NOTA PARA EL ESTUDIANTE: Este material contiene sucesiones, límite de sucesiones, límite de funciones, límites trigonométricos y continuidad, Deben resolver los ejercicios impares de los siguientes talleres:
TALLER 1. SOBRE LIMITES DE SUCESIONES TALLER 2. DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
TALLER 3. DE LIMITES SOBRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
TALLER 4. SOBRE CONTINUIDAD
14. SUCESIONES INFINITAS
14.1. LIMITES DE SUCESIONES
INTRODUCCIÓN
La idea de límite es la noción más importante del cálculo; dicho concepto es la base de la diferenciación e integración que veremos en capítulos posteriores.
En este capítulo utilizaremos las sucesiones para desarrollar en forma sencilla la noción de límite y así poderla llevar a funciones de dominio real si mucha dificultad.
14.1.1 SUCESIONES Y LÍMITES
DEFINICIÓN: Sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los enteros mayores que, o iguales a, algún número natural dado.
O sea, sucesión infinita = f : A R donde A = {nZ / nk, kN} = {(n, f(n)) / n, kN, nk}
= {(k, f(k)), (k+1, f(k+1)),..., (n, f(n)),...} expresión (1)
Los elementos del rango de una sucesión se denominan términos de la sucesión y los denotaremos con la letra a subindizada. Así:
a1 es el término de la sucesión correspondiente al número natural 1. a2 es el término de la sucesión correspondiente al número natural 2. a3 es el término de la sucesión correspondiente al número natural 3. an es el término de la sucesión correspondiente al número natural n.
an Lo llamaremos término general de la sucesión.
Para mayor sencillez denotaremos la sucesiones con el término general encerrado entre llaves y las parejas por términos de la sucesión; en lugar de la expresión (1) escribimos:
1. Sea la sucesión infinita
f : NR definida por
,...
2 1 , ,..., 8 1 3, , 4 1 2, , 2 1 , 1 entonces
2 1
n n
n f
n f
En forma sencilla:
,... 2
1 ,..., 8 1 , 4 1 , 2 1 2
1
n
n
2. Sea la sucesión infinita , 3 2
1
n
n
2 1 :
n o sucesi la de general rmino
e T
1 : n o sucesi la de rmino e Primer t
... , 2 -1 ,..., 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1 2 -1 Entonces,
3
n a a
n n
n
14.1.2 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA SUCESIÓN
Para representar geométricamente una sucesión
an elegimos un sistema de ejesrectangulares en el plano; sobre el semieje horizontal a la derecha del origen (on) representamos los números naturales y sobre el eje vertical (an) los términos correspondientes de la sucesión.
El conjunto de puntos (n, an) localizados en el plano es la representación geométrica de la sucesión
an .EJEMPLO: Sea la sucesión
,... 16
1 , 9 1 , 4 1 , 1 1
2
n
an
1 (1, 1)
1/2
1/4 (2, 1/4) 1/9 (3, 1/9) 1/16 (4, 1/16) 1/25 (5, 1/25)
0 1 2 3 4 5 n
14.1.3.1 SUCESIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
DEFINICIÓN:
an es una sucesión creciente si cada uno de sus términos es mayor que supredecesor, es decir an > an - 1 n.
EJEMPLO: {2n} = {2, 4, 8, 16, 32,...}, es una sucesión creciente.
DEFINICIÓN:
an es una sucesión decreciente si cada uno de sus términos es menor queel término anterior a él, es decir an < an - 1 n.
EJEMPLO: {1/n} = {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...}, es una sucesión decreciente.
DEFINICIÓN:
an es una sucesión creciente si anan - 1 n.
an es una sucesión decreciente si anan - 1 n.14.1.4 SUCESIONES ACOTADAS SUPERIOR E INFERIORMENTE
DEFINICIÓN:
an está acotada superiormente si existe por lo menos un número real wtal que para todo ai perteneciente a
an : ai w, o sea,
an está acotada superiormente
wR
ai
an
ai w
, w es una cota superior de
an .Si
an es una sucesión acotada superiormente y Wo es la menor de las cotas superiores,decimos que Wo es el supremum de
an y lo denotamos por: Wo=sup
anEJEMPLO:La sucesión
,... 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1 1
n está acotada superiormente.
Cotas superiores: {xR / x 1}
Sup {1/n} = 1
DEFINICIÓN:
an está acotada inferiormente si existe por lo menos un número real mtal que para todo ai perteneciente a
an : ai m, o sea,
an está acotada inferiormente
mR
ai
an
ai m
, m es una cota inferior de
an .Si
an es una sucesión acotada inferiormente y Mo es la mayor de las cotas inferiores,decimos que Mo es el infimum de
an y lo denotamos por: Mo=inf
an La sucesión
,... 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1 1
n está acotada inferiormente.
Cotas superiores: {xR / x 0}
Inf {1/n} = 0
Sea la sucesión
37,...
72 , 13 25 , 17 32 , 5 9 , 5 8 , 1 1 2
2 2
n n
Sup
an = 2, Inf
an = 1DEFINICIÓN:
an es una sucesión acotada si lo es superior e inferiormente, o sea:
anestá acotada
xR
ai
an
ai s
EJEMPLO:
1. La sucesión {(- 1)n } = {-1, 1, -1, 1, -1,...} es una sucesión acotada.
2. La sucesión { n2 }= {1, 4, 9, 16,...} no es una sucesión acotada ya que no está acotada superiormente.
14.1.5 ENTORNO Y ENTORNO SEPARADO DE UN PUNTO
Consideremos el intervalo abierto (- 2, 4)3
(
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\)
- 2 1 4
Obsérvese que 1 es el centro del intervalo (- 2, 4) y que la distancia del centro al punto - 2 o a 4 es 3.
Decimos que el intervalo (- 2, 4) es un entorno de centro 1 y radio 3 y lo denotamos por: E3 (1).
DEFINICIÓN: Llámese entorno de centro
a y radio r al intervalo abierto
ar;ar
,osea :Er(a)
xR/xa r
DEFINICIÓN:
Entorno separado del número real a y de radio r es el entorno de centro a y radio r del cual se ha excluido a. Lo denotaremos por E*r(a), o sea:
x R x a r
r a r a
a aEr*( ) /0 ;
EJEMPLO: E*3(1) =
xR/0 x13
(2;1)(1,4) EJERCICIO:1.¿Qué términos de la sucesión quedan dentroentorno (2)? 2
1 2
3
10
E n
n
SOLUCIÓN:
) 2 ( entorno el
en quedan ,
4998
4998 Luego,
. 5000 2
Entonces,
1000 1 2 5 2 5 2
2 1 2 1000
1 2
001 , 0
E a
n
n n
n n
n n a
n n
14.1.6 LIMITES DE SUCESIONES CONVERGENTES
EJEMPLO: Sea la sucesión
n n
2 1 1
¿Qué términos de la sucesión quedan dentro del entorno E(1)?
: lo llamaremos épsilon y representa un número positivo tan pequeño como se desee.
) 1 ( ,
) 2 ln(
1 ln
) 2 ln(
1 ln si sea, o , 2
1 entonces, ,
1
: como , 2
1 1 2
1 1 1
E a n
n a
a
n
n n
n n
n n
Si dado cualquier ,an a < decimos que la sucesión
an converge a a yescribimos
a an a
an n
o lim , que se lee límite cuando n tiende a infinito de
an es a.
DEFINICIÓN:
Una sucesión
an tiende a un número real a y escribimosa a n n
lim
si dado cualquier , existe un N N tal que para todo n > N, se verifica que an a
O sea:
a a N n N a a
n n >0 N n
lim
Geométricamente:
an
a + a a -
a a n n
lim
, si sólo si, fijada una banda de amplitud 2 simétrica con respecto a la recta
an = a, existe un número N en el eje on tal que, para todo n > N, los puntos (n, an) de la sucesión quedan contenidos en dicha banda (ver la figura anterior). Obsérvese que N
depende de .
EJERCICIOS
1. Probar que la sucesión
2 2
3 2
n n
converge a 2.
Solución
Dado cualquier tenemos que hallar un NN que nos garantice que para todo n >N, se verifique an 2
e n
n n
n n
n an
2 3 2 verifica se
3
3 entonces,
, 3 3 2
2 2 2
2
14.1.7 CONCEPTO DE LIMITE DE SUCESIONES DIVERGENTE
EJEMPLO: Sea la sucesión { 2n } = {2, 4, 8, 16, 32,...}an
32
16 8 M 4 2
0 1 2 3 4 5 n
Obsérvese que cuando n crece, an también crece. Si tomamos un intervalo de amplitud MR+ sobre el eje a
n a partir del origen (no importa cuán grande sea), entonces podemos encontrar un N N en el eje on tal que para todo n > N todos los puntos de
anDecimos, entonces que
an tiende a infinito y escribimos:
n
n 2
lim
DEFINICIÓN: Una sucesión
an tiende a + , o
an
n lim
, si dado cualquier
> 0, existe un NN tal que para todo n > N, se verifica que an >
DEFINICIÓN: Una sucesión
a
n tiende a - , o
an
n lim
, si dado cualquier
> 0, existe un NN tal que para todo n > N, se verifica que an < -
EJEMPLOS:
1
1 lim
b) 1
2 lim a)
2 2
n n n
n
n
14.1.8 TEOREMAS SOBRE LIMITES DE SUCESIONES
TEOREMA 1. Si an
n lim
existe, entonces es único.
Demostración:
Supongamos que
an a y
an b y demostraremos que a = b.Si
an a, dado > 0, existe un N1 N tal que para todo n > N1, se verifica que
a
an (1)
Si
an b, dado > 0, existe un N2 N tal que para todo n > N2, se verifica que
b
an (2)
b a b
a b a
N N N
n b
a
b a a a b a a a b
a n n n n
luego , 0
entonces
positiva, cantidad
cualquier que
menor y negativa no
cantidad Una
ser Al
y entre mayor
2
(3) y (2) (1), De
(3)
2 1
TEOREMA 2.
Si {an } y {bn} tienden a l y an cn bn entonces {cn }l DemostraciónSi {an }l, dado , existe un N1N tal que n > N1, se verifica que an l
Si {bn }l, dado , existe un N2N tal que n > N2, se verifica que bn l
O sea: l - < an < l + , n > N1 l - < bn < l + , n > N2 Por hipótesis tenemos que an cn bn
Entonces, l - < an cn bn < l + , n > N = mayor entre N1 y N2 Luego, l - < cn < l + , n > N
De lo anterior se deduce que: cn l , nN,entonces
an lTEOREMA 3.
Si {an } es no decreciente y acotada superiormente, entonces {an } converge y
nn a
a
n sup
lim
Si {an } es no creciente y acotada inferiormente, entonces {an } converge y
nn a
a
n inf
lim
TEOREMA 4. Si
an > 0, entonces, lim 1 0 n
n a
a
Ejemplo:
n n 0,yaque 1
TEOREMA 5.
1 si , 0
1 si , 1
1 si , lim
a a a a
n
TEOREMA 6.
Si a > 0, lim 1 n n
n
TEOREMA 7.
lim 1 0 si>0 n
n
TEOREMA 8.
e a Rn a n
a n
1
lim
TEOREMA 9.
n n
n n
a n
a n
a n
a
lim lim
b) 0 lim
a)
: entonces ,
0 Si
TEOREMA 10.
b B nn n
n n
n n
n n
A a
n
B B
A b a n
B A b a n
B A b a n
B b n A
a n
n
lim d)
0 con lim
c) lim b)
lim a)
: entonces ,
lim lim
Si
EJERCICIOS: 1. Calcular
3 2
5 3 lim
2 2
n
n n n
Obsérvese que el numerador y el denominador tienden a . Dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia n tenemos:
2 1 0 2
0 0 1 3 2
5 3 1 lim 3
2
5 3 lim
2 2 2
2
n n n n
n n n n
2. Calcular
n n
n 1
lim
Solución:
Multiplicando y dividiendo n1 n por su conjugada tenemos:
0 1
1 lim
=
1 1 1
lim 1
lim
n n
n
n n
n n
n n
n n n
n
3. En el siguiente ejercicio se calcula el límite tanto en la base como en el exponente.
2 1 2
2 lim
2 2 4 3 2
3 4 lim
que ya , 2 3
2 3 4
2 2 3
3
2 1 2
2
3
3 2
2
n n n
n n
n n
n n
n n
lin n
n
e n
n
e
n n
n
n n
n n n
e n
n n n
n n
n n
n
n
7
3 6 5
1 1
3 3 3
7 1 1 lim c)
5 3 1
1 5
3 1 lim
5 3 1 lim
5 2 lim
b)
3 1 1 lim 3
TALLER 1. SOBRE LIMITES DE SUCESIONES
1. Completar el siguiente cuadro{an} ACOTA CREC. DECR. SUP.{a
n} INF. {an} Máx Mín
2
1 n
nn
2 ) 1 ( 2
n
n) (
4 3 2
n
par n ; 1
impar n ; 1 1
n an
2. ¿Qué términos de la sucesión
10 1
n quedan dentro del entorno E10 - 10 (0)?.
3. ¿Qué términos de la sucesión
n n
2 1
quedan dentro del entorno E0,01 (1/2)?.
4. ¿Qué términos de la sucesión {2- n } quedan dentro del entorno E
Calcular los siguientes límites
1 n -1
) 1 ( n lim 8)
2 1 2 lim 7)
+ 1 lim 6)
4 ) 4 )( n -(3 lim 5)
4 3 lim ) 4 .
3 5 3 2
1 2 5
lim ) 3
... 1
lim 2)
2 lim ) 1
3 4 2
2
1 2 n
1 n n 1 5
n
4 4 2
2 ) 1 ( 16
1 8 1 4 1 2 1
3 3
n n 2
1 1
n n
n n
n n n
n n n
n n
n
n n
n n
n n
n n
n
15. LIMITE DE FUNCIONES
CONCEPTO DE LIMITE DE FUNCIONESf(x)
6
5
4 3 + 3 3 - 2
1
0 1 2 + 2 2 + 3 4 5 x
Sea f : R R definida por f(x) = x+ 1
Centremos nuestra atención en los valores de x en la cercanía de 2.
Cuando x se aproxima a 2 por el lado derecho e izquierdo, (denotado por x 2) observamos que f(x) se aproxima 3 (sin llegar a 3) Ver la figura anterior.
De otra forma: Si tomamos un entorno separado en el eje f(x), de centro 3 y de radio cualquier número (tan pequeño como se quiera), por ejemplo E*(3), encontramos siempre
un entorno separado E*
(2) en el eje x, garantizándonos que para todo x de dicho
entorno, f(x) estará en E*
(3).
En efecto, 0 f(x)3 x13 x2 , xE*(2)se verifica que:
f(x)E*
(3); de dónde . =
Decimos entonces que el límite cuando x tiende a 2 de f(x) es 3, y escribimos:
3 ) ( 2 lim
f x
15.1 IDEA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Decimos que el número L es el límite de F(x) cuando x tiende a a una vez que el número F(x) pueda acercarse a L cuando nos plazca, simplemente escogiendo una x los suficientemente cerca, aunque no sea igual al número a.
ANÁLISIS DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Decimos que el número L es el límite de F(x) cuando x tiende a a, dado un número cualquiera > 0, existe un número >0 tal que
L
x F( )
Para toda x tal que
x a
0
Análisis de la definición de límite:
y F(x) = y
y = L+
L
y =L -
x = a - a x = a +
La figura anterior es la interpretación geométrica del significado de la definición de límite de una
función. Los puntos de la gráfica de F(x) = y que satisfacen la desigualdad F(x)L
son los que yacen entre las dos rectas (horizontales) y = L - y y = L+. Los puntos de esta
gráfica que satisfacen la desigualdad 0 xa son los que se encuentran entre las dos rectas
(verticales) x = a - y x = a + . En consecuencia, la definición implica que
a x
L x F
) ( lim
Si
y sólo si lo que sigue es verdad. Supóngase que las dos rectas horizontales y = L - y y = L+ (siendo > 0) se dan por anticipado. Entonces, es posible escoger dos rectas verticales x = a - y
x = a + . (Siendo >0) con la siguiente propiedad: Todo punto de la gráfica de y = F(x) (siendo x
15.2 DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN:
Si f(x) está definida en algún entorno separado de a (0 xa ) entonces
l x f a
x ( )
lim
, si dado cualquier > 0, existe un > 0 tal que para todo x en el entorno separado de centro a (0 xa ) se verifica que f(x)l
EJEMPLO: Utilizar la definición de límite para demostrar que:
10 4 2 3 lim
x
x
Demostraremos que: si dado cualquier > 0, existe un > 0 tal que para todo x en el entorno separado de centro 3 (0 x3 ) se verifica que f(x)10
(1) 2 3 entonces
3 0
3 2 6 2 10 4 2 10 ) 4 2 ( entonces
3 0
Si
x x
x x
x x
x
El enunciado (1) o anterior, nos indica que
2 1
es una satisfactoria. Con esta elección de tenemos el siguiente argumento:
) 2 que (ya 10
) 4 2 (
2 10 ) 4 2 (
2 6 2
2 3 2
3 0
x x x x x
Así hemos establecido que si =
2 1
, la definición de límite se cumple. Esto demuestra
que 2 4 10
3 lim
x
EJEMPLO: Utilice la definición de límite de funciones para demostrar que:
5 1 6
2 3 2 lim
2 2
x x
x x x
Demostraremos que: si dado cualquier > 0, existe un > 0 tal que para todo x en el entorno separado de centro 2 (0 x2 ) se verifica que
5 1 ) (x f
3 2 5 4 2 3 5
16 16 4
5 1 6
2 3 entonces
2 0
Si
2 2
2
x x x
x x x
x x
x x x
Observemos que además del factor 2 5 4
x tenemos el factor
3 1
x . Esto implica que
debemos imponer una restricción sobre que producirá una desigualdad que incluya a
3 1
x . Dicha restricción consiste en elegir un intervalo abierto requerido para que éste sea
el intervalo (1, 3), y esto implica que 1. Entonces:
4 1 3 1
6 1 3 1 4 1
6 3 4
5 + 1 < 5 + 2 -< 5 + 1
1 < 2 -< 1
1 2
1 y 2
0
x x x
x x x
Ahora bien:
4 1 3 + 1 y 2
0
x
x
5 4 5 4 3 2 5
4
x x
Recordemos que nuestro objetivo es hacer que
3 2 5 4
x x
. El enunciado
5 4 5 4 3 2 5
4
x x
, indica que debe requerirse que
5 , es decir. 5 . Esto significa
que se han impuesto dos restricciones sobre : 1 y 5. Así que ambas restricciones se cumplen, y se toma a como el menor de dos números, 1 y 5, con símbolo escribimos esto como = min (1, 5 ). Utilizando esta se tiene el siguiente razonamiento:
3 1 5 4 5 1 6
2 3
3 1 5 4
6 5
16 16 4
3 1 5 4 2 3
2 2
5 4
2 0
2 2
2 2
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x x
Sin embargo, como se mostró que:
4 1 3 1
x se tiene que:
5 1 6
2 3
5 5 5 5 1 6
2 3
: que tiene se , 5 como y 5
1 < 4 1 5 4 3 1 5 4 5 1 6
2 3
2 2
2 2 2 2
x x
x x
x x
x x
x x
Se ha demostrado que: para cualquier > 0, se elige un = min (1, 5 ) > 0 y el siguiente enunciado es verdadero, si (0 x2 ) se verifica que
5 1 ) (x f
Esto demuestra que:
5 1 6
2 3 2 lim
2 2
x x
x x x
15.3 LIMITES LATERALES
EJEMPLOS:1. Sea la función f : R R definida por
0 si
0 si 1 )
(
2
x x
x x
x f
f(x)
1
Izquierda Derecha x 0
Obsérvese que cuando x tiende a cero (0) por la derecha, denotado por x 0 + f(x) se acerca a 1 (sin llegar a 1) (ver el gráfico anterior), Lo anterior se puede escribir como:
1 1 0
lim )
( 0
lim 2
x
x x f x
Obsérvese que cuando x tiende a cero (0) por la izquierda, denotado por x 0 - f(x) se
acerca a 0 (sin llegar a 0) (ver el gráfico anterior), Lo anterior se puede escribir como:
0 0 lim )
( 0 lim
x
x x f x
Luego el ( )
0 lim )
( 0 lim porque existe
no ) ( 0 lim
x f x
x f x
x f
existe no ) ( 0 lim
1 ) ( 0 lim
1 ) ( 0 lim
0 si, 1
-0 si, 1 )
( por definido
R 0 -R : Sea 2)
-x f x
x f x
x f x
x x
x
x x
x
x x x f f
existe no ) ( 2 lim
existe no 2 2 lim )
( 2 lim
0 2
2 lim )
( 2 lim
2 ) ( por definido
2] , ( : Sea ) 3
x f x x
x x f x
x x
x f x
x x
f R
R f
15.4 TEOREMAS SOBRE LIMITE DE FUNCIONES
TEOREMA 1. Sea f : AR, AR, Si lim f(x) a
x existe, entonces es único.
f x
l n Z a x R K K K a x R K l K x f a x K x f K a x l l l x g a x x f a x x g x f a x l l x g a x x f a x x g x f a x l l x g a x x f a x x g x f a x l x g a x l x f a x nn
) ( lim f) lim e) ) ( lim ) ( lim d) 0 ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim c) ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim b) ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim a) : Entonces ) ( lim y ) ( lim Si 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 TEOREMA 3. ) ( lim ) ( lim b) 0 ) ( lim a) entonces, 0 ) (
Si f x
a x x f a x x f a x x f TEOREMA 4. ) ( lim ) ( lim y ) ( lim y ) ( ) ( ) (
Si h x l
a x l x g a x l x f a x x g x h x f
EJEMPLOS:
Hallar el valor de los siguientes límites:
6TALLER 2. DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
I. En los siguientes problemas use las leyes de los límites para valorar los límites que existan:
1 1 1 lim 22. 9 4 27 8 3 1 lim 21. 2 8 2 lim 20. 7 49 7 lim 18. 3 1 8 1 lim 17. 1 5 5 4 3 lim 16. 3 8 4 1 4 2 1 lim 15. + 1 0 lim 14. 1 1 0 lim 13. 2 16 4 lim 12. -9 -3 9 lim 11. 2 4 4 lim 10. 2 4 0 lim 9. 25 8 4 -lim 8. 3 9 3 lim 7. 2 5 2 2 lim 6. 2 1 1 lim 5. 2 1 1 lim . 4 5 2 1 3 lim 3. ) 5 4 ( 2 lim 2. ) 12 7 3 ( 2 lim 1. 2 3 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4 7 2 2 x x x t t t s s s x x x r r r x x x x x x x h h x x x x x x x x x x x x x x x x t t t t t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x hII. Si
x x x
h( ) 93, demuestre que
6 1 ) ( 0 lim
h x
x pero que h(0) no está definida.
) 3 ( ) ( 3 -lim que demuestre y ), ( 3 lim : que Encuentre y ) ( de fica a gr la Trace a) 3 si 4 3 si 9 ) ( 2 f x f x x f x x f x x x x f
III. A continuación, trace la gráfica y determine el límite indicado si existe; si no existe de la razón: x x x x x x g x x x x x x f x x x x x h x x x x x f 1 si 1 1 si 0 1 si 1 ) ( 4. 2 si 4 2 si 4 2 si 4 ) ( 3. 2 si 2 8 2 si ) ( 2. 4 si 4 4 si 4 ) ( 1. 2 2 2
IV. Determine el valor de k, tal que,
4 lim
x f(x) exista:
4 si 5 4 si 2 3 ) ( x k x x x x f
V. Si g(x) 2x3 4 Hallar:
) ( 2 3 lim c) ) ( 2 3 lim b) ) ( 2 3 lim
a) g x
x x g x x g
x
15.6 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
TEOREMA 1. 1 0 lim x x sen x EJEMPLOS:
2
1 0 0
3 1 1 31
3 3 0 lim 3
1 0 lim
3 3 3
1 0 lim
3 3 3 0 lim 3
0 lim . 7
1 1 1
0 lim
1 0 lim 1
0 lim 0
lim 0
lim . 6
x x sen x
x
x x sen x
x x xsen
x x
x sen
x x
x senx x
x
x senx x
x xsenx
x x
15.7 CONTINUIDAD PUNTUAL
DEFINICIÓN:La función f es continua en el punto x= a si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
i. f(a) existe.
ii. lim f(x) a
x existe.
iii. lim f(x) a
x = f(a)
EJEMPLOS:
0 si 1
-0 si 0
0 si 1 )
( por definida
:
Sea 1)
x x x x
x f R
R f
f(x)
1
Izquierda Derecha x 0
0 en a discontinu es
) ( ,
) 0 ( ) ( 0 lim .
existe no ) ( 0 lim
1 1 0 lim )
( 0 lim
1 1 0
lim )
( 0 lim
) ( 0 lim .
0 ) 0 ( .
: que tenemos d
continuida
de s condicione las
aplicar al
anterior, fico
a gr el ver , 0 en d continuida la
Analicemos
x x
f Luego
f x f x
iii
x f x
x x f x
x x
x f x
x f x
ii f i
x
R a c
x f Luego
c a f x f a x iii
c x f a x ii
c a f i
R a a x c x f cte c c
x f
en continua es
) (
) ( ) ( lim .
) ( lim .
)
( .
: que tiene se , ,
en ) ( a d continuida de
s condicione las
aplicar Al
: SOLUCION
.
R, en continua es
)
R a c
x f Luego
b ma a f x f a x iii
b ma x f a x ii
b ma a f i
R a a x b mx x f b
mx x f
en continua es
) (
) ( ) ( lim .
) ( lim .
)
( .
: que tiene se , ,
en )
( a d continuida de
s condicione las
aplicar Al
: SOLUCION
. R en continua es
)
( si Verificar
3)
EJEMPLO 4: Analizar si la función escontinuaen 4 4
2 )
(
x x x f
Aplicando las tres condiciones anteriores se tiene que:
) 4 ( 4
2 4
lim .
4 1
2 1 4 lim
2 4
4 4
lim
2 4
2 2
4 lim
4 2 4
lim .
existe No 0 0 0
2 2 4 4
2 4 ) 4 ( .
f x
x x
iii
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
ii f i
TALLER 4. SOBRE CONTINUIDAD
I. Demuestre que la función es discontinua en el número a, si es posible, defina f(a) para que la continuidad desaparezca:
2 , 2 2 si 4 ) ( 5. 3 , 3 si 2 3 si 3 ) ( 4. 2 , 2 si 2 3 2 si 9 ) ( 3. 0 , 9 3 ) ( 2. 3 2 , 2 3 4 9 ) ( 1. 2 2 2 a t t t t t f a x x x x f a t t t t t f a x x x f a x x x f
II. En los siguientes ejercicios determinar los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y demuéstrelo por las condiciones de continuidad.
