LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
INTEGRAL DEFINIDA
Concepto de integral definida:
Sea
una
función
continua
definida
en
[a,
b].
Supongamos
que
dividimos
este
intervalo
en
n
subintervalos
:
[a,x
1]
,
[x
1,x
2]
,
[x
2,x
3]
...,
[x
n‐2,x
n‐1]
,
[x
n‐1,b],
podríamos
calcular
la
suma
de
todas
las
áreas
de
los
rectángulos
superiores
e
inferiores
y
obtendríamos
:
S
sup(f)
=
M
1(x
1‐x
0)+
M
2(x
2‐x
1)+
M
3(x
3‐x
2)+...
M
n(x
n‐x
n‐1)
siendo
M
1,
M
2,
etc.
los
máximos
de
f
en
cada
uno
de
los
intervalos
.
S
inf(f)
=
m
1(x
1‐x
0)+
m
2(x
2‐x
1)+
m
3(x
3‐x
2)+...
m
n(x
n‐x
n‐1)
siendo
m
1,
m
2,
etc.
los
mínimos
de
f
en
cada
uno
de
los
intervalos
.
Lógicamente
S
inf<
Área
de
f(x)
<
S
sup
Cuando
n
tiende
a
infinito
es
decir,
cuando
aumenta
el
número
de
subintervalos
entonces:
→∞ inf
=
→∞ sup=
( )
=
∫
( )
=
gra
b
n n
a
Lim S
Lim S
Área de f x
f x dx
Inte
l definida
Si
la
función
está
por
debajo
del
eje
x
la
amplitud
de
los
intervalos
sigue
siendo
positiva,
pero
las
Mi
y
las
mi
son
negativas,
por
lo
que
la
suma
dará
una
cantidad
negativa
y
por
tanto
el
área
será
negativa.
En
este
caso
se
debe
tomar
el
valor
absoluto.
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
446
Propiedades de la integral definida: (interpretación geométrica muy sencilla)
1ª
∫
( )
=
∫
( )
+
∫
( )
b c b a a cf x dx
f x dx
f x dx
2ª
∫
( )
=
0
a af x dx
3ª
∫
( )
= −
∫
( )
b a a bf x dx
f x dx
Teorema fundamental del cálculo integral: (relación
entre
integral
definida
e
indefinida)
Definimos
la
siguiente
función:
( )
=
∫
( )
x a
s x
f x dx
y
por
lo
tanto
+Δ
+ Δ =
∫
(
)
( )
x x as x
x
f x dx
ΔS
=
S(x+Δx)
‐
S(x)=
+Δ
∫
( )
x x af x dx
‐
∫
( )
x af x dx
+Δ=
∫
( )
=
( )
Δ
x x xf x dx
f c x
Δ
=
Δ
( )
S
f c
x
⇒
Δ → Δ →
Δ
=
Δ
0 0lim
lim ( )
x xs
f c
x
⇒
S'(x)=f(x)
pues
c
tiende
a
x
cuando
incremento
de
x
tiende
a
cero.
Por
lo
tanto
S(x)
es
una
primitiva
de
f(x).
Regla de Barrow:
Sea
S(x)
y
F(x)
dos
primitivas
de
f(x)
que
se
diferencian
lógicamente
en
una
constante.
( )
( )
( )
x a
s x
=
∫
f x dx F x
=
+
k
LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
( )
( )
( )
( )
( )
x a
s x
=
∫
f x dx F x
=
+ =
k F x
−
F a
Si
calculamos
toda
el
área
encerrada
en
el
intervalo
[a,
b]:
( )
( )
( )
ba
f x dx F b
=
−
F a
∫
Nota:
Si
f
es
continua
en
,
y
F
es
cualquier
antiderivada
de
f,
entonces
(
]
( )
( )
( )
( )
b b a af x dx
=
F x
=
F b
−
F a
∫
Aplicaciones de la integral definida
Cálculos de áreas:
a)
Área
entre
una
curva
y
=
f x
( )
y
el
eje
X
Si
para
calcular
el
área
entre
una
curva
y
=
f
( )
x
,
el
eje
X
,
nos
limitamos
a
obtener
el
valor
de
la
integral
∫
( )
b a
dx
x
f
,
donde
las
límites
de
integración
son
los
cortes
que
tiene
la
curva
con
el
eje,
nos
exponemos
a
equivocarnos,
pues
la
integral
compensa
áreas
positivas
y
negativas
y
su
valor
no
coincide
con
lo
que
usualmente
llamamos
área
.
Si
una
curva
cruza
el
eje
x
tendrá
una
parte
positiva
y
otra
negativa.
Si
queremos
calcular
el
área
total
debemos
de
calcular
los
puntos
de
corte
con
el
eje
X,
y
calcular
el
área
de
la
parte
de
arriba
y
la
de
abajo.
El
área
total
será
la
suma
de
todas
las
áreas
en
valor
absoluto.
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
448
Es conveniente seguir estos pasos:
1.
Resuelve
la
ecuación
f
( )
x
=
0
para
averiguar
los
puntos
de
la
curva
con
el
eje
X
.
2.
Selecciona
las
raíces
que
estén
entre
a
y
b
y
ordénalas
de
menor
a
mayor.
Por
ejemplo:
1 2 3
a
< <
x
x
<
x
<
b
3.
Se
calcula
el
valor
absoluto
de
la
integral
definida
en
cada
tramo
que
queda
a
un
mismo
lado
del
X
y
se
suman
los
resultados,
es
decir:
( )
( )
( )
( )
1 2 3 1 2 3 x x x b a x x xS
=
∫
f x dx
+
∫
f x dx
+
∫
f x dx
+
∫
f x dx
b)
Área
entre
una
curva
y
=
f x
( )
,
el
eje
X
y
limitada
por
dos
abscisas.
Para
calcular
el
área
entre
una
curva
y
=
f
( )
x
,
el
eje
X
y
dos
abscisas,
a
y
b
,
se
obtiene
el
valor
de
la
integral
∫
( )
b a
dx
x
f
,
,
donde
los
límites
de
integración
están
representados
por
las
abscisas
dadas.
Que
a
su
vez
limitan
el
área
buscada.
Nota:
Se
debe
tomar
en
cuenta
las
observaciones
anteriores
para
los
cálculos
de
áreas.
c)
Área
de
una
región
entre
dos
curvas
f x g x
( )
, ( )
Si
f
y
g
son
continuas
en
[a,
b]
y
g(x)
≤
f(x)
para
todo
x
en
[a,
b]
entonces
el
área
de
la
región
encerrada
por
las
gráficas
de
f
y
g
es
b
[
( )
( )]
a
LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
Donde
los
limites
de
integración
son
los
valores
de
las
abscisas
en
los
puntos
de
corte
entre
las
curvas
dadas.
Los pasos a seguir son los siguientes:
1)
Se
calculan
los
puntos
de
corte
de
ambas
curvas
resolviendo
la
ecuación
f
(x)
=
g
(x)
2)
Ordenamos
las
abscisas
de
los
puntos
de
corte
de
menor
a
mayor.
Por
ejemplo:
1 2 3
x
<
x
<
x
3)
Se
grafican
las
funciones
(se
recomienda
que
utilice
los
criterios
de
las
derivadas)
Nota:
Para
el
intervalo
formado
por
[ ,
x x
1 2]
se
cumple
que
f x
( )
≥
g x
( )
para
toda
x,
entonces
al
área
de
la
región
limitada
arriba
por
ƒ
(x)
y
abajo
por
g
(x
),
es
( )
2 1[
( )]
x xf x
−
g x dx
∫
Para
el
intervalo
formado
por
[ ,
x x
2 3]
se
cumple
que
f x
( )
≤
g x
( )
para
toda
x,
entonces
al
área
de
la
región
limitada
arriba
por
g
(x)
y
abajo
por
f(x),
es
( )
3 2[
( )]
x xg x
−
f x dx
∫
3)
Se
calcula
el
valor
absoluto
de
la
integral
definida
de
la
función
diferente
en
cada
uno
de
los
tramos
obtenidos
y
se
suma
los
resultados.
Para
este
caso:
(
)
3(
)
2 1 2( )
( )
( )
( )
x x x xA
=
∫
f x
−
g x
dx
+
∫
g x
−
f x
dx
d)
Área
de
una
región
entre
dos
curvas
f x g x
( )
, ( )
y
limitada
por
rectas
verticales
Si
f
y
g
son
continuas
en
[a,
b]
y
g(x)
≤
f(x)
para
todo
x
en
[a,
b]
entonces
el
área
de
la
región
limitada
por
las
gráficas
de
f
y
g
y
las
rectas
verticales
x
=
a
y
x
=
b
es:
[
]
( )
( )
( )
( )
b b b a a aA
=
∫
f x dx
−
∫
g x dx
=
∫
f x
−
g x dx
b a
A
=
∫
Defini
Si
ƒ
y
g
la
reg
derech
b aA
=
∫
RESUM
1)
Sea
determ
abscis
Cuand
gráfica
x
=
a
a)
D
( )
f x
=
a)
Se
Nota:
análisi
( )
[
(
b af x
−
g x
ción
g
son
funcio
gión
limitada
ha
por
la
rec
( )
[
(
b af x
−
g x
MEN
DE
CAS
a
y
=
f x
( )
>
minar.
Nos
as
y
las
recta
do
el
valor
d
a
de
f
se
en
y x
=
b
se
d
Determine
2
6
1
x
x
=
−
+
analiza
la
fu
utilizaré
sof
is
están
pub
ESP)]
x dx
nes
continu
a
arriba
por
cta
x
=
b
es:
)]
x dx
SOS
PARA
CÁ
0
en
todo
e
interesa
el
as
verticales
de
una
func
ncuentra
por
determina
re
el
área
0;
x
=
1;
x
=
5
nción
según
ftware
mate
licados
en
la
ECIALIDADE LIC. MSCas
y
si
ƒ
(
x
)
ƒ
(
x
),
abajo
ÁLCULO
DE
Á
el
intervalo
área
deter
s
x
=
a y x
=
ión
continua
r
encima
de
esolviendo
A
determina
5
y,
el
eje
de
n
criterios
de
emáticos
par
a
PARTE
II
de
ES: MECÁNIC C. DÁMASO RO)
≥
g
(
x
)
par
o
por
g
(
x
),
ÁREAS.
correspondi
rminada
ent
b
=
a
es
positivo
el
eje
x),
el
á
( )
b aA
=
∫
f x dx
ada
entre
e
abscisas.
e
las
derivad
ra
facilitar
lo
e
la
unidad
I
CA - QUÍMICA OJASra
toda
x
de
a
la
izquierd
iente
al
reci
tre
la
curva
o
en
el
inte
área
que
est
dx
la
curva
as.
os
cálculos,
l
.
A
[a,
b],
enton
da
por
la
rec
nto
que
enc
a
menciona
ervalo
[ , ]
a b
tá
acotada
p
a,
las
re
os
procedim
4
nces
al
área
cta
x
=
a
y
a
cierra
el
área
da,
el
eje
(o
sea
que
por
f,
el
eje
ectas
dada
mientos
de
l
450
de
la
a
a
de
la
x,
as,
los
Nota:
Interv
b)
se
g
c)
Se
c
5 1A
=
∫
b)
Det
( )
f x
=
a)
pun
la
expresión
valos
F(x)
1
grafican
las
f
calcula
el
ár
5 2(
x
−
6
x
+
1
termine
el
ár
26
x
x
;
x
=
−
=
ntos
de
corte
n
#3
es
la
de
F´(x)
R
‐
+
funciones
y
l
ea
correspo
30)
3
x
dx
=
−
rea
determin
1;
x
5
=
=
y
e
e
de
una
cur
LIC. MSCrivada
y
la
#
Resumen
Decrece
Mínimo
Crece
las
rectas
da
ndiente
reso
5 2 13
x
10
x
−
+
nada
entre
l
el
eje
de
abs
va
con
el
eje
C. DÁMASO RO#5
adas.
olviendo
la
i
228
3
u
=
a
curva,
las
cisas.
e
X:
OJAS
ntegral
rectas
dadas
s
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
452
Los
puntos
de
corte
son:
0,0 ; 6,0
b)
Se
analiza
la
función
según
criterios
de
las
derivadas.
Nota: la
expresión
#5
es
la
derivada
y
la
#7
3 . .
Intervalos
F(x)
F´(x)
Resumen
∞,
+
Crece
9
Máximo
, ∞
‐
decrece
c)
se
grafican
las
funciones
y
las
rectas
dadas.
d)
Se
calcula
el
área
correspondiente
resolviendo
la
integral
5 3 5 2 2 2 1 1
92
(6
)
3
3
3
x
A
=
∫
x
−
x dx
=
x
−
=
u
2)
Cua
gráfica
x
=
a
c)
D
( )
f x
=
a)
pun
Los
pu
b)
Se
Nota:
Interv
ando
el
valor
a
de
f
se
en
y x
=
b
se
d
Determine
2
6
1;
x
x
=
−
−
ntos
de
corte
untos
de
cort
analiza
la
fu
la
expresión
valos
F(x)
‐
10
r
de
una
fun
ncuentra
por
determina
re
el
área
;
x
=
1;
x
=
5
e
de
una
cur
te
son:
nción
según
n
#6
es
la
de
F´(x)
R
‐
+
LIC. MSC
ción
continu
r
debajo
de
esolviendo
A
encerrad
y
el
eje
x.
va
con
el
eje
n
criterios
de
rivada
y
la
#
Resumen
Decrece
Mínimo
Crece
C. DÁMASO RO
ua
f
es
negat
l
eje
x),
el
á
(
b aA
= −
∫
f x
a
entre
e
X:
e
las
derivad
#8
OJAS
tivo
en
el
int
área
que
est
)
dx
.
la
curva
as.
tervalo
[ ,
a b
tá
acotada
p
a,
las
re
]
(o
sea
que
por
f,
el
eje
ectas
dad
e
la
x,
das
c)
se
g
d)
Se
A
= −
∫
3)
El
orden
las
cur
Para
v
región
grafican
las
f
calcula
el
ár
5 2 1(
x
−
6
x
−
∫
área
a
calc
ada
positiva
rvas.
visualizar
el
c
n
de
la
cual
q
ESPunciones
y
l
rea
correspo
31)
3
x
dx
= −
cular
está
c
as
en
el
inte
cálculo,
se
h
queremos
ca
ECIALIDADE LIC. MSCas
rectas
da
ondiente
reso
5 3 2 13
x
x
−
−
comprendida
rvalo
de
ext
ace
las
gráfi
alcular
el
áre
ES: MECÁNIC C. DÁMASO ROdas.
olviendo
la
i
2104
3
u
=
a
entre
la
tremos
a
y
b
cas
de
cada
ea:
CA - QUÍMICA OJAS
ntegral
gráfica
de
b
determinad
una
de
las
f
A( )
(
f x y g x
dos
por
la
in
funciones
qu
4
)
x
,
ambas
ntersección
ue
delimitan
454
de
de
n
la
LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
1
[
( )
]
b aA
=
∫
f x dx
2
[
( )
]
b aA
=
∫
g x dx
( )
( )
1 2[
]
[ ( )]
[
( )]
b b b a a aA
=
A
−
A
=
∫
f x dx
−
∫
g x dx
⇒ =
A
∫
f x
−
g x dx
Nota:
Conocidos
los
puntos
de
intersección
entre
las
dos
curvas
el
área
de
la
región
que
las
curvas
delimitan
es
la
diferencia
entre
la
función
que
actúa
como
"techo"
o
"función
superior"
de
la
región
y
la
función
que
hace
de
"piso"
o
"función
inferior"
del
área
buscada.
Si
a
y
b
son
las
abscisas
de
los
puntos
de
intersección
de
las
curvas
resulta
el
área
total:
[
(
)
(
)]
b a
A
=
∫
función arriba
−
función abajo dx
d)
Determine
el
área
encerrada
entre
las
curvas
2 2( )
6
10;
( )
6
f x
=
x
−
x
+
g x
=
x
−
x
a)
puntos
de
intercepción
entre
las
curvas.
Se
iguala
las
funciones.
2 2
( )
( )
6
10
6
1;
5
f x
=
g x
⇒
x
−
x
+
=
x
−
x
⇒ =
x
x
=
Estos
representan
los
límites
de
integración.
b)
Se
analizan
cada
una
de
las
curvas,
según
criterios
de
las
derivadas.
Intervalos
F(x)
F´(x)
Resumen
∞,
‐
Decrece
1
Mínimo
, ∞
+
Crece
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
456
Intervalos
g(x)
g´(x)
Resumen
∞,
+
Crece
9
Mínimo
, ∞
‐
Decrece
c)
se
grafican
las
funciones.
d)
Se
calcula
el
área
correspondiente
resolviendo
la
integral.
5 5 2 2 1 1 5 3 5 2 2 1 1
[ ( )
( )]
(6
) (
6
10)
2
64
2
12
10)
6
10
. . .
3
3
A
g x
f x dx
x
x
x
x
dx
x
A
x
x
dx
A
x
x
T F C
A
⎡
⎤
=
−
⇒
⎣
−
−
−
+
⎦
⎤
−
⎡
⎤
=
⎣
−
+
−
⎦
⇒ =
+
−
⎥
⇒
⇒ =
⎦
∫
∫
∫
4)
El
área
a
calcular
está
comprendida
entre
f x y g x
( )
( )
en
intervalos
de
extremos
determinados
por
la
intersección
de
las
curvas.
Se
determina
los
puntos
de
intersección
de
las
dos
funciones
f
y
g.
Esos
puntos
son
a,
b,
c
y
nos
determinan
una
subdivisión
del
intervalo
total
en
dos
subintervalos
[ , ]
a b
y
[ , ]
b c
.
LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
Si
obtenemos
la
integral
definida
sobre
todo
el
intervalo
de
la
diferencia
de
las
funciones
f
y
g
resulta:
( )
( )
( )
[
( )]
[
( )]
[
( )]
c b c a a bI
=
∫
f x
−
g x dx
=
∫
f x
−
g x dx
+
∫
f x
−
g x dx
,
I
es
una
integral
definida,
pero
no
representa
un
área
pues
si,
b[
( )
( )]
0
a
f x
−
g x dx
>
∫
,
y
( )
[
( )]
0
c bf x
−
g x dx
<
∫
,
obtendremos
el
área
si
hacemos
:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
( )]
[
( )]
[
( )]
[
( )]
[
( )]
[
( )]
=
−
=
−
−
−
⇒
=
−
=
−
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
c b c a a b c b c a a bA
f x
g x dx
f x
g x dx
f x
g x dx
A
f x
g x dx
f x
g x dx
g x
f x dx
e)
Determine
el
área
encerrada
entre
las
curva
3 2( )
2 ;
f x
=
x
+
x
−
x
3 2
( )
2
g x
= − +
x
x
−
x
.
a)
puntos
de
intercepción
entre
las
curvas.
Se
iguala
las
funciones.
3 2 3 2 9 1 1 2 8 2 3
1
( )
( )
2
2
;
0;
1
2
:
( , );
(1, 0);
(0,1)
f x
g x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
puntos de cortes p
=p
p
−
=
⇒
+
−
= − +
− ⇒ =
=
=
Los
valores
de
la
variable
x,
representan
los
límites
de
integración.
b)
Se
analizan
cada
una
de
las
curvas,
según
criterios
de
las
derivadas.
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
458
Intervalos
F(x)
F´(x)
F¨(x)
Resumen
∞,
.
+
Crece,
cóncava
hacia
abajo
.
2.112
Máximo
.
,
.
‐
Decrece,
cóncava
hacia
abajo
.
0.740
Punto
de
inflexión
.
, .
‐
Decrece,
cóncava
hacia
arriba
.
‐
0.631
Mínimo
.
, ∞
+
Crece,
cóncava
hacia
arriba
LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
Intervalos
F(x)
F´(x)
F¨(x)
Resumen
∞, .
‐
+
Decrece,
cóncava
hacia
arriba
.
‐
0.148
Mínimo
.
, .
+
+
Crece,
cóncava
hacia
arriba
.
‐
0.074
Punto
de
inflexión
.
,
+
‐
Crece,
cóncava
hacia
abajo
0
Máximo
, ∞
‐
‐
Decrece,
cóncava
hacia
abajo
c)
se
grafican
las
funciones.
d)
Se
calcula
el
área
correspondiente
resolviendo
la
integral.
1 1 2 2 0 0 3 2 3 2 1 1 1 1 1 3 2 3 2 2 0 2 0 2
5
[ ( )
( )]
[(
2 ) (
2
)]
96
1
[( )
( )]
[(
2
) (
2 )]
3
37
.
96
TA
f x
g x dx
A
x
x
x
x
x
x dx
A
A
x
f x dx
A
x
x
x
x
x
x dx
A
A
unidades cuadradas
= ==
−
⇒
=
+
−
− − +
−
⇒
=
=
−
⇒
=
− +
− −
+
−
⇒
=
=
∫
∫
∫
∫
5)
Para
calcular
el
área
de
la
región
limitada
por
las
gráficas
de
f y
( )
∨
g y
( )
y
las
rectas
horizontales
y
=
c
y
y
=
d
se
resuelve
la
integral
=
∫
d[
( )
−
( )
]
c
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
460
teniendo
en
cuenta
que
f y
( )
∨
g y
( )
,
son
continuas
en
[ , ]
c d
y
que
además
( )
≤
( )
f y
g y
;
(esto
quiere
decir
que
se
debe
restar
la
función
que
está
a
la
derecha
menos
la
función
que
esta
a
la
izquierda),
para
todo
y
del
intervalo
de
trabajo.
f)
Determine
el
área
limitada
por
las
curvas:
2
2 ;
4
=
= −
y
x y
x
2 2 2 1 2
:
2 ;
4
(
4)
2
10
16
0
8
2
(8, 4);
(2, 2)
=
= − ⇒ −
=
⇒
−
+
= ⇒ = ∨ =
−
Cortes entre las curvas
y
x y
x
x
x
x
x
x
x
P
P
Análisis
de
la
función:
[
)
22
2
0,
=
⇒ = ±
⇒
∞
y
x
y
x
Dom
Intervalos
y
y´
Y´´
Resumen
0
Mínimo
LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
Intervalos
y
y´
Y´´
Resumen
0
Mínimo
, ∞
‐
+
Decrece,
cóncava
hacia
arriba
Se
puede
determinar
el
área
de
dos
maneras,
integrando
con
respecto
a
y
o
integrando
con
respecto
a
x:
( )
(
)
2 4 2 2 2 8 2 0 2:
(
4)
18
2
:
2
2
2
4
18
−⎡
⎤
=
⎢
+ −
⎥
⇒ =
⎣
⎦
⎡
⎤
=
+
⎣
− +
⎦
⇒ =
∫
∫
∫
Área con respecto a y
y
A
y
dy
A
u
Área con respecto a x
A
xdx
x
x
dx
A
u
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
462
A
continuación
se
resolverá
una
gama
de
ejercicios
de
diferentes
modelos,
algunos
procedimientos
serán
obviados,
los
cuales
pueden
consultar
en
los
archivos
ya
publicados,
además
se
utilizarán
software
para realizar
las
gráficas
de
las respectivas
funciones.
1)
Calcula
el
área
del
recinto
limitado
por
la
curva
21
y
=
x
−
,
el
eje
OX
,
y
2
2
x
= −
y x
=
a)
puntos
de
corte
de
una
curva
con
el
eje
X:
2 2
1 0
1
1;
1.
x
− = ⇒
x
= ⇒ = −
x
x
=
b)
Se
analiza
la
función
según
criterio
de
las
derivadas.
Intervalos
F(x)
F´(x)
Resumen
∞,
‐
Decrece
‐
1
Mínimo
, ∞
+
Crece
c)
se
gráfica
las
funciones
y
las
recta
dada:
d)
Se
calcula
el
área
correspondiente.
LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
