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mencionando la fuente.
Corrección del frente de onda en un
Interferómetro de Difracción por Punto
empleando un modulador espacial de luz.
Por:
José Alex Zenteno Hernández
Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de:
Maestro en Ciencias en el Área de Óptica
En el:
Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y Electrónica
Agosto 2018
Tonantzintla, Puebla
Supervisada por:
Fermín Salomón Granados Agustín, INAOE
Daniel Aguirre Aguirre, ICAT-UNAM
I
Resumen
En el presente trabajo se describe la construcción, caracterización e implementación de un Interferómetro de Difracción por Punto (IDP). Se desarrolla la teoría general inherente al mismo y se enfatiza su viable implementación en interferometría óptica. Particularmente para la detección de defectos en superficies ópticas bajo prueba. El trabajo abarca desde la generación de placas semitransparentes con micro orificios, para poder generar un IDP, hasta su implementación y análisis cualitativo.
El trabajo se sustenta con el desarrollo de simulaciones computacionales basadas en la teoría general del IDP, considerando parámetros físicos reales de los experimentos que permiten predecir el comportamiento real del interferómetro en el laboratorio. Estas simulaciones se adecúan a diferentes técnicas de análisis interferométrico, específicamente, técnicas de desplazamiento de fase con las cuales se recupera un frente de onda.
El objetivo fundamental del trabajo es implementar el IDP para el análisis de superficies con defectos y compensarlos implementando un modulador espacial de luz corrigiendo el frente de onda proveniente de dicha superficie. Con el fin de realizar esta corrección, primeramente es necesario conocer los defectos en el frente de onda. Para ello, se emplean algoritmos de corrimiento de fase que permiten la caracterización cualitativa y cuantitativa de los defectos. Una vez conocidos, se generan mascarillas de fase que poseen la compensación de los defectos en el frente de onda. Implementando estas funciones en el modulador espacial de luz (desplegándolas como una imagen en escala de grises) el frente de onda aberrado es modificado en su fase por dichas funciones compensando los defectos y, en consecuencia, se obtiene un frente de onda corregido.
II
Agradecimientos
Mi más sincero agradecimiento a Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por la beca otorgada.
Al Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica (INAOE) que a través de su planta académica, administrativos e instalaciones fue posible el desarrollo de mis estudios de posgrado.
A mis asesores, el Doctor Fermín Salomón Granados Agustín y el Doctor Daniel Aguirre Aguirre por todo el apoyo brindado.
A mis sinodales, el Doctor Alejandro Cornejo Rodríguez, la Doctora María Elizabeth Percino Zacarías y la Doctora Brenda Villalobos Mendoza por sus haberse tomado el tiempo de leer este trabajo y haberlo mejorado con sus observaciones.
A todo el equipo de Instrumentación ya que en pequeña o gran medida contribuyeron al desarrollo del trabajo.
A mi familia. A mi madre y abuela que siempre han creído en mí. A Naara, por el apoyo incondicional y amor que me ha demostrado.
III
Índice general
1 Introducción ... 1
2 Marco Teórico ... 3
2.1 Interferencia de campos ópticos ... 3
2.2 Condiciones para la interferencia ... 5
2.2.1 Coherencia temporal... 5
2.2.2 Coherencia espacial ... 6
2.3 Superposición de dos ondas esféricas ... 6
2.4 Interferómetro de difracción por punto ... 8
2.4.1 Análisis teórico para un IDP ... 8
3 Fabricación de placas para IDP ... 13
3.1 Laboratorio de películas delgadas ... 13
3.2 Laboratorio de microelectrónica... 15
3.3 Índice de refracción de las placas ... 17
4 Simulaciones computacionales de un IDP ... 18
4.1 Simulación computacional de un IDP ... 18
4.1.2 Efectos presentes en un IDP (resultados computacionales) ... 20
4.2 Simulación de un IDP para probar superficies esféricas con defectos locales ... 28
4.2.1 Efectos de un IDP para el análisis de los defectos en una superficie ... 32
4.3 Corrección de fase de los frentes de onda para compensar defectos locales. ... 36
4.3.1 Análisis interferométrico para un IDP – Desplazamiento de fase ... 36
4.3.2 Simulaciones numéricas de un IDP con métodos de desplazamiento de fase ... 39
4.3.3 Obtención de los defectos locales en un IDP ... 42
4.3.4 Generación de funciones de fase para la compensación de defectos en la superficie 46 5 Implementación de placas para un IDP ... 51
5.1 Efectos presentes en un IDP ... 52
5.2 IDP para el análisis de una superficie con defectos locales ... 56
6 Corrección del frente de onda empleando un modulador espacial de luz ... 59
6.1 Análisis del desplazamiento de fase debido a cambios de niveles de gris en el modulador espacial de luz... 59
IV
6.3 Corrección de defectos locales mediante modulación de niveles de gris en el
modulador espacial de luz... 63
7 Conclusiones y trabajo a futuro ... 70
8 Referencias ... 72
Anexo I – Código de programa para la simulación numérica de un IDP ... 73
Anexo II – Código de programa para la simulación numérica de un IDP para probar superficies con defectos locales ... 75
Anexo III – Código de programa para la simulación numérica de un IDP con desplazamiento de fase ... 78
Anexo IV – Código de programa para la simulación numérica de un IDP con desplazamiento de fase y obtención de los defectos en un frente de onda ... 81
Anexo V – Código de programa para la simulación numérica de un IDP con desplazamiento de fase, obtención de los defectos en un frente de onda y generación de imagen en escala de grises para modulación. ... 86
V
Índice de figuras
Fig. 1 (a) Las franjas de interferencia no localizadas producidas por dos fuentes esféricas son hiperboloides de revolución alrededor del eje S1-S2, (b) Hipérbolas resultantes de la intersección de los
hiperboloides con un plano que pasa por S1 y S2 [8]. ... 7
Fig. 2 La distribución de las franjas varía en función de la ubicación del plano de observación. ... 7
Fig. 3 Esquema de un Interferómetro de Difracción por Punto. ... 8
Fig. 4 Diagrama de análisis para la onda del micro-orificio. ... 9
Fig. 5 Diagrama de análisis para la onda esférica. ... 11
Fig. 6 Diagrama de análisis del IDP, campos propagados. ... 12
Fig. 7 Gotas de mercurio sobre placa de vidrio. ... 13
Fig. 8 a) Selección de micro-gota del tamaño apropiado (15 micras), b) Micro-gota en sustrato limpio . 14 Fig. 9 Revisión de la placa semitransparente con orificio. ... 14
Fig. 10 Versión final de las placas (Gota de mercurio). ... 14
Fig. 11 Esquema representativo de la mascarilla empleada para el proceso de microlitografía (no refleja las dimensiones reales). ... 15
Fig. 12 a) Fotoimpresión del patrón sobre sustrato b) Patrón impreso c) Silanol removido d) Vista representativa del sustrato final. ... 16
Fig. 13 Versión final de las placas (Microlitografía) ... 16
Fig. 14 Diagrama de flujo de la simulación numérica para un IDP. ... 19
Fig. 15 Simulación numérica de un IDP. 𝜙orificio=6 micras, nv=1.514, nAl=1.396, z’=55cm. ... 20
Fig. 16 Esquema del desplazamiento o defoco de la imagen de un objeto debido una placa plano paralela. ... 20
Fig. 17 Interferogramas obtenidos en la simulación de un IDP para diferentes espesores de la película de aluminio con transmitancias de: a) 100%, b) 90%, c) 80% y d) 70% ... 21
Fig. 18 Corrimiento de franjas debido al defoco inducido por la película de aluminio. a) Comparación de interferogramas de 100% y 70% de transmitancia. b) Acercamiento a la zona central derecha. c) Vista transversal (normalizada) del perfil de interferencia. ... 21
Fig. 19 Variación del tamaño del micro-orificio. Interferogramas resultantes. ... 23
Fig. 20 Patrón de difracción de una apertura circular. ... 23
Fig. 21 Diagrama de análisis para desplazamientos laterales y verticales de la placa en un IDP. ... 24
Fig. 22 Diferentes desplazamientos laterales y verticales para la placa de un IDP. Δx=10µm y Δy=10µm. ... 24
Fig. 23 Esquema representativo de un desplazamiento lateral de la placa en un IDP. a) Placa centrada. b) Placa desplazada ... 25
Fig. 24 Geometría de la separación entre dos ondas esféricas con diferente radio de curvatura [17]. ... 25
Fig. 25 Diagrama representativo de un desplazamiento axial de la placa de un IDP. a) sin desplazamiento, b) desplazamiento hacia atrás del punto de convergencia, c) desplazamiento hacia adelante del punto de convergencia. ... 26
Fig. 26 Desplazamiento axial de la placa de un IDP. Partiendo desde el punto focal hacia atrás y hacia adelante. a) Desplazamiento hacia atrás, distancia máxima: ∆z~1mm, b) Desplazamiento hacia adelante, distancia máxima: ∆z~1mm. ... 27
Fig. 27 Defoco para interferogramas con aberración esférica. ... 27
Fig. 28 Aberración esférica ante la combinación de defoco y desplazamientos laterales de la placa en un IDP. ... 27
VI
Fig. 30 Esquema representativo de un IDP analizando una superficie esférica con defectos. ... 28
Fig. 31 Diagrama de flujo de la simulación numérica para un IDP probando superficies esféricas con defectos. ... 29
Fig. 32 Función bidimensional cuyos valores son múltiplos de longitudes de onda. ... 29
Fig. 33 a) Fase de la onda esférica sin modificaciones. b) Fase de la onda esférica después de ser modificada por la acción de los defectos. ... 30
Fig. 34 Simulación de un IDP para una superficie con defectos. ... 31
Fig. 35 Simulaciones de IDP’s para diferentes superficies con defectos de geometrías complejas. ... 31
Fig. 36 Interferogramas para un frente de onda aberrado con defectos a) positivos b) negativos. Se muestran los perfiles de la onda con los defectos respectivamente. ... 32
Fig. 37 Esquema representativo de la comparación de un desplazamiento de la placa del IDP a) dentro de la zona de convergencia b) fuera de la zona de convergencia. ... 33
Fig. 38 Simulación del desplazamiento lateral de la placa de un IDP. a) IDP para una onda sin aberraciones b) IDP para una onda aberrada. ... 34
Fig. 39 Simulación de defoco en un IDP a) IDP para una onda sin aberraciones b) IDP para una onda aberrada Δz≈500µm. ... 35
Fig. 40 IDP para una superficie con defecto. a) Pocas franjas b) después de cierto defoco aumenta el número de franjas. ... 36
Fig. 41 Interferogramas resultantes después de aplicar un desplazamiento en la fase. ... 37
Fig. 42 a) Interferogramas con corrimiento b) Perfil transversal de los interferogramas (al centro) c) Fase recuperada ... 40
Fig. 43 a) Interferogramas con corrimiento b) Perfil transversal de los interferogramas (al centro) c) Fase recuperada ... 42
Fig. 44 Algoritmo a seguir para la obtención de defectos locales en un IDP. ... 42
Fig. 45 Método de las 4 imágenes para la obtención de la fase de un frente de onda con defectos. a) Interferogramas generados tras el corrimiento de fase b) Fase obtenida. ... 43
Fig. 46 Método de las 4 imágenes para la obtención de la fase de un frente de onda sin defectos. a) Interferogramas generados tras el corrimiento de fase b) Fase obtenida. ... 44
Fig. 47 Defecto obtenido. ... 44
Fig. 48 Proceso para la modulación y comparación de los interferogramas con y sin defectos. ... 47
Fig. 49 Defecto obtenido y su respectiva función de modulación. ... 47
Fig. 50 Esquema de la corrección del frente de onda con defectos. ... 48
Fig. 51 a) Interferograma para un frente de onda con defecto. b) Interferograma para el mismo frente de onda pero compensado. ... 48
Fig. 52 a) Interferograma compensado b) Interferograma de referencia. ... 49
Fig. 53 Corrección del frente de onda mediante funciones de modulación. a) Frente de onda aberrado b) Interferograma con dislocaciones en las franjas c) Interferograma después de haber modulado los defectos. ... 49
Fig. 54 Corrección del frente de onda mediante funciones de modulación. a) Frente de onda aberrado b) Interferograma con dislocaciones en las franjas c) Interferograma después de haber modulado los defectos. ... 50
Fig. 55 Esquema del arreglo experimental. (1) Fuente de luz tipo Zygo, (2) Placa para el IDP montada en una base micrométrica de tres ejes, (3) Plano de observación. ... 51
Fig. 56 IDP's obtenidos con placas hechas por el método de gota de mercurio. ... 52
Fig. 57 IDP's obtenidos con placas hechas por el método de microlitografía. ... 52
Fig. 58 Efecto sobre la variación del espesor de la película delgada de aluminio sobre los interferogramas. ... 53
VII
Fig. 60 Efecto de desplazamientos laterales de la placa en un IDP. Δx=10µm y Δy=10µm ... 54
Fig. 61 Efecto de defoco en un IDP, Δz≈1mm. ... 55
Fig. 62 Aberración asférica presente en un IDP. ... 55
Fig. 63 Combinación de defoco con desplazamientos laterales en un IDP para observar aberración asférica. ... 55
Fig. 64 Obtención parcial de franjas rectas, paralelas e igualmente espaciadas en un IDP. ... 56
Fig. 65 Arreglo experimental & esquema para un IDP con superficies con defectos. ... 57
Fig. 66 IDP para una superficie con defecto tipo escalón de λ/2. ... 57
Fig. 67 IDP para una superficie con defecto tipo escalón de λ/4. ... 57
Fig. 68 IDP para superficie reflectora con defectos locales. ... 58
Fig. 69 Moléculas de cristal líquido en un pixel del modulador a) Sin voltaje aplicado b) Con voltaje aplicado. ... 60
Fig. 70 Modulación de fase para 632nm del modulador espacial de luz LC 2012. ... 60
Fig. 71 IDP para una superficie con defecto. a) Pocas franjas b) después de cierto defoco aumenta el número de franjas. ... 61
Fig. 72 Superficie óptica con defectos locales... 61
Fig. 73 Corrimiento de fase por defoco en un IDP. a) Interferogramas con desplazamiento en franjas. b) Fase recuperada... 62
Fig. 74 Diferentes vistas del defecto en la sección del frente de onda recuperado. ... 63
Fig. 75 Curvas de nivel del defecto en el frente de onda. ... 63
Fig. 76 Frente de onda con defecto local. ... 63
Fig. 77 a) Frente de onda aberrado b) Defecto c) Función de modulación... 64
Fig. 78 Función de modulación (vista transversal) a) Fase desenvuelta b) Fase envuelta. ... 65
Fig. 79 Función de modulación a) Normalizada b) Operando en el rango dinámico del modulador espacial de luz. ... 65
Fig. 80 Función de modulación en escala de grises. ... 65
Fig. 81 Simulación numérica de un defecto tipo escalón λ/2 a) Defecto b) Interferograma. ... 66
Fig. 82 Simulación numérica de un defecto tipo escalón λ/4 a) Defecto b) Interferograma. ... 66
Fig. 83 Imágenes para compensar defectos tipo escalón. Estas imágenes son desplegadas en el modulador espacial de luz. a) λ/2 b) λ/4. ... 67
Fig. 84 Interferogramas tras la corrección del frente de onda a) λ/2 b) λ/4. ... 67
Fig. 85 Interferogramas para escalones de a) λ/2 b) λ/4. ... 68
Fig. 86 Dislocación en franjas debido a defecto en la superficie. ... 68
Fig. 87 Modulación del frente de onda en un IDP a) Interferograma con dislocaciones en las franjas b) Imagen en escala de grises para la modulación del frente de onda, correspondiente a λ/2 b) Frente de onda corregido - interferograma sin dislocaciones. ... 69
Fig. 88 Modulación del frente de onda en un IDP a) Interferograma con dislocaciones en las franjas b) Imagen en escala de grises para la modulación del frente de onda, correspondiente a λ/4 b) Frente de onda corregido - interferograma sin dislocaciones. ... 69
Índice de tablas
Tabla 1 Caracterización de defectos por desplazamiento de fase. Variación de la distancia de observación ... 45Tabla 2 Caracterización de defectos por desplazamiento de fase. Variación del defoco. ... 46
Tabla 3 Caracterización de defectos por desplazamiento de fase. Variación horizontal o vertical de la placa. ... 46
1
1 Introducción
A través de los años se ha llegado a comprender que una forma de medición precisa está basada en la interacción entre una onda con otra. Si dos ondas de la misma naturaleza interactúan una con otra superponiéndose se generará el fenómeno de interferencia. Debido a las diferencias entre los caminos recorridos por las ondas, éstas se superpondrán constructiva o destructivamente, el resultado de este fenómeno es un patrón de interferencia. De estos patrones se puede obtener información relevante tanto de las ondas como de los caminos o medios por los cuales pasaron [1]. Si específicamente se considera luz (onda) para obtener este fenómeno, el patrón de interferencia obtenido será una variación de intensidades de franjas y/o anillos de luz y obscuridad. Ahora, debido a que la longitud de onda, por ejemplo en el rango visible, es del orden de nanómetros, entonces será posible detectar muy pequeñas variaciones en sus trayectorias y esto podrá ser notable al analizar los cambios de intensidad en el patrón de interferencia. Como resultado, la interferencia óptica permite gran precisión para realizar mediciones [2].
Emplear un patrón de interferencia para realizar mediciones es conocido como interferometría, técnica que ha sido empleada por más cien años. Sin embargo, varios desarrollos nuevos han ampliado su alcance y precisión, y han hecho que el uso de la interferometría óptica sea práctico para una amplia gama de mediciones [2].
Los arreglos o instrumentos ópticos que generan interferencia son llamados interferómetros. Para lograr la interferencia óptica se requieren ciertas condiciones importantes las cuales se mencionarán más adelante y con más detalle en este documento. Una de las principales condiciones que deben cumplir estos arreglos es que las ondas que se van a hacer interferir provengan de la misma fuente de modo que dentro del mismo arreglo se debe generar una división del haz principal. Este propósito divide la clasificación de interferómetros en dos grandes ramas: interferómetros de división de frente de onda, los cuales dividen un haz de luz haciéndolo pasar por aperturas colocadas una a lado de la otra, sin embargo, este método es útil sólo cuando las fuentes generadas son lo suficientemente pequeñas. La otra gama de interferómetros es llamada de división de amplitud, los cuales dividen el haz parcialmente haciéndolo pasar por superficies en las cuales parte de la luz se transmite y parte se refleja; éstos pueden ser empleados para fuentes extendidas [3]. La versatilidad de los arreglos interferométricos da lugar a diferentes formas de obtención de los patrones de franjas y/o anillos. Para ciertos arreglos la interferencia está “localizada”, es decir, existe en una región en el espacio en la cual se puede identificar de manera intuitiva, pero existen otros arreglos en los cuales la interferencia es “no localizada” y existe en una región extendida del espacio [4].
Muchos conocimientos revolucionarios se descubrieron gracias al uso de éstos instrumentos: la naturaleza de la luz debido al interferómetro de Young; la inexistencia del éter con el interferómetro de Michelson; el fenómeno interferométrico asociado al movimiento de rotación con el interferómetro de Sagnac, por mencionar algunos [2], [3]. Los interferómetros son ampliamente empleados en la ciencia y la industria para medir pequeños desplazamientos, índices de refracción o irregularidades en superficies.
Determinar la calidad de componentes ópticas es de gran importancia para asegurar un correcto desempeño de las mismas. Emplear interferometría para ello es de gran utilidad ya que la luz permite identificar defectos que a simple vista o con instrumentos convencionales no podrían ser detectados. El Interferómetro de Difracción por Punto (IDP) es un interferómetro de doble haz en el que una onda esférica de referencia es generada por la difracción de un micro-orificio en una película semitransparente al paso de una onda esférica convergente previa (proveniente de un sistema de iluminación) que después
2
de sufrir una atenuación en su amplitud, continua propagándose convirtiéndose en una onda esférica divergente. Debido a que ambas ondas esféricas siguen la misma trayectoria, en su propagación interfieren, generando un patrón de interferencia no localizado.
Que las ondas generadas recorran el mismo camino óptico clasificaría al IDP en un interferómetro de trayectoria común, característica que le brinda robustez y estabilidad ante vibraciones. Sin embargo, debido a que divide el frente de onda tanto en amplitud (por acción de la película semitransparente) como en frente de onda (haciéndolo pasar por el micro-orificio) no se puede clasificar como un interferómetro de división de amplitud o de división de frente de onda.
El IDP es un interferómetro simple debido a las pocas componentes en las que consiste. Pese a no ser tan sencillo de fabricar ya que requiere ciertos instrumentos y materiales, con este dispositivo se pueden medir diferencias de caminos ópticos de forma directa [5], se pueden analizar frentes de onda [6] y también evaluar calidades en superficies ópticas [7].
El propósito de este trabajo es evaluar la calidad de una superficie óptica analizando el patrón de interferencia de la onda proveniente de dicha superficie y la onda esférica de referencia en un IDP. Dado que el patrón de interferencia estará modificado en la distribución de sus franjas debido a la forma de los defectos en la superficie bajo prueba, analizando estas deformaciones en el patrón de franjas, se podrá inferir la forma y altura de los defectos en la superficie bajo prueba. Una vez conocidos los defectos en la superficie, se empleará un modulador espacial de luz con el cual se corregirán los defectos del frente de onda aberrado mediante funciones de fase generadas a partir del defecto previamente analizado. Con el frente de onda corregido se espera encontrar un patrón de franjas de interferencia en el IDP sin dislocaciones o corrimientos en sus franjas.
3
2 Marco Teórico
2.1
Interferencia de campos ópticos
Considerando dos ondas electromagnéticas que pueden ser representadas matemáticamente por las siguientes expresiones:
1 1
2 2
1,
01 i t;
2,
02 i t;
E r t
E e
E
r t
E e
1
Las fases
1 y
2 incluyen la dependencia espacial de las ondas y son independientes del tiempo.
1y 2
corresponden a las frecuencias angulares de cada onda.Suponiendo que la polarización de dichas ondas es lineal y a lo largo de los vectores E01 y E02. Las
intensidades de dichas ondas vienen dadas por la expresión:
2
0 i ( 1, 2)
i
I c E i 2
Con
c
como la velocidad de la luz en el vacío y
0 la permitividad eléctrica. Debido a que las oscilacionesde los campos electromagnéticos son muy rápidas (≈1015 Hz) su valor instantáneo es difícil de obtener. Por ello se requiere obtener el promedio temporal de su amplitud, denotado por el operador . Es decir, se registra la energía radiante durante un intervalo de tiempo finito utilizando, por ejemplo, una fotocelda, una placa de película o la retina de un ojo humano [4].
En la región donde estas ondas se superpongan, el campo resultante será simplemente la suma vectorial de los campos de las ondas,
1 2
EE E 3
Por lo que la intensidad luminosa resultante será:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
0 0 2
I c E E c E E E E
4
o bien, considerando la ecuación (2) y llamando
I
12 al último término,1 2 12
I
I
I
I
5Lo que indica que la superposición de las ondas consta no sólo de las intensidades de cada onda, sino que también del término cruzado
I
12. Ahora, si se considera que
1
2 éste término se anula al hacerel promedio temporal [8] recuperando la expresión
I
I
1I
2 que no da lugar a fenómenos deinterferencia. Cuando se tiene que
1
2, el términoI
12 no es cero provocando variaciones en laintensidad, ecuación (5), generando así los patrones de interferencia. Este término,
I
12 es conocido como4
condición necesaria para la interferencia. Condición lograda asegurando que los campos provengan de la misma fuente de emisión. Bajo estas condiciones el término de interferencia se puede escribir:
1 2 01 02
12 2 0 0
i
I c E E c E E e 6
siendo,
1 2
7Tomando la parte real del último factor de la ecuación (6),
01 02
12 0 cos
I c
E E
8De la expresión anterior se puede inferir que la interferencia depende estrictamente de la polarización de las ondas (E01y E02) debido a que si ambas ondas fueren perpendiculares entre ellas, el producto escalar
01 02
E E sería cero y por ende
I
12 sería cero también y no se observaría interferencia. En otro extremosi las ondas fuesen paralelas el término de interferencia alcanza su más grande valor y el efecto de interferencia sería máximo. La interferencia también depende estrictamente de la diferencia de fase
. Dando por hecho que la polarización entre las ondas es la misma, el término
toma la mayor importancia para dar lugar al fenómeno de interferencia.Considerando solamente el carácter escalar de la ecuación (8) se tiene:
12 0 01 02cos 2 1 2cos
I c E E
I I
9simultáneamente,
1 2 2 1 2cos
I I I I I
10Cuando cos
1 se obtiene un máximo en la intensidad de las franjas de interferencia, esto es cuandose cumple:
2 ( 0,1, 2,...)
m m
11
en la diferencia de fase; de lo que se obtiene:
max 1 2 2 1 2
I I I I I 12
Cuando cos
1 se obtiene un mínimo en la intensidad de las franjas de interferencia, esto es cuandose cumple:
(2m 1) (m 0,1, 2,...)
13
en la diferencia de fase; de lo que se obtiene:
min 1 2 2 1 2
5
En relación con la distribución de intensidad entre máximos y mínimos resulta conveniente definir la magnitud llamada visibilidad de las franjas como medida cuantitativa del contraste entre ellas:
max min max min
I
I
v
I
I
152.2
Condiciones para la interferencia
2.2.1 Coherencia temporal
Una fuente de luz real jamás produce ondas estrictamente monocromáticas, ya que aún el más fino espectro tiene un ancho de banda finito. Una fuente real jamás será una fuente puntual, dado que tiene extensión finita, que consta de muchos emisores elementales (átomos). De tratarse de una fuente puntual, las oscilaciones producidas por dicha fuente en cualquier punto del espacio serían una constante. Pero en el caso de las fuentes reales esto nunca es así. La amplitud y fase de las vibraciones de una fuente real sufren de fluctuaciones irregulares y lo rápido de éstas depende estrictamente del ancho espectral de la fuente
[3]. Sin embargo, existen fuentes que cumplen tener un ancho espectral lo suficientemente pequeño como para que las fluctuaciones emitidas por esta, permanezcan constantes cierta longitud (o tiempo) mientras se propagan, lo que se conoce como pulsos o trenes de onda [9]. El tiempo en el que estas fluctuaciones mantienen una correlación constante en fase y amplitud se denota como tiempo de coherencia t 1 . Ya que la velocidad es la distancia recorrida por unidad de tiempo, un tren de onda con longitudl
c le toma cierto tiempo t pasar por un punto en el espacio de modo que:0
0 c
c
l
c t
16c
l
es conocida como la longitud de coherencia y análoga a t se define como la distancia en el que lasfluctuaciones de un tren de ondas mantienen una correlación constante en fase y amplitud.
Existe una estrecha relación entre la visibilidad de las franjas con la monocromaticidad de la fuente que se esté empleando para llevar a cabo la interferencia [8], la cual viene dada por el ancho de banda
0.De la ecuación (16) se puede apreciar que entre más fino sea el ancho espectral de la fuente, más grande será la longitud de coherencia, inversamente, si el ancho espectral es grande,
l
c será más pequeño. La consecuencia de esto en términos de interferencia es que ésta sólo puede existir dentro de las dimensiones de la longitud de coherencia, ya que fuera de ésta, la correlación en fase de los trenes de onda no es constante y por ende la superposición de ondas no se podría apreciar. Matemáticamente esto viene expresado por:c
L
l
17Siendo
L
la diferencia de camino óptico, la condición mostrada en la ecuación (17) indica que las franjas se verán bien contrastadas si la diferencia de camino óptico entre los haces que interfieren es mucho menor que la longitud de coherencia [8]. Un ejemplo claro de esto es que, si se trabajase con una fuente de luz que emitiere en todo el espectro visible, es decir un ancho espectral grande, su longitud de6
coherencia sería aproximadamente de 1m, entonces, sería posible obtener interferencia pero dentro de
este rango de longitud. Caso contrario al de un láser, que tiene un ancho espectral pequeño ( 6
10
), su longitud de coherencia es aproximadamente de 400m [4]. Es por ello que el láser es ampliamente usado para arreglos interferométricos.
2.2.2 Coherencia espacial
Existe también una relación entre el tamaño de las fuentes empleadas y la visibilidad de las franjas. Consecuencia también de que las fuentes reales no son fuentes puntuales, sino de extensión finita. En general, a medida que la extensión de la fuente aumenta, la visibilidad de las franjas disminuye. Tomando como modelo simplificado de fuente extensa aquella que está formada por un número muy grande de emisores atómicos, los cuales se pueden considerar fuentes puntuales, y que emiten de forma independiente unos de otros, es decir, son mutuamente incoherentes. La intensidad en cualquier punto iluminado por esta fuente será la suma de las intensidades procedentes de todos los emisores puntuales individuales [3].
La consecuencia del tamaño extenso de la fuente es principalmente que la radiación de cada emisor en un punto del espacio es incoherente una de la otra debido a que entre más alejado un emisor esté de otro, los principios físicos que estimulan la radiación pudieran estar ocurriendo a diferente tiempo o a diferente intensidad, de modo que obtener una correlación constante entre emisiones resulta casi imposible. Reducir el tamaño de la fuente, no asegura una correlación perfecta entre emisiones, pero garantiza que al menos se cumple cierta correspondencia entre tiempos de estimulación y por ende los emisores radiarán en misma frecuencia e intensidad. Esto recibe el nombre de coherencia espacial. Las fuentes pequeñas son más coherentes espacialmente que las fuentes extensas.
2.3
Superposición de dos ondas esféricas
Si las ondas que se están superponiendo son esféricas, es fácil ver que las franjas de interferencia están formadas por una familia de hiperboloides de revolución con focos comunes situados precisamente en las fuentes puntuales que generan dichas las ondas. Considerando las ondas esféricas escalares:
1 1 2 2
( ) ( )
01 02
1 2
1 2
( , ) E i kr wt , ( , ) E i kr wt
E r t e E r t e
r r
18
siendo
r
1 yr
2 las distancias desde las fuentes luminosas al punto considerado. La diferencia de fase
queda definida como:
2 1 2 1 2 1
0
(
)
2
L
(
)
k r
r
19donde
L
n r
(
2
r
1)
es la diferencia de camino óptico. El lugar geométrico de
constante es el de7
hiperboloide de revolución cuyos focos son las fuentes [8]. Por tanto, la figura de interferencia que se obtiene al variar
consiste en una familia de hiperboloides.Fig. 1 (a) Las franjas de interferencia no localizadas producidas por dos fuentes esféricas son hiperboloides de revolución alrededor del eje S1-S2, (b) Hipérbolas resultantes de la intersección de los hiperboloides con un plano que pasa por S1 y S2
[8].
Cómo se puede ver de la figura 1, la interacción de las ondas se da en todo el espacio que rodea a las fuentes. Dependiendo de dónde se ubique el plano de observación se definirá la geometría del patrón de interferencia. Si la pantalla se colocase paralela a este eje, pero lejos del mismo, se observarían franjas paralelas. De colocar el plano de observación perpendicular al eje que contiene las fuentes, el patrón observado resulta en anillos concéntricos, ver figura 2.
8
2.4
Interferómetro de difracción por punto
El interferómetro de difracción por punto (IDP) es un interferómetro de doble haz en el que una onda esférica de referencia es generada por la difracción de un micro-orificio en una película semitransparente al paso de una onda esférica convergente previa (generalmente producida por una lente, ver figura 3) [10], [11]. La placa semitransparente con el micro-orificio es colocada en el punto focal de la onda esférica principal, donde se genera una distribución de intensidad tipo “Airy”. El micro-orificio debe ser colocado aproximadamente en el segundo máximo de la distribución.
Por el efecto de difracción, en el micro-orificio se genera una onda esférica de referencia; la onda esférica convergente, después de sufrir una atenuación en su amplitud debido a la película semitransparente, sigue su trayectoria y ahora se convierte en una onda esférica divergente. La atenuación es necesaria para que así las intensidades de ambas ondas sean similares. Debido a que las ondas siguen las mismas trayectorias, en su propagación interfieren, generando un patrón de interferencia no localizado.
Fig. 3 Esquema de un Interferómetro de Difracción por Punto.
2.4.1 Análisis teórico para un IDP
El campo propagado después de la placa semitransparente es la suma de la onda esférica de referencia, generada en el micro-orificio, con la onda esférica divergente proveniente del sistema de iluminación, la cual es atenuada por la función de transmitancia de la película semitransparente depositada sobre el vidrio. La onda proveniente del micro-orificio de la placa se calcula mediante la teoría de difracción de Fresnel [12]:
9
Fig. 4 Diagrama de análisis para la onda del micro-orificio.
Como puede verse en la figura 4, el plano de análisis corresponde al plano con las coordenadas 𝑥′ y 𝑦′, el plano desde el cual se propaga el campo corresponde al de coordenadas 𝑥 y 𝑦. Por difracción de Fresnel, la distribución del campo propagado, partiendo del micro-orificio con radio a, es:
'
2 2
' ' 2 ' 0 0 0 ( ', ') , ' v
a a ikz ik
x x y y
i z
orificio v
e
g x y t e g x y e dxdy
i z
20el campo a propagar es:
2 2
2 0
0 ,
k x y i
z ikz
A
g x y e e
z
21
que representa una onda esférica (en aproximación de Fresnel [13]) y, v
i v
t e
22representa la transmitancia y la fase de la placa de vidrio. No se considera la acción de la película delgada debido a que ésta onda se genera en el micro-orificio, donde sólo existe el vidrio.
Los límites de integración están definidos para dentro del micro-orificio (0, )a . Dentro de éste,
z
'
esmucho más grande que
x
yy
de modo que se cumple la condición: 2 2'
z x y y en consecuencia,
para la onda esférica:
2 2
2 '
1 k x y i
z e
23
Bajo ésta consideración y omitiendo ciertas constantes, el campo en la ecuación (20) quedan de la forma:
2 2
' '
2 '
0 0
( ', ') v a a ik
x x y y
i z
orificio v
10 Desarrollando el factor de fase del integrando,
2 2 2 2 2 2 2 ' '
' ' ( ' ' ) ( )
' '
2 ' 2 ' 2 '
0 0 0 0
x y
a a ik k a a k i x y
x x y y i x y i x y
z z
z z z
e
dxdy
e
e
e
dxdy
25Omitiendo la constante de fase cuadrática fuera de la integral y realizando cambios de variables de coordenadas cartesianas a coordenadas polares [12], [14], se obtiene el siguiente resultado:
1 2 2 ' ' '
( ', ') 2 2
' '
'
v v
i i
orificio v v
akr J
akr z
g x y t e a t e a Jinc
akr z z
26Con
r
'
como el radio del área de observación.Éste resultado representa la distribución del campo proveniente del micro-orificio de la placa semitransparente. Cabe mencionar que ésta función sólo corresponde a una redistribución de la intensidad del frente de onda incidente (un frente de onda esférico convergente) la cual corresponde a un patrón de difracción de una apertura circular [12]. Y es por lo mismo que no describe al campo en su totalidad ya que carece de la fase apropiada. Para solucionar esto se le añade una fase esférica tomando en cuenta ciertas consideraciones pertinentes: el campo incidente a la placa posee una fase esférica y el micro-orificio es lo suficientemente pequeño de modo que el campo a la salida del mismo se puede aproximar a una onda esférica ideal. Así, el campo proveniente del micro-orificio de la placa queda descrito como:
( ', ')
2
2'
''
vi ikr
orifcio v
akr
g
x y
t e
a Jinc
e
z
27el cual conforma la onda esférica de referencia para el IDP.
Como se mencionó anteriormente, la onda de referencia del IDP interfiere con la onda proveniente del sistema de iluminación, la cual consta de una onda esférica divergente. El diagrama de análisis para la misma se puede ver en la figura 5. Ésta onda puede ser representada por su descripción matemática (en aproximación de Fresnel [13]) con forma:
2 2
( ' ' ) '
0 e 2 '
'
k i x y ikz z A e z 28
Esta descripción resulta conveniente debido a que el factor de fase cuadrático corresponde a la función de transmitancia de una lente con extensión infinita si se considera z como f, [12]. Para limitar el campo a una extensión finita, basta con multiplicar la función de transmitancia de la lente por una función pupila
11
Fig. 5 Diagrama de análisis para la onda esférica.
que describa el área física de la lente. Con ésta descripción el campo se ajusta más a parámetros reales del sistema empleado.
( '2 ' )2
'
0 e 2 ' ,
'
k i x y ikz z A
e P x y
z
29
Con
', '
1
0
x
A
P x y
x
A
30Con A como el área de la apertura de la lente.
El campo completo correspondiente a la onda esférica del sistema de iluminación queda entonces descrito de la siguiente forma:
( '2 ' )2'
0 2 '
', ' ', ' e
'
k i x y
i ikz z
OE
A
g x y te P x y e
z
31
Con teicomo transmitancia y fase de la película delgada de aluminio y el vidrio. En este caso se debe considerar ambos materiales debido a que la onda pasa a través de los dos.
Finalmente, el campo en el plano de observación queda descrito por la suma de ambas ondas (ver figura 6):
g x y
', '
gOE
x y', '
gorificio
x y', '
32Es importante mencionar que al analizar fenómenos interferenciales la información que se obtiene de los campos no es más que un patrón de intensidades; franjas de luz y obscuridad, resultado de la diferencia de fase entre las ondas involucradas:
12
1 2 2 1 2cos
I I I I I
33Fig. 6 Diagrama de análisis del IDP, campos propagados.
Tomando en cuenta que, para un buen contraste de las franjas, las amplitudes de ambas ondas deben de ser similares, de primer instancia la transmitancia del vidrio se consideró unitaria. Así, el patrón de intensidades para un IDP en el plano de observación queda descrito como:
2 2
2 4 2
2
'
4
'
4
cos
'
'
IDP
akr
t
t
a
akr
I
a Jinc
Jinc
z
z
z
z
34Siendo 𝛿 la fase entre los campos:
2 2
'
´
´
2 '
pk
kr
kz
x
y
z
35Siendo 𝜙p la diferencia de fase correspondiente a los materiales de la placa (aluminio y vidrio) para cada onda. El término entre corchetes no es más que la diferencia de fase entre la onda esférica de referencia y la onda esférica paraxial proveniente del sistema de iluminación.
Todas las ecuaciones anteriores, evidencian que los factores de peso a considerar para analizar la distribución de intensidades en el plano de observación son: el radio del micro-orificio, la transmitancia y fase de la placa de vidrio y la película de aluminio, la distancia del plano de observación y la diferencia de fase inherente a las ondas en el sistema.
13
3 Fabricación de placas para IDP
3.1
Laboratorio de películas delgadas
El trabajo principal en este laboratorio consistió en la elaboración de la placa semitransparente con el micro-orificio, fundamental para un IDP.
El proceso de elaboración comienza con la limpieza de un portaobjetos. La limpieza consiste fundamentalmente de tres pasos, limpieza con jabón, limpieza con acetona y finalmente limpieza con alcohol isopropílico. Una vez que la placa se considera limpia (después de haber sido inspeccionada rigurosamente con un microscopio) se procede al siguiente paso.
Dado que la placa de vidrio será sometida a un proceso de sublimación inversa en donde se depositará una película delgada de aluminio sobre ésta, es necesario que donde se espera tener un micro-orificio no se deposite nada del material a sublimar. Esto se logra colocando una micro-gota de mercurio sobre la placa de vidrio. Después de la sublimación la gota es retirada y de este modo se logra obtener un micro-orificio con transmitancia del 100% mientras que en el resto de la placa, por acción de la película semitransparente de aluminio, se tiene una transmitancia de aproximadamente 15%.
Para generar las micro-gotas de mercurio se coloca una gota de tamaño manipulable sobre la placa de vidrio, después se presiona con otra placa con el fin de romper la primera y generar gotas cada vez más pequeñas. Por la misma tensión superficial (recordando que a temperatura ambiente el mercurio se comporta como un líquido) las gotas y micro-gotas tienen simetría esférica. Éstas se van inspeccionando con la ayuda de un microscopio, ver figuras 7 y 8.
Fig. 7 Gotas de mercurio sobre placa de vidrio.
Cuando las gotas tienen el tamaño adecuado, son seleccionadas y trasladadas a una placa limpia. El traslado resulta complicado debido al tamaño de las gotas, que en promedio son de aproximadamente de 10 a 20 micras de diámetro. El procedimiento se realiza empleando una aguja de una jeringa de insulina de 50 unidades. La gota se toca varias veces hasta que se adhiere a la aguja, luego se coloca la placa limpia y ahora se realiza el proceso inverso, se toca con ella la placa hasta que se caiga o adhiera a ésta.
14
a) b)
Fig. 8 a) Selección de micro-gota del tamaño apropiado (15 micras), b) Micro-gota en sustrato limpio
Una vez que las placas tienen la micro-gota respectiva están listas para depositar la película semitransparente. Empleando una evaporadora convencional marca Balzers se realizan evaporaciones a distintos espesores (aproximadamente 0.03 micras de espesor). Terminada la evaporación, las micro-gotas de mercurio son retiradas de las placas mediante aire comprimido. Posteriormente la placa es revisada en el microscopio para corroborar que la sublimación inversa del aluminio ocurrió en toda la placa menos en el lugar de la gota, ver figura 9.
Fig. 9 Revisión de la placa semitransparente con orificio.
Si la placa se considera de buena calidad, es decir, con el micro-orificio bien formado y la película de aluminio sin algún tipo de discontinuidad o defecto. Las placas están listas para probarse en el laboratorio de instrumentación óptica.
15
3.2
Laboratorio de microelectrónica
El proceso de generación de las placas para el IDP en este laboratorio es análogo al de laboratorio de películas delgadas en su primera parte ya que se comienza de un mismo proceso de limpieza de los sustratos (portaobjetos).
Los portaobjetos son sometidos a una primer limpieza de acetona y tricloroetileno. Después reciben baños ultrasónicos de 5 a 10 minutos y finalmente todo exceso de humedad es retirado dentro de una secadora centrífuga. En caso de no haber eliminado la humedad en su totalidad de las muestras, son llevadas a un horno precalentado a 50°C por 10 minutos. Todo esto para garantizar sustratos limpios y secos. Posteriormente, son colocadas en una máquina evaporadora en donde se les deposita una película delgada de aluminio en una de las caras del sustrato mediante una sublimación inversa, con espesores de 0.02, 0.03 y 0.04 micras. Hasta este punto el proceso es similar al de las placas con gota de mercurio, pero sin la micro-gota. Cabe mencionar que dependiendo de la taza en la que se sublime el material se puede controlar el espesor de la película resultante.
La generación del micro-orificio en éste proceso varía respecto al de la micro-gota principalmente por que el proceso empleado es el de fotolitografía [15] en el cual básicamente se diseñan unas mascarillas con un patrón a imprimir. En este caso la mascarilla constó de un arreglo de micro-orificios con diámetros variados de 5 a 25 micras, ver figura 11. Estas mascarillas son primeramente hechas en grandes dimensiones y después van siendo reducidas hasta obtener el tamaño apropiado. Las mascarillas sirven para “abrir ventanas” en el sustrato con el depósito de aluminio, al paso de luz, lo suficientemente energética para remover el sustrato, generando así los micro-orificios.
Fig. 11 Esquema representativo de la mascarilla empleada para el proceso de microlitografía (no refleja las dimensiones reales).
El proceso comienza con los sustratos ya recubiertos con la película delgada de aluminio. A éstos se les añade una segunda película, sobre la primera, de un material fotoresistente (comúnmente Silanol, SiOH) mediante un proceso similar de sublimación inversa. El sustrato ahora es colocado frente a una fuente lumínica de alta potencia (UV, 350-450nm). La mascarilla previamente diseñada se coloca entre el sustrato y la fuente de luz. Ésta actúa como un filtro permitiendo que la luz sólo incida en ciertas partes en el sustrato. Las partes expuestas a la luz cambian su estructura debido a un proceso fotoquímico y mediante un tratamiento químico posterior son eliminadas, dejando en descubierto partes de la película delgada de aluminio. Un tratamiento químico más elimina el aluminio expuesto, abriendo las ventanas de los micro orificios. Finalmente el material fotoresistente no afectado por la luz también es removido. El resultado es la impresión del patrón de la mascarilla sobre la película delgada sobre el sustrato. Un esquema representativo del proceso se muestra en la figura 12.
16
Fig. 12 a) Fotoimpresión del patrón sobre sustrato b) Patrón impreso c) Silanol removido d) Vista representativa del sustrato final.
17
3.3
Índice de refracción de las placas
Para describir en su totalidad la acción de las placas del IDP al paso del frente de onda que se hará incidir sobre éstas, es necesario conocer tanto el espesor como el índice de refracción de los materiales que componen a las placas. Para la parte de vidrio se empleó un refractómetro con el cual se obtuvo un índice de refracción de 1.514. El espesor se midió con un vernier de precisión con el cual se calculó un ancho de 3mm. Para la parte de aluminio se recurrió a la medición estimada de la sublimación inversa para cada ancho deseado, es decir, se obtuvieron tres espesores diferentes para la parte de aluminio: 0.02, 0.03 y 0.04 micras de ancho. El índice de refracción se obtuvo de recursos bibliográficos [16]. Así para una λ=632.5nm el aluminio tiene un índice de refracción aproximado de: na=1.396.
18
4 Simulaciones computacionales de un IDP
4.1 Simulación computacional de un IDP
La realización de las simulaciones numéricas se basó principalmente en la teoría desarrollada en la sección 2.4.1. Las simulaciones, esencialmente constan de un espacio de trabajo de dimensiones finitas, cuyos parámetros corresponden a la pupila (apertura) de un sistema de iluminación, del cual proviene la onda esférica convergente-divergente; también se modeló la onda de referencia proveniente del micro-orificio y la interferencia de ambas ondas. Dado que los resultados obtenidos en el desarrollo de la teoría poseen valores físicos reales, las simulaciones también los poseen. Esto permite que los parámetros físicos considerados vayan acorde a los parámetros del experimento. Variando computacionalmente dichos parámetros, como pudiera pasar experimentalmente, se pueden predecir ciertos comportamientos de un IDP real. Estos comportamientos proporcionan información adicional sobre el mismo IDP así como información para la evaluación de componentes ópticos como se mostrará posteriormente.
Los parámetros iniciales de las simulaciones constan básicamente de las dimensiones del espacio de trabajo (una matriz en la cual se generaran las ondas e interferencia de las mismas), la longitud de onda empleada, distancias de observación, distancias de ubicación de la placa e índices de refracción de los materiales en la misma. Dado que experimentalmente se consideró una fuente de luz cuasimonocromática se definió una longitud de onda de 0.6325µm (632.5nm). Así las dimensiones quedan fijas en micrómetros para todo el sistema. Dado que las simulaciones se realizaron en el software de MATLAB 2017 se emplearon arreglos matriciales y como experimentalmente la óptica está contenida (generalmente) en geometrías circulares, se generó un soporte circular dentro del espacio matricial. Dicho soporte conforma el área de trabajo y por ende la apertura (pupila) del sistema, no forzosamente del tamaño real de la pupila del arreglo experimental, ya que esta dependerá del tamaño de las matrices que se estén empleando. Cabe mencionar otro parámetro importante: la variación espacial de las ondas, descrita por el número de onda
𝑘 el cual queda definido empleando la longitud de onda mediante la relación: 𝑘 = 2𝜋/𝜆.
Los parámetros particulares de las simulaciones comprenden datos de los campos a interferir y se pueden notar de las expresiones que describen dichos campos:
Del campo proveniente del micro-orifico de la placa de vidrio los parámetros importantes a considerar son: transmitancia y fase de la placa de vidrio, radio del micro orificio, área del plano de observación y distancia al plano de observación.
Para la onda proveniente del sistema de iluminación son: transmitancia y fase de la placa de vidrio, transmitancia y fase de la película delgada de aluminio, área del plano de observación y distancia al plano de observación.
Es importante considerar la acción que generan la transmitancia y la fase intrínsecas tanto del vidrio como del aluminio de la placa. La transmitancia del aluminio juega un papel fundamental para atenuar la onda esférica convergente del sistema de iluminación ya que la onda del micro-orificio posee una amplitud baja en comparación. La onda esférica deberá atenuarse en la proporción adecuada para que la intensidad
2 2( ' ' )
2 ' ' 0 ' 2 '
( ', ') 2 & ', ' ', ' e
' '
v
k i x y
i ikr i ikz z
IDP v OE
A akr
g x y t e a Jinc e g x y te P x y e
z z
19
registrada, producto de la interferencia de las dos ondas, posea un alto contraste para su posterior análisis. La transmitancia del vidrio se considera del 100% ya que puede considerarse un material no absorbente. Por tratarse de materiales con índice de refracción y espesor conocidos, las fases que introducen tanto el vidrio como el aluminio también han de considerarse ya que añaden un cambio en el camino óptico de los campos que pasan por ellos y pese a que pueda ser mínima la variación resultante en el interferograma, ha de tomarse en cuenta para aproximar las simulaciones a los experimentos reales y para evitar introducir errores en los resultados.
Considerando todos estos parámetros, el diagrama de flujo del algoritmo de las simulaciones queda descrito de manera general, en la figura 14. El código empleado se muestra en el Anexo I.
Fig. 14 Diagrama de flujo de la simulación numérica para un IDP.
20
Fig. 15 Simulación numérica de un IDP. 𝜙orificio=6 micras, nv=1.514, nAl=1.396, z’=55cm.
Todas las simulaciones realizadas mantuvieron estos mismos parámetros. Sin embargo, para algunos análisis se variaron. Las secciones siguientes describen cada variación y su respectivo resultado.
4.1.2 Efectos presentes en un IDP (resultados computacionales)
Se mencionó previamente que existen diversos parámetros inherentes al IDP que al variar provocan efectos en el patrón de franjas del mismo, a continuación se muestran los resultados computacionales:
Variación del espesor de la película de aluminio
La consecuencia directa de variar el espesor de la película de aluminio es una menor transmitancia de ésta, provocando una atenuación mayor de la onda esférica proveniente del sistema de iluminación. Aunque el efecto no es muy apreciable el aumento del espesor también añade cierto desplazamiento o “defoco” a la onda por el cambio de camino óptico añadido, ver figura 16. Dado que experimentalmente las placas del IDP no varían en el espesor del vidrio y su transmitancia se puede considerar del 100%, sólo se limitó a realizar variaciones de parámetros en la película de aluminio, sin embargo, los efectos ocasionados por la placa de vidrio también están considerados.
Fig. 16 Esquema del desplazamiento o defoco de la imagen de un objeto debido una placa plano paralela.
Para realizar esta simulación se aumentó el espesor de la película de aluminio con un valor inicial de 0.03 micras, tomando ésta con el 100% de transmitancia. Al aumentar el espesor de la misma, los valores de
21
transmitancia disminuyen, comprometiendo el contraste de las franjas ya que la onda de referencia que proviene del micro-orificio no varía en su amplitud y por ende tiene mayor intensidad que la onda atenuada por la película de aluminio. Ver figura 17.
a) b) c) d)
Fig. 17 Interferogramas obtenidos en la simulación de un IDP para diferentes espesores de la película de aluminio con transmitancias de: a) 100%, b) 90%, c) 80% y d) 70%
También se obtiene un corrimiento en las franjas, producto del defoco inducido por la película plano-paralela. La figura 18 muestra la comparación de interferogramas junto con un acercamiento del mismo donde se observa la dislocación de franjas en el interferograma.
a) b)
c)
Fig. 18 Corrimiento de franjas debido al defoco inducido por la película de aluminio. a) Comparación de interferogramas de 100% y 70% de transmitancia. b) Acercamiento a la zona central derecha. c) Vista transversal (normalizada) del perfil de
interferencia.
Inten
sida
d
[u.a
22
Variación del radio del micro-orificio
Dado que en la fabricación de las placas para el IDP también el tamaño del micro-orificio es un factor el cual se puede variar, se realizó la simulación de varios IDP’s con diferentes orificios, variando el diámetro desde 10 a 20 micras.
Las simulaciones muestran que, al variar el tamaño del orificio, la distribución espacial de la onda de referencia varía inversamente, es decir, conforme el orificio crece la distribución de la onda decrece y viceversa ver figura . Fenómeno acorde a la teoría de difracción de Fresnel si se considera el teorema de similaridad inherente a una transformada:
1
,
u v
,
F g ax by
G
ab
a b
Teorema que indica que un “ensanchamiento” de las coordenadas en el dominio espacial resulta en una contracción de las coordenadas en el dominio frecuencial.
Onda del micro-orificio Onda esférica Interferencia
𝜙=10µm
𝜙=12µm
23 𝜙=16µm
𝜙=18µm
𝜙=20µm
Fig. 19 Variación del tamaño del micro-orificio. Interferogramas resultantes.
Dado que la distribución de intensidad varía para la onda de referencia, también el contraste de las franjas en el patrón de interferencia resulta afectado.
Un caso particular que vale la pena analizar sería el de un orificio suficientemente grande, generando una distribución del campo lo suficientemente pequeña como para poder observar el patrón de difracción del mismo. Para un radio de 25 micras, la distribución del campo difractado se puede observar en la figura 20.
24
Distribución que coincide con la difracción de una apertura circular [3], [12].
Desplazamientos laterales y verticales de la placa de un IDP
Las simulaciones muestran el resultado de mover la placa sobre el plano (𝑥, 𝑦) en el que se encuentra. Un esquema representativo se puede ver en la figura 21.
Fig. 21 Diagrama de análisis para desplazamientos laterales y verticales de la placa en un IDP.
Los resultados computacionales se muestran en la figura 22.
Fig. 22 Diferentes desplazamientos laterales y verticales para la placa de un IDP. Δx=10µm y Δy=10µm.
Δx Δy
25
Físicamente lo que ocurre es un desplazamiento del origen de la onda esférica generada en el micro-orificio. Esquemáticamente, el proceso es descrito en la figura 23.
a) b)
Fig. 23 Esquema representativo de un desplazamiento lateral de la placa en un IDP. a) Placa centrada. b) Placa desplazada
Desplazamiento axial de la placa de un IDP (Defoco)
El resultado de desplazar axialmente la placa del IDP produce una variación del radio de curvatura de las ondas en el plano de detección. El efecto es conocido como defoco. Ver figura 24. Esta variación en los frentes de onda, cambiará la región de separación entre ellos (ver figura 25) lo que en el patrón de interferencia se podrá observar como un aumento o disminución de las franjas de interferencia.
26 a)
b)
c)
Fig. 25 Diagrama representativo de un desplazamiento axial de la placa de un IDP. a) sin desplazamiento, b) desplazamiento hacia atrás del punto de convergencia, c) desplazamiento hacia adelante del punto de convergencia.
Las simulaciones numéricas muestran la variación del interferograma al realizar desplazamientos axiales de la placa del IDP, esto se logra desplazando el origen de la onda del IDP. Ver figura 26.
27 a)
b)
Fig. 26 Desplazamiento axial de la placa de un IDP. Partiendo desde el punto focal hacia atrás y hacia adelante. a) Desplazamiento hacia atrás, distancia máxima: ∆z~1mm, b) Desplazamiento hacia adelante, distancia máxima: ∆z~1mm.
Para ciertos desplazamientos de defoco (∆𝑧 > 1𝑚𝑚), se pueden apreciar interferogramas con aberraciones esféricas [17]. Ver figura 27.
Fig. 27 Defoco para interferogramas con aberración esférica.
Una combinación de desplazamientos laterales o verticales de la placa junto con defoco, también permiten ver fenómenos relacionados con la aberración asférica, ver figura 28.
Δz=1mm, Δx=50µm Δz=2mm, Δx=80µm Δz=2.5mm, Δx=200µm
Fig. 28 Aberración esférica ante la combinación de defoco y desplazamientos laterales de la placa en un IDP.
Bajo muy específicas condiciones, empleando la combinación de ambos efectos, es posible hallar regiones en donde se puedan generar franjas rectas, paralelas e igualmente espaciadas, ver figura 29.
28 Δz=2.5mm, Δx=200µm
Fig. 29 Obtención de franjas rectas paralelas e igualmente espaciadas.
Es importante mencionar que hasta este punto los resultados obtenidos son meramente cualitativos.
4.2 Simulación de un IDP para probar superficies esféricas con defectos
locales
En esta sección del trabajo se presentan las simulaciones computacionales de un IDP realizando una variación en la onda esférica paraxial que proviene del sistema de iluminación. Básicamente se modificó la fase de la onda esférico paraxial añadiendo funciones de fase que simulan defectos en el frente de onda. Un esquema representativo del fenómeno que ahora se está modelando se presenta en la figura 30.
Fig. 30 Esquema representativo de un IDP analizando una superficie esférica con defectos.
La onda permanece siendo esférica, pero con dislocaciones o defectos en su fase. Esta variación modifica el programa original solamente en la onda esférica paraxial, el resto del algoritmo se mantiene igual. El diagrama de flujo de éste nuevo programa se describe en la figura 31. El código empleado se muestra en el Anexo II.
29
Fig. 31 Diagrama de flujo de la simulación numérica para un IDP probando superficies esféricas con defectos.
Para la generación de defectos locales dentro de las simulaciones numéricas se emplearon geometrías básicas dentro de la programación de matrices, por ejemplo, geometrías circulares y cuadradas, la combinación de ambos, e incluso algunas funciones bidimensionales más complejas. Para darle valores útiles a éstas dislocaciones o defectos, primeramente son normalizados y posteriormente se multiplican por múltiplos (no forzosamente enteros) de longitudes de onda. Dado que los defectos no son más que distribuciones espaciales de una combinación de puntos, se pueden ver como una función escalar bidimensional 𝑡(𝑥, 𝑦), ver figura 32.
Fig. 32 Función bidimensional cuyos valores son múltiplos de longitudes de onda.
Una vez que se define dicha función, para que ésta tome valores de fase, simplemente se define una función compleja con la forma:
