Análisis del problema de objetos no sustitutos en las subastas de múltiples objetos
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(2) Análisis del problema de objetos no sustitutos en las subastas de múltiples objetos. Aprobado por:. Fernando Beltrán, Asesor Fecha de Aprobación.
(3) II-03(1)40. RECONOCIMIENTOS. Quiero agradecer Fernando Beltrán por sus valiosos aportes y a Natalia Santamarı́a por su constante ayuda.. iii.
(4) II-03(1)40. TABLA DE CONTENIDO RECONOCIMIENTOS. III. LISTA DE TABLAS. VI. LISTA DE FIGURAS. VIII. RESUMEN. X. I.. MARCO TEÓRICO. 3. 1.1. Diseño de Mecanismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.1.1. Regla de asignación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.1.2. Regla de pago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.2. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.3. Subastas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.3.1. Subastas de un objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.3.2. Subastas de múltiples objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.4. Criterios para la evaluación de subastas . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1. Racionalidad individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2. Compatibilidad con incentivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.3. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.4. Maximización de la ganancia de subastador . . . . . . . . . . 18 1.4.5. Optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 II. DEFINICIÓN DE UN AMBIENTE. 20. 2.1. Conteo de las desigualdades necesarias para especificar las relaciones en un conjunto de objetos según las definiciones . . . . . . . . . . . 20 2.1.1. Conjuntos de objetos diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 iv.
(5) II-03(1)40 2.1.2. Objetos iguales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 2.1.3. Comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Análisis de las curvas de demanda en conjuntos de objetos iguales según las definiciones estudiadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 III. SUBASTA PARA MÚLTIPLES OBJETOS IGUALES NO NECESARIAMENTE SUSTITUTOS 43 3.1. Modelo formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2. Ejemplo de ilustración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 IV. EVALUACIÓN DE LA SUBASTA PROPUESTA. 51. 4.1. Racionalidad individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2. Compatibilidad con incentivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.1. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.2. Comparación práctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4. Maximización de la ganancia del subastador . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5. Optimalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 V. CONCLUSIONES. 57. Apéndice A. TOS. — EJEMPLO PARTIENDO DE LOS COMPORTAMIEN59. Apéndice B.. — LINGO. 65. REFERENCIAS. 70. v.
(6) II-03(1)40. LISTA DE TABLAS 1.. Definición 1 - Objetos diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 2.. Definición 2 - Objetos diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 3.. Definición 2 - Objetos diferentes - Conjuntos Disyuntos . . . . . . . . 25. 4.. Definición 6 - Objetos iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 5.. Resultados de las fórmulas de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 6.. Ejemplo de ilustración - Demanda inversa . . . . . . . . . . . . . . . 46. 7.. Ejemplo de ilustración - Precio total . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. 8.. Ejemplo de ilustración - l = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. 9.. Ejemplo de ilustración - l = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 10.. Ejemplo de ilustración - l = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 11.. Ejemplo de ilustración - l = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. 12.. Ejemplo de ilustración - l = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. 13.. Ejemplo de ilustración - l = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. 14.. Ejemplo de ilustración - l = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. 15.. Ejemplo de ilustración - Final alterno - l = L − 1 . . . . . . . . . . . 50. 16.. Ejemplo de ilustración - Final alterno - l = L . . . . . . . . . . . . . . 50. 17.. Ejemplo del apéndice - Valoraciones marginales . . . . . . . . . . . . 59. 18.. Ejemplo del apéndice - Demanda inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 60. 19.. Ejemplo del apéndice - l = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. 20.. Ejemplo del apéndice - l = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. 21.. Ejemplo del apéndice - l = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. 22.. Ejemplo del apéndice - l = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. vi.
(7) II-03(1)40 23.. Ejemplo del apéndice - l = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. 24.. Ejemplo del apéndice - l = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. 25.. Ejemplo del apéndice - l = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. 26.. Ejemplo del apéndice - l = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. 27.. Ejemplo del apéndice - l = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64. vii.
(8) II-03(1)40. LISTA DE FIGURAS 1.. Ejemplo de Sustitutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 2.. Ejemplo de Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 3.. Ejemplo de Cúspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 4.. Ejemplo de Valle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 5.. Precio total - Sustitutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 6.. Precio total - Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 7.. Precio total - Cúspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 8.. Precio total - Valle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 9.. Demanda inversa - Sustitutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. 10.. Demanda inversa - Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38. 11.. Demanda inversa - Cúspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 12.. Demanda inversa - Valle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 13.. Máximo - Sustitutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 14.. Máximo - Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 15.. Máximo - Cúspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 16.. Mı́nimo - Sustitutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 17.. Mı́nimo - Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. 18.. Mı́nimo - Cúspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. 19.. Ejemplo de demanda inversa convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 20.. Modelo LINGO -Ejemplo de ilustración . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. 21.. Resultados LINGO - Ejemplo de ilustración . . . . . . . . . . . . . . 67. 22.. Modelo LINGO - Ejemplo del apéndice A . . . . . . . . . . . . . . . . 68. viii.
(9) II-03(1)40 23.. Resultados LINGO - Ejemplo del apéndice A . . . . . . . . . . . . . . 69. ix.
(10) II-03(1)40. RESUMEN. La primera parte de este trabajo de tesis define un ambiente en el cual pueden coexistir dentro de un conjunto de objetos iguales las relaciones de sustitución y complementariedad. Este trabajo se hizo con base en las definiciones dadas por V. Krishna en su libro “Auction Theory” para objetos totalmente sustitutos y totalmente complementarios. Ya definido el ambiente se analizaron los comportamientos que pueden tener los participantes en una subasta en este ambiente de múltiples objetos iguales. La segunda parte de este trabajo es el diseño de una subasta para el ambiente encontrado y definido. Este diseño se hizo con base en la subasta Ausubel para múltiples objetos iguales y sustitutos ampliándola a un ambiente en el que los objetos subastados no tienen que ser necesariamente sustitutos. La subasta se describe de manera formal con ayuda del diseño de mecanismos y se dan ejemplos para ilustrar su comportamiento. Por último, se analizan las caracterı́sticas de la subasta propuesta llegando a que, al igual que la Ausubel, la subasta propuesta resulta eficiente. Esto último significa que le asigna los objetos a los que más los valoran. Para ilustrar este último resultado se plantea el problema de asignación eficiente dadas las valoraciones, como un problema de optimización lineal, y se resuelve con ayuda del software LINGO. Se muestra que efectivamente la asignación de la subasta resuelve el problema de x.
(11) II-03(1)40 asignación eficiente.. xi.
(12) II-03(1)40. Introducción Las subastas, además de ser un mecanismo de formación de precios en transacciones donde no hay un mercado establecido, han demostrado tener un bajo costo. Por esto no es de sorprenderse su expansión actual a nivel práctico. Paralelamente a esta expansión práctica se ha desarrollado la teorı́a de subastas cuyo objetivo es servir de apoyo para el entendimiento y la utilización adecuada de las subastas. En teorı́a de subastas hay diferentes ambientes donde se pueden desarrollar las subastas; igualmente existen diferentes tipos de subastas y diversos objetivos que puede cumplir una subasta o diferentes criterios para su evaluación. Al igual que en la práctica la teorı́a de subastas contiene un tema que aun presenta problemas: las subastas para múltiples objetos cuando éstos no son sustitutos entre ellos, situación que surge de la necesidad de vender varios objetos al tiempo. El tema presenta problemas en la comprensión y definición de las relaciones entre estos múltiples objetos que pueden influir en la subasta y en el desarrollo práctico de las subastas. El objetivo inicial de este trabajo es entender los conceptos de sustitución y complementariedad para crear y proponer la definición de un ambiente donde estas propiedades coexisten en un grupo de objetos y ası́ desarrollar un modelo que permita entender las caracterı́sticas de una subasta cuando los objetos cumplen con esas definiciones. Se logró además proponer una subasta especı́fica para el ambiente definido y evaluarla. La subasta propuesta en este documento es una subasta para un ambiente de objetos iguales pero no necesariamente sustitutos. Se diseñó con base en la subasta Ausubel para múltiples objetos iguales y sustitutos. Al igual que esta subasta, y la subasta Vickrey, la subasta propuesta es eficiente, es decir, entrega. 1.
(13) II-03(1)40 los objetos teóricamente a los que mas los valoran. Aunque el trabajo es principalmente teórico y se ocupa de un ambiente muy especı́fico dentro de las subastas de múltiples objetos, se espera que contribuya de alguna manera a solucionar la dificultad existente en el tema de subastas para objetos no necesariamente sustitutos dentro de la teorı́a de subastas. En el primer capı́tulo de ese documento se presenta un marco teórico donde se describen las subastas mas importantes incluida la subasta Ausubel ya mencionada. También se presenta allı́ uno de los pocos mecanismos diseñados para funcionar en ambientes en los que existen objetos no necesariamente sustitutos y se describen sus problemas. En el segundo capı́tulo se muestra el estudio que se hizo para definir un ambiente en el cual puede funcionar una subasta. En el tercer capı́tulo se expone la subasta propuesta, la definición formal y un ejemplo. En el cuarto capı́tulo se evalúa el desempeño teórico de la subasta y se determinan sus caracterı́sticas y en el quinto se dan las conclusiones.. 2.
(14) II-03(1)40. Capı́tulo I MARCO TEÓRICO 1.1.. Diseño de Mecanismos. Dentro de las muchas formas en que uno o varios objetos pueden ser vendidos a compradores potenciales se encuentran las subastas. Éstas, según la teorı́a económica pueden entenderse como mecanismos. La subasta propuesta en este documento se estudiará a través del diseño de mecanismos, es decir la subasta se entenderá como un mecanismo y a continuación se definirá formalmente el concepto de un mecanismo. Primero tenemos que describir un ambiente. Vamos a suponer que hay un solo vendedor o subastador y un conjunto N = {1, 2, . . . , n} de n compradores. Por simplicidad, en esta sección, se supone que se vende un solo objeto indivisible, pero los conceptos definidos aquı́ son aplicables a la venta de cualquier conjunto de k objetos indivisibles. El comprador i tiene una valoración privada xi del objeto. Las valoraciones están distribuidas independientemente y la valoración xi tiene una función de densidad de probabilidad fi y una función de distribución de probabilidad asociada Fi . Ası́, si x = (x1 , x2 , . . . , xn ) es el vector de todas las valoraciones de los jugadores entonces, la función de distribución conjunta es f (x) = f1 (x1 ) × f2 (x2 ) × · · · × fn (xn ). Un mecanismo (β, π, µ) es una tripleta con un vector de posibles mensajes β = (β1 , β2 . . . , βn ) donde βi es el mensaje del comprador i, una regla de asignación π y una regla de pago µ1 . 1. V. Krishna, “Auction Theory”, Capı́tulo 5. 3.
(15) II-03(1)40 1.1.1.. Regla de asignación. Si ∆ es el conjunto de distribuciones de probabilidad sobre el conjunto N de jugadores, una regla de asignación π : β → ∆ es una función que va del conjunto de mensajes al conjunto ∆. La regla de asignación define ası́ cuál es la probabilidad de que cada comprador gane en la subasta dado su mensaje βi y los de los demás β−i 2 . 1.1.2.. Regla de pago. Un a regla de pago µ : β → Rn va del conjunto de mensajes β al conjunto Rn de posibles precios. La regla de pago especifica cuál es el precio que cada jugador i debe pagar dado su mensaje βi y los de los demás β−i 3 . Para definir un mecanismo es suficiente y necesario determinar estas dos reglas. El vector de mensajes lo dan los compradores.. 1.2.. Equilibrio. Todo mecanismo define un juego de información incompleta. Los jugadores son los compradores y las acciones o estrategias son los mensajes. La ganancia de un jugador es igual a su valoración menos lo que tengan que pagar. El juego es de información incompleta porque los compradores o jugadores no saben con exactitud las funciones de ganancia de los otros jugadores. Para estudiar el desempeño de una subasta se busca anticipar las acciones que los jugadores tomarán en el transcurso de la subasta. Para esto es de gran ayuda el concepto de equilibrio en juegos. Teniendo en cuenta la definición de mecanismo, dada en la sección anterior, vemos que los jugadores pueden decidir únicamente sobre el vector β de mensajes. Ası́ se puede decir que el mensaje βi es la estrategia del jugador i. Esta estrategia depende de la valoración xi que tiene el i-ésimo jugador por el objeto. Podemos entonces escribir βi (xi ). 2 3. V. Krishna, “Auction Theory”, Capı́tulo 5 V. Krishna, “Auction Theory”, Capı́tulo 5. 4.
(16) II-03(1)40 Un conjunto de estrategias β es un equilibrio, si para cualquier valoración xi de un jugador i, βi (xi ) maximiza la ganancia de i, dado que los demás jugadores siguen las estrategias de β−i . Un conjunto más pequeño y más simple de mecanismos es aquel en el que el vector β de mensajes u ofertas es igual al conjunto de las valoraciones x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Estos mecanismos se llaman mecanismos directos. Según el principio de revelación. 4. dado un mecanismo y un equilibrio en este mecanismo existe un mecanismo directo que tiene los mismos resultados (asignación y pagos).. 1.3.. Subastas. En este documento nos interesa principalmente un tipo de mecanismo y un tipo de juego de información incompleta: la subasta. En una subasta los bienes son vendidos a un precio determinado por la competencia entre jugadores según unas reglas determinadas por el subastador. A continuación se darán ejemplos de subastas utilizando la notación de mecanismos. Se recuerda que en todas estas subastas hay un subastador y un conjunto N = {1, 2, . . . , n} de compradores. Se expondrán varias subastas para recordar algunas caracterı́sticas de las subastas más comunes y ubicar la subasta propuesta dentro de ellas. 1.3.1.. Subastas de un objeto. Las subastas de un objeto son simplemente las subastas en las que se vende un objeto a la vez. En este caso el objeto es indivisible, es decir se lo gana uno y sólo uno de los compradores. A continuación vamos a exponer las subastas más importantes de este tipo. 1.3.1.1. Subastas estáticas Las subastas estáticas son aquellas en las que todas las acciones a tomar por los compradores deben ser realizadas en un mismo momento del tiempo, es decir las 4. “Auction Theory”, V. Krishna, Capı́tulo 5.. 5.
(17) II-03(1)40 ofertas se realizan simultáneamente. Ası́, ningún jugador tiene la oportunidad de ver la decisión de otro. Estas subastas se llaman también subastas cerradas. Subasta de primer precio En una subasta de primer precio el jugador i entrega un sobre con su oferta βi por el objeto al subastador. La regla de asignación está definida para el jugador de la siguiente manera: ( πi =. 1 si βi > maxj6=i βj 0 de lo contrario. si hay más de un jugador con la misma oferta el objeto se asigna a cada uno de esos jugadores con igual probabilidad o a través de una loterı́a, si no, simplemente se le entrega el objeto al participante cuya oferta es la mayor. La regla de pago es la siguiente: ( βi si βi > maxj6=i βj µi = 0 de lo contrario En caso de que más de un jugador haga la misma oferta, paga sólo el comprador a quién la loterı́a asigne el objeto. Subasta de segundo precio En esta subasta, de nuevo, los compradores entregan su oferta βi por el objeto en un sobre sellado al subastador. La regla de asignación es la misma: ( πi =. 1 si βi > maxj6=i βj 0 de lo contrario. Y la regla de pago es: ( µi =. maxj6=i βj si βi > maxj6=i βj 0. de lo contrario. Se observa que el ganador paga la mayor oferta perdedora.. 6.
(18) II-03(1)40 1.3.1.2. Subastas dinámicas Las subastas dinámicas son aquéllas en las que los jugadores pueden tomar acciones en más de un momento en el tiempo. Pueden ser de tiempo continuo o discreto. Es decir los jugadores pueden tomar acciones en cualquier momento o en instantes determinados dependiendo del diseño de la subasta. Las acciones de los demás pueden ser observadas por los otros participantes o no. Subasta Holandesa En esta subasta el subastador empieza anunciando un precio muy alto. En este sentido “alto” se entiende como un precio al que ningún comprador querrı́a comprar el objeto. A partir de ahı́ el subastador va bajando de acuerdo con algún criterio. Las acciones de los jugadores pueden ser ofrecer o no ofrecer por el objeto el precio que el subastador anuncia. Cuando un comprador decide comprar se acaba la subasta y se le asigna el bien a ese jugador a ese precio. Esta subasta es equivalente a la subasta de primer precio5 . Subasta Inglesa En esta subasta el subastador empieza en un precio base o de reserva, es decir el precio más bajo al cuál estarı́a dispuesto a vender el objeto, y lo va subiendo de acuerdo con algún criterio. Las acciones que pueden tomar los jugadores son ofrecer o no ofrecer por el objeto el precio que el subastador anuncia. Cuando se llega a un precio en el que sólo queda un jugador que quiere comprar el objeto se acaba la subasta. El objeto se le asigna a este participante a este precio. Esta subasta es equivalente a la subasta de segundo precio6 . 1.3.2.. Subastas de múltiples objetos. Existen también las subastas en las que se venden varios objetos al mismo tiempo, las cuales se conocen como subastas de múltiples objetos. Para que las subastas que son expuestas a continuación tengan sentido es necesario hacer un supuesto sobre 5 6. “Auction Theory”, V.Krishna, Capı́tulo 1 “Auction Theory”, V.Krishna, Capı́tulo 1. 7.
(19) II-03(1)40 los objetos a subastar y las relaciones entre ellos. Ası́, en esta sección se supone que se tienen k objetos iguales e indivisibles. Además los objetos son sustitutos, es decir que si un comprador ya tiene uno, obtener uno adicional tiene un beneficio menor que el que significó la obtención del anterior. En otras palabras la función de valoración marginal es decreciente en el número de objetos o la cantidad que se está dispuesto a pagar por una unidad adicional decrece con la cantidad de unidades ya obtenida. Este concepto se explicará en mayor detalle en la siguiente sección. 1.3.2.1. Subastas estáticas De nuevo las subastas de múltiples objetos igual que las de un objeto se clasifican en estáticas y dinámicas. Las estáticas son las subastas en las que los participantes hacen sus ofertas simultáneamente. Estas subastas también se conocen como subastas cerradas. En cada una de estas subastas el participante i debe dar su vector de ofertas βi = [βi1 , βi2 , . . . , βik ] que satisface βi1 > βi2 > · · · > βik , para indicar cuánto está dispuesto a pagar por cada unidad adicional. Es decir βij es la cantidad que el participante i está dispuesto a pagar por su j-ésima unidad. Tenemos entonces que la cantidad P que i está dispuesto a pagar por j unidades es jl=1 βil . La regla de asignación es igual para las tres subastas que se describirán a continuación y es la siguiente: ( πi =. k i si exactamente k i ofertas βij están en el conjunto de las k ofertas más altas 0. de lo contrario. Esta regla de asignación no presenta problema por la exigencia de que los objetos sean sustitutos. Ası́, si la oferta de un jugador i por su j-ésimo objeto hace parte de las k ofertas más altas, también lo hace la oferta de i por su (j − 1)-ésima unidad ya que esta oferta es mayor. Las subastas difieren entonces únicamente por su regla de pago, que será descrita individualmente a continuación.. 8.
(20) II-03(1)40 Subasta Discriminatoria En la subasta discriminatoria cada jugador paga exactamente el valor ofrecido por la cantidad de objetos que gane. Formalmente si k i ofertas de i están entre las k ofertas más altas entonces: i. µi =. k X. βij. j=1. La subasta discriminatoria se puede ver como la ampliación de la subasta de primer precio a múltiples objetos. Subasta Uniforme En la subasta de precio uniforme se quiere cobrar el precio al cual la oferta iguala la demanda. Para esto se cobra por cada objeto asignado un precio igual a la oferta perdedora más alta. Recordando que k i es la cantidad de objetos que i gana se puede definir la regla de pago formalmente como: µi = (máx βki i +1 ) × k i i. Esta subasta se puede ver como la extensión de la subasta de segundo precio a múltiples objetos. Subasta Vickrey Esta subasta, por sus propiedades, es una mejor extensión de la subasta de segundo precio a múltiples objetos7 . La regla de pago en esta subasta tiene una mı́nima relación con la oferta hecha por cada objeto asignado. Para definir la regla de pago es necesario definir antes el vector c−i de las ofertas n(k−1). competidoras para el comprador i. El vector c−i = [c1−i , c2−i , . . . , c−i. ] es el vector. ordenado de mayor a menor de las ofertas sin contar las ofertas de i. Ası́, el comprador i debe pagar en esta subasta, por el primer objeto que se le asigne un precio i igual a ck−i , por el segundo un precio ck−1 −i y ası́ hasta k , si este es el número de. objetos que se le asigna a i. La regla de pago es entonces: 7. “Auction Theory”, V. Krishna, Capı́tulo 12. 9.
(21) II-03(1)40. i. µi =. k X. ck−ki −j. j=1. Es importante notar que en esta subasta lo que paga i es la pérdida en la que incurren los otros por la participación de i en la subasta. Si i no hubiera participado Pi los otros habrı́an ganado k i objetos más y habrı́an pagado un precio de kj=1 ck−ki −j por el total de ellos. 1.3.2.2.. Subastas dinámicas. Al igual que en las subastas de un objeto cada una de las subastas estáticas o cerradas descrita en la sección anterior tienen una subasta correspondiente en formato abierto o dinámico. Subasta Holandesa Esta subasta corresponde a la subasta discriminatoria y, como vimos anteriormente, tiene también una versión para un solo objeto. En esta subasta el subastador empieza en un precio alto y lo va bajando según algún criterio, hasta que el primer jugador esté dispuesto a comprar una unidad a ese precio. Cuando esto ocurre se le vende la unidad a este comprador a ese precio. Luego el precio sigue bajando hasta que de nuevo un comprador esté dispuesto a comprar otra unidad. La subasta se acaba cuando las k unidades se vendan. Esta subasta es equivalente a la subasta discriminatoria8 . Subasta Inglesa Al igual que para la subasta Holandesa, en la sección pasada vimos una versión de esta subasta para un objeto. En esta subasta el subastador comienza con un precio de reserva y lo va subiendo según algún criterio. Los jugadores deben decir cuántas unidades están dispuestos a comprar a ese precio. Si di (p) es la cantidad de P unidades demandada por i a un precio p, la demanda total a ese precio es ni=1 di (p). La subasta se acaba cuando se llega a un precio en el que la demanda total es igual 8. V. Krishna, “Auction Theory”, Capı́tulo 12. 10.
(22) II-03(1)40 a k, entonces se le asigna a cada comprador la cantidad de unidades demanda en ese momento y tiene que pagar por cada una ese precio. Esta subasta corresponde a la subasta de precio uniforme en formato cerrado y es equivalente a ésta.9 . Subasta Ausubel Esta subasta corresponde y es equivalente a la subasta cerrada Vickrey descrita en la pasada sección10 . De nuevo para describir su funcionamiento es necesario introducir un nuevo concepto: la oferta residual si (p) para un jugador i a un precio p. La oferta residual se calcula de la siguiente manera: si (p) = máx{k −. X. dl (p), 0}. l6=i. con di (p), la cantidad de objetos que demanda el participante i a un precio p. En esta subasta el subastador empieza anunciando un precio bajo o de reserva. El subastador va subiendo el precio según algún criterio. Los jugadores deben decir cuántos objetos quieren comprar a cada precio. Para cada precio p se calcula la oferta residual si (p) de cada jugador i. Al principio la oferta residual debe ser 0 para todos los jugadores. En el momento en el que a un precio p0 la oferta residual si (p0 ) de algún jugador es mayor que 0 se le venden a ese jugador si (p0 ) objetos a precio p0 . El precio sigue subiendo hasta que para algún jugador la oferta residual vuelva a ser mayor que cero y se repite el procedimiento hasta que se venden todos los objetos. De los ejemplos dados, podemos notar aquı́ que hay otro tipo de clasificación de subastas: las subastas en las que el comprador debe proponer un precio que está dispuesto a pagar dado el(los) objeto(s) que puede comprar y las subastas en las que el comprador debe proponer la cantidad que está dispuesto a comprar dado un precio. 9 10. V. Krishna, “Auction Theory”, Capı́tulo 12 V. Krishna, “Auction Theory”, Capı́tulo 12. 11.
(23) II-03(1)40 1.3.2.3. Relaciones entre múltiples objetos En la sección anterior se ve que las relaciones entre objetos para un participante pueden afectar su función de valoración y por consiguiente el desarrollo de la subasta; por ello, para las subastas de múltiples objetos es fundamental que se suponga que los objetos sean iguales y sustitutos entre ellos. Pero ésta no es una condición necesaria en cualquier conjunto de objetos. Utilizando las definiciones de V. Krishna11. se. presentan a continuación los tipos más usuales de relaciones entre objetos. Es importante notar que para estas definiciones se supone que las valoraciones xi (B) de un conjunto cualquiera B de objetos son siempre positivas. Es decir que xi (B) ≥ 0 para todo B ⊂ K. Además se asume xi (φ) = 0. Bienes sustitutos Las siguientes dos definiciones son equivalentes12 . Definición 1: Sea K un conjunto de k objetos no necesariamente iguales. Sea xi (B) la valoración del individuo i por cualquier subconjunto B ⊂ K. Sean S y T subconjuntos tales que S ⊂ T ⊂ K. Entonces los objetos del conjunto K son todos sustitutos para el individuo i, si para todo elemento a ∈ K tal que a 6∈ T se cumple: xi (S ∪ {a}) − xi (S) ≥ xi (T ∪ {a}) − xi (T ). (1). Esta definición se puede interpretar como una valoración marginal decreciente de la siguiente forma: para el individuo i el valor de obtener un objeto (a) de más, si ya tiene un conjunto (S), es mayor que el valor de obtenerlo si ya tiene un conjunto (T ) que contiene a S. Definición 2: Sea K un conjunto de k objetos no necesariamente iguales. Sea xi (B) la valoración del individuo i de cualquier subconjunto B ⊂ K. Sean Q y R subconjuntos de K. Entonces los objetos del conjunto K son todos sustitutos si se cumple: 11 12. V. Krishna, “Auction Theory”, Capı́tulo 16 V. Krishna, “Auction Theory”, Capı́tulo 16. 12.
(24) II-03(1)40. xi (Q) + xi (R) ≥ xi (Q ∪ R) + xi (Q ∩ R). (2). Tenemos entonces, en particular, si R ∩ Q = φ: xi (Q) + xi (R) ≥ xi (Q ∪ R) Esta última representación de la relación de sustitución es la más común, sobre todo cuando Q y R son conjuntos de un solo objeto. Bienes complementarios Las siguientes definiciones también son equivalentes13 . Definición 3: Sea K un conjunto de k objetos no necesariamente iguales. Sea xi (B) la valoración del individuo i de cualquier subconjunto B ⊂ K. Sean S y T subconjuntos tales que S ⊂ T ⊂ K. Entonces los objetos del conjunto K son todos complementarios para el individuo i, si para todo elemento a ∈ K tal que a 6∈ T se cumple: xi (S ∪ {a}) − xi (S) ≤ xi (T ∪ {a}) − xi (T ). (3). Definición 4: Sea K un conjunto de k objetos no necesariamente iguales. Sea xi (B) la valoración del individuo i de cualquier subconjunto B ⊂ K. Sean Q y R subconjuntos de K. Entonces los objetos del conjunto K son todos complementarios si se cumple: xi (Q) + xi (R) ≤ xi (Q ∪ R) + xi (Q ∩ R). (4). Si tenemos un conjunto de objetos iguales estas definiciones se pueden reescribir. Es importante notar que en este caso un conjunto queda determinado simplemente por el número de objetos que tiene. Ası́ la valoración de i de un conjunto de j objetos se escribirá como xi (j) y j puede ser cualquier natural. 13. V. Krishna, “Auction Theory”, Capı́tulo 16. 13.
(25) II-03(1)40 Bienes iguales sustitutos Definición 5: Sean k objetos iguales. Sea xi (j) la valoración del individuo i de j objetos. Sean s y t naturales tales que s < t < k y además los s objetos están contados dentro de los t objetos e igualmente los t objetos están contados dentro de los k objetos. Entonces los k objetos son todos sustitutos para el individuo i, si se cumple: xi (s + 1) − xi (s) ≥ xi (t + 1) − xi (t). (5). El objeto extra no debe estar contado en los t objetos y por lo tanto tampoco está contado en los s objetos. Definición 6: Sean k objetos iguales. Sea xi (j) la valoración del individuo i de j objetos. Sean q y r naturales tales que dentro de los r y los q objetos se cuentan de m objetos en común y tanto los r como los s objetos están contados en k. Entonces los k objetos son todos sustitutos si se cumple: xi (q) + xi (r) ≥ xi (q + r − m) + xi (m). (6). Bienes iguales complementarios Definición 7: Sean k objetos iguales. Sea xi (j) la valoración del individuo i de j objetos. Sean s y t naturales tales que s < t < k y además los s objetos están contados dentro de los t objetos e igualmente los t objetos están contados dentro de los k objetos. Entonces los k objetos son todos complementarios para el individuo i, si se cumple: xi (s + 1) − xi (s) ≤ xi (t + 1) − xi (t). (7). El objeto extra no debe estar contado en los t objetos y por lo tanto tampoco está contado en los s objetos. Definición 8: Sean k objetos iguales. Sea xi (j) la valoración del individuo i de j objetos. Sean q y r naturales tales que dentro de los r y los q objetos se cuentan de m objetos en común y tanto los r como los s objetos están contados en k. Entonces los k objetos son todos complementarios si se cumple: 14.
(26) II-03(1)40. xi (q) + xi (r) ≤ xi (q + r − m) + xi (m). (8). 1.3.2.4. Subasta para objetos heterogéneos. Las subastas descritas en las secciones anteriores funcionan únicamente en ambientes de conjuntos de objetos sustitutos. Existe un mecanismo, o mejor, una subasta llamada VCG14. que funciona también en ambientes de múltiples objetos. heterogéneos y con relaciones de sustitución o de complementariedad. Esta subasta se describirá a continuación. Mecanismo o subasta VCG El mecanismo VCG es en este caso equivalente a una subasta cerrada para múltiples objetos heterogéneos. Sea K un conjunto de k objetos heterogéneos. Cada individuo i tiene una valoración xi (B) para todo subconjunto B ⊂ K. Se les pide a los compradores que entreguen sus ofertas βi (B), de todos los subconjuntos B posibles en K, al subastador. La subasta asigna los objetos de tal manera que se maximiza: X. βi (Bj ). Bj ⊂K. Sujeto a: [. Bj = K. j. \. Cuando βi = xi , llamamos. P. Bj = φ. j Bj ⊂K. βi (Bi ) bienestar social. Se puede ver que la. regla de asignación maximiza en este caso el bienestar social. Ahora llamemos S(β) = [S1 (β), S2 (β), . . . , Sn (β)] al resultado de la maximización anterior sujeta a que β = [β1 , β2 , . . . , βn ] son las ofertas de los compradores. Ası́ lo que tiene que pagar el comprador i es: 14. Vickrey-Clarke-Grooves. 15.
(27) II-03(1)40. µi =. βj (Sj (β)) −. X. βj (Sj (0, β−i )). j. j6=i. P. Donde. X. βj (Sj (0, β−i )) es el valor del resultado de la maximización anterior P sin sumarle las asignaciones de i y j6=i βj (Sj (β) es el resultado de una nueva j. maximización sin tener en cuenta las ofertas de i. De nuevo como en la subasta Vickrey lo que tiene que pagar i es lo que perdieron los demás jugadores por la participación de i en la subasta. Esta subasta es eficiente y óptima15 , conceptos que se desarrollarán en la siguiente sección. Problemas del mecanismo VCG El mecanismo descrito anteriormente es uno de los pocos desarrollados para la venta de múltiples objetos que no cumplen con relaciones de sustitución. Teóricamente es eficiente y maximiza el ingreso del subastador con respecto a las subastas eficientes. Estos conceptos se explicarán en detalle en la siguiente sección. Sin embargo está subasta también tiene grandes problemas, entre estos: Complicación computacional: Se requiere hacer dos maximizaciones complicadas para calcular el pago de cada jugador. Complicación conceptual: La regla de pago es difı́cil de entender y si los compradores no la entienden, se pierden inmediatamente las propiedades teóricas de la subasta. Rebeldı́a de los compradores: Los compradores pueden ser reacios a dar un número tan grande de valoraciones, tantas como el número de subconjuntos de K es decir 2k y además pueden sentirse incómodos dando exactamente el dato de su valoración. Es posible que el subastador aproveche esta información para su beneficio.. 1.4.. Criterios para la evaluación de subastas. En el diseño de mecanismos, ası́ como en la teorı́a de subastas, se pueden tener en cuenta diferentes objetivos. Puede ser importante, por ejemplo, que un jugador en 15. “Auction Theory”, V.Krishna, Capı́tulo 16. 16.
(28) II-03(1)40 general esté inclinado a decir la verdad, de ahı́ sale en concepto de compatibilidad de incentivos. O, por ejemplo, una subasta deberı́a atraer a los potenciales participantes, es decir, la utilidad esperada de un comprador cuando participa debe ser mayor o igual que la de no participar o simplemente nadie participarı́a en la subasta. Los diferentes objetivos no siempre son alcanzables paralelamente, por lo que hay que escoger en muchos casos cuál de ellos es prioritario. En especı́fico existe un conflicto entre el objetivo de maximización de ganancia del subastador y el de eficiencia, entendida como maximización de bienestar social o de los participantes. A continuación se explican los más importantes objetivos para una subasta que además sirven como criterios para la evaluación de las mismas. 1.4.1.. Racionalidad individual. Una subasta donde los pagos son tan altos que a los compradores les va mejor si no participan no atraerá a los posibles compradores. Por eso es indispensable que en una subasta para un jugador i la utilidad en cualquier caso cumpla con Ui (xi ) ≥ 0, es decir que el jugador puede al menos asegurar una ganancia de 0, ya que 0 es la utilidad de no jugar. Si una subasta cumple con eso se dice que es racional individualmente. 1.4.2.. Compatibilidad con incentivos. Otro criterio importante para evaluar una subasta es la compatibilidad de incentivos. En general en una subasta los compradores deben decir cuánto están dispuestos a pagar por el objeto a subastar. Este mensaje βi tiene como cota máxima la valoración xi , si no puede que al comprador le toque pagar más que su valoración. Pero el mensaje no es necesariamente igual a su valoración. Si una subasta tiene por objeto ser eficiente, es de suma importancia conocer las valoraciones. Si para cada jugador i, decir la verdad, es decir βi = xi , es un equilibrio, entonces se dice que la subasta tiene compatibilidad de incentivos. Para escribir este concepto formalmente, sea µi (βi (xi ), x−i ) la probabilidad de que a i le asignen un objeto dado que los demás dicen la verdad y él dice βi (xi ). Sea πi (βi (xi ), x−i ) el pago requerido al comprador i dado que los demás dicen la verdad 17.
(29) II-03(1)40 y el dice βi (xi ). Entonces la ganancia de i, dado que los demás dicen la verdad, es: Ui (βi ) = µi (βi (xi ), x−i ) × xi − πi (βi (xi ), x−i ) Un mecanismo o una subasta tiene entonces compatibilidad de incentivos si:. Ui (xi ) = µi (xi , x−i ) × xi − πi (xi , x−i ) ≥ Ui (βi ) = µi (βi (xi ), x−i ) × xi − πi (βi (xi ), x−i ) para todo xi y todo βi (xi ). 1.4.3.. Eficiencia. Aunque el objetivo de maximizar la ganancia del subastador parece el más natural e importante no es necesariamente ası́. En muchos casos las subastas, sobre todo si son de bienes públicos, tienen un objetivo muy diferente. Se trata de asignarle los objetos a los compradores que más los valoren, lo cual supone que los objetos irán a quienes mejor uso harán de ellos. Si en un equilibrio una subasta cumple con este objetivo se dice que es eficiente. Ası́, si se tiene que πi es lo que se le asigna al individuo i, el objetivo de este tipo de P P subastas es maximizar ni=1 πi xi . La cantidad ni=1 πi xi es llamada beneficio social y el objetivo de esta subasta es entonces maximizar el beneficio social. Este beneficio de nuevo vemos que depende de las variables aleatorias llamadas valoraciones, por lo que tenemos realmente como objetivo la maximización de un valor esperado sobre todas las valoraciones posibles. Este objetivo es muy difı́cil de lograr sin saber la valoración de cada comprador. No es posible asignarle el bien al que más lo valora si no se tiene esta información, por eso resulta importante la caracterı́stica de compatibilidad de incentivos. 1.4.4.. Maximización de la ganancia de subastador. En muchos casos las subastas buscan simplemente vender el bien al más alto precio posible, es decir maximizar la ganancia del subastador. Esto ocurre generalmente en subastas privadas, dónde no es de importancia cómo queda asignado el 18.
(30) II-03(1)40 bien subastado. Si lo que paga el comprador i es µi , entonces el objetivo de una subasta de P este estilo es maximizar el ni=1 µi , es decir maximizar la ganancia del subastador. Como el resultado de la subasta depende de las acciones de los compradores, que a su vez dependen de sus valoraciones xi de los objetos que son variables aleatorias. El problema es realmente entonces el de maximización del valor esperado de la ganancia del subastador sobre todas las posibles valoraciones. Si la subasta tiene un equilibrio en el que se maximiza esta función, entonces la subasta maximiza la ganancia del subastador. 1.4.5.. Optimalidad. Un mecanismo o subasta eficiente es óptima si además de maximizar el bienestar social también maximiza la ganancia del subastador sin perder la eficiencia. 16. “Auction Theory”, V.Krishna, Capı́tulo 5. 19. 16. ..
(31) II-03(1)40. Capı́tulo II DEFINICIÓN DE UN AMBIENTE Como se puede ver en el capı́tulo anterior, en las subastas de múltiples objetos juega un papel muy importante la relación entre los objetos. Esta relación es determinada por las valoraciones o determina las valoraciones dependiendo de la perspectiva que se quiera tomar. A continuación se profundiza en el estudio de las definiciones dadas para objetos sustitutos y complementarios. El objeto de este estudio es definir un ambiente para el diseño de una subasta de múltiples objetos eliminando el supuesto de sustitución entre todos los objetos y los problemas del mecanismo VCG.. 2.1.. Conteo de las desigualdades necesarias para especificar las relaciones en un conjunto de objetos según las definiciones. Para definir un ambiente en el que los objetos las relaciones entre los objetos son homogéneas se utilizaron las definiciones 1,2,5 y 6 para conjuntos de objetos totalmente sustitutos o complementarios. Lo primero que se hizo fue contar cuantas desigualdades, según cada definición, eran necesarias para definir del todo las relaciones dentro de un conjunto, si las relaciones entre los objetos no son homogéneas. 2.1.1.. Conjuntos de objetos diferentes. Primero empezamos contando las desigualdades necesarias para determinar las relaciones en un conjunto de objetos heterogéneos cuando las relaciones de sustitución y complementariendad coexisten entre ellos. 20.
(32) II-03(1)40 2.1.1.1. Conteo: Definición 1 y 3 Utilizando las definiciones 1 y 3 de la sección 1.3.2.3. las desigualdades necesarias para describir en su totalidad las relaciones en un conjunto de k objetos heterogéneos se determinan con la siguiente fórmula. Fórmula General k×. k−1 X i=2. Ã. k−1 i. ! (2i − 2). Derivación de la Fórmula k corresponde a la cantidad de objetos que se pueden incluir; en la definición son los posibles {a}. Ã ! k−1 corresponde a la cantidad de subconjuntos de tamaño i que hay i en el conjunto sin un objeto, es decir todos los T posibles en la definición. (2i − 2) corresponde a la cantidad de subconjuntos de un conjunto de tamaño i sin contar ni vacı́o ni el total, es decir son todos los S posibles. Pk−1 i=2. es la suma sobre todos los tamaños de conjunto T posibles, empieza en. 2 porque, si no, no hay S posibles y va hasta k − 1 porque hay que dejar a {a} por fuera. Ejemplo |K| = k = 3 y K = {a, b, c} objetos diferentes.. k×. k−1 X i=2. Ã. k−1 i. ! (2i − 2) = 3 ×. 2 X. Ã. i=2. Ã = 3×. 2. i !. 2 = 3×1×2 = 6. 21. 2. ! (2i − 2). (22 − 2).
(33) II-03(1)40 {a} a a b b c c. T {b,c} {b,c} {a,c} {a,c} {a,b} {a,b}. S {b,c} c a c a b. Tabla 1: Definición 1 - Objetos diferentes Esto corresponde a las siguientes desigualdades: xi ({b} ∪ {a}) − xi ({b}) ? xi ({b, c} ∪ {a}) − xi ({b, c}) xi ({c} ∪ {a}) − xi ({c}) ? xi ({b, c} ∪ {a}) − xi ({b, c}) xi ({a} ∪ {b}) − xi ({a}) ? xi ({a, c} ∪ {b}) − xi ({a, c}) xi ({c} ∪ {b}) − xi ({c}) ? xi ({a, c} ∪ {b}) − xi ({a, c}) xi ({a} ∪ {c}) − xi ({a}) ? xi ({a, b} ∪ {c}) − xi ({a, b}) xi ({b} ∪ {c}) − xi ({b}) ? xi ({a, b} ∪ {c}) − xi ({a, b}) Como se puede observar son 6 y no importa si los bienes son sustitutos o complementarios en el conteo por lo que se reemplaza la desigualdad por un ”?”. 2.1.1.2. Conteo: Definición 2 y 4 Utilizando las definiciones 2 y 4 de la sección 1.3.2.3., se determina el número de desigualdades necesarias para describir en su totalidad las relaciones en un conjunto de k objetos heterogéneos. Fórmula General. (2k − 2)2 + (2k − 2) 2 Derivación de la Fórmula (2k − 2) corresponde a la cantidad de subconjuntos que hay en K, es decir la cantidad de Res y Qes sin contar K ni {φ}. ()2 da todas las combinaciones posibles de Res y de Qes. ÷2 es la división necesaria porque cada posible par de subconjuntos está contada dos veces, menos en las que Q = R. 22.
(34) II-03(1)40 +(2k − 2) es la cantidad de pares en los que Q = R y estos no están repetidos, por lo que es necesario sumarlos, para después dividir. Ejemplo |K| = k = 3 y K = {a, b, c} objetos diferentes. (2k − 2)2 + (2k − 2) (23 − 2)2 + (23 − 2) = 2 2 2 (8 − 2) + (8 − 2) = 2 (6)2 + (6) = 2 36 + (6) = 2 42 = 2 = 21. Esto corresponde a las siguientes desigualdades: QyR {a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c}. {a} {a}+{a}. {b} {b}+{a} {b}+{b}. {c} {c}+{a} {c}+{b} {c}+{c}. {a,b} {a,b}+{a} {a,b}+{b} {a,b}+{c} {a,b}+{a,b}. {a,c} {a,c}+{a} {a,c}+{b} {a,c}+{c} {a,c}+{a,b} {a,c}+{a,c}. {b,c} {b,c}+{a} {b,c}+{b} {b,c}+{c} {b,c}+{a,b} {b,c}+{a,c} {b,c}+{b,c}. Tabla 2: Definición 2 - Objetos diferentes. Como se puede ver en la diagonal se encuentran las (23 − 2) = 6 parejas de subconjuntos iguales y en total son 21 desigualdades. Se va a ilustrar con un ejemplo donde Q = {a, b} y R = {a, c}: xi ({a, b}) + xi ({a, c})?xi ({a, b} ∪ {a, c}) + xi ({a, b} ∩ {a, c}) que es igual a: xi ({a, b}) + xi ({a, c})?xi ({a, b, c}) + xi ({a}) 23.
(35) II-03(1)40. En esta caso también se reemplaza el signo de desigualdad por una interrogación ya que puede ser cualquiera de los dos existentes. 2.1.1.3. Conteo: Definición 2 o 4, para conjuntos disyuntos Es interesante dentro de la Definición 2 ver el caso en el que R y S son conjuntos disyuntos, ya que podrı́a ser que en algunos casos solo especificando este tipo de relación se logre definir el conjunto en su totalidad. Se cuenta ahora la cantidad de desigualdades necesaria en la definición de un ambiente si solo se toman dos conjuntos R y Q disyuntos. Fórmula General Pk i=1. Ã. k. !. Pk−i j=1. i. Ã. k−i. !. j. 2 Derivación de la Fórmula à ! Pk k corresponde a la cantidad de subconjuntos que hay en K, es decir i=1 i la cantidad de Res. à ! Pk−i k − i corresponde a la cantidad de subconjuntos disyuntos de R j=1 j que hay en K por cada R, es decir la Qes posibles. ÷2 es la división necesaria porque cada posible par de subconjuntos está contada dos veces.. 24.
(36) II-03(1)40 Ejemplo |K| = k = 3 y K = {a, b, c} objetos diferentes. à ! à ! à ! à ! Pk P3 k Pk−i k − i 3 P3−i 3−i i=1. j=1. i. i=1. j. =. 2. à =. 3. j=1. i. ! ×. 1. Ãà 2 ! 2 1. j à +. 2. !!. 2. à +. 3. !. 2. à ×. 1. !. 1. 2 (3 × (2 + 1)) + (3) × (1)) = 2 (3 × (2 + 1)) + (3) × (1)) = 2 = 6. Esto corresponde a las siguientes desigualdades: QyR {a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c}. {a}. {b} {b}+{a}. {c} {c}+{a} {c}+{b}. {a,b}. {a,c}. {b,c} {b,c}+{a}. {a,c}+{b} {a,b}+{c}. Tabla 3: Definición 2 - Objetos diferentes - Conjuntos Disyuntos. xi ({b}) + xi ({a})?xi ({b, a}) xi ({a}) + xi ({c})?xi ({a, c}) xi ({c}) + xi ({b})?xi ({c, b}) xi ({b, c}) + xi ({a})?xi ({b, c, a}) xi ({a, c}) + xi ({b})?xi ({a, c, b}) xi ({a, b}) + xi ({c})?xi ({a, b, c}) Como se puede ver son 6 y de nuevo no importa el sentido de la desigualdad por lo que es reemplazada con un signo de interrogación. 25.
(37) II-03(1)40 2.1.2.. Objetos iguales. Se puede observar que si el número de objetos k crece, la cantidad de desigualdades necesarias se hace rápidamente difı́cil de manejar. Con la motivación de hacer este problema manejable se analiza ahora el caso en el que todos los objetos del conjunto K son iguales limitando ası́ el ambiente a definir. Se puede hablar en este caso simplemente de k objetos. En muchos contextos el hecho de que los objetos sean iguales los hace inmediatamente sustitutos. Es decir, si ya se almorzó se desea menos un siguiente almuerzo y menos aún un tercero. Pero esto no es necesariamente cierto en todos los conjuntos de objetos iguales. Por ejemplo, en un conjunto de medias es claro que se prefieren 2 a 1, en una vajilla el ideal es tener un número dado de puestos, que en general va a ser mayor que uno (4, 8 o 12), en un colegio se necesita cierto número de sillas para llenar un salón de clase y cierto número de tableros para cubrir con las necesidades de la institución, y por último el caso de un filatelista que quiere tener todas las estampillas de cierto motivo, cuando se va acercando a completar su colección, cada una puede valer más que la anterior. Situaciones en las cuales se presentan complementariedades entre bienes idénticos, que dependen de la cantidad se analizan a continuación. 2.1.2.1. Conteo: Definición 5 y 7 Se empieza contando la cantidad de desigualdades según las definiciones 5 y 6 de la sección 1.3.2.3. necesarias para definir un ambiente. Fórmula General k−1 X i=1. i=. k × (k − 1) 2. Derivación de la Fórmula Pk−1 i=1. i como sólo hay un tipo de objeto para agregar y sólo hay un subconjunto. de cada tamaño, se suma sobre todos los naturales menores a k, es decir, todos los t posibles, de todos los s posibles tales que s ≤ t.. 26.
(38) II-03(1)40 Es interesante notar que para este caso es muy fácil representar todas estas desigualdades en forma de vector de la siguiente manera: (xi (1) − xi (1), xi (2) − xi (1), ..., xi (k) − xi (k − 1)), donde, una vez dados los elementos del vector, quedan especificadas todas las relaciones necesarias para caracterizar el conjunto de objetos. Ejemplo k=3 k−1 X. i =. i=1. 3−1 X. i. i=1. = 1+2 = 3. Esto corresponde a las siguientes desigualdades: xi (1) − xi (1) ? xi (2) − xi (1) xi (2) − xi (1) ?. xi (3) − xi (2). xi (1) − xi (1) ? xi (3) − xi (2) Como se puede observar son 3 y si se da el vector: (xi (1) − xi (1), xi (2) − xi (1), xi (3) − xi (2)) quedan totalmente determinadas. 2.1.2.2. Conteo: Definición 6 y 8 La cantidad de desigualdades necesaria según la definición 6 y 8 de la sección 1.3.2.3. se determina a continuación. Fórmula General Pk Pk i=1. j=1. Pmı́n(i,j). l=máx(0,i+j−k) 1 +. Pk. 2 Derivación de la Fórmula Pk i=1. 1 es la suma sobre todos q posibles. 27. t=1. Pt l=máx(0,2t−k). 1.
(39) II-03(1)40 Pk j=1. 1 es la suma sobre todos r posibles.. Pmı́n(i,j) l=máx(0,i+j−k). 1 corresponde a la cantidad de m o objetos en común que. pueden tener los r y los s objetos, es decir, las diferente ms. Se divide por 2 porque la suma se hace dos veces. Pk. Pt. t=1. l=max(0,2t−k). 1 se incluye porque los únicos casos que no se suman dos. veces son los que r = q es decir Q = R. Ejemplo k=3 Pk Pk i=1. P3 =. P3. i=1. P3 = =. l=máx(0,i+j−3). l=máx(0,i+j−3). 1+. 2. Pmı́n(i,j). j=1. 1+. 2. Pmı́n(i,j). j=1. P3. i=1. Pmı́n(i,j). j=1. l=máx(0,i+j−3) 1 +. Pk. Pt. t=1. P3. l=máx(0,2t−3). Pt. t=1. P3. l=máx(0,2t−3). Pt. t=1. l=máx(0,2t−3). 1 1 1. 2 (18) = 9. 2. Esto corresponde a la siguientes desigualdad: xi (q) + xi (r) ≥ xi (r + q − m) + xi (m) Donde q, r y m son los que se muestran en la tabla 4 y solo existen los casos donde aparece un si. La cantidad de desigualdades es 9. m y (q, r) (1,1) 0 si 1 si 2 3. (1,2) si si. (1,3) (2,2) si. si si. (2,3). (3,3). si si. Tabla 4: Definición 6 - Objetos iguales. 28.
(40) II-03(1)40 2.1.2.3. Conteo: Definición 6 y 8, para conjuntos disyuntos De nuevo es interesante ver el caso en el que los subconjuntos son disyuntos. Se hace el ejercicio según las definiciones 6 y 8 pero en el caso en el que los r y los s objetos no tienen objetos en común, es decir, m = 0. Fórmula General No se encontró una fórmula general sino que se parte en dos casos: k = par y k = impar. Cuando k es impar. Pk−1 ³Pk−i ´ i=1 j=1 1 +. k−1 2. 2 Cuando k es par. Pk−1 ³Pk−i ´ i=1 j=1 1 +. k 2. 2 Derivación de la Fórmula Pk−1 ³Pk−i ´ i=1 j=1 1 es la suma sobre todos los q posibles menores que k. Se divide por 2 porque cada pareja se suma dos veces. k−1 2. ó. k 2. corresponde a las desigualdades dónde r = q. En la suma anterior. todas las combinaciones están dos veces salvo en las que se suman la misma cantidad de objetos. Para poder dividir en dos hay que sumarlas una vez más. Ejemplo k=3 Pk−1 ³Pk−i ´ j=1 1 + i=1 2. k−1 2. =. P3−1 ³P3−i ´ j=1 1 + i=1. 2 (1 + 1) + (1) + 1 = 2 = 2.. 29. 3−1 2.
(41) II-03(1)40 Esto corresponde a las siguientes desigualdades: x1 (1) − xi (1) ?. xi (2). x1 (1) − xi (2) ?. xi (3). Se puede notar que como son disyuntos el último término de la definición desaparece, y el signo de interrogación se puede reemplazar por cualquier signo de desigualdad. 2.1.3.. Comparación. Ahora se verán algunos ejemplos de los resultados anteriores para diferentes tamaños de conjuntos de objetos (k), para comparar la cantidad de desigualdades y escoger un ambiente de estudio para la subasta. k DEF 1 o 3 DEF 2 o 4 DEF 2 o 4 (dis) DEF 5 o 7 DEF 6 o 8 DEF 6 o 8 (dis). 3 5 6 250 21 465 6 90 3 10 9 28 2 12. 10 186600 522753 28501 45 150 25. Tabla 5: Resultados de las fórmulas de conteo. La cantidad de desigualdades necesarias en cada definición para especificar un ambientes se encuentran tabuladas. Los casos de conjuntos disyuntos se descartan porque no permiten la descripción total de un ambiente. Por otro lado a medida que k crece, en las Definiciones 5 y 7, que corresponden al caso en el que los objetos son iguales, el número de desigualdades necesario no crece tan rápido. Adicionalmente en este caso las relaciones quedan definidas en su totalidad usando con las valoraciones marginales. Por lo anterior se continuará el estudio para un ambiente de objetos iguales y con las Definiciones 5 o 7.. 30.
(42) II-03(1)40. 2.2.. Análisis de las curvas de demanda en conjuntos de objetos iguales según las definiciones estudiadas. A continuación se proponen posibles formas de demanda de un participante para un conjunto de objetos iguales, pero que no necesariamente sean sustitutos entre sı́. Se tiene entonces un conjunto de k objetos iguales, tal que para cualquier natural j ≤ k y cualquier l ≤ k, j objetos no se pueden diferenciar de l objetos si j = l. Sea xi (j) la valoración de el participante i por j objetos. Entonces las relaciones entre los k objetos para el individuo i quedan totalmente descritas con el siguiente vector: (xi (1) − xi (0), xi (2) − xi (1), ..., xi (k) − xi (k − 1)), el cual permite encontrar todas las desigualdades necesarias, definidas ası́: xi (s + 1) − xi (s) ≥ xi (t + 1) − xi (t), para cualquier s ≤ t ∈ {1, 2, . . . , k}, que corresponde a la Definición 5 o 7 de la sección 1.3.2.3. Como cualquier tipo de relación entre los objetos se puede describir con el vector anterior, a continuación se proponen cuatro formas posibles del mismo. Los casos se encuentran ilustrados en las figuras 1, 2, 3 y 4, en donde en el eje x se encuentra q y en el eje y se encuentra xi (q) − xi (q − 1) = vi (q), el cual corresponde al vector de valoraciones marginales ó el valor del q-ésimo objeto. 1. Sustitutos En general se asume que este es el caso más común para bienes iguales. Si ya se tiene uno, el siguiente tiene menor valor y ası́ sucesivamente. Por ejemplo un café a la hora de las onces o un sofá para la sala de la casa. 2. Complementarios En este caso entre más objetos se tengan más vale el siguiente. Por ejemplo, un coleccionista (de calcomanı́as o de estampillas) cuando se acerca a completar su colección. 3. Cúspide Este caso representa la situación cuando el participante solo quiere quiere un número determinado de objetos. Por ejemplo, si un colegio quiere llenar un 31.
(43) II-03(1)40. Figura 1: Ejemplo de Sustitutos salón con cierto número de sillas o una ama de casa desea cierto número de puestos de una vajilla. 4. Valle Este es el caso donde el participante sólo quiere pocos o muchos objetos, pero no un número medio. Es un caso difı́cil de encontrar en la vida real.. Ahora se considerarán los dos tipos de subastas mencionados en el marco teórico. El primero corresponde a subastas en las que el subastador va fijando el precio y los compradores responden la cantidad que estarı́an dispuestos a comprar a ese precio, y el segundo a subastas en las que el subastador dice la cantidad y los compradores responden el precio al que comprarı́an dada cantidad, y se quiere contestar las preguntas. Se quieren responder las preguntas: ¿A qué precio se comprarı́a cierta cantidad de objetos? y ¿cuántas unidades se comprarı́an a cada precio?, para cada tipo de relación encontrado (Sustitutos, Complementos, Cúspide y Valle) entre los objetos, y entender el comportamiento de cada tipo de comprador en estos dos tipos de subasta. Si la curva de demanda individual (para i) es de la forma qi (p)la curva de demanda inversa es de la forma pi (q), donde q es la cantidad y p es el precio o valor unitario. Estas dos curvas responden a las preguntas anteriores. Por otro lado, el vector de valoraciones marginales es similar a la curva de demanda inversa, sólo que. 32.
(44) II-03(1)40. Figura 2: Ejemplo de Complementarios en lugar de responder a la pregunta de cuál es el precio unitario que i está dispuesto a pagar por q unidades, responde la pregunta de cuál es el precio que i está dispuesto a pagar por la q-ésima unidad. Para determinar la demanda inversa pi (q) se calcula primero la demanda inversa total P Ti (q) del individuo i por q objetos, de la siguiente manera: P Ti (q) =. q X. vi (j) =. j=1. q X. xi (j) − xi (j − 1) = xi (q). j=1. En donde ~vi = (vi (1), vi (2), . . . , vi (k)) es el vector de las valoraciones marginales para el individuo i, tal que vi (q) = xi (q) − xi (q − 1). Se puede observar que éste es el vector utilizado en las gráficas anteriores. Como es de esperar, el precio total que i pagarı́a por q unidades coincide con la valoración de q unidades. Las gráficas de P Ti (q) = xi (q) para todos los casos se observan en las figuras 5 a 8.. 33.
(45) II-03(1)40. Figura 3: Ejemplo de Cúspide. Figura 4: Ejemplo de Valle. 34.
(46) II-03(1)40. Figura 5: Precio total - Sustitutos. Figura 6: Precio total - Complementos. 35.
(47) II-03(1)40. Figura 7: Precio total - Cúspide. Figura 8: Precio total - Valle. 36.
(48) II-03(1)40 Entonces, conociendo la demanda inversa total o precio total, se puede calcular la demanda inversa pi (q), es decir, el precio unitario al cual se compran q unidades, ası́: Pq. vi (j). xi (q) q q Esta cantidad se encuentra graficada en las figuras 9 a 12. pi (q) =. j=1. =. Figura 9: Demanda inversa - Sustitutos Como ya se determinó cuál es el precio que se pagarı́a por cierta cantidad, ahora se quiere averiguar cuántas unidades estarı́a dispuesto a comprar el individuo i a un precio p. Esto, como se observa, corresponde a la curva de la demanda individual, que es la función inversa de pi (q); pero, como se puede ver en las gráficas, esta función no es invertible en todos los casos. Lo que sı́ se puede contestar en la mayorı́a de los casos es cuál es la cantidad máxima pi (p) y cuál es la cantidad mı́nima pi (p) que un individuo está dispuesto a comprar a un precio p. Contestando estas preguntas se hacen las gráficas que se encuentran en las figuras 13 a 18. El único caso en el que no hay una respuesta clara es el caso 4, “Valle”. Adicionalmente este es un caso difı́cil de encontrar en la práctica.. 37.
(49) II-03(1)40. Figura 10: Demanda inversa - Complementarios Se puede observar que mientras los bienes son sustitutos el mı́nimo es uno y mientras que son complementarios el máximo es k (que en este caso es 10). También se observa que el mı́nimo es menor o igual que el máximo, es decir q i (p) ≤ q i (p), mientras que q no esté por encima del máximo de unidades que demanda i, y si q es mayor al máximo demandado por i tanto el mı́nimo como el máximo caen a 0. Por último, también se observa que el máximo es una función decreciente en el precio y el mı́nimo es una función creciente.. 38.
(50) II-03(1)40. Figura 11: Demanda inversa - Cúspide. Figura 12: Demanda inversa - Valle. 39.
(51) II-03(1)40. Figura 13: Máximo - Sustitutos. Figura 14: Máximo - Complementarios. 40.
(52) II-03(1)40. Figura 15: Máximo - Cúspide. Figura 16: Mı́nimo - Sustitutos. 41.
(53) II-03(1)40. Figura 17: Mı́nimo - Complementarios. Figura 18: Mı́nimo - Cúspide. 42.
(54) II-03(1)40. Capı́tulo III SUBASTA PARA MÚLTIPLES OBJETOS IGUALES NO NECESARIAMENTE SUSTITUTOS Con base en los análisis anteriores se diseñó una subasta para múltiples objetos en un ambiente de objetos iguales que no son necesariamente sustitutos. Esta subasta está basada en la subasta de Ausubel para múltiples objetos sustitutos, pero funciona en un ambiente en el que los objetos no son necesariamente sustitutos. La subasta propuesta se describe formalmente a continuación.. 3.1.. Modelo formal. Sean k objetos iguales a subastar y sea N = {1, 2, . . . , n}, el conjunto de los jugadores. Se recuerda que las valoraciones son independientes y los objetos indivisibles. La subasta se modela como un juego en tiempo continuo. Es importante notar que varios jugadores pueden hacer una jugada en el mismo instante t del tiempo. El precio es una función creciente en el tiempo, definida por el subastador. La subasta empieza en un precio de reserva po y puede ser por ejemplo p(t) = po +t. Los jugadores deben decir, para cada precio, la cantidad mı́nima y máxima de objetos que estarı́an dispuestos a comprar a ese precio. Una historia h está dada entonces por un vector: h = {(po , q o , q o ), (p1 , q 1 , q 1 ), . . . , (pl , q l , q 1 ), . . .}. 43.
(55) II-03(1)40 Junto con el precio actual p(t). Aquı́ se tiene que para todo l ≥ 0, pl es el precio en la l-ésima ocasión que uno o más jugadores hicieron un cambio en las cantidades demandadas, q l es el vector de cantidades mı́nimas demandadas de todos los jugadores para el precio pl y q l es el vector de cantidades máximas demandadas por todos los jugadores para el precio pl . Para mayor claridad: q l = {q l1 , q l2 , . . . , q ln } q l = {q l1 , q l2 , . . . , q ln } Donde para el jugador i, q li es la mı́nima cantidad que el demanda y q li es la máxima cantidad que demanda a precio pl . Nótese que q li ≤ q li para todo i y todo l, y además q li es una función decreciente en el precio. La subasta tiene el requerimiento de que cualquier cantidad entre q li y q li debe ser valorada por i a un precio mayor o igual que pl . Se puede ver que esto es algo que cumplen los objetos tanto totalmente sustitutos como totalmente complementarios, ası́ como los que se comportan como cúspide. Sin embargo, en algunos casos, aunque los objetos no se comportan de ninguna de estas maneras la subasta sigue funcionando ya que el requerimiento se sigue cumpliendo. Definimos la oferta residual sli para el individuo i en el momento l como: X sli = máx{k − q lj , 0} ∀j6=i. Ahora definimos wil , que es la cantidad de objetos que i asegura obtener en el momento l, como:. wil = Donde Wil =. Pl f =1. l−1 l si sli ≥ q li q i − Wi sli − Wil−1 si q li ≤ sli ≤ q li 0 de lo contrario. wif. La subasta se acaba cuando: n X. WiL ≥ k. i=1. 44.
(56) II-03(1)40 y. n X. WiL−1 < k. i=1. Entonces si la subasta se acaba en el momento L con historia terminal: h = {(po , q o , q o ), (p1 , q 1 , q 1 ), . . . , (pL , q L , q L )} La subasta queda definida de la siguiente forma, para cada individuo i: Regla de asignación: πi = WiL Regla de pago: µi = Pn. L X. pl × wil. l=0. P 6= k las últimas k− ni=1 WiL−1 unidades se asignan P de la siguiente manera: sea δ = k − ni=1 WiL−1 ; primero se cubren los q Li con las δ En el caso en el que. L i=1 Wi. unidades; si no se pueden cubrir todos se intenta cubrir la mayor parte o la mayor cantidad de participantes; las unidades restantes se asignan aleatoriamente entre los participantes que no han alcanzado su máximo. Se puede escoger algún criterio para darle mayor probabilidad de ganar por ejemplo a los jugadores cuyo mı́nimo ya habı́a sido alcanzado y no recibieron nada en esta ronda. El precio a pagar por estas unidades es pL .. 3.2.. Ejemplo de ilustración. Se tienen k = 10 objetos iguales a subastar y un conjunto N = {1, 2, 3} de n = 3 participantes. El máximo de objetos que puede obtener cada jugador es 5. Esto con el objetivo de no complicar demasiado el ejemplo. El precio unitario pi (q) que el jugador i está dispuesto a pagar por q objetos se encuentra tabulado en la tabla 6. También se muestra la matriz de precios totales o valoraciones en la tabla 7. Estos valores se escogieron para una buena ilustración de la subasta. El primer jugador tiene un comportamiento o, lo que es equivalente, los objetos tienen para él 45.
(57) II-03(1)40 q 1 p1 (q) 5 p2 (q) 35 p3 (q) 10. 2 3 15 20 31 22 15 20. 4 5 30 30 20 20 18 18. Tabla 6: Ejemplo de ilustración - Demanda inversa q P T1 (q) P T2 (q) P T3 (q). 1 2 5 30 35 62 10 30. 3 4 60 120 66 80 60 72. 5 150 100 90. Tabla 7: Ejemplo de ilustración - Precio total una relación aproximadamente de complementariedad; para el segundo participante los objetos son aproximadamente sustitutos; el tercero tiene un comportamiento cercano al de cúspide. En el apéndice A se encuentra un ejemplo en el que se parte de las valoraciones marginales para describir el comportamiento de cada jugador en las subasta y se muestra paso a paso la subasta. En este ejemplo simplemente se supone que sus valoraciones están dadas y el foco está en ilustrar el funcionamiento de la subasta. Se les permite a los jugadores tener valoraciones marginales no decrecientes y además éstas pueden ser asimétricas. Se observa que más allá de q = 5 no hay información, ya que éste es el lı́mite de adquisición para cada jugador. p0 = 1 i 1 2 3 Agregados. q li 1 1 1 3. l=0 q li 5 5 5 15. sli 0 0 0 0. wil Wil 0 0 0 0 0 0 0 0. Tabla 8: Ejemplo de ilustración - l = 0. Ahora si se desarrolla la subasta paso a paso. La subasta empieza en el precio de reserva po = 1, como se observa tanto el 46.
(58) II-03(1)40 p1 = 5 i 1 2 3 Agregados. q li 2 1 1 4. l=1 q li 5 5 5 15. sli 0 0 0 0. wil Wil 0 0 0 0 0 0 0 0. Tabla 9: Ejemplo de ilustración - l = 1 p2 = 10 i 1 2 3 Agregados. q li 2 1 2 5. l=2 q li 5 5 5 15. sli 0 0 0 0. wil Wil 0 0 0 0 0 0 0 0. Tabla 10: Ejemplo de ilustración - l = 2 mı́nimo como el máximo de todos es igual, el mı́nimo de todos es 1 y el máximo es 5, cantidad máxima posible. Se asume que los jugadores dicen la verdad o ofrecen según sus valoraciones, como vemos en la tabla 8. En un precio de 5 el jugador 1 sube su demanda mı́nima a 2 objetos. Las demandas residuales son 0 y no ocurre ningún aseguramiento. Esto se puede observar en la tabla 9. Como vemos en la tabla 10 el siguiente precio donde hay un cambio es en 10, dónde el jugador 3 sube también su mı́nimo a 2 objetos. Cuando el precio llega a 15 tanto el jugador 1 como el jugador 2 suben su demanda mı́nima a 3 objetos. Las demanda residuales siguen siendo 0 ya que el máximo no ha cambiado. Esto se puede observar en la tabla 11. Como muestra la tabla 12, el próximo cambio ocurre en un precio de 18. Aquı́ el jugador 3 baja su demanda máxima a 3 objetos. Este cambio afecta las demandas residuales y se le asignan 2 unidades al jugador 2 ya que esta cantidad se encuentra entre su máximo y su mı́nimo demandado.. 47.
(59) II-03(1)40 p3 = 15 i 1 2 3 Agregados. q li 3 1 3 7. l=3 q li 5 5 5 15. sli 0 0 0 0. wil Wil 0 0 0 0 0 0 0 0. Tabla 11: Ejemplo de ilustración - l = 3 p4 = 18 i 1 2 3 Agregados. q li 3 1 3 7. l=4 q li 5 5 3 13. sli 2 2 0 4. wil Wil 0 0 2 2 0 0 2 2. Tabla 12: Ejemplo de ilustración - l = 4 Ahora el cambio ocurre en un precio de 20 donde la demanda máxima de 2 baja también a 3 objetos y además el mı́nimo del jugador 1 suba a 4. Al jugador 1 se le asignan 4 objetos, pero al jugador 3 no se le asigna ninguno ya que su Mı́nimo es menor que la demanda residual, lo cual se ilustra en la tabla 13. El último cambio ocurre en un precio de 22, donde el máximo del jugador 2 baja a 2 y la demanda residual del jugador 3 ya es suficiente para quedar arriba de sı́ mı́nimo. Ası́ se le asignan 3 objetos al jugador 3. Además al jugador 1 se le asegura una unidad más, como se puede ver en la tabla 14. Ası́, se tiene que la subasta acaba en p6 = 22 porque. Pn i=1. Wi6 = 10, es decir, a. la cantidad de objetos disponibles. Es importante notar que la demanda por parte de los compradores no se debe reducir teniendo en cuenta los objetos asegurados. La regla de asignación es la siguiente: π1 = W16 = 5 π2 = W26 = 2 48.
(60) II-03(1)40 p5 = 20 i 1 2 3 Agregados. q li 4 1 3 8. l=5 q li 5 3 3 11. sli 4 2 2 8. wil Wil 4 4 0 2 0 0 4 6. Tabla 13: Ejemplo de ilustración - l = 5 p6 = 22 i 1 2 3 Agregados. q li 4 1 3 8. l=6 q li 5 2 3 10. sli 5 2 3 10. wil 1 0 3 4. Wil 5 2 3 10. Tabla 14: Ejemplo de ilustración - l = 6 π3 = W36 = 3 La regla de pago es la siguiente: µ1 =. 6 X. pl × w1l = p5 × w15 + p6 × w16 = 20 × 4 + 22 × 1 = 102. l=0. µ2 =. 6 X. pl × w2l = p4 × w24 = 18 × 2 = 36. l=0. µ3 =. 6 X. pl × w3l = p6 × w36 = 22 × 3 = 66. l=0. Ahora se va a ilustrar el caso en el que al final no se logra el resultado. Pn i=1. WiL =. k. Se supondrá que la cantidad de objetos a subastar es k = 5 y que n = 3 cada uno con un máximo de cinco unidades obtenibles. Se llega a la ronda L − 1 como se muestra en la tabla 15. En el siguiente cambio, L ocurre lo que se muestra en la tabla 16. Como se puede observar, aquı́ acaba la subasta porque. Pn i=1. WiL = 10, que es. mayor que 5. Por lo que lo primero que se hace es asignarle a cada quien su mı́nimo. Al jugador 1 se le asignan 2 objetos y al jugador 1 ninguno, ya que su mı́nimo es 1. 49.
(61) II-03(1)40 pL−1 = 20 i 1 2 3 Agregados. l =L−1 q li sli 5 1 5 1 4 0 14 2. q li 2 1 4 7. wil 0 1 0 1. Wil 0 1 0 1. Tabla 15: Ejemplo de ilustración - Final alterno - l = L − 1 pL = 25 i 1 2 3 Agregados. q li 2 1 0 7. l=L q li 5 5 0 10. sli wil Wil 5 5 5 5 4 5 0 0 0 10 9 10. Tabla 16: Ejemplo de ilustración - Final alterno - l = L Ahora quedan 2 objetos por asignar. Se rifan entre los dos y se puede suponer que se los ganó 2. Ası́ la regla de asignación es: π1 = q L2 π2 = W2L−1 + 2 π3 = 0 El jugador 3 no entra en la asignación porque en la ronda L no recibió nada. La regla de pago es la siguiente: µ1 = 2 × 25 = 50 µ2 = 1 × 20 + 2 × 25 = 70 µ3 = 0. 50.
(62) II-03(1)40. Capı́tulo IV EVALUACIÓN DE LA SUBASTA PROPUESTA En esta sección, a diferencia del ejemplo de ilustración, se supone que los mensajes entregados por cada comprador no son iguales a los verdaderos máximos y mı́nimos de cada jugador. Además, este análisis se hará con base en la suposición de que la función de demanda inversa pi (q) de cada jugador es convexa. Es decir, que el comprador i está dispuesto a pagar p × qi para cualquier qi que cumpla con q i (p) ≤ qi ≤ q i (p) y obtiene una ganancia positiva. A continuación se presenta una gráfica de ejemplo de una función inversa de demanda de este estilo.. Figura 19: Ejemplo de demanda inversa convexa Esta restricción la cumplen tanto los bienes sustitutos como los complementarios y además los llamados en este documento bienes tipo cúspide. Sin embargo un bien. 51.
(63) II-03(1)40 que no pertenece a ninguno de estos tipos también podrı́a tener una función de demanda inversa de este tipo. A continuación vamos a evaluar la subasta propuesta bajo los criterios más importantes para la evaluación de subastas.. 4.1.. Racionalidad individual. Una subasta es individualmente racional cuando Ui (xi ) ≥ 0∀i y xi . Para esta subasta la utilidad de cada jugador i es la suma de las utilidades aseguradas en cada momento l de la historia final. Ası́, recordando que xi = [xi (1), xi (2), . . . , xi (k)], se tiene: Ui (xi ) =. X. Uil (xi ). , para cada jugador i. Ası́ si Uil ≥ 0 para todo l, se tiene que la subasta es individualmente racional, ya que la suma también es mayor que 0. Se sabe que Uil (xi ) = xi (wil ) − pl (wil ) × wil pero xi (wil ) = pi (wil ) × wil entonces Uil (xi ) = (pi (wil ) − pl (wil )) × wil Por la forma de pi (q) se ve que un jugador i puede acotar la cantidad wil con el máximo y el mı́nimo demandados, de tal forma que Uil (xi ) ≥ 0 para todo l y, por lo tanto, Ui (xi ) ≥ 0 para todo i y la subasta es individualmente racional.. 4.2.. Compatibilidad con incentivos. Para evaluar si la subasta es compatible con incentivos se tiene que definir β li (pl ) l. y β i (pl ) como los mensajes de mı́nimo y máximo, respectivamente, entregados por el jugador i al subastador en el momento l. 52.
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