Vectores

(1)

Vectores

Ver ´onica Brice ˜no V.

(2)

En esta Presentaci ´on...

... veremos:

Vectores en el plano y espacio

Operaciones: Suma, producto por escalar

Representaci ´on Geom ´etrica Producto Punto

Proyecci ´on Ortogonal

(3)

En esta Presentaci ´on...

... veremos:

(4)

En esta Presentaci ´on...

... veremos:

Representaci ´on Geom ´etrica

Producto Punto

(5)

En esta Presentaci ´on...

... veremos:

(6)

En esta Presentaci ´on...

... veremos:

(7)

En esta Presentaci ´on...

... veremos:

(8)

(9)

(10)

Notaci ´on

Vectores:~u, ~v, ~w...

Puntos:A,B,C, ...

Escalares (n ´umeros reales):α, β, ...

Si un vector inicia en el puntoAy termina en el puntoB, se denota:~v =AB~

Un vector deRn, se escribe como:(x1,x2, ...xn), donde cada

xi ∈R

Vector nulo:~0= (0,0, ...,0) EnR2:

ˆ_i _{= (1}_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁₎ EnR3:

ˆ_i _{= (1}_,₀_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁_,₀₎

ˆ

(11)

Notaci ´on

Puntos:A,B,C, ...

xi ∈R

Vector nulo:~0= (0,0, ...,0) EnR2:

ˆ_i _{= (1}_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁₎ EnR3:

ˆ_i _{= (1}_,₀_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁_,₀₎

ˆ

(12)

Notaci ´on

Puntos:A,B,C, ...

xi ∈R

Vector nulo:~0= (0,0, ...,0) EnR2:

ˆ_i _{= (1}_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁₎ EnR3:

ˆ_i _{= (1}_,₀_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁_,₀₎

ˆ

(13)

Notaci ´on

Puntos:A,B,C, ...

xi ∈R

Vector nulo:~0= (0,0, ...,0) EnR2:

ˆ_i _{= (1}_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁₎ EnR3:

ˆ_i _{= (1}_,₀_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁_,₀₎

ˆ

(14)

Notaci ´on

Puntos:A,B,C, ...

xi ∈R

Vector nulo:~0= (0,0, ...,0) EnR2:

ˆ_i _{= (1}_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁₎ EnR3:

ˆ_i _{= (1}_,₀_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁_,₀₎

ˆ

(15)

Notaci ´on

Puntos:A,B,C, ...

xi ∈R

Vector nulo:~0= (0,0, ...,0)

EnR2:

ˆ_i _{= (1}_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁₎ EnR3:

ˆ_i _{= (1}_,₀_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁_,₀₎

ˆ

(16)

Notaci ´on

Puntos:A,B,C, ...

xi ∈R

Vector nulo:~0= (0,0, ...,0) En_R2_:

ˆ_i _{= (1}_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁₎

EnR3:

ˆ_i _{= (1}_,₀_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁_,₀₎

ˆ

(17)

Notaci ´on

Puntos:A,B,C, ...

xi ∈R

Vector nulo:~0= (0,0, ...,0) En_R2_:

ˆ_i _{= (1}_,₀₎ ˆ_j _{= (0}_,₁₎ EnR3:

(18)

Operaciones B ´asicas

Sean~v = (v1,v2, ...,vn)yw~ = (w1,w2, ...,wn)vectores deRn.

Igualdad de vectores.

Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, las mismas componentes.

Es decir,~v =w~ si y solo siv_i =w_i,∀i =1, ...n

Suma de vectores.

~

v +w~ = (v1+w1,v2+w2, ...,vn+wn)

Producto por escalar.

(19)

Operaciones B ´asicas

Es decir,~v =w~ si y solo sivi =wi,∀i =1, ...n

Suma de vectores.

~

v +w~ = (v1+w1,v2+w2, ...,vn+wn)

(20)

Operaciones B ´asicas

Suma de vectores.

~

v +w~ = (v1+w1,v2+w2, ...,vn+wn)

(21)

Operaciones B ´asicas

Suma de vectores.

~

v +w~ = (v1+w1,v2+w2, ...,vn+wn)

(22)

Ejemplos

Dado el vector~u, con origen enP(−3,5)y extremo enQ(4,7); podemos escribirlo como...

Dado el vector~v, con origen enP(3,−1,5)y extremo en

Q(3,2,1); podemos escribirlo como...

Sea~u= (1,2,3)y~v = (−1,0,2). Calcular:~u+~v,~u−~v yα~u, dondeα=−1,2,1/2. Graficar!!!

En relaci ´on al ejemplo anterior: determine el valor dew~, tal que: 2w~ −4~u=3~v

Considere los puntosA= (0,0,1),B = (3,5,0)yC= (2,0,0). Nos interesa calcularD ∈R3tal queA,B,CyDsean los v ´ertices

(23)

Ejemplos

Considere los puntosA= (0,0,1),B = (3,5,0)yC= (2,0,0). Nos interesa calcularD∈R3tal queA,B,C yDsean los v ´ertices

(24)

Ejemplos

(25)

Ejemplos

(26)

Ejemplos

(27)

Ejemplos

Considere los puntosA= (0,0,1),B= (3,5,0)yC= (2,0,0). Nos interesa calcularD∈R3tal queA,B,C yDsean los v ´ertices

(28)

Propiedades

∀~u, ~v ∈Rnvectores,α, β∈R. Entonces:

~

v +~0=~v

~

v +(−v~ ) =~0 0·~v =~0 1·~v =~v

~

v +w~ =w~ +~v

α(~v +w~) =α~v +α~w

(α+β)~v =α~v+β~v

(α·β)~v =α(β~v)

(29)

Propiedades

~

v +~0=~v

~

v +(−v~ ) =~0

0·~v =~0 1·~v =~v

~

v +w~ =w~ +~v

α(~v +w~) =α~v +α~w

(30)

Propiedades

~

v +~0=~v

~

v +(−v~ ) =~0 0·~v =~0

1·~v =~v

~

v +w~ =w~ +~v

α(~v +w~) =α~v +α~w

(31)

Propiedades

~

v +~0=~v

~

v +(−v~ ) =~0 0·~v =~0 1·~v =~v

~

v +w~ =w~ +~v

α(~v +w~) =α~v +α~w

(32)

Propiedades

~

v +~0=~v

~

v +(−v~ ) =~0 0·~v =~0 1·~v =~v

~

v +w~ =w~ +~v

α(~v +w~) =α~v +α~w

(33)

Propiedades

~

v +~0=~v

~

v +(−v~ ) =~0 0·~v =~0 1·~v =~v

~

v +w~ =w~ +~v

α(~v+w~) =α~v+α~w

(34)

Propiedades

~

v +~0=~v

~

v +(−v~ ) =~0 0·~v =~0 1·~v =~v

~

v +w~ =w~ +~v

(35)

Propiedades

~

v +~0=~v

~

v +(−v~ ) =~0 0·~v =~0 1·~v =~v

~

v +w~ =w~ +~v

(36)

Propiedades

~

v +~0=~v

~

v +(−v~ ) =~0 0·~v =~0 1·~v =~v

~

v +w~ =w~ +~v

(37)

Propiedades

~

v +~0=~v

~

v +(−v~ ) =~0 0·~v =~0 1·~v =~v

~

v +w~ =w~ +~v

(38)

Producto Punto (Escalar)

Operaci ´on entre vectores que devuelve un escalar.

Idea geom ´etrica de magnitud.

Definici ´on Producto Punto

~v·w~ =v1·w1+v2·w2+...+vn·wn∈R

Observaci ´on:

Tambi én es com ún usar la notaci ón:

(39)

Producto Punto (Escalar)

Operaci ´on entre vectores que devuelve un escalar. Idea geom ´etrica de magnitud.

~v·w~ =v1·w1+v2·w2+...+vn·wn∈R

Observaci ´on:

(40)

Producto Punto (Escalar)

~v·w~ =v1·w1+v2·w2+...+vn·wn∈R

Observaci ´on:

(41)

Producto Punto (Escalar)

~v·w~ =v1·w1+v2·w2+...+vn·wn∈R

Observaci ´on:

(42)

Producto Punto (Escalar)

~v·w~ =v1·w1+v2·w2+...+vn·wn∈R

Observaci ´on:

(43)

Producto Punto (Escalar)

~v·w~ =v1·w1+v2·w2+...+vn·wn∈R

Observaci ´on:

(44)

Ejemplos...

Sean~u= (1,2,√3)y~v = (−1/2,0,2). Calcular:~u·~v

(45)

Ejemplos...

(46)

Ejemplos...

(47)

Producto Punto (Escalar)

Teorema

Sean~u, ~v, ~w ∈_Rn_y_α_∈

R. Entonces,

~

v ·~0=0

~

v ·w~ =w~ ·~v

~

u·(~v +w~) =~u·~v +~u·w~

(α~v)·w~ =α(~v ·w~)

NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!

~

u·(~v ·w~)no est ´a definido.

(48)

Producto Punto (Escalar)

Teorema

Sean~u, ~v, ~w ∈_Rn_y_α _∈

R. Entonces,

~

v ·~0=0

~

v ·w~ =w~ ·~v

~

u·(~v +w~) =~u·~v +~u·w~

(α~v)·w~ =α(~v ·w~)

~

(49)

Producto Punto (Escalar)

Teorema

R. Entonces,

~

v ·~0=0

~

v ·w~ =w~ ·~v

~

u·(~v +w~) =~u·~v +~u·w~

(α~v)·w~ =α(~v ·w~)

~

(50)

Producto Punto (Escalar)

Teorema

R. Entonces,

~

v ·~0=0

~

v ·w~ =w~ ·~v

~

u·(~v +w~) =~u·~v +~u·w~

(α~v)·w~ =α(~v ·w~)

~

(51)

Producto Punto (Escalar)

Teorema

R. Entonces,

~

v ·~0=0

~

v ·w~ =w~ ·~v

~

u·(~v +w~) =~u·~v +~u·w~

(α~v)·w~ =α(~v ·w~)

~

(52)

Producto Punto (Escalar)

Teorema

R. Entonces,

~

v ·~0=0

~

v ·w~ =w~ ·~v

~

u·(~v +w~) =~u·~v +~u·w~

(α~v)·w~ =α(~v ·w~)

~

(53)

Producto Punto (Escalar)

Teorema

R. Entonces,

~

v ·~0=0

~

v ·w~ =w~ ·~v

~

u·(~v +w~) =~u·~v +~u·w~

(α~v)·w~ =α(~v ·w~)

~

(54)

Producto Punto (Escalar)

Teorema

R. Entonces,

~

v ·~0=0

~

v ·w~ =w~ ·~v

~

u·(~v +w~) =~u·~v +~u·w~

(α~v)·w~ =α(~v ·w~)

~

(55)

Producto Punto (Escalar)

Teorema

R. Entonces,

~

v ·~0=0

~

v ·w~ =w~ ·~v

~

u·(~v +w~) =~u·~v +~u·w~

(α~v)·w~ =α(~v ·w~)

~

(56)

Producto Punto (Escalar)

Teorema

R. Entonces,

~

v ·~0=0

~

v ·w~ =w~ ·~v

~

u·(~v +w~) =~u·~v +~u·w~

(α~v)·w~ =α(~v ·w~)

~

(57)

Norma

Define la distancia desde el punto de vista de la geometr´ıa euclideana.

Sea~v = (v1,v2, ...,vn)un vector deRn.

Definici ´on Norma

||~v||=

√

~

v·~v =√v1·v1+v2·v2+...+vn·vn

Observaci ´on:

Distancia entre dos vectores:~uy~v:

(58)

Norma

Define la distancia desde el punto de vista de la geometr´ıa euclideana. Sea~v = (v1,v2, ...,vn)un vector deRn.

Definici ´on Norma

||~v||=

√

~

v·~v =√v1·v1+v2·v2+...+vn·vn

Observaci ´on:

(59)

Norma

Definici ´on Norma

||~v||=

√

~v·~v =√v1·v1+v2·v2+...+vn·vn

Observaci ´on:

(60)

Norma

Definici ´on Norma

||~v||=

√

~v·~v =√v1·v1+v2·v2+...+vn·vn

Observaci ´on:

(61)

Norma

Definici ´on Norma

||~v||=

√

~v·~v =√v1·v1+v2·v2+...+vn·vn

Observaci ´on:

(62)

Norma

Definici ´on Norma

||~v||=

√

~v·~v =√v1·v1+v2·v2+...+vn·vn

Observaci ´on:

Distancia entre dos vectores:~u y~v:

(63)

Norma

Definici ´on Norma

||~v||=

√

~v·~v =√v1·v1+v2·v2+...+vn·vn

Observaci ´on:

(64)

Norma

Definici ´on Norma

||~v||=

√

~v·~v =√v1·v1+v2·v2+...+vn·vn

Observaci ´on:

(65)

Ejemplos...

Sea~v = (−1,2,1), calcular:||~v||

(66)

Ejemplos...

Sea~v = (−1,2,1), calcular:||~v||

(67)

Ejemplos...

Sea~v = (−1,2,1), calcular:||~v||

La distancia de~v = (0,1,3)a~u = (1,−3,2)es||~v−~u||=

(68)

Ejemplos...

Sea~v = (−1,2,1), calcular:||~v||

(69)

Norma

Teorema

Seanw~, ~v ∈Rn yα∈R. Entonces,

||~v||>0,∀~v y||~v||=0 ssi~v =~0

||α~v||=|α| · ||~v|| ||~v −w~||=||w~ −~v||

||~v +w~|| ≤ ||~v||+||w||~ (desigualdad triangular)

|~v·w~| ≤ ||~v|| · ||w~||(desigualdad de Cauchy - Schwarz)

Dem:

(70)

Norma

Teorema

||~v||>0,∀~v y||~v||=0 ssi~v =~0

||α~v||=|α| · ||~v|| ||~v −w~||=||w~ −~v||

Dem:

(71)

Norma

Teorema

||~v||>0,∀~v y||~v||=0 ssi~v =~0

||α~v||=|α| · ||~v|| ||~v −w~||=||w~ −~v||

Dem:

(72)

Norma

Teorema

||~v||>0,∀~v y||~v||=0 ssi~v =~0

||α~v||=|α| · ||~v||

||~v −w~||=||w~ −~v||

Dem:

(73)

Norma

Teorema

||~v||>0,∀~v y||~v||=0 ssi~v =~0

||α~v||=|α| · ||~v|| ||~v −w||~ =||w~ −~v||

Dem:

(74)

Norma

Teorema

||~v||>0,∀~v y||~v||=0 ssi~v =~0

||α~v||=|α| · ||~v|| ||~v −w||~ =||w~ −~v||

||~v +w|| ≤ ||~ ~v||+||w||~ (desigualdad triangular)

Dem:

(75)

Norma

Teorema

||~v||>0,∀~v y||~v||=0 ssi~v =~0

||α~v||=|α| · ||~v|| ||~v −w||~ =||w~ −~v||

|~v·w~| ≤ ||~v|| · ||w||~ (desigualdad de Cauchy - Schwarz)

Dem:

(76)

Norma

Teorema

||~v||>0,∀~v y||~v||=0 ssi~v =~0

||α~v||=|α| · ||~v|| ||~v −w||~ =||w~ −~v||

Dem:

(77)

Norma

Teorema

||~v||>0,∀~v y||~v||=0 ssi~v =~0

||α~v||=|α| · ||~v|| ||~v −w||~ =||w~ −~v||

Dem:

(78)

Norma

Teorema

||~v||>0,∀~v y||~v||=0 ssi~v =~0

||α~v||=|α| · ||~v|| ||~v −w||~ =||w~ −~v||

Dem:

(79)

Vector Unitario

Definici ´on

(80)

Ejemplos...

Seaw~ = (cosθ,senθ).

(81)

Ejemplos...

(82)

Ejemplos...

(83)

´

Angulo entre vectores

Y Z

v

w 

(84)

´

Angulo entre vectores

Definici ´on

Sean~v = (v1,v2, ...,vn)yw~ = (w1,w2, ...,wn)vectores no nulos deRn.

Se dice que el ´unicoθ∈[0, π]que verifica:

~

v ·w~ =||~v|| · ||w~||cos(θ)

es el ´angulo entre~v yw~.

Dem: Utilizar el teorema del coseno:

||~v −w~||2₌_||_~_v_||2₊_||_w||_~ 2₋₂_{· ||}_~_{v|| · ||}_w_~_{|| ·}_cos(_θ₎ dondeθes el ´angulo que se forma entre~v yw~. Por otra parte,||~v −w||~ 2= (v~ −w~)(~v −w~)

Finalmente, usando la desigualdad de C-S se demuestra que:

(85)

´

Angulo entre vectores

Definici ´on

~

v ·w~ =||~v|| · ||w~||cos(θ)

(86)

´

Angulo entre vectores

Definici ´on

~

v ·w~ =||~v|| · ||w~||cos(θ)

(87)

´

Angulo entre vectores

Definici ´on

~

v ·w~ =||~v|| · ||w~||cos(θ)

Dem:

Utilizar el teorema del coseno:

(88)

´

Angulo entre vectores

Definici ´on

~

v ·w~ =||~v|| · ||w~||cos(θ)

(89)

Paralelismo y Perpendicularidad

Definici ´on

Sean~v, ~w vectores deRn.

Dos vectores~v yw~ son paralelos si el ´angulo entre ellos es 0 oπ. Esto es,~v =λ~w,∀λ∈_R.

Se denota:~v kw~

Dos vectores~v yw~ son perpendiculares si el ´angulo entre ellos es π₂. Esto es,~v·w~ =0.

(90)

Paralelismo y Perpendicularidad

Definici ´on

Se denota:~v kw~

(91)

Paralelismo y Perpendicularidad

Definici ´on

Se denota:~v kw~

(92)

Ejercicios

Sean~v = (1,0,√2)yw~ = (−2,−1,√2). Probar que son ortogonales.

Sean~v = (1,−1,0)yw~ = (1,1,0). Consideremos el problema de encontrar un vector~u∈_R3_{que cumpla las siguientes tres}

condiciones:

~

u⊥~v ||~u||=4

]~u, ~w = π₃

(93)

Proyecci ´on Ortogonal

u

tw

(94)

Proyecci ´on Ortogonal

Definici ´on

Sean~uyw~ vectores deRn, conw~ 6=0.

Se llama proyecci ´on ortogonal de~usobrew~, al vector:

proy_w_~~u = w~ ·~u

~

w·w~ w~

(95)

Proyecci ´on Ortogonal

Definici ´on

~

w·w~ w~

(96)

Proyecci ´on Ortogonal

Definici ´on

~

w·w~ w~

(97)

Proyecci ´on Ortogonal

Definici ´on

~

w·w~ w~

(98)

Ejercicios

Sean~u= (5,0,√2)y~v = (2,1,√2). Calcular:proy_~_v~uyproy_~_u~v

Sean~v = (3,1,0)yw~ = (2,2,0). Determinar~u ∈R3, tal que

~

u= (x,y,x)y que cumpla las siguientes condiciones:

proy~u~v =−~v y~u⊥~v

Considere un tri ´angulo determinado por los puntosA,B,C∈_R3_. Calcular la altura y el ´area de la siguiente manera:

Sean:~u =B−Ayw~ =C−A, entonces la altura es:

h=||~u−proy~w~u||

Como la base mide||w||~ entonces:

(99)

Producto Cruz (Vectorial) en

_R

3

.

Definici ´on

Sean~v = (v1,v2,v3)yw~ = (w1,w2,w3)vectores deR3.

~

v ×w~ = (v2w3−v3w2)ˆi+ (v3w1−v1w3)ˆj+ (v1w2−v2w1)ˆk

NEMOTECNIA

~

v ×w~ =det





ˆ_i ˆ_j _kˆ

v1 v2 v3

w1 w2 w3





(100)

Producto Cruz (Vectorial) en

_R

3

.

Definici ´on

~

NEMOTECNIA

~

v ×w~ =det





ˆ_i ˆ_j _kˆ

v1 v2 v3

w1 w2 w3





(101)

Producto Cruz (Vectorial) en

_R

3

.

Definici ´on

~

NEMOTECNIA

~

v ×w~ =det





ˆ_i ˆ_j _kˆ

v1 v2 v3

w1 w2 w3





(102)

Producto Cruz (Vectorial) en

_R

3

.

Definici ´on

~

NEMOTECNIA

~

v ×w~ =det





ˆ_i ˆ_j _kˆ

v1 v2 v3

w1 w2 w3





(103)

Producto Cruz (Vectorial) en

_R

3

.

Definici ´on

~

NEMOTECNIA

~

v ×w~ =det





ˆ_i ˆ_j _kˆ

v1 v2 v3

w1 w2 w3





(104)

Producto Cruz (Vectorial) en

_R

3

.

Definici ´on

~

NEMOTECNIA

~

v ×w~ =det





ˆ_i ˆ_j _kˆ

v1 v2 v3

w1 w2 w3





(105)

Ejemplos...

Sean~u=2ˆi+4ˆj−5kˆy~v =−3ˆi−2ˆj+ ˆk

Calcular:~v×~uy~u×~v

Sean~u= (1,−1,1),~v = (0,1,−1)yw~ = ˆj. Determinar la alternativa correcta:

A)(~u×~v)·w~ =~u×(~v·w~) B)]~u, ~v =]~u, ~w

C)||w||~ =||~u+~v||

D)(~u+~v)⊥w~

(106)

Ejemplos...

Sean~u=2ˆi+4ˆj−5kˆy~v =−3ˆi−2ˆj+ ˆk

Calcular:~v×~uy~u×~v

Sean~u= (1,−1,1),~v = (0,1,−1)yw~ = ˆj. Determinar la alternativa correcta:

A)(~u×~v)·w~ =~u×(~v·w~) B)]~u, ~v =]~u, ~w

C)||w||~ =||~u+~v||

D)(~u+~v)⊥w~

(107)

Propiedades

1 ~_u×~₀₌~₀×~_u₌~₀

2 ~_u×~_v ₌−₍~_v×~_u₎_{(anticonmutativa)}

3 ~_u_×~_u₌~_{0 (propiedad de los determinantes)} 4 ~_u₍~_u_×~_v_{) =}₀

5 ~_v₍~_u×~_v_{) =}₀

6 ||~_u×~_v||2₌||~u||2· ||~v||2−₍~_u·~_v₎2_{(Igualdad de Lagrange)} 7 ~_u×₍~_v ₊_w~_{) =}~_u×~_v₊~_u×_w~

(108)

Propiedades

1 ~_u×~₀₌~₀×~_u₌~₀

5 ~_v₍~_u×~_v_{) =}₀

(109)

Propiedades

1 ~_u×~₀₌~₀×~_u₌~₀

3 ~_u_×~_u₌~_{0 (propiedad de los determinantes)}

4 ~_u₍~_u_×~_v_{) =}₀ 5 ~_v₍~_u×~_v_{) =}₀

(110)

Propiedades

1 ~_u×~₀₌~₀×~_u₌~₀

5 ~_v₍~_u×~_v_{) =}₀

(111)

Propiedades

1 ~_u×~₀₌~₀×~_u₌~₀

5 ~_v₍~_u×~_v_{) =}₀

(112)

Propiedades

1 ~_u×~₀₌~₀×~_u₌~₀

5 ~_v₍~_u×~_v_{) =}₀

6 ||~_u×~_v||2₌||~u||2· ||~_v||2−₍~_u·~_v₎2_{(Igualdad de Lagrange)}

(113)

Propiedades

1 ~_u×~₀₌~₀×~_u₌~₀

5 ~_v₍~_u×~_v_{) =}₀

6 ||~_u×~_v||2₌||~u||2· ||~_v||2−₍~_u·~_v₎2_{(Igualdad de Lagrange)} 7 ~_u×₍~_v ₊_w~_{) =}~_u×~_v₊~_u×_w~

(114)

Propiedades

1 ~_u×~₀₌~₀×~_u₌~₀

5 ~_v₍~_u×~_v_{) =}₀

8 ₍~_u₊~_v₎_×_w~ ₌~_u_×_w~ ₊~_v_×_w~

(115)

Propiedades

1 ~_u×~₀₌~₀×~_u₌~₀

5 ~_v₍~_u×~_v_{) =}₀

8 ₍~_u₊~_v₎_×_w~ ₌~_u_×_w~ ₊~_v_×_w~ 9 _α₍~_v_×_w~_{) = (}_α~_v₎_×_w~ ₌~_v_×₍_α~_w₎

(116)

Propiedades

1 ~_u×~₀₌~₀×~_u₌~₀

5 ~_v₍~_u×~_v_{) =}₀

8 ₍~_u₊~_v₎_×_w~ ₌~_u_×_w~ ₊~_v_×_w~ 9 _α₍~_v_×_w~_{) = (}_α~_v₎_×_w~ ₌~_v_×₍_α~_w₎

~

(117)

Observaci ´on

~

u×~v es un vector.

Las propiedades 4 y 5 implican que:

~

u ⊥~u×~v

~

v ⊥~u×~v

De la Igualdad de Lagrange, se obtiene:

||~u×~v||=||~u|| · ||~v||senθ

(118)

Observaci ´on

~

u×~v es un vector.

~

u⊥~u×~v

~

v ⊥~u×~v

||~u×~v||=||~u|| · ||~v||senθ

(119)

Observaci ´on

~

u×~v es un vector.

~

u⊥~u×~v

~

v ⊥~u×~v

||~u×~v||=||~u|| · ||~v||senθ

(120)

Interpretaci ´on Geom ´etrica Producto Cruz

Imaginar que~uy~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.

´

Area: A = base x altura y altura:h=||~u|| ·senθ

As´ı,A=||~u|| · ||~v||senθ=||~u×~v||

Por otra parte, enR3, sean~u, ~v, ~w ∈R3

Volumen del paralelepipedo, es:

V =||w~|| · ||~u×~v||

Probar que:

V =det





u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3



(121)

Interpretaci ´on Geom ´etrica Producto Cruz

Imaginar que~uy~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.

´

As´ı,A=||~u|| · ||~v||senθ=||~u×~v||

V =||w~|| · ||~u×~v||

Probar que:

V =det





u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3



(122)

Interpretaci ´on Geom ´etrica Producto Cruz

Imaginar que~uy~v son los lados adyacentes de un paralelogramo. ´

As´ı,A=||~u|| · ||~v||senθ=||~u×~v||

V =||w~|| · ||~u×~v||

Probar que:

V =det





u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3



(123)

Interpretaci ´on Geom ´etrica Producto Cruz

As´ı,A=||~u|| · ||~v||senθ=||~u×~v||

V =||w~|| · ||~u×~v||

Probar que:

V =det





u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3



(124)

Interpretaci ´on Geom ´etrica Producto Cruz

As´ı,A=||~u|| · ||~v||senθ=||~u×~v||

V =||w~|| · ||~u×~v||

Probar que:

V =det





u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3



(125)

Interpretaci ´on Geom ´etrica Producto Cruz

As´ı,A=||~u|| · ||~v||senθ=||~u×~v||

V =||w~|| · ||~u×~v||

Probar que:

V =det





u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3



(126)

Interpretaci ´on Geom ´etrica Producto Cruz

As´ı,A=||~u|| · ||~v||senθ=||~u×~v||

V =||w~|| · ||~u×~v||

Probar que:

V =det





u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3



(127)

Ejercicios Propuestos

Encuentre las coordenadas de un vector~a∈_R3_{de m ´odulo}√₃ que sea ortogonal a los vectores~b = ˆi−ˆjy~c = ˆj−kˆ.

Calcular el volumen del paralelep´ıpedo determinado por los vectores~u = (1,3,−2),~v = (2,1,4)yw~ = (−3,1,6). Calcular el área del tri ángulo con v értices enP = (1,3,−2),

(128)

Ejercicios Propuestos

Encuentre las coordenadas de un vector~a∈_R3_{de m ´odulo}√₃ que sea ortogonal a los vectores~b= ˆi−ˆjy~c = ˆj−kˆ.

Calcular el volumen del paralelep´ıpedo determinado por los vectores~u= (1,3,−2),~v = (2,1,4)yw~ = (−3,1,6). Calcular el área del tri ángulo con v értices enP = (1,3,−2),

(129)

Ejercicios Propuestos

Calcular el volumen del paralelep´ıpedo determinado por los vectores~u= (1,3,−2),~v = (2,1,4)yw~ = (−3,1,6).

Calcular el área del tri ángulo con v értices enP = (1,3,−2),

(130)

Ejercicios Propuestos

Calcular el volumen del paralelep´ıpedo determinado por los vectores~u= (1,3,−2),~v = (2,1,4)yw~ = (−3,1,6). Calcular el área del tri ángulo con v értices enP = (1,3,−2),