CINEMÁTICA
PUNTO MATERIAL O PARTÍCULA: OBJETO DE DIMENSIONES
DESPRECIABLES FRENTE A LAS DISTANCIAS ENTRE ÉL Y
LOS OBJETOS CON LOS QUE INTERACCIONA.
SISTEMA DE REFERENCIA: CONUNTO BIEN DEFINIDO QUE,
EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL, CONSTA DE UN ORIGEN
Y DE TRES EJES, PERPENDICULARES ENTRE SÍ, QUE
PASAN POR EL ORIGEN.
VECTOR DE POSICIÓN ( r ): VECTOR CUYO ORIGEN ESTÁ
EN EL ORIGEN DEL SISTEMA DE REFERENCIA ELEGIDO Y
CUYO EXTREMO ES EL PUNTO MATERIAL.
2 2 y x y x y y x x
r
r
r
j
r
i
r
r
j
y
y
i
x
x
j
r
r
i
r
r
+
=
+
=
=
=
=
=
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO (PARAMÉTRICA)
EL EXTREMO DEL VECTOR DE POSICIÓN, VARIABLE CON EL
TIEMPO, DIBUJA EN EL PLANO LA LÍNEA DESCRITA POR EL
MÓVIL EN SU MOVIMIENTO, SU TRAYECTORIA: (LUGAR
GEOMÉTRICO DE LAS SUCESIVAS POSICIONES QUE UN
MÓVIL VA OCUPANDO EN EL TRANSCURSO DEL TIEMPO).
DEPENDIENDO DE LA
TRAYECTORIA LOS MOVIMIENTOS
PUEDEN CLASIFICARSE EN
RECTILÍNEOS
Y
CURVILÍNEOS
SI EN LAS ECUACIONES SE
ELIMINA LA VARIABLE TIEMPO, SE OBTIENE LA ECUACIÓN
DE LA TRAYECTORIA
t
x
t
i
y
t
j
r
r
t
r
r
H
=
H
=
H
=
H
+
H
t
f
y
t
f
x
=
;
=
x
f
y
=
VECTOR DESPLAZAMIENTO:
VECTOR QUE REPRESENTA LA
VARIACIÓN DE LA POSICIÓN DE LA PARTÍCULA.
VECTOR VELOCIDAD MEDIA:
COCIENTE ENTRE EL
DESPLAZAMIENTO Y EL INTERVALO DE TIEMPO
TRANSCURRIDO.
DESPLAZAMIENTO EN LÍNEA RECTA
1 2
r
r
r
H
=
H
-
H
D
1 2 1 2t
t
x
x
v
m-=
MOVIMIENTO UNIFORME:
RECORRE
DISTANCIAS IDÉNTICAS EN TIEMPOS
IGUALES, LA VELOCIDAD MEDIA ES LA
MISMA. EL MOVIMIENTO QUE NO ES
UNIFORME ES
ACELERADO
.
MÓVIL EN EL PLANO
2 2 y x m y x m mv
v
v
j
v
i
v
j
t
x
i
t
x
v
j
y
i
x
r
t
r
v
+
=
+
=
D
D
+
D
D
=
+
=
D
D
D
=
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
VELOCIDAD INSTANTÁNEA:
LÍMITE DE LA VELOCIDAD
MEDIA CUANDO
,,,,
t
SE APROXIMA A
CERO.
ESTE LÍMITE DE
x
RESPECTO A
t
SE DENOMINA DERIVADA.
MÓDULO Y DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA.
TANGENTE A LA TRAYECTORIA
t
x
v
t
D
D
=
®
D
H
H
0
j
v
i
v
v
j
t
d
x
d
i
t
d
x
d
v
t
d
r
d
v
H
H
H
H
x
H
y
H
H
H
=
=
+
=
+
2
2
y
x
v
v
v
H
=
+
u
v
v
H
=
×
H
VECTOR ACELERACÓN
LA ACELERACIÓN ES LA MAGNITUD QUE MIDE LA
VARIACIÓN DE LA VELOCIDAD (MÒDULO, DIRECCIÓN Y
SENTIDO) CON EL TIEMPO.
ACELERACIÓN MEDIA: COCIENTE ENTRE EL
CAMBIO DE VELOCIDAD
Y EL TIEMPO TRANSCURRIDO.
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA: ACELERACIÓN MEDIA PARA
UN TIEMPO EXTREMADAMENTE CORTO
1 2 2 2
t
t
v
v
t
v
a
m-=
D
D
=
H
H
H
H
2
2
0
y
x
y
x
y
x
t
a
a
a
j
a
i
a
a
j
dt
dv
i
dt
dv
a
t
d
v
d
a
t
v
a
+
=
+
=
+
=
=
D
D
=
®
D
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN
EL VECTOR ACELERACIÓN NO ES TANGENTE A LA
TRAYECTORIA, EXCEPTO EN LOS MOVIMIENTOS
RECTILÍNEOS, Y PUEDE DESCOMPONERSE EN DOS
COMPONENTES: LA COMPONENTE TANGENCIAL Y LA
COMPONENTE NORMAL .
COMPONENTES
INTRÍSECAS
LA COMPONENTE TANGENCIAL, INDICA
LA VARIACIÓN DEL MÓDULO DE LA
VELOCIDAD EN LA UNIDAD DE TIEMPO.
LA COMPNENTE NORMAL O CENTRÍPETA,
INDICA EL CAMBIO DE DIRECCIÓN
DE LA VELOCIDAD.
ta
H
n
a
H
dt
u
d
v
u
dt
dv
a
u
v
v
H
H
H
H
H
=
×
=
+
u
dt
dv
a
H
t
=
H
R
v
a
n
=
2
2
2
2
n ta
a
a
=
+
LOS VECTORES
DESCRIBEN TAMBIÉN LOS MOVIMIENTOS CIRCULARES.
PARA ESTOS MOV. SE UTILIZAN LAS MAGNITUDES
ANGULARES.
DESPLAZAMIENTO ANGULAR
O ÁNGULO DE BARRIDO
VELOCIDAD ANGULAR:
MAGNITUD
VECTORIAL QUE CARACTERIZA
LA VARIACIÓN DEL ÁNGULO RECORRIDO
POR UN MÓVIL EN UNA TRAYECTORIA CIRCULAR
RELACIÓN ENTRE EL MÓDULO DE LA
VELOCIDAD LINEAL Y EL MÓDULO DE
LA VELOCIDAD ANGULAR
r
H
,
,
r
H
,
v
H
,
a
H
R
S
D
=
D
G
[
1
]
;
×
-=
rad
s
dt
d
G
M
H
H
M
G
=
×
=
=
R
dt
d
R
dt
ds
v
PERÍODO Y FRECUENCIA
PERÍODO (
T
): TIEMPO QUE TARDA EL MÓVIL EN PASAR DOS
VECES CONSECUTIVAS POR EL MISMO PUNTO, EN UN
MISMO SENTIDO; (UNA VUELTA COMPLETA). [s]
FRECUENCIA (
f
,
CCCC
): NÚMERO DE CICLOS QUE EL MÓVIL DA
EN CADA SEGUNDO. [s
-1= Hz]
T
T
M
F
C
2
1
=
=
ACELERACIÓN ANGULAR: MAGNITUD VECTORIAL QUE
CARACTERIZA LA VARIACIÓN DE LA VELOCIDAD ANGULAR
DE UN MÓVIL QUE DESCRIBE UNA TRAYECTORIA
CIRCULAR.
RELACIÓN ENTRE LAS COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA
ACELERACIÓN Y LA ACELERACIÓN ANGULAR.
R
a
R
v
dt
dv
a
R
a
R
v
R
v
a
t
t
n
n
×
=
×
=
=
×
=
×
=
=
=
M
M
M
2
2
dt
d
M
=
H
=
H
MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME
- SU TRAYECTORIA ES UNA LÍNEA RECTA.
-
v
= CTE. EN EL TIEMPO, DIRECCIÓN Y SENTIDO.
- LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES NULA, EL MÓDULO DE
v
PERMANECE CTE.
- LA ACELERACIÓN NORMAL ES NULA, LA TRAYECTORIA
ES UNA LÍNEA RECTA.
ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO
SI EL MÓVIL NO CAMBIA DE
SENTIDO
,,,,
R
COINCIDE ON
S
t
v
x
x
x
t
C
t
v
dt
v
x
dt
v
dx
cte
dt
dx
v
dt
dv
a
+
=
=
®
=
+
=
=
=
=
=
=
=
ò
0 0 00
0
.
0
t
v
s
s
=
0
+
GRÁFICAS DEL MRU
0 0 0 0 t(s) t(s) t(s) t(s) v (m/s) v (m/s) v = cte. v = cte. x (m) x (m) v = cte . v = cte.MOV. RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
- SU TRAYECTORIA ES UNA LÍNEA RECTA.
- ELMÓDULO DE LA VELOCIDAD VARÍA
UNIFORMEMENTE CON EL TIEMPO.
- LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES CTE., EL MÓDULO
DE
v
VARÍA UNIFORMEMENTE CON EL TIEMPO.
- LA ACELERACIÓN NORMAL ES NULA, LA
TRAYECTORIA ES UNA LÍNEA RECTA.
- LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE E IGUAL A LA
ACELERACIÓN TANGENCIAL.
t
a
v
v
v
v
t
C
t
a
v
dt
a
v
dt
a
dv
dt
dv
a
+
=
®
=
®
=
+
=
®
=
®
=
®
=
ò
0 00
IDEM PARA EL DESPLAZAMIENTO.
SI EL MÓVIL NO CAMBIA DE SENTIDO, EL DESPLAZAMIENTO
COINCIDE CON EL ESPACIO RECORRIDO SOBRE LA
TRAYECTORIA.
2 0 0 0 2 0 0 02
1
0
2
1
t
a
t
v
x
x
x
x
t
C
t
a
t
v
x
dt
t
a
v
x
dt
t
a
v
dx
dt
v
dx
dt
dx
x
+
+
=
=
®
=
+
+
=
+
=
®
+
=
®
=
®
=
ò
ò
.
2
1
2
0
0
0
cte
a
t
a
t
v
s
s
t
a
v
v
=
+
+
=
+
=
GRÁFICAS DEL MRUA
0 0 t(s) t(s) v (m/s) v (m/s) v = at v = v 0 - a t 0 t(s) v (m/s) v = v0 + a t v0 v0 0 t(s) x (m) x (m) 0 t(s) x (m) t(s) 22
1
a
t
x
=
2 0 0v
t
1
2
a
t
x
x
=
+
+
x0 0 2 0t
2
1
a
t
v
x
=
-MOVIMIENTOS CON ACELERACIÓN CONSTANTE
LANZAMIENTO VERTICAL ASCENDENTE.
LANZAMIENTO VERTICAL DESCENDENTE.
CAÍDA LIBRE.
.
2
1
2
0
0
cte
g
t
g
t
v
y
t
g
v
v
=
-=
-=
.
2
1
2
0
0
cte
g
t
g
t
v
y
t
g
v
v
=
+
=
+
=
.
2
1
g
t
2g
cte
y
t
g
v
=
=
=
PRINCIPIO DE SEUPERPOSICIÓN Y COMPOSICIÓN DE
MOVIMIENTOS
CUANDO UN CUERPO SE ENCUENTRA SOMETIDO A DOS
MOVIMIENTOS SIMULTÁNEOS E INDEPENDIENTES,
ESFECTÚA UN MOVIMIENTO QUE ES COMBINACIÓN DE
AMBOS.
TIRO HORIZONTAL. LANZAMIENTO HORIZONTAL CON
VELOCIDAD INICIAL
v
0, DESDE UNA ALTURA,
y
.
COMPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS PERPENDICULARES
ENTRE SÍ.
ECUACIÓN DE
LA TRAYECTORIA
2 1 2 1r
v
v
v
r
r
H
=
H
+
H
Þ
H
=
H
+
H
2 2 0 2 02
1
2
1
x
v
g
y
t
g
y
t
v
x
=
=
=
TIRO PARABÓLICO:
MOVIMIENTO DE UN MÓVIL CON
VELOCIDAD INICIAL v
0Y ÁNGULO DE INCLINACIÓNA
=
CON
RESPECTO A LA NORMAL.
2 0 0 0 0 0 0 0 02
1
cos
cos
cos
t
g
sen
t
v
y
t
v
x
t
g
sen
v
v
v
v
sen
v
v
v
v
y x y x-=
=
-=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
ECUACIÓN DE LA
TRAYECTORIA
2 2 2 0cos
2
cos
v
x
g
x
sen
y
=
=
=
-=
ALTURA
MÁXIMA
g
sen
v
y
t
g
sen
t
v
y
g
sen
v
t
t
g
sen
v
v
y2
2
1
0
0
2 2 0 max 2 0 0 0=
=
=
=
=
-=
=
®
-=
®
=
ALCANCE MÁXIMO
g
sen
v
x
sen
sen
g
sen
v
x
t
v
x
g
sen
v
t
t
g
sen
t
v
y
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2
2
cos
2
cos
2
cos
2
2
1
0
0
2 0 max 2 0 max 0 0 2 0=
=
=
=
=
®
-=
®
=
MOVIMIENTOS CIRCULARES:
EL VECTOR VELOCIDAD VARÍA
CONSTANTEMENTE DE DIRECCIÓN, PUDIENDO VARIAR O
NO DE MÓDULO.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME: LA TRAYECTORIA ES
UNA CIRCUNFERENCIA, EL RADIOVECTOR QUE UNE EL
MÓVIL CON EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA BARRE
ÁNGULOS IGUALES EN TIEMPOS IGUALES.
- LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES NULA, EL MÓDULO DE
LA VELOCIDAD ES CTE. EN EL TIEMPO.
- LA ACELERACIÓN NORMAL ES CTE., EL VECTOR
VELOCIDAD VARÍA CONSTANTEMENTE DE DIRECCIÓN Y
EL RADIO DE CURVATURA ES CTE. E IGUAL AL RADIO DE
LA CIRCUNFERENCIA
.
;
0
0
0
t
cte
t
C
t
dt
dt
d
dt
d
=
+
=
®
=
®
=
+
=
=
®
=
®
=
ò
M
M
G
G
G
G
M
M
G
M
G
G
M
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO: LA
TRAYECTORIA ES UNA CIRCUNFERENCIA, EL MÓDULO Y
LA DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD VARÍAN
CONSTANTEMENTE CON EL TIEMPO.
- LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES CTE., EL MÓDULO DE
LA VELOCIDAD VARÍA UNIFORMEMENTE CON EL TIEMPO.
- LA ACELERACIÓN NORMAL ES CTE., EL VECTOR
VELOCIDAD VARÍA CONSTANTEMENTE DE DIRECCIÓN Y
EL RADIO DE CURVATURA ES CTE. E IGUAL AL RADIO DE
LA CIRCUNFERENCIA.
t
dt
dt
d
dt
d
cte
t
t
C
t
dt
dt
d
dt
d
=
M
M
G
G
M
=
=
M
M
M
M
=
=
M
=
M
M
=
+
=
=
®
=
=
+
=
®
=
®
=
+
=
=
®
=
®
=
ò
0
0
0
;
.
0
2
0
0
0
2
0
0
2
1
0
2
1
t
t
t
C
t
t
dt
t
=
M
G
G
G
G
=
M
=
M
G
+
+
=
®
=
®
=
+
+
=
+
=
ò
¿Cuál de estos móviles se desplaza más rápido?.¿Cómo lo sabes?
Indica cuál de las siguientes gráficas corresponde a un movimiento rectilíneo uniforme, uniformemente acelerado u otro tipo de movimiento.
0 S(m) t(s) A B 0 S(m) t(s) A B C D
Interpreta la siguiente gráfica describiendo el movimiento que representa. 0 S(m) t(s) 5 8 10 30 80
Representa en un diagrama posición-tiempo el gráfico que corresponde a cada una de las siguientes situaciones:
• Móvil en reposo.
• Móvil con velocidad positiva y aceleración negativa. • Móvil con velocidad constante.
Traza cualitativamente en un diagrama v-t las gráficas que corresponden a los siguientes movimientos:
a) v0 positiva y atconstante nula.
b) v0 positiva y atconstante positiva.
c) v0 positiva y atconstante negativa.
Si dos objetos experimentan el mismo desplazamiento en el mismo tiempo, podemos afirmar que poseen la misma:
• Velocidad final. • Velocidad inicial. • Aceleración.
Una sonda espacial errante viaja directamente hacia el Sol. En el tiempo t1 se encuentra en x1 = 3,0 x 1012 m respecto al Sol. Exactamente un año después se encuentra en x2 = 2,1 x 1012 m. Determinar su desplazamiento y velocidad media.
En una carrera de 100 m se cubren los 50 m con una velocidad media de 10 m/s y los segundos 50 m con una velocidad media de 8 m/s. ¿Cuál es la velocidad media
correspondiente a los 100 m completos?.
Un corredor recorre 100 m en 12 s; luego da la vuelta y recorre 50 m más despacio en 30 s y en dirección al punto desde el que inició su movimiento. ¿Cuál es el valor de la velocidad media y de la velocidad vectorial media para toda su trayectoria?
La posición de una partícula viene descrita por la función indicada en la figura. Hallar la velocidad instantánea en el instante t = 2s. ¿Cuándo es mayor la velocidad? ¿Cuándo es nula? ¿Cuándo es nula? ¿Es negativa alguna vez?.
Un hombre pasea 3 km hacia el este y luego 4 km hacia el norte. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?.
Un barco de vela tiene las coordenadas (x1, y1) = (110 m, 218 m) en el instante t1 = 60 s. Dos minutos más tarde, en el instante t2, sus coordenadas son (x2, y2 ) = (130 m, 205 m). A) Determinar la velocidad media en este intervalo de dos minutos. Expresar vm en
función de sus componentes rectangulares. B) Determinar el módulo y la dirección de esta velocidad media. C) Para t ≥ 20 s, la posición del barco en función del tiempo es x(t) = 100 m + (1/6 m/s) t e y(t) = 200 m + (1080 m s) t-1. Calcular la velocidad
Un avión debe volar hacia el norte. La velocidad del avión respecto al aire es 200 km/h y el viento sopla de oeste a este a 90 km/h. a) ¿Cuál debe ser el rumbo del avión? B) ¿Qué velocidad debe llevar el avión respecto al suelo?
La posición de una pelota de béisbol golpeada por el bateador viene dada por la
posición r = 1,5 m i + (12 m/s i + 16 m/s j - 4,9 m/s2 j) t2. Determinar su velocidad y aceleración.
Un coche se mueve hacia el este a 60 km/h. Toma una curva y 5 s más tarde viaja hacia el norte a 60 km/h. Determinar la aceleración media del coche.
Desde un avión de que viaja a 100 m/s y a 50 m de altura se deja caer un objeto. Lógicamente su movimiento es un tiro horizontal. ¿A qué distancia del punto de
En cierto instante, dos aviones militares, que realizan maniobras de bombardeo, vuelan horizontalmente situados en la misma vertical, siendo la altura de vuelo del situado a más altura cuatro veces superior a la del otro. Si el situado por encima lleva una
velocidad de 580 km/h, ¿cuál debe ser la velocidad con que debe desplazarse el otro avión para que ambos alcancen el mismo objetivo?.
Un estudiante de física lanza un birrete al aire con una velocidad inicial de 24,5 m/s, formando un ángulo de 36,9º con la horizontal. Determinar a) el tiempo total que el birrete está en el aire y b) la distancia total horizontal recorrida.
Un jugador lanza un balón siguiendo una trayectoria que forma un ángulo de 30º con la horizontal y con una velocidad de 14,4 m/s. Un segundo jugador, situado a una
distancia de 30 m del primero, en la dirección y sentido del lanzamiento, echa a correr hacia el balón con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, para hacerse con él. ¿Qué aceleración debe llevar para alcanzar el balón justo en el instante en que llega al suelo?
Un helicóptero deja caer en un claro de la jungla un paquete con suministros para
soldados. Cuando el paquete se lanza, el helicóptero se encuentra a 100 m por encima del claro, volando a 25 m/s y formando un ángulo de 36,9º sobre la horizontal. A) ¿A dónde caerá el paquete? B) Si el helicóptero vuela a velocidad constante, ¿cuál será su posición en el instante en que el paquete llega al suelo?
Una noria tiene 11 m de radio y gira con un período de 4,5 minutos. ¿Cuál es la
velocidad instantánea de un pasajero que se encuentra en la parte superior y de otro en la parte inferior?
