TEORIA DE EXPONENTES ING. CRISTHIAN VELANDIA

TEORIA DE EXPONENTES

ING. CRISTHIAN VELANDIA Conceptos preliminares.

Expresión algebraica.- es el conjunto de letras y números interrelacionados entre si, mediante las operaciones de adición y sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o por algunas combinaciones entre ellos. Ejemplos: a) 2x2 b) 5x2+3x-6 c) 5√x2 Término algebraico.- Es aquel conjunto de letras y números interrelacionados entre sí, mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación o por alguna combinación entre ellas. Ejemplos:

a) -2x2

yz

b) x

3

c)

Partes de un término algebraico

-2x

2

Valor absoluto y valor relativo.- El valor absoluto de un número es su valor sin considerar su signo; en tanto que el valor relativo de él, es su valor considerando su signo.

VA = 5 VA = 5

Ejemplos: 5

-

5

VR = 5 VR =

-

5

Suma algebraica

A) Sumando igual signo.- Se escribe el signo igual, seguido de la suma de los valores absolutos de los términos. Ejemplos

1) 5 + 8 = 13 2)-5 – 8 = - 13

B) Sumandos con signos diferentes.- Se escribe el signo del mayor y se resta el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto.

1) –5+8= 3 2) 5 – 8 = -3

observamos que la resta se hace siempre: 8 – 5 Valor numérico de expresiones algebraicas.- Es el resultado que se obtiene al reemplazar la parte literal de una expresión algebraica por los valores arbitrarios a tribuidos a sus letras.

Ejemplo : ___________

Determina el valor numérico de X=√p(p-a)(p-b)(p-c) ; si a =13; b =14; c =15 y p =21.

Solución.- Reemplazando valores:

X=√21(21-13) (21-14) (21-15) = √21 (8) (7) (6) = 84

C

onsideremos las siguientes situaciones:

a.El piso de una habitación cuadrada se quiere cubrir con baldosas cuadradas, de las cuales se muestra una hilera en la figura 1. ¿Cuántas baldosas se necesitarán en total?

b.Analicemos el problema inverso: Si en una habitación cuadrada hay un total de 169 baldosas cuadradas de 20 cm x 20 cm ¿Cuántas hileras de baldosas hay en cada lado de la habitación?

Solución

L

os dos problemas anteriores dan origen a dos nuevas operaciones: la potenciación y la radicación. Para responder la preguntaa.se tiene que multiplicar: 13 x 13, y aquí tenemos una multiplicación que, por tener los factores iguales, puede abreviarse así:

13 x 13 = 13² = 169 baldosas.

La segunda operación (radicación) actúa en forma inversa a la potenciación. La habitación tiene trece hileras por cada lado, entonces √169 = 13

Signo Coeficiente

Exponent Parte Literal

Conclusión

E

n la potenciación en general podemos definir:

a · a · a · ... · a = se lee: a _{elevado a la} n_.

n _veces n _{es un número natural que se llama exponente.}

a _{es un número cualquiera que se llama base.}

C

onsideremos:

Conclusión

E

sto nos sugiere las siguientes propiedades:

Reglas de los Exponentes

• Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros

positivos diferentes.

Ejemplo:

• Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se

queda igual.

Ejemplo:

• En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se

restan los exponentes. Las variables m y n son enteros positivos , m > n.

Ejemplo:

• En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere es

Reglas Básicas para Manejar los Exponentes:

Radicales

Un radicales una expresión en la

forma:

Cada parte de un radical lleva su nombre,

El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz cuadrada, el índice 2 es usualmente omitido.

Propiedades de los Radicales

Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: •

p p p

...

p

_{a m}

=

xp

_{a m}

(x radicales) •

x

bn

x

a m

x

bn

am

₌

•

a

a

n n 2 1 2

...

−

=

(x radicales) •

_am

x

_bn

=

x

_{a mx}

_bn

•

m n p

a x

=

mnp

a x

•

x

_{a m}

_bn

=

x

_{a m}

x

_bn

•

a

m

b c d q

n

p

=

abcd

mbcd

ncd

pd

q

Suma y Resta de Radicales

Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver la suma o la resta usando la

propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes. Los radicales "semejantes"

son los que tienen el mismo radicando. Ejemplos:

Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta solo puede ser indicada. Se puede agrupar los términos semejantes del radical.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

Con ligeras nociones de ecuaciones, potencias, radicales y sistemas, puedes conseguir fácilmente realizar estos ejercicios.

Te recuerdo que:

* Todo número elevado a cero es igual a la unidad: a0= 1

* Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: a5. a 3= a8

* Para dividir potencias de la misma base, se restan lo exponentes: a5_{/ a} 3_{= a}2

* Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes: (a5)3 = a15

* Una potencia con exponente negativo será lo mismo que uno partido por la misma potencia con

exponente positivo: a- 5= 1 / a5

* Una potencia con exponente fraccionario, equivale a una raíz: a3/4=

Problemas propuestos

1. Ejercicios Propuestos

1. Conteste con verdadero o falso cada una de las siguientes afirmaciones. En cada caso justifique su respuesta

a. 729 es la cuarta potencia de 9

b. Toda potencia de un número positivo es positiva c. Toda potencia de un número negativo es negativa

d. La potencia de la suma es la suma de las potencias, esto es

(a + b) = a + b

n n n

e. La operación de potenciación es conmutativa, esto es

(a ) = (a

n m m n

)

En los ejercicios del 2 al 9 elimine los exponentes negativos y simplifique

2.

(-3x

-2

)

( 4 x )

4 3.

(3 u v ) (4 u v )

7 3 4 -5 4.

(x y z ) (-2 x z ) (x y )

2 3 2 3 -2 5.

3 x y

y

5 4 -3 6.

2a b

a c

-2 -3 -4 -1

7.

3 x y z

x y

z

2 3 -1 -2 -3 8.

m n x

m n

x

-2 -1 -7 2 -4 -5 -2 9.

4a b

a b

5a b

2b

2 3 1 2 4

Leer atentamente antes de proceder

1) Calcular las siguientes potencias y raíces:

2) Poner bajo un solo signo radical las siguientes expresiones:

( )

(

)

4 12 8 7 3 7 3 3 2 3 5 15 10 3 6 9 3

16.c

81.b

f)

8.a

:

16

9.

e)

.x

a

5.

d)

b

2.

c)

b

32.x

b)

.c

.b

27.a

a)













−

(

)

a a. . a 1 j) b a . b a i) x y . y x h) c . 2.a .x a . x.y a. g) c b . a f) 5 5. 5. e) x d) 3 3. c) x b) 3 a) 3 3 6 5 5 3 2 b a c 3 2 + +

2.5.9

Ejercicios

:

1. En cada una de las siguientes afirmaciones, responda si es verdadera o falsa, justifique su

respuesta.

a.

−

4

= 2

b.

b - 4ac

2

existe sólo si

b

2

≥

4ac

c.

a + b = a + b

d.

n

a = a

1 n

2. Racionalizar

a.

1

2

b.

1

2

3

c.

10a b

8 -2

d.

1

4 x y

5 2 3

e.

x

x + 3

f.

x - 1

x - 1

g.

y

y + 2

h.

1

x - h

3 3

i.

3

+ 3 - 5

2