INSTITUTO TECNICO MARIA INMACULADA. Midiendo la altura de un edificio. AREA: Matemáticas ASIGNATURA: Matemática GRADO: 10º

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INSTITUTO TECNICO MARIA INMACULADA

AREA: Matemáticas ASIGNATURA: Matemática GRADO: 10º TEMA: Las funciones trigonométricas y sus aplicaciones I

INDICADORES DE LOGRO: * Identifico las aplicaciones de las funciones trigonométricas. * Reconozco y aplico las funciones trigonométricas. * Analizo los alcances de la trigonometría en la solución de problemas.

INFORMACION TRIGONOMETRIA

La palabra Trigonometría procede de las voces griegas tri-gonon- metron, que significa “medida de tres ángulos”. El objetivo prioritario de esta rama de las Matemáticas es el estudio de las medidas de los ángulos y lados de los triángulos. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos y como se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al agitar una cuerda cogida por los dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos-x, las ondas sonoras, entre otros.

Astronomía

Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol, predicción de eclipses, confección de calendarios, ...

Artillería

¿A qué distancia se encuentra un blanco al que se desea disparar con una catapulta o con un cañón? Cartografía

Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y algunos ángulos. Construcciones

Cómo construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado de la montaña, en el lugar deseado.

Navegación

Construcción de cartas marinas en las que se detalle la ubicación de escollos, arrecifes, ...

Midiendo la altura de un edificio

Para hallar la altura, H, de un edificio se miden la distancia desde el punto de observación a la base del edificio, D, y el ángulo θ (theta) que se muestra en el dibujo. El cociente entre la altura H y la distancia D es igual a la tangente de θ (H/D = tg θ). Para calcular H se multiplica la tangente de θ por la distancia D (H = Dtgθ). El ángulo se puede medir con exactitud utilizando unteodolito (instrumento destinado a ubicar un objeto a cierta distancia mediante la medida de ángulos con respecto al horizonte y con respecto a los puntos cardinales). Pero también se puede hacer uno con un transportador de ángulos, cilindro hueco (podria ser la parte que recubre un lapicero) y una plomada (hecha con algun peso que colgaremos de un hilo). Se sujeta la plomada en el origen del transportador; luego fijamos el cilindro a lo largo de la base del transportador y se apunta con la base de éste hacia el tejado del edificio. El ángulo buscado es 90º menos el formado por el hilo de la plomada.

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Construye un teodolito casero como el que se mencionó anteriormente y prueba a medir ángulos de diversos objetos que observes.

Línea de visión

Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.

Para entrar de lleno en el mundo de la trigonometría es necesario abordar dos temas fundamentales para su completo entendimiento como lo son: LOS ÁNGULOS Y LOS TRIÁNGULOS.

ÁNGULOS

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas, r y s, con un origen común O.

Las semirrectas r y s son los lados de ambos ángulos y O el vértice.

Tracemos una

circunferencia con centro en O y radio arbitrario. Se determinan dos puntos, A y B, sobre r y s, respectivamente.

A partir del punto A se puede llegar al B siguiendo la circunferencia de dos maneras. Fijaremos el siguiente convenio: si el recorrido se hace en forma contraria al seguido por las agujas de un reloj, diremos que el ángulo está orientado positivamente. En caso contrario, diremos que está orientado negativamente.

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Existen varias formas de medir ángulos, que dependen del valor que se le asigne a un ángulo completo o giro. Los más comunes son el sistema sexagesimal y el radián o radianes.

Sistema sexagesimal

Un grado sexagesimal es cada una de las 360 partes iguales en las que se divide una circunferencia, mediante sectores circulares iguales. De esta forma, una circunferencia abarca un ángulo de 360º. El ángulo definido por media circunferencia se llama llano, y medirá 180º. La mitad de un llano se llama recto y mide 90º.

Los ángulos menores que un ángulo recto se llaman agudos y los mayores obtusos.

Dos ángulos son complementarios si suman un recto, y suplementarios cuando suman un llano. Por ejemplo, los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo son complementarios.

De igual forma, un grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas minutos (1º = 60’), y cada minuto, a su vez, se divide en otras 60 partes iguales, que se llaman segundos (1’ = 60’’).

Por último, el tamaño de los ángulos no depende de la longitud de sus lados, sino de su mayor o menor abertura.

Radianes

Un radián equivale al ángulo definido por el arco de una circunferencia, siendo la longitud de ese arco igual al radio.

El número π se define como la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia, por lo tanto el perímetro dividido por π es igual al diámetro (es decir a dos veces el radio). El ángulo de una circunferencia completa tiene sobre su perímetro 2π arcos de esas

características (de longitud igual al radio). Entonces, el ángulo de una circunferencia completa equivale a 2π radianes.

Transformaciones entre grados y radianes y viceversa

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y

resolvemos.

Ejemplo A: Convertir 38o a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

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Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora.

Ejemplo B: Convertir 2.4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados. Despejamos x.

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora.

TRIÁNGULOS

Un triángulo es una figura geométrica que consta de les lados y tres angulos.

En el siguiente cuadro encontraras cómo se clasifican segán lus lados y segán sus ángulos:

En un triángulo rectángulo, los ángulos generalmente se expresan con letras

mayúsculas o letras del alfabeto griego ( alfa, beta); el ángulo recto se expresa con la letra A mayúscula o con la intercepción de dos rectas que unen los lados que forman dicho ángulo, y los ángulos agudos se expresan con las letras B, C, alfa, beta.

El lado opuesto al ángulo recto se llama

hipotenusa (a) y los restantes lados catetos (b, c). Al cateto que esté frente al ángulo agudo que estemos utilizando se llama cateto opuesto y al que forma uno de sus lados cateto adyacente. Los lados se representan con las mismas letras que sus ángulos opuestos, pero en minúsculas.

Es sumamente importante identificar cada uno de los elementos del triangulo ya que ello es imprescindible para poder hacer uso de las funciones trigonométricas.

En todo triángulo rectángulo existen dos relaciones fundamentales:

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1. Relación entre los lados. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esta relación se conoce con el nombre de TEOREMA DE PITÁGORAS.

2. Relación entre los ángulos. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º y para un triangulo rectángulo los dos ángulos agudos suman un recto.

Demustra lo que haz aprendido resolviendo los ejercicios que se plantean a continuación:

- En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 12 cm y uno de sus cateto mide 8. ¿cuánto mide el otro cateto?

- La suma de dos ángulos internos de un triángulo suman 140º. ¿Cuant o mide el tercer ángulo?

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto sus ángulos. Existen seis, tres directas y tres inversas:

Es importante destacar que cuando se usan las funciones trigonométricas es estrictamente necesario identificar el argumento de dicha función que no es más que el ángulo que se está utilizando, por lo tanto la función trigonométrica siempre debe ir acompañada del ángulo a utilizar.

Por ejemplo, las razones trigonométricas del ángulo B en el siguiente triángulo son:

NO HACE FALTA IR A LA LUNA PARA MEDIR

QUE TAN LEJOS ESTA

1) Estimación de la distancia Tierra-Luna

TU TAMBIÉN PUEDES MEDIR LA DISTANCIA DE

LA TIERRA AL SOL

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2) Estimación de la distancia Tierra-Sol

Aristarco (s. III a. J.), célebre astrónomo de Alejandría, intentó calcular cuántas veces era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna. Cuando observamos la Luna en cuarto creciente las líneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un ángulo de 90º. Aristarco midió el ángulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor en 87º.

De esta forma:

Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor que hasta la Luna. Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente, obtenemos una distancia solar de 7344920 Km.

Volviendo con nuestro astrónomo, faltaba comentar que cometió un pequeño error al medir el ángulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89º 50'. Esta pequeña diferencia en la medida del ángulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera separación Tierra-Sol

Con mayor precisión se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km. Como recordarás, a este valor se le llama unidad astronómica (UA).

El radio lunar es de 1738 Km. Se puede comprobar que si observamos la Luna desde la Tierra, contemplamos su disco bajo un ángulo de medio grado.

Si a x, que es la distancia hasta el centro de la Luna, le quitamos los 1738 Km del radio obtendremos un valor estimado de la separación entre Tierra y Luna de 396579 Km.

(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la Luna. Se ha podido conocer, mediante el envío de rayos láser, que la distancia media hasta la superficie lunar es de 384403 km)

Reflexiones

“Me lo contaron y lo olvidé, lo vi y lo entendí, lo hice y lo aprendí” Confucio

"Los matemáticos no estudian los objetos, sino las relaciones entre los objetos, por lo tanto les es indiferente reemplazar estos objetos por otros con tal de que no cambien las relaciones". Henri Poincaré.

Medir la altura de un arbol sin subirse a el

¡Pues si! Ya no hace falta subirse al arbol para medir su altura, porque gracias a la

trigonometría podemos hacerlo con tan sólo tener la medida de la distancia que nos separa del arbol (D), la altura desde donde se mide el ángulo (A) y el ángulo α. Y así al usar la fórmula de la altura (H). H=(Dxtg α) + A ; y listo, allí lo tienes

Problemas de cálculo de distancias

desconocidas

La trigonometría se utiliza para calcular

distancias desconocidas, midiendo ángulos

(con un aparato que se llama teodolito) y

distancias conocidas.

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Cálculo de alturas

Medir la altura de un edificio desde el suelo

La altura del edificio h es el segmento CD.

Nos situamos en el punto B y medimos el ángulo de elevación

El ángulo de elevación está formado por los lados BC y BD, en nuestro caso vale 45°.

Nos situamos en el punto A alejandonos 30 m del punto B . Medimos su ángulo de elevación formado por

los lados AC y AD, en nuestro caso 30°.

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Ejemplos

1. Juán y Pedro ven desde las puertas de sus casa una torre, bajo ángulos de 45° y 60°. La distancia

entre sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre.

Hacemos un dibujo con los datos.

Al trazar la altura de la torre se origina dos

triángulos rectángulos.

Si llamamos x a la distancia de uno de los

observadores al pie de la torre, la distancia del

otro debe ser 126 - x.

Utilizamos las tangentes en ambos triángulos

rectángulos, ya que tienen en conún un cateto

que es la altura de la torre.

Planteamos el sistema de ecuaciones y

resolvemos.

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Problemas con soluciones

1. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.

a) Datos: Â = 90° a = 5 b = 3

b) Datos: Â = 90° c = 15 b = 8 B = 28°

Solución: a) B = 53,13° C = 36,87° c = 4 b) C = 62° a = 17

2. Calcula el radio y la apotema de un octógono de lado 10 cm .

Solución: radio =13,1 m apotema = 12,1 m

3. Desde dos puntos A y B separados 800 m ,

observamos un globo con ángulos de

elevación de 30° y 75° respectivamente. Hallar

la altura a la que se encuentra el globo.

Solución: h = 399,9 m

4. Desde la torre de control de un aeropuerto

se establece comunicación con un avión que

va a aterrizar. En ese momento el avión se

encuentra a una altura de 1200 m y el ángulo

de observación desde la torre es de 30º. A que

distancia está el avión del pie de la torre si esta

mide 40 m de altura.

Solución: 2340,3 m

5. Para calcular la altura de la torre Eiffel, nos

situamos a 74 m de la base de la torre. Si

observamos la torre con un ángulo de

elevación de 75º. ¿Cuánto mide la torre?

Solución: h = 276 m

6. Desde lo alto de una torre de 40 m de

altura, se ven las almenas de otra torre

separada 20 m bajo un ángulo de 70º. ¿Cuál

es la altura de la torre vecina?

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