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Superficie selectiva de frecuencia totalmente dieléctrica impresa en 3D a base de PLA/Agua

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Superficie selectiva de frecuencia

totalmente dieléctrica impresa en

3D a base de PLA/Agua

Por

Juan Luis Valdez García

Tesis sometida como requisito parcial para obtener el

grado de

MAESTRO EN CIENCIAS EN EL ÁREA DE ELECTRÓNICA

En el

Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y

Electrónica

Agosto de 2019

Tonantzintla, Puebla

Supervisada por

Dr. Alonso Corona Chávez

©INAOE 2019

Derechos Reservados

El autor otorga al INAOE el permiso de

reproducir y distribuir copias de esta

tesis en su totalidad o en partes

mencionando la fuente.

(2)
(3)

i

Resumen

El uso de los sistemas en el rango de las microondas (300MHz-300GHz) ha crecido de manera drástica en los últimos años. Desde comunicaciones (televisión, internet, conectividad de dispositivos móviles, etc.) además de aplicaciones militares (radar, detectores de velocidad, máseres, etc.) y aplicaciones en astronomía (filtros, detectores, etc.).

Debido a la cercanía de las bandas utilizadas en dichos sistemas, se necesitan dispositivos capaces de seleccionar frecuencias específicas ya sea para bloquear o dejarlas pasar a través de ellos. Actualmente existe una gran variedad de dispositivos (filtros, superficies selectivas de frecuencia, reflectores, radomos, etc.) que cumplen con estas tareas.

Las investigaciones recientes se concentran en nuevos materiales y el diseño de técnicas para mejorar estos dispositivos (mínimas pérdidas de potencia, bajo nivel de distorsión, mayor selectividad, materiales económicos y no contaminantes).

En este trabajo se presenta el diseño, simulación y caracterización de una superficie selectiva de frecuencia totalmente dieléctrica fabricada en una impresora 3D a base de PLA (Polyactic Acid) y rellena de agua desionizada. La respuesta de la transmisión en función de la frecuencia de este dispositivo es del tipo Pasa-Bajas con frecuencia de corte de 5GHz y un FBW (Fractional Bandwidth) de casi 65%, logrando alcanzar, durante el rechazo, una transmisión mínima menor al 1% y máxima del 10%.

Esta superficie es relativamente fácil de elaborar y accesible económicamente, comparadas con otras, debido a que se fabricó en una impresora 3D comercial (no industrial) obteniendo una resolución aceptable con materiales biodegradables y no tóxicos.

(4)
(5)

iii

Abstract

In recent years, the use of systems in the microwave range (300MHz-300GHz) has grown exponentially. Some of the applications are in communications (television, internet, connectivity of mobile devices, etc.), military (radar, speed detectors, masers, etc.) and in astronomy (filters, detectors, etc.).

Due to the proximity of the bands used in such systems, devices need to be capable of selecting specific frequencies either to block or let them pass. Currently, there is a wide variety of devices (filters, frequency selective surface, reflectors, radomes, etc.), that fulfill such tasks.

Recent research focuses on new materials and the design of techniques to improve these devices (minimum power losses, low distortion level, greater selectivity, economical and non-polluting materials).

In this work we present the design, simulation and characterization of an all-dielectric frequency selective surface 3D printed based on PLA (Polyactic Acid) and filled with deionized water. The response of the transmission as a function of the frequency of this device is low-pass with a cutoff frequency of 5GHz and a FBW (Fractional Bandwidth) of almost 65%, with a minimum transmission of less than 1% and maximum of 10% (after cutoff frequency).

This surface is relatively easy to elaborate and economical, compared with others materials, because it was manufactured in a commercial 3D printer (non-industrial) obtaining an acceptable resolution with biodegradable and non-toxic materials.

(6)
(7)

v

Agradecimientos

A mi madre Romana y mi padre Gerardo, por brindarme apoyo en muchos momentos importantes a lo largo de toda mi carrera.

A mis amigos y amigas, por su compañía y aliento desde mí llegada al INAOE.

Al Dr. Alonso Corona por la oportunidad de desarrollar mi tesis bajo su dirección y al Dr. José Luis Olvera por confiar en mí y aceptarme en su grupo de trabajo.

Al INAOE, por aceptarme en la institución para realizar mi investigación y al CONACYT por la ayuda económica a lo largo de todo mí trabajo.

(8)
(9)

vii

Contenido

1 INTRODUCCIÓN…...…….………..………... 1

1.1 Introducción general………. 1

1.2 Antecedentes………...………... 2

1.3 Motivación y planteamiento del problema……… 11

1.4 Objetivos………...………..……….. 12

1.4.1 Objetivo general……….……….………. 12

1.4.2 Objetivos específicos... 12

2 MARCO TEÓRICO……….……….…... 14

2.1 Resonadores………….………...…… 14

2.1.1 Teoría general... 14

2.1.2 Resonadores dieléctricos... 15

2.2 Parámetros S………..……. 26

2.3 Tipos de filtrado básicos en microondas………... 30

2.4 Superficies selectivas de frecuencia (FSS)... 31

2.4.1 Primeras FSS: Principio de funcionamiento... 31

2.4.2 Clasificación y aplicaciones... 32

3 DISEÑO Y SIMULACIONES….……… 36

3.1 Selección del tipo de estructura...36

3.2 Análisis de modos...43

3.2.1 Sólido (𝑛 = 0)... 44

3.2.2 Anillo (𝑛 = 1)... 46

3.2.2 Revolver4 (𝑛 = 5)... 48

(10)

viii

4 MEDICIONES Y RESULTADOS………... 54

4.1 Método de medición...54

4.1.1 Descripción de las configuraciones...54

4.1.2 Transmisión nula...56

4.1.3 Diseño y simulación de la FSS de metal...58

4.1.4 Medición de la FSS de metal...60

4.1.5 Conclusiones...64

4.2 Resumen de la tesis...64

4.2.1 Caracterización de la estructura propuesta...64

4.2.2 Conclusiones y comparación de resultados...68

5 CONCLUSIONES...70

APÉNDICE A...72

APÉNDICE B...74

(11)
(12)

1

1 INTRODUCCIÓN

1.1 Introducción general

Debido al gran incremento del uso de dispositivos inalámbricos en medios de comunicaciones, áreas industriales y médicas, etc. [1], la búsqueda de aparatos que puedan filtrar señales de manera eficiente ha sido incesante. El resultado de esto es una gran variedad de dispositivos, tales como filtros de microondas [1] [2], superficies selectivas de frecuencia [3-16], entre otros, así como diferentes métodos de filtrado [17].

Una superficie selectiva de frecuencia (FSS) (o dicroicas) es, básicamente, un conjunto de elementos idénticos colocados en una matriz infinita de una o dos dimensiones [18], la cual, podría ser vista como un filtro óptico para ciertas longitudes de onda. Con el paso de los años las FSS han ido evolucionando tanto en las formas de los elementos individuales (celdas unitarias) como en el uso de diferentes materiales para su fabricación.

Dentro de las aplicaciones de las FSS se encuentran radomos híbridos para antenas [18] [19], reflectores de antenas [20], filtros rechaza bandas para antenas [18], para la región de microondas, y polarizadores, divisores de haz y espejos para mejorar la eficiencia de bombeo en los láseres moleculares [21] [22], en la región del infrarrojo lejano [23]. Otra aplicación, en el infrarrojo cercano y partes del visible, son pantallas periódicas selectivas para celdas solares [24]. Estás pantallas son prácticamente transparentes en la banda de frecuencias de trabajo de las celdas y reflejan las que están fuera de ella.

Aunque la mayoría de las FSS trabajan con ondas de baja potencia, existen también para señales de alta potencia [25] [26]. Estos dispositivos están

(13)

2 fabricadas con materiales dieléctricos debido al poco calentamiento que sufren debido a la falta de pérdidas por conductor.

En la actualidad, algunas superficies selectivas de frecuencia se utilizan como radomos para antenas y controlan su sección transversal de radar (RCS “Radar Cross-Section”).

1.2 Antecedentes

En esta sección se presentan algunos de los trabajos de investigación más relevantes vinculados a las superficies selectivas de frecuencia.

Las primeras FSS en fabricarse fueron hechas sobre metal, es por eso que son las más abundantes. Su funcionamiento se basa en la disipación de energía que produce las corrientes generadas sobre el metal [18]. En [3], por ejemplo, proponen una FSS del tipo rechaza banda, hecha de cobre de 1Oz (35µm) sobre PET de 76.2µm. La forma de la celda unitaria es de un tripolo con un lazo alrededor de su perímetro, como lo muestra la figura 1.1. En los resultados de simulaciones se llega a alcanzar una transmisión menor a los -40dB para las bandas de comunicación celular móvil coreana (800MHz) y la de servicio de comunicación personal (PCS) (1.8GHz) y menor a las -50dB para las bandas de radio industrial, científicas y médicas (ISM) (2.4GHz). Por otro lado, los resultados experimentales muestran una transmisión menor a los -20dB para las tres bandas.

En [4], se diseña una FSS, como se muestra en la figura 1.2.a, con respuesta pasa-banda, para las frecuencias 1.73 y 2.46GHz. Se hace sobre cobre encima de una placa dieléctrica de F4B-2 con εr = 2.65y tangente de pérdidas de 0.001, obteniendo una transmisión mayor a -1dB para ambas bandas. En

(14)

3 [5], al igual que en [4], se diseña una superficie selectiva (figura 1.2.b) del tipo pasa banda, con una transmisión máxima de hasta -2dB.

Figura 1.1: Superficie selectiva de frecuencia de tripolos encerrados en un lazo, propuesto en [3].

Figura 1.2: Celdas unitariaspropuestas: a) en [4], b) en [5].

La tecnología de impresión, además de la fotolitografía, es un método de fabricación que es cada vez más usado en el ambiente electrónico. En [6], por ejemplo, se utiliza para la fabricación de una superficie selectiva de doble banda (rechaza banda) para bloquear la señal de Wi-Fi (2.4 y 5.3GHz)

(15)

4 llegando a obtener, para resultados simulados y experimentales, una transmisión menor a -40dB y -30dB, respectivamente. La celda unitaria tiene la forma de dos hexágonos concéntricos, como lo muestra la figura 1.3.

En [7], se diseña una compleja FSS en forma de hexágono con un tripolo concéntrico como se muestra en la figura 1.4, que al igual que [6], para bloquear las señales de Wi-Fi (2.4 y 5GHz) utilizando la tecnología de impresión. La fabricación se hace sobre un papel comercial llamado

metapaper usando una tinta con partículas de plata para aumentar la conductividad. Se comparan dos tecnologías: Flexography y Screen Printing, de las cuales la segunda resulta mejor, logrando resultados de una transmisión menor a -20dB para ambas bandas.

Figura 1.3: Celda unitaria de hexágonos concéntricos, propuesto en [6].

Como la interacción entre el ambiente y el metal genera una variedad de daños al material (corrosión, desgaste, calentamiento, etc.), un pequeño disco, cubo, etc. de material dieléctrico poder ser también utilizado como resonador en microondas. Este tipo de resonadores son principalmente de bajas pérdidas y con una constante dieléctrica relativamente alta, permitiendo encerrar la mayoría de los campos dentro de él.

(16)

5 Figura 1.4: Celda unitaria propuesta en [7]: a) Patrón propuesto, b) celda con los parámetros

geométricos

Un resonador dieléctrico es, generalmente, de menor tamaño, costo y peso que una cavidad metálica equivalente. Se utilizan resonadores con constantes dieléctricas de entre 10-100 y con pérdidas muy bajas y con esto se logran alcanzar factores de calidad 𝑄𝑂 de hasta varios miles. Por todas estas razones los resonadores dieléctricos han sido cada vez más utilizados en el uso de las microondas [18]. En [8], diseñan y simulan una FSS totalmente dieléctrica (figura 1.5) con constante dieléctrica baja (ε =10). La respuesta es del tipo rechaza banda centrada en 10GHz (8.8GHz-11.25GHz) alcanzando una transmisión de hasta -30dB.

(17)

6 Figura 1.5: Geometría de la FSS propuesta en [8]: a) Vista superior, b) vista lateral, c)

indicación del ángulo de incidencia.

Los resonadores dieléctricos más comunes en el mercado son los fabricados en cerámica. Por ejemplo en [9] y [10], se utilizan este tipo de resonadores para fabricar y simular un par de superficies selectivas del tipo rechaza banda, 12-14.5GHz y 7.19-9GHz, respectivamente. Las constantes dieléctricas son 38 para [9] y 110 para [10], con las celdas unitarias de la forma cilíndrica y cruz de Jerusalén (como se muestra en las figuras 1.6 y 1.7), alcanzando una transmisión de -50dB y -45dB, respectivamente.

(18)

7 Figura 1.6: Geometría de la FSS propuesta en [9].

Figura 1.7: Geometría de la FSS propuesta en [10].

La producción de materiales de alta permitividad, como los cerámicos, puede llegar a ser muy costosa para fines prácticos. Por ejemplo, en la instalación de una FSS en una habitación pueden llegar a necesitarse algunos miles de resonadores unitarios, lo cual equivale a un precio muy alto en comparación con materiales de baja constante dieléctrica o metales. Es por esto que se han buscado otros medios para fabricar estos dispositivos. Por ejemplo la combinación de medios conductivos y dieléctricos para la fabricación de resonadores unitarios. En [11], por ejemplo, se utiliza una impresora 3D de doble filamento para construir una superficie selectiva a base de PLA/grafito. La respuesta de la transmisión es del tipo pasa bajas para una frecuencia de

(19)

8 corte de 6GHz. La transmisión llega a poco menos de -20dB. La forma de la celda unitaria para caracterizar el material es de la forma de pirámide achatada (como se muestra en la figura 1.8.a, la cual es caracterizada usando el algoritmo propuesto en [12], dando como resultado una permitividad relativa y tangente de pérdidas de 22 y 1.6-1.8, respectivamente. La superficie es conformada por resonadores en forma de prismas rectangulares, como lo muestra la figura 1.8.b.

Figura 1.8: Celdas propuestas en [11]: a) para caracterizar el material, b) componente de la FSS.

En [13], al igual que en [11], fabrican superficies selectivas a base de impresiones en 3D, pero en lugar de usar el grafito para aumentar la conductividad usan pintura a base de plata. Se hacen dos comparaciones: total (TC) y parcialmente (PC) cubierta, como se muestra en la figura 1.9, ambas del tipo rechaza banda. Se logra alcanzar una transmisión de hasta -25dB (2.5GHz) y -20dB (1.5GHz) para TC y PC, respectivamente.

Utilizando el concepto de impresión en 3D agregando un material que aumente la conductividad de los resonadores, en [14] imprimen una FSS utilizando un filamento especial llamado Brassfill [15], que es el filamento normal de PLA con partículas de metal (latón). Esta superficie es diseñada con respuesta rechaza banda, para 10GHz. La forma de la celda unitaria es de una placa

(20)

9 impresa en 3D con huecos circulares, sobre una placa de Rohacell71 (como se muestra en la figura 1.10), llegando a una transmisión menor de -25dB.

Figura 1.9: Celdas propuestas en [13]: a) TC-Volumétrica, b) TC-Volumétrica doblada, c) PC-Planar, d) PC-Planar doblada.

Figura 1.10: Geometría general propuesta en [14].

Las superficies selectivas de frecuencia pueden estar hechas de líquidos dieléctricos, como agua, cristales líquidos, etc., que, aunque las pérdidas son muy grandes (agua), su permitividad es muy grande y son accesibles económicamente, lo que la hace un buen material para objeto de estudio.

(21)

10 Como en [16], que diseñan una FSS sobre la superficie de media esfera, como se muestra en la figura 1.11. Las celdas son capilares cilíndricos que se rellenan de agua. Se llevan a cabo varias mediciones de la constante dieléctrica para diferentes números de capilares con agua, obteniendo una variación de ε = (66-57) –j (26-33), con frecuencias de 8 a 12.5GHz. Este tipo de dispositivo puede ser usado como “escudo” para filtrar cerca de antenas,

como se muestra en la figura 1.12.

Figura 1.11: FSS propuesta en [16]: a) Dispositivo real, b) vista lateral y superior del diseño.

(22)

11 En esta sección se presentaron algunos de los trabajos relacionados con los diferentes tipos de FSS (metálicas y dieléctricas) además de presentar algunos de los diferentes tipos de fabricación (impresión electrónica, manufactura aditiva, resonadores dieléctricos cerámicos) que ayudaron al estudio para el diseño del dispositivo propuesto en este trabajo.

1.3 Motivación y planteamiento del problema

Desde la década de los 60’s, y debido a posibles aplicaciones militares, las

FSS han sido objeto de un gran estudio [18]. Las superficies selectivas se han utilizado tradicionalmente en tecnología de sigilo para reducir el RCS (Radar Cross Section) de los sistemas de comunicaciones militares.

En microondas para “limpiar” una señal o eliminar señales no deseadas o

espurias, normalmente se utilizan filtros de diferentes tipos, según la aplicación. Pero en algunas ocasiones no es costeable agregar un filtro al sistema de recepción o medición. Una superficie selectiva puede fabricarse en PCB’s (Printed Circuit Board) de bajo costo (placa FR4) y diseñarse como

pantalla protectora que a su vez filtra la señal.

Otra ventaja es la facilidad de su fabricación. Las celdas unitarias pueden tener formas tan simples como dipolos, ranuras o parches metálicos o una combinación de todos estos elementos [18].

Debido al estudio intensivo y a que fueron las primeras en aparecer, las FSS fabricadas en metal son las más abundantes en la actualidad, pero debido a las bajas pérdidas y grandes valores del factor de calidad (Q), las superficies selectivas totalmente dieléctricas (ADFSS “All-Dielectric Frequency Selective Surfaces”) han ido apareciendo con mayor frecuencia.

Por otra parte, una desventaja de fabricar FSS con material dieléctrico de baja permitividad (teflón, PLA, etc.) es que debido a que su resonancia depende

(23)

12 totalmente de la geometría, fabricar superficies selectivas para frecuencias bajas implica un gasto mayor de material, ya que las dimensiones serán muy grandes. Es por esto que muchas FSS están diseñadas con materiales con alta constante dieléctrica (cerámica, por ejemplo). El inconveniente de este tipo de material es que la fabricación de resonadores individuales (RI) resulta ser muy costosa.

El reto de este trabajo es el diseño y la fabricación de una superficie selectiva de frecuencia totalmente dieléctrica de alta permitividad que sea de bajo costo. Además de que produzca la menor contaminación posible [27].

1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo general

El objetivo general de esta investigación es diseñar, fabricar y caracterizar una ADFSS (All-Dielectric Frequency Selective Surface) constituida por resonadores individuales de un material amigable con el ambiente, del tipo pasa-bajas con alta permitividad, fabricada en una impresora 3D y agregando agua desionizada en su interior.

1.4.2 Objetivos específicos

 Hacer una búsqueda exhaustiva de diferentes tipos de materiales para la fabricación de ADFSS's.

1. Resistente al clima.

2. De alta constante dieléctrica. 3. Económico y accesible. 4. Amigable con el ambiente.

(24)

13

 Simular diferentes FSS para obtener la más óptima para su fabricación. 1. Variando los parámetros de los DR’s (Dielectric Resonator). 2. Variando la separación entre los DR’s.

 Fabricar una superficie selectiva de frecuencia del tipo pasa-bajas, con frecuencia de corte de 5GHz, con un rechazo de al menos el 90%. Esto con el fin de bloquear la banda del internet de las cosas y transmitir la del Wi-Fi.

(25)

14

2 MARCO TEÓRICO

2.1 Resonadores

Un resonador es un dispositivo que oscila a ciertas frecuencias específicas, que son llamadas frecuencias de resonancia. Las oscilaciones en el resonador pueden ser electromagnéticas o mecánicas (acústicas). Son usados generalmente para generar ondas a frecuencias específicas o para seleccionar frecuencias de la señal. En el rango de las microondas son usados en varias aplicaciones, tales como filtros, osciladores y amplificadores. La operación de los resonadores de microondas es muy similar a la de elementos agrupados de la teoría de circuitos resonantes RLC (Resistencia, Inductancia, Capacitancia), por lo tanto a continuación se presenta un análisis general de estos dispositivos [28].

2.1.1 Teoría general

Los circuitos resonantes RLC en serie y paralelo son mostrados en la figura 2.1. La energía eléctrica y magnética almacenada en un resonador, son dos de los parámetros más importantes, y además se utilizan para definir la frecuencia de resonancia. Esta última ocurre cuando 𝑊𝑒(energía eléctrica almacenada) = 𝑊𝑚(energía magnética almacenada), como se puede observar en la tabla 2.1 [28].

(26)

15

Tabla 2.1: Parámetros de los Circuitos RLC [28]

Parámetro Serie Paralelo

Impedancia de Entrada (𝑍𝑖𝑛)

𝑍𝑖𝑛 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 − 𝑗 1

𝜔𝐶 𝑌𝑖𝑛 = 1

𝑅+ 𝑗𝜔𝐶 − 𝑗 1 𝜔𝐿

Energía Magnética Almacenada (𝑊𝑚)

𝑊𝑚 =1 4|𝐼|

2𝐿 𝑊

𝑚 =

1 4|𝑉|

2 1

𝜔2𝐿

Energía Eléctrica Almacenada (𝑊𝑒)

𝑊𝑒 =1 4|𝐼|

2 1

𝜔2𝐶 𝑊𝑒 =

1 4|𝑉|

2𝐶

Frecuencia de Resonancia (𝜔𝑂)

𝜔𝑂 =

1

√𝐿𝐶 𝜔𝑂 =

1 √𝐿𝐶

Factor de Calidad (𝑄𝑂)

𝑄𝑂 = 1 𝜔𝑂𝑅𝐶

𝑄𝑂 = 𝜔𝑂𝑅𝐶

Otro parámetro importante es el factor de calidad, el cual es definido de la siguiente manera [28]:

𝑄𝑂 = 𝜔𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎/𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

Donde ω es la frecuencia circular.

2.1.2 Resonadores Dieléctricos

Un resonador dieléctrico, es una pieza de material no conductiva de alta permitividad, diseñada para funcionar, generalmente, para el rango de las microondas. Las ondas se confinan en el interior del dispositivo debido al cambio brusco de la constante dieléctrica entre el material y el aire. En ciertas frecuencias (frecuencias resonantes que son determinadas por las dimensiones físicas del dispositivo y la constante dieléctrica), las microondas

(27)

16 forman ondas estacionarias dentro del resonador [28]. En cierta forma puede ser comparado con una cavidad resonante, pero, como ya se mencionó, en este caso las ondas quedan atrapadas por el cambio súbito de permitividad y no por las paredes conductivas del metal, como en la cavidad metálica.

A. Campos eléctricos y magnéticos en cilindros dieléctricos

Para encontrar los campos 𝐸⃗ y 𝐻⃗⃗ en un cilindro dieléctrico de permitividad 𝜀𝑟, de radio a y altura d, se usan coordenadas cilíndricas [28], como se muestra en la figura 2.2.

Fig. 2.2: Cilindro en coordenadas cilíndricas.

Se definen los campos en función de estas coordenadas, donde 𝜌̂, 𝜑̂, 𝑧̂ son los vectores unitarios en las respectivas direcciones:

(28)

17

𝐻⃗⃗ (𝜌, 𝜑, 𝑧) = 𝐻𝜌𝜌̂ + 𝐻𝜑𝜑̂ + 𝐻𝑧𝑧̂ = (ℎ𝜌𝜌̂ + ℎ𝜑𝜑̂ + ℎ𝑧𝑧̂)e−𝑗𝛽𝑧 (2.2)

Donde 𝛽 es la constante de fase.

Se utilizan las ecuaciones de Maxwell [28] sin fuentes:

∇ × 𝐸⃗ = −𝑗𝜔𝜇𝐻⃗⃗ (2.3)

∇ × 𝐻⃗⃗ = 𝑗𝜔𝜀𝐸⃗ (2.4)

Donde 𝜇 y 𝜀 son la pemeabilidad magnética y permitividad eléctrica del medio, respectivamente.

Desarrollando el rotacional [29] en (2.3), se obtiene:

∇ × 𝐸⃗ = 1

𝜌( 𝜕𝐸𝑧

𝜕𝜑 − 𝜌 𝜕𝐸𝜑

𝜕𝑧 𝜌̂) + ( 𝜕𝐸𝜌

𝜕𝑧 − 𝜕𝐸𝑧

𝜕𝜌 𝜑̂) + 1 𝜌(

𝜕𝜌𝐸𝜑

𝜕𝜌 − 𝜕𝐸𝜌

𝜕𝜑 𝑧̂)=

1 𝜌(

𝜕𝐸𝑧

𝜕𝜑 + 𝑗𝜌𝛽𝐸𝜑) 𝜌̂ − (𝑗𝛽𝐸𝜌+ 𝜕𝐸𝑧

𝜕𝜌) 𝜑̂ + 1 𝜌(𝜌

𝜕𝐸𝜑

𝜕𝜌 + 𝐸𝜑− 𝜕𝐸𝜌

𝜕𝜑) 𝑧̂ = −𝑗𝜔𝜇𝐻⃗⃗ (2.5)

De la misma manera se obtiene:

1 𝜌(

𝜕𝐻𝑧

𝜕𝜑 + 𝑗𝜌𝛽𝐻𝜑) 𝜌̂ − (𝑗𝛽𝐻𝜌+ 𝜕𝐻𝑧

𝜕𝜌) 𝜑̂ + 1 𝜌(𝜌

𝜕𝐻𝜑

𝜕𝜌 + 𝐻𝜑− 𝜕𝐻𝜌

𝜕𝜑) 𝑧̂ = 𝑗𝜔𝜀𝐸⃗ (2.6)

(29)

18 1

𝜌 𝜕𝐸𝑧

𝜕𝜑 + 𝑗𝛽𝐸𝜑 = −𝑗𝜔𝜇𝐻𝜌 (2.7a)

−𝑗𝛽𝐸𝜌−𝜕𝐸𝑧

𝜕𝜌 = −𝑗𝜔𝜇𝐻𝜑 (2.7b)

1 𝜌

𝜕𝐻𝑧

𝜕𝜑 + 𝑗𝛽𝐻𝜑 = 𝑗𝜔𝜀𝐸𝜌 (2.8a)

−𝑗𝛽𝐻𝜌 −𝜕𝐻𝑧

𝜕𝜌 = 𝑗𝜔𝜀𝐸𝜑 (2.8b)

Se dejan las componentes ρ y φ de los campos 𝐸⃗ y 𝐻⃗⃗ en términos de la

componente en la dirección 𝑧̂. Para esto, de (2.7a) y (2.8b) se obtiene:

𝑗 𝜌𝜔𝜇 =

𝜕𝐸𝑧 𝜕𝜑 −

𝛽

𝜔𝜇𝐸𝜑 = 𝐻𝜌

−𝑗𝛽 ( 𝑗 𝜌𝜔𝜇

𝜕𝐸𝑧

𝜕𝜑 − 𝛽

𝜔𝜇𝐸𝜑) − 𝜕𝐻𝑧

𝜕𝜌 = 𝑗𝜔𝜀𝐸𝜑

−𝑗𝛽 𝜌𝜔2𝜇𝜀

𝜕𝐸𝑧 𝜕𝜑 +

𝛽2

𝜔2𝜇𝜀𝐸𝜑+

𝑗 𝜔𝜀

𝜕𝐻𝑧 𝜕𝜌 = 𝐸𝜑

Utilizando la ecuación 𝑘2 = 𝜔2𝜇𝜀 = 𝑘𝑐2+ 𝛽2, se obtiene:

𝐸𝜑 = −𝑗 𝑘𝑐2(

𝛽 𝜌

𝜕𝐸𝑧

𝜕𝜑 − 𝜔𝜇 𝜕𝐻𝑧

(30)

19 Siguiendo el mismo procedimiento se llega:

𝐸𝜌 =−𝑗

𝑘𝑐2(𝛽

𝜕𝐸𝑧

𝜕𝜌 + 𝜔𝜇

𝜌 𝜕𝐻𝑧

𝜕𝜑) (2.9b)

𝐻𝜌 = 𝑗

𝑘𝑐2(

𝜔𝜀 𝜌

𝜕𝐸𝑧

𝜕𝜑 − 𝛽 𝜕𝐻𝑧

𝜕𝜌) (2.9c)

𝐻𝜑= −𝑗 𝑘𝑐2(𝜔𝜀

𝜕𝐸𝑧

𝜕𝜌 + 𝛽 𝜌

𝜕𝐻𝑧

𝜕𝜑) (2.9d)

B. Modos Transversal Eléctrico (TE)

Como su nombre lo indica, en estos modos no hay componente del campo eléctrico en la dirección de propagación de la onda (𝐸𝑧 = 0). La única componente que podemos conocer, que es diferente de cero, es 𝐻𝑧, la cual es una solución a la ecuación de onda [30] o ecuación de Helmholtz (Apéndice B):

∇2𝐻

𝑧+ 𝑘2𝐻𝑧 = 0 (2.10)

Si se define 𝐻𝑧(𝜌, 𝜑, 𝑧) = ℎ𝑧(𝜌, 𝜑)e−𝑗𝛽𝑧, sabiendo que 𝐾

𝑐2 = 𝑘2− 𝛽2 y usando la identidad siguiente:

∇2𝐹 =𝜕2𝐹 𝜕𝜌2+

1 𝜌 𝜕𝐹 𝜕𝜌+ 1 𝜌2

𝜕2𝐹 𝜕𝜑2+

𝜕2𝐹

𝜕𝑧2 (Operador Laplaciano en

coordenadas cilíndricas)

(31)

20

(𝜕2

𝜕𝜌2+

1 𝜌 𝜕 𝜕𝜌+ 1 𝜌2 𝜕2

𝜕𝜑2+ 𝑘𝑐2) ℎ𝑧(𝜌, 𝜑) = 0 (2.11)

Usando el método de separación de variables:

𝑧(𝜌, 𝜑) = 𝑅(𝜌)𝑄(𝜑) (2.12)

Sustituyendo (2.12) en (2.11) y multiplicando por 𝜌2:

𝜌2 𝑅

𝑑2𝑅 𝑑𝜌2+

𝜌 𝑅

𝑑𝑅 𝑑𝜌+ 𝜌

2𝑘 𝑐2 =

−1 𝑄

𝑑2𝑄

𝑑𝜑2 (2.13)

Debido a que el lado derecho solo depende de φ y el izquierdo de ρ, ambos son igual a una constante.

−1 𝑄

𝑑2𝑄

𝑑𝜑2 = 𝐶 ⇒

𝑑2𝑄

𝑑𝜑2+ 𝑄𝐶2 = 0 (2.14)

𝜌2 𝑑2𝑅

𝑑𝜌2+ 𝜌

𝑑𝑅 𝑑𝜌+ (𝜌

2𝑘

𝑐2− 𝐶2)𝑅 = 0 (2.15)

La ecuación (2.14) es la ecuación del oscilador armónico [30], cuya solución general es la siguiente:

(32)

21 Ya que la solución para ℎ𝑧 debe ser periódica en φ, 𝐶 = 𝑛 debe ser un número entero:

𝑄(𝜑) = 𝑄(𝜑 + 2𝜋) = 𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑 + 2𝜋) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑 + 2𝜋)

(2.16)

Por lo tanto (2.15) queda de la siguiente forma:

𝜌2 𝑑2𝑅

𝑑𝜌2+ 𝜌

𝑑𝑅 𝑑𝜌+ (𝜌

2𝑘

𝑐2− 𝑛2)𝑅 = 0 (2.17)

La ecuación anterior tiene la forma de la función de Bessel (Apéndice A), por lo tanto su solución es:

𝑅(𝜌) = 𝐶𝐽𝑛(𝑘𝑐𝜌) + 𝐷𝑌𝑛(𝑘𝑐𝜌) (2.18)

Donde 𝐽𝑛 y 𝑌𝑛 son la funciones de Bessel de primer y segunda especie, respectivamente. Como 𝑌𝑛 → ∞ cuando 𝜌 → 0 no es aceptable físicamente. Por lo tanto D debe anularse. Con esto se obtiene:

ℎ𝑧(𝜌, 𝜑) = (𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝜌) (2.19)

Como 𝐶, 𝐴 y 𝐵 son constantes, 𝐶 es absorbida por 𝐴 y 𝐵. Aplicando las condiciones de frontera para una pared magnética:

(33)

22

𝑛̂ × 𝐻⃗⃗ = 0 ⇒ 𝐻⃗⃗⃗⃗ = 0𝑡

Donde 𝐻⃗⃗⃗⃗ 𝑡 es la componente tangencial del campo magnético y 𝑛̂ el vector normal a la superficie del cilindro. Por lo tanto para los modos TE:

𝐻𝑧(𝜌 = 𝑎) = 0 (2.20)

𝐻𝑧(𝜌, 𝜑, 𝑧) = (𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝜌)e−𝑗𝛽𝑧 (2.21)

De (2.20) y (2.21) se obtiene:

𝐽𝑛(𝑘𝑐𝑎) = 𝐽𝑛(𝑃𝑛𝑚) = 0 ⇒ 𝑘𝑐𝑛𝑚 =𝑃𝑛𝑚

𝑎 𝑛 = 0,1,2, . . . ; 𝑚 = 1,2,3, . ..

Donde 𝑃𝑛𝑚 es la m-ésima raíz de 𝐽𝑛(véase Apéndice A).

La frecuencia de corte se calcula de la siguiente manera:

𝑓𝑐𝑛𝑚 = 𝑘𝑐

2𝜋√𝜇𝜀 = 𝑃𝑛𝑚

2𝜋𝑎√𝜇𝜀 (2.22)

Usando (2.21), se reescriben las ecuaciones (2.9):

𝐸𝜑= 𝑗𝜔𝜇

𝑘𝑐𝑛𝑚(𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽′𝑛(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)e

(34)

23

𝐸𝜌 = −𝑗𝜔𝜇𝑛

𝑘𝑐𝑛𝑚2 𝜌(𝐴𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑) − 𝐵𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)e

−𝑗𝛽𝑧 (2.23b)

𝐻𝜌 = −𝑗𝛽

𝑘𝑐𝑛𝑚(𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽′𝑛(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)e

−𝑗𝛽𝑧 (2.23c)

𝐻𝜑= −𝑗𝛽𝑛

𝑘𝑐𝑛𝑚2 𝜌(𝐴𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑) − 𝐵𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)e

−𝑗𝛽𝑧 (2.23d)

Donde (𝐽𝑛′(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)) denota la derivada de la función de Bessel.

C. Modos Transversal Magnético (TM)

En estos modos, de manera análoga a los TE, no existe componente del campo magnético en la dirección de propagación de la onda (𝐻𝑧 = 0). Ahora calculamos 𝐸𝑧 usando la ecuación (2.10).

𝐸𝑧 = 𝑒𝑧(𝜌, 𝜑)e−𝑗𝛽𝑧

Por lo tanto se tiene:

(𝜕2

𝜕𝜌2+

1 𝜌 𝜕 𝜕𝜌+ 1 𝜌2 𝜕2 𝜕𝜑2+ 𝑘𝑐

2) 𝑒

𝑧(𝜌, 𝜑) = 0 (2.24)

(35)

24

𝑒𝑧(𝜌, 𝜑) = (𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝜌)

Aplicamos la condición de frontera para modos TM en una pared magnética:

𝜕𝐸𝑧(𝜌=𝑎)

𝜕𝜌 = 0 (2.25)

Debido a esto se obtiene:

𝐽′𝑛(𝑘𝑐𝑎) = 𝐽′𝑛(𝑃𝑛𝑚) = 0 ⇒ 𝑘𝑐𝑛𝑚 =𝑃′𝑛𝑚

𝑎 (2.26)

La frecuencia de corte:

𝑓𝑐𝑛𝑚 = 𝑃′𝑛𝑚

2𝜋𝑎√𝜇𝜀 (2.27)

Donde 𝑃′𝑛𝑚 denota la m-ésima raíz de la derivada de la función de Bessel (véase Apéndice A). Ahora se reescriben las ecuaciones (2.9) de la siguiente manera:

𝐸𝜑 = −𝑗𝛽𝑛

𝑘𝑐𝑛𝑚2 𝜌(𝐴𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑) − 𝐵𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝑛𝑚𝜌)e

−𝑗𝛽𝑧 (2.28a)

𝐸𝜌 = −𝑗𝛽

𝑘𝑐𝑛𝑚(𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽′𝑛(𝑘𝑐𝜌)e

(36)

25

𝐻𝜌 = 𝑗𝜔𝜀𝑛

𝑘𝑐𝑛𝑚2 𝜌(𝐴𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑) − 𝐵𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑))𝐽𝑛(𝑘𝑐𝜌)e

−𝑗𝛽𝑧 (2.28c)

𝐻𝜑= −𝑗𝜔𝜀

𝑘𝑐𝑛𝑚(𝐴𝑆𝑖𝑛(𝑛𝜑) + 𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜑))𝐽′𝑛(𝑘𝑐𝜌)e

−𝑗𝛽𝑧 (2.28d)

D. Ecuación de frecuencia de resonancia

Para que ocurra una resonancia (ondas estacionarias) dentro del resonador, la fase debe ser de la siguiente manera:

𝛽𝑑 = 𝑙𝜋 (2.29)

Donde d es la altura del cilindro en la dirección 𝑧̂ y l es el número entero de medias ondas que se forman en el interior del resonador, en la dirección de propagación. Sabiendo que:

𝑘2 = 𝜔2𝜇𝜀 (2.30)

𝜀 = 𝜀𝑜𝜀𝑟 Y 𝜇 = 𝜇𝑜𝜇𝑟 (2.31)

𝑘𝑐2 = 𝑘2− 𝛽2 (2.32)

Donde 𝜀𝑜 y 𝜇𝑜 son la permitividad y permeabilidad del vacío. Se obtiene la ecuación para la frecuencia de resonancia de un cilindro dieléctrico:

(37)

26

𝜔2𝜇𝜀 = 𝑘𝑐𝑛𝑚

2 + 𝛽2

𝑓𝑙 = 1

2𝜋√𝜀𝜇√𝑘𝑐2𝑛𝑚+ (

𝑙𝜋 𝑑)

2

Para modos TE [8] (𝑘𝑐𝑛𝑚 =𝑃𝑛𝑚

𝑎 ):

𝑓𝑛𝑚𝑙 = 𝑐

2𝜋𝑎√𝜀𝑟𝜇𝑟√𝑃𝑛𝑚

2 + (𝑎𝜋𝑙 𝑑 )

2

(2.33)

De manera análoga, para modos TM [8] (𝑘𝑐𝑛𝑚 =𝑃′𝑛𝑚

𝑎 ):

𝑓𝑛𝑚𝑙 = 𝑐

2𝜋𝑎√𝜀𝑟𝜇𝑟√𝑃′𝑛𝑚

2 + (𝑎𝜋𝑙 𝑑 )

2

(2.34)

Se denota que cuando 𝑙 = 0 (no se transmite la onda a través del cilindro), se llega a las ecuaciones de la frecuencia de corte.

2.2 Parámetros S

Los parámetros S o de dispersión son valores que nos definen las pérdidas por inserción y de retorno de una red eléctrica (figura 2.3) [1].

(38)

27 Fig. 2.3: Red simple de 2 puertos.

Para analizar las pérdidas por inserción y de retorno se usa la gráfica de flujo de energía de una red de 2 puertos mostrada en la figura 2.4.

Fig. 2.4: Diagrama de flujo de energía en una red de 2 puertos.

La gráfica de flujo tiene dos nodos para cada puerto, uno para la onda incidente y otro para la reflejada. El nodo incidente se denota con “𝑎” y el nodo reflejado con “𝑏”.

En una red de dos puertos, al incidir una onda por el puerto 1, una parte será reflejada a través del camino 𝑆11 y dejará la red por el nodo 𝑏1. El resto de la onda se irá por el camino 𝑆21 y dejará la red por el nodo 𝑏2.

Si un dispositivo que tiene reflexión es conectado en el puerto 2, parte de la onda que deja la red a través del nodo 𝑏2 será reflejada por dicho dispositivo y ésta reingresará por el nodo 𝑎2. De forma similar que en el puerto 1, una

(39)

28 parte de esta onda reincidente pasará por el camino 𝑆22 y dejará la red por el nodo 𝑏2 y el resto se irá a través del camino 𝑆12 y saldrá por el nodo 𝑏1.

Con lo anterior, siguiendo las flechas en la gráfica de flujo, podemos escribir las siguientes ecuaciones.

𝑏1 = 𝑎1𝑆11+ 𝑎2𝑆12 (2.45)

𝑏2 = 𝑎1𝑆21+ 𝑎2𝑆22 (2.46)

Bajo ciertas condiciones, podemos encontrar cada uno de los parámetros de dispersión. Primeramente, supones que no hay señal entrando por el puerto 2, por lo tanto 𝑎2 = 0, con esto obtenemos las ecuaciones (2.47) y (2.48). De manera análoga, suponemos lo mismo pero para el puerto 1, es decir, 𝑎1 = 0

y con esto obtenemos las ecuaciones (2.49) y (2.50).

𝑏1 = 𝑎1𝑆11 (2.47)

𝑏2 = 𝑎1𝑆21 (2.48)

𝑏1 = 𝑎2𝑆12 (2.49)

(40)

29 Por lo tanto podemos expresar los parámetros de dispersión de la siguiente manera, acuerdo con las ecuaciones (2.47)-(2.50).

𝑆11 =𝑏1

𝑎1 | 𝑎2 = 0 (2.51)

𝑆21= 𝑏2

𝑎1 | 𝑎2 = 0 (2.52)

𝑆12 =𝑏1

𝑎2 | 𝑎1 = 0 (2.53)

𝑆22= 𝑏2

𝑎2 | 𝑎1 = 0 (2.54)

Para poder medir el parámetro 𝑆11 se necesita, en el puerto 2, una terminación con la misma impedancia característica del dispositivo. Se mide solamente la razón de la onda reflejada y la onda incidente en el puerto 1. Este parámetro es en realidad el coeficiente de reflexión en la entrada.

De manera similar al parámetro 𝑆11, el 𝑆22 se mide colocando, en el puerto 1, una terminación con la misma impedancia característica del dispositivo. Este parámetro es el coeficiente de reflexión en la salida.

El 𝑆21 puede ser medido cuando el puerto 2 tiene una terminación igual a la impedancia característica del dispositivo y la señal se aplica en el puerto 1. La razón entre las señales medidas entre el nodo 𝑏2 y el 𝑎1 (voltaje entre los puertos de salida y de entrada), define este parámetro. El 𝑆21 es el coeficiente

(41)

30 de transmisión entre el puerto 2 y 1. Para el parámetro 𝑆12, se hace lo inverso. El puerto 1 se termina con la misma impedancia característica del dispositivo y la señal de aplica en el puerto 2. . La razón entre las señales medidas entre el nodo 𝑏1 y el 𝑎2 define ahora este parámetro. El 𝑆12 es el coeficiente de transmisión entre el puerto 1 y 2 [31].

2.3 Tipos de filtrado básicos para microondas

Los filtros son dispositivos de dos puertos usados para el control de la respuesta en frecuencia en RF o en sistemas de microondas, permitiendo el paso de la señal en la banda de paso y atenuándola en la banda de rechazo [1]. Los tipos de filtrado básicos son (mostrados en la figura 2.5): a) Pasa-Altas, b) Rechaza-Banda, c) Pasa-Bajas y d) Pasa-Banda.

(42)

31

2.4 Superficies selectivas de frecuencia (FSS)

Las superficies selectivas de frecuencia, también llamadas dicroicas, son básicamente un conjunto de elementos idénticos colocados en una matriz infinita de una o dos dimensiones [18], las cuales transmiten o reflejan ciertas ondas electromagnéticas en base a su longitud de onda.

2.4.1 Primeras FSS: Principio de funcionamiento

En la década de los 60’s se inició con el estudio de las FSS debido a las

potenciales aplicaciones militares. Se observó que al incidir una onda EM sobre un conjunto de espiras idealmente infinitas y separadas una distancia DX (figura 2.6a), estas tienen una respuesta en frecuencia similar a la de una

inductancia. De manera similar, se tienen otro conjunto de espiras pero ahora de longitud finita (2𝑙) (figura 2.6b), la respuesta ahora en frecuencia es similar a un circuito LC en serie, debido a que el espacio que queda a lo largo entre espiras produce capacitancias parásitas [18].

Fig. 2.6: Primeras FSS [18].

Pero los primeros en reportar este fenómeno fueron Marconi y Franklin en 1919 [32]. Ellos fabricaron un reflector parabólico de secciones de alambre y

(43)

32 establecieron que la longitud de las espiras debe ser aproximadamente la mitad de la longitud de la onda incidente o en estudio.

2.4.2. Clasificación y aplicaciones

Las superficies selectivas de frecuencia se pueden clasificar de muchas maneras, por ejemplo: material de fabricación, respuesta en frecuencia, por la geometría de sus elementos, etc.

A. Respuesta en frecuencia

En este grupo se encuentran las ya descritas en la sección 2.3. Las FSS pueden tener respuestas Bajas, Altas, Rechaza-Banda, Pasa-Banda o una combinación de las anteriores.

B. Geometría de los elementos

En esta clasificación se hacen divisiones en 4 grupos importantes:

Fig. 2.7: Grupo I: Centro conectado o N polos [18].

(44)

33 Fig. 2.9: Grupo III: Interior sólido o tipo plato [18].

Fig. 2.10: Grupo IV: Combinaciones [18].

Grupo I: “Centro conectado o N polos”. Aquí entran los dipolos, tripolos, etc.

Cruz de Jerusalén, espiral cuadrada, etc. Ver figura 2.7.

Grupo II: “Tipo lazo”. Todo elemento que sea un bucle, lazo, etc. entra en este

grupo, lazos circulares, cuadrados, etc. Ver figura 2.8.

Grupo III: “Interior sólido o tipo plato”. En este grupo entran todas las formas

que sean sólidas en el área transversal del elemento. Ver figura 2.9.

Grupo IV: “Combinaciones”. En este grupo entran todas las composiciones de todos los otros grupos. Ver figura 2.10.

(45)

34 C. Material de fabricación

Esta clasificación es dividida, para fines de esta investigación, en dos grupos: las FSS que están fabricadas en una placa metálica sobre una superficie dieléctrica [3] (metálicas) y las que no se utiliza ningún material metálico en su fabricación [9] (totalmente dieléctricas).

Al ser las primeras superficies selectivas en fabricarse, las metálicas son las más abundantes en el medio. Normalmente son placas de cobre con el diseño de elementos pertenecientes a uno de los cuatro grupos ya mencionados, fabricados mediante fotolitografía (ver figura 2.11). Esta tarjeta se coloca encima de una placa de dieléctrico, por ejemplo PET [3], F4B-2[4], etc. Además de placas de cobre, también se utiliza la técnica de impresión electrónica, en la cual se imprimen los elementos o celdas directamente sobre la placa dieléctrica como PET [6] usando tinta metálica como plata, o sobre papeles con características especiales [7].

Las FSS totalmente dieléctricas (ADFSS “All-Dielectric Frequency Selective Surfaces), como su nombre lo dicen son enteramente fabricadas con materiales dieléctricos (figura 2.12). Esto con el fin de obtener mejores anchos de banda (menores o mayores dependiendo la aplicación y el diseño) debido al gran factor de calidad (varios miles [33]) o las mínimas pérdidas que dichos materiales tienen. En esta clasificación, el diseño varía bastante de acuerdo a su constante dieléctrica y la frecuencia a bloquear [34]. Ya que como se puede observar en las ecuaciones 2.33 y 2.34, la frecuencia de resonancia depende puramente de la geometría y de la velocidad de la luz en el material.

(46)

35 Fig. 2.11: FSS metálica [35].

(47)

36

3 DISEÑO Y SIMULACIONES

En este capítulo se presentan los motivos principales por los cuales se eligió la estructura fabricada en este trabajo de investigación. Así como los resultados de la optimización de distintos parámetros.

3.1 Selección del tipo de estructura

El objetivo de esta tesis es obtener una superficie selectiva de frecuencia totalmente dieléctrica a base de agua (𝜀𝑟 = 80 y 𝑇𝑎𝑛𝛿 = 0.089) y PLA (𝜀𝑟 = 2.75 y 𝑇𝑎𝑛𝛿 = 1.15𝐸 − 3), que transmita la banda de Wi-Fi de 2.4GHz y bloquee la del internet de las cosas (5GHz). Utilizando la ecuación 2.33 y el resultado de algunas simulaciones previas en HFSS [37] se obtienen las siguientes dimensiones para el resonador mostrado en la figura 3.1 para el modo 𝑇𝐸011 : 𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚, 𝑠 = 1𝑚𝑚, 𝑑 = 8𝑚𝑚 . Al diseñar la FSS correspondiente a esta estructura, mostrada en la figura 3.2, se obtiene la curva de transmisión en función de la frecuencia mostrada en la figura 3.3. En esta gráfica se observa una transmisión de 0-3GHz. Luego una banda de rechazo de 3-5.6GHz, y para frecuencias mayores a 5.6GHz el comportamiento contiene muchas oscilaciones.

(48)

37 Figura 3.2: FSS diseñada en HFSS, PLA (blanco) y Agua (azul). 𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚, 𝑠 =

1𝑚𝑚, 𝑑 = 8𝑚𝑚, 𝐺𝑎𝑝 = 1𝑚𝑚, ℎ𝑠= 2𝑚𝑚.

Figura 3.3: Transmisión en función de la frecuencia de la FSS.

En la gráfica mostrada en la figura 3.3, se puede observar que las primeras dos resonancias caen en frecuencias de 2.2 y 3.5GHz, las cuales pertenecen a los modos 𝑇𝐸011 y 𝑇𝐸111 que son identificados por las distribuciones de campo mostradas en las figuras 3.4 y 3.5.

(49)

38 Figura 3.4: Distribución de campo eléctrico del modo 𝑇𝐸011: a) Simulación a 2.2GHz, b)

teoría [38].

Figura 3.5: Distribución de campo eléctrico del modo 𝑇𝐸111: a) Simulación a 3.15GHz, b)

teoría [38].

Usando el modo “Eigen” de HFSS se obtiene el factor de calidad 𝑄𝑂 de la

estructura de la figura 3.1 el cual está apenas por arriba de 10.5 (en 2.2GHz). Con esto y debido al comportamiento poco estable que tiene la transmisión en función de la frecuencia (véase la figura 3.3) se concluye que esta estructura no es la adecuada para cumplir con los objetivos planteados para esta investigación. Con lo anterior, se decide hacer 𝑛 número de orificios a través del resonador, como se muestra en la figura 3.6 y 3.7, para bajar la permitividad efectiva y subir el factor de calidad, los cuales se miden usando el modo “Eigen” de HFSS obteniendo los resultados mostrados en las figuras

(50)

39 Figura 3.6: Estructuras diseñadas en HFSS: a) 𝑛 = 0, b) 𝑛 = 1, c) 𝑛 = 3, d) 𝑛 = 5.

Figura 3.7: Estructuras diseñadas en HFSS (vista frontal): a) 𝑛 = 0, b) 𝑛 = 1, c) 𝑛 = 3, d) 𝑛 = 5.

(51)

40 Figura 3.8: Permitividad efectiva de simulaciones vs número de orificios.

Figura 3.9: Factor de calidad en función de 𝑛 = 0, 1, 3, 5, 7, 9 en las frecuencias 2.2, 4.1, 5.5, 5.8, 6.1 y 6.4GHz, respectivamente.

Los parámetros utilizados son los siguientes: 𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚, 𝑟𝑐 = 8𝑚𝑚,

(52)

41 Al analizar las figuras 3.8 y 3.9, se decide realizar simulaciones de las superficies selectivas de frecuencia con estructura compuesta por los resonadores con 𝑛 = 0, 1, 3 y 5. Esto con el fin de comparar la transmisión en función de la frecuencia de cada una de ellas y así elegir la adecuada para su fabricación.

Las simulaciones son llevadas a cabo en HFSS en modo “Modal”, donde se construye una caja usando la herramienta “box” para crear el soporte con

altura ℎ𝑠 y largo de 62mm con el material PLA. Se agrega la estructura a simular (figuras 3.6 y 3.7) con los materiales de PLA (parte exterior) y agua (parte interior de color azul). Con esto ya se tiene la FSS diseñada. Por último, se encierra el diseño en una caja de aire con 𝐿𝑠 = 500𝑚𝑚, como se muestra en la figura 3.10. Se realiza la simulación usando puertos floquet [39] y fronteras master y slave, las cuales nos aseguran una respuesta igual a una placa infinita compuesta por la celda unitaria. En el rango de frecuencias de 0.5 a 10GHz con un ancho de paso de 0.05GHz (191 puntos).

(53)

42 Como parte de la investigación, se simulan las 4 estructuras propuestas en las figuras 3.6 y 3.7 con una permitividad relativa y tangente de pérdidas de 80 y 0.089 para el agua [40], 2.75 y 1.15E-3 para el PLA [41] respectivamente, las cuales se tomaron constantes con la frecuencia.

La transmisión en función de la frecuencia para las 4 estructuras se muestra en la figura 3.11. Se puede observar que para 𝑛 = 0, existe una banda (3-5.5GHz aproximadamente) donde la transmisión es menor al 10% (-10dB), luego una pequeña banda con mayor transmisión y después vuelve a bajar. Para 𝑛 = 1, al igual que para 𝑛 = 0, existen bandas donde la transmisión es menor y otras mayor a dicho porcentaje después de 6GHz. Analizando para

𝑛 = 3 𝑦 5, se puede observar que a partir de 4GHz aproximadamente la

transmisión es menor del 10%. Pero para 𝑛 = 3 la transmisión pasa por encima de -10dB en 9GHz aproximadamente, mientras que en 𝑛 = 5 se mantiene por debajo de dicho nivel.

Debido a que el resonador con 𝑛 = 5 muestra una adecuada transmisión en función de la frecuencia, según los objetivos planteados en esta investigación, además de que dicha estructura tiene un factor de calidad mayor a las demás, se selecciona para su fabricación y caracterización.

(54)

43 Figura 3.11: Respuesta en frecuencia para la transmisión de la onda incidente en el puerto 1

al puerto 2 (ver la figura 3.10) para diferentes 𝑛.

3.2 Análisis de modos

En esta sección del capítulo se analizan las estructuras con 𝑛 = 0, 1, 5 en HFSS con solución tipo “Eigenmode” para el estudio de los modos

fundamentales y los espurios identificándolos mediante su distribución de campo eléctrico. Además se utiliza un circuito de alimentación para la excitación de los resonadores, el cual está constituido por dos líneas de transmisión de tipo “MicroStrip (MS)” con una impedancia de 50Ω, como se

muestra en la figura 3.12. El resonador a medir se coloca en el centro de la placa.

(55)

44 Figura 3.12: Circuito simple hecho en FR4 Diseñado en HFSS. 𝑃 = 50𝑚𝑚, 𝑤 = 3.01854𝑚𝑚,

𝐿 = 22.5𝑚𝑚, ℎ = 1.5875𝑚𝑚, 𝐿á𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 1 𝑂𝑧/𝑓𝑡2.

3.2.1. Sólido (𝑛 = 0)

Mediante el modo “Eigenmode” se simula la estructura con 𝑛 = 0 (figura 3.1)

y los siguientes parámetros: 𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚, 𝑑 = 8𝑚𝑚, 𝑠 = 1𝑚𝑚. Además se lleva a cabo una simulación con el circuito propuesto en la figura 3.12. La respuesta de la transmisión en función de la frecuencia se presenta en la figura 3.13.

(56)

45 Figura 3.14: Simulación de la transmisión para la FSS con 𝑛 = 0.

En la tabla 3.1 se muestran el modo fundamental y los espurios para la estructura analizada junto con su frecuencia para los resultados en modo “Eigenmode”, el resultado con el circuito de la figura 3.12 y el resultado de la

transmisión en función de la frecuencia para la FSS (figura 3.14) con dicha estructura. Además se muestran las frecuencias de los modos según la teoría (ecuación 2.33 y Apéndice A).

(57)

46

Tabla 3.1: Modos en el resonador 𝒏 = 𝟎 Modo Eigenmode

(GHz) Líneas (GHz) FSS (GHz) Teoría (GHz)

𝐻𝐸𝑀011 2.177 2.200 2.100 2.200

𝐻𝐸𝑀111 3.067 3.150 3.200 2.430

𝐻𝐸𝑀321 3.829 3.850 3.800 3.940

𝐻𝐸𝑀041 4.753 -- 4.650 4.550

𝐻𝐸𝑀141 5.224 5.100 5.200 5.030

𝐻𝐸𝑀251 6.765 6.700 6.800 6.520

𝐻𝐸𝑀171 7.942 8.100 7.900 8.120

𝐻𝐸𝑀471 9.587 -- 9.700 9.610

En la tabla 3.1 se puede observar que algunas resonancias no aparecen en algunas configuraciones. Esto puede ser debido a la forma de incidencia de la onda y pérdidas.

3.2.2. Anillo (𝑛 = 1)

De manera análoga se llevan a cabo las mismas simulaciones pero ahora con la estructura de 𝑛 = 1 (figuras 3.6b y 3.7b). Los resultados de la simulación con el circuito de la figura 3.12 se muestran en la figura 3.15 y de igual manera se presentan los resultados de las resonancias en la tabla 3.2.

(58)

47 Figura 3.15: Simulación de la transmisión del puerto 1 al 2 para el resonador con 𝑛 = 1.

(59)

48 En la tabla 3.2 se observa en los resultados de la simulación para FSS (figura 3.16) la desaparición de los primeros dos modos lo cual se debe al orificio hecho en el centro del resonador y a la forma de incidencia de la onda. Además se puede ver el corrimiento hacía frecuencias más grandes para los mismo modos, lo cual significa que la constante dieléctrica del resonador es menor que para 𝑛 = 0, de acuerdo a la ecuación 2.33.

Tabla 3.2: Modos en el resonador 𝒏 = 𝟏

3.2.3. Revolver4 (𝑛 = 5)

De la misma manera que en los dos puntos anteriores, se presentan los resultados en la figura 3.17, 3.18 y la tabla 3.3.

En la tabla 3.3 se puede observar nuevamente la desaparición de los dos primero dos modos en la FSS y el corrimiento a frecuencias mayores por la disminución de la permitividad.

Modo Eigenmode (GHz) Líneas (GHz) FSS (GHz) Teoría (GHZ)

𝐻𝐸𝑀011 2.476 2.500 -- 2.490

𝐻𝐸𝑀111 3.138 3.350 -- 2.750

𝐻𝐸𝑀221 3.963 3.950 4.100 4.020

𝐻𝐸𝑀321 4.318 4.500 -- 4.470

𝐻𝐸𝑀041 5.208 5.300 5.300 5.160

𝐻𝐸𝑀141 5.940 5.950 -- 5.710

𝐻𝐸𝑀151 6.923 6.900 -- 6.850

𝐻𝐸𝑀351 7.882 -- 7.800 7.940

𝐻𝐸𝑀161 8.045 8.100 -- 8.020

(60)

49 Figura 3.17: Simulación de la transmisión del puerto 1 al 2 para el resonador con 𝑛 = 5.

(61)

50

Tabla 3.3: Modos en el resonador 𝒏 = 𝟓 Modo Eigenmode

(GHz) Líneas (GHz) FSS (GHz) Teoría (GHz)

𝐻𝐸𝑀011 2.781 2.800 -- 2.810

𝐻𝐸𝑀111 3.450 -- -- 3.100

𝐻𝐸𝑀211 4.111 4.150 4.200 3.450

𝐻𝐸𝑀321 5.083 5.100 -- 5.030

𝐻𝐸𝑀231 5.740 5.950 5.700 5.750

𝐻𝐸𝑀341 7.564 7.700 7.150 7.620

𝐻𝐸𝑀251 8.619 8.700 8.250 8.340

𝐻𝐸𝑀071 9.816 -- 9.900 9.720

Teniendo en cuenta todos los resultados de las simulaciones realizadas en los puntos anteriores, se decide fabricar la estructura de 𝑛 = 5 (Revolver 4), con los siguientes parámetros.

 𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚, 𝑟𝑐 = 8𝑚𝑚

 𝑟𝑏= 4𝑚𝑚, 𝑠 = 1𝑚𝑚

 𝑔𝑎𝑝 = 1𝑚𝑚, 𝑑 = 8𝑚𝑚

De la cual se espera una respuesta del tipo Pasa-Bajas, con una frecuencia de corte en aproximadamente 4GHz. Además de un FBW del 85%, como se muestra en la figura 3.19.

Aunque el modo para el cual los parámetros fueron calculados fue el 𝑇𝐸011, para esta estructura el primer modo en excitarse es el 𝐻𝐸𝑀211 con frecuencia de 4.2GHz, el cual es identificado por la forma del campo eléctrico y magnético mostrados en las figuras 3.20, 3.21 y 3.22 [38].

(62)

51 Figura 3.19: Respuesta en frecuencia Revolver 4.

Figura 3.20: Magnitud del campo eléctrico simulado en HFSS del modo 𝐻𝐸𝑀211: a)

(63)

52 Figura 3.21: Vector del campo eléctrico simulado en HFSS para 𝑛 = 5 del modo 𝐻𝐸𝑀211 a

4.2GHz: a) Vista frontal, b) vista lateral.

Figura 3.22: Vector del campo magnético simulado en HFSS para 𝑛 = 5 del modo 𝐻𝐸𝑀211 a

4.2GHz: a) Vista frontal, b) vista lateral.

Al observa la figura 3.20 se puede llegar a la conclusión de que el modo excitado es el 𝑇𝐸211 [1], pero al observar detenidamente las figuras 3.21 y 3.22 se puede detectar componentes de los campos eléctrico y magnético en la dirección de propagación, lo cual define un modo híbrido electromagnético

(64)

53

3.3 Conclusiones del capítulo

De acuerdo con las secciones anteriores se decide fabricar la superficie selectiva formada por los resonadores de 𝑛 = 5 con los parámetros siguientes:

𝑟 = 2𝑎 = 30𝑚𝑚, 𝑟𝑐 = 8𝑚𝑚, 𝑟𝑏= 4𝑚𝑚, 𝑔𝑎𝑝 = 1𝑚𝑚, 𝑠 = 1𝑚𝑚, 𝑑 = 8𝑚𝑚,

𝑠 = 2𝑚𝑚.

Además, de acuerdo a las figuras 3.20, 3.21 y 3.22, el modo excitado es el

𝐻𝐸𝑀211 a pesar de que en un inicio se calcularon las medidas para la excitación del modo 𝑇𝐸01. Lo anterior es debido a que se agregan orificios al resonador y según las tablas 3.1, 3.2 y 3.3 son los causantes, además de la forma de excitación, de suprimir los primeros dos modos.

También, al observar las tablas 3.1, 3.2 y 3.3 se concluye que los modos que se transmiten en los resonadores dieléctricos diseñados en esta tesis son híbridos ya que existen componentes eléctricas y magnéticas en la dirección de propagación.

(65)

54

4 MEDICIONES Y RESULTADOS

4.1 Método de medición

La gran variedad de bandas de frecuencias de trabajo que existen hoy en día aumentan la probabilidad de captar señales no deseadas en mediciones realizadas en laboratorios de investigación. Por eso es necesario tener un eficiente método de medición que capte el menor número de estas señales.

En esta sección se comparan dos configuraciones de medición, con el fin de elegir la adecuada para su implementación en la caracterización de la superficie selectiva de frecuencia propuesta.

4.1.1. Descripción de las configuraciones

A. Configuración 1

El primer método [42] (al cual llamaremos Setup 1), consiste en dos antenas (𝑇𝑋y 𝑅𝑋) dentro de una cámara anecoica, separadas una distancia 𝑑1 y 𝑑2del

DUT (Device Under Test), como se muestra en la figura 4.1. El DUT se coloca sobre una placa metálica con una ranura en el centro, como la que se muestra en la figura 4.3.

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55 Figura 4.1: Configuración del Setup 1.

B. Configuración 2

El segundo método [42] (Setup 2), consta de una antena dentro de la cámara anecoica (𝑅𝑋) y otra fuera (𝑇𝑋), como se muestra en la figura 4.2 [42]. La puerta de la cámara se mantiene abierta, en donde se coloca una pared metálica como la de la figura 4.3, con las mismas dimensiones que la apertura de la puerta. Esto último, con el fin de mantener aislada la cámara de las ondas electromagnéticas no deseadas (ruido). En la ranura, se coloca el DUT para su medición.

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56 En ambas configuraciones, las antenas están conectadas a los cables de un

VNA (Vector Network Analyzer) FieldFox N9918-A, previamente calibrado mediante la técnica SOLT (Short-Open-Load-Through).

Figura 4.3: Pared metálica.

4.1.2 Transmisión nula

En este apartado, para ambas configuraciones, se coloca una placa, también de metal, sobre la ranura de la pared metálica, como se muestra en la figura 4.4. Lo anterior para conseguir la menor transmisión del puerto 1 al 2. Enseguida, se lleva a cabo la medición de la transmisión, esperando (en el caso ideal) sea nula.

En la figura 4.5 se muestran los resultados de la transmisión del puerto 1 al puerto 2 para ambas configuraciones. Se puede observar que el Setup 2

siempre se mantiene por debajo de los -45 dB, incluso, a partir de 1GHz siempre está por debajo de -50dB. En cambio el Setup 1, puede llegar arriba de -45dB.

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57 Figura 4.4: Medición para transmisión idealmente nula: a) Setup 1, b) Setup 2.

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58 4.1.3 Diseño y simulación de la FSS de metal

Basado en [18], se diseña y simula una FSS, sobre FR4, del tipo Rechaza-Banda de tal manera que la banda de rechazo esté dentro del rango de medición de las antenas (0.85-6.5GHz). Esta FSS es diseñada con el fin de probar el método de medición y comparar los resultados con las simulaciones antes de fabricar la ADFSS. Con lo anterior, el diseño de la FSS se muestra en las figuras 4.6 y 4.7, con las siguientes dimensiones: a = b = 40mm; s = 2mm; gap = 3mm; t = 0.035mm (1 oz); h = 1.5875mm. Estos parámetros

son escogidos tal que las resonancias estén dentro del rango de medición de las antenas (0.85 a 6.5GHz).

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59 Figura 4.7: Representación del corte transversal.

Tomando en cuenta los valores anteriores se lleva a cabo una simulación en HFSS (figura 4.8) en el rango ya mencionado de las antenas, obteniendo los resultados mostrados en la figura 4.9. En los cuales se puede observar un rechazo desde 0.85GHz hasta 1.6GHz aproximadamente.

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60 Figura 4.9: Resultados de la simulación en HFSS.

4.1.4 Medición de la FSS de metal

Con los parámetros obtenidos de la simulación, se construye la FSS sobre un sustrato de FR4 de una cara (figura 4.10). La impresión del patrón se lleva a cabo por el método de fotolitografía. Una vez fabricada, se mide la transmisión mediante los métodos descritos anteriormente.

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61 Figura 4.10: FSS de cobre fabricada sobre FR4 de una cara.

Debido a las diversas pérdidas y ruido que existen al momento de llevar a cabo la medición (aire, antenas, aparatos electrónicos, etc.), se tiene que hacer una normalización de los datos. Esto se logra midiendo primeramente sin el DUT sobre la ranura (𝑆21 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒), como se muestra en la figura 4.11. Enseguida,

se coloca la FSS y se mide la transmisión de nuevo (𝑆21 𝐹𝑆𝑆), como se observa en la figura 4.12. Para obtener solo la respuesta de la superficie selectiva, se introducen los datos obtenidos en la ecuación (4.1) [42] y se obtienen las gráficas mostradas en las figuras 4.13 y 4.14.

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62 Figura 4.11: Medición de la referencia: a) Setup 1, b) Setup 2.

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63 Figura 4.13: Resultados experimentales vs simulación para el Setup 1.

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64 4.1.5 Conclusiones

De acuerdo a los resultados mostrados en las figuras 4.5, 4.13 y 4.14, se puede concluir que el método del Setup 2 es mejor debido a que los datos experimentales coinciden de mejor manera con las simulaciones y la antena receptora se encuentra con mayor aislamiento. Además el método es bastante simple para su construcción y es también económicamente accesible. Por lo tanto se escoge esta configuración para llevar a cabo la caracterización de la FSS propuesta en esta tesis.

4.2 Resumen de la tesis

4.2.1 Caracterización de la estructura propuesta

Una vez seleccionado el método de medición, la caracterización de la FSS, mostrada en la figura 4.15, se lleva a cabo utilizando un VNA (Vector Network Analyzer) FieldFox N9918-A previamente calibrado mediante la técnica SOLT

(Short-Open-Load-Through), un par de antenas Vivaldi (1 - 10GHz) y los materiales ya mencionados previamente en la descripción del Setup 2 (placa metálica, tapa metálica, cámara anecoica, etc.).

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65 Figura 4.15: FSS Impresa en PLA-Agua [43].

Según el método a utilizar, se siguen los siguientes pasos (después de la calibración):

 Medición del parámetro 𝑆21 de la referencia (𝑆21 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒).

 Medición del parámetro 𝑆21 del DUT (𝑆21 𝐹𝑆𝑆).

 Se ingresan los parámetros de los puntos anteriores en la ecuación 4.1.

 El resultado de la aplicación de la ecuación 4.1 se grafica contra la frecuencia.

(77)

66 Figura 4.16: Resultados experimentales: Transmisión vs Frecuencia.

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