Ejemplos solo con datos cuantitativos o numéricos: Medidas de centralización Para datos a granel:

(1)

Ejemplos solo con datos cuantitativos o numéricos

:

Medidas de centralización Para datos a granel

:

Considere una muestra de notas de un alumno en la asignatura de matemática:

Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6

Calculo de la media aritmética

:

4 . 5 10 6 . 4 7 4 . 6 2 . 6 8 . 4 3 . 5 6 . 4 7 . 6 5 . 3 5 . 4 = + + + + + + + + + = X

También se puede calcular suponiendo una media y calculando los desvíos respecto de los datos:

Ejemplo: supongamos que la media es Xs= 50

Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6 Xi-Xs -0.5 -1.5 1.7 -0.4 0.3 -0.2 1.2 1.4 2.0 -0.4 Suma de desvíos = 3.6 n d s X X = +

∑

=5.0+ 5.0 0.36 5.36 5.4 10 6 . 3 ₌ ₊ ₌ ₌

Media geométrica

Para el ejemplo: : G=10 6 . 4 7 . 4 . 6 2 . 6 8 . 4 3 . 5 6 . 4 7 . 6 5 . 3 5 . 4 x x x x x x x x x =5.3

Media armónica:

Para el ejemplo: H= 0.51 6 . 4 1 7 1 4 . 6 1 2 . 6 1 8 . 4 1 3 . 5 1 6 . 4 1 7 . 6 1 5 . 3 1 5 . 4 1 1 = + + + + + + + + +

(2)

Para el ejemplo:

RMS= 4,52 +3.52 +6.72 +4.62 +5.32 +4.82 +6.22 +6.42 +72 +4.62 =17.3

Caso especial de la media aritmética

:

(3)

La moda para datos a granel (Mo)

: Es el dato que más se repite, puede haber más de una moda o ninguna, siempre es un dato de la muestra.

Para el ejemplo:

Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6 Mo= 4,6

La mediana para datos a granel (Md)

: Corresponde al valor central de los datos previamente ordenada (n: impar), o al promedio de los dos datos centrales (n: par).No siempre es un dato de la muestra:

Para el ejemplo

Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6 Ordenando los datos:

Notas 3.5 4.5 4.6 4.6 4.8 5.3 6.2 6.4 6.7 7 Md= 5.1 2 3 . 5 8 . 4 + ₌

Medidas de dispersión para datos a granel

:

El más elemental es el rango de variación

:

Rg= mayor valor observado o medido- menor valor observado o medido Para el ejemplo: Rg= 7-3.5= 3.5

Desviación media: DM=

n x x_i

∑

− Para el ejemplo Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6 Con: X =5.4 Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6 desvíos -0.9 -1.9 1.3 -0.8 -0.1 -0.6 0.8 1.0 1.6 -0.8

_∑

₌₀ desvíos 0.9 1.9 1.3 0.8 0.1 0.6 0.8 1.0 1.6 0.8

∑

=17 DM= 1.7 10 17 ₌

(4)

Desviación estándar:

( )

1 2 − − =

∑

n x x S

para la muestra

Para el ejemplo: Notas 4.5 3.5 6.7 4.6 5.3 4.8 6.2 6.4 7 4.6 desvíos -0.9 -1.9 1.3 -0.8 -0.1 -0.6 0.8 1.0 1.6 -0.8

_∑

₌₀ desvíos 0.9 1.9 1.3 0.8 0.1 0.6 0.8 1.0 1.6 0.8

∑

=17 desvíos 2 0.81 3.61 1.69 0.64 0.01 0.36 0.64 1.0 2.56 0.64

∑

=11.96 S= 1.15 1 10 96 . 11 = −

Desviación estándar para la población: (es solo un estimativo

)

( )

n x x S =

∑

− 2 Para el ejemplo: S= 1.09 10 96 . 11 ₌

Nota: existen otras medidas de dispersión que se estudiaran con datos intercalares.

(5)

clases Xi f fr. f% Fa Fa% 485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00 535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50 585.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50 635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00 685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00 735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00 40 1 100.00

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(7)

(8)

clases Xi f fr. F% Fa Fa% 485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00 535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50 585.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50 635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00 685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00 735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00 40 1 100.00 clases Xi f Xi*f 485.55 – 535.50 510.53 4 2042.12 535.51 – 585.46 560.49 9 5044.41 585.47 – 635.42 611.45 10 6114.50 635.43 – 685.38 660.41 7 4622.87 685.39 – 735.34 710.37 8 5682.96 735.35 – 785.30 760.33 2 1520.66 40 25027.52 69 . 625 40 52 . 25027 ₌ = X Para el ejemplo:

Supongamos como media supuesta la marca de clase de la segunda clase, esto es: 560.49, la tabla con los cálculos correspondientes, se puede ordenar en forma

simplificada como se indica:

Xi Desviación :Xi - Xs f (Xi-Xs)*f

510.53 510.53-560.49=-49.96 4 -199.84 560.49 560.49-560.49=0 9 0 611.45 611.45-560.49=50.96 10 509.60 660.41 660.41-560.49=99.92 7 699.44 710.37 710.37-560.49=149.88 8 1199.04 760.33 760.33-560.49=199.84 2 399.68

∑

=2607.92

(9)

69 . 625 40 92 . 2607 49 . 560 + = = X

Valor que coincide con el calculado anteriormente.

clases Xi f fr. F% Fa Fa% 485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00 535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50 585.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50 635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00 685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00 735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00 40 1 100.00

(10)

Luego la abscisa que deja la mitad de la superficie total a cada lado es: 586.465+34.965=621.43

CRITERIO TABULAR O INTERVALAR:

clases Xi f fr. F% Fa Fa% 485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00 535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50 585.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50 635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00 685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00 735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00 40 1 100.00 Md= 587.465+33.922=621.39

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EN GENRAL: clases Xi f fr. F% Fa Fa% 485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00 535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50 587.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50 635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00 685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00 735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00 40 1 100.00

(12)

Parámetros de dispersión:

Desviación media: DM=

n f x x_i

∑

− Para el ejemplo:

Se sabe que la media es: 625.69 40 52 . 25027 ₌ = X clases Xi _{(Xi - X )} _Xi₋_X f _Fa _Xi₋_X 485.55 – 535.50 510.53 -115.16 115.16 4 460.64 535.51 – 585.46 560.49 -65.20 65.20 9 586.80 587.47 – 635.42 611.45 -14.24 14.24 10 142.40 635.43 – 685.38 660.41 34.72 34.72 7 243.04 685.39 – 735.34 710.37 84.68 84.68 8 677.44 735.35 – 785.30 760.33 134.64 134.64 2 269.28

∑

=0 40

∑

=2379.60 DM= 59.49 40 60 . 2379 ₌

(13)

Desviación estándar:

( )

1 2 − − =

∑

n f x x S

para la muestra

clases Xi _{(Xi - X )} _{(Xi - X )}2 _f

(Xi - X )2f 485.55 – 535.50 510.53 -115.16 13261.83 4 53047.32 535.51 – 585.46 560.49 -65.20 4251.04 9 38259.36 587.47 – 635.42 611.45 -14.24 202.78 10 2027.80 635.43 – 685.38 660.41 34.72 1205.48 7 8438.36 685.39 – 735.34 710.37 84.68 7170.70 8 57365.60 735.35 – 785.30 760.33 134.64 18127.93 2 36255.86

∑

=0

∑

=44219.76 40

∑

=195394.30 S= 70.78 1 40 30 . 195394 = −

Desviación estándar:

( )

n x x S =

∑

− 2

para la población.

Para el ejemplo: 69.89 40 30 . 195394 ₌

Rango intercuartílico: Datos que se ubican entre el 25% y el 75%

Para el ejemplo: El 25% de los datos: 25% de 40 = 10 De acuerdo a la tabla: clases Xi f fr. F% Fa Fa% 485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00 535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50 587.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50 635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00 685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00 735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00 40 1 100.00

Corresponderían a los 4 datos de la primera clase más los 6 que faltan de la segunda clase:

Datos del primer cuartel:

535,505+

(

585.455 535.505

)

535,505 33.3 568.81 9 6 = + = −

Datos del tercer cuartel:

75% de los datos: 75% de 40 = 30

Habrá que tomar los 4 de la primera clase, los 9 de la segunda, los 10 de la tercera y exactamente los 7 de la cuarta clase (suman 30) .En este caso se toma el límite inmediatamente superior de la cuarta clase, esto es: 685.38.

(14)

Es decir el rango intercuartílico corresponde a todos los puntajes que se encuentran entre 568,81 y 685,38 (este criterio permite eliminar los outlier)

Nota: el segundo intercuartílico corresponde a la mediana: En efecto: el 50% de los dados es 50% de 40 = 20

Habrá que tomar entonces: los 4 datos de la primera clase, los 9 de la segunda y los 7 restante de los 10 de la tercera clase, esto es:

587.465+ (635.415 587.465) 587.465 33.565 621.03 10 7 = + = − (que corresponde al

valor calculado anteriormente)

Nota: cualquier otro intercuartílico se calcula de la misma

manera:

Ejemplo: cual es el rango de puntaje entre el tercer decil y el sexto decil?

clases Xi f fr. F% Fa Fa% 485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00 535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50 587.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50 635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00 685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00 735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00 40 1 100.00 Tercer decil: 30% de 40 = 12 535.505+ (585.455 535.505) 9 8 − =579.905 Sexto decil: 60% de 40 = 24 635.425+ (685.375 635.425) 642.56 7 1 = − El rango es entonces: 579.91 y 642.56

También se puede calcular parámetros como porcentajes de

alumnos que se ubican en determinado rango de puntajes.

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Ejemplo ¿Qué % de alumnos se ubica entre los 548.34 puntos y los 694.15 puntos?

Se procede como se indica

clases Xi f fr. F% Fa Fa% 485.55 – 535.50 510.53 4 4/40 10.00 4 10.00 535.51 – 585.46 560.49 9 9/40 22.50 13 32.50 587.47 – 635.42 611.45 10 10/40 25.00 23 57.50 635.43 – 685.38 660.41 7 7/40 17.50 30 75.00 685.39 – 735.34 710.37 8 8/40 20.00 38 95.00 735.35 – 785.30 760.33 2 2/40 5.00 40 100.00 40 1 100.00

De acuerdo a la tabla el menor puntaje: 548.34 puntos se ubica en la segunda clase, por lo que habrá que tomar parte de los 9 alumnos, el mayor puntaje 694.15 puntos se ubica en la quinta clase y toma parte de los 8 alumnos.

En resumen: 95 . 49 9 (585.46-548.34)+10+7+ (694.15 685.39) 95 . 49 8 − =6.69+10+7+1.40=25.09=25 alumnos .Que corresponde al 62.5% del total .Es decir el 62.5% de la muestra se ubica en ese rango de notas.