Universidad de Antioquia
Instituto de Matem´
aticas
Grupo de Semilleros de Matem´
aticas
(Sem´
atica)
Taller 9
2011−2
Teorema fundamental del ´
algebra
Figura 1
Las t´ecnicas algebraicas desarrolladas durante el siglo XVII por F. Vi`ete y por Girolamo Cardano proporcionaron las herramientas para que los matem´aticos franceses Pierre de Fermat y Ren´e Descartes (figura1) resol-vieran una variedad de problemas que permanec´ıan sin resolver desde la Grecia Cl´asica. El gran aporte de estos dos ´ultimos pensadores fue el haber establecido una conexi´on no aparente entre la geometr´ıa y el ´algebra, que finalmente conducir´ıa al nacimiento de lageometr´ıa anal´ıtica.
Ren´e Descartes (Francia, 31 de marzo de 1956 - Estocolmo, 11 de febre-ro de 1650) fue un pensador franc´es cuyas contribuciones no s´olo fuefebre-ron en el campo de las matem´aticas; en f´ısica es considerado el creador del
mecanicismo y en filosf´ıa proporcion´o los fundamentos del racionalismo
occidental. Su famosa obra,La G´eom´etrie (1637), establece equivalencias entre operaciones al-gebraicas y construcciones geom´etricas, y est´a basada en la idea de caracterizar una diversidad de lugares (locus) geom´etricos como l´ıneas, circunferencias y secciones c´onicas, en t´erminos de cierta clase de ecuaciones algebraicas que involucraban magnitudes de segmentos de rectas. Descartes fue el primero en estudiar de una manera sistem´atica las propiedades algebraicas de los polinomios, en particular la relaci´on entre los ceros de un polinomio y su grado, as´ı como la factorizaci´on de polinomios como producto de factores lineales. Con el trabajo de Descartes, el desarrollo del ´algebra se centr´o en el estudio de los polinomios, concretamente en la b´usqueda de soluciones generales de ecuaciones polin´omicas de grado cuatro en adelante. Los intentos realizados para resolver este tipo de ecuaciones condujeron al planteamiento de una cuesti´on de vital importancia en ´algebra, a saber, el n´umero de soluciones que una ecuaci´on polin´omica de gradonpuede admitir.
La respuesta a esta imporante pregunta fue sugerida inicialmente por el m´atem´atico franc´es Albert Girard en 1629 y est´a dada por el teorema fundamental del ´algebra que afirma que toda ecuaci´on polin´omica de grado n, con coeficientes complejos, tiene n ra´ıces complejas. Aunque desde la antiguedad era conocido que muchas ecuaciones polin´omicas particulares satisfac´ıan el teorema, fue s´olo hasta el siglo XVIII que el matem´atico alem´an Carl Friedrich Gauss lo demostr´o. Este teorema fue fundamental para establecer las bases conceptuales que permitieron consolidar al ´algebra como una disciplina de estudio de las matem´aticas.
Objetivo general
Emplear el toerema fundamental del ´algebra y sus consecuencias en la soluci´on de problemas que involucran ecuaciones polin´omicas.
Objetivos espec´ıficos
1. Identificar los ceros de una funci´on polinomial y su multiplicidad. 2. Encontrar una funci´on polinomial con ceros especificados.
Grupo de Semilleros de Matem´aticas - Sem´atica, Universidad de Antioquia. Esta obra es distribuida bajo una licenciaCreative Commons Atribuci´on - No comercial 2.5 Colombia.
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1.
Resultados fundamentales
Losceros de un polinomiof(x) son las soluciones de la ecuaci´onf(x) = 0 y geom´etricamente corresponden a las intersecciones con el eje x de la gr´afica de f. El polinomio de grado n = 1, f(x) = ax+b tiene un cero,−b/a. El polinomio de grado n= 2, f(x) = ax2+bx+c posee al menos un cero que est´a dado por −b+
√ b2 −4ac 2a o − b− √ b2 −4ac
2a . En general, para polinomios de grado
ntenemos el siguiente resultado:
Teorema 1.1 (Teorema fundamental del ´algebra). Todo polinomio de grado n ≥1 posee al lo menos un cero, que puede ser real o complejo.
Los teoremas del factor y del residuo vistos en el taller anterior se pueden extender al sistema de los n´umeros complejos. As´ı, el n´umero complejoz=a+bies un cero de un polinomiof(x) si y s´olo six−zes un factor def(x). Como consecuencia del teorema fundamental del ´algebra (1.1) tenemos el siguiente resultado:
Teorema 1.2(Teorema de factorizaci´on completa para polinomios). Sif(x)es un polinomio de gradon≥1, entonces existennn´umeros complejos z1, z2, . . . , zn tales quef(x) =a(x−z1)(x−
z2)· · ·(x−zn), donde aes el coeficiente principal def(x).
Observemos que cada n´umero zk en el teorema de factorizaci´on completa (1.2) es un cero de
f(x) y cada uno de estos ceros puede repetirse, por ejemplo f(x) = x2
−2x+ 1 tiene dos ceros iguales:z1=z2= 1, puesf(x) = (x−1)2. Otros ejemplos son los siguientes:
Polinomiof(x) Forma factorizada Ceros de f(x)
5x3 −30x2+ 65x 5x(x −(3 + 2i))(x+ (3 + 2i)) 0, ±3 + 2i x2+ 3x+ 4 x− −3 2+ √ 7 2 i !! · x− −32 − √ 7 2 i !! −32 ± √ 7 2 i −6x3 −2x2 −6x−2 −6 x+1 3 (x+i)(x−i) −1 3, ±i Si todos los ceros enunicados en el teorema de factorizaci´on completa (1.2) son distintos. . .
Teorema 1.3(N´umero m´aximo de ceros de un polinomio). Un polinomio de grado ntiene a lo sumo (como m´aximo)nceros complejos diferentes.
Definici´on 1.1. Si un factor, digamosx−c, se presentamveces en la factorizaci´on del polinomio f(x), entonces decimos quec es un cero de multiplicidadmde la ecuaci´onf(x) = 0.
Ejemplo 1.1.Para el polinomiof(x) =x(x−1)2(x−4)3tenemos que 4 es un cero de multiplicidad 3, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 0 es un cero de de multiplicidad 1.
Teorema 1.4 (N´umero exacto de ceros de un polinomio). Si f(x) es un polinomio de grado
n≥1 y si cada cero de multiplicidad m se cuenta m veces, entoncesf(x)tiene precisamente n
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Ejercicio 1.1. Expresef(x) =x5−x4−2x3 como producto de factores y encuentra sus ceros.Soluci´on. Observemos quef(x) =x3(x2−x−2) =x3(x+ 1)(x−2) luego los ceros def(x) son 0,0,0,−1,2.
2.
Ceros racionales e irracionales
No todo polinomio tiene ceros racionales, pero en caso de tenerlos, los podemos hallar con ayuda del siguiente teorema
Teorema 2.1 (Ceros racionales de un polinomio). Todo cero racional de un polinomio
f(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0
es de la forma c
d, dondec es un factor de a0 ydes un factor dean.
Ejercicio 2.1. Halla todos los ceros def(x)=x6+ 3x5
−13x4
−25x3+ 50x2+ 24x.
Soluci´on. Primero observemos quef(x) =x·(x5+ 3x4
−13x3
−25x2+ 50x+ 24) y por tanto 0 es una ra´ız def(x) = 0. Descartando esta ra´ız obtenemos la ecuaci´on
x5+ 3x4−13x3−25x2+ 50x+ 24 = 0. Comoa5= 1 ya0= 24, las posible ra´ıces racionales son:
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12 y ±24.
Probamos con 1 (no hay un orden espec´ıfico para hacer esto), utilizando divisi´on sint´etica:
2 1 3 −13 −25 50 24 ↓ 2 10 −6 −62 −24 1 5 −3 −31 −12 0 =⇒ f(x) = (x−2) x4+5x3−3x2−31x−12 | {z } q1(x) Repetimos el procedimiento con el polinomioq1(x) y probamos con −3:
−3 1 5 −3 −31 −12 ↓ −3 −6 27 12 1 2 −9 −4 0 =⇒ f(x) = (x−2)(x+ 3) x3+2x2−9x−4 | {z } q2(x) Para el polinomioq2(x) probamos con−4:
−4 1 2 −9 −4 ↓ −4 8 4 1 −2 −1 0 =⇒ f(x) = (x−2)(x+ 3)(x+ 4) x2−2x−1 | {z } q3(x) Para el polinomioq3(x) =x2−2x−1 tenemos que sus ra´ıces est´an dadas por
−(−2)±p(−2)2−4·1·(−1) 2 = 2±√8 2 = 2±2√2 2 = 1± √ 2
Por tanto,f es un polinomio de grado 5 que tiene 3 ceros racionales y 2 ceros irracionales: f(x) = (x−2)(x+ 3)(x+ 4)x−1−√2 x−1 +√2.
Observaci´on 1. El polinomio anterior tiene dos ceros irracionales que se presentan en “pares con-jugados”. En general, se presenta la siguiente situaci´on
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Teorema 2.2 (Ceros irracionales conjugados). Si los coeficientes dep(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·a1x+a0
son enteros y sic1=s+t√ues un cero irracional dep(x)(uno es cuadrado perfecto), entonces
c2=s−t√utambi´en es un cero dep(x).
Finalizamos esta secci´on con el siguiente resultado
Teorema 2.3 (Suma y producto de ceros). La suma y el producto de los ceros del polinomio
p(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·a1x+a0, an6= 0
vienen dados en t´erminos de sus coeficientes por medio de
Suma de ceros=−an−1
an
y Producto de ceros= (−1)na0
an
3.
Ceros complejos
El teorema fundamental del ´algebra (1.1) nos garantiza que todo polinomio de grado n ≥ 1 posee al menos un cero, que en algunos casos resulta ser real y en otros complejo. Cuando los ceros son complejos (parte imaganiria no nula) y los coeficientes del polinomio son reales, tenemos el siguiente resultado
Teorema 3.1 (Ceros conjugados de un polinomio). Si un polinomio f(x)de grado n >1 tiene coeficientes reales y siz=a+bicon b6= 0es un cero complejo de f(x), entonces el conjugado
¯
z=a−bitambi´en es un cero de f(x).
Ejercicio 3.1. Encuentre un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga como ceros a
−3 + 2i y 1−4i.
Soluci´on. Por el teorema anterior −3 + 2i, −3−2i, 1−4i y 1 + 4i, son los ceros de f(x). Por el teorema del factor f(x) se puede expresar como el producto de x−(−3 + 2i), x−(−3−2i), x−(1−4i) yx−(1 + 4i), as´ı
f(x) = [x−(−3 + 2i)][x−(−3−2i)][x−(1−4i)][x−(1 + 4i)] = [x2+ 6x+ 13][x2−2x+ 16]
=x4+ 4x3+ 17x2+ 70x+ 208.
Observaci´on 2. Aunque el teorema de factorizaci´on completa (1.2) nos garantiza que todo po-linomio p(x) de grado n ≥ 1 se puede expresar como producto de factores lineales p(x) = a(x−z1)(x−z2)· · ·(x−zn), estos factores no siempre tendr´an coeficientes reales.
Teorema 3.2. Todo polinomio con coeficientes reales se puede expresar como el producto de factores lineales y/o cuadr´aticos con coeficientes reales.
Ejemplo 3.1. El polinomiop(x) =x3
−x2+ 4x
−4 tiene coeficientes reales y se puede factorizar como producto de factores lineales y cuadr´aticos (con coficientes reales)
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o como producto s´olo de factores lineales (pero con coeficientes complejos) p(x) = (x−1)x−√2i x+√2i.
4.
Ejercicios
[Problemas (1)-(7)] Exprese a f(x), un polino-mio con coeficientes reales, como producto de factores lineales y cuadr´aticos enR, sif(x) tie-ne los ceros y el grado indicado en cada caso.
1. Ceros: 3−2i; grado: 2. 2. Ceros: 4−3i; grado: 2. 3. Ceros:−2,5−2i; grado: 3. 4. Ceros: 3,1 + 7i; grado: 3. 5. Ceros: 1,0,1 +i; grado: 4. 6. Ceros: 0,−2i,1−i; grado: 5. 7. Ceros: 0,3i,4 +i; grado: 5.
[Problemas (8)-(10)] Encuentre el polinomio de menor grado que tenga los ceros indicados.
8. 3 de multiplicidad 2 y−4. 9. −7 de multiplicidad 3, 23 y−5. 10. 2−3i,2 + 3i,−4 de multiplicidad 2. 11. Las soluciones de la ecuaci´onx3
−8 = 0, son las ra´ıces c´ubicas de 8. ¿Cu´antas ra´ıces c´ubicas de 8 existen? H´allelas.
12. Uno de los ceros de p(x) =x2+ 2ix
−5 es 2−i. Demuestre que 2 +i no es un cero dep(x). ¿Contradice esto el teorema de las ra´ıces conjugadas?.
[Problemas (13)-(16)] Demuestre que las ecua-ciones dadas no tienen ra´ıces racionales.
13. x3+ 3x2 −4x+ 6 = 0 14. 3x3 −4x2+ 7x+ 5 = 0 15. x5−3x3+ 4x2+x−2 = 0 16. 2x5+ 3x3+ 7 = 0
[Problemas (17)-(23)] Halle todas las soluciones de las ecuaciones dadas.
17. x3−x2−10x−8 = 0 18. x3+x2−14x−24 = 0 19. 2x3−3x2−17x+ 30 = 0 20. 12x3+ 8x2−3x−2 = 0 21. x4+ 3x3−30x2−6x+ 56 = 0 22. 3x5−10x4−6x3+ 24x2+ 11x−6 = 0 23. 2x5+ 3x3+ 7 = 0
24. Encuentre un polinomio de grado 2 tal que la suma de sus ra´ıces es 2 y el producto es
−3.
25. A y B son dos ciudades que est´an 300 kil´ometros una de la otra. Si dos trenes parten simult´aneamente deA y de B, ca-da uno hacia la otra estaci´on y despu´es de que se encuentran, el tren que sali´o de A lleg´o aB en 9 horas, en tanto que el que sali´o deBlleg´o aAen 4 horas. Encuentre la velocidad de cada tren.
Referencias
[1] Notas de clase y talleres desarrollados por profesores del Instituto de Matem´aticas de la Universidad de Antioquia para el curso Algebra y trigonometr´ıa´ (CNM-108):
http://ciencias.udea.edu.co/algebraytrigo/
[2] W. L. Hosch,The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry. Rosen Education Service, primera edici´on, 2010.
[3] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Algebra y Trigonometr´ıa con Geometr´ıa Anal´ıtica´ , und´ecima edici´on, editorial Thomson, 2006.