Lógica - FCE
ARBOLES ANALITICOS
0. Introducción: Deducción y búsqueda de contraejemplos
El sistema de árboles analíticos (también llamado “árboles lógicos”) que se expone a continuación formaliza un método de deducción para la lógica de predicados de primer orden. El sistema se basa en el método de refutación o de “búsqueda del contraejemplo”: una demostración formal en el sistema se interpreta como la imposibilidad de construir un contraejemplo para el razonamiento o enunciado en cuestión. Por esta razón es algo así como una formulación puramente sintáctica de métodos originalmente semánticos para determinar la validez de razonamientos deductivos. Estos métodos se basan en la caracterización de los signos lógicos por medio de la indicación de sus condiciones de verdad.
Una forma de razonamiento es válida si carece de contraejemplo. Esto quiere decir que una forma de razonamiento es válida si no existe un caso concreto de esa forma de razonamiento (resultante de una interpretación de sus signos no lógicos) que haga a sus premisas verdaderas y a su conclusión falsa. Por lo tanto, si se construye un contraejemplo (un “caso en contrario” de la forma), la forma de razonamiento es inválida. Por el contrario, si resulta imposible construir tal contraejemplo, esta es válida. Cosa semejante ocurre con las leyes lógicas (que, recuérdese, se pueden entender como formas válidas de razonamiento que carecen de premisas). Este es el procedimiento que el sistema de árboles reproduce formalmente, proporcionando un método efectivo para determinar la validez de razonamientos.
Como se verá más adelante, el sistema funciona primariamente como un “test de consistencia” para un conjunto de enunciados. La validez de un razonamiento surgirá de manera secundaria o indirecta, al mostrar que es inconsistente suponer la verdad de las premisas y la falsedad de la conclusión.
El sistema contiene un conjunto de reglas que descomponen los enunciados generales o moleculares hasta llegar a sus componentes atómicos, y por esto se puede hablar de un análisis de enunciados. Este análisis se representa gráficamente mediante árboles, esto es, grafos que tienen bifurcaciones o ramas. De allí el nombre del sistema. Por ello, el sistema es particularmente interesante desde el punto de vista computacional y, además, resultará muy conveniente para analizar propiedades semánticas de la lógica de predicados de primer orden (tales como corrección, completitud y otras). La
1. El concepto de verdad y los signos lógicos
Al introducir la noción de enunciado se vio que es típico de los enunciados el hecho de que se les puede atribuir verdad o falsedad; tienen lo que se llama un “valor de verdad”: verdadero o falso. Las razones por las cuales un enunciado es rotulado como verdadero o falso son, en principio, externas a la lógica. Las razones que llevan a considerar verdaderos o falsos enunciados como “El índice de inflación en la Argentina durante el mes de noviembre de 2005 fue superior al 1%”, “Hay vida en alguna luna de Júpiter” o “Todos los argentinos son hinchas de algún club de fútbol” son de diversa naturaleza y eso es algo que no entra en cuestión aquí. Lo importante es que verdad y falsedad se ven como propiedades (o “rótulos”) de enunciados, y la caracterización de la noción de validez deductiva tiene consecuencias respecto de la obtención de enunciados verdaderos: en los razonamientos válidos no podrá darse que las premisas sean
verdaderas y la conclusión falsa. Situación análoga se presenta en el caso de la consistencia: En un conjunto consistente de enunciados nunca podrá ocurrir que un enunciado aparezca una vez con el valor verdadero y otra vez con el valor falso.
Más específicamente, se supondrá además que para todo enunciado A de LPO, se dará que A es verdadero o A es falso. Esto es lo que se denomina principio de bivalencia, es decir, el principio de que para todo enunciado hay dos valores de verdad, verdadero y falso, y todo enunciado tiene exactamente uno de ellos (ni más ni menos).
Esta suposición tiene un alto grado de idealización, pues en diversas situaciones puede darse el caso de enunciados que carezcan de valor de verdad, pero no se tomará en cuenta esa situación. El principio de bivalencia conduce así a una partición del conjunto de todos los enunciados de LPO en dos conjuntos: el de los enunciados verdaderos y el de los enunciados falsos. Y esto es algo importante para lo que sigue.
1.1. Condiciones de verdad para los signos lógicos
Al presentar la notación para los conceptos lógicos y luego al presentar el Lenguaje de Primer Orden, se introdujeron las siguientes condiciones de verdad que caracterizan a los signos lógicos del LPO en la lógica estándar.
(∀) Un enunciado de LPO de la forma ∀xA[x] es verdadero si y sólo si se da que el enunciado A[a] es verdadero en el caso de cualquier constante de individuo (a) del LPO.
(∃) Un enunciado de LPO de la forma ∃xA[x] es verdadero si y sólo si el enunciado A[a] es verdadero para alguna constante de individuo (a) del LPO.
(∧i) Un enunciado de LPO de la forma (A∧B) es verdadero si y sólo si tanto A como B son verdaderos.
(∨) Un enunciado de LPO de la forma (A ∨ B) es verdadero si y sólo si A es verdadero o B es verdadero.
(¬) Un enunciado de LPO de la forma (¬A) es verdadero si y sólo si A es falso.
1.2. Justificación de las condiciones de verdad
Estas condiciones se justifican a partir de la aclaración del significado de los signos lógicos que se sobre la base del concepto de afirmación en una deducción. Respecto de los cuantificadores, la condición (∀) hace explícita la idea preformal de que un enunciado universal es verdadero si y sólo si son verdaderas todas sus instancias. La condición (∃) identifica la verdad de un enunciado existencial con la verdad de alguna instancia. Se presupone que (a) todo individuo del dominio de cuantificación es
designado por una constante de individuo de LPO, y (b) no hay constantes de individuo que carezcan de designación (es decir, toda constante de individuo designa un individuo del dominio de cuantificación).
Los casos de la conjunción y la disyunción no son problemáticos. El condicional y la negación merecen algún comentario. Respecto del condicional, si A es falso, entonces, por lo que se acaba de decir en el parágrafo anterior, A lleva a contradicción. En este caso, cualquier enunciado, B por ejemplo, se infiere de él, de modo que se puede afirmar (A → B), siendo así verdadero. Si B es verdadero, entonces B puede afirmarse en una deducción de manera incondicionada (sin supuestos), hecho que no se altera si se añade cualquier supuesto, por ejemplo A, de modo que (A → B) puede afirmarse también de manera incondicionada, o sea es verdadero. Por lo demás, piénsese que un condicional (A → B) es equivalente con ((¬A) ∨ B) , que es precisamente la forma en que se lo interpreta en la condición (→).
Respecto de la negación, se sigue la idea de que (¬A) se afirma si a partir de suponer A se infiere una contradicción, es decir A es refutable. Si se adoptara la
interpretación de (¬A) como “A no puede afirmarse”, que puede parecer muy razonable, aparecerían algunos problemas. En efecto, si A no puede afirmarse, quiere decir que no disponemos de una deducción de él a partir de la información disponible. Pero esto puede ser porque todavía no se la ha efectuado o porque la información es aún incompleta. En este caso, podría caerse en una contradicción ya sea al efectuarse la deducción o al completarse la información. La única manera de estar seguro de que A no puede afirmarse es infiriendo una contradicción a partir de A, lo cual es justamente la idea que se había adoptado primeramente. Según esta caracterización, la negación funciona como un “inversor” del valor de verdad de un enunciado: de verdadero a falso y de falso a verdadero.
Por lo demás, de acuerdo con la definición dada, le corresponderá al bicondicional la siguiente condición:
(↔) Un enunciado de la forma (A↔B) es verdadero si y sólo si A y B son verdaderos o A y B son falsos.
Finalmente, las condiciones de verdad que se acaban de presentar ofrecen el significado “clásico” de los signos lógicos y corresponde, por tanto, a lo que se llama lógica clásica, que es la lógica deductiva más usual.
Si esta manera de caracterizar la verdad de un enunciado y de justificar las condiciones de verdad recién dada no parece adecuada, puede adoptarse otra,
decir, independientemente de las posibilidades que tengamos de determinar su verdad o falsedad. En ese caso, diremos que un enunciado es verdadero o falso, dependiendo de que la situación que el enunciado describe se dé o no se dé. Y esto vale para todo enunciado. Obviamente, el principio de bivalencia es válido en este caso y origina una partición del conjunto de todos los enunciados del LPO en un conjunto de enunciados verdaderos y otro conjunto, el de los falsos.
2. Reglas de verdad y falsedad
Sobre la base de las condiciones de verdad recién expuestas, son válidas las siguientes reglas relativas a la verdad y falsedad de enunciados con signos lógicos:
(∀i) Si un enunciado de la forma ∀xA[x] es verdadero, entonces puede inferirse que A[a] es verdadero, para toda constante de individuo a de LPO que designe a algún individuo del dominio.
(∀ii) Si un enunciado de la forma ∀xA[x] es falso, entonces puede inferirse que A[c] es falso, donde c es una constante que se refiere de manera indeterminada a algún
individuo del dominio.
(∃i) Si un enunciado de la forma ∃xA[x] es verdadero, entonces puede inferirse que A[c] es verdadero, donde c es una constante que designa de manera indeterminada a algún individuo del dominio.
(∃ii) Si un enunciado de la forma ∃xA[x] es falso, entonces puede inferirse que A[a] es también falso, para toda constante de individuo a del LPO que designe a un individuo del dominio.
(∧i) Si un enunciado de la forma (A∧B) es verdadero, entonces puede inferirse que tanto A como B son verdaderos.
(∧ii) Si un enunciado de la forma (A∧B) es falso, entonces puede inferirse que A es falso o B es falso.
(∨i) Si un enunciado de la forma (A∨B) es verdadero, entonces puede inferirse que A es verdadero o B es verdadero.
(∨ii) Si un enunciado de la forma (A∨B) es falso, entonces puede inferirse que tanto A como B son falsos.
(→i) Si un enunciado de la forma (A→B) es verdadero, entonces puede inferirse que A es falso o B es verdadero.
(→ii) Si un enunciado de la forma (A→B) es falso, entonces puede inferirse que A es verdadero y B es falso.
(↔i) Si un enunciado de la forma (A↔B) es verdadero, entonces puede inferirse que A y B son verdaderos o A y B son falsos.
(↔ii) Si un enunciado de la forma (A↔B) es falso, entonces puede inferirse que A es verdadero y B es falso o A es falso y B verdadero.
(¬ii) Si un enunciado de la forma (¬A) es falso, entonces puede inferirse que A es verdadero.
2.1 Reglas de verdad y validez de razonamientos
A partir de estas reglas de verdad puede establecerse la validez de razonamientos deductivos y, también, desde luego, que ciertas formas de enunciados son leyes lógicas (verdades lógicas). Tómese el siguiente ejemplo de razonamiento formulado en el LPO:
∀xQx / ∀x (Px → Qx) .
Supóngase que el razonamiento es inválido, es decir, que es posible hacer que ∀xQx sea verdadero y ∀x (Px → Qx) sea falso. Entonces, sobre la base de esta suposición, para algún individuo c, (Pc→Qc) es falso por la condición (∀ii). Esto quiere decir por (→ii) que Pc es verdadero y Qc es falso. Ahora bien, por (∀i) y la premisa, Qc debe ser verdadero, cayendo en una contradicción, de modo que no es posible refutar la validez del razonamiento. Queda así determinado, sobre la base de las reglas de verdad dadas, que el razonamiento es válido.
3. El sistema T para árboles analíticos
El sistema formal de árboles analíticos, que llamaremos sistema T, consta de un conjunto de reglas puramente formales (es decir, reglas de transformación sintáctica) que se justifican, de manera prefomal, en las reglas de verdad y falsedad recién expuestas. Ahora bien, las reglas formales del sistema de árboles tienen características peculiares, y no pueden considerarse reglas de inferencia en el sentido estricto
considerado hasta ahora (tal como lo son, por ejemplo, las reglas del sistema de deducción natural que no tienen supuestos). En efecto, estas reglas contienen la posibilidad de considerar conclusiones alternativas, que se expresarán como bifurcaciones a partir de un tronco común formado por la premisa (justamente, las reglas hacen que el árbol se vaya generando). Las reglas son las que generan los árboles analíticos, de modo que siempre se aplican a enunciados que están en un árbol.
3.1. Fórmulas etiquetadas
A fin de construir el sistema se introducirán dos signos más, que se entenderán como “etiquetas” para fórmulas, y que al ser aplicados a las mismas darán lugar a “fórmulas etiquetadas”. Estos son los signos V y F.
3.1.1. Definición. Una fórmula etiquetada será una expresión de las formas VA o FA, donde A es una fórmula cerrada de LPO.
verdadero” y “es falso”. En los árboles del sistema T sólo aparecerán fórmulas etiquetadas (si en un.
3.2 Los árboles del sistema T
Los árboles que se tratarán de ahora en adelante son un tipo particular de grafos (tal como se estudian en la teoría de grafos): son grafos conectados sin ciclos. Serán además árboles binarios, es decir, que sus bifurcaciones generan a lo sumo dos ramas. En el caso de estos árboles analíticos, se da por sentado que los nodos, es decir, los puntos conectados del árbol son fórmulas cerradas del LPO etiquetadas. A
continuación se ofrecen algunas definiciones acerca de árboles:
3.2.1: Un árbol es un conjunto de fórmulas etiquetadas ordenado por una relación (expresada gráficamente por la líneas que unen los enunciados) y en el cual existe un único subconjunto (no vacío) de fórmulas etiquetadas que constituyen el origen de los demás nodos del árbol (el tronco del árbol).
3.2.2: Una rama es una secuencia numerable de fórmulas etiquetadas que comienza en el tronco y que o bien tiene una fórmula etiquetada final (rama finita) o bien no la tiene (rama infinita).
3.2.3: Dada una fórmula cualquiera A, si en una misma rama aparecen VA y FA, entonces se dirá que la rama es una rama cerrada, lo que se indicará marcando con x al extremo de la rama.
3.2.4: Una rama abierta es una rama finita que no es cerrada.
3.2.5: Un árbol cerrado es un árbol que tiene todas sus ramas cerradas.
3.2.6: Un árbol abierto es un árbol que tiene al menos una rama abierta.
3.2.7: Un árbol terminado es un árbol en el que a todo enunciado que contenga un signo lógico se le ha aplicado la regla correspondiente (es decir, no quedan enunciados sin analizar).
Los siguientes son ejemplos de estructuras que adoptarán los árboles analíticos (los asteriscos indican el lugar que deben ocupar enunciados del LPO):
(a)
*
│
* / \ * *
(b)
*
│
*
(c)
* / \ * * / \ * *
│ *
3.3. Reglas para el sistema T
Las reglas, que se aplican a fórmulas etiquetadas del LPO, son las que se ofrecen a continuación.
(∀V) V∀xA[x] (∀F) F∀xA[x] │ │
VA[ai] FA[c]
(∃V) V∃xA[x] (∃F) F∃xA[x] │ │ VA[c] FA[ai]
Restricciones a las reglas:
(a) En (∀F) y (∃V) c debe ser una constante de individuo nueva en la rama en el nodo en que se aplica la regla (es decir, no aparece en los enunciados que están antes en la rama).
(b) Por el contrario en (∀V) y (∃F) ai es cualquiera de las constantes de individuo a1, ...,
an ,que aparezcan en enunciados anteriores de la rama en la que está el enunciado al
cual se le aplica la regla o, en el caso de que ningún enunciado de la rama contenga constantes, una nueva constante de individuo.
(∧V) V(A∧B) (∧F) F(A∧B) │ ┌──┴──┐
VA FA FB VB
(→V) V(A→B) (→ F) F(A→B) ┌──┴──┐ │
FA VB VA FB
(↔V) V(A↔B) (↔F) F(A↔B) ┌──┴──┐ ┌──┴──┐
VA FA VA FA VB FB FB VB
(¬V) V(¬A) (¬F) F(¬A) | | FA VA
Restricción: En (∀F) y (∃V) c debe ser una constante de individuo nueva en la rama. Por el contrario en (∀V) y (∃F) ai es cualquiera de las constantes de individuo a1, ..., an
,que aparezcan en enunciados anteriores de la rama en la que está el enunciado al cual se le aplica la regla o, en el caso de que ningún enunciado de la rama contenga constantes, una nueva constante de individuo.
Nota: El resultado de aplicar una regla a una fórmula etiquetada debe escribirse en todas las ramas abiertas que aparezcan debajo de ésta.
3.3.1. Regla de cierre de ramas.
Recuérdese que si en una misma rama aparecen VA y FA, entonces se dirá que la rama está cerrada, lo que se indica marcando con una x al extremo de la rama. Esquemáticamente
: VA
: FA
x
Los dos puntos indican un número finito de nodos. El cierre de una rama significa (en el plano preformal) que se ha hallado una inconsistencia (aceptando el supuesto de que un enunciado no puede ser verdadero y falso).
El enunciado A debe ser atómico, ya que el sistema exige que se apliquen todas las reglas correspondientes a los signos lógicos que aparecen en enunciados. Es decir, tiene sentido aplicar la regla de cierre de rama únicamente en el caso en que los
enunciados sean atómicos. Por lo demás, imagínese un caso de razonamiento como, por ejemplo
que es trivialmente válido. No diríamos que con sólo etiquetarlos y cerrar la rama hemos aplicado el método. Sobre todo visto como un método mecánico o automático de demostración.
3.4. Observaciones.
3.4.1. Como puede verse, para cada signo lógico hay reglas de dos tipos: reglas de verdad (las de la izquierda) y reglas de falsedad (las de la derecha). La relación con las “reglas de verdad” (o condiciones de verdad para las constantes lógicas) de la sección 2 salta a la vista. Las reglas siempre descomponen o “analizan” las fórmulas en
subfórmulas (se puede decir que “eliminan” el signo lógico al que se aplican). Es por ello que a los árboles construidos de acuerdo con estas reglas se los llama “analíticos”.
3.4.2. Estas reglas sirven tanto para determinar la validez (o, en determinados casos, la invalidez) de un razonamiento formulado en el lenguaje LPO como para determinar si un enunciado de LPO es una ley lógica (o, en determinados casos, si no lo es), y finalmente para determinar también si un conjunto de enunciados es o no consistente..
3.4.3. Así como las reglas se basan directamente en las condiciones de verdad para los signos lógicos, el método se basa también en la definición de razonamiento válido basada en el concepto de verdad: un razonamiento es válido si su forma
correspondiente carece de contraejemplo, es decir, un ejemplo con premisas verdaderas y conclusión falsa. Esta es la base para considerar al sistema correcto. Más
precisamente, se basará en ver si, en el caso de un razonamiento, la verdad de las premisas es consistente con la falsedad de la conclusión. Si no lo es, esto significa que la conclusión se sigue lógicamente de las premisas. En este sentido, puede decirse que el sistema de árboles es una transposición de conceptos semánticos a un método de
derivación. Así, puede decirse también que el método procede por refutación o por búsqueda de un contraejemplo y puede considerarse como una variante del método por el absurdo. Dicho de manera sucinta, dado un razonamiento, se supone a la vez la verdad de sus premisas y la falsedad de la conclusión. Luego se aplican las reglas a todo enunciado que contenga signos lógicos, obteniéndose un “árbol” de derivación. Si en toda rama construida aparece una fórmula atómica VA y FA, entonces el razonamiento es válido. Análogamente se hará respecto de un único enunciado.
3.4.4. Sobre las líneas que unen nodos: Las líneas que van indicando ramas y
bifurcaciones no representan la relación de deducción. Más bien, representa lo mínimo que se puede afirmar consistentemente a partir de los enunciados que están arriba de la línea. Cuando aparece la x es que ya nada puede afirmarse con consistencia a partir de los enunciados enlazados en la rama. Otra forma de interpretar las bifurcaciones indicadas por las líneas es como la conversa de la relación de deducción. Es decir, si la premisa es falsa, entonces una cualquiera de sus conclusiones es falsa. Dicho de otro modo, si cualquiera de las conclusiones de una regla de árboles es verdadera, entonces la premisa será verdadera. Esto está ligado al carácter refutatorio del método. Más adelante se volverá sobre este tema.
de los árboles de T. Esto ya se hace evidente desde el momento en que se aplican e enunciados etiquetados y que, en el caso de las reglas que bifurcan, tienen más de una conclusión. Ciertamente, tienen un significado lógico, pero lo que se sigue de ellas no es por deducciones, sino que se las puede considerar “reglas mínimas para la conservación de consistencia
4. Arboles analíticos y validez
Un razonamiento formulado mediante fórmulas del LPO será considerado válido si, y sólo si, el árbol formado a partir de sus premisas etiquetadas con V y su conclusión etiquetada con F es un árbol cerrado. Asimismo, un enunciado A será considerado un caso de ley lógica si, y sólo si, el árbol formado a partir del enunciado etiquetado como FA es cerrado.
4.1. Ejemplos
E1. Tómese el razonamiento
∀xQx / ∀x (Px → Qx)
visto en el parágrafo 2.1 y compárese el árbol resultante con la argumentación ofrecida allí.
1. V∀xQx 2. √F∀x (Px → Qx)
3. √F(Pc→Qc) 4. VPc 5. FQc 6. VQc
x
La única rama de este árbol está cerrada. El razonamiento es válido. En el árbol el enunciado 3. se obtiene de 2 (por (∀F)), 4. y 5. se obtienen de 3 (por (→F)) y 6. se obtiene de 1 (por (∀V)). La tilde √ indica que los enunciados a su derecha han sido objeto de la aplicación de una regla, de modo que no pueden volver a ser utilizados. Aquí se advierte claramente por qué estos árboles son llamados “analíticos”: las reglas llevan a descomponer las fórmulas en subfórmulas de menor complejidad a lo largo de la construcción del árbol, de modo que “analizan” el enunciado hasta llegar a sus componentes básicos e irreductibles.
E2. Determínese la validez del siguiente razonamiento:
V∀x(Px → Qx) √VPa∧Pb √F(Qa∧Qb)
VPa VPb √V(Pa→Qa) √V(Pb →Qb)
/ \ FQa FQb
/ \ / \ FPa VQa FPa VQa
x x x / \ FPb VQb
x x
El razonamiento es válido.
E3. Determinese que la siguiente forma de enunciado es un caso de ley lógica: (A →∃yB[y]) → ∃y(A → B[y])
√F((A →∃yB[y]) → ∃y(A → B[y])) √ VA →∃yB[y]
F∃y(A → B[y]) / \
FA √V∃yB[y] √F(A → B[a]) √F(A → B[a])
VA VA FB[a] FB[a] x VB[b] √ F(A → B[b])
VA FB[b] x
La forma de enunciado es una ley lógica.
E4. Determínese si el siguiente razonamiento es válido o no: ∀x(Px ∨ Qx) / ∀x(Px → Qx)
V∀x(Px ∨ Qx) √F∀x(Px → Qx)
√F(Pa → Qa) VPa FQa √ VPa ∨ Qa
/ \ VPa VQa x
5. La aplicación de las reglas en la práctica
El sistema de árboles está concebido como un sistema mecánico de deducción. Esto significa que si el razonamiento es válido (o el enunciado es ley lógica), entonces el árbol quedará cerrado, sin importar el orden en que se apliquen las reglas, siempre que estas estén correctamente aplicadas. A lo sumo puede variar la longitud y la cantidad de las ramas, con lo que puede haber diferentes árboles cerrados para un mismo razonamiento válido.
En los ejemplos dados se han seguido ciertas estrategias generales que permiten abreviar o simplificar los árboles. Así, en el caso de reglas para conectivas siempre conviene emplear las reglas que no bifurcan primero (de modo de ahorrar en la
complejidad de las ramas). Véase el ejemplo E2 y comiéncese aplicando reglas al tercer enunciado (negación de la conclusión). En el caso de las reglas de cuantificadores, las reglas (∀F) y (∃V) (reglas con “significado existencial”) también se aplican antes que las otras dos (de modo de asegurar que la constante sea nueva y evitar la introducción de constantes superfluas). Así sucede en los ejemplos E2, E3 y E4. La tilde √ indica que se ha aplicado una regla a la fórmula que está a su derecha y por ello no puede volver a ser usada. Las aplicaciones de las reglas (∀V) y (∃F) nunca son tildadas, pues las fórmulas respectivas vuelven a ser usadas cuantas veces sea necesario (esto se ve claro en el tercer ejemplo), y en general deben volver a ser usadas siempre que aparezcan nuevas constantes de individuo y la rama no está cerrada (es decir, es obligatorio hacerlo).
En los tres primeros ejemplos el árbol queda cerrado. En el último el árbol queda abierto, de modo que el razonamiento no es válido. Esto lleva a interpretar que el método de los árboles también parece servir para determinar que un razonamiento es inválido (más adelante se verá que esto no vale para todos los casos).
En síntesis, debe tenerse en cuenta las siguientes reglas prácticas para la aplicación de las reglas de árboles.
RP1. Aplíquese primero, siempre que sea posible, las reglas de cuantificación a los enunciados con significado existencial (los que comienzan con un cuantificador existencial o un universal negado).
RP2. Aplíquese en primer lugar, si ello es posible, la regla (¬F).
RP3. En el caso en que se aplique reglas de cuantificación a enunciados con significado universal (los que comienzan con un cuantificador universal o un existencial negado), debe aplicarse la regla respecto de todas las constantes de individuo que aparecen en la rama donde está el enunciado.
RP4. En el caso de las reglas de conectivas, aplíquese las reglas que no introducen bifurcaciones antes que las reglas que sí lo hacen, siempre que ello sea posible.
6. Definición de derivabilidad en el sistema T
El sistema T es un sistema formal en un sentido muy específico de la expresión. El sistema proporciona un método efectivo para demostrar la validez de un
derivaciones en T. Puede hablarse también de la derivabilidad de un enunciado a partir de otro u otros (como una formalización de la idea de validez), definiéndose el concepto de teorema como un caso límite de la derivabilidad (un enunciado que es derivable, pero sin premisas).
(6.1) Un enunciado C de LPO es derivable en T a partir de enunciados A1, ..., An del
LPO, si el árbol formado a partir de VA1, ..., VAn y FC es un árbol cerrado.
(6.2) Un enunciado C de LPO es teorema en T, si el árbol formado a partir de FC es un árbol cerrado.
6.2. Derivaciones como árboles
Por extensión, se llamará derivación a los árboles que se emplean para demostrar derivabilidad de un enunciado a partir de otros o para demostrar que es teorema. Así, una derivación constará de una estructura finita con forma de árbol cuyos nodos son enunciados de LPO etiquetados. En esta estructura todos las ramas están cerradas y el árbol tiene como punto de partida (el “tronco”) un único enunciado con la etiqueta F y, llegado el caso uno o más enunciados etiquetados con V, y los restantes nodos resultan de aplicación de las reglas de T.
6.2.1. Decidibilidad del concepto de derivación.
Frente a un árbol, puede determinarse de manera efectiva, por sí o por no, si el árbol constituye una derivación o no de T. Para ello primero debe chequearse si cada nodo del árbol es un enunciado de LPO etiquetado, y luego cada nodo debe cumplir con alguna de las dos siguientes condiciones:
(a) es un enunciado de LPO etiquetado del punto de partida del árbol, (b) el nodo resulta de la aplicación de las reglas de T.
Finalmente, debe chequearse que se cumplen las dos siguientes condiciones: (c) en el punto de partida hay exactamente un enunciado de LPO etiquetado con F, (d) todas las ramas del árbol están cerradas.
Esto hace que se pueda construir un método de decisión para determinar si se está frente a una derivación de T o no. Así, el concepto de derivación de T resulta un concepto computable.
6.3. El procedimiento efectivo de derivación en el sistema T.
Los procedimientos mediante se construyen árboles en el sistema T pueden especificarse en su totalidad, dando una idea de cómo puede automatizarse el sistema. Los procedimientos, básicamente recursivos, pueden describirse mediante las siguientes fases en la construcción de árboles.
Dado un razonamiento cuya validez debe demostrarse, se lleva a cabo la siguiente secuencia de pasos.
(2) Aplíquese, si ello es posible, las reglas de árboles a las fórmulas etiquetadas obtenidas tomando en cuenta las restricciones y las observaciones hechas al presentar las reglas en la sección 3, y siguiendo las reglas prácticas dadas en la sección 4.
(3) Luego de cada aplicación de una regla, se chequea en las ramas resultantes si contienen un mismo enunciado A etiquetado con V y F, es decir VA y FA.
En caso afirmativo, las ramas quedan cerradas, de modo que no se pueden aplicar más reglas a esa rama.
(4) En caso de que queden ramas abiertas, véase si es posible aplicar reglas del sistema respecto de esas ramas. En particular, si queda alguna fórmula no atómica sin marcar en alguna rama abierta, entonces pueden darse los siguientes casos:
(a) Si es una fórmula molecular o con significado existencial (comienza con un cuantificador existencial o la negación de un universal), entonces aplíquese la regla correspondiente volviendo al paso (2).
(b) Si es una fórmula universal (que comienza con un cuantificador universal o con la negación de un existencial), entonces obsérvese si hay en la rama alguna constante de individuo respecto de la cual pueda aplicarse la regla respectiva. En caso afirmativo vuelva al paso (2), aplicando reglas en el caso en que sea posible.
(5) Si, finalmente, quedan todas las ramas cerradas, entonces se obtiene un árbol
cerrado y se puede afirmar que la conclusión es derivable en T a partir de las premisas.
(6) En caso contrario (es decir, las únicas fórmulas sin marcar son fórmulas con
significado universal y no quedan constantes de individuo respecto de los cuales puedan aplicarse las reglas), se está frente a un árbol terminado y abierto, de modo que la conclusión no es derivable a partir de las premisas.
7.1. Corrección del sistema T. Se puede conjeturar (sin tener todavía una demostración rigurosa) lo siguiente:
(7.1.1.) Si la conclusión de un razonamiento cualquiera es derivable en T a partir de las premisas, entonces el razonamiento es válido.
(7.1.2.) Si un enunciado es un teorema de T, entonces es un caso de ley lógica.
(7.2.) Completitud del sistema T. Si bien, todavía no se dispone de una demostración rigurosa, puede suponerse, al modo de una hipótesis o conjetura las siguientes
afirmaciones:
(7.2.1) Si un razonamiento es válido, entonces el procedimiento de derivación recién descripto, da lugar a un árbol cerrado, es decir, su conclusión es derivable en T a partir de las premisas.
(7.2.2) Si un enunciado es un caso de ley lógica, entonces el procedimiento de
derivación recién descripto, da lugar a un árbol cerrado, es decir, se trata de un teorema de T.
De este modo, en el caso de que esta última conjetura quede demostrada, el sistema T consigue capturar todos los razonamientos válidos; no existe un razonamiento válido cuya validez T no sea capaz de determinar (no se le escapa ningún razonamiento válido). Esta propiedad recibe el nombre de completitud. Además, vale la pena subrayar que esto es posible mediante un procedimiento efectivo, esto es, computable. Así, esto abre la puerta para automatizar la determinación de validez.
8. La consistencia en los árboles analíticos
La idea de consistencia es esencial para los árboles analíticos, puesto que en realidad constituyen un test de consistencia. En efecto, lo que el método muestra en el caso de un razonamiento válido es que suponer la falsedad de la conclusión es
inconsistente con la afirmación de la verdad de las premisas, y esto se evidencia en el hecho de que todas las ramas del árbol construido están cerradas. Por lo tanto, si hay al menos una rama abierta el conjunto de partida para construir el árbol es consistente (la falsedad de la conclusión es consistente con la verdad de las premisas, de modo que el razonamiento originario es inválido).
Este hecho sugiere la siguiente definición de consistencia mediante el sistema T:
(7.1.) Un conjunto de enunciados es consistente si y sólo si el árbol construido a partir de sus miembros, etiquetados todos con V, mediante las reglas del sistema T tiene al menos una rama abierta.
√V(Qa ∧ Sa) √V(Pa → (Qa ∧ Sa))
√V(¬∀x(¬Px)) VQa VSa √F∀x(¬Px)
√F(¬Pb) VPb / \
FPa √V(Qa∧Sa) VQa VSa ,
el cual, al tener al menos una rama abierta, muestra que el conjunto es consistente.
9. Arboles infinitos
Supóngase que se quiere determinar si el enunciado ∃x∀yRxy es derivable en T. o no a partir de Raa. El árbol correspondiente tendría el siguiente aspecto
VRaa F∃x ∀y Rxy
√ F∀y Ray F Rab √ F∀y Rby
F Rbc √ F∀y Rcy
F Rcd √ F∀y Rdy
FRde :
Los dos puntos de la última línea indican que el procedimiento continúa
indefinidamente, pues siempre que se genera una nueva constante se le debe aplicar las reglas (∀V) y (∃F) a fórmulas universales etiquetadas con V o a cuantificaciones existenciales etiquetadas con F. Para decirlo en términos de la descripción del procedimiento de derivación: siempre se llega a una situación que obliga a volver al paso (2), al modo de un loop. En ese caso se dice que el árbol es infinito. Por supuesto, también pueden generarse árboles infinitos al examinar la consistencia de un conjunto de enunciados.
9.1 El halting problem. Desde el punto de vista computacional, esto es lo que se denomina problema de la parada (halting problem): en tanto procedimiento mecánico, los enunciados indecidibles hacen que el procedimiento nunca se detenga. Viendo el diagrama de flujo, se advierte que se vuelve una y otra vez a la fase 2.
9.2. La indecidibilidad de la lógica de predicados de primer orden.
Raa / ∃x ∀y Rxy es válido o no. Por esta razón, los árboles lógicos no constituyen un método de decisión para la lógica de predicados de primer orden en su totalidad. Un método de decisión es un método que permita decidir en un número finito de pasos si un enunciado de LPO es derivable o no en T a partir de otros, si un enunciado es teorema de T o no, o si un conjunto de enunciados es consistente o no.
Aquí aparecen ciertas limitaciones de los árboles analíticos; no permite, por ejemplo, hacer una clara bipartición entre teoremas en T y aquellos que enunciados refutables (es decir, aquellos cuyo árbol es cerrado). Pues aparecen casos en los que no se puede dar una respuesta: el método nos lleva a seguir indefinidamente la
