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Capitulo 5 - Cinemática - Movimiento circular

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Academic year: 2020

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(1)

MOVIMIENTO CIRCULAR

MOVIMIENTO CIRCULAR

MOVIMIENTO CIRCULAR

MOVIMIENTO CIRCULAR

MOVIMIENTO CIRCULAR

Concepto

Es aquel movimiento en el cual la trayectoria es una

circunferencia

CONCEPTOS FUNDAMENT CONCEPTOS FUNDAMENTCONCEPTOS FUNDAMENT CONCEPTOS FUNDAMENTCONCEPTOS FUNDAMENTALESALESALESALESALES

DESPLAZAMIENTO LINEAL (

S

)

Es la longitud de arco de circunferencia recorrida

por un cuerpo con movimiento circular. Se expresa

en unidades de longitud.

DESPLAZAMIENTO ANGULAR (θ)

Es el ángulo que se recorre en el centro.

Unidad de desplazamiento angular en el S.I.

S

= θ⋅

R

radián (rad)

PERÍODO (

T

)

Es el tiempo que demora un cuerpo con

movimien-to circular en dar una vuelta completa. Se expresa

en unidades de tiempo.

FRECUENCIA (

f

)

Es el número de vueltas dado por un cuerpo con

movimiento circular en cada unidad de tiempo,

tam-bién se le puede definir como la inversa del período.

T Tiempototal

=

N devueltas

°

Unidad de frecuencia en el S.I.

Otras unidades:

VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (

v

)

Es aquella magnitud vectorial cuyo valor nos

indi-ca el arco recorrido por indi-cada unidad de tiempo,

también se puede afirmar que el valor de esta

ve-locidad mide la rapidez con la cual se mueve el

cuerpo a través de la circunferencia. Se representa

mediante un vector cuya dirección es tangente a

la circunferencia y su sentido coincide con la del

movimiento.

revolución

uto

rev RPM

min

=

min . . .

=

revolución

segundo R P S s s Hertz

=

. . . 1

= = −1=

revolución

hora

=

rev

h R P H

=

. . .

VELOCIDAD ANGULAR (ω)

Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuál

es el ángulo que puede recorrer un cuerpo en cada

unidad de tiempo. Se representa mediante un

vector perpendicular al plano de rotación; su

senti-do se determina aplicansenti-do la regla de la mano

de-recha o del sacacorchos.

Unidades:

m/s ; cm/s , etc.

(2)

Cinematica 149

Otras unidades:

Unidad de velocidad angular en el S.I.

ACELERACIÓN TANGENCIAL (a)

Es aquella magnitud vectorial que nos indica

cuan-to cambia la velocidad tangencial en cada unidad

de tiempo.

Se representa mediante un vector que es tangente

a la trayectoria.

radián

segundo rad s

b

/

g

radián

uto rad

min

b

/min

g

radián

hora rad h

b

/

g

Unidades:

m/s

2

, cm/s

2

, etc.

ACELERACIÓN ANGULAR (α)

Es aquella magnitud vectorial que nos indica

cuan-to aumenta o disminuye la velocidad angular en

cada unidad de tiempo.

Se representa mediante un vector perpendicular al

plano de rotación.

Unidad de aceleración angular en el S.I.

MOVIMIENTO ACELERADO MOVIMIENTO RETARDADO

radián

segundo rad s

2

d

/

2

i

Otras unidades:

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

(((((M.C.U.)))))

Concepto

Es aquel movimiento en el cual el móvil recorre

ar-cos iguales en tiempos iguales. En este caso la

ve-locidad angular permanece constante, así como el

valor de la velocidad tangencial.

radián

uto rad

min

2

d

/min

2

i

radián

hora rad h

2

d

/

2

i

Son ejemplos de este tipo de movimiento:

El movimiento de las agujas del reloj.

El movimiento de las paletas de un ventilador.

El movimiento de un disco fonográfico.

FÓRMULAS QUE RIGEN EL M.C.U.

v St

= ω = θ

t

La velocidad y la aceleración

tan-gencial tienen el mismo sentido. La velocidad y la aceleración tan-gencial tienen sentidos opuestos.

La velocidad y la aceleración

(3)

RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y EL PERÍODO

RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD TANGENCIAL Y ANGULAR

A) Si dos o más partículas girán en base a un

mis-mo centro, sus velocidades angulares serán

iguales.

ω =

2

π ω =

2

π

T ó

f

R = radio

CASOS IMPORTANTES:

B) Cuando dos ruedas están en contacto o

conec-tadas por una correa, entonces los valores de

sus velocidades tangenciales son iguales.

ωAB

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFOR-MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFOR-MOVIMIENTO CIRCULAR MOVIMIENTO CIRCULAR MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFOR-MEMENTE V

MEMENTE VMEMENTE V MEMENTE V

MEMENTE VARIADO (M.C.U.VARIADO (M.C.U.VARIADO (M.C.U.VARIADO (M.C.U.VARIADO (M.C.U.V.).).).).)

Concepto

Es aquel movimiento en el cual la velocidad

angu-lar varía pero permanece constante la aceleración

angular, así como el valor de la aceleración

tangencial.

v v

A= B

v v

A= B

FORMULAS QUE RIGEN EN EL M.C.U.V.

RELACIÓN ENTRE LA ACELERACIÓN TANGENCIAL Y LA ACELERACIÓN ANGULAR

Usar: (+) Movimiento acelerado

(

) Movimiento retardado

a = α⋅

R

a =

v v

t

F o

S

=

F

v v t

F+ o

HG

2

I

KJ

S v t

= o ±

1

t

2

a2

α = ωF−ωo

t

θ =

F

ω +ω

HG

F

2

o

I

KJ

t

θ = ωo

t

±

1

α

t

2

2

LINEAL ANGULAR

v

= ω

R

v v

f = o±a

t

ωf2 = ωo2 ±

2

αθ ωf = ωo±α

t

(4)

Cinemática 151

TEST

TEST

TEST

TEST

TEST

1.- Una partícula tiene un M.C.U. ¿Cuál sería la posible grá-fica “θ” en función del tiempo?

a) d)

b) e)

c)

2.- Del siguiente movimiento se plantean las siguientes premisas:

I. vA = vB = vC II. ωA = ωB = ωC

III. fA = fB = fC IV. vA < vB < vC ¿Cuál o cuáles de las sen-tencias son falsas?

a) Solo I d) Sólo IV

b) IV y II e) III y IV

c) Sólo II

3.- Si la rueda gira π/3 rad, ¿qué distancia se ha

traslada-do la rueda? (en cm). a) 2π/3 cm

b) π/3 cm

c) 4π/3 cm

d) π/5 cm

e) N.A.

4.- ¿Con respecto al M.C.U. ¿Cuál es la expresión falsa?

a) v cte= d) α ≠ 0

b) ω = 2πf e) Todas son falsas

c) ω = cte

5.- ¿Qué distancia recorre “P” si la polea mayor gira (π/4) rad/s

en 2 s? a) πR/4

b) πR/3

c) 2πR/3

d) πR/2

e) πR/5

6.- Para el siguiente movimiento, respecto a la acelera-ción angular se puede afirmar:

a)

B

α ; movimiento acelerado

b) α =0; movimiento circular uniforme

c)

A

α ; movimiento acelerado

d)

A

α ; movimiento retardado

e) α ; constante

7.- En qué relación estarán las velocidades tangenciales de las periferias de los discos unidos por su eje, si gira con velocidad angular “ω” y los radios de los discos

están en relación de 1 es a 3.

a) 2/3

b) 1/3

c) 3/4

d) 1,2

e) 1

8.- Se muestran dos cilindros conectados por una faja. ¿Cual se mueve mas rápido?

a) El cilindro A d) Faltan datos

(5)

ω= 2π ⇒ ω= π

672 336 rad h/

ω=2π ⇒ ω= π

5 0 4, rad s/

9.- En un M.C.U. respecto a la aceleración, señalar verda-dero (V) ó Falso (F).

I. No posee ningún tipo de aceleración. II. La aceleración tangencial es cero. III. Posee aceleración angular.

a) FFF d) VFF

b) VFV e) VVV

c) FVF

10.- Una rueda gira a razón de 180 revoluciones por minu-to, su velocidad angular en rad/s es:

a) 4π

b) 6π

c) 8π

d) π

e) 10π

1.- Una partícula describe una circunferencia de radio igual a 30 cm y da 4 vueltas en 20 segundos; calcular: a) El período

b) La frecuencia c) La velocidad angular

Solución:

PROBLEMAS RESUEL

PROBLEMAS RESUEL

PROBLEMAS RESUEL

PROBLEMAS RESUEL

PROBLEMAS RESUELTOS

TOS

TOS

TOS

TOS

A problemas de aplicación

2.- Considerando que el período de la Luna alrededor de la Tierra es 28 días. Determinar la velocidad angular de la Luna respecto de la Tierra en rad/h.

Solución: a)

b)

c)

T Tiempototal= devueltas

#

T=20 ⇒ T s=

4 5

ω=2π

T

3.- En un reloj de agujas, determinar la velocidad angular del horario y minutero, en rad/h.

Solución:

TLuna=28días TLuna=672h

❏ Calculando la velocidad angular: ω=2π

T

⇒ T = días× h

día

Luna 28 124

4.- Un auto va a 80 km/h, el diámetro de la llanta es de 33 cm. Calcular la velocidad angular.

Solución:

❏ Velocidad angular del horario

❏ Velocidad angular del minutero

5.- Una rueda durante su recorrido necesita 3 s para girar un ángulo de 234 radianes; su velocidad angular al cabo de este tiempo es de 108 rad/s. Determinar su aceleración angular constante.

v=80km h=200m s 9

/ /

❏ Cálculo de la velocidad angular: v R= ω

200

9 = ω

b

0 33,

g

f=Tiempototal#devueltas

ω= Ángulorecorrido ⇒ ω= π

Tiempoempleado 212radh

ω= Ángulorecorrido ⇒ ω= π

Tiempoempleado 21radh

ω =200

297 rad s/

f= 4 ⇒ f= Hz

20 0 2,

ω=π

6 rad h/

(6)

Cinemática 153

a=1m s/ 2 Solución:

1.- Un disco rota uniformemente alrededor de su eje, v1 es la velocidad del punto “1” y v2 es la velocidad del punto “2”. Los puntos “1” y “2” distan de “O” 1,5 y 2 cm respectivamente. Calcular la relación entre ve-locidades: v2/v1.

❏ Datos:

❏ Calculando la velocidad angular inicial:

❏ Calculando la aceleración angular (α):

t s=3 θ =234rad

ωF=108 /rad s α =?

θ=

F

ω +ω

HG

I

KJ

o F t

2

234=

F

+2108 3 48

HG

I

KJ

⇒ =

ω

ω

o o rad s/

α=ωF−ωo

t

α=108 48− ⇒ α=

3 20rad s/2

B problemas complementarios

Solución:

❏ Como se verá: Los puntos (1) y (2) giran en torno

a un mismo centro:

2.- Un cono gira con período de 4 s. ¿En qué relación es-tán las velocidades lineales de los puntos P y Q?

ω12

v1= ω

b g

15,

v2= ω

b

2 0,

g

❏ Velocidades tangenciales:

❏ (2) : (1)

v

v21 vv21

2 1 3 2 4 3 = ⇒ = Solución:

3.- Una partícula gira en un círculo de 3 m de diámetro a una velocidad de 6 m/s, tres segundos después su ve-locidad es 9 m/s. Calcular el número de vueltas que ha dado al cabo de 6 s.

Solución:

❏ Relación de radios:

❏ Datos: T = 4 s

Como P y Q giran en torno a un mismo eje, sus velocidades angulares son iguales.

3

18=R ⇒ =61

RPQ RRPQ

ωPQ

v

RPP Rv vv RR

Q

Q PQ PQ

= ⇒ = =1

6 v

vPQ=

1 6

❏ vo=6 /m s

vF=9 /m s t s=3 a=? ( / )m s2

U

V

|

||

W

|

|

|

a=v v−

t

F o

a=9 6−

3

❏ vo=6 /m s

t s=6

S=? ( )m

U

V

|

||

W

|

|

|

S v t= o +1 t 2a2 S=6 6 12 1 6

b g

+

b gb g

2

S=54m

❏ S=54m

R=15,m

θ =? ( )rad

U

V

||

W

|

|

S R= θ

54 15= θ

b g

, θ =36rad

... (1)

... (2) a

(7)

4.- Un ventilador gira con velocidad correspondiente a una frecuencia de 900 R.P.M. al desconectarlo, su mo-vimiento pasa a ser uniformemente retardado hasta que se detiene por completo después de dar 75 vuel-tas. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el momento en que se desconecta el ventilador hasta que se detiene por completo?

Solución:

5.- Se tiene un cascarón esférico que gira con velocidad angular constante a razón de 200 rev/s respecto a un eje vertical. Se dispara un proyectil horizontalmente de tal modo que pasa por el centro del cascarón. De-terminar la velocidad angular del cascarón sabiendo que su radio es igual a 1 m. Determinar también la máxima velocidad del proyectil de tal modo que atra-viesa el cascarón haciendo un solo agujero.

Solución: ❏ Finalmente:

2π rad 1 vuelta

36 rad x

x=5 73, vueltas

❏ Dato:

fF=0

❏ Aplicando: ω=2 fπ

❏ Luego:

U

V

|

||

W

|

|

|

ωo=30πrad s/ ωF=0

t=?

#devueltas=75

2π rad 1 vuelta

θ = ? 75 vueltas

θ=150 radπ

θ=

F

ω +ω

HG

F2 o

I

KJ

t

150π=

F

30 0π2+ 10

HG

I

KJ

t ⇒ t= s

❏ ω=2 2 200πf= π

b

g

❏ Con el proyectil: e vt=

2=vt ... (1)

6.- Tres ruedas A, B y C, se encuentran en contacto tal como muestra el gráfico. Siendo la velocidad angular de “B” 200 rad/s. Hallar la velocidad angular de “A” y “C” en rad/s si los radios son iguales a 20, 10 y 15 cm res-pectivamente.

Ahora para que el proyectil penetre un sólo agu-jero, el cascarón deberá dar media vuelta. Luego:

t T=

2 ; siendo: T = período de revolución

❏ En (1):

2 2=v T ; pero: T f=1

2= 2 2001 800

×

F

HG

I

KJ

⇒ =

v v m s/

Solución:

v v vA= B= C

ωA AR =ωB BR =ωC CR ❏

❏ ωA

b g

20 200 10=

b g

❏ ωB BR =ωC CR

200 10 15

b

gb g

= ωc

b g

7.- La rueda “A” presenta una velocidad angular constan-te de 40 rad/s. ¿Cuál es el valor de la velocidad angular de la rueda “D”?

ω=400 rad sπ /

ωA=100 /rad s

ωc=133 33, rad s/

fo=900rev×1 s = revs

60 15

(8)

Cinemática 155

Solución: ❏ v vA= B

ωA AR =ωB BR

40 3 2 60

b gb g

r =ωB

b g

r ⇒ ωB= rad s/ ❏ ωBC=60 /rad s

v rCC=60

v

rC=60 ⇒ vC=60r ❏ v vC= D

60r= ωD DR

60r=ωD

b g

5r ⇒ ωD=12rad s/

8.- Un disco gira en un plano horizontal, si tiene un hue-co a cierta distancia del centro por donde pasa un móvil que luego al caer pasa por el mismo hueco. ¿Cuál es la velocidad angular del disco en (rad/s)? (conside-re: g = 10 m/s2).

Solución:

9.- Una bolita está pegada sobre un disco liso de radio “R”, a una distancia 0,6R de su eje de giro. Si el disco está girando a 8 rev/min y bruscamente se despega la bo-lita. ¿Después de cuanto tiempo saldrá despedida del disco?

Solución:

❏ Analizando el movimiento parabólico (verti-calmente)

v v gtF= o

0 12 10= − t ⇒ t=12, s

❏ Analizando el movimiento de rotación del disco.

Para que el móvil regrese al mismo hueco, el tiem-po de rotación de dicho hueco, debe ser también 2,4 s.

❏ Se tiene: θ=180° =πrad ω=θ

t

❏ f rev

s f rev s

=8 × ⇒ =

60 152

min min /

ω= π = π

F

ω π

HG

I

KJ

⇒ =

2 2 215f 415rad s/

Ttotal=2 2 12t=

b g

, ⇒ Ttotal=2 4, s (cuando el móvil sube)

ω= π ⇒ ω=

(9)

ωFo+αt

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS

A problemas de aplicación

10.- Las paletas de un ventilador que parte del reposo du-rante 5 segundos giran experimentando cambios de rapidez a razón constante alcanzando así una frecuen-cia de 2 400 R.P.M. ¿Cuántas vueltas realizó durante el tercer segundo de su rotación?

Solución:

❏ Calculando la velocidad de la bolita.

v r= ω

v=4 R ⇒ v= R

15 0 6 254

π

π

,

b

g

... (1)

❏ En el triángulo ACB:

❏ Finalmente:

x= 8R

10 ... (2)

x vt= ... (3) ❏ (1) y (2) en (3):

8

10R=254 πRt

ωF=2πfF=2 40π

b g

❏ Se tiene:

ωo=0;ωF=80πrad s t s/ ; =5 ❏ Calculando la aceleración angular (α)

❏ Calculando el ángulo θ recorrido hasta los 2

se-gundos

80 0π= +α

b g

5 ⇒ α=16πrad s/2

θ2=? ( )rad

t s=2

ωo=0 α=16πrad s/2 θ=ωot+1αt

2 2

❏ Calculando el ángulo θ recorrido hasta los 3

se-gundos

θ3=?( )rad

t s=3

ωo=0 α=16πrad s/2

1.- Un cuerpo que posee M.C.U. gira a razón de 10 rad/s. Si el móvil recorre 20 m en 5 s. Calcular el radio de giro.

Rpta. 0,4 m

2.- Un disco A gira razón de 120 R.P.M. y un punto P se encuentra a 30 cm del centro de rotación. Otro disco B gira A razón de 90 R.P.M y un punto Q se encuentra a 40 cm del centro de rotación. ¿Cuál de los puntos (P o Q) tiene mayor velocidad lineal?

Rpta. Tienen igual velocidad lineal = 120 cm/s

❏ El ángulo recorrido en el 3° segundo será:

❏ El número de vueltas en el 3° segundo:

#devueltas=20 ωF=80πrad s/

t=5s

π

3.- A las doce del día, las agujas de un reloj están super-puestas ¿Al cabo de cuántos minutos, el minutero y el horario formarán un ángulo de 30° por primera vez?

Rpta. 5,45 minutos

4.- Los puntos periféricos de un disco que gira uniforme-mente, se mueven a 40 cm/s. Si los puntos que se en-cuentran a 2 cm de la periféria giran a 30 cm/s. ¿Qué diámetro tiene el disco?

Rpta. 16 cm

fF=40 /rev s

; ;

; ;

#de vueltas=40 radrad=

2 20

π π

θ3=0 3 12 16 3× +

b

π

gb g

2 ⇒ θ3=72πrad θ2=

b gb g

0 2 12 16 2+

b

π

gb g

2 ⇒ θ2=32πrad

θ=θ3−θ2 ⇒ θ=40 radπ

fF=2400rev =2400 rev×1

60

(10)

Cinemática 157

5.- En la figura, si la rueda mayor gira a razón de 3 rad/s. Calcular la velocidad angular de la rueda menor.

Rpta. 9 rad/s

6.- Si la aceleración tangencial de “A” es 3 m/s2. calcular la

aceleración angular de “C” en rad/s2.

(RA = 2 cm, RB = 8 cm, RC = 6 cm).

Rpta. 0,5 rad/s2

7.- Una rueda gira con velocidad de 2 rev/s y se detiene en 0,5 minutos. Si la desaceleración es uniforme, cal-cular el ángulo descrito.

Rpta. 60π rad

8.- La velocidad angular de un motor que gira a 1 800 R.P.M., en 2 segundos desciende uniformemente hasta 1 200 R.P.M. ¿Cuál es la aceleración angular? Y ¿Cuántas vueltas dió el motor en dicho tiempo?.

Rpta. α = −10π rad/s2 ; n = 50 vueltas

9.- Hallar la velocidad lineal con que giran los puntos de la superficie terrestre que se encuentra a latitud 60° Norte (radio de la Tierra = 6 370 km).

Rpta. 834 km/h

10.- ¿Con qué velocidad deberá volar un avión en el Ecua-dor, de Este a Oeste, para que sus pasajeros les parez-ca que el sol está fijo en el firmamento?

(radio de la Tierra = 6 370 km).

Rpta. 1 668 km/h

1.- La figura nos indica dos poleas coaxiales, fijas entre ellas, de radio r1 = 0,3 m y r2 = 0,2 m y una tercera polea de radio r = 0,4 m. El cuerpo F desciende con aceleración constante a = 8 m/s2 partiendo del

repo-so. Calcule la velocidad angular de la polea de radio r en un instante t = 5 s. Si se sabe que no hay desliza-miento entre las poleas.

Rpta. 150 rad/s

2.- Un tocadisco gira a 33 R.P.M. Al cortar la corriente la

fricción hace que el tocadisco se frene con desace-leración constante, observándose que luego de 3 s gira a 32,5 R.P.M. ¿Qué tiempo en segundos, tarda el tocadisco para detenerse?

Rpta. 198

3.- Un cuerpo que parte del reposo posee una aceleración

angular constante y tarda 2 minutos en recorrer entre 2 puntos de la trayectoria circular un desplazamiento angular de 24 revoluciones. Si cuando pasa por el se-gundo punto gira a 18 R.P.M. Hallar el número de revo-luciones entre el primer punto y el punto de partida.

Rpta. 3 vueltas

4.- Los radios de las ruedas de la bicicleta que se mueve en

la trayectoria circular mostrada en la figura, están en la relación de 5 a 1, determinar en qué relación estarán el número de

vuel-tas que dió cada llanta, si se sabe que el ciclista dió la vuelta completa a la pista en 120 s y R = (20/π ) m. Rpta. 5 a 1

5.- En el sistema de transmisión de la figura: rA = 0,3 m;

rB = 0,5 m y rC = 0,2 m. Si la rueda A acelera a razón de 10 rad/s2, ¿Qué

velo-cidad adquirirá el bloque P a los 15 s de iniciado su movi-miento? (en m/s).

Rpta. 18 m/s

(11)

6.- A 4,9 m de altura sobre un punto “P” marcado en la

pe-riferia de un disco de 45 R.P.M. se deja caer una piedra en el preciso instante en que el disco empieza a girar (ω = cte). Al caer dicha piedra sobre el disco. ¿A qué

dis-tancia del punto “P” lo hará? Radio del disco = 15 cm (g = 9,8 m/s2).

Rpta.

7.- Determinar con qué velocidad tangencial giran los

puntos sobre la superficie terrestre ubicados a 45° de latitud y sobre el nivel del mar.

(R = radio de la tierra = 6 400 km).

Rpta.

8.- Un cilindro gira a 5 rad/s; un proyectil lo atraviesa con

una velocidad inicial de 340 m/s y una velocidad final de 300 m/s. Determinar el ángulo que forma entre sí las perforaciones y el eje del cilindro.

Rpta. 0,25 rad

9.- Si consideramos que el radio de la Tierra es de 6 360 km

y que ella tarda 24 h en dar una vuelta. Calcular la velo-cidad lineal de un punto del Ecuador.

Rpta. 530πkm h/

10.- Se tiene una barra horizontal en reposo cuya longitud es

de 80 3 cm sostenida por dos cuerdas unidas a 2 po-leas que empiezan a girar, logran hacer que la barra suba; si las poleas giran con

velocidad angular de 120/π R.P.M. ¿Al cabo

de cuánto tiempo la barra formará un án-gulo de 60° con la ho-rizontal? (r1 = 10 cm ; r2 = 30 cm).

Rpta. 1,5 s

15 2 cm

800 3

π

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