Aproximación y optimización de problemas no locales

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(1)Universidad de Castilla-La Mancha. Aproximación y optimización de problemas no locales. Memoria para optar al título de Doctor en Matemáticas presentada por: Fuensanta Andrés Abellán. Dirigida por el profesor: Julio Muñoz Martín. Toledo, 12 de Octubre de 2016.

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(3) Índice general Índice general. III. Prefacio. IX. 1. Introducción. Resultados y organización 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. La interacción no local . . . . . . . 1.1.2. La ecuación peridinámica del calor 1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Marco de trabajo . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Caso elíptico . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Caso parabólico . . . . . . . . . . 1.4. Organización y resultados . . . . . . . . . 1.5. Conclusiones y trabajos futuros . . . . . . 1.6. Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 1 1 2 3 8 10 10 12 13 21 23. . . . . . . . . . .. 31 31 32 32 34 35 47 50 56 59 70. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 2. Problema elíptico no local 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Organización del capítulo . . . . . . . 2.2. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . 2.3. Análisis espectral de Bh . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Análisis de Bh con h = 1 . . . . . . . . 2.3.2. El espacio de Hilbert X0 . . . . . . . . 2.3.3. Espectro de Bh para cualquier h 2 H . 2.4. Existencia y unicidad de solución . . . . . . . 2.5. Convergencia a la solución del problema local 2.6. Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 3. Control óptimo no local 85 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1.1. Organización del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. iii.

(4) ÍNDICE GENERAL. IV. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8.. Formulación del problema de diseño Preliminares . . . . . . . . . . . . . El caso compliance . . . . . . . . . Un caso general . . . . . . . . . . . Aproximación para el compliance . Una formulación equivalente . . . . Apéndice . . . . . . . . . . . . . .. óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 4. G-convergencia de la ecuación elíptica no local. Aplicación blemas de diseño óptimo 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Organización del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. El problema de diseño local (DP loc ) . . . . . . . . . . 4.2.2. El problema de diseño no local (DP ) . . . . . . . . . 4.3. G-convergencia de la ecuación de estado . . . . . . . . . . . 4.4. Existencia de solución para el problema de diseño no local . 4.5. Convergencia al problema local . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Existencia bajo una restricción no local sobre el control . . 4.7. Conclusiones: dos regularizaciones no locales . . . . . . . . . 4.8. Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 86 88 90 92 102 106 109. al estudio de pro111 . . . . . . . . . . . 111 . . . . . . . . . . . 111 . . . . . . . . . . . 112 . . . . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . . 114 . . . . . . . . . . . 118 . . . . . . . . . . . 119 . . . . . . . . . . . 122 . . . . . . . . . . . 123 . . . . . . . . . . . 124. 5. Simulaciones numéricas 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Organización del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Algoritmo de convergencia a la solución del problema de control óptimo 5.3.1. Principio de Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Unicidad de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Construcción del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4. Convergencia del algoritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5. ¿Cómo seleccionar la función gr en la práctica? . . . . . . . . . 5.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Ejemplo en N = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Ejemplo en N = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 127 . 127 . 127 . 128 . 132 . 132 . 134 . 135 . 137 . 140 . 141 . 141 . 148 . 157. 6. Problema parabólico no local 159 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.1.1. Organización del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.

(5) ÍNDICE GENERAL. 6.2. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Formulación del problema de control óptimo 6.3. Existencia de solución . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Etapa 1: aproximación …nito-dimensional . . 6.3.2. Etapa 2: convergencia . . . . . . . . . . . . 6.3.3. Etapa 3: convergencia a la solución . . . . . 6.3.4. Etapa 4: representación en serie de Fourier . 6.4. Convergencia al problema local . . . . . . . . . . . 6.4.1. Etapa 1: convergencia . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Etapa 2: existencia de solución . . . . . . . . 6.4.3. Etapa 3: convergencia fuerte en Y0 . . . . . 6.4.4. Una formulación equivalente . . . . . . . . . 6.5. Existencia de diseños óptimos . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Etapa 1: convergencia y compacidad . . . . 6.5.2. Etapa 2: admisibilidad . . . . . . . . . . . . 6.5.3. Etapa 3: semicontinuidad inferior . . . . . . 6.6. Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. V. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160 162 163 164 164 166 168 170 170 173 174 176 179 179 180 181 182. Programas. 185. Bibliografía. 205.

(6) Prefacio. Esta tesis trata el estudio de operadores no locales de tipo elíptico y parabólico. Se analiza la modelización, la existencia y la convergencia de los mismos cuando el núcleo del operador integral que los de…ne tiende a una Delta de Dirac. También se estudia la solubilidad de problemas de control óptimo en dichas formulaciones no locales y se analiza su comportamiento asintótico. Finalmente, el análisis y la programación de los resultados previos permiten realizar simulaciones numéricas que re‡ejan la capacidad de aproximación de estos problemas no locales a los problemas clásicos formulados mediante operadores diferenciales..

(7) Agradecimientos. Un trabajo como éste, tan largo y con tantas di…cultades, ha requerido del apoyo, la comprensión y la ayuda de muchas personas. Empezaré expresando mi agradecimiento al profesor Julio Muñoz, mi director de tesis. Sin su ayuda, su paciencia, su ilusión y su fe en el proyecto, nada de lo que aquí se presenta habría sido posible. Aún me pregunto como tuvo la osadía de aceptar a una doctorando tan poco convencional como yo. También debo agradecer los consejos y la insistencia para que me animase a iniciar el doctorado, a mi hermana Manuela Andrés y a mis amigos Maribel Todó e Ignacio Riero, todos profesores de la UCLM. Ellos me ayudaron a dar el primer paso, que quizá no fue el más difícil pero sí el más importante. Agradezco al profesor Pablo Pedregal sus consejos valiosos y siempre motivadores. Quiero también dar las gracias al Departamento de Matemáticas de la UCLM, cuyos miembros han sido ejemplo y guía en esta etapa de investigación. En particular, gracias al profesor Ernesto Aranda por su apoyo en la edición de este trabajo. Agradezco la ayuda que he recibido de mis compañeros de la Escuela de Ingeniería Industrial de Toledo, y muy especialmente del director Luis Sánchez y de su equipo de dirección. Ellos me han ayudado en los momentos más complicados a compaginar mis estudios con mi tarea de profesora. También, de manera particular, quiero agradecer a mis compañeros de la Escuela, Irene GarcíaCamacha y Fernando Castillo, por su apoyo y la atención que siempre me han prestado. Agradezco a mi familia su comprensión y su paciencia; fundamentalmente a Abel, mi marido, de quien he recibido el apoyo más incondicional. Para ellos toda mi admiración y mi cariño por creer en mi más que yo misma. Por último le doy gracias a Dios porque él es el que ha hecho posible que yo hoy escriba estos agradecimientos. Toledo, a 12 de Octubre del año dos mil dieciséis. Fuensanta Andrés.

(8) Capítulo 1 Introducción. Resultados y organización 1.1.. Introducción. Este trabajo está dedicado al estudio de problemas elípticos y parabólicos no locales. Conlleva por tanto el análisis de ciertos operadores integrales no locales y su relación con la versión clásica o local. El objetivo fundamental es el estudio de estas ecuaciones no locales, la existencia y la unicidad de soluciones, así como la relación que existe entre estos problemas y los problemas clásicos formulados mediante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. La razón por la que abordamos el estudio de este tipo de problemas es evidente si echamos un vistazo a la bibliografía reciente. Podemos decir que la modelización no local ha despertado un gran interés en diferentes áreas de la Matemática Aplicada, la Mecánica o la Ingeniería. Por un lado, la formulación no local ha supuesto una metodología o un planteamiento de los problemas que en muchos casos se ha interpretado como una generalización razonable del fenómeno que se estudia, no contradiciendo en sentido alguno las principales teorías o leyes que hasta la fecha han sido empleadas. Otra motivación para adentrarnos en lo no local proviene de la solubilidad de los modelos clásicos dictados en términos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Son problemas cuya resolución ha supuesto en no pocos casos una tarea sumamente compleja. Recordemos que la existencia de solución para estos problemas clásicos obliga a que se cumplan ciertas condiciones de regularidad que no siempre pueden ser asumidas o implementadas. Una forma de evitar o aliviar estas di…cultades parte de la idea de sustituir los operadores diferenciales que aparecen en los modelos clásicos por operadores integrales no locales. Las razones comentadas motivan la formulación de los modelos no locales. Podemos decir de forma resumida que los modelos no locales permiten generalizar, aproximar o en cierto modo contener al modelo clásico correspondiente, y además poseen una gran capacidad de reproducibilidad de los fenómenos que son objeto de estudio.. 1.

(9) 2. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. En los últimos años, la utilización de prototipos no locales tanto para modelizar como para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, ha experimentado un auge muy importante, y en la actualidad, se muestran como una alternativa muy interesante a los métodos estándar. Estos modelos no locales han sido utilizados para resolver problemas de Ferromagnetismo ([83], [100]), o en problemas de Difusión (ver [11] y las referencias que contiene). Conviene en particular citar una parcela importante relativa al estudio de Modelos de Difusión no lineales que involucran operadores laplacianos fraccionarios. [99] o [20] contienen multitud de referencias y ofrecen una panorámica bastante general acerca del tema. Hemos de decir que los modelos no locales también han sido utilizados en la regularización de Principios Variacionales no Convexos ([79], [25], [24], [85], [53]), en Perturbaciones Singulares ([1], [55]), en Análisis de Imágenes ([56], [22] o [82]) y en otros campos tales como la Peridinámica en los que destacan los trabajos [91], [103], [36], [93], [104], [78], [15] o [4]. Tal vez el campo donde el modelo peridinámico ha atraído mucho más la atención, ha sido en el de la Elasticidad, en problemas en los que es frecuente la aparición de complejidades que tienen que ver con la fractura o el daño de materiales. Los primeros trabajos en este área aparecen alrededor del año 2000 y fueron realizados por Silling, ver [90] o [93]. En esta línea también incluimos los trabajos [91], [94], [103] y [104]. Un área de investigación dentro del análisis no local de gran importancia, aplicada a los experimentos numéricos y muy próxima al cálculo en modelos peridinámicos es la que lidera M. Gunzburger junto a otros investigadores. Algunos de los trabajos más interesantes son [32], [107], [59], [44], [45] y [106]. Además de las áreas especí…cas en las que la metodología no local aparece, hay que subrayar el hecho de que de forma paralela existe una serie de trabajos, más propios del Análisis Matemático, que han dado cobertura al desarrollo de las áreas mencionadas. En relación con la Caracterización de Espacios de Sobolev hay que destacar los trabajos [23], [27], [80] y [81], [13]. Sobre Análisis Espectral de operadores no locales hemos de mencionar [95] o [14]. También juegan un papel importante los trabajos sobre Semicontinuidad Inferior de Funcionales No Locales. En este ámbito podemos citar entre otros a [96], [74], [19], [72], [50], [17], [76].. 1.1.1.. La interacción no local. A continuación y de manera sucinta damos una perspectiva elemental del principio en el que se basa la formulación no local. La idea en la que se basan los modelos no locales es que las partículas separadas por distancias …nitas pueden interactuar entre sí, por lo que dada una partícula de un cuerpo será necesario considerar todas las que interactúan con ella y que constituirán lo que se denomina su horizonte. Más formalmente, para cada punto x de un dominio su…cientemente regular ; su horizonte lo constituirán todos los puntos x0 pertenecientes a la bola centrada en x de radio (radio del horizonte): El radio del horizonte es un parámetro que sirve para modelar las interacciones de.

(10) 1.1. INTRODUCCIÓN. 3. largo alcance, es decir, la distancia entre el punto fuente x donde la variable actúa, y el punto x0 ; donde el efecto no local es detectado, tiene que compararse con para decidir si es grande o pequeña. El efecto no local se reduce en distacias grandes entre x y x0 ; mientras que se propaga casi inalterado en distancias pequeñas (ver [90] o [21], para más detalles). Con esta idea, las derivadas que aparecen en las ecuaciones diferenciales se sustituyen por integrales sobre la bola B (x; ) cuyo núcleo va a depender de la distancia jx0 xj y también de ; la escala de longitud interna, y de este modo las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones integrales mucho menos exigentes en lo que se re…ere a la regularidad de sus soluciones. El tener que considerar el horizonte de cada punto obliga a trabajar en un dominio dependiente de que designaremos por ; y que alcanzará a cuando ! 0: Es fundamental tener en cuenta que para que un modelo no local resulte adecuado para aproximar la solución de un problema clásico, a veces en un sentido relajado, se debe cumplir que cuando ! 0 el modelo coincide con el modelo local. Vayamos ahora a un modelo no local concreto que fue el origen de nuestro trabajo.. 1.1.2.. La ecuación peridinámica del calor. El punto de partida del trabajo que aquí presentamos fue la memoria …n de master titulada “Método operacional para un modelo peridinámico de la ecuación del calor”, presentada en Septiembre de 2012 [6]. En dicha memoria se obtiene una aproximación a la solución de la ecuación del calor utilizando un modelo no local peridinámico. La efectividad de esta formulación fue veri…cada para una serie de ejemplos académicos en los que se consideraban distintas condiciones inciales o diferentes núcleos para el operador no local. En lo que concierne la modelización del fenómeno de difusión o de transmisión de calor, no es especialmente difícil deducir una formulación peridinámica si se emplea un procedimiento constructivo a partir de las leyes de la física, de un modo similar a como se construye la ecuación clásica en derivadas parciales del calor (ver [101] y [21]). En concreto, el proceso que conduce a la construcción peridinámica de la ecuación del calor para una barra delgada es muy similar en sus inicios al que se sigue en la construcción de la formulación clásica, con la salvedad de que a partir de un determinado momento, en lugar de hacer tender a cero la distancia entre dos puntos, y así considerar el gradiente espacial de la temperatura, se procede de un modo diferente. Se considera que la barra está formada por puntos materiales que tienen asociada masa y volumen, están separados por distancias …nitas, no necesariamente nulas, y cada uno de los cuales se conecta con el resto a través de conductores térmicos (t-bonds). El calor se.

(11) 4. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. trans…ere entre x0 y x en la dirección del vector x0. x como se muestra en la Figura 1.1.. Figura 1.1: Difusión no local con horizonte Hx en una barra delgada [21].. Es razonable pensar que la distancia de interacción de cada punto material x está limitada a los puntos que ocupan una cierta región próxima que es el horizonte del punto Hx (ver Figura 1.1). El horizonte que normalmente se considera es una bola de centro el punto x y de radio (radio del horizonte), no obstante esto no tiene por qué ser así. Tras hacer algunas consideraciones acerca del comportamiento de la temperatura, el siguiente paso fundamental consiste en integrar en todos los puntos del horizonte de x y de este modo llegar a la ecuación, Z u(x0 ; t) u(x; t) 0 @u(x; t) A k (x0 ; x) dx = f (x; t) (1.1) @t jx0 xj2 B(x; ) en la que A es una constante positiva y k una función radial y positiva ( [87] ofrece de manera muy didáctica una explicación directa acerca de la justi…cación de estos modelos integrales). Está claro que la diferencia entre la formulación (1.1) y la formulación clásica ut (x; t). u(x; t) = f (x; t);. reside en la sustitución del operador u(x; t) por el operador integral dependiente de Z k (jx0 xj) 0 A u(x; t)) dx0 : (1.2) 2 (u(x ; t) 0 jx xj B(x; ) Es un operador lineal que podemos de…nir sobre un subespacio de L2 y que obviamente impone menos exigencias de regularidad para la función u(x; t) que el laplaciano. Al llegar a este punto el objetivo fue conocer la forma que debía tener el operador integral para conseguir recuperar el modelo clásico cuando ! 0. Además, en este proceso de paso al límite, podíamos hacer una primera aproximación a nuestras hipótesis de trabajo:.

(12) 1.1. INTRODUCCIÓN. 5. 1. Tomábamos x perteneciente a un cierto dominio regular RN ; e inicialmente suponíamos que el núcleo del operador integral cumplía la siguiente condición; Z k (jx0 xj) 0 dx < 1: (1.3) 0 xj2 B(x; ) jx 2. Considerábamos t como un parámetro y suponíamos que u(x; t) era de clase C p (p en el dominio :. 2). Bajo las hipótesis precedentes obteníamos el siguiente resultado (ver [12] o [77] para casos más generales): Proposición 1.1 Para una cierta constante A > 0 se cumple Z k (jx0 xj) 0 lm A u(x; t)) dx0 2 (u(x ; t) 0 !0 xj B(x; ) jx Prueba. En el intervalo [x; x0 ] 2 (x; x0 ) tal que. =. u(x; t):. ; se puede hacer un desarrollo limitado de Taylor. Existe. u(x0 ; t) u(x; t) = N N X @u(x; t) 0 1 X @ 2 u( ; t) 0 = (xi xi ) + (x @xi 2! i;j=1 @xi @xj i i=1. xi )(x0j. xj ). Llevando el desarrollo al operador integral, y utilizando la linealidad, tenemos que L (u(x; t)) = Z N X k (jx0 xj) 0 @u(x; t) xi )dx0 = A 2 (xi 0 @xi xj B(x; ) jx i=1 N Z A X k (jx0 xj) @ 2 u( ; t) 0 (x xi )(x0j 2! i;j=1 B(x; ) jx0 xj2 @xi @xj i. xj )dx0. k (jx0 xj) permite asegurar que La integrabilidad de jx0 xj2 Z k (jx0 xj) 0 xi )dx0 = 0; 8i 2 (xi 0 xj B(x; ) jx y. Z. B(x; ). (1.4). k (jx0 xj) 0 (xi jx0 xj2. xi )(x0j. xj )dx0 = 0; 8i 6= j.

(13) 6. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. @ 2 u( ; t) k (jx0 xj) 0 2 (x x ) 0 y es continua en B(x; ); i i @x2i jx0 xj2 (i) entonces el Teorema del Valor Medio asegura que para algún valor 0 2 B(x; ); Z k (jx0 xj) @ 2 u( ; t) 0 (xi xi )2 dx0 0 @x2i xj2 B(x; ) jx Z (i) @ 2 u( 0 ; t) k (jx0 xj) 0 xi )2 dx0 ; = 2 (xi 0 @x2i jx xj B(x; ) para todo i 6= j. Además, como. con lo que L (u(x; t)) =. N X @ 2 u( i=1. (i) 0 ; t) @x2i. A 2!. Z. B(x; ). k (jx0 xj) 0 (xi jx0 xj2. xi )2 dx0 :. Está claro que para conseguir la coincidencia en el límite con el laplaciano hay que exigir que Z A k (jx0 xj) 0 (xi xi )2 dx0 = 1; 2! B(x; ) jx0 xj2 para i = 1; 2; :::; N y para todo > 0; y por tanto Z Z N X A A k (jx0 xj) 0 2 0 xi ) dx = k (jx0 2 (xi 0 2! 2! jx xj B(x; ) B(x; ) i=1 Basta tomar k de manera que 1 N y. Z. k (jzj)dz = 1. xj)dx0 = N:. (1.5). B; ). A =2 para conseguir que L (u(x; t)) =. N X @ 2 u( i=1. (i) 0 ; t) @x2i. (i). Al calcular el límite del operador cuando ! 0; 0 ! x; para todo i = 1; 2; :::; N; y teniendo en cuenta la continuidad de la diferencial segunda se concluye que ! N (i) 2 X @ u( 0 ; t) l m L (u(x; t)) = l m = u(x; t): !0 !0 @x2i i=1 Aunque para conseguir este resultado trabajábamos con hipótesis bastante restrictivas, la conclusión fundamental a la que llegábamos es que el operador integral no local tenía la forma Z k (jx0 xj) 0 L (u (x; t)) = 2 u(x; t)) dx0 : (1.6) 2 (u(x ; t) 0 xj B(x; ) jx.

(14) 1.1. INTRODUCCIÓN. 7. con k cumpliendo además la condición (1.5). El resultado anterior nos permitía formular el siguiente problema no local: 8 > > ut (x; t) + L (u (x; t)) = f (x; t) ; x 2 ; t > 0 > > > < : u = 0 en @ nl = ; > > > > > : u = g si t = 0; para el que suponíamos que g 2 L2 ( 2. f 2L. (1.7). ) y que. 2. 2. 0; T ; L ( ) = ff : [0; T ] ! L ( ) :. Z. T. 0. kf k2L2 ( ) dt < 1g:. Trabajábamos en en el espacio V = donde B (u; v) =. Z. 2. v2L ( Z. ) : v = 0 en @. nl. ;. Z. T. 0. k (jx0 xj) (u(x0 ; t) jx0 xj2. B (v; v) dt < 1 ;. u(x; t)) (v(x0 ; t). v(x; t)) dx0 dx:. En el análisis que nos llevó a probar la existencia, seguíamos los procedimientos clásicos adaptados a nuestro planteamiento no local. Los métodos de variables separables y Galerkin-Fourier nos permitieron encontrar una expresión para la solución en forma de serie. Para conseguir tal representación en serie precisábamos de una base formada por autofunciones del operador integral no local (1.6). El teorema que enunciamos a continuación nos dió la primera pista sobre cómo habrían de ser las autofuciones y los autovalores de (1.6). Teorema 1.1 ([106], [107]) Supongamos que u(x; t) = d(t)w(x) donde w(x) es una autofunción del operador laplaciano sobre un dominio regular RN ; y cuyo autovalor asociado es ; de modo que w(x) = w(x) Entonces u(x; t) es autofunción1 del operador integral Z k (jx0 xj) 0 L (u(x; t)) = 2 2 (u(x ; t) 0 xj B(x; ) jx. u(x; t)) dx0. (1.8). !. (1.9). y su autovalor asociado es nl. =2. Z. B(0; ). 1. k (jsj) jsj2. 1. cos. r. 2. (s1 + ::: + sN ) ds. w(x) son también autofunciones del opreador L y sus autovalores asociados son. nl.

(15) 8. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. Este fue un resultado muy importante en nuestro trabajo inicial. Para la prueba se supuso regularidad para la función u: También demostrábamos la existencia y unicidad de solución del problema (1.7) para cada valor de > 0; y como ya hemos dicho, obteníamos una representación de la misma en forma de serie a partir de las autofunciones del Laplaciano. De este modo construíamos una sucesión de soluciones del problema (1.7) y probábamos la convergencia de esta sucesión a la solución del problema clásico cuando ! 0: A modo de ejemplo planteábamos el siguiente problema: @u(x; t) + L (u(x; t)) = f (x; t); x 2 @t u(x; 0) = '(x); x 2. = (0; l) ; t 2 [0; T ]. = (0; l). u (0; t) = u (l; t) = 0; t 2 [0; T ] : Obteníamos la solución única u , la cual podía expresarse mediante la serie 1 X. '0n. exp. nl nt. n=1. 2 + l. Z tZ 0. 0. l. f ( ; s) sin(. n l. ) exp. nl n (s. t) dsd. sin(. n x); l. Rl donde '0n = 2l 0 ' (x) sin( nl x)dx: Finalizábamos el trabajo con la obtención de aproximaciones numéricas a la solución de algunos problemas cuya solución clásica es de sobra conocida. En dimensión uno utilizábamos además núcleos diferentes para constatar que la aproximación obtenida no depende de la elección del núcleo. En todos los casos se hacía un análisis numérico del comportamiento asintótico de las soluciones cuando ! 0 para con…rmar su convergencia a la solución clásica. El Apéndice 1.6 incluye, a modo de ejemplo introductorio, algunas de estas simulaciones.. 1.2.. Objetivos. Tras haber centrado el tema en la sección previa, nos disponemos a per…lar con cierto grado de detalle los hitos de esta memoria. 1. Formulación y estudio de problemas no locales (P ), elípticos y parabólicos: establecer un marco funcional en el que de…nir el operador no local apropiado y hallar una base constituida por sus autofunciones. Hecho esto proceder a la obtención de soluciones, y así, para cada valor del parámetro horizonte ; construir una solución en forma de serie sobre la base obtenida y probar su unicidad. Y …nalmente, para la sucesión de soluciones que se obtenga, llevar a cabo un estudio sobre su compacidad..

(16) 1.2. OBJETIVOS. 9. 2. Aproximación de ecuaciones elípticas y parabólicas: la compacidad obtenida servirá en el estudio de estas soluciones cuando tiende a cero. La propuesta es analizar si en el límite estas soluciones no locales son soluciones de problemas locales (Ploc ).. 3. Formulación y estudio de problemas de diseño óptimo no local (DP ), tanto para el caso elíptico como para el parabólico. Acompañando a la ecuación de estado no local nos damos una clase de funcionales de coste, también de tipo no local, con la que formular un problema de diseño óptimo. El diseño o control es el término difusivo que aparece en el operador y el coste tiene un formato lo su…cientemente ‡exible como para generalizar o adaptarse a problemas locales interesantes. La meta es un resultado general de existencia de diseños (o controles) óptimos.. 4. Convergencia de los problemas (DP ) para el caso elíptico: signi…ca estudiar el proceso de homogenización de la ecuación de estado asociada cuando el parámetro ! 0. Bajo ciertos supuestos, bien en el coste o bien en el conjunto de admisibilidad de los controles, se plantea la existencia de un problema límite, y en paralelo, la convergencia del coste que se propone. El principal objetivo es saber en qué condiciones se pueden aproximar las soluciones de algunos problemas de control óptimo clásico (DP loc ) a partir de las soluciones de los problemas (DP ). Todo lo expuesto en este punto se llevará a cabo en problemas modelados con una ecuación elíptica. El caso parabólico está en proceso de estudio y no se incluye en esta memoria.. 5. Simulaciones para los (DP ): analizar algunos problemas de control óptimo para el caso elíptico. El propósito es comprobar la aproximación que de forma teórica se ha realizado en los puntos precedentes. Puesto que se trata de una primera aproximación numérica, la idea es remitirnos al caso en el que el coste a minimizar es el compliance. Esto debe conllevar la adaptación de un método de descenso, especí…co para el caso del compliance, con el …n de comparar soluciones no locales con las simulaciones que para el problema de control óptimo clásico han sido realizadas en la bibliografía.. Los objetivos comentados podrían resumirse como sigue: en primer lugar estudiar un problema elíptico o parabólico, no local; probar la existencia y unicidad de solución. Seguidamente, analizar el comportamiento asintótico del problema cuando el radio del horizonte tiende a cero y estudiar su convergencia al modelo clásico. A continuación, estudiar un problema de control óptimo para el que la ecuación elíptica (o parabólica) no local es la ecuación de estado y probar la existencia de diseños óptimos. Y …nalmente, para el casó elíptico y bajo ciertas hipótesis,.

(17) 10. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. analizar el comportamiento asintótico de las soluciones de los problemas no locales de control óptimo. Y para concluir, completar el estudio calculando aproximaciones numéricas de las soluciones no locales de algunos problemas de control óptimo, y comparar con las obtenidas en el caso clásico.. 1.3.. Marco de trabajo. Presentamos en forma explícita el contexto general sobre el que discurren todos los capítulos de esta memoria y en base al cual desarrollamos la investigación. Presentamos las ecuaciones de estado no locales (P ) y los funcionales de coste J que tomarán partido en los problemas de diseño.. 1.3.1.. Caso elíptico. El punto de partida de esta memoria es la resolución del problema elíptico no local 8 > < L (u (x)) = f (x) ; en (P ) > : : u = 0 en @ nl = donde. L (u (x)) =. 2. Z. H (x0 ; x). B(x; ). y además: 1.. k (jx0 xj) (u (x0 ) 2 0 jx xj. (1.10). u (x)) dx0 ; x 2. es un dominio suave acotado en RN y = [ f[p2@ B (p; )g : (la notación para una N bola abierta centrada en x 2 R y con radio r > 0 es B (x; r)):. 2. La función fuente f 2 L2 ( ) : 3. El coe…ciente de diseño H está dado por H (x0 ; x) =. h (x) + h (x0 ) 2. con h en el espacio H = fh 2 L1 (. ) : h (x) 2 [hm n ; hmax ] a.e. x 2 ; h = 0 en Z y h (x) dx = V0. donde las constantes 0 < hm n < hmax están dadas y satisfacen las restricciones de volumen hm n j j < V0 < hmax j j2 . 2. V0 es una restricción de volumen para la resolución de los problemas de control óptimo. Suponemos que se veri…can estas desigualdades con el …n de evitar soluciones triviales cuando planteamos estos problemas..

(18) 1.3. MARCO DE TRABAJO. 11. 4. Consideramos las siguientes hipótesis para el núcleo (x; x0 ) = a) El conjunto (k ) , con. k (jx0 xj) : jx0 xj2. > 0; es una sucesión de funciones radiales tales que Z 1 k (jsj) ds = 1: (1.11) N B(0; ). b) supp k c) k. (1.12). B (0; ) :. 0 y veri…ca:. 1) La función Kr : B (0; ). f0g ! [0; +1) de…nida por la fórmula Kr (z) =. k (jzj) ; jzj. es integrable, es decir Kr 2 L1 (B (0; )) : 2) La función Ks : B (0; ). (1.13). f0g ! [0; +1) de…nida por la fórmula Ks (z) =. k (jzj) jzj2. va a ser singular cerca del origen, lo que signi…ca que Z l m+ Ks (z) dz = +1 !0. (1.14). B(0; ) B(0; ). Los espacios funcionales en los que se sustentan los modelos no locales contienen funciones menos regulares que aquellos que sustentan los correspondientes modelos locales. En nuestro caso, los espacios con los que vamos a trabajar son los siguientes: L20 (. )= u:. ! R : u 2 L2 ( ) ; u = 0 en. ;. y X = u 2 L20 (. ) : Bh (u; u) < 1. (1.15). donde Bh (u; v) =. Z. Z. k (jx0 xj) H (x ; x) (u (x0 ) 2 0 jx xj 0. u (x)) (v (x0 ). v (x)) dx0 dx:. (1.16).

(19) 12. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. De…nimos también el espacio X0 como 1( X0 = Cco. ). donde 1 Cco (. ) = fg :. ! R : g 2 Cc1 ( ) y g = 0 en. g. X. 1( y Cco ) es la clausura con respecto a la norma k k dada en X vía la forma cuadrática Bh (u; u) ; es decir,. X0 =. v 2 X : 9 (vj ). 1 ( Cco. ) tal que l m Bh (vj j!1. v; vj. v) = 0 :. (1.17). Nótese que dado cualquier h 2 H y para cada > 0; X0 es un espacio de Hilbert con el producto interno dado por Bh ( ; ) (ver Capítulo 2). Cuando sea preciso especi…caremos la dependencia de h o escribiendo X0 (h) ó X0 ( ) respectivamente. Definición 1.1 Se dice que u 2 X0 es una solución (débil) de (P ) dado en (1.10), si la igualdad Bh (u; v) = (f; v)L2 ( ) L2 ( ) (1.18) se cumple para todo v 2 X0 : Adjunto al problema dado en (1.18) vamos a considerar funcionales de coste, los cuales tendrán la forma Z Z F (x0 ; x; u (x0 ) ; u (x)) dx0 dx; (1.19) J (h; u) = donde para el integrando F supondremos ciertas propiedades elementales. Señalar que eventualmente este F podría contener al control h: Bien, hecho esto, estamos en condiciones de plantear el problema de diseño o control óptimo no local. Se trata de m n J (h; u) (h;u)2A. donde A es el conjunto de pares (h; u) ligados mediante la ecuación (1.18).. 1.3.2.. Caso parabólico. Vamos a plantear y analizar el siguiente problema, 8 > > ut (x; t) + L (u (x; t)) = f (x; t) ; en > > > < (P ) u (x; t) = 0 en ; t 2 (0; T ) > > > > > : u (x; 0) = g (x) en :. (1.20).

(20) 1.4. ORGANIZACIÓN Y RESULTADOS. 13. Las hipótesis de trabajo serán las mismas del problema elíptico en lo que se re…ere al dominio, al operador L ; al núcleo y al espacio H. En lo que concierne a la fuente y al dato inicial supondremos g 2 L2 ( ) y f 2 L2 (0; T ; L2 ( ) ) : Los demás elementos involucrados también son como en el caso elíptico. Además de…nimos Y0 = L2 (0; T ; X0 ) ; esto es u(:; t) 2 X0 :. Y0 = En estas condiciones tenemos. Z. 0. T. kuk2X0 dt < 1 :. (1.21). Definición 1.2 Se dice que u 2 Y0 es una solución (débil) del problema (P ) dado en (1.20) si ut 2 L2 (0; T ; X00 ) ; u veri…ca la ecuación de evolución hut ; viX 0. 0. + Bh (u; v) = (f (x; t) ; v)L2 (. X0. ) L2 ( ). para todo v 2 X0 y a.e. t 2 [0; T ]; y u (x; 0) = g (x) ; x 2 : La derivada ut ha de interpretarse como la derivada distribucional pero débil, esto es, en el sentido de que ut de…ne un elemento del dual de X0 : En este contexto y al igual que en el caso anterior, estaremos interesados en minimizar cierto tipo de costes. En concreto consideraremos como tales a funcionales del tipo Z TZ Z C (h; u) = F (t; x; x0 ; u (x0 ) ; u (x)) dx0 dxdt (1.22) 0. donde F se supone que es de cierta clase, y donde los pares admisibles que participan en el proceso de minimización son aquellos que cumplen con la De…nición 1.2.. 1.4.. Organización y resultados. La organización y las contribuciones de cada uno de los capítulos son las siguientes. 1. El Capítulo 2 está dedicado a la búsqueda de soluciones del problema (P ) dado en (1.10). Las ideas empleadas para la resolución son clásicas pues de algún modo son un desarrollo paralelo de los métodos de Fourier-Galerkin ([68] o [51]). Para cada h 2 H probaremos la existencia y unicidad de solución del problema no local (1.10) en el espacio X0 ; y daremos.

(21) 14. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. una expresión explícita de la misma en forma de serie. Esta serie se obtiene con respecto a una base formada por las autofunciones del operador L : Una vez establecido este método operacional con el que calcular la solución u de (P ) estudiaremos su comportamiento asíntótico cuando ! 0: Esto nos permitirá encontrar una aproximación a la solución del problema clásico 8 < div (h (x) ru (x)) = f (x) en (1.23) (Ploc ) : u 2 H1 ( ) 0. Como se ve, tratamos de resolver de forma aproximada (1.23), una ecuación elíptica, cuyo término de difusión es h; y que tiene condiciones de frontera homogéneas tipo Dirichlet, mediante una sucesión (u ) de soluciones de (1.10).. En el tema especí…co relacionado con la formulación y la existencia de soluciones de problemas no locales, debemos mencionar, entre otros, los trabajos [106], [2], [59], [61], [45], [17], [14] o [97]. En algunos de ellos la existencia se resuelve bajo supuestos muy generales mediante los métodos directos del cálculo de variaciones (ver por ejemplo [61] o [2]). De alguna manera, la tarea que llevamos a cabo es complementaria al trabajo presentado por Zu y Dhu en [106] y [107]. También realizamos el análisis espectral del funcional no local en el caso en el que el modelo incluye una función de diseño h (o H); la cual juega el papel de un término difusivo y se introduce en la ecuación de un modo lineal (ver [12] para un modelo similar de difusión no local). Se asume que la geometría del dominio es suave, y tampoco hacemos ninguna suposición acerca del comportamiento de las funciones admisibles en la frontera @ , excepto la condición de contorno no local de Dirichlet (u = 0 en @ nl ): Este análisis espectral es muy similar al desarrollado en [95]. La diferencia entre nuestro trabajo y los trabajos aludidos ([106], [107] y [95]) reside básicamente en la forma de encontrar la compacidad necesaria para demostrar la existencia de autofunciones y autovalores. En esos trabajos se consideran, bien hipótesis de integrabilidad del núcleo que permiten formular el problema no local en el espacio L2 (ver [44, formula (7.9)]), o bien hipótesis que repercuten en un comportamiento singular del núcleo con el …n de lograr un problema formulado dentro del espacio del Sobolev fraccionario correspondiente (ver por ejemplo [44] y [95]). En ambos casos suponen una cota inferior para el núcleo. En este sentido en nuestro trabajo no suponemos ninguna cota inferior explícita para nuestro núcleo y hemos preferido trabajar con un tipo de núcleo, no tan integrable como es el caso en L2 ; ni tampoco tan singular como es el caso del espacio de Sobolev fraccionario. En relación a los resultados de aproximación al problema local debemos resaltar los artículos [59], [44], [10], [12], [18], [23], [80], [106], [107]). Además [54] o [26] son artículos interesantes en los que se analizan las propiedades asintóticas de autovalores no locales. Es importante reseñar también una colección de artículos en los que aparecen resultados que se re…eren a compacidad en un entorno no local y a la aproximación no local en.

(22) 1.4. ORGANIZACIÓN Y RESULTADOS. 15. espacios de Sobolev ([80], [81], [23] y [27]). Concretamente algunas de las herramientas más importantes e ideas fundamentales para la realización de esta parte de la memoria proceden de [80]. Resumimos a continuación las contribuciones del Capítulo 2: a) Los resultados que obtenemos sobre teoría espectral están contenidos en los Teoremas 2.2 y 2.1. En el primer caso, cuando el control es h 1; conseguimos una representación explícita para los autovalores y las autofunciones. Esta representación servirá para garantizar un resultado de compacidad clave en todo nuestro estudio. b) La existencia y la unicidad para la ecuación de estado no local (P ) de (1.10) se prueban en el Teorema 2.3. Destacar el aspecto operativo de este resultado en el sentido de que nos da una representación para la solución. c) Sobre la aproximación a la solución de (1.23) los resultados que obtenemos son los Teoremas 2.4 y 2.5. El primer teorema demuestra que cuando tiende a cero entonces hay convergencia de los autovalores (autofunciones) no locales a los autovalores (autofunciones respectivamente) locales del operador elíptico que de…ne a (Ploc ) en (1.23). Con estas convergencias y disponiendo de la operativa que nos han proporcionado los epígrafes previos, se establece con facilidad el Teorema 2.5. 2. En el Capítulo 3 estudiamos problemas de control o diseño óptimo no local y analizamos las posibilidades que este modelo tiene en la resolución de algunos problemas interesantes de control óptimo. Nos planteamos el problema (DP loc ) descrito como Z : m n Jloc (h; u) = G(x; h; u; ru)dx (1.24) (h;u)2Aloc. siendo G : R R RN ! R una función con algunas propiedades especí…cas y donde la ecuación de estado es (1.23). El conjunto de admisibilidad es Aloc = (h; u) 2 H. H01 ( ) : u es la solución única de (1.23) :. Como se demuestra claramente en numerosos artículos ([5], [35], [63], [33], [16], [37], [70] o [73]), no son tareas fáciles, ni el buen planteamiento del problema, ni la búsqueda de solución para el mismo. Vamos a intentar superar estas di…cultades trabajando en un marco no local, tanto para la ecuación de estado como para el funcional de coste. En lo que se re…ere a la ecuación de estado retomamos el problema no local (P ) de (1.10) que ha sido objeto de análisis en el capítulo anterior. La idea es considerar como conjunto de admisibilidad a A = f(h; u) 2 H. X0 : u es la solución única de (1.10)g ;.

(23) 16. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. y como coste a optimizar el correspondiente funcional no local, un funcional con el formato dado en (1.19) que para valores pequeños de aproxime al coste local. De esta forma, y basándonos en el Teorema 2.5, vamos a reemplazar u; solución del problema (Ploc ) ; por u ; la solución débil del problema (P ) : Y en cuanto al coste, por ejemplo, en el caso particular en que queramos minimizar el coste local G(x; h; u; ru) = jruj2 ; usaremos como coste no local a Z Z : J (h; u) = Con todo esto, considerando [23] o [81]). k (jx0 xj) (u (x0 ) 2 0 jx xj. 2. u (x)) dx0 dx:. pequeño, y empleando la aproximación (ver por ejemplo J (h; u ). Z. jru (x)j2 dx. en la que (u ) es la sucesion de soluciones de (P ) que minimiza a J y que converge a cierta función u 2 H01 ; trataremos de reemplazar el mn. (h;u)2Aloc. Jloc (h; u). por el m n J (h; u) :. (h;u)2A. En adelante, y para un caso genérico3 , estos problemas de diseño se denotarán por (DP loc ) y (DP ) respectivamente. Por lo tanto, este es el objetivo, sustituir un principio de minimización clásico (DP loc ) por uno no local (DP ) con el que tratar de aproximarlo. Hemos de decir que esto, como veremos a lo largo del resto de la memoria, sólo se consigue de forma parcial. Para proceder de la forma descrita arriba nuestra primera etapa consistirá en encontrar, para cada valor …jo, una solución del problema de diseño o control óptimo no local. Éste será uno de los objetivos principales del Capítulo 3, la existencia de control óptimo no local. Inicialmente nos hemos inspirado en el problema estudiado por Cea y Malanowski (ver [29]) en 1970 cuya ecuación de estado es (1.23) y cuyo funcional de coste es el compliance, el cual se de…ne como Z J (h; u) = f (x) u (x) dx: (1.25) 3. Para los problema parabólicos también emplearemos esta notación..

(24) 1.4. ORGANIZACIÓN Y RESULTADOS. 17. Éste es un problema de diseño óptimo en el que el control o variable de diseño h; es la distribución de un material conductor en un dominio …jo ; y cuyo estado u es el único potencial eléctrico (o temperatura) que satisface la ecuación elíptica en forma divergente. El control h (o una función de h) también puede representar la conductividad (o difusión), y en tal caso el compliance, es la energía disipada en . Algunos trabajos básicos en Difusión o en Teoría de la Conductividad donde, bajo algunos supuestos, el compliance (ver (1.25)) ha sido considerado como el objetivo a optimizar son [37], [33] y [5]. La demostración de la existencia de solución de la versión no local de este problema se consigue de manera sencilla adaptando los mismos pasos que dan los autores en [29]. En la segunda parte del capítulo generalizamos la existencia de solución a problemas de control para los que el funcional de coste es como en (1.19) y donde se supone que el integrando F : R R ! R abarca cierta generalidad. Por tanto, para cada valor del horizonte , probamos la existencia de diseños óptimos h ; soluciones de (DP ) ; y consideramos sus estados asociados u . De este modo, construimos una sucesión de soluciones (h ; u ) : El siguiente paso es probar la convergencia de los pares (h ; u ) ; cuando ! 0; a un par (h; u) solución del correspondiente problema de diseño local (DP loc ). Esto, por el momento, sólo se lleva a cabo cuando el funcional de coste es el compliance. Concerniente a la bibliografía, hemos de destacar los trabajos [38] y [41] en los que desde una perspectiva no local, se tratan algunos problemas especí…cos de control óptimo, y se aportan aproximaciones numéricas de las soluciones. También, en la misma línea, son interesantes otros artículos en los que tras un análisis numérico exhaustivo, aseguran una aproximación precisa de la solución de la ecuación de estado. Tal precisión en el cálculo abre las puertas al campo de las simulaciónes, lo cual es una vía muy útil de cara a buscar óptimos en problemas de control o diseño, local o no local. De entre estos trabajos destacamos algunos de ellos: [92], [3], [32], [31], [43], [46], [47], [48] o [49]. Las contribuciones del Capítulo 3 son: a) El Teorema 3.1 asegura la existencia de control óptimo para el caso del compliance. b) El Teorema 3.2 prueba la convergencia de los autovalores y autofunciones entre los operadores no locales de la ecuación de estado (1.10) cuando consideramos una sucesión de controles que convergen débil- : Este hecho da paso a un resultado de G-convergencia que garantiza la convergencia de las soluciones no locales (Teorema 3.3). c) Con los resultados precedentes se demuestra el Teorema 3.4, resultado general de existencia de control óptimo no local. d) A continuación se establece el resultado de aproximación más importante de este capítulo, el Teorema 3.5. Se prueba la convergencia del problema (DP ) al problema.

(25) 18. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. local (DP loc ) en el caso del compliance. 3. Generalizar el resultado obtenido en el capítulo previo sobre aproximación para el problema de diseño óptimo, a otro tipo de funcionales de coste es una cuestión mucho más complicada y requiere un estudio profundo de la G-convergencia de la ecuación elíptica no local. Éste será el tema central del Capítulo 4. El resultado de G-convergencia obtenido nos va a permitir utilizar una colección de problemas de diseño óptimo no locales (DP ), como aproximación a las soluciones de una cierta clase de problemas de diseño óptimo local (DP loc ) : Un elemento muy importante a tener en cuenta es la forma del funcional de coste del problema (DP ). Éste es no local y está formado por dos términos, ambos no locales. El primero está dado al objeto de aproximar un funcional local, y el segundo es como hemos dicho, de tipo no local, pero actuando sólo sobre el diseño h. Este segundo término va a jugar un papel importante en la G-convergencia del funcional asociado con la ecuación de estado, debido a que las sucesiones de diseños que participan en este proceso son sucesiones minimizantes, y por tanto, aparte de la precompacidad de los estados (u ) obtenidos a partir de la ecuación de estado, dicho término permite obtener la misma propiedad para la sucesión de diseños (h ) . En forma resumida, podemos decir que esa estructura especí…ca del problema al que tendremos que hacer frente, facilita en gran medida la identi…cación en el límite del problema local. Como un corolario del análisis anterior logramos resultados de existencia para una clase amplia de problemas de diseño óptimos locales y su aproximación mediante problemas no locales. En concreto se consiguen dos regularizaciones no locales para el célebre problema control Z m nh2H jruj2 dx (1.26) tal que. div (hru) = f; u 2 H01 ( ) :. Las referencias más interesantes en este contexto son [80], [81], [18] y [71]. [80] lleva a cabo un estudio sobre la generalización de la desigualdad de Poincaré al contexto no local y al mismo tiempo obtiene estimaciones y resultados de compacidad sobre operadores no locales que son clave en todo el estudio. En [81] el autor se centra en un estudio pormenorizado de la caracterización de ciertos espacios funcionales a través de funcionales no locales y obtiene resultados de -convergencia sobre funcionales no locales cuando el parámetro tiende a cero. [18] y [71] llevan a cabo una tarea parecida al considerar funcionales no locales, que bajo ciertas condiciones, -convergen a un funcional de energía local cuyos equilibrios caracterizan los estados de los materiales elásticos o hiperelásticos. En las referencias que acabamos de comentar el contexto es más especí…co que el tratado en esta memoria pues no consideran ningún diseño o control. Sólo analizan la convergencia de minimizadores cuando lo único que se mueve es el parámetro : La situación es completamente distinta al hacer intervenir una sucesión de controles para la que únicamente.

(26) 1.4. ORGANIZACIÓN Y RESULTADOS. 19. se conoce una convergencia débil. Son [38] y [41] las referencias que en este sentido, más se aproximan al trabajo que presentamos en esta memoria. Las contribuciones que se recogen en el Capítulo 4 son las siguientes: a) Sobre la G-convergencia el resultado principal es el Teorema 4.1. b) En la aplicación al estudio del problema límite del problema de control óptimo no local, las contribuciones son los teoremas 4.3 y 4.5. Estos dos resultados se corresponden con las dos situaciones ya comentadas, bien cuando el coste incluye un término no local sobre el control, o bien cuando se considera una restricciónl adicional en A , no local, que actúa sobre el control. c) Los teoremas 4.4 y 4.6. son las correspondientes generalizaciones de los resultados del epígrafe anterior. 4. El Capítulo 5 está dedicado a la realización de simulaciones numéricas con el …n de aproximar la solución de un problema de control óptimo local (DP loc ). En [38] y [41] podemos ver simulaciones numéricas de la solución de algunos problemas concretos de control óptimo. Aunque existen muchas referencias sobre la aproximación de la solución de la ecuación de estado no local (véanse las citas dadas para el Capítulo 2), no es así cuando se trata de un problema de control. Es más, [38] y [41] vuelven a ser las únicas referencias especí…cas tratando esa temática. Fundamentalmente, nuestro objetivo en esta parte de la tesis es demostrar que los resultados teóricos obtenidos en los capítulos anteriores se pueden llevar a la práctica en la resolución de problemas concretos. Para ello necesitamos en primer lugar, un método operativo que para cada valor de …jo, nos permita calcular el estado u asociado a un control h dado: A continuación, debemos ser capaces de diseñar un procedimiento para construir una sucesión minimizante de pares admisibles (hr ; ur )r que nos conduzca al óptimo cuya existencia podemos garantizar. El problema concreto con el que vamos a trabajar es el propuesto por Cea y Malanowski (ver [29]). Por tanto, el coste que pretendemos minimizar en nuestro estudio numérico es el compliance. De este problema ya nos hemos ocupado en el Capítulo 3, donde se formula una versión no local y se demuestra la existencia de diseños óptimos (h ; u ) (ver Teorema 3.1). Precisemos las aportaciones realizadas en el Capítulo 5:. a) El Teorema 2.3 nos da la expresión de la solución única para la ecuación de estado en forma de serie en la que …guran las autofunciones y los autovalores del operador Bh ; así como los coe…cientes de Fourier de la fuente. En el caso en que el control h es constante, se pueden utilizar las autofunciones del operador en un hipercubo.

(27) 20. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. Q y calcular directamente los autovalores no locales mediante una fórmula (ver Teorema 2.2). No ocurre lo mismo en el caso en el que el control es una función cualquiera h 2 H; ya que entonces es necesario resolver un problema de minimización. En esta segunda situación transformaremos este problema en uno de minimización en dimensión …nita y para ello, simplemente, expresaremos las autofunciones que necesitamos calcular como combinaciones lineales …nitas de las autofunciones del Laplaciano. b) En lo que respecta al cálculo del óptimo vamos a utilizar un algoritmo de descenso. Tanto la construcción de este algoritmo como la demostración de su convergencia son tareas que hemos hecho adaptando a la versión no local muchos de los argumentos que en [29] se desarrollan para construir un algoritmo de convergencia para la versión local (ver la Sección 5.3). c) Por último, implementamos el algoritmo de convergencia en MATLAB y resolvemos un par de problemas sobre los que conocemos aproximaciones numéricas locales con las que poder comparar nuestros resultados. En concreto se trata del problema en dimensión 1 cuya solución local (explícita) aparece en el artículo [29, pp 315]. El segundo caso es un problema en dimensión 2 que está resuelto de forma aproximada en el libro de Delfour y Zolesio (ver [37, pp 235-239]). 5. En el Capítulo 6 vamos a extender al caso parabólico muchos de los resultados obtenidos para el caso elíptico en los capítulos anteriores. En concreto partimos del problema de difusión local 8 > > ut (x; t) divx (h (x) ru (x)) = f (x; t) ; x 2 ; t > 0; > > > < (Ploc ) (1.27) u (x; t) = 0 en @ ; > > > > > : u (x; 0) = g (x) en :. Al igual que en el caso elíptico, para cada h 2 H probaremos la existencia y unicidad de solución del problema no local (1.20) en el espacio Y0 ; y una adaptación de la metodología clásica nos permitirá dar una expresión explícita para la solución en forma de serie en una base formada por las autofunciones del operador asociado L de…nido en (1.6). Una vez establecido este método operacional con el que calcular la solución del problema (1.20) estudiaremos su comportamiento asíntótico cuando ! 0: Esto nos permitirá encontrar una aproximación a la solución del problema (1.27). A continuación abordamos la existencia de diseños o controles óptimos. Para ello, adjunta a la ecuación de estado (1.20) de…nimos el coste funcional C; que actúa sobre el par admisible (h; u) de acuerdo con la fórmula (1.22) en la que suponemos que el integrando es tal que F ( ; ; ; u1 ; u2 ) es una función medible con ciertas propiedades genéricas. Para cada valor …jo del parámetro.

(28) 1.5. CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS. 21. ; se prueba la existencia de controles óptimos no locales, es decir, resolvemos el problema (DP ) de…nido como m n J (h; u) ; (1.28) (h;u)2A. donde ahora J es como en (1.22) y el conjunto de admisibilidad es A = f(h; u) 2 H. X0 : u es la solución única de (1.20)g :. (1.29). En cuanto a referencias [106] y [44] podrían ser, junto con las citas que contienen, los artículos base sobre existencia para la ecuación de estado en el contexto peridinámico. [11], [30], [52] estudian el mismo tema pero en un contexto distinto. Complementando a éstos en la parcela del análisis numérico podemos citar a [39], [40], [88], [89], [57] y [58]. Las contribuciones contenidas en el Capítulo 6 son las siguientes: a) El Teorema 6.1 prueba la existencia de solución de la ecuación de estado no local (1.20). b) El Teorema 6.2 demuestra la convergencia a la solución de la ecuación de estado local (1.27). c) El Teorema 6.4 establece la existencia de solución (de diseño óptimo) para el problema dado en (1.28)-(1.29).. 1.5.. Conclusiones y trabajos futuros. En este trabajo hemos analizado una clase de ecuaciones elípticas y parabólicas desde una perspectiva no local. Para cada valor …jo del radio del horizonte -escala que determina la interacción no local- hemos formulado el correspondiente modelo no local y hemos probado la existencia y unicidad de solución. Del mismo modo que ocurre en el caso clásico, hemos obtenido una representación explícita de esta solución en forma de serie con los autovalores y las autofunciones del operador integral. Al variar el parámetro horizonte obtenemos una sucesión de soluciones no locales para la que hemos estudiado su comportamiento asintótico. Hemos probado que esta sucesión, cuando el parámetro del horizonte tiende a cero, converge a la solución del correspondiente problema local. Este hecho justi…ca el interés del trabajo desde el punto de vista de la aproximación. El análisis no local se ha extendido a algunos problemas de optimización, a problemas de control o diseño óptimo que tienen a dichas ecuaciones elípticas o parabólicas como ecuaciones de estado, y para los que se ha considerado una amplia clase de funcionales de coste. Para estos problemas hemos probado la existencia de optimalidad. En algunos casos concretos, y sólo cuando la ecuación de estado es una ecuación elíptica, hemos estudiado el comportamiento.

(29) 22. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. asintótico de la sucesión de optimizadores cuando el horizonte tiende a cero, y hemos probado la convergencia a un óptimo del problema local. En una primera fase demostramos la convergencia para el problema del compliance. Después, se ha obtenido un resultado de G convergencia para la ecuación elíptica que nos permite a…rmar convergencia a la solución de problemas de control óptimo más generales. Los resultados anteriores nos han llevado a construir un método operacional capaz de aproximar las soluciones de una familia de ecuaciones elípticas y parabólicas, así como de algunos problemas de control óptimo que tienen a estas ecuaciones como ecuación de estado. La implementación de este método operacional en un programa de cálculo permite obtener aproximaciones numéricas de las soluciones. Nuestro objetivo, en lo que se re…ere a la obtención de aproximaciones numéricas, no ha sido otro que comprobar la adecuación de los modelos no locales para obtener aproximaciones a la solución de los modelos locales correspondientes. Para ello nos hemos centrado en uno de los problemas de control óptimo para el que sabemos de la existencia de optimalidad, el ya mencionado problema del compliance. Hemos construido un algoritmo de convergencia que nos acerca al óptimo no local cuya existencia también conocemos. Este algoritmo ha sido implementado en MATLAB, se ha aplicado a problemas concretos extraidos de la bibliografía y de resultas, se puede a…rmar que proporciona una aproximación bastante precisa de las soluciones locales.. En lo que respecta a trabajos futuros hay varios caminos a seguir. En la actualidad estamos trabajando en la demostración de la G-convergencia de la ecuación de difusión. Al igual que hemos hecho en el caso elíptico, estamos analizando sus implicaciones en la aproximación de soluciones de problemas de control óptimo que tienen a esta ecuación parabólica como ecuación de estado. La construcción de un algoritmo de convergencia que nos permita la aproximación numérica de soluciones (por ejemplo para el caso del compliance) está también entre nuestros objetivos inmediatos. En este trabajo hemos obtenido regularizaciones o formulaciones equivalentes no locales de problemas bastante paradigmáticos dentro del área clásica del control óptimo. Una tarea interesante y aún pendiente, sería comparar las soluciones no locales de estas formulaciones alternativas con los resultados de aproximación de optimalidad que conocemos para dicho problema. Y del mismo modo, una vez probado el resultado de G-convergencia correspondiente, sería bastante atractivo el trasladar este estudio a problemas con el mismo funcional de coste y con la ecuación parabólica como ecuación de estado. Un tercer hito en nuestras investigaciones tiene que ver con el planteamiento de ecuaciones no lineales no locales. Parece que algunas de las herramientas empleadas aquí pueden servir de pauta en el estudio de esta problemática. No obstante este campo requiere un análisis y una preparación que por suerte van a servirnos como acicate en nuestro trabajo futuro..

(30) 1.6. APÉNDICE. 1.6.. 23. Apéndice. Vamos a mostrar aquí algunas de las simulaciones numéricas que a modo de introducción realizamos en [6]. Están programadas con MATLAB y tienen por objeto resolver una serie de ejemplos clásicos de la ecuación del calor. Se formulan modelos peridinámicos y se calculan aproximaciones a la solución, quedando claramente de mani…esto la adecuación de estas aproximaciones al comparalas con las soluciones exactas conocidas.. Ejemplo 1.1 Se quiere encontrar la distribución de temperaturas en una varilla delgada de longitud : Se sabe que en el instante inicial la temperatura en cada punto viene dada por la función '(x) = x(x ) con 0 x y los extremos están a una temperatura de 0o C, y que teniendo en cuenta las condiciones físicas del material del que está hecha la varilla (densidad, conductividad del material, etc.) el problema que hay que resolver es @u(x; t) @t. @ 2 u(x; t) = 0; 0 < x < ; t 2 [0; T ] @x2. u(x; 0) = x(x. ); 0 < x <. u(0; t) = u( ; t) = 0; t 2 [0; T ] Fijado un. > 0; vamos a considerar el problema peridinámico @u(x;t) @t. Z 2. x+. k (jx0. x. u(x; 0) = x(x. 0. xj) u(xjx;t)0. u(x;t) dx0 xj2. = 0;. 0 < x < ; t 2 [0; T ]. ); 0 < x <. u(0; t) = u( ; t) = 0; t 2 [0; T ] ; cuya solución es. u (x; t) =. 1 X n=1. 2. Z. 0. x(x. ) sin nxdx exp. 2t. Z. k (jzj). (1. cos nz) dz sin nx: z2. Las …guras siguientes representan la aproximación a la solución clásica que llamaremos uc (x; t) (Figura 1.2) y dos aproximaciones a las soluciones peridinámicas que llamaremos up1 (x; t) y up2 (x; t) respectivamente: Estas aproximaciones peridinámicas se han calculado con dos núcleos diferentes y con un valor del horizonte = 0: 01 (…guras 1.3 y 1.4). Todas las aproximaciones.

(31) 24. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. han sido calculadas con MATLAB tomando 100 términos en la serie solución.. Aproximación a la solución clásica. 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 6 4. 4. 3 2. 2 1. t. 0. 0. x. Figura 1.2. A proximación peridinámica 2 A proximación peridinámica 1 0 0. - 0 .5. - 0 .5. -1. -1. - 1 .5. - 1 .5. -2. -2. - 2 .5 6. - 2 .5 6. 4. 4 4. 4. 3. 1. 2. 2. 3 2. 2. t. 0. 0. 1. t. 0. 0. x. x. Figura 1.4: con núcleo jx0 xj 1 0 k (jx xj) = 2. Figura 1.3: con núcleo k (jx0 xj) = 21. A efectos de hacer comparaciones numéricas y poder observar el comportamiento de las soluciones peridinámicas cuando ! 0; hacemos una partición R del rectángulo [0; ] [0; T ] ; y en cada punto (x; t) 2 R, y para cada valor …jo de calculamos los valores siguientes: error1 ( ) = max juc (x; t). up1 (x; t)j. error2 ( ) = max juc (x; t). up2 (x; t)j. (x;t)2R. (x;t)2R. La tabla siguiente recoge los valores numéricos de la variable error1 ( ) para 10 valores de. en.

(32) 1.6. APÉNDICE. 25. [0: 01; 0: 05] : 0:5 error1. 2:6329e. 0:45 19 1:8942e. 0:23 error1. 2:9336e. 0:39. 0:34. 19 1:3092e. 0:17. 19 8:5937e. 0:12. 20 1:4156e. 0:06. 20 5:3752e. La siguiente …gura muestra como cuando mica se acerca a la clásica.. 21 1:2471e. 2.5. error1. 2. 1.5. 1. 0.5. 0 0. 0.05. 0.1. 0.15. 0.2 0.25 0.3 radio del horizonte. 0.35. 0.4. 0.45. 0.5. Figura 1.5. Y del mismo modo para la variable error2 ( ):. 1.8. 10 -21. 1.6 1.4. erro2. 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.01. 0.015. 0.02. 20 5:2673e. 20. 0:01 21 3:7033e. 23. ! 0; error1 ( ) ! 0; es decir la solución peridiná-. 10 -19. 3. 0:28. 0.025. 0.03 0.035 radio del horizonte. Figura 1.6. 0.04. 0.045. 0.05.

(33) 26. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. Ejemplo 1.2 Si en las condiciones del ejemplo anterior, se genera calor por decaimiento radiactivo del material, la ecuación de la energía que gobierna la distribución de temperaturas en el interior de la varilla es ahora @ 2 u(x; t) = exp( x); 0 < x < ; t 2 [0; T ] @x2 u(x; 0) = x(x ); 0 < x <. @u(x; t) @t. u(0; t) = u( ; t) = 0; t 2 [0; T ] y su solución única es u(x; t) =. 1 2X. hn (t) sin(nx). n=1. donde Z. 2. ( ) sin(n )d hn (t) = exp n t 0 Z tZ exp( ) sin(n ) exp n2 (s + 0. Para cada. 1 2. > 0; tomando k (jzj) = 1. @u(x; t) @t. t) dsd :. 0. Z. ; el modelo peridinámico será:. x+. x. u(x0 ; t) jx0. 0<x< ; u(x; 0) = x(x. u(x; t) 0 dx = exp( x) xj2 t 2 [0; T ] );. u(0; t) = u( ; t) = 0;. 0<x< t 2 [0; T ]. y su solución única u (x; t) es 1 X n=1. exp. nl nt. '0n. +. 2. Z tZ 0. exp(. ) sin(n ) exp. Z. cos nz dz; jzj2. nl n. 0. donde nl n. =. 2. 1. 0. '0n =. 2. Z. 0. (. ) sin(n )d :. (s. t) dsd. sin(nx).

(34) 1.6. APÉNDICE. 27. Las …guras siguientes representan las soluciones clásica y peridinámica obtenidas con MATLAB tomando = 0: 01 y con 100 términos de la serie solución.. Aproximación a la solución clásica. Aproximación a la solución peridinámica. 1. 1. 0. 0. -1. -1. -2. -2. -3 6. -3 6 4. 4. 4. 4. 3. 3. 2. 2. 2. 2. 1. t variable temporal. 0. 0. 1. t variable temporal. x variable espacial. Figura 1.7. 0. 0. x variable espacial. Figura 1.8. Del mismo modo que en el ejemplo anterior hemos construído una tabla que contiene los valores de la variable error = max(x;t)2R juc (x; t) up (x; t)j en función de y una …gura que muestra como el error ! 0 cuando ! 0:. 0: 5 error. 2:48e. 0: 45 2 1:81e. 0:23 error. 2:8e. 0:39. 2 0:012584 8:23e. 0:17 3. 1:41e. 0:34. 0:12 3. 6:7e. 0:28 3. 0:06 4. 2:07e. 5e. 3. 0:01 4. 5:81e. 05.

(35) 28. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. diferencia entre las dos soluciones en función de delta. 0.025. 0.02. error. 0.015. 0.01. 0.005. 0 0. 0.05. 0.1. 0.15. 0.2 0.25 0.3 radio del horizonte. 0.35. 0.4. 0.45. 0.5. Figura 1.9. Ejemplo 1.3 Para calcular la distribución de temperaturas en una placa delgada cuadrada de lado ; de la que se sabe que los bordes están a una temperatura de 0o C; y que en el instante inicial la temperatura es u(x; y; 0) = sin x sin y con 0 x; y ; resolveremos el siguiente problema no local. Z. (u(x0 ; y 0 ; t) ut (x; y; t) = 2 j(x0 ; y 0 ) B((x;y); ) 0 < x < ;0 < y < ;t > 0 4. u(x; y; 0) = sin x sin y, 0. x. ; 0. u(x; y; t)) 0 0 dx dy (x; y)j2 y. u(x; 0; t) = u(x; ; t) = u(0; y; t) = u( ; y; t) = 0; t > 0. Las …guras que se muestran a continuación han sido calculadas con MATLAB para un valor de.

(36) 1.6. APÉNDICE. 29. = 0: 01 y tomando 100 términos en la serie. Corresponden a los instantes t = 1, y t = 5:. Aproximación a la solución clásica en t=1. Aproximación a la solución peridinámica t=1. 0.15. 0.15. 0.1. 0.1. 0.05. 0.05. 0 4. 0 4 3. 3. 4 3. 2 1. y. 4 3. 2. 2. 1. 1 0. 0. y. x. 10 -5. 5. 5. 4. 4. 3. 3. 2. 2. 1. 1. 0 4. 0 4 3. 4 3 2. 3. 4 3. 2. 0. x. Figura 1.12. 2. 1. 1 0. x. Aproximación a la solución peridinámica t=5. 10 -5. 1. 0. Figura 1.11. Aproximación a la solución clásica en t=5. y. 1 0. Figura 1.10. 2. 2. y. 1 0. 0. x. Figura 1.13. Los grá…cos siguientes muestran el comportamiento la variable error en los instantes t = 1 y.

(37) 30. 1. INTRODUCCIÓN. RESULTADOS Y ORGANIZACIÓN. t = 5 cuando. ! 0: error en t=1. 0.018. 10 -5. 3. error en t=5. 0.016 2.5 0.014 2. 0.01. error. error. 0.012. 0.008 0.006. 1.5. 1. 0.004 0.5 0.002 0. 0 0. 0.05. 0.1. 0.15. 0.2 0.25 0.3 radio del horizonte. Figura 1.14. 0.35. 0.4. 0.45. 0.5. 0. 0.05. 0.1. 0.15. 0.2 0.25 0.3 radio del horizonte. Figura 1.15. 0.35. 0.4. 0.45. 0.5.

(38) Capítulo 2 Problema elíptico no local Todos los resultados que se presentan aquí están recogidos en [7].. 2.1.. Introducción. Este capítulo está dedicado a la búsqueda de soluciones del problema 8 > < L (u (x)) = f (x) ; en. (P ). > : u = 0 en @. nl. : =. (2.1) :. Como ya indicábamos en el Capítulo 1, las ideas empleadas son clásicas pues de algún modo son un desarrollo paralelo de los métodos de Fourier-Galerkin (ver [68] o [51]). Para cada h 2 H vamos a probar la existencia y unicidad de solución del problema (2.1) en el espacio X0 ; y vamos a dar una expresión explícita de la misma en forma de serie. Esta serie se obtiene en una base formada por las autofunciones del operador L : Una vez establecido un método operacional con el que calcular la solución u de (P ) ; vamos a estudiar su comportamiento asíntótico cuando ! 0: Esto nos permitirá encontrar una aproximación a la solución del problema clásico. (Ploc ). 8 <. div (h (x) ru (x)) = f (x) en. : u 2 H1 ( ) : 0. (2.2). (2.2) es una ecuación de tipo elíptico que incluye un término difusivo, h; y con condiciones de frontera homogéneas tipo Dirichlet. Trataremos de resolverla de forma aproximada mediante una sucesión (u ) de soluciones del problema (2.1).. 31.