TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA - Módulo: Es la longitud del segmento AB, se representa así:

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO TEMA 8 – GEOMETRÍA ANALÍTICA -

1. MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO DE UN VECTOR  Módulo: Es la longitud del segmento AB, se representa así:

 Dirección: Es la dirección de la recta que contiene el vector o de cualquier recta paralela a ella.

 Sentido: El que va del origen A al extremo B.

2. OBTENCIÓN DE UN VECTOR A PARTIR DE DOS PUNTOS Dados dos puntos A(x1, y1) B(x2, y2), para obtener el vector

,

=(x2 - x1, y2 - y1).

Ejemplo: Conociendo A (3,-1) y B (2,5) = (2-3, 5-(-1)) = (-1,6)

3. MÓDULO DE UN VECTOR (DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS)

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

Ejemplo: Siendo A (3,-1) y B (2,5), calcula la distancia entre ambos puntos.

=













(5

-

(-1))

1

6

37

3)

-(2

4. PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.

Ejemplo: Siendo A (1,7) y B (5,-3), calcula los puntos medios.

MAB=         2 3 7 , 2 5 1 (3,2)

5. PUNTO SIMÉTRICO DE UN PUNTO SOBRE OTRO

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:

A’=           2 , 2 1 2 1 2 y y y x x x

Ejemplo: Siendo A (7,2) y B (4,4), calcula el punto simétrico de A sobre B

A’=       _  _  2 2 4 , 2 7 4 x y =



8



x



7

,

8



y



2



6. COMPROBACIÓN DE SI TRES PUNTOS ALINEADOS

Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

Ejemplo: Calcular el valor de a para que los puntos estén alineados.

7. OPERACIONES CON VECTORES

 SUMA: Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

 RESTA: Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

 PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Ejemplo:

 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplo:

 EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR

 ÁNGULO DE DOS VECTORES

Ejemplo:

 PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO

Ejemplo:

8. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES  SUMA DE VECTORES

Ahora para representar la suma de vectores gráficamente lo que hay que hacer es lo siguiente:

1º Represento las coordenadas de u y uno desde el origen hasta la coordenada. 2º Represento las coordenadas de v y uno desde el origen hasta la coordenada.

3º Represento las coordenadas de u+v y uno desde el origen hasta la coordenada.

4º Traslado los vectores u y v, de manera que se forme un paralelogramo. Siempre la diagonal del paralelogramo coincide con la suma de los vectores. La suma de vectores se conoce como la Ley del paralelogramo.

RESTA DE VECTORES

Ahora para representar la resta de vectores gráficamente lo que hay que hacer es lo siguiente:

1º Represento las coordenadas de u y uno desde el origen hasta la coordenada.

2º Represento las coordenadas de v y uno desde el origen hasta la coordenada.

3º Represento las coordenadas de u-v y uno desde el origen hasta la coordenada.

4º Traslado los vectores u y v, de manera que se forme un paralelogramo. La resta de vectores, lo que hacemos es unir siempre el vector que lleva el menos con el otro.

 PRODUCTO POR UN ESCALAR

Ahora para representar el productor escalar de un número por un vector, basta con trasladar el vector u, tantas veces como nos indique (hacía la derecha si es positivo y hacía la izquierda si es negativo). Aunque basta con unir el origen con el resultado del vector.

9. ECUACIONES DE LA RECTA

Para poder obtener una ecuación de la recta es necesario tener un

punto P (x1, y1) y un vector

.

 ECUACIÓN VECTORIAL (x,y) =(x1, y1) + λ (v1, v2)  ECUACIÓN PARAMÉTRICA

Para poder obtener la paramétrica es necesario igualar la primera coordenada por un lado y la segunda coordenada por otro lado.

        





Para poder obtener la continua es necesario despejar λ de la primera ecuación por un lado y la segunda ecuación por otro lado e igualamos. 1 1

v

p

x







v

p

y









v

p

y

v

p

x







 ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA

Para poder obtener la general o implícita es necesario multiplicar en cruz y juntar los términos posibles. Ax+By+C=0

A partir de la general, podemos saber el vector =(-B,A) , la pendiente B A m y la ordenada B C n .  ECUACIÓN EXPLÍCITA

Para poder obtener la explícita es necesario despejar “y”:

B C x B A y  ,siendo la pendiente B A m y la ordenada B C n  ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

Para obtener la ecuación punto pendiente es necesario sustituir en la ecuación siguiente un punto P(X0, Y0) y una pendiente m.

EJEMPLO DE ECUACIONES DE LA RECTA

Dados los puntos A (3,-1) y B (2,5) calcula las ecuaciones de la recta. = (2-3, 5-(-1)) = (-1,6)

A (3,-1)

 ECUACIÓN VECTORIAL (x,y) =(3,-1) + λ (-1,6)  ECUACIÓN PARAMÉTRICA

Para poder obtener la paramétrica es necesario igualar la primera coordenada por un lado y la segunda coordenada por otro lado.

       





Para poder obtener la continua es necesario despejar λ de la primera ecuación por un lado y la segunda ecuación por otro lado e igualamos. 1 3    x







 ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA

Para poder obtener la general o implícita es necesario multiplicar en cruz y juntar los términos posibles. Ax+By+C=0

6 1 1 3     y x

6(x-3) = -1 (y+1); 6x-18=-y-1; 6x+y-17=0  ECUACIÓN EXPLÍCITA

Para poder obtener la explícita es necesario despejar “y”: B C x B A y  6x+y-17=0  y=-6x+17  ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

Para obtener la ecuación punto pendiente es necesario sustituir en la ecuación siguiente un punto P(X0, Y0) y una pendiente m.

y-y0= m (x-x0) m=-6 A (3,-1)

10. RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y SABEMOS EL VECTOR Se resuelven directamente las ecuaciones de la recta ya que sabemos lo que necesitamos.

11. RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Es necesario obtener el vector AB, y utilizar el punto A. Una vez calculado el vector ya podemos obtener las ecuaciones de la recta.

12. RECTA QUE ES PARALELA A OTRA RECTA R Y QUE PASA POR UN PUNTO

Ejemplo: Dada la ecuación de la recta r: y=-2x+4 y el punto P (2,5), obtén la ecuación paralela a ella que pasa por ese punto.

Lo que hay que saber es que si la ecuación es paralela va a tener la misma pendiente, es decir, solo necesito saber la ordenada. Por ello yo sé que la recta va a ser del tipo y=-2x+n. Lo que hay que hacer es sustituir el punto en la recta esa.

5=-2(2)+n 5=-4+n n=9

Con lo que la ecuación de la recta que buscamos es: y=-2x+9

13. RECTA QUE ES PERPENDICULAR A OTRA RECTA R Y QUE PASA POR UN PUNTO

Ejemplo: Dada la ecuación de la recta r: y=2x-7 y el punto P (4,-2), obtén la ecuación perpendicular a ella que pasa por ese punto.

Lo que hay que saber es que si la ecuación es perpendicular hay que calcular la pendiente, con la siguiente fórmula: m· m’=-1.

2 · m’ =-1 m’=

2 1



Por ello yo sé que la recta va a ser del tipo y=

2 1

 x+n. Lo que hay que hacer es sustituir el punto en la recta esa.

-2=

2 1

 (4)+n -2=-2+n n=0

Con lo que la ecuación de la recta que buscamos es: y=

2 1

14. HALLAR EL VALOR DE K PARA QUE R SEA PERPENDICULAR A R’ Ejemplo: Dada la ecuación de la recta r: 2x-ky+11=0 y la recta s:

5x+2y=0 calcula k para que ambas ecuaciones de la recta sean perpendiculares.

Obtenemos las pendientes de ambas rectas: mr= k 2 y ms= 2 5 

Ahora sustituimos en la fórmula y obtenemos k: m· m’=-1

k 2 · 2 5  =-1 k=5

15. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

 MÉTODO 1 (ECUACIONES EN GENERAL) Resolvemos el sistema de ecuaciones:

SOLUCIÓN NUMÉRICA SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO (SCD) SECANTES EN ESE PUNTO INFINITAS SOLUCIONES (0=0) SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (SCI) COINCIDENTES NO TIENE SOLUCIÓN (0=Nº) SISTEMA INCOMPATIBLE (SI) PARALELAS

Ejemplo: Dadas las rectas r: 3x-5y+17=0 y s:7x+3y-63=0

Resolviendo este sistema de ecuaciones por el método que queramos, obtenemos x=6 e y=7, con lo que el punto donde se cortan es el punto P (6,7).

 MÉTODO 2 (ECUACIONES EN GENERAL) Sabiendo que la recta r: Ax+By+C=0 y s: A’x+B’y+C’=0

' A A ≠ ' B B SISTEMA COMPATIBLE

DETERMINADO (SCD) SECANTES EN ESE PUNTO

' A A = ' B B = ' C C SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (SCI) COINCIDENTES ' A A = ' B

B SISTEMA INCOMPATIBLE (SI) PARALELAS

Ejemplo: Dadas las rectas r: 3x-5y+17=0 y s:6x-10y-63=0

' A A = ' B B ≠ ' C C  6 3 = 10 5   _≠ 63 17  PARALELAS  MÉTODO 3(ECUACIONES EN EXPLÍCITA) Sabiendo que la recta r: y=mx+n y s: y=m’x+n’ =0

m≠

m

'

m

'

m

'

SISTEMA INCOMPATIBLE (SI) PARALELAS

Ejemplo: Dadas las rectas r: y=10x+17=0 y s: y=10x+17

 m=m; 10=10 n=n; 17=17

16. CALCULAR EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO MEDIANTE LA FÓRMULA DE HERÓN

Mediante la fórmula de Herón, podemos calcular el área de cualquier triángulo, conociendo tres puntos.

Área =

p

·(

p



a

)·(

p



b

)·(

p



c

)

Ejemplo: Dadas los puntos A(-2,2) B (1,6) C(6,-6), calcula el área formada por estos tres puntos.

c= =(3,4) | |= 5 cm a= =(5,-12)| |= 13 cm b= =(8,-8) | |= 11,31 cm Perímetro=29,31 cm Semiperímetro= 2 31 , 29 =14,655 cm      p·(p a)·(p b)·(p c) A 14,655·(14,65513)·(14,65511,31)·(14,6555) 28cm2 17. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Conociendo el centro de la circunferencia y el radio, o conociendo el centro de la circunferencia y un punto de la circunferencia, podemos obtener la ecuación de la circunferencia, cuya fórmula es ésta:

2 2 2 ) ( ) (xa  yb r Desarrollando obtenemos la ecuación general de la circunferencia: Ax2_+By2_+Cx+Dy+E=0

Ejemplo: Conociendo el centro de la circunferencia C(-2,3) y el punto X (4,7), calcula la ecuación general de la circunferencia.

Calculamos el módulo de =

6



4



52

)

52

(

)

3

(

)

2

(

x





y





obtenemos la ecuación general de la circunferencia: x2_+y2_+4x-6y-39=0 Ejemplo: Conociendo el centro de la circunferencia C (5,2) y el radio que es 6 cm, calcula la ecuación general de la circunferencia.

2 2 2 ) ( ) (xa  yb r  2 2 2 6 ) 2 ( ) 5 (x  y  si desarrollamos obtenemos la ecuación general de la circunferencia: x2_+y2_-10x-4y-7=0