septiembre_0809.pdf

(1)

Matem´aticas I

03/09/09

Tipo A

Apellidos... Nombre:... DNI... Lic. en Econom´ıa 2 Lic. Adm´on. y Dir. Empr. 2 Dipl. CC.Empres. 2

IMPORTANTE

- Duración: 2 horas y 30 minutos. El problema en el aula de ordenadores será a partir de las 11:30 h. - No se permite el uso de teléfonos móviles ni compartir material como calculadoras, etc.

- Es obligatorio realizar el ejercicio con bol´ıgrafo y letra clara.

- Escribir las soluciones del test y del problema en sus plantillas correspondientes. - Un ejemplar del examen resuelto se depositar´a en la p´agina web de la asignatura.

Marque con una

×

su respuesta a las cuestiones tipo test en la tabla siguiente. Cuide que la opción elegida quede clara. Sólo una de las alternativas es correcta. Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejen en blanco no puntúan.

Las cuatro primeras preguntas, marcadas en el cuestionario con°, corresponden a la evaluaci´on continua.

Tipo A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

a

b

c

Problema

1. Dada la funci´onf(x, y) =y3₊_y2₋_xy₊_x2₋_{10, se pide:}

a) Calcular los puntos cr´ıticos def(x, y) y clasificarlos. (5 ptos.)

b) Six=y = 1, calcular, utilizando la diferencial total, la variaci´on dey que produce un incremento de la funci´on de 0.2

unidades cuandoxdisminuye en 0.6 unidades. (3 ptos.)

2. La produccion mundial de teléfonos móviles se explica bien mediante la funcionQ(x, y) =−x2₊_y_{+ 6, donde}_x_{mide la renta} media mundial destinada a la compra de teléfonos móviles en millones de euros ey la renta media mundial destinada a los pagos por teléfono fijo. Si se desea que el gasto destinado al teléfono fijo sea seis veces la renta media mundial destinada a la compra de teléfonos móviles. Se pide:

a) Plantear el problema que permita maximizar la producción de teléfonos móviles. (1 pto.)

b) Obtener, utilizando el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, los puntos cr´ıticos. (4 ptos.)

c) Escribir la expresión de la restricción y de las curvas de nivel, indicando el tipo de curvas en ambos casos. Dar el vector gradiente. Dibujar todo ello, incluido el punto cr´ıtico, en una gráfica, justificando que el punto cr´ıtico es solución del

problema. (5 ptos.)

d) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel que pasa por el punto óptimo. ¿Qué representa la recta

anterior? Razona tu respuesta (2 ptos.)

...Cortar para conservar...

Tipo A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a

b c

(2)

Test µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³

1. El dominio de la funci´on f(x) = p 1

x3₍_x3₊_x2₋_x₋₁₎ es:

a) (−∞,0]∪(1,+∞).

b) (−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞).

c) (−∞,0)∪(1,+∞).

2. La funci´on f(x) = ax3_{+ 6}_x₋_a2 _con _a _∈ _{IR satisface las} condiciones del Teorema de Bolzano en [0,1] si:

a) a >−2.

b) a∈(−2,3).

c) a∈(−∞,−2)∪(3,+∞).

3. Dada la funci´on de producci´onQ(K, L) =KL2₊L

K, siendo K = t2 _{+ 1 y} _L _{= 2}_t₊_et_{, entonces la variaci´on de la}

producci´on a lo largo del tiempo en el instante t = 0, esto

es dQ dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 , es:

a) 3. b) 9. c) 3e.

4. La funci´on de costes de cierto producto que depende de los factores x e y es C(x, y) = ye−x/y_{. Si} _x _{= 2}_{, y} _{= 1, la}

direcci´on en que se deben modificarxey para disminuir al m´aximo los costes es:

a) (e−2_,_0). _b_{) (}₋_e−2_,₃_e−2_). _c_{) (}_e−2_,₋₃_e−2_).

5. Sean f(x) = 3ex+1 _y_g₍_x_{) = ln(}_ex_{+ 2), entonces (}_f_◦_g₎₍_x₎

es:

a) 3

e(e

x_{+ 2).} _b_{) 3}_e₍_ex_{+ 2).} _c_{) 3(}_ex_{+ 2).}

6. La funci´onf(x) =x3−x2

1−2x2 tiene una as´ıntota:

a) Oblicua eny=−1

2x− 1 2.

b) Oblicua eny=−1

2x+ 1 2.

c) Horizontal eny=√1

2.

7. La funci´on f(x) =

½

2a+ebx_{, x}_≤₀

bx−(a+ 1), x >0 es continua en su dominio;

a) Para todobreal ya=−2

3.

b) Para todoareal yb=−1

3.

c) Para todobreal ya= 1 3.

8. Seaλ6= 0, entonces el l´ım

x→0 5ex2

−√x+ 25

λx = 3 siλes:

a) 30. b) 1

30. c)−

1 30.

9. Siy= ln

µ

3x x+ 2

¶

, entonces dx

dy eny= 0 es:

a) 3

2. b)

2

3. c)−2.

10. Dada la funci´onf(x, y) = 3ex_ln_y_{+ 2}_xy3_{, entonces}_df₍₀_,₁₎ es:

a) 2dx+ 3dy. b) 3dx+ 2dy. c) 3dy.

11. La recta tangente a la curva de nivel

3xy2₊_xy₊_x2₊_y₌₋₂_, _{y >}₀

enx=−1 es:

a)y= 1 3x+

4

3. b)y= 4 3x+

1

3. c)y=− 1 3x+

4 3. 12. La funci´onf(x, y) =x+xy−x2_y2_{+ 2:}

a) Tiene como puntos cr´ıticos a (0,−1) y (0, y), y∈IR.

b) Tiene un solo punto cr´ıtico en (0,−1).

c) No tiene puntos cr´ıticos.

13. El problema

½

Opt x2₋_y s.a x= 3y :

a) Tiene un m´ınimo global en (x, y, λ) =

µ 1 6, 1 18, 1 3 ¶ .

b) Tiene un m´ınimo global en (x, y, λ) =

µ 1 18, 1 6, 1 3 ¶ .

c) Tiene un m´aximo global en (x, y, λ) =

µ 1 6, 1 18, 1 3 ¶ .

14. Sea (x∗_{, y}∗_{, λ}∗_{) = (1}_,₃_,_{2) la soluci´on ´optima del problema}

de maximizar la utilidad de un consumidor sujeto a la restricción presupuestaria g(x, y) = 10, siendo 10 la renta disponible. Entonces, para que la utilidad máxima se incremente en aproximadamente 1 unidad, la renta tendrá que ser aproximadamente de:

a) 9.5. b) 10.5. c) 0.5.

15. La integral

Z ₂

1

(x−x2ex3)dx vale:

a) 3 2 +

e

3(1−4e 7_).

b) 3 2 +

e

3(1−e 7_).

c) 3 2 +

e

(3)

Matem´aticas I

03/09/09

Tipo B

IMPORTANTE

- Duración: 2 horas y 30 minutos. El problema en el aula de ordenadores será a partir de las 11:30 h. - No se permite el uso de teléfonos móviles ni compartir material como calculadoras, etc.

- Es obligatorio realizar el ejercicio con bol´ıgrafo y letra clara.

- Escribir las soluciones del test y del problema en sus plantillas correspondientes. - Un ejemplar del examen resuelto se depositar´a en la p´agina web de la asignatura.

Marque con una

×

su respuesta a las cuestiones tipo test en la tabla siguiente. Cuide que la opción elegida quede clara. Sólo una de las alternativas es correcta. Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejen en blanco no puntúan.

Las cuatro primeras preguntas, marcadas en el cuestionario con°, corresponden a la evaluaci´on continua.

Tipo B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

a

b

c

Problema

1. Dada la funci´onf(x, y) =y3₊_y2₋_xy₊_x2₋_{10, se pide:}

a) Calcular los puntos cr´ıticos def(x, y) y clasificarlos. (5 ptos.)

b) Six=y = 1, calcular, utilizando la diferencial total, la variaci´on dey que produce un incremento de la funci´on de 0.2

unidades cuandoxdisminuye en 0.6 unidades. (3 ptos.)

2. La produccion mundial de teléfonos móviles se explica bien mediante la funcionQ(x, y) =−x2₊_y_{+ 6, donde}_x_{mide la renta} media mundial destinada a la compra de teléfonos móviles en millones de euros ey la renta media mundial destinada a los pagos por teléfono fijo. Si se desea que el gasto destinado al teléfono fijo sea seis veces la renta media mundial destinada a la compra de teléfonos móviles. Se pide:

a) Plantear el problema que permita maximizar la producción de teléfonos móviles. (1 pto.)

b) Obtener, utilizando el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, los puntos cr´ıticos. (4 ptos.)

c) Escribir la expresión de la restricción y de las curvas de nivel, indicando el tipo de curvas en ambos casos. Dar el vector gradiente. Dibujar todo ello, incluido el punto cr´ıtico, en una gráfica, justificando que el punto cr´ıtico es solución del

problema. (5 ptos.)

d) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel que pasa por el punto óptimo. ¿Qué representa la recta

anterior? Razona tu respuesta (2 ptos.)

...Cortar para conservar...

Tipo B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a

b c

(4)

Test µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³

1. La funci´on f(x) = ax3_{+ 6}_x₋_a2 _con _a _∈ _{IR satisface las} condiciones del Teorema de Bolzano en [0,1] si:

a) a >−2.

b) a∈(−∞,−2)∪(3,+∞).

c) a∈(−2,3).

2. El dominio de la funci´on f(x) = p 1

x3₍_x3₊_x2₋_x₋₁₎ es:

a) (−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞).

b) (−∞,0]∪(1,+∞).

c) (−∞,0)∪(1,+∞).

3. La funci´on de costes de cierto producto que depende de los factores x e y es C(x, y) = ye−x/y_{. Si} _x _{= 2}_{, y} _{= 1, la}

direcci´on en que se deben modificarxey para disminuir al m´aximo los costes es:

a) (e−2_,_0). _b_{) (}_e−2_,₋₃_e−2_). _c_{) (}₋_e−2_,₃_e−2_).

4. Dada la funci´on de producci´onQ(K, L) =KL2₊L

K, siendo K = t2 _{+ 1 y} _L _{= 2}_t₊_et_{, entonces la variaci´on de la}

producci´on a lo largo del tiempo en el instante t = 0, esto es dQ dt ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 , es:

a) 9. b) 3. c) 3e.

5. La funci´onf(x) =x 3₋_x2

1−2x2 tiene una as´ıntota:

a) Oblicua eny=−1

2x− 1 2.

b) Horizontal eny=√1

2.

c) Oblicua eny=−1

2x+ 1 2.

6. Sean f(x) = 3ex+1 _y_g₍_x_{) = ln(}_ex_{+ 2), entonces (}_f_◦_g₎₍_x₎

es:

a) 3e(ex_{+ 2).} _b₎ 3

e(e

x_{+ 2).} _c_{) 3(}_ex_{+ 2).}

7. Seaλ6= 0, entonces el l´ım

x→0 5ex2

−√x+ 25

λx = 3 siλes:

a) 30. b)−1

30. c)

1 30.

8. La funci´on f(x) =

½

2a+ebx_{, x}_≤₀

bx−(a+ 1), x >0 es continua en su dominio;

a) Para todoareal yb=−1

3.

b) Para todobreal ya= 1 3.

c) Para todobreal ya=−2

3.

9. Dada la funci´on f(x, y) = 3ex_ln_y_{+ 2}_xy3_{, entonces}_df₍₀_,₁₎ es:

a) 3dx+ 2dy. b) 2dx+ 3dy. c) 3dy.

10. Siy= ln

µ

3x x+ 2

¶

, entonces dx

dy eny= 0 es:

a)−2. b) 2

3. c)

3 2.

11. La recta tangente a la curva de nivel

3xy2₊_xy₊_x2₊_y₌₋₂_, _{y >}₀

enx=−1 es:

a)y= 4 3x+

1

3. b)y= 1 3x+

4

3. c)y=− 1 3x+

4 3.

12. El problema

½

Opt x2₋_y s.a x= 3y :

a) Tiene un m´ınimo global en (x, y, λ) =

µ 1 18, 1 6, 1 3 ¶ .

b) Tiene un m´aximo global en (x, y, λ) =

µ 1 6, 1 18, 1 3 ¶ .

c) Tiene un m´ınimo global en (x, y, λ) =

µ 1 6, 1 18, 1 3 ¶ .

13. La funci´onf(x, y) =x+xy−x2_y2_{+ 2:}

a) Tiene un solo punto cr´ıtico en (0,−1).

b) Tiene como puntos cr´ıticos a (0,−1) y (0, y), y∈IR.

c) No tiene puntos cr´ıticos.

14. Sea (x∗_{, y}∗_{, λ}∗_{) = (1}_,₃_,_{2) la soluci´on ´optima del problema}

de maximizar la utilidad de un consumidor sujeto a la restricción presupuestaria g(x, y) = 10, siendo 10 la renta disponible. Entonces, para que la utilidad máxima se incremente en aproximadamente 1 unidad, la renta tendrá que ser aproximadamente de:

a) 9.5. b) 0.5. c) 10.5.

15. La integral

Z 2

1

(x−x2_ex3

)dx vale:

a) 3 2 +

e

3(1−e 7_).

b) 3 2 +

e

3(1−4e 7_).

c) 3 2 +

e

(5)

Matem´aticas I

03/09/09

Tipo A

Problema con DERIVE

IMPORTANTE:Responder en esta misma hoja, indicando las instrucciones utilizadas, as´ı como los resultados obtenidos. Para los alumnos con evaluación continua la puntuación sustituirá a la nota obtenida en el ejercicio de Derive, siempre que fuera mayor.

1. Sea la funci´onf(x) = 5x2₋_ex−3_{, se pide:}

a) Dibujar la gr´afica y calcular sus ra´ıces. (3 ptos.)

b) Calcular sus puntos cr´ıticos y clasificarlos, justificando si son locales o globales. (3 ptos.)

c) Calcular la ecuaci´on de la recta tangente en el puntox= 3. (2 ptos.)

d) Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 en el puntox= 0. (2 ptos.)

e) Determinar el error absoluto cometido con la aproximaci´on anterior en el puntox= 0·03.

(2 ptos.)

2. Dada la funci´onf(x, y) = 1 3x

2_y₋√₃¡_x2₊_y2₋₉¢_{, se pide:}

a) Hallar los puntos cr´ıticos def(x, y). Dar las soluciones racionales, no aproximaciones. (3 ptos.)

b) Escribir la matriz hessiana. (2 ptos.)

(6)

Matem´aticas I

03/09/09

Tipo B

Problema con DERIVE

IMPORTANTE:Responder en esta misma hoja, indicando las instrucciones utilizadas, as´ı como los resultados obtenidos. Para los alumnos con evaluación continua la puntuación sustituirá a la nota obtenida en el ejercicio de Derive, siempre que fuera mayor.

1. Sea la funci´onf(x) =e2x−5₋₃_x2_{, se pide:}

a) Dibujar la gr´afica y calcular sus ra´ıces. (3 ptos.)

b) Calcular sus puntos cr´ıticos y clasificarlos, justificando si son locales o globales. (3 ptos.)

c) Calcular la ecuaci´on de la recta tangente en el puntox= 1. (2 ptos.)

d) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 en el puntox= 1. (2 ptos.)

e) Determinar el error absoluto cometido con la aproximaci´on anterior en el puntox= 1·02.

(2 ptos.)

2. Dada la funci´onf(x, y) = 1 2x

2_y₋√₃¡_x2₊_y2₋₄¢_{, se pide:}

a) Hallar los puntos cr´ıticos def(x, y). Dar las soluciones racionales, no aproximaciones. (3 ptos.)

b) Escribir la matriz hessiana. (2 ptos.)

(7)

Matem´aticas I. Soluci´on al examen del 03/09/09

Cuestionario Tipo Test

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Tipo A b b b c b b a c a a a b a b b

Tipo B c a b a c a b c b c b c a c a

Soluci´

on al Problema. Tipos A y B

1. a) Los puntos cr´ıticos se obtienen resolviendo el sistema

½

fx=−y+ 2x= 0

fy= 3y2+ 2y−x= 0 ¾

. De la primera ecuaci´on se obtiene

y = 2x, que llevado a la segunda ecuaci´on proporciona las solucionesx= 0, x= −1

4 . Por tanto los puntos cr´ıticos son

(0,0), ¡−1 4 ,−21

¢

. La matriz hessiana esHf(x, y) = ·

2 −1

−1 6y+ 2

¸

. Ahora se tiene que:

|Hf(0,0)|= 3>0, y comofxx(0,0)>0 entonces el punto cr´ıtico es un m´ınimo local. ¯

¯_H_f¡−1 4 ,−21

¢¯_¯

=−3<0, y se tiene que ¡−1 4 ,−21

¢

es un punto de silla

b) Sabemos que df=fxdx+fydy= (−y+ 2x)dx+ (3y2+ 2y−x)dy ¯ ¯

(1,1) = dx + 4dy. De donde dy =

df−dx

4 . Ahora reemplazandodxpor –0.6 ydf por 0.2 se obtiene de modo sencillo que dy= 0·2.

2. a) El planteamiento del problema es:

 



m´ax Q(x, y) =−x2₊_y_{+ 6} s.a y= 6x

x, y >0

 

.

b) La funci´on lagrangiana es L(x, y, λ) = −x2 ₊_y _{+ 6} ₋_λ₍_y ₋₆_x_{). Los puntos cr´ıticos se obtienen resolviendo el}

sistema:

  

Lx = −2x+ 6λ= 0,

Ly = 1−λ= 0,

Lλ = 6x−y= 0.  

. De la segunda ecuaci´on se obtiene inmediatamente que λ = 1, que llevado a

la primera ecuación proporciona x= 3. Finalmente de la tercera ecuación se obtiene que y = 18. La solución es, pues, (x∗_{, y}∗_{, λ}∗_{) = (3}_,₁₈_,_1).

c) La restricción es la rectay= 6x, por tanto con pendiente positiva. Las curvas de nivel son parábolas convexas de ecuación

y=x2₋_{6 +}_c_{. El vector gradiente es}_∇_Q₍_{x, y}_{) = (}₋₂_x,_{1). Por tanto, en el punto cr´ıtico se tiene que}_∇_Q₍₃_,_{18) = (}₋₆_,_1), cuyo sentido apunta al segundo cuadrante. Todo ello aparece representado en la Figura 1. Moviéndonos en la dirección y sentido del vector gradiente, se observa en la gráfica adjunta, que en el puntoP(3,18) se alcanza el máximo global del problema, ya que es el último punto de contacto de una curva de nivel con la restricción en el sentido del vector gradiente.

d) La ecuación de la recta tangente a la curva de nivel que pasa por el punto óptimo es la restricción del problema de optimización, por lo que ésta seráy= 6x.

PH3,18L

3 X

18 Y

(8)

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE DERIVE TIPO A

Examen del 03/09/2009

2 x - 3

1 Dada la función f(x) := 5·x - ê

.

a) Dibujar la gráfica y calcular sus raíces

#4: Se observa en la gráfica que la función tiene dos raíces en las

proximidades de x=0 y otra en las proximidades de x=10. Procedemos

a calcularlas

2 x - 3 #5: NSOLVE(5·x - ê , x, 0, 1)

#6: x = 0.1051747994

2 x - 3 #7: NSOLVE(5·x - ê , x, -1, 0)

#8: x = -0.09515061119

2 x - 3 #9: NSOLVE(5·x - ê , x, 8, 10)

#10: x = 9.004997261

#11: Por tanto las raíces son x=0.1051747994, x=-0.09515061119 y x =

9.004997261

b) Calcular sus puntos críticos y clasificarlos, justificando

si son locales o globales

#13: f'(x)

x - 3 #14: 10·x - ê

x - 3 #15: NSOLVE(10·x - ê , x, 0, 1)

#16: x = 0.005003681127

(9)

#18: x = 7.288943736

#19: Los puntos críticos son x=0.005003681127 y x = 7.288943736

#20: A la vista de la gráfica se observa que el primero corresponde a un

mínimo local y el segundo a un máximo también local. Por tanto la

función no tiene extremos globales

c) Calcular la recta tangente en el punto x=3

#22: TANGENT(f(x), x, 3)

#23: 29·x - 43

#24: La recta tangente pedida es y = 29·x - 43

d) Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto x=0

2 x - 3 #26: TAYLOR(f(x) := 5·x - ê , x, 0, 2)

2 -3 3 x ·ê ·(10·ê - 1) -3 -3 #27: ———————————————————— - x·ê - ê 2

2 #28: 4.975106465·x - 0.04978706836·x - 0.04978706836

#29: El polinomio pedido es p2(x) = 4.975106465·x^2 - 0.04978706836·x -

0.04978706836

2 #30: p2(x) := 4.975106465·x - 0.04978706836·x - 0.04978706836

e) Determinar el error absoluto cometido con la aproximación a

nterior en el punto x=0.03

#32: ¦f(0.03) - p2(0.03)¦

-7 #33: 2.257398674·10

#34: El error cometido es 2.257398674·10^(-7)

2. Dada la función f(x,y)=1/3 x^2 y-‹3(x^2+y^2-9) se pide:

a) Hallar los puntos críticos de f(x,y). Dar las soluciones ra

cionales, no aproximaciones.

1 2 2 2 #37: f(x, y) := ———·x ·y - ‹3·(x + y - 9) 3

#38: El gradiente de la función es:

(10)

„ 2 † ¦ 2·x·(y - 3·‹3) x - 6·‹3·y ¦ #40: ¦————————————————, —————————————¦ … 3 3 ‡

„ 2 † ‚ ¦¦ 2·x·(y - 3·‹3) x - 6·‹3·y ¦ ¦ #41: SOLVE¦¦————————————————, —————————————¦, [x, y]¦ … 3 3 ‡ ƒ

#42: [x = 0  y = 0, x = 3·‹6  y = 3·‹3, x = - 3·‹6  y = 3·‹3]

#43: Los puntos críticos son: (0,0), (3·‹6, 3·‹3), ( - 3·‹6,3·‹3)

b) Escribir la matriz hessiana

#45: f''(x, y)

„ 2·(y - 3·‹3) 2·x † ¦ —————————————— ————— ¦ ¦ 3 3 ¦ #46: ¦ ¦ ¦ 2·x ¦ ¦ ————— - 2·‹3 ¦ … 3 ‡

c) Clasificar los puntos críticos

#48: Sustituyendo cada uno de los puntos críticos en la matriz hessiana

anterior obtenemos

„ - 2·‹3 0 † #49: ¦ ¦ … 0 - 2·‹3 ‡

„ - 2·‹3 0 † #50: DET ¦ ¦ … 0 - 2·‹3 ‡

#51: 12

#52: Por tanto en (0,0) la función presenta un máximo local

„ 0 2·‹6 † #53: ¦ ¦ … 2·‹6 - 2·‹3 ‡

„ 0 2·‹6 † #54: DET ¦ ¦ … 2·‹6 - 2·‹3 ‡

#55: -24

#56: En (3·‹6, 3·‹3) la función presenta un punto de silla

„ 0 - 2·‹6 † #57: ¦ ¦ … - 2·‹6 - 2·‹3 ‡

(11)

#59: -24

(12)

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DE DERIVE TIPO B

Examen del 03/09/2009

2·x - 5 2

1 Sea la función f(x) := ê - 3·x

a) Dibujar la gráfica y calcular sus raíces

#4: Se observa en la gráfica que la función tiene dos raíces en las

proximidades de x=0 y otra en las proximidades de x=5. Procedemos

a calcularlas

2·x - 5 2 #5: NSOLVE(ê - 3·x , x, 0, 1)

#6: x = 0.04981227342

2·x - 5 2 #7: NSOLVE(ê - 3·x , x, -1, 0)

#8: x = -0.04529315770

2·x - 5 2 #9: NSOLVE(ê - 3·x , x, 3, 6)

#10: x = 4.568488564

#11: Por tanto las raíces son x=0.04981227342, x=-0.04529315770 y x =

4.568488564

b) Calcular sus puntos críticos y clasificarlos, justificando

si son locales o globales

#13: f'(x)

2·x - 5 #14: 2·ê - 6·x

2·x - 5 #15: NSOLVE(2·ê - 6·x, x, 0, 1)

#16: x = 0.002256139732

(13)

#18: x = 3.704014800

#19: Los puntos críticos son x = 0.002256139732 y x = 3.704014800

#20: A la vista de la gráfica se observa que el primero corresponde a un

máximo local y el segundo a un mínimo también local. Por tanto la

función no tiene extremos globales

c) Calcular la recta tangente en el punto x=1

#22: TANGENT(f(x), x, 1)

-3 3 #23: ê ·(1 - 3·ê )·(2·x - 1)

#24: 2.950212931·(1 - 2·x)

#25: La recta tangente pedida es y = 2.950212931·(1 - 2·x)

d) Hallar el polinomio de Taylor de orden 3 en el punto x=1

2·x - 5 2 #27: TAYLOR(f(x) := ê - 3·x , x, 1, 3)

-3 3 2 3 ê ·(4·x - 3·x ·(3·ê + 2) + 6·x - 1) #28: ———————————————————————————————————————— 3

-7 4 3 6 2 5 #29: 6.940028208·10 ·(9.5652·10 ·x - 4.466227·10 ·x + 1.43478·10 ·x -

4 2.3913·10 )

#30: El polinomio pedido es p3(x) = 6.940028208·10^(-7)·(9.5652·10^4·x^3

- 4.466227·10^6·x^2 + 1.43478·10^5·x - 2.3913·10^4)

-7 4 3 6 2 #31: p3(x) := 6.940028208·10 ·(9.5652·10 ·x - 4.466227·10 ·x +

5 4 1.43478·10 ·x - 2.3913·10 )

e) Determinar el error absoluto cometido con la aproximación a

nterior en el punto x=1.02

#33: ¦f(1.02) - p3(1.02)¦

- 74/25 2024176258513247913 #34: ê - —————————————————————— 39062500000000000000

-9 #35: 4.954286148·10

#36: El error cometido es 4.954286148·10^(-9)

(14)

a) Hallar los puntos críticos de f(x,y). Dar las soluciones ra

cionales, no aproximaciones.

1 2 2 2 #39: f(x, y) := ———·x ·y - ‹3·(x + y - 4) 2

#40: El gradiente de la función es:

#41: f'(x, y)

„ 2 † ¦ x - 4·‹3·y ¦ #42: ¦x·(y - 2·‹3), —————————————¦ … 2 ‡

„ 2 † ‚ ¦¦ x - 4·‹3·y ¦ ¦ #43: SOLVE¦¦x·(y - 2·‹3), —————————————¦, [x, y]¦ … 2 ‡ ƒ

#44: [x = 0  y = 0, x = 2·‹6  y = 2·‹3, x = - 2·‹6  y = 2·‹3]

#45: Los puntos críticos son: (0,0), (2·‹6, 2·‹3), ( -2·‹6,2·‹3)

b) Escribir la matriz hessiana

#47: f''(x, y)

„ y - 2·‹3 x † #48: ¦ ¦ … x - 2·‹3 ‡

c) Clasificar los puntos críticos

#50: Sustituyendo cada uno de los puntos críticos en la matriz hessiana

anterior obtenemos

„ - 2·‹3 0 † #51: ¦ ¦ … 0 - 2·‹3 ‡

„ - 2·‹3 0 † #52: DET ¦ ¦ … 0 - 2·‹3 ‡

#53: 12

#54: Por tanto en (0,0) la función presenta un máximo local

„ 0 2·‹6 † #55: ¦ ¦ … 2·‹6 - 2·‹3 ‡

„ 0 2·‹6 † #56: DET ¦ ¦ … 2·‹6 - 2·‹3 ‡

(15)

#58: En (2·‹6, 2·‹3) la función presenta un punto de silla

„ 0 - 2·‹6 † #59: ¦ ¦ … - 2·‹6 - 2·‹3 ‡

„ 0 - 2·‹6 † #60: DET ¦ ¦ … - 2·‹6 - 2·‹3 ‡

#61: -24