Aplicación de teoría de juegos a cadenas de suministro, múltiples vendedores-múltiples compradores
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(2) 1 Introducción Día a día el interés de académicos y prof esionales por mejorar la ef iciencia en las operaciones y reducir los c ostos en la cadena de suministros está creciendo. Est a ev olución depende de la ef iciencia de las estrategias y decisiones t omadas por los diferent es agentes de la cadena. Por lo anterior es m uy interesante analizar y entender el impacto de dichas decisiones en los objetivos de los agentes. Para m odelar y entender adecuadam ente un escenario multi-agente c on m últiples decis iones es útil us ar teorí a de juegos. Esta herramienta ay uda a los gerentes de las cadenas de suministros a entender y predecir decisiones estratégic as com plejas, que satisf agan sus interes es. La teoría de juegos permite analizar las posibles decisiones que puede tomar un agent e en un sistema. Ejem plos de est as pueden s er: los precios del producto, los tam años de lote, los tiem pos de entrega, las estrategias de coordinación, entre otras. Esta poderosa herramient a permite modelar situaciones donde los agentes busc an m aximizar su utilidad bas ados en las decisiones de los otros agent es. La aplicación de la teoría de juegos en cadena de suministros se div ide en dos grandes pers pectiv as: Modelos No-cooperativos y Modelos Cooperativos. Estas aproximaciones son complet amente diferentes tanto en la teoría c om o en la metodología, pero pueden ser usadas para analizar la misma situación. Los modelos No-cooperativos están orientados a m aximizar la utilidad de cada agente de la cadena de suministros, sin t ener en cuenta las dec isiones que puedan ser tom adas por los demás. En este tipo de modelos se utiliza la dominanc ia de un agente sobre los otros para hacer el análisis teóric o. Por otro lado, los modelos cooperativ os buscan maximizar la utilidad conjunt a de los agentes de la cadena. Este tipo de modelo resulta int eresante, y a que no todos los agent es v an a obtener benef icios adicionales al cooperar. Para incentiv ar la cooperación de los dif erent es miembros de la cadena de suminist ros se han diseñado estrat egias como: desc uentos por cantidad, negociac ión, opciones de crédito, cantidades flexibles, entre otras. Esto permit e la participación de todos los agent es de la cadena, para diseñar una política conjunta gana-gana, donde todos obtengan mejores benef icios. Modelos básicos c om o la relac ión vendedor-comprador en la cadena de suministros represent an la interacción entre un productor/vendedor, quien v ende al por may or un product o a un minorist a/com prador y éste a su vez v ende al público el producto. Las decisiones de negociación entre éstos dos agent es son com únmente el precio de compra del product o y el tamaño de lote. Al aumentar la cantidad de agent es en una cadena de suministros, el anális is de las dif erentes estrat egias y decisiones que pueden s er tomadas por los mism os se t orna com plejo. Es por esto que la teoría de juegos result a ser una herramienta interes ante para analizar este ent orno, y encontrar soluc iones ef icientes, aunque estas no s ean óptim as para cada uno de los agentes. El anális is res ult a útil para el benef icio de todos los miembros de la cadena. Este tipo de soluc iones se conocen como soluc iones de Equilibrio de N ash. Este doc ument o se enf oca en la aplic ación de la t eoría de juegos a una c adena de suministros de dos niveles con v arios agent es. El primer niv el c orres ponde al productor/v endedor y el s egundo nivel al minorista/c omprador. El precio del product o es impuesto por el vendedor y el t amaño de lote por el comprador. El c omprador tiene una restricción presupuestal para ordenar y mantener en inv ent ario. Se asume que la demanda del cons umidor será elástic a con respecto a , entonces D αp , con α 0y0 1. Este supuestos han sido modelados en los trabajos de Urban (1969), W eatley y Chin (1977), Li (1993) Li y Huang (1995) y Charnes et al. (1995). Además, todos los modelos son de informac ión completa y de suma no cero. Inicialmente se modeló una c adena de suministros de dos niv eles conf orm ada por 1 v endedor y 1 comprador. Luego s e increm entó en cada niv el de la cadena de sum inist ros el núm ero de agent es, para llegar a modelos generalizados c omo 1 v endedor - m compradores, n v endedores - 1comprador, n vendedores - m c ompradores. Para los m odelos des arrollados en el doc umento, s e analizaron escenarios no c ooperativ os y cooperativ os. Para el modelo básico 1 v endedor - 1 comprador se implement aron estrat egias adicionales como: descuent os por cantidad, negoc iación “bargaining” y v alor de Shapley cooperativo. Cada uno de estos modelos cuenta con un ejemplo, sus res ultados son.
(3) pres entados en una tabla que permit e realizar comparaciones entre los dif erent es escenarios estudiados y analizar cuál es el escenario adecuado para los agent es de la cadena de suministros. La organización del trabajo se res ume a continuac ión. En la s ección 2 se enc uentra la rev isión de la literatura. La sección 3 pres ent a la not ación y supuestos generales de los modelos estudiados. La sección 4 muestra las dif erent es estruct uras de c adenas de suministros estudiadas y los escenarios de teoría de juegos propuestos para cada uno de estos. En la s ección 5 se pres enta un análisis de sensibilidad s obre los parám etros del m odelo no cooperativ o y cooperativo. La sección 6 pres ent a una aplicación del trabajo a una cadena de suministros de la vida real. Por último se concluy e sobre el trabajo y se presentan las pers pectivas de investigación futuras.. 2 Revisión de la literatura Las estrategias de negoc iación en cadenas de suministros son de particular interés, y a que estas pueden s er usadas para realizar operac iones m ás eficientes y que mejoren los benef icios de los agent es. En las dos últim as déc adas, los inv estigadores han mostrado un alt o interés por el estudio de la coordinac ión entre los dif erentes agentes de la cadena para mejorar su ventaja competitiva (Sarm ah et al., 2006). Dada la estruct ura de la cadena de suministros analizada en este trabajo, es necesario dif erenciar los doc umentos consult ados, por la estructura de c adena y los escenarios de teorí a de juegos utilizados.. 2.1 Estruc tura de la Cade na de Suministros 2.1.1. 1 Vendedor – 1 Co mpra dor. El modelo bás ico de est a investigac ión es la relación 1 v endedor - 1 c omprador, est e repres ent a la interacción que exist e entre un c om prador y un v endedor, donde el v endedor of rece un producto a un determinado precio y el comprador esc oge el tam año de lote adec uado (Banerjee, 1986; Li et al.,1993; Chiang et al., 1994; Huang et al., 2001; Li et al., 2002; H ennet et al., 2003; Chen et al.,2006; Gupt a et al., 2006; Sarm ah et al., 2006; Sucky, 2006; Yang et al.,2006; Yue et al., 2006; Dai et al.,2007; Darwis h, 2009; Esmaeili, 2009; Xie et al., 2009). El modelo básic o puede v ariar dependiendo de las caract erísticas del mis mo. En este sentido el modelo puede tener dem anda conocida o elástic a, o puede ser un juego de inf ormación completa o incompleta. En la m ay oría de los casos, las variables de interés pueden ser los precios y las cantidades de producto. Entre los modelos que no consideran int eracción ent re c om prador y v endedor se enc uentran los propuestos por Chiang et al. (1994), Corbett y Groot e (2000) y Vis wana-than y W ang (2003). Estos autores plantean una relac ión comercial c on bas e en el mecanismo de descuent os por cantidad. Abad y Jaggi (2003) estudian modelos de opciones de crédito. Por s u parte Sucky (2005, 2006), C han y Kings man (2007), Dai y Qi (2007) y Heuv el et al. (2007) determinan las cantidades óptimas a ordenar en una estruct ura cooperativ a con el f in de lograr ahorros máximos o aumentar la utilidad de toda la cadena de suministros. Los estudios que consideran la demanda v ariable, pero s in interacción entre los agentes s on los de Lee (1993), Abad (1994), Lee et al. (1996), Kim y Lee (1998), Jung y Klein (2001, 2005). Estos autores busc an maximizar la utilidad de las firmas y def inen que el precio podrí a depender de la dem anda sobre el horizont e de planeación. En este esquema F reeland (1982), Lee y Kim (1993, 1998) y Sajadi et al. (2005) modelan la inf luenc ia del prec io y el m ercadeo en la demanda. Huang y Li (2001) y Li et al. (2005) consideran la demanda v ariable, pero asumen que est a es igual al tamaño del lote. Ellos estudian el im pact o de inversiones en m arc a y publicidad bajo regímenes cooperativ os, donde el v endedor acepta compartir una fracción de los gastos en publicidad con el comprador. Yue et al. (2006) proponen un modelo sim ilar bajo el s upuesto que el v endedor ofrece una reducción de precio a los clientes..
(4) 2.1.2. 1 Vendedor – Múltiples Co mprado res. Muchos de los estudios desarrollados sobre el modelo básico han dado origen a documentos con uno o varios com pradores adicionales en la cadena de suministros. Es el cas o de Hai-jie Yu et al.,(2008), donde se presenta una estructura de 1 v endedor - 2 com pradores, se negoc ian dos tipos de productos. Hendon et al.(1991) des arrollaron un modelo basado en la negociac ión del precio. Ellos dem ostraron la existencia de equilibrios ineficient es por parte del com prador. Lu (1996) propone un m odelo donde el objetivo es minimizar el cost o total del v endedor sujeto a la maxim ización de los c ostos en que pueden inc urrir lo compradores. Yang et al. (2002) des arrollan un modelo mat em ático de integración de cost os del v endedor y de los compradores, dando como resultado una reducción en los costos totales, estos costos son comparados con los obtenidos cuando los agentes actúan por s eparado. Siajadi et al., (2006) proponen un modelo de tamaño económico de lot e conjunto, adem ás se encuentran políticas optim as de env íos que minimizan el costo tot al conjunt o. Abdul-J albar et al. (2007) desarrollaron un modelo integrado de inv entarios para minimizar el cost o total conjunto. Chichuluun et al., (2008) analizan una cadena de suministros donde se presenta un control c ent ralizado con el f in de maximizar la utilidad global del sistema y enc ontrar las ordenes óptimas para los 2 compradores. Zav anella et al. (2009) proponen un m odelo int egrado de producc ión-inventario, donde el objetiv o es minimizar tanto los costos totales del v endedor como los de los compradores y encontrar las políticas óptimas de reaprovisionam iento. Los anteriores estudios han perm itido la generalización de distintos tipos de modelo con las estruct ura 1 v endedor - múltiples compradores (Lu, 1995; Yang et al., 2002; Siajadi et al., 2006; Chan et al., 2007; Woo et al., 2007; Sarmah et al., 2008; Zav anella et al., 2009). Estos est udios se dif erencian en los objetiv os propuestos, v ariables estudiadas, restricciones de los agentes, costos utilizados, esc enarios analizados, nat uraleza de la dem anda, ent re otras característic as que inf luencian notablemente los modelos.. 2.1.3. 2 Vendedores – 1 Comprador. Los estudios de c adenas de s uministros con 2 v endedores y 1 com prador han sido poco estudiados por la com plejidad en su desarrollo. Janssen et al., (1999) desarrollo un modelo de inv entarios c on dos prov eedores/v endedores, donde s e busca enc ontrar las políticas optimas de reaprovisionam iento cuando los prov eedores actúan juntos y cuando cada uno actúa de f orma independient e. Aunque el est udio de J aber et al., (2008) tiene en c uenta una estructura de cadena de suministros de 3 niv eles, es interes ant e analizar las estrat egias de c oordinac ión de 2 niv eles de esta c adena de s uministros. Los niv eles conf ormados por 2 v endedores y 1 com prador ref lejan algo similar a una cadena de sum inistros conform ada por 1 vendedor y 1 comprador, donde al cooperar no todos los agentes de la cadena reciben benef icios adicionales.. 2.1.4. Múltiples Vended ore s – 1 Co mpra dor. Ganes han (1999) presenta el estudio de una cadena de suministros de tres niveles, m últiples v endedores, un comprador y múltiples minoristas, en este cas o es interesante not ar las estrategias usadas para la coordinación entre los agentes que pertenecen a los dos primeros eslabones de la cadena analizada, donde se enf ocaron en políticas optimas de inventario y estrategias de trans porte. Burke et al., (2008) estudian un modelo de estrategias de precios, donde el com prador demanda una cantidad de producto y los v endedores dan ciertos niveles de precio y capacidades de producción. Basado en esta inf ormación, el c om prador escoge a c uales v endedores v a a realizar el pedido. Además se analizan estrategias de descuentos lineales, incrementales y en todas las unidades. Liang et al. (2009) estudian una cadena de suministros reparable, donde el objetiv o es encontrar los tiem pos de suministros adec uados, analizando dif erentes mét odos como v ariable complem ent aria, proc esos Markov ianos y transformación de Laplac e..
(5) 2.2 Escenarios de Te oría de Juegos 2.3.1. Juegos No Cooperativos. Los modelos no c ooperativ os se c aracterizan por la maximización de la utilidad de c ada agent e de ac uerdo a una predicción racional de c óm o s e des arrollarí an las estrategias por parte del otro agent e, sin ac ordar alguna estrategia conjunta. En est e contexto las decisiones tomadas por los agent es af ectan las utilidades percibidas por los dem ás (Cac hon, 2004). Las soluc iones a est e modelo son conocidas como Equilibrio de Nash, introducido por Nas h (1950) y el equilibrio de Stack elberg (1934). Los autores pres entados a continuación han analizado este tipo de juegos en sus trabajos: Lee (1993), Abad (1994), Lu Lu (1995), Ganeshan (1999), Corbett et al. (2000), Huang et al. (2001), Abad et al. (2003), Cachon et al. (2004), C han et al. (2007), D ai et al. (2007), Dai et al. (2005), Jung et al. (2001, 2005), Sajadi et al. (2005), Yang, Shan-Lin et al. (2006), Heuv en et al. (2007), Es maeili et al. (2009), Lee et al. (1996, 1998), Li (1993), Li et al. (1995, 2002), Yang et al.(2002), Chen Yuh-W en et al. (2005), Sarmah et al. (2006), Siajadi et al. (2006), Chinchuluun et al. (2008), Jaber et al. (2008), York Y. Woo et al. (2008), Yu Hai-Jie et al. (2008), Sarmah et al. (2008), Darwish (2009), Janssen et al. (2009), Xiao-Lin Liang et al. (2009).. 2.3.2. Juegos Cooperativos. Los juegos cooperativ os f ueron introducidos por v on Newmann and Morgestern (1994). Est e tipo de juegos tienen en cuenta la creación de acuerdos entre los agentes de la c adena que puedan maximizar la utilidad c onjunta. Los autores presentados a continuación han analizado est e tipo de juegos en sus trabajos: Freeland (1982), Banerjee (1986), Charnes et al. (1995), Lu Lu (1995), Ganes han (1999), Abad et al. (2003), Cac hon et al. (2004), Chen Miao-Sheng et al. (2006), Jung et al. (2001, 2005), Kim (1998), Lee W. et al. (1993, 1998), Li et al. (1995, 2002), Yang et al.(2002), Chen Yuh-Wen et al. (2005), Gupta et al. (2006), Sarmah et al. (2006), Siajadi et al. (2006), Yue et al. (2006), Abdul-J albar et al. (2007), Chan et al.(2007), Chinc huluun et al. (2008), Jaber et al. (2008), Sarm ah et al. (2008), York Y. W oo et al. (2008), Yu Hai-Jie et al. (2008), Esmaeili et al. (2009), Janssen et al. (2009), Xiao-Lin Liang et al. (2009), Zavanella et al. (2009).. 2.3.3. De scuent os por Cantidad. Este tipo de juegos consiste en la creac ión de un incentivo de un agente hacia otro, para aumentar los niv eles de benef icio de este agente. Un ejem plo bastante est udiado es la estrategia de reducción de precios a m edida que el t amaño de lot e aum ent a, reduciendo los c ostos de operación y aumentando la utilidad de los agentes involucrados en est a estrategia. Los autores presentados a continuación han analizado este tipo de juegos en s us trabajos: Chiang et al. (1994), Li et al. (1995), Corbett et al. (2000), Viswanat han et al. (2003), D ai et al. (2007), Burke et al. (2008).. 2.3.4. Nego ciación “Bargaining”. En años recientes se ha inc rementado la literatura ref erent e al us o de los modelos de bargaining para analizar los proces os de negociación y coordinación de la cadena de s uministros. En un juego de bargaining, dos o más jugadores que tienen ciertas pref erencias negocian para encontrar una estrategia mixta que sea justa y satisf actoria para c ada uno de ellos (C hichuluun et al., 2008). A continuación se pres ent a una selección de los aut ores cons ultados que han utilizado este modelo en sus trabajos: Nash (1950), Hendon et al. (1991), Sucky (2005, 2005), Chic huluun et al., (2008).. 2.3.5. Valor de Shapley Coope rativo. El v alor de Shapley trata de buscar una distribución de pagos entres los jugadores de manera que se cumplan determinados criterios, llamados axiom as, prev iam ente establec idos (Shapley ,.
(6) 1953). En c adenas de suministros, est a estrategia de repartición es utilizada para la distribución de la utilidad cooperativa entre los agent es que hacen parte de c oaliciones o f orman de una estrategia conjunta (Bartholdi, 2004; Thun, 2005). H ubert et al., (2003) utiliza el v alor de Shapley como un alternativ a de solución para negociaciones multilaterales ent re v arios agentes. Por otro lado, Quigley et al., (2007) utiliza el Valor de Shapley para enc ontrar un precio just o entre varios compradores, que los lleves a cumplir sus metas. ). A continuación se pres enta una selecc ión de los autores consult ados que han utilizado est e m odelo en s us trabajos: Hubert et al. (2003), Bartholdi et al. (2004), Chen Yuh-W en et al. (2005), Thun Jörn-Henrik (2005), Quigley et al. (2007).. 2.3.6. Re sumen e strategias de teoría de juegos. La Figura 1 representa la f recuencia de los escenarios estudiados que han sido utilizados por los aut ores ref erenciados en el docum ento. Est a muestra claramente que los autores ref erenciados se han inclinado más por el estudio de los m odelos No cooperativ os y Cooperativ os que por el estudio de m odelos como descuentos por c antidad, negociación “bargaining” o v alor de Shapley cooperativ o. Adem ás, se puede notar que la gran may oría de autores cons ult ados trat an de analizar el modelo N o c ooperativ o y Cooperativ o en sus doc umentos, c on el f in de inferir sobre cual modelo genera may ores niv eles de benef icios a los agentes.. 40 35 30 25 20 15 10 5 0. 34. 32. No Cooperativo. Cooperativo. 6. 5. 4. Descuentos x Cantidad. Bargaining. Shapley Cooperativo. Figura 1. Frecuencia Escenarios Teoría de Juegos. La Figura 2 repres ent a la frecuencia de los tipos de estructura presentes en los documentos rev isados. Se puede notar un gran estudio de cadenas de suministros c onf orm adas por 1 Vendedor y 1 Com prador, dado que est e tipo de modelo es la bas e para el análisis de modelos complejos o con la presencia de más agentes. Por otro lado, el número de doc ument os que han estudiado estruct ura de cadenas de suministros dif erentes a la ant erior es m uc ho menor, una de las razones puede ser la complejidad de su análisis.. 40 35 30 25 20 15 10 5 0. 36. 8. 1V ‐1C. 1V‐2C. 7. 1V‐mC. 2. 3. 2V‐1C. nV‐1C. Figura 2. Frecuencia Estructura cadena de sum inistro.
(7) 3 Not ación y supuestos generales A continuación se pres enta una descripción general de los parámetros y v ariables de los problemas. Post eriormente se presentan los s upuest os generales de los problemas.. 3.1 Formulación del proble ma Parámetros: = Costo de ordenar del v endedor = Costo de ordenar del comprador = Tas a de interés anual para m antener en inv entario del comprador = Limit e presupuestal para mantener en inv entario y ordenar del comprador = Margen de ganancia del vendedor 1 = Margen de ganancia del comprador 1 = Dem anda anual promedio Variables de dec isión: = Precio de v enta del v endedor al com prador = Tam año de lote puesto por el comprador para el vendedor.. 3.2 Supuestos Generales Los m odelos propuestos en este doc umento están basados en los siguientes supuestos generales. • • • • •. Los parámetros de los problemas s on determinísticos y conocidos por todo los agent es de la cadena. El v endedor no tiene inv entarios. El v endedor det ermina el prec io del producto y el com prador el tamaño de lote a ordenar. La tasa de producción del v endedor es may or o igual que la dem anda, para evitar costos de f altantes. Se as ume que la demanda del consumidor es elástica c on respecto a entonces , con 0 y0 1. Este supuesto ha sido modelado en los trabajos de Urban (1969), Weatley et al. (1977), Li (1993), Li et al. (1995) and C harnes et al. (1995).. 4 Estruct uras de cadenas de suministro estudiadas 4.1 Mod elo 1 Vendedo r – 1 Co mprador 4.1.1. Mod elo Vendedor. El objetiv o del vendedor es enc ontrar el precio de v enta, tal que su niv el de utilidad anual promedio sea m áximo. El v endedor debe c onsiderar la restricción presupuestal para m ant ener en inv entario y ordenar del comprador (2). El modelo matemático se pres ent a a continuación. (1). max . .. (2) (3).
(8) 4.1.2. Mod elo Comprado r. El objetiv o del comprador es encontrar el tamaño de lote, tal que su niv el de utilidad anual promedio sea m áxim o. El comprador no puede exceder su nivel de presupuesto para mantener en inventario y realizar órdenes. El m odelo mat emático se presenta a continuación. (4) (5) (6). . .. A continuación se pres enta la Figura 3, la c ual describe la estructura de la cadena de suministros analizada en esta sección.. Vendedor. Produc to. Precio. Comprador. Demanda. Tama ño de lot e. Figura 3. D escripción cadena de suministros. 4.1.3. Esce narios estudiados. 4.1.3.1 Mo delo No coope rativo En el modelo no c ooperativ o considerado en este trabajo, cada agent e busca m aximizar su utilidad de ac uerdo a una predicción racional de cómo debería desarrollar su estrategia si este f uese el otro agent e. Los agent es no pueden desarrollar estrategias conjuntas. Se analizarán dos casos, cuando cada agente dom ina la c adena.. 4.1.3.1.1 Mo delo No coope rativo: Vendedor como líder (Vendedor Sta ckelberg ) La interacción ent re el v endedor y el comprador es m odelada como un juego no cooperativ o de informac ión com pleta de dos etapas. El v endedor como líder im pone el precio , ent onces el comprador c omo seguidor c alcula su niv el de tamaño de lote . En t eoría de juegos el v endedor y el comprador definirán estrat egias que sean s oluciones de tipo Equilibrio de N ash (EN) bajo las condiciones impuestas por el agente que domina el juego. Este tipo de solución describe c ómo los jugadores deberían actuar si ellos desean encontrar un plan de estrategias tal que no exista una mejor alternativa para cada uno de ellos con respecto a la gananc ia percibida. Para determinar el equilibrio del v endedor, es nec esario res olv er la función objetiv o del comprador. Esto garantiza un valor óptimo de ; este valor es independiente de la dec isión que tome el v endedor. Para resolver este modelo, se aplicaron las c ondiciones de optimalidad de Karush-Kuhn Tucker (KKT) a las ecuaciones (4) y (5), se obt uvieron el siguiente c onjunto de ecuaciones (Apéndic e B). (7) =0. (8).
(9) Donde 0 es el multiplic ador Lagrangiano, las soluciones para el modelo no cooperativo con dominio del v endedor se pres ent an a continuación: (9) (10). 4.1.3.1.2 Modelo No coope rativo: Co mp rado r co mo líder (Comp rador S tackelberg ) En este escenario, el com prador como líder especifica el tamaño de lote , entonces el v endedor decide su precio . El problema es resuelto encontrando las s oluc iones para el problema de optim ización del v endedor. Al igual que en el caso anterior, este modelo s e resuelv e aplic ando las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker (KKT). En el Equilibrio de Nas h, este conjunto de soluc iones res ulta ser el mis mo al obt enido en el escenario no cooperativ o con dominio del v endedor (Apéndic e B):. El valor del multiplicador Lagrangiano es obtenido y se presenta a continuación.. (11). 0. 4.1.3.2 Mo delo Coo perativo En la ant erior secc ión, la decisión de cada agent e estaba inf luenc iada por la decisión del agent e dominant e. En este c aso no existía algún control sobre el agent e que lideraba el juego, ya que los agent es no estaban cooperando. En esta sección, el modelo donde los dos agentes pueden ejercer algún control sobre el otro es estudiado. El c om prador y el v endedor tienen una función de utilidad conjunta; su objetiv o es maximizar la suma de las f unciones objetiv os de los agentes, sujeto a la restricción presupuestal del com prador. En teoría de juegos este tipo de juegos se c onoce c omo juegos c ooperativ os. El modelo es presentado formalm ente a continuación. (12). max ,. (13). . .. (14) Aplicando las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tuck er a (12) y (13), las siguientes soluc iones de fueron enc ontradas (Apéndice C).. (15) (16) El multiplicador Lagrangiano 1. para el m odelo cooperativo es: (17). 1. Dado que 0, 0, 0, entonc es la solución encontrada para (15) y (16) respectiv amente es la s oluc ión óptima de este modelo.. y. obtenida en.
(10) Con los res ultados del modelo no cooperativo y no cooperativ o, las estrategias del vendedor y del comprador pueden ser comparadas m ediante las siguient es relaciones , , , y , donde el asterisco indic a el modelo no cooperativ o y el dobl e asterisco indic a el modelo cooperativ o.. 4.1.3.3 Mo delo No coope rativo con Descuen tos po r Cantidad En esta s ección, un m odelo de descuentos por cantidad es presentado. Este m odelo f ue diseñado con el f in de inc entiv ar la cooperación del c omprador m ediante un incremento en s u utilidad. Est a estrat egia está inspirada en una relación entre el precio óptimo y el tamano de lote óptimo encontrada en el modelo cooperativ o. Sustituyendo las ecuac iones (15), (16) en la relación. , se. obtiene el siguiente resultado: (18) La ecuación (18) ev idencia una estrat egia de desc uentos por cantidad, con los parámetros conocidos , , , , , , y , para un menor precio el tamaño de lote será m ay or. Est o permite la presentación de un esc enario donde exist a un agente externo o un agente dom inant e en la cadena, que regule el precio y el tam año de lote negociado. Dado que el v endedor recibe may ores benef icios al c ooperar que el com prador, est e agente estará interesant e en proponerle una estrategia de descuent os por c antidad para obtener una utilidad m ay or a la del modelo no cooperativ o. Est a estrat egia se basa en la inclusión de un f actor de regulac ión en la ecuación (18). Adem ás, un f actor γ es introducido para ilustrar la relación entre el precio y el tamaño de lote. La ec uación para el f actor γ se presenta a c ontinuación: (19) El modelo no c ooperativo c on desc uentos por cantidad busca maximizar la utilidad de los agentes de la cadena, sujet o a la restricción pres upuest al. Est e modelo s erá analizado cuando cada agent e tiene el dominio de la cadena.. 4.1.3.3.1 Mo delo No coope rativo con De scuentos po r Cantidad: Do minio Vend edor Para resolver est e escenario, es nec esario tener en cuenta que el precio esta dado por el v endedor, y a que este es el líder de la c adena. Entonces el comprador debe ajust ar su tamaño de a esta decis ión. Con 0, = , y la condición de regulación enc ontrada en (19), el lote modelo del comprador estará dado por: max. 1 . .. (20) (21). Como en los ant eriores escenarios, este modelo es res uelt o encontrando las soluciones EN. Para garantizar la maximizac ión de la ec uación (20), la desigualdad de la ec uación (21) será de estrict a igualdad. Bajo estas condiciones, este modelo es res uelto a optim alidad y se obtuv ieron los siguientes v alores para , . (22) (23).
(11) 4.1.3.3.2 Modelo No cooperativo con De scue ntos p or Cantidad: Do minio Comprado r Lo contrario sucede cuando el comprador es el lí der, ya que este impone su tam año de lote y el v endedor deberá ajustar el precio a esta decisión. Con 0, = , y la condición de regulación encontrada en (19), el modelo del vendedor estará dado por: (24). max. (25). . .. Este m odelo es res uelt o encontrando las s oluc iones EN. En el Equilibrio de Nash estas soluciones resultan ser las mism as a las encontradas en el modelo no cooperativ o con descuent os por cantidad con dom inio del v endedor.. 4.1.3.4 Mo delo de Negociación: Barg aining En la secc ión 4.1.3.2, se dem ostró que el vendedor recibe mayores benef icios al cooperar que el comprador; por esto se diseñó un modelo de negoc iación, donde el v endedor da una parte de sus benef icios al com prador para incentiv ar su cooperac ión. Este modelo tom a en cuent a una restricción adic ional (28), la cual asegura una ganancia del comprador m ay or o igual a la obtenida en el modelo , el siguiente m odelo se present a. no cooperativ o. Con 0, 0, 0, max. ,. (26). ,. (27). . .. (28) Para resolver est e modelo, se usaron las condiciones de optim alidad de Karus h-Kuhn-Tucker. Los resultados obtenidos para y son los m ismos a los obtenidos en el modelo cooperativo. Adem ás, se enc ontró el valor de cantidad que el vendedor da al comprador para incentivar su cooperación. (29). 1. 4.1.3.5 Mo delo Valor de Shapley coope rativo Esta s ección m uestra la aplicación del valor de Shapley para repartir las utilidades obtenidas en el modelo cooperativ o. Con este m étodo se busca enc ontrar una distribución que cumpla determinados es conocida como el v alor de Shapley y se recoge criterios llamados axiomas, esta asignación en el siguiente t eorem a (Pérez et al, 2004). ∑. (30). Donde !. ! !. (31). represent a la pertenecía de la coalición a las posibles estrategias de cada jugador . En la aplic ación del valor de Shapley a una cadena de s uministros de dos jugadores, se tendrá es equiv alente a las utilidades f inales recibidas des pués de la repartición. Además, se que deduc en las siguient es relaciones: 0 1 2 1,2. (32) (33) (34) (35).
(12) Teniendo en cuent a los resultados óptim os obtenidos en los escenarios no cooperativo, cooperativ o, las ecuaciones (30), (31), (32), (33), (34) y (35) se obtienen las siguientes relaciones: , , .. 4.1.4. Resu men resultados co mputa cionales. Para ilustrar los result ados de todos los m odelos estudiados prev iam ent e, se diseño un ejem plo con los s iguientes parám etros: K 1.3 , M 0.3 , α 10.000 , β 0.01 , H 0.35 , S 3.000 .000, 5.000.000, B 20.000.000. L os result ados obtenidos para c ada escenario se presentan en la S Tabla 1. Variable/Escenario. No cooperativo. C ooperativo. NC Descuentos por C antidad(θ=1.05). B argaining. Valor de Shapley. p. 21.041,2. 20.928,2. 21.026,2. 20.928,2. 20.928,2. Q. 2.715,8. 2.929,5. 2.789,9. 2.929,5. 2.929,5. π. 40.476.190,5. 41.387.648,8. 40.878.580,7. 41.387.648,8. 40.780.009,9. π. 37.142.857,1. 36.839.037,7. 37.102.539,1. 36.839.037,7. 37.446.676,6. Z. 303.819,4. π. Z. 41.083.829,4. π. Z. 37.142.857,1 Tabla 1. R esultados com putacionales 1 v endedor – 1 comprador. 4.1.5. Con clusiones pa rciales: Modelo 1 Vended or – 1 Comprado r. En las ant eriores secciones s e analizaron 5 dif erent es estrategias de teoría de juegos en un modelo de 1 v endedor y 1 c omprador. En los esc enarios, no c ooperativos y descuent os por cantidad se encontraron soluciones del Equilibrio de Nas h. El modelo cooperativ o da mejores benef icios al v endedor con res pect o al modelo no c ooperativo, los niv eles de utilidad del comprador se reduc en al pasar del modelo no cooperativo al cooperativo. Por esta razón se diseñó un modelo de descuentos por c antidad, donde el agente lí der o un agent e externo pueden c ont rolar el nivel de precio y cantidad tranzada, para benef iciar a algún agente en particular. Adem ás, se planteó y desarrolló un escenario de negoc iación “bargaining”, donde el agent e benef iciado del juego c ooperativ o, en este cas o el v endedor, da al c omprador una part e de s us ganancias, y se asegura que el com prador obtenga una ganancia may or o igual a la obtenida en el modelo no cooperativ o, para así garantizar la c ooperación de este agent e. Finalmente, la estrat egia de repartición de utilidades mediant e el v alor de Shapley es una buena alternativ a, y a que ambos agentes siempre recibirán ganancias may ores a las obt enidas en el modelo no c ooperativo.. 4.2 Modelo 1 Vendedor – 2 Compra dores 4.2.1. Mod elo Vendedor. El objetiv o del vendedor es enc ontrar un único precio de v enta para los dos compradores , tal que su nivel de utilidad anual promedio sea máxim o. El v endedor debe considerar las restricciones pres upuestales para m ant ener en inv ent ario y ordenar de los compradores (37). El modelo matemátic o se presenta a continuación. max. ∑ . .. (36) (37) (38).
(13) 4.2.2. Mod elo Comprado re s. El objetiv o de cada comprador es encontrar el tam año de lot e , tal que su niv el de utilidad anual promedio sea máxim o. Cada c om prador no puede exc eder s u niv el de presupuesto para mantener en inventario y realizar órdenes. El m odelo mat emático se presenta a continuación. (39) (40) (41). . .. A continuación se pres enta la Figura 4, la c ual describe la estructura de la cadena de suministros analizada en esta sección.. Producto. Comprador 1. Demanda 1. Vendedor Producto. Precio. Comprador 2. Demanda 2. Tama ños de lot es. Figura 4. D escripción cadena de suministros. 4.2.3. Esce narios estudiados. 4.2.3.1 Mod elo No cooperativo En el modelo no c ooperativ o considerado en este trabajo, cada agent e busca m aximizar su utilidad de ac uerdo a una predicción racional de cómo debería desarrollar su estrategia si este f uese el otro agent e. Los agent es no pueden desarrollar estrategias conjuntas. Se analizarán dos casos, cuando domina el vendedor y cuando dom ina algún comprador.. 4.2.3.1.1 Mo delo No coope rativo: Vendedor como líder (Vendedor Sta ckelberg ) La interacción entre el vendedor y los com pradores es modelada c omo un juego no cooperativ o de informac ión com plet a de dos et apas. El v endedor como líder impone el precio , entonces los compradores como seguidores calc ulan sus niv eles de tam años de lot e . En teorí a de juegos el v endedor y el comprador def inirán estrategias que sean soluciones de tipo Equilibrio de Nash (EN) bajo las c ondiciones impuestas por el agente que domina el juego. Para det erminar el equilibrio del vendedor, es necesario resolv er la f unción objetiv o de c ada comprador por apart e. Adem ás, el v endedor debe tener en c uenta la restricción pres upuestal de cada comprador. Esto garantiza la obtención de valores óptimos para los . Las soluciones de este modelo se present an a continuac ión. min. (42) (43).
(14) 4.2.3.1.2 Mod elo No cooperativo: Algún comprado r co mo líder (Co mp rado r i Sta ckelberg) En este esc enario, cuando domina algún comprador, este es pecif ica su tam año de lot e , entonces el vendedor decide el precio que maxim ice s u utilidad sujeto a las restricciones pres upuestales de los compradores, posteriorm ent e con el precio hallado por el v endedor, el otro comprador calcula su . Este problema es resuelto enc ontrando las soluciones para el problema de optim ización del v endedor. Al igual que en el c aso anterior, en el Equilibrio de Nas h, est e conjunto de soluc iones resulta ser el m ismo al obtenido en el esc enario no cooperativ o con dominio del vendedor.. 4.2.3.2 Mo delo Coo perativo Este modelo analiza la integración de todos los agent es de esta cadena con una solo objetivo, maximizar la utilidad conjunta de los mis mos, sujet o a la pareja de restricc iones presupuestales de los compradores. Est os agentes deben encontrar el c onjunto de tamaños de lotes y precio que maximicen dic ha utilidad. A c ontinuación se presenta la f ormulación m atemátic a de este problema. max. ∑. ,. ∑. (44) (45) (46). . .. Dada la c om plejidad analític a de este m odelo, se utilizará la herramient a de programación no lineal GAMS para solucionar a optimalidad est e problema.. 4.2.3.3 Mo delo Alianza entre Vended or y Co mp rado r i Este modelo consiste en la alianza entre el v endedor y algún comprador de la cadena de suministros. Donde estos dos agentes entrarí an a un juego c ooperativ o de dos jugadores, 1 v endedor que pertenezca a la alianza, - 1 comprador, ellos c alc ulan el v alor del precio y el tamaño de lote por otro lado el c omprador c omo seguidor recibirá es e precio y calculará s u que no pertenece a la alianza y que maxim ice su utilidad, v ale la pena notar que dado el prec io por el v endedor, el comprador que no está en la alianza puede no partic ipar en el juego, ya que puede exc eder su restricción presupuestal. max. ,. /. . .. (47) (48) (49). La solución a est e m odelo es la mis ma a la obtenida en el modelo cooperativo 1 v endedor - 1 comprador. (50) (51). el. Por otro lado, el comprador que no pertenece a la alianza deberá calcular s u tamaño de lote dado por el v endedor. Este v alor se pres enta a c ontinuación.. (52).
(15) 4.2.4. Resu men resultados co mputa cionales. Para ilust rar los resultados de los modelos estudiados prev iam ent e, se diseño un ejem plo con los siguientes parámet ros: K 1.3, 1.3 , M 0.3 , α 1.100.000 , β 0.4 , H 40, 35 , S 2.400 , 300,250 , B 325.000, 400.000 . Los result ados obtenidos para cada esc enario se presentan S en la Tabla 2. Variable/Escenario. No cooperativo. C ooperativo A lianza V - C 1. Alianza V - C 2. 10,1. 9,8. 9,1. 32,4. 805,8. 949,3. 1.114,4. NF. 1.949,7. 2.022,6. 866,72. 414,7. 803.339,7. 946.048,5. 240.596,6. 768.567,3. 995.312,5. 969.461,9. 500.000,0. NF. 920.312,5. 894.461,9. 555.937,6. 425.000,0. Tabla 2. Resultados com putacionales 1 vendedor – 2 com pradores. 4.2.5. Con clusiones pa rciales: Modelo 1 Vended or – 2 Comprado res. En este c aso se analizaron 4 dif erentes modelos para la estructura de c adena de s uministros 1 v endedor - 2 compradores. Se puede not ar que el agente benef iciado al c ooperar es el v endedor, ya que su nivel de utilidad se incrementa, por otro lado los compradores no estarían interes ados en hacer parte del juego cooperativ o dado que s us niv eles de utilidad se reduc en. Se puede notar que con respect o al modelo no cooperativo, el precio disminuye y los tamaños de lote aum ent an en el modelo cooperativo. Se analizaron dos modelos adicionales, alianzas entre agentes de distintos niveles de la cadena, en este c aso 1 v endedor y 1 com prador. Cuando el v endedor se alí a con el comprador 1, los dos reciben niv eles de utilidades m uy inf eriores a los percibidos en los ant eriores modelos, es por esto que est a alianza no es conv eniente para estos agentes. Por otro lado, cuando se alí an el v endedor y el comprador 2, s e nota que el prec io adquiere un nivel muy alto, esto prov oca que el c omprador 1 no pueda participar de est e juego con estas condiciones, adem ás se nota que esta alianza aunque genera mejores niv eles de utilidad, no está generando el valor esperado, es decir, no es conv eniente para los agentes de la cadena de suministros.. 4.3 Modelo 1 Vendedor – m Com pra dores 4.3.1. Mod elo Vendedor. Al igual que el modelo ant erior el objetivo del v endedor es encontrar un único precio de venta para los dos com pradores, tal que su niv el de utilidad anual promedio sea máximo. El vendedor debe considerar las restricciones presupuestales para mantener en inv entario y ordenar de los compradores (54). El modelo matemático se pres enta a continuac ión. max. ∑ . .. 4.3.2. (53) (54) (55). Mod elo Comprado re s. El objetiv o de cada comprador es encontrar el tamaño de lot e, tal que su niv el de utilidad anual promedio sea máxim o. Cada c om prador no puede exc eder s u niv el de presupuesto para mantener en inventario y realizar órdenes. El m odelo mat emático se presenta a continuación..
(16) (56) (57) (58) A continuación s e pres enta la Figura 5, la c ual describe la estructura de la c adena de suministros analizada en esta s ección.. Comprador 1. Demanda 1. Producto. Vendedor. .. .. .. .. .. .. . Producto. Precio. Comprador m. . Demanda m. Tamaños de lotes. Figura 5. Descripción cadena de suministros. 4.3.3. Escenarios estudiado s. 4.3.3.1 Modelo No coope rativo En el modelo no cooperativ o considerado en est e trabajo, cada agente busca m axim izar su utilidad de ac uerdo a una predicción racional de c ómo debería desarrollar su estrategia si este f uese el otro agent e. Los agentes no pueden desarrollar estrat egias conjunt as. Este modelo es la generalización del modelo propuesto en la sección ant erior.. 4.3.3.1.1 Mo delo No coope rativo: Vendedo r co mo líder (Vendedo r Stackelberg ) La interacción entre el v endedor y los compradores es m odelada como un juego no cooperativo de inf ormación completa de dos et apas. El vendedor como líder impone el precio , entonces los compradores c omo s eguidores calcula sus niveles de tamaños de lote . En teoría de juegos el v endedor y el com prador def inirán estrategias que sean s oluciones de tipo Equilibrio de Nash (EN) bajo las c ondiciones im puestas por el agent e que domina el juego. Para determinar el equilibrio de los compradores, es nec es ario res olver la f unción objetiv o de c ada comprador por apart e. Además, c ada comprador debe tener en c uenta s u restricción presupuest al. Esto garantiza la obt ención de v alores óptimos para los . Las soluciones de este modelo se presentan a continuac ión (Apéndic e D). (59) (60). 4.3.3.1.2. Modelo No coope rativo: Algún comp rador como líder (Co mprado r i Stackelberg). En este escenario, cuando domina algún comprador, este especif ica su tamaño de lote , entonc es el v endedor decide el precio que maximice s u utilidad sujeto a las restricciones presupuestales de los compradores, posteriorment e con el precio hallado por el v endedor, los otros.
(17) compradores calculan su . Este problem a es res uelt o encontrando las soluciones EN para el problema de optimización del vendedor. Al igual que en el cas o anterior, en el Equilibrio de Nash, est e conjunto de soluc iones resulta ser el mismo al obtenido en el esc enario no cooperativo con dominio del v endedor (Apéndic e E).. 4.3.3.2 Mo delo Coo perativo Este modelo analiza la int egración de todos los agentes de esta cadena con un solo objetivo, maximizar la utilidad conjunta de los mis mos, sujet o a la pareja de restricc iones presupuestales de los compradores. Est os agentes deben encontrar el c onjunto de tamaños de lotes y precio que maximicen dic ha utilidad. A c ontinuación se presenta la f ormulación m atemátic a de este problema. max. ∑. ,. (61). ∑. (62) (63). . .. Para res olver este modelo se utilizará la herramient a de programación no lineal GAMS para soluc ionar a optim alidad est e problem a.. 4.3.4. Resu men resultados co mputa cionales. Para ilustrar los resultados de los modelos estudiados previamente, se dis eño un ejem plo de una cadena de suministros de dos niv eles c on 1 vendedor y 3 compradores. Los siguientes parámetros 1.25, 1.3,1.35 , M 0.3 , α 2.226.427.1, β 0.26, H 55, 30,45 , S 1.200, f ueron usados: K S 150, 175, 125 , B 300.000, 310.000 , 305.000 . Los resultados obtenidos para cada escenario se presentan en la Tabla 3. Variable/Escenario. No cooperativo 3,4. C ooperativo 3,3. 1.625,1. 1.751,6. 5.035,6. 5.076,9. 3.197,4. 3224.8. 2.711.916,0. 2.778.765,0. 1.063.636,4. 1.056.839,0. 1.326.363,6. 1.318.206,0. 1.604.090,9. 1.594.574,0. Tabla 3. Resultados com putacionales 1 vendedor – 3 com pradores. 4.3.5. Con clusiones pa rciales: Modelo 1 Vended or – m Co mprado res. En este c aso se analizaron 2 dif erentes modelos para la estructura de c adena de s uministros 1 v endedor - 3 compradores. Al igual que los modelos estudiados prev iam ent e, se puede notar que el agent e benef iciado al cooperar es el v endedor, ya que sus niv eles de utilidad aum ent an. Por otro lado, los compradores no est arían interesados en hacer parte del juego cooperativ o dado que sus niveles de utilidad se reducen. Al pasar del m odelo no c ooperativ o al cooperativo el precio dis minuye y los tamaños de lot e aumentan. Es interesant e not ar que en todos los esc enarios analizados prev iamente, la estrategia c ooperativa solo benef icia a un agente, el v endedor, quien percibe may ores niv eles de utilidad con respecto al m odelo no cooperativ o..
(18) 4.4 Modelo 2 Vendedores – 1 Compradores 4.4.1. Mod elo Vendedores. El objetiv o de cada v endedor es enc ontrar un precio de venta para el com prador, tal que sus niveles de utilidad anual promedio sean máximos. Cada v endedor debe c ons iderar la restricción pres upuestal del comprador para mantener en inventario y realizar órdenes. Est e m odelo pres ent a una rest ricción adicional (67), est a garantiza que el comprador solo pueda vender a un precio f inal , sin im portar que este les c om pre a los v endedores a dos precios distintos. Est a restricción tiene el fin de mostrar una competencia justa, donde el com prador v enda det erm inado producto a un precio . El modelo mat emático s e presenta a continuación.. (64). max . .. (65). ∑. (66) (67). 4.4.2. Mod elo Comprado r. El objetiv o del comprador es enc ontrar los tamaños de lot e óptimos a pedir a cada v endedor. El comprador no puede exc eder su nivel de pres upuesto para m antener en inventario y realizar órdenes, adem ás, este solo puede vender a un precio f inal. El m odelo mat emático se presenta a continuación.. . .. ∑. (68). ∑. (69) (70) (71). A continuación se pres enta la Figura 6, la c ual describe la estructura de la cadena de suministros analizada en esta sección.. Vendedor 1. Producto. Comprador. Vendedor 2. Precios. Demanda. Producto. Tama ños de lot es. Figura 6. D escripción cadena de suministros. 4.4.3. Esce narios estudiados. 4.4.3.1 Mo delo No coope rativo En el modelo no c ooperativ o considerado en este trabajo, cada agent e busca m aximizar su utilidad de ac uerdo a una predicción racional de cómo debería desarrollar su estrategia si este f uese el otro agent e. Los agent es no pueden desarrollar estrategias cooperativ as..
(19) 4.4.3.1.1 Mo delo No coope rativo: Vendedor j co mo líder (Vend edor j St ackelberg ) El vendedor j com o líder impone el precio , el v endedor seguidor calculará su prec io respectivo con la con la ec uación (71). Posteriormente, el com prador obt endrá los tamaños de lote óptimo informac ión sum inistrada por los vendedores y teniendo en cuenta s u restricción presupuest al. Est o garantiza la obt ención de valores óptimos para los tamaños de lote . A continuación se present an las soluciones de este problema.. (72) ∑. (73). 4.4.3.1.2 Mod elo No cooperativo: Co mp rad or co mo líde r (Co mprador Stackelberg) En este escenario, cuando domina el comprador, este especif ica los diferent es tamaños de lote a ordenar al v endedor , entonces los v endedores deciden s u niv el de precio s ujeto a la rest ricción pres upuestal del comprador y a la restricción de un solo precio f inal . Para la soluc ión de est e problema la tendenc ia c reciente de las f unciones objetiv o de los v endedores es muy important e, est o nos permite transformar los modelos de los vendedores en un s olo, donde la v ariable a m axim izar será el precio f inal , esto garantiza la m aximización de los prec ios . Este nuevo modelo se pres enta a c ontinuación. (74). max . .. (75). ∑. (76) (77) Para enc ontrar la s oluc ión a este problem a, se deben encontrar soluciones tales que m aximic en la nuev a f unción objetiv o y no sobrepasen la restricc ión presupuestal del comprador. Las soluciones obtenidas con el desarrollo del este problem a son iguales a las obtenidas en modelo no cooperativo con dominio de algún comprador. Este conjunto de soluciones encontradas representan el Equilibrio de N ash.. 4.4.3.2 Mo delo Coo perativo Este modelo analiza la integración de todos los agent es de esta cadena con una solo objetivo, maximizar la utilidad conjunta de los m ismos, sujet o a la restricción presupuestal y la restricción de un únic o precio f inal del com prador. Estos agentes deben encontrar el c onjunt o de tam años de lot es y prec ios que m aximicen dicha utilidad. A continuac ión se presenta la f ormulación matemática de est e problema. max. ∑. ,. . .. ∑. ∑. (78) (79) (80) (81). Para resolver este m odelo a optimalidad se utilizará la herramient a de programación no lineal GAMS..
(20) 4.4.4. Resu men resultados co mputa cionales. Para ilustrar los resultados de los modelos estudiados previamente, se dis eño un ejem plo de una cadena de suministros de dos niv eles c on 2 vendedores y 1 comprador. Los siguientes parámetros f ueron usados: K 1.3, 1.35 , M 0.3, 0.35 , S 110, 130 , B 500.000 , S 110, 130 α 1.100 .000 ,β Tabla 4.. 0. 4, H. Variable/Escenario. 40. Los result ados obtenidos para cada escenario se presentan en la. N o cooperativo Dominio algún Vendedor 25,75. N o cooperativo Dominio C omprador 25,75. C ooperativo. 19,80. 19,80. 19,78. 25,72. 19,07. 19,07. 19,05. 304,17. 304,17. 312,66. 339,52. 339,52. 347,98. π. 1.760.606,4. 1.760.606,4. 1.765.195,9. π. 2.048.702,1. 2.048.702,1. 2.052.255,0. π. 3.737.589,5. 3.737.589,5. 3.734.875,6. Tabla 4. Resultados com putacionales 2 vendedores – 1 com prador. 4.4.5. Con clusiones pa rciales: Modelo 2 Vended ore s – 1 Co mp radore s. En este c aso se analizaron 2 dif erentes modelos para la estructura de c adena de s uministros 2 v endedores - 1 comprador. Los result ados obtenidos del modelo no cooperativo con dominio de algún agente son iguales, se determina el Equilibrio de N ash. Se puede notar que los agentes benef iciados al cooperar son los vendedores, por otro lado el comprador no estaría int eres ado en cooperar dado que s us niveles de utilidad s e reducen. Viendo el modelo c ooperativ o, el precio es inferior y los tam años de lot e son may ores con respecto al modelo no cooperativ o. Aunque las v ariaciones en las v ariables est udiadas no son muy grandes, estas siguen la mis ma tendenc ia al pasar del modelo c ooperativ o al no c ooperativ o o v icev ersa en todos los m odelos planteados prev iamente.. 4.5 Modelo n Vendedores – 1 Com pra dor 4.5.1. Mod elo Vendedores. El objetiv o de cada v endedor es enc ontrar un precio de venta para el com prador, tal que sus niveles de utilidad anual promedio sean máximos. Cada v endedor debe c ons iderar la restricción pres upuestal del com prador para mantener en inv ent ario y realizar órdenes. Este modelo es la generalización del problema presentado en la sección ant erior. El m odelo matemátic o se presenta a continuación. (82). max . .. ∑. (83) (84) (85). 4.5.2. Mod elo Comprado r. El objetiv o del comprador es enc ontrar los tamaños de lote óptim os que va a pedir a cada v endedor. El comprador no puede exceder su nivel de pres upuest o para mantener en inv entario y.
(21) realizar órdenes, además, este solo puede vender a un precio f inal. El modelo matem ático se pres enta a c ontinuación. (86). ∑ . .. (87). ∑. (88) (89) A continuación se pres enta la Figura 7, la c ual describe la estructura de la cadena de suministros analizada en esta sección.. Vendedor 1. Producto. .. .. .. .. . Vendedor n. Precios. .. Comprador. Demanda. Producto. Tama ños de lot es. Figura 7. D escripción cadena de sum inistros. 4.5.3. Esce narios estudiados. 4.5.3.1 Mo delo No coope rativo Este m odelo es la generac ión del modelo presentado en la sección ant erior, en donde cada agent e busc a maximizar su utilidad de acuerdo a una predicc ión racional de cómo debería desarrollar su estrat egia si est e f uese el otro agent e. Los agent es no pueden desarrollar estrategias cooperativas.. 4.5.3.1.1 Mo delo No coope rativo: Vendedor j co mo líder (Vend edor i St ackelberg ) El vendedor j com o líder impone el precio , el v endedor seguidor calculará su prec io respectivo con la con la ec uación (85). Posteriormente, el com prador obt endrá los tamaños de lote óptimo informac ión sum inistrada por los vendedores y teniendo en cuenta s u restricción presupuest al. Est o garantiza la obt ención de valores óptimos para los . A continuación se pres ent an las soluciones de este problema (Apéndice F).. (90) ∑. (91). 4.5.3.1.2 Mod elo No cooperativo: Co mp rad or co mo líde r (Co mprador Stackelberg) En este escenario, cuando domina el comprador, este especif ica los diferent es tamaños de lote a ordenar al v endedor , entonces los v endedores deciden s u niv el de precio s ujeto a la rest ricción.
(22) pres upuestal del comprador y a la restricción de un solo precio f inal . Para la soluc ión de est e problema la tendencia creciente de las f unciones objetiv o de los v endedores es muy important e. Est o nos permite transformar los modelos de los vendedores en un s olo, donde la v ariable a m axim izar será el precio final , garantizando la maximización de los precios (74). Para enc ontrar la s oluc ión a este problem a, se deben encontrar soluciones tales que m aximic en la nuev a f unción objetiv o y no sobrepasen la restricc ión presupuestal del comprador. Las soluciones obtenidas con el desarrollo del este problem a son iguales a las obtenidas en modelo no cooperativo con dominio de algún comprador. Este conjunto de soluciones encontradas representan el Equilibrio de N ash (Apéndic e G).. 4.5.3.2 Mo delo Coo perativo Este modelo analiza la integración de todos los agent es de esta cadena con una solo objetivo, maximizar la utilidad conjunta de los m ismos, sujet o a la restricción presupuestal y la restricción de un únic o precio f inal del c omprador. A continuación s e present a la f ormulación mat emática de est e problema. max. ∑. ,. . .. (92). ∑. (93). ∑. (94) (95) Para resolver este m odelo a optimalidad se utilizará la herramient a de programación no lineal GAMS.. 4.5.4. Resu men resultados co mputa cionales. Para ilustrar los resultados de los modelos estudiados previamente, se dis eño un ejem plo de una cadena de suministros de dos niv eles c on 1 vendedor y 3 compradores. Los siguientes parámetros f ueron usados: K 1.3, 1.35, 1.25 , M 0.3, 0.35,0.25 , S 200, 210 , 240 , B 800.000, S. 110, 130, 105 , α. 1.100.000, β. 0.4.. Los resultados obtenidos para cada escenario se pres ent an en la Tabla 5. Variable/Escenario. N o cooperativo 21,56. C ooperativo 21,52. 16,59. 16,55. 15,97. 15,94. 17,25. 17,22. 308,05. 319,18. 343,85. 354,96. 313,03. 325,41. 1.547.472,76. 1.553.328,64. 1.808.055,14. 1.812.471,07. 1.248.430,54. 1.256.733,74. 4.527.931,85. 4.521.742,18. Tabla 5. Resultados com putacionales 3 vendedores – 1 com prador.
(23) 4.5.5. Con clusiones pa rciales: Modelo n Vended ore s – 1 Co mp rador. Fueron analizados 2 dif erentes modelos para la estructura de cadena de s uministros n v endedores - 1 comprador. La cadena de suministros est á conf orm ada por 3 v endedores y 1 comprador. Se generalizó el res ultado óptim o para el modelo no cooperativo, encontrando el Equilibrio de N ash. Las utilidades de los vendedores al cooperar aum ent an, lo contrario suc ede con el c omprador, quien no tiene algún incentivo para hacer part e del juego cooperativ o. Tam bién se puede v er una reducción en los prec ios al pas ar del modelo no cooperativ o al cooperativo, además los tamaños de lote presentan un increm ent o. Aunque las variaciones en las variables estudiadas no s on m uy grandes, est as siguen la misma t endencia al pas ar del modelo c ooperativ o al no c ooperativo o v icev ersa en todas las estructuras planteadas previamente.. 4.6 Modelo 2 Vendedores – 2 Compradores 4.6.1. Mod elo Vendedores. El objetiv o de cada v endedor es encontrar un precio únic o de v ent a para los compradores, tal que sus niveles de utilidad anual prom edio sean máximos. Cada vendedor debe considerar la restricción pres upuestal de cada comprador para m ant ener en inv ent ario y realizar órdenes. Además, deben considerar la restricción de un único precio de v enta para cada c omprador. El modelo matemátic o se pres enta a c ontinuación. max. (96). ∑ . .. (97). ∑. (98) (99). ,. 4.6.2. Mod elo Comprado re s. El objetiv o de los com pradores es enc ontrar los tamaños de lote óptimos que van a pedir a cada v endedor. Los compradores no pueden exceder su niv el de presupuesto para mantener en inv entario y realizar órdenes, adem ás, cada uno de los compradores s olo puede v ender a un precio f inal. El modelo mat emático s e presenta a continuación.. (10 0). ∑ . .. (10 1). ∑. (102) (103). ,. A continuación se pres enta la Figura 8, la c ual describe la estructura de la cadena de suministros analizada en esta sección.. Comprador 1. Vendedor 1. Comprador 2. Vendedor 2. Precios. Producto. Tama ños de lot es. Figura 8. D escripción cadena de suministros. Demanda 1. Demanda 2.
(24) 4.6.3. Esce narios estudiados. 4.6.3.1 Mo delo No coope rativo Este m odelo representa la int eracción entre 2 vendedores y 2 compradores, donde cada uno de estos agentes buscan maximizar su utilidad de acuerdo a una predicción racional de c ómo deberí a desarrollar s u estrategia si este f uese el otro agente.. 4.6.3.1.1 Mo delo No coope rativo: Vendedor j co mo líder (Vend edor j St ackelberg ) Para encontrar las soluc iones a este problema, es nec esario que el v endedor j examine las f unciones objetiv o de los com pradores independientemente, posteriormente el escogerá el precio que max imic e su utilidad, por ende el vendedor j seguidor calculará su niv el de precio (99). Luego, los , tal que compradores deberán calcular los tamaños de lot es a pedir a cada uno de los vendedores se maximice su utilidad. Las soluciones de est e problema se presentan a continuación (Apéndice H).. (104). ,. (105) (106). ,. 4.6.3.1.2 Mod elo No cooperativo: Co mp rad or i co mo líder (Co mprado r i Stackelberg) En est e escenario, cuando domina el com prador i, este es pec ifica los dif erentes tamaños de lot e correspondientes a ordenar al vendedor, entonces los v endedores deciden sus niveles de precio sujet os a la restricción presupuestal de cada comprador y a la restricción de un solo precio f inal . Post eriorment e, el comprador debe dec idir sus tamaños de lot e a ordenar a los v endedores, dada informac ión de los otros agentes. Es importante resalt ar que el dominio del comprador i hacia los v endedores es direct o, mientras que el dominio hacia el otro com prador es indirecto, a través de los v endedores. Para obt ener la solución de este problema los agent es seguidores deberán tener en cuenta la inf ormación suministrada por el agent e dominante, en este caso el comprador i, entonces cada uno de ellos debe m aximizará s u f unción objetiv o sujeto a la restricc ión pres upuestal y de único prec io de los com pradores. En el equilibrio de N ash est as soluciones res ult an s er las mism as a las encontradas en el escenario No C ooperativo con dominio del v endedor j (Apéndic e I).. 4.6.3.2 Mo delo Coo perativo Este modelo analiza la integración de todos los agent es de esta cadena con una solo objetivo, maximizar la utilidad conjunta de los m ismos, sujet o a la restricción presupuestal y la restricción de un únic o precio f inal de cada comprador. Para res olverla a optimalidad se utilizará la herram ienta de programación no lineal GAMS. A continuac ión se presenta la f ormulación m atemática de est e problema. max. ∑. ,. . .. ∑. ∑. (107). ∑. (108). ∑ ,. (109) (110).
(25) 4.6.4. Resu men resultados co mputa cionales. Para ilustrar los resultados de los modelos estudiados previamente, se dis eño un ejem plo de una cadena de s uministros de dos niv eles con 2 v endedores y 2 com pradores. Los siguientes parámetros f ueron usados: 3 1.5 0.15 0.13 1.000 1.200 K , M , Sb , S 2000, 3000 , H 0.35, 0.25 , 2 1 0.12 0.16 1.000 2.200 600 .000 , 800 .000 , α 1.100 .000, β 0.4 . B Los resultados obtenidos para cada escenario se pres ent an en la Tabla 6.. Variable/Escenario. NC Dom. Vendedor j. N C Dom. Comprador 1. NC Dom. C omprador 2. No Cooperativo C ooperativo (Equilibrio de Nash). 4.9 06, 2. 4.9 06, 0. 4.9 05, 8. 4.9 06, 2. 4.9 06, 2. 3.2 70, 8. 3.2 70, 6. 3.2 70, 5. 3.2 70, 8. 3.2 70, 8. 1.6 35, 4. 1.6 35, 3. 1.6 35, 3. 1.6 35, 4. 1.6 35, 4. 3.2 70, 8. 3.2 70, 7. 3.2 70, 5. 3.2 70, 8. 3.2 70, 8. 446,3. 450 ,0. 446 ,3. 446 ,3. 446,6. 301,0. 301 ,0. 301 ,0. 301 ,0. 301,2. 528,1. 528 ,1. 529 ,0. 528 ,1. 914,7. 482,2. 482 ,2. 482 ,0. 482 ,2. 741,3. 24. 701 .4 10, 0. 24. 702 .7 40, 0. 24.700 .590, 0. 24.701 .410, 0. 24. 792.8 30,0. 39. 902 .0 00, 0. 40. 280 .4 90, 0. 40.279 .590, 0. 39.902 .000, 0. 40. 375.9 20,0. 256.52 2. 100 ,0. 256 .51 4. 500 ,0. 256.50 9.900 ,0. 256.52 2.100 ,0. 256 .52 1. 900,0. 92. 622 .3 50, 0. 92. 619 .5 50, 0. 92.617 .940, 0. 92.622 .350, 0. 92. 551.8 50,0. Tabla 6. Resultados computacionales 2 v endedores – 2 compradores. 4.6.5. Con clusiones pa rciales: Modelo 2 Vended ore s – 2 Co mp radore s. Se analizaron 2 dif erentes modelos para la est ruct ura de cadena de suministros 2 v endedores - 2 compradores. Para el cálc ulo del Equilibrio de Nash s e utilizó la estrategia de argumentos de equilibrio, es decir, s e realizaron las combinac iones de los v alores enc ontrados en cada escenario de dominio y se hallaron los valores de las f unciones objetiv o para cada agente en cada combinac ión, posteriorment e se hallo el equilibrio de Nash. C on los dat os suministrados el Equilibrio de N ash resulto s er el res ultado obtenido donde dominada el v endedor j. c omo ha v enido sucediendo en todos los ejemplos del documento, los agentes benef iciados al cooperar son los v endedores, mientras que los compradores presentan una leve disminuc ión en s us niveles de utilidad. Las v ariables de decisión al igual que los objetiv os presentan comport amientos similares a los obtenidos en previas secciones, al pasar del modelo no cooperativ o al cooperativ o el tamaño de lote aum ent a y los precios disminuy en.. 4.7 Modelo n Vendedores – m Com pra dores 4.7.1. Mod elo Vendedores. El objetiv o de cada v endedor es encontrar un precio únic o de v ent a para los compradores, tal que sus niveles de utilidad anual prom edio sean máximos. Cada vendedor debe considerar la restricción pres upuestal de cada comprador para m ant ener en inv ent ario y realizar órdenes. Además, deben considerar la restricción de un único precio de v enta para cada c omprador. El modelo matemátic o se pres enta a c ontinuación..
(26) max. (111). ∑ . .. (112). ∑. (113) (114). ,. 4.7.2. Mod elo Comprado re s. El objetiv o de los com pradores es enc ontrar los tamaños de lote óptimos que van a pedir a cada v endedor. Los compradores no pueden exceder su niv el de presupuesto para mantener en inv entario y realizar órdenes, adem ás, cada uno de los compradores s olo puede v ender a un precio f inal. El modelo mat emático s e presenta a continuación. (115). ∑ . .. (116). ∑. (117) (118). ,. A continuación se pres enta la Figura 9, la c ual describe la estructura de la cadena de suministros analizada en esta sección.. Comprador 1. Vendedor 1. Comprador m. Vendedor n. Precios. Producto. Demanda 1. Demanda n. Tama ños de lot es. Figura 9. D escripción cadena de suministros. 4.7.3. Esce narios estudiados. 4.7.3.1 Mo delo No coope rativo Este modelo represent a la interacción entre n vendedores y m compradores, donde cada uno de estos agentes buscan maximizar su utilidad de acuerdo a una predicción racional de c ómo deberí a desarrollar s u estrategia si este f uese el otro agente.. 4.7.3.1.1 Mo delo No coope rativo: Vendedor j co mo líder (Vend edor j St ackelberg ) Para encontrar las soluc iones a este problema, es nec esario que el v endedor j examine las f unciones objetiv o de los c om pradores i independient emente, post eriorm ent e el escogerá el precio los vendedores s eguidores deberán c alc ular sus que maximice s u utilidad. C on este valor de niveles de precios. Luego, cada uno de los c ompradores deberá calcular los tamaños de lotes a pedir , tal que se max imic e su utilidad. a cada uno de los vendedores.
(27) 4.7.3.1.2 Mod elo No cooperativo: Co mp rad or i co mo líder (Co mprado r i Stackelberg) En est e escenario, cuando domina el com prador i, este es pec ifica los dif erentes tamaños de lot e correspondientes a ordenar al vendedor j, entonc es los v endedores deciden s us niveles de precio sujet os a la restricción presupuestal de cada comprador y a la restricción de un solo precio f inal . Post eriorment e, los com pradores s eguidores deben decidir sus tamaños de lot e a ordenar a los v endedores, dada la inf ormación de los otros agentes. Es importante res altar que el dominio del comprador i hacia los v endedores es directo, mientras que el dominio hacia el otro comprador es indirecto, a trav és de los v endedores. Para obtener la solución de este problem a los agent es seguidores deberán tener en cuent a la informac ión suministrada por el agente dominante, en est e caso el com prador i, entonces c ada uno de ellos debe maximizar su f unción objetivo sujet o a la restricción presupuestal y la restricción de únic o precio de los c om pradores.. 4.7.3.2 Mo delo Coo perativo Este modelo analiza la integración de todos los agent es de esta cadena con una solo objetivo, maximizar la utilidad conjunta de los m ismos, sujet o a la restricción presupuestal y la restricción de un únic o precio f inal de cada comprador. Para res olverla a optimalidad se utilizará la herram ienta de programación no lineal GAMS. A continuac ión se presenta la f ormulación m atemática de est e problema. max. ∑. ,. . .. ∑. ∑. (119). ∑. (120). ∑. (121) (122). ,. 5 Análisis de sensibilidad Esta s ección pretende enc ontrar los parámetros del modelo 1 v endedor – 1 c omprador que hac en más sensibles los res ult ados del modelo no cooperativo y cooperativ o por separado. Los siguientes parám etros f ueron usados para el desarrollo de esta s ección: K 1. 3, M 0.3 , α 10.000, β 0.01 , H 0.35, S 3.000.000 , S 5.000 .000, B 20.000 .000 . Inicialmente se analizará el modelo no cooperativ o, donde los parámetros a estudiar son aquellos que hagan parte de la solución óptim a encontrada, en este caso serian: , , , . Cada uno de estos parámetros se incrementó en un 50% por cada celda. 10.000 ,00. 15. 000 ,0 0. 22. 500,0 0. 33. 750 ,0 0. 50.625 ,00. 75.937 ,50. 21. 041 ,2. 13. 970,2. 9.2 75, 4. 6.1 58, 3. 4.0 88, 8. 2.7 14, 7. 13. 975 ,6. 21. 049 ,4. 2.7 15, 8. 4.0 90,4. 6.1 60, 7. 9.2 79, 0. 40. 476 .1 90, 5. 40. 476 .190, 5. 40.476 .190, 5. 40. 476.1 90,5. 40. 476 .1 90, 5 40. 476 .1 90, 5. 37. 142 .8 57, 1. 37. 142 .857, 1. 37.142 .857, 1. 37. 142.8 57,1. 37. 142 .8 57, 1 37. 142 .8 57, 1. Tabla 7. Análisis de sensibilidad Modelo no cooperativo con respecto a α 0,1 2. 0,1 8. 0,2 7. 0,41. 0,6 1. 0,9 1. 73.022 ,3. 165 .69 8, 3. 729 .11 4, 1. 15. 595.8 68,8. 8,02E+10. 1,67E+48. 0,0. 0,0. 782 ,5. 344 ,9. 78, 4. 3,7. 40. 476 .1 90, 5. 40. 476 .1 90, 5. 40. 476 .190, 5. 40. 476.1 90,5. 40. 476 .1 90, 5 40. 476 .1 90, 5. 37. 142 .8 57, 1. 37. 142 .8 57, 1. 37. 142 .857, 1. 37. 142.8 57,1. 37. 142 .8 57, 1 37. 142 .8 57, 1. Tabla 8. Análisis de sensibilidad Modelo no cooperativo con respecto a β.
(28) 0,1 2. 0,1 8. 0,2 7. 0,41. 0,6 1. 0,9 1. 62. 037 ,5. 41. 189,3. 27. 347,3. 18. 157 ,0. 12. 055 ,2. 8.0 03, 9. 2.6 86, 5. 2.6 97,6. 2.7 08, 6. 2.7 19, 8. 2.7 30, 9. 2.7 42, 1. 150 .00 0. 000 ,0. 94. 444 .444, 4. 57.407 .407, 4. 32. 716.0 49,4. 16. 255 .1 44, 0. 5.2 81. 207,1. 146 .66 6. 666 ,7. 91. 111 .111, 1. 54.074 .074, 1. 29. 382.7 16,0. 12. 921 .8 10, 7. 1.9 47. 873,8. Tabla 9. Análisis de sensibilidad Modelo no cooperativ o con respecto a Hb. 500 .00 0, 0. 750.00 0,0. 1.125. 000,0. 1.6 87. 50 0,0. 2.5 31. 250,0. 3.7 96. 875,0. 128 .55 3, 2. 85.351 ,8. 56. 668,6. 37. 624 ,7. 24. 980,6. 16. 585 ,7. 444 ,5. 669 ,5. 1.0 08,4. 1.518, 8. 2.2 87,5. 3.4 45, 3. 242 .857. 142,9. 161 .90 4. 761 ,9 107 .93 6. 507 ,9. 71. 957.6 72, 0. 47. 971 .7 81, 3 31. 981 .1 87, 5. 322 .857. 142,9. 208 .57 1. 428 ,6 132 .38 0. 952 ,4. 81. 587.3 01, 6. 47. 724 .8 67, 7 25. 149 .9 11, 8. Tabla 10. Análisis de sensibilidad Modelo no cooperativo con respecto a Sb. 2.0 00. 000,0. 3.000. 000,0. 4.500. 000,0. 6.7 50.00 0,0. 200 ,8. 455 ,6. 1.0 33, 6. 2.3 44, 7. 10. 125 .0 00, 0 15. 187 .5 00, 0 5.3 19, 0. 12. 066 ,2. 28. 450 ,7. 18. 812,4. 12. 439,3. 8.2 25, 2. 5.4 38, 7. 3.5 96, 2. -1.095.2 38, 1. -1.21 4.2 85, 7. -857. 142,9. 883 .92 8, 6. 6.2 07. 58 9,3. 20. 295 .2 00, 9. -1.428.5 71, 4. -1.71 4.2 85, 7. -1.60 7.142, 9. -241. 07 1,4. 4.5 20. 08 9,3. 17. 763 .9 50, 9. Tabla 11. Análisis de sensibilidad Modelo no cooperativo con respecto a B. Ahora se analizará el modelo c ooperativo, los parámetros a estudiar son aquellos que hagan part e de la solución óptima encontrada, en este cas o serian: , , , , , , 1, . 10.000 ,00. 15. 000 ,0 0. 22. 500,0 0. 33. 750 ,0 0. 50.625 ,00. 75.937 ,50. 20. 928 ,2. 13. 895,1. 9.2 25, 6. 6.1 25, 2. 4.0 66, 8. 2.7 00, 1. 2.9 29, 5. 4.4 12,3. 6.6 45, 6. 10. 009 ,3. 15. 075 ,6. 22. 706 ,2. 41. 387 .6 48, 8. 41. 387 .648, 8. 41.387 .648, 8. 41. 387.6 48,8. 41. 387 .6 48, 8 41. 387 .6 48, 8. 36. 839 .0 37, 7. 36. 839 .037, 7. 36.839 .037, 7. 36. 839.0 37,7. 36. 839 .0 37, 7 36. 839 .0 37, 7. Tabla 12. Análisis de sensibilidad Modelo no cooperativo con respecto a α. 0,1 2. 0,1 8. 0,2 7. 0,41. 0,6 1. 0,9 1. 72. 581 ,2. 164 .624, 5. 723 .808, 9. 15. 456.7 58,6. 7,91E+10. 1,58E+48. 844 ,7. 372 ,4. 84, 7. 4,0. 0,0. 0,0. 41. 387 .6 48, 8. 41. 387 .648, 8. 41.387 .648, 8. 41. 387.6 48,8. 41. 387 .6 48, 8 41. 387 .6 48, 8. 36. 839 .0 37, 7. 36. 839 .037, 7. 36.839 .037, 7. 36. 839.0 37,7. 36. 839 .0 37, 7 36. 839 .0 37, 7. Tabla 13. Análisis de sensibilidad Modelo no cooperativo con respecto a β.
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