T8 SERIES TEMPORALES

Tema 8: SERIES TEMPORALES

1. Concepto y componentes de una serie temporal.

Definiremos una serie temporal como cualquier conjunto de N observaciones cuanti-tativas realizadas sobre una misma variable unidimensional y ordenadas en el tiempo. Habitualmente está ordenación en el tiempo se establecerá por medio de intervalos de igual amplitud. Por tanto, nos referiremos siempre a series temporales de tipo discreto y univariantes y se representarán por el símbolo de la variable observada con el subíndice “t” que indicará el periodo del tiempo en el que se realiza la observación, o con el sub-índice “ij” señalando “i” el año y “j” el periodo dentro del año correspondiente.

Yt para t = 1, 2, ... , N (periodos)

Yij para i = 1, 2, ... , n (años) j = 1, 2, ... , k si k = 4 (trimestres), si k = 12 (meses)

De cara al estudio que vamos a exponer, es de destacar que la ordenación en el tiem-po, antes mencionada, es lo que caracteriza a una serie temporal y la distingue de una muestra cualquiera de tamaño N. Los elementos consecutivos de una serie temporal se caracterizarán por una fuerte dependencia o autocorrelación, que nos impedirá conside-rarla como una muestra aleatoria simple. Los métodos estadísticos de análisis de series temporales intentarán captar las características dinámicas de los fenómenos que las ge-neran, necesitando desarrollar instrumentos apropiados para esto, distintos de los utili-zados por la inferencia estadística a partir de muestras aleatorias simples.

El primer paso a dar en el estudio de una serie temporal concreta es su representación gráfica, que nos puede revelar determinadas propiedades que posea la serie y guiarnos en la elección de los métodos más adecuados para su análisis posterior. Como ejemplo proponemos el de la serie mensual de vehículos matriculados1 entre enero de 1964 y septiembre de 1994, cuya gráfica aparece en el siguiente cuadro:

serie mensual de nº de vehículos matriculados

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000

1964.01 1965.07 1967.01 1968.07 1970.01 1971.07 1973.01 1974.07 1976.01 _meses1977.07 1979.01 1980.07 1982.01 1983.07 1985.01 1986.07 1988.01 1989.07 1991.01 1992.07 1994.01

nº matriculados

1 _{Esta serie es la que con el nombre de MTURISMO aparece en el archivo SERMEN de la base de datos}

A la vista de esta representación gráfica podemos exponer las principales caracterís-ticas de una serie temporal.

Componentes de una serie temporal

Tradicionalmente se ha supuesto que en la formación y determinación de los sucesi-vos valores observados de una serie ha podido influir cuatro clases de movimientos o variaciones que reciben el nombre de “componentes no observadas” de la serie, y son:

- Tendencia: Movimiento a largo plazo que señala la evolución general del conjunto

de datos que forman la serie temporal. En la gráfica que nos sirve de ejemplo se pue-de observar una tenpue-dencia creciente pue-del número pue-de automóviles matriculados, pue- debi-do, principalmente, al crecimiento general de la economía. La representaremos por Tt

ó Tij.

- Ciclo o variación cíclica: Es la componente que capta, si existen, ciertas

oscilacio-nes periódicas, normalmente a medio plazo, sobre la tendencia. A veces, debido a la amplitud del ciclo o a la poca duración de la serie, es difícil distinguirlo de la tenden-cia. En la series económicas se supone que recoge las variaciones provocadas por las sucesivas situaciones de prosperidad o de crisis. En el ejemplo de la serie de matricu-laciones se puede observar un primer ciclo, más amplio, desde el inicio en 1964 hasta 1986 con un máximo en 1978, y otro ciclo, más corto, desde 1986 hasta 1993 con un máximo en 1989. Se representará por Ct ó por Cij .

- Componente estacional o variación estacional: En ella se recogen las variaciones a

corto plazo que, habitualmente, con periodo anual se producen en una serie temporal, detectándose un comportamiento casi homogéneo de los datos dentro de cada año o periodo que se considere. En las series económicas las causas de estas variaciones pueden ser: cambios climáticos, vacaciones, otras costumbres sociales, etc... . En el ejemplo se puede observar que, en cada año, se inicia con el menor valor, adquirien-do las cifras más altas, relativamente, en los meses de julio y diciembre. La represen-taremos por St ó por Sij .

- Componente errática o término de error: Recoge todo aquello no explicado por

las anteriores componentes sistemáticas. Se puede representar por una variable alea-toria con media nula, varianza constante y sin autocorrelación. Su símbolo será rt ó rij

.

Las tres primeras componentes tratan de captar movimientos regulares y sistemáticos que se producen en la evolución de la serie temporal, así que el objeto de su estudio será la búsqueda de determinadas funciones analíticas, índices u otras formas definidas que puedan representar a cada componente. Mientras que sobre el término de error se harán diversas hipótesis acerca de su comportamiento aleatorio.

Los métodos de análisis de series temporales a través de sus componentes se empe-zaron a desarrollar a partir de 1920 y consideran que los valores observados de la varia-ble se forman por la intervención de los cuatro componentes. Es decir

Estas componentes podrán intervenir bajo uno de los siguientes esquemas, general-mente aceptados:

- Esquema aditivo: Yt = Tt + Ct + St + rt

- Esquema multiplicativo: Yt = Tt · Ct · St · rt

- Esquema mixto: Yt = Tt · Ct · St + rt

Cualquier método de descomposición de una serie temporal tratará de aislar e identi-ficar a sus componentes y deberá advertir previamente bajo que supuesto de esquema de intervención trabaja. En un esquema multiplicativo o mixto las componentes sistemáti-cas actúan como factores influyendo el nivel alcanzado por una sobre el alcance de las otras, de tal forma que bajo este esquema las correcciones de los efectos de las compo-nentes se deberán hacer por cociente. Mientras que bajo un esquema aditivo, en el que no se producen esas interacciones, la serie temporal se ajustará, en sus componentes, por diferencias. Nótese que de un esquema multiplicativo se podrá pasar a un esquema aditivo por medio de una transformación logarítmica de la siguiente forma:

Yt = Tt · Ct · St · rt⇒ LogYt = LogTt + LogCt + LogSt + Logrt

Con el objeto de mejorar nuestro conocimiento sobre las características de una serie temporal, o con ciertos fines específicos, se suelen aplicar sobre los valores originales de la serie ciertas transformaciones matemáticas. Las más importantes son:

- transformación diferencia: ΔYt = Yt - Yt-1 . La serie resultante representará a las

va-riaciones periódicas experimentadas por la variable. Se suele aplicar para eliminar efectos de una fuerte tendencia. Si los valores que entran en la diferencia no son con-secutivos, tendremos: ΔhYt = Yt - Yt-h .

- transformación logarítmica: LogYt . Se aplican logaritmos neperianos a los datos

originales. Se suele utilizar para reducir una creciente variabilidad de los valores res-pecto a su nivel medio (heterocedasticidad).

- transformación conjunta: ΔLogYt = LogYt - LogYt-1 . Acumula los dos efectos

ante-riores y su resultado tiene la virtud de ser la aproximación lineal de la tasa de varia-ción:

1 -t

1 -t t

1 -t

t

1 -t

t 1

-t t

t

Y Y - Y = 1 -Y

Y Y

Y Log = LogY - LogY =

LogY ≅

Δ

En muchos casos se utiliza esta transformación para obtener una serie de característi-cas estacionarias, sin tendencia creciente o decreciente y sin alteraciones en la disper-sión de los valores respecto a su nivel medio (homocedasticidad).

2. Estudio de la tendencia.

Supondremos que no existe estacionalidad (por ejemplo, una serie anual) o que ha sido eliminada y, por tanto, la serie con la que trabajamos está desestacionalizada. Los dos esquemas posibles son:

- Esquema aditivo o mixto: Yt = Tt + rt - Esquema multiplicativo: Yt = Tt · rt

Expondremos dos métodos, el de ajuste de una función del tiempo y el que utiliza las denominadas medias móviles.

Ajuste de una función del tiempo

En este método se identifica la tendencia con una función del tiempo determinada en la forma pero con parámetros desconocidos que hay que estimar, siendo el procedimien-to de los mínimos cuadrados el más utilizado.

La elección de la forma se hará a partir de la gráfica de la serie, estudiando que tipo de función se ajusta mejor al desarrollo descrito en ella, o a partir de la verificación de determinados supuestos de crecimiento y evolución de los datos. Únicamente estudia-remos los dos casos más simples, el de tendencia lineal y el de tendencia exponencial.

Tendencia lineal: Tt = β1 + β2·t

En este caso se supone que el crecimiento o decrecimiento de los datos de la serie se produce con una variación constante. Esto se puede comprobar obteniendo la serie transformada ΔYt = Yt - Yt-1 , de primeras diferencias, y verificar que el resultado es una

serie estacionaria con valores muy parecidos unos a otros. Si es así, el esquema adecua-do sería el aditivo, quedanadecua-do:

Yt = β1 + β2·t + rt , con t = 1, 2, ... , N

Que supone un modelo de regresión lineal simple donde la variable exógena es el tiempo y los parámetros se estimarán por M.C.O. resultando:

⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫

= =

= ⋅ − =

∗ ∗

2 2 t ty 2

1 2

t ty 1

b S S

b t S S Y

β β

⇒ Tt* = b1 + b2·t

El coeficiente de determinación, R2_{, nos servirá como medida de la bondad de ajuste}

de la tendencia estimada a la evolución temporal de los datos de la serie. En este caso se podrá calcular de la siguiente forma:

2 Y 2 t

2 tY 2

S S

S = R

Tendencia exponencial:

T

=

e

El supuesto, en este caso, es que los datos evolucionan a una tasa de variación cons-tante. Esto se podrá confirmar obteniendo la serie transformada ΔLogYt , que como ya

vimos supone una aproximación lineal de la tasa de variación, y verificar, como en el caso anterior, que el resultado es una serie estacionaria con valores casi constantes. Si comprobamos esto, el esquema más apropiado sería el multiplicativo, quedando:

t 2 1+ t u

t

=

e

e

Y

⋅

Tomando logaritmos neperianos se obtiene el correspondiente modelo de regresión lineal simple que se podrá estimar por M.C.O.:

LogYt = β1 + β2·t + ut , con t = 1, 2, ... , N

Resultando: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ = = = ⋅ − = ∗ ∗ 2 2 t t LY 2 1 2 t t LY 1 b S S b t S S Y L β β

con ₂

LY 2 t 2 t LY 2 S S S = R

⋅ y

t b + b *

t

=

e

T

Medias Móviles

El objetivo de la utilización de medias móviles es el alisado o suavizado de la serie. La obtención de las medias móviles supone el cálculo de medias aritméticas consecuti-vas, utilizando los datos sucesivos de la serie temporal, todas con el mismo número de datos pero retirando el primero de la media anterior e incorporando el dato siguiente. El número de datos que entran en el cálculo de cada media se denomina longitud o tamaño de las medias móviles y para su elaboración distinguiremos medias móviles de longitud impar de las de longitud par.

Cuando la longitud de las medias móviles es impar (l = 2h+1) su valor se asigna al momento de tiempo central “t”, siendo el primer dato el situado en “t-h” y el último el que corresponde al instante “t+h”, y se dice que la serie de medias móviles está centra-da. Veamos, como ejemplo, las fórmulas de cálculo de las tres primeras medias móviles de longitud 3 (2h+1=3 ⇒ h=1) de una serie cualquiera:

t Yt medias móviles

1 Y1 (se pierde)

2 Y2 3

Y + Y + Y = (3)

Y2 1 2 3

3 Y3 3

Y + Y + Y = (3)

Y3 2 3 4

4 Y4 3

Y + Y + Y = (3)

Y4 3 4 5

Se observa que la serie de medias móviles no se inicia en el primer periodo sino que se pierde un periodo al principio y se perderá otro al final, pero sus valores resultan di-rectamente situados en los periodos centrales de cálculo (2, 3, 4, ... ). Una expresión ge-neral de una media móvil de longitud impar sería la siguiente:

1 + 2h Y + ... + Y + Y + ... + Y + Y = 1) + (2h

Y_t t-h t-h+1 t t+1 t+h

para t = h+1, h+2, ... , N-h

Donde se observa que no se obtienen datos para los “h” primeros periodos y para los “h” últimos, perdiéndose en total 2h datos. El resultado será una nueva serie de “N-2h” valores más suave que la original y, por tanto, más representativa de la tendencia gene-ral de los datos al haberse suprimido las alteraciones y variaciones más importantes.

Si la longitud fuese par (l = 2h) los valores de las medias móviles no quedan direc-tamente centrados, dado que no existe periodo central, sino que quedarán situados entre dos periodos. Para centrar la serie de medias móviles se deberá proceder a un nuevo cál-culo de medias móviles de longitud “2” y estos nuevos valores si que resultarían centra-dos en los periocentra-dos de observación de la serie. Lo vemos primero con un ejemplo que utiliza las primeras observaciones de una serie temporal cualquiera para el cálculo de medias móviles de longitud 4.

t Yt medias móviles simples medias móviles centradas

1 Y1 (se pierde)

2 Y2 (se pierde)

(2,5) 4 Y + Y + Y + Y = (4)

Y2,5 1 2 3 4

3 Y3

4 Y 2 1 + Y + Y + Y + Y 2 1 = (4x2) Y 5 4 3 2 1 3 ⋅ ⋅ (3,5) 4 Y + Y + Y + Y = (4)

Y3,5 2 3 4 5

4 Y4 y así sucesivamente ...

5 Y5

A la expresión utilizada de la media móvil centrada se llega de la siguiente forma:

= 2 4 Y + Y + Y + Y + 4 Y + Y + Y + Y = 2 (4) Y + (4) Y = (4x2) Y 5 4 3 2 4 3 2 1 3,5 2,5 3 4 Y 2 1 + Y + Y + Y + Y 2 1 = 8 Y + 2Y + 2Y + 2Y + Y = 5 4 3 2 1 5 4 3 2

Siendo, por tanto, la expresión general de una media móvil centrada de longitud par, igual a 2h, la siguiente:

2h

Y 2 1 + ... + Y + Y + ... + Y

+ Y 2 1

= (2hx2) Y

h + t 1

+ t t 1

+ h -t h -t

t

⋅ ⋅

para t = h+1, h+2, ... , N-h

Como en el caso anterior se observa que se han perdido “2h” periodos (los “h” pri-meros y los “h” últimos) y que el resultado es un conjunto de “N-2h” valores que cons-tituye una serie más alisada que la original y susceptible de representar a la tendencia de la misma.

La longitud ( l = 2h+1 ó l = 2h) de las medias móviles se deberá corresponder con el número de periodos que forme el intervalo de tiempo que incluye al conjunto de oscila-ciones y variaoscila-ciones que reiteradamente se repite a lo largo de la serie.

En el siguiente gráfico aparece, junto a la serie original de datos mensuales corres-pondiente al ejemplo propuesto de vehículos matriculados entre 1964 y 1994, una línea en tono más claro que representa a la serie de medias móviles centradas de longitud igual a 12 meses. Obsérvese como esta última línea atenúa bastante las irregularidades que se perciben en la serie original, pudiéndose tomar sus valores como estimaciones de la tendencia.

serie mensual y m. moviles(12x2)

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000

1964.01 1965.05 1966.09 1968.01 1969.05 1970.09 1972.01 1973.05 1974.09 1976.01 1977.05 1978.09 1980.01 1981.05 1982.09 1984.01 1985.05 1986.09 1988.01 1989.05 1990.09 1992.01 1993.05 1994.09 meses

nº autos

3. Estudio de la estacionalidad. Método de desestacionalización.

En este epígrafe nos vamos a limitar a desarrollar un método de desestacionalización para el caso de existencia de estacionalidad bajo el esquema mixto y sin posibilidad de distinguir el ciclo de la tendencia. Utilizando la notación con doble subíndice, “i” para indicar el año y “j” para el periodo o fracción dentro del año, supondremos, por tanto, que cada observación de la serie temporal se ha formado de la siguiente forma:

Yij = Tij · Sij + rij

con i = 1, ... , n (años) y j = 1, ... , k (fracciones dentro del año)

El método de la razón a la media móvil consiste en determinar para cada periodo o

fracción dentro del año un índice de variación estacional, que represente la variación

media, sobre el valor de tendencia de la serie, debida a ese periodo. La serie se podrá desestacionalizar dividiendo los datos correspondientes a cada periodo por su índice. El supuesto que necesitamos, aparte del esquema mixto y la no distinción del componente cíclico, es que las variaciones estacionales para cada periodo se mantengan estables a lo largo de los años en que se haya observado la serie.

Los pasos para aplicar este método son los siguientes:

1) Se obtienen las medias móviles centradas de longitud igual a “k”, número de perio-dos dentro del año (si son meses: k = 12, si son bimestres: k = 6, si son trimestres: k = 4, si son cuatrimestres: k = 3 y si son semestres: k = 2), perdiéndose un número igual de observaciones al principio y al final de la serie ( k/2 si k es par o (k-1)/2 si k es impar). Suponiendo que k es par, se calcularían las siguientes medias móviles:

ij

ij(2k 2)= MM

Y × para (i,j) = (1,k/2+1), ... , (n,k/2)

Es decir, de tener “n” datos de cada periodo o fracción dentro del año y en total, por tanto, n×k datos, pasamos, al obtener las medias móviles, a tener “n-1” datos pa-ra cada periodo y en total (n-1)×k datos.

Las medias móviles calculadas se pueden considerar como estimaciones de los va-lores de la tendencia: MMij∼ Tij .

2) Se calculan los índices brutos de variación estacional dividiendo las cifras originales de la serie entre los valores obtenidos de las medias móviles centradas.

ij ij ij ij ij

ij _MM

r + S = MM

Y =

IBVE para (i,j) = (1,k/2+1), ... , (n,k/2)

3) Para cada periodo “j” se promedian los “n-1” índices brutos calculados, obteniéndose “k” índices de variación estacional no normalizados que representamos por S_j .

∑

∑

∑

∑

⋅ n-1

1 = i ij ij 1 -n 1 = i ij 1 -n 1 = i ij ij 1 -n 1 = i ij j MM r 1 -n 1 + S 1 -n 1 = MM Y 1 -n 1 = 1 -n IBVE = S

El segundo sumando puede considerarse prácticamente nulo, al ser el promedio de los términos de error de cada periodo, expresados en porcentaje de la media móvil MMij , a lo largo de los n-1 años, quedándonos los “k” índices no normalizados.

S 1 -n 1 = 1 -n IBVE = S 1 -n 1 = i ij 1 -n 1 = i ij j

∑

∑

⋅ para j = 1, ... ,k

4) Se normalizan los “k” índices obtenidos con el objetivo de que su media sea igual a 1 ó, lo que es lo mismo, su suma sea igual a k. De forma que las variaciones al alza se compensen con las variaciones a la baja, respecto a la tendencia de la serie. Para la normalización se calcula primero la media de los “k” índices.

k S = S k 1 = j j

∑

Obteniendo los índices de variación estacional al dividir cada S_j entre su media S :

S S =

IVE j

j para j = 1, ... ,k

5) Para finalizar el proceso se desestacionaliza la serie original dividiendo cada dato por su correspondiente índice de variación estacional, es decir, cada Yi1 entre IVE1 ,

ca-da Yi2 entre IVE2 , y así hasta cada Yik que se dividirían entre su índice IVEk. Los

valores desestacionalizados serían:

j ij D ij IVE Y =

Y para i = 1, ... , n y j = 1, ... , k

Una serie temporal desestacionalizada representa la evolución que hubieran tenido los datos de la variable si no existieran los factores que influyen en la estacionalidad, es decir, si en cada periodo del año no se diera ninguna característica que lo diferenciara de los demás. Supone, por tanto, un instrumento muy valioso para el conocimiento del comportamiento a medio plazo de los fenómenos económicos que se desarrollan en el tiempo, al retirar la influencia de los factores estacionales que la modifican a corto pla-zo.

4. Tasas de variación en datos temporales.

Dada una magnitud Y que se observa en el tiempo dando lugar a la serie temporal representada por los valores Yt, para t = 1, 2, ..., N, se denomina tasa de variación a la

medida de la variación relativa experimentada por dicha magnitud desde el periodo “t-h” hasta el periodo “t”, siendo ““t-h” la amplitud del intervalo de tiempo en que se mide la variación. Si para su cálculo se emplease un único valor para cada periodo la fórmula para su obtención sería:

1 -Y Y = Y Y - Y = Y Y = T h -t t h -t h -t t h -t t h 1 h Δ

Esta expresión tiene su aproximación lineal por medio de una transformación loga-rítmica, como ya vimos en el primer epígrafe de este tema. La aproximación será tanto mejor cuanto menores sean las cifras de las tasas.

h -t t t h h -t h -t t 1

h LogY = LogY - LogY

Y Y - Y =

T ≅Δ

Las tasas de variación constituyen un instrumento fundamental para el estudio y es-timación del crecimiento de las magnitudes económicas. Nosotros aquí vamos a expo-ner las características más elementales de los tipos de tasas que más se utilizan en los análisis de coyuntura, suponiendo una magnitud económica observada mensualmente. Como ejemplo vamos a utilizar la serie ficticia de ventas mensuales de la empresa B del ejercicio nº 3, cuya gráfica es:

ventas mensuales 0 50 100 150 200 1 6

11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 m eses

ventas

Tasa de variación intermensual: T₁1

Es la que nos muestra el crecimiento básico de la serie. Su expresión de cálculo es:

- Sus valores son muy volátiles al reflejar las variaciones a corto plazo en las que influ-yen diversos factores que a medio y largo plazo desaparecen o disminuinflu-yen sus efec-tos.

- Amplia las fluctuaciones que se producen a corto plazo, es decir las más erráticas. - Se suele asignar al mes “t” el valor de la tasa intermensual.

En la siguiente gráfica aparecen las tasas intermensuales correspondientes a la serie de las cifras de ventas del ejemplo del ejercicio nº 3.

tasas intermensuales

-0,4 -0,2 0 0,2 0,4

m eses

tasas T1,

1

Aunque representan el crecimiento original de la serie, su excesiva variabilidad hace que se busquen otras tasas de variación con amplitud mayor. En el caso de series men-suales serán tasas anuales las que se consideren más apropiadas para representar la evo-lución del crecimiento de las magnitudes que representan.

Tasa de variación interanual: T ₁₂1

Representa la variación relativa experimentada por la variable entre dos meses que distan entre sí un año. Su expresión será:

1 -Y

Y = Y

Y - Y = T

12 -t

t

12 -t

12 -t t 1 12

- Suaviza las variaciones estacionales al comparar, siempre, meses con las mismas ca-racterísticas.

- Se puede comprobar que amplia las fluctuaciones a medio plazo (de periodo entre 14 y 72 meses), mientras que suaviza las oscilaciones con periodo superior 72 meses.

- La serie de tasas , asignada al último mes “t”, resulta desfasada o retrasada, en sus oscilaciones, respecto a la serie de crecimientos básicos, por lo que se puede pasar a “centrarla” asignándola al mes “t-6”.

1 12

T

Los valores de estas tasas interanuales calculados con los datos del ejemplo se pue-den ver en el siguiente gráfico.

Tasas interanuales

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

1 5 9 _{13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57}

m eses

tasas T1,

1

2

Tasa de variación interanual de medias móviles: T₁₂12

Representa la tasa de variación de la media de doce meses respecto a la media de los doce meses anteriores. Su expresión es:

1 -Y ... Y Y

Y ... Y Y T

23 -t 13

-t 12 -t

11 -t 1

-t t 12

12 _{+ + +}

+ + + =

- Esta tasa amplia, también, las fluctuaciones a medio plazo (de periodo entre 20,4 y 68 meses), mientras que atenúa las oscilaciones con periodo superior 68 meses y las de menos de 20,4 meses, incluidas las estacionales, como se puede ver en el ejemplo.

- La serie de tasas , asignada al último mes “t”, resulta desfasada o retrasada, en sus oscilaciones, respecto a la serie de crecimientos básicos, por lo que se puede pasar a “centrarla” asignándola al mes “t-11”.

12 12

T

Las tasas 12 del ejemplo aparecen en el siguiente gráfico.

12

T

Tasas interanuales T12,12

0 0,05 0,1 0,15 0,2

1 5 9

13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 m eses

Tasas interanuales centradas

Las tasas interanuales definidas se centran con las siguientes expresiones que, siendo las mismas que las expuestas anteriormente, corrigen la posición del periodo “t” al que se asigna el valor de la tasa.

Y Y - Y = (centrada) T

6 -t

6 -t 6 t 1

12

+ _{y -1}

Y ... Y Y

Y ... Y Y (centrada) T

12 -t 2

-t 1 -t

11 t 1

t t 12

12 _{+ + +}

+ + +

= + +

Las gráficas correspondientes a las tasas interanuales centradas del ejemplo son las que aparecen a continuación.

tasas interanuales centradas

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

1 5 9 _{13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57}

m eses

tasas

Tasas T12,12 centradas

0 0,05 0,1 0,15 0,2

1 5 9 _{13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57}

m eses

EJERCICIOS DE SERIES TEMPORALES

1. Dada la siguiente serie anual del PIB español, en billones de pesetas const. de 1986:

año: 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 PIB(bill.

Pts. 86) 31,32 32,32 34,15 35,91 37,61 39,02 39,9 40,18 39,70 40,54 41,66 42,57 1º: Dibuje la gráfica de la serie temporal.

2º: Obtenga las medias móviles centradas 1º) de longitud 3 y 2º) de longitud 4. 3º: Estime la Tendencia lineal que se ajusta a la serie dada.

4º: Añada a la primera gráfica los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

2. La empresa A ha obtenido las siguientes cifras de beneficios anuales, en millones de

pesetas, durante el periodo 1988-97:

año: 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Bº : 12 15 18 22 26 32 40 49 60 74

1º: Dibuje la gráfica de la serie temporal.

2º: Deduzca, razonadamente, el modelo más adecuado de Tendencia. 3º: Estime el modelo de Tendencia elegido.

3. Calcule los índices constantes de variación estacional para cada mes por el método de

“la razón a la media móvil” y utilícelos para obtener la serie desestacionalizada de las ventas mensuales de la empresa B, a partir de los datos que aparecen, expresados en millones de pesetas, en la siguiente tabla.

Ventas mensuales de la empresa B

ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

4. A partir de la serie trimestral del número de vehículos matriculados, en cierta

Comu-nidad Autónoma, que aparece en la siguiente tabla, calcule los índices constantes de variación estacional de cada trimestre por el método de la “razón a la media móvil” y desestacionalice la serie. Efectúe una gráfica conjunta de la serie original y de la se-rie desestacionalizada.

TRIM. 1 TRIM. 2 TRIM. 3 TRIM. 4 1994 28338 31694 28629 38306 1995 36312 40931 36531 45518 1996 49192 64285 61547 75649

5. Dada la siguiente serie temporal:

t : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Yt 2 5 10 4 4 7 12 6 6 9 14 8

1º: Dibuje su gráfica y, a partir de ella, deduzca la longitud que han de tener las medias móviles para representar de forma más adecuada su tendencia.

2º: Obtenga dichas medias móviles centradas e incorpórelas al gráfico, comentando el resultado.

6. A partir de la serie cuatrimestral de datos que aparece en la siguiente tabla, calcule

los índices constantes de variación estacional de cada cuatrimestre por el método de la “razón a la media móvil” y desestacionalice la serie.

CUAT. 1 CUAT. 2 CUAT. 3

1995 6

10

2

1996 9

13

5

1997 12

16

8

(realice los cálculos aproximando con los dos primeros decimales que se obtengan)

Datos de la resolución del ejercicio 3:

Serie de ventas mensuales de la empresa B

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic año 1 31,99 41,28 47,23 51,45 64,17 75,84 90,72 73,27 56,78 50,86 47,88 29,76 año 2 34,85 48,28 57,55 62,78 76,19 91,93 103,5 84,06 65,43 61,58 55,92 35,11 año 3 43 56,04 65,23 74,21 88,51 103,3 120,2 99,61 74,97 68,62 62,35 39,51 año 4 48,7 63,87 74,66 81,17 98,3 116,7 134,3 109,4 85,87 76,99 71,54 44,33 año 5 53,97 73,93 82,43 92,91 109,7 129,2 150,9 123,4 95,74 85,88 77,08 47,86

Medias móviles centradas de longitud 12 (12x2)

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic año 1 55,22 55,63 56,35 57,26 58,23 59,4 año 2 60,6 61,58 62,39 63,2 63,98 64,54 65,1 65,76 66,41 67,2 68,19 69,18 año 3 70,36 71,7 72,75 73,44 74 74,45 74,87 75,43 76,15 76,84 77,53 78,5 año 4 79,64 80,63 81,49 82,29 83,03 83,61 84,03 84,67 85,41 86,23 87,19 88,19 año 5 89,41 90,69 91,68 92,47 93,07 93,44

Índices brutos de variación estacional

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic año 1 1,643 1,317 1,008 0,888 0,822 0,501 año 2 0,575 0,784 0,922 0,993 1,191 1,424 1,589 1,278 0,985 0,916 0,82 0,508 año 3 0,611 0,782 0,897 1,011 1,196 1,388 1,606 1,32 0,984 0,893 0,804 0,503 año 4 0,612 0,792 0,916 0,986 1,184 1,395 1,598 1,292 1,005 0,893 0,82 0,503 año 5 0,604 0,815 0,899 1,005 1,179 1,383

sumas: 2,401 3,173 3,634 3,995 4,75 5,59 6,436 5,207 3,983 3,591 3,267 2,015

Índices de variación estacional no normalizados

medias: 0,6 0,793 0,909 0,999 1,188 1,398 1,609 1,302 0,996 0,898 0,817 0,504

Media: 1,001

Índices de variación estacional

índices 0,6 0,793 0,908 0,998 1,186 1,396 1,608 1,301 0,995 0,897 0,816 0,503

Serie desestacionalizada de ventas mensuales de la empresa B

VENTAS MENSUALES Y SERIE DESESTACIONALIZADA

0 20 40 60 80 100 120 140 160

1 4 7

10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58

MESES

VALORES