si M es un
Demostraci´on: Si M 6= 0, consideramos un sistema finito{m1, . . . , mn} de generadores de
M tales quem2, . . . , mn no generenM. Por hip´otesisM =mM =m(Om1+. . .+Omn) =
mm1+. . .+mmn, as´ı quem1=f1m1+f2m2+. . .+fnmnpara ciertas funcionesf1, . . . , fn∈
m. Luego
(1−f1)m1 = f2m2+. . .+fnmn
y 1−f1no est´a enm, que es el ´unico ideal maximal deO. En virtud de 1.1.5 concluimos que
1−f1es invertible enOy, por tanto, quem1est´a enOm2+. . .+Omn. Luegom2, . . . , mn
generanM, lo que implica una contradicci´on.
Corolario 2.4.7 Sea O un anillo local, k = O/m el cuerpo residual de su ´unico ideal maximal m, y sea M un O-m´odulo de tipo finito.
La condici´on necesaria y suficiente para que m1, . . . , mn ∈M generen el O-m´odulo M
es que m¯1, . . . ,m¯n generen elk-espacio vectorialM/mM.
Demostraci´on: Sea N =Om1+. . .+Omn. La condici´on de que ¯m1, . . . ,m¯n generen el
k-espacio vectorialM/mM significa queM =N+mM. Pasando al cociente porNobtenemos que M/N = m(M/N), y el lema de Nakayama permite concluir queM/N = 0. Es decir, N =M ym1, . . . , mn generan elO-m´oduloM.
Cap´ıtulo 3
M´
odulos sobre Dominios de
Ideales Principales
3.1.
Dominios de Ideales Principales
Definici´on:Undominio de ideales principaleses un anillo ´ıntegro donde cada ideal es principal, es decir, est´a generado por un elemento. En este cap´ıtuloA denotar´a un dominio de ideales principales.
Ejemplos de dominios de ideales principales son los anillos eucl´ıdeos, en particular Z,
Z[i] y el anillo de polinomios k[x] con coeficientes en un cuerpok . La localizaci´on de un dominio de ideales principales tambi´en es un dominio de ideales principales.
Definici´on: Un elemento propio (no nulo ni invertible) se dice que es irreduciblesi no descompone en producto de dos elementos propios. Se dice que dos elementos propios son primos entre s´ısi carecen de divisores propios comunes.
N´otese que un elementoaes divisor de otrobsi y s´olo sibA⊆aA.
Dados elementosa, b∈A, consideremos un generadorddel idealaA+bA. Como a, b∈
aA+bA=dA, resulta que d es divisor de a y b. Por otra parte, si c es divisor de a y b, entoncesdA=aA+bA⊆cA, luegoces divisor ded. En conclusi´on,des el m´aximo com´un divisor deaybenA. De la igualdaddA=aA+bAse deduce directamente la
Identidad de B´ezout: Sea d el m´aximo com´un divisor de dos elementos a, b. Existen elementosα, β∈A tales que
d=αa+βb
Corolario 3.1.1 Sia, b son primos entre s´ı, existenα, β∈A tales que1 =αa+βb.
Lema 3.1.2 Siadivide a bcy es primo conb, entonces divide a c.
Demostraci´on: Sean α, β ∈ A tales que 1 = αa+βb. Multiplicando por c resulta c = αac+βbc; comoadivide a los dos sumandos se concluye que divide tambi´en a la sumac. Lema de Euclides:Si un elemento irreducible divide un producto, divide alg´un factor.
Proposici´on 3.1.3 Toda cadena de ideales deA estabiliza.
Demostraci´on: Dada una cadena de idealesa1⊆a2⊆. . . consideremos el generadorc del
ideal∪iai. Se cumplec∈an para alg´unn. Las inclusiones
an ⊆ an+j ⊆ ∪iai = cA ⊆ an
prueban quean=an+j para todoj >0.
Teorema de descomposici´on en factores irreducibles: Todo elemento propio a∈ A
descompone en producto de factores irreducibles: a=p1· · ·pn. Adem´as, la descomposici´on
es ´unica salvo el orden y factores invertibles.
Demostraci´on: Si alg´un elemento propio a no descompone en producto de factores irre-ducibles, entonces es producto de elementos propios a = bc y alg´un factor, digamos b, tampoco descompone en producto de factores irreducibles. Como la inclusi´on aA ⊂ bA es estricta, porque c es propio, reiterando el argumento obtenemos una cadena infinita de ideales estrictamente creciente, en contradicci´on con la proposici´on anterior.
Veamos ahora la unicidad. Seana =p1· · ·pn =q1· · ·qm dos descomposiciones. Por el
lema de Euclides, q1 divide alg´un factor pi, luego coincide con ´el (salvo un factor
invert-ible) por serpi irreducible. Pongamosq1=p1(salvo invertibles). Simplificando la identidad
original tenemos p2· · ·pn = q2· · ·qm. Razonando con q2 como hicimos antes con q1
lleg-amos a que q2 coincide con alg´un pi. Reiterando el argumento obtendremos que las dos
descomposiciones son iguales (salvo el orden y factores invertibles).
3.2.
Teoremas de Descomposici´
on
SeaA un dominio de ideales principales, y sea Σ el cuerpo de fracciones deA; es decir, Σ es la localizaci´on deApor el sistema multiplicativoS =A− {0}.
Definici´on: Se llama rango de un A-m´odulo M a la dimensi´on de S−1M como espacio
vectorial sobre Σ. N´otese que para unA-m´odulo libreL=A⊕. . .r ⊕Ael rango es justamente
el n´umerorde sumandos isomorfos aA.
Proposici´on 3.2.1 Todo subm´oduloM de unA-m´odulo libre Lr de rango finito res
tam-bi´en libre de rango ≤r.
Demostraci´on: Procedemos por inducci´on sobre r; pues si r = 1, entonces Lr ' A y en
consecuenciaM es isomorfo a un idealaAdeA. ComoaA= 0 ´oaA'A se concluye. Sir >1, descomponemosLren suma directa de dos libres de rango menor quer, digamos
L = Ln⊕Lr−n. Llamando π: L → Lr−n a la proyecci´on natural, tenemos las sucesiones
exactas
0 −→ Ln −→ Lr −→π Lr−n −→ 0
∪ ∪ ∪
0 −→ Ln∩M −→ M −→π π(M) −→ 0
Por hip´otesis de inducci´on,Ln∩M es libre de rango≤nyπ(M) es libre de rango≤r−n.
Adem´as, por serπ(M) libre, la segunda sucesi´on exacta rompe; luegoM '(Ln∩M)⊕π(M)
y concluimos queM es libre de rango≤r.
Corolario 3.2.2 Todo subm´oduloM0 de unA-m´odulo finito generado M tambi´en es finito
generado.
Demostraci´on: Por serM finito generado, existe un epimorfismoπ:L→M siendoLlibre de rango finito. Por la proposici´on anterior, el subm´oduloL0 =π−1(M0) es libre de rango
finito; en particular L0 es finito generado. Comoπ:L0 →M0 es epiyectivo, se concluye que
3.2. TEOREMAS DE DESCOMPOSICI ´ON 17
Ejemplo: Para hallar una base del subm´odulo L de Ar generado por ciertos elementos,
realizamos transformaciones elementales con los generadores (intercambiar dos, sumar a uno un m´ultiplo de otro o multiplicar por un invertible deA), obteniendo as´ı otro sistema de generadores de L, hasta que los generadores no nulos sean linealmente independientes. Por ejemplo, calculemos una base del subgrupo LdeZ2 generado por los elementos (14,0),
(34,6) y (39,9): µ 14 34 39 0 6 9 ¶ µ 14 34 5 0 6 3 ¶ µ 14 24 5 0 0 3 ¶ µ 14 −4 5 0 0 3 ¶ µ 2 −4 5 0 0 3 ¶ µ 2 0 5 0 0 3 ¶
as´ı que (2,0) y (5,3) forman una base (luego tambi´en (2,0) y (1,3) forman una base deL). Definici´on: Un elemento m de un A-m´odulo M se dice detorsi´on si existe un elemento no nuloa∈Atal queam= 0; es decir, cuando el morfismoA−−−→·m M no es inyectivo.
Tal condici´on equivale a que la localizaci´on m/1 sea nula, al localizar por el sistema multiplicativo S = A− {0}; i.e., la torsi´on de M coincide con el n´ucleo del morfismo de localizaci´onM →MS, as´ı que es un subm´odulo deM, llamadosubm´odulo de torsi´on, y
se denotaT(M).
Diremos que unA-m´oduloM esde torsi´on si M =T(M). Diremos que M carece de torsi´onsiT(M) = 0.
Las siguientes propiedades son elementales: 1. T(M ⊕N) =T(M)⊕T(N)
2. M/T(M) carece de torsi´on.
3. Todo A-m´odulo libreLcarece de torsi´on: T(L) = 0 . 4. M es de torsi´on precisamente cuandoMS = 0.
Proposici´on 3.2.3 TodoA-m´odulo M finito generado y sin torsi´on es libre.
Demostraci´on: Bastar´a probar queM se inyecta en un A-m´odulo libre de rango finito. Co-moM carece de torsi´on, tenemos una inyecci´onM →MS. Sim1, . . . , mses un sistema de
generadores deM, entoncesm1/1, . . . , ms/1 es un sistema de generadores deMScomo
espa-cio vectorial sobre Σ. De dicho sistema de generadores podemos extraer una base, digamos m1/1, . . . , mr/1. Podemos escribir entonces:
mi 1 = r X j=1 aij bij mj 1 con aij, bij ∈A
y reduciendo a com´un denominador podemos suponer que todos losbij son iguales, digamos
bij=b, as´ı que mi 1 = r X j=1 aij b mj 1
Se concluye entonces que los generadores de M se inyectan en el A-m´odulo libre L = A(m1/b)⊕. . .⊕A(mr/b) , luego M ⊆L.
Primer teorema de descomposici´on: Todo A-m´odulo finito generado descompone de modo ´unico (salvo isomorfismos) en suma directa de un A-m´odulo libre y un A-m´odulo de torsi´on. En concreto, si res el rango de M, se verifica
Demostraci´on: Consideremos la sucesi´on exacta
0−→T(M)−→M −→M/T(M)−→0
Por la proposici´on anteriorM/T(M) es libre, as´ı que esta sucesi´on exacta rompe y obtenemos la descomposici´on buscada:
M '¡M/T(M)¢⊕T(M)
Veamos ahora la unicidad de la descomposici´on: SeaM 'L⊕T donde Les libre y T es de torsi´on. Localizando por S resulta MS ' LS, luego M y L tienen el mismo rango;
es decir, L ' A⊕ . . .r ⊕A donde r es el rango de M. Finalmente, tomando torsi´on en la
descomposici´onM 'L⊕T resulta
T(M)'T(L)⊕T(T) = 0⊕T =T .
Lema 3.2.4 SeaM un A-m´odulo, y para cadab∈Apongamos kerb={m∈M:bm= 0}. Sip, q∈Ason primos entre s´ı, entonces
kerpq = kerp⊕kerq
Demostraci´on:De acuerdo con la Identidad de B´ezout existenλ, µ∈Atales que 1 =λp+µq. Luego para cadam∈M se cumple
m= 1·m=λpm+µqm .
Ahora, si m ∈ kerpq, entonces λpm ∈kerq y µqm ∈ kerp. Por consiguiente kerpq = kerp+ kerq.
Por otra parte, sim∈kerp∩kerqentoncesm=λpm+µqm= 0 + 0 = 0. De todo lo anterior se deduce que kerpq= kerp⊕kerq.
Ejemplo:Para determinar las sucesiones de Fibonacci, que son las sucesiones (an)n≥0tales
que an+2 =an+1+an para todo ´ındicen, introducimos el C-espacio vectorialE de todas
las sucesiones (an) de n´umeros complejos y el endomorfismo∇: E →E,∇(an) = (an+1),
que induce una estructura deC[x]-m´odulo enE. Ahora las sucesiones de Fibonacci forman el n´ucleo del endomorfismo∇2− ∇ −Id; as´ı que el problema es determinar ker (x2−x−1).
Si α, β∈R son las ra´ıces dex2−x−1, de modo que x2−x−1 = (x−α)(x−β), el
lema anterior muestra que
ker (x2−x−1) = ker (x−α)⊕ker (x−β)
Como el n´ucleo de∇ −αest´a formado claramente por las progresiones geom´etricas de raz´onα, obtenemos que cada sucesi´on de Fibonacci (an) descompone, y de modo ´unico, en
suma de una progresi´on geom´etrica de raz´onαy otra de raz´on β: an = aαn+bβn
Ejemplo: Para resolver la ecuaci´on diferencial f00(t) = −f(t) introducimos el C-espacio
vectorialEformado por las funciones complejas de variable realf(t) =x(t) +iy(t) de clase
C∞, en el sentido de que lo sonx(t) ey(t), y el endomorfismoD:E→E,D(f(t)) =f0(t) =
x0(t) +iy0(t), que induce una estructura deC[x]-m´odulo en E. Ahora las soluciones de la
ecuaci´onf00(t) =−f(t) forman el n´ucleo del endomorfismoD2+ Id; as´ı que el problema es
determinar ker (x2+ 1).
Comox2+ 1 = (x−i)(x+i), el lema anterior muestra que
3.2. TEOREMAS DE DESCOMPOSICI ´ON 19
Ahora bien, ker (x−α) est´a formado por las soluciones de la ecuaci´onf0(t) = αf(t), que
f´acilmente puede verse que son las funciones f(t) =λeαt,λ∈C. Por tanto, toda soluci´on
f(t) de nuestra ecuaci´on descompone, y de modo ´unico, en suma de dos exponenciales f(t) = λeit+µe−it = λ(cost+isent) +µ(cost−isent) , λ, µ∈C
y si buscamos las soluciones reales, basta tomar la parte real de las soluciones complejas: f(t) = acost+bsent , a, b∈R
Definici´on:SeaM unA-m´odulo. Diremos quea={a∈A: aM = 0}es elideal anulador deM, y el generador dease llamar´aanuladordeM.
Por definici´onaM = 0, as´ı que elA-m´odulo M admite una estructura natural de A/a-m´odulo: [a]·m:=am.
Como el generador de un ideal es ´unico salvo un factor invertible, el anulador de un m´odulo est´a bien definido salvo un factor invertible. El anulador deA/bAesb.
El anulador de unA-m´odulo finito-generado de torsi´on M nunca es nulo. En efecto, si M =Am1+. . .+Amn yaimi= 0, entoncesa1. . . anM = 0.
Segundo teorema de descomposici´on:Seaa=pn1
1 · · ·pnss la descomposici´on en factores
irreducibles del anulador de un A-m´odulo M. Entonces M descompone de modo ´unico en suma directa de subm´odulosMi anulados por pnii. En concreto se cumple
M = kerpn1
1 ⊕. . .⊕kerpnss
Demostraci´on: Para la existencia, basta aplicar el lema anterior sucesivamente: M = kera = kerpn1
1 ⊕ker (pn22· · ·pnss) = . . . = kerpn11⊕. . .⊕kerpnss.
En cuanto a la unicidad, siM =M1⊕. . .⊕MsdondepiniMi= 0, entoncesMi⊂kerpnii.
Ahora tenemos que (kerpn1
1 /M1)⊕. . .⊕(kerpnss/Ms) = (kerp1n1⊕. . .⊕kerpnss)/(M1⊕. . .⊕Ms) = M/M = 0
y concluimos que kerpni
i /Mi= 0; es decir,Mi= kerpnii.
Tercer teorema de descomposici´on:Si M es unA-m´odulo finito-generado de anulador
pn, dondepes irreducible, entonces existe una ´unica sucesi´on decrecienten=n
1≥ · · · ≥ns
tal que
M '(A/pn1A)⊕. . .⊕(A/pnsA)
Demostraci´on: Como el ideal pA es maximal, de 2.4.5 se sigue que M = Mp, que es un
Ap-m´odulo; as´ı que podemos suponer que todo elemento no nulo de A es de la forma upr
para alg´un invertibleu∈A.
Consideremos ahora una presentaci´on deM; i.e., una sucesi´on exacta L0
n f
−−−→ Lm −→ M −→ 0
dondeL0
nyLmsonA-m´odulos libres de rango finito. Elegidas bases (e01, . . . , e0n) y (e1, . . . , em)
de los m´odulos libres L0
n yLm, el morfismof vendr´a dado por una matriz (aij) dem filas
yncolumnas con coeficientes en el anilloA: f(e0
j) =
P
